Конечно-элементное моделирование больших

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
БОЛЬШИХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
В ТЕРМИНАХ ГЛАВНЫХ УДЛИНЕНИЙ
А. И. Голованов
Казанский государственный университет, Казань, Россия
В настоящей работе предлагается конечно-элементная методика решения задачи
упругопластического деформирования трехмерных тел с применением логарифмических
деформаций.
Пусть в исходной конфигурации имеем радиус-вектор материальной точки в виде
R  X i  1 ,  2 ,  3  ei , где ei – орты декартовой системы координат, относительно которой
исследуется процесс деформирования,  1 ,  2 ,  3 – криволинейные лагранжевые координаты,
которыми в конечно-элементной реализации являются локальные безразмерные координаты.
В этой конфигурации определим:
- основной и сопряженный базисы,
- метрический тензор  G   Gij  R i R j   G ij  Ri R j   Gˆ ij  ei e j  .
По аналогии в актуальном состоянии определим:
- радиус-вектор материальной точки r  x i  1 ,  2 ,  3  ei ,
- вектор скорости движения (приращения перемещений) этой материальной точки
  x i  1 , 2 , 3  ei   i  1 , 2 , 3  ei ,
- основной и сопряженный базисы,
ˆ ij
- метрический тензор  g   gij  r i r j   g ij  rr
i j   g  ei e j  .
Введем тензор градиента деформации
 F    ri Ri   gki  r k Ri   G ki  ri Rk  
xi
(ei e j ) ,
X j
и его полярное разложение  F    R   U   V    R  , где  R  – ортогональный тензор, U  –
правый тензор искажения, V  – левый тензор искажения. Представим тензоры искажения в
 
виде разложений по главным направлениям U    i  ci ci  , V    i bb
i i .
i
его
i
Определим тензор пространственного градиента скорости
 i
1
i
 h    F    F   i r   j  ei e j  ,
x
симметричную часть  d  , называемую тензором деформации
скорости,
и
антисимметричную   , называемую тензором скорости вращения.
Рассмотрим кинематику конечных упругопластических деформаций с выделением
промежуточного (разгруженного) состояния, основанную на мультипликативном разложении
тензора градиента деформаций [1]
 F    Fe    Fp  .
При этом каждый из тензоров допускает полярное разложение
(1)
 Fe    Re   Ue   Ve    Re  ,  Fp    Rp   U p   Vp    Rp  ,
(2)
то есть каждая из деформаций включает в себя как жесткое движение, так и непосредственно
деформацию (искажение). Можно показать, что справедливо i  iei p , bi p  cie , bi  bie ,
ci  ci p ,
 R    Re    R p  .
Таким образом, разложение градиента полных деформаций (1)
сводится к мультипликативному разложению главных значений и тензоров жестких
вращений (2), соответствующих упругим и неупругим деформациям.
Мультипликативное разложение для главных удлинений приводит к аддитивному
разложению для логарифмов главных удлинений, то есть ln i  ln ie  ln i p .
Для построения физических уравнений воспользуемся уравнением второго закона
термодинамики для изотермического процесса     d     0 , где  – текущее значение
плотности,  – функционал свободной энергии,   – тензор истинных напряжений КошиЭйлера. Из этого неравенства следуют соотношения упругости в терминах главных значений

 p
 ii  
Hi  0 .
,  ij  0 при i  j и диссипативное неравенство  
e
H i
H ie
i
Будем считать, что условием упругого состояния является выполнение неравенства
 1, 2 , 3 ,   0, где  i   ii , то есть фактически введем функцию пластического течения с
упрочнением, определяемым параметром  .
Закон пластического течения строится из условия экстремума функционала
  i     i ,    i H ip по напряжениям  i . После несложных преобразований получаем
i

,    .
 i
В качестве примера рассматривается теория пластичности Мизеса, для которой условие
предельного состояния записывается в виде  i   T  ip  , где  i – интенсивность
H ip  
напряжений,  ip – интенсивность пластических деформаций.
Потенциал упругой энергии и его производные по логарифмам главных удлинений
принимаются в виде

2

     ,  ,      ln     ln   ,
2 k
k

2


m  
 2  H me    H ne , 
 2  mn   ,
e
H m
H me H ne
n
где  ,  – коэффициенты аналогичные параметрам Ляме в классической теории упругости.
Вычислительная технология решения упругопластических задач с применением
полученных соотношений представляет собой сочетание метода последовательных
нагружений, итерационного процесса Ньютона на шаге нагружения и «процедуры
проецирования напряжений на поверхность текучести». Подобная методика ранее
использовалась автором в работах [2, 3].
Рассмотрим задачу о сдвиге трехмерного параллелепипеда размером 5x2x2 см, жестко
закрепленного по нижнему торцу. Верхний торец перемещается параллельно на величину
своей толщины. Безразмерные характеристики материала, отнесенные к пределу текучести,
e
1
e
2
e
3
2
e
k
e
k
принимаются следующими: модуль упругости Е = 50, коэффициент Пуассона   0,3 , модуль
упрочнения 3G p  0,1 .
Рис. 1
Рис. 2
На рисунках изображены распределения интенсивности напряжений (рис. 1) и
интенсивности пластических деформаций (рис. 2). Из приведенных иллюстраций следует, что
непосредственно деформируются лишь области, прилегающие к верхнему и нижнему торцам,
а значительная часть объема, расположенная в срединой области, практически не
деформируется и поворачивается как жесткое целое.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 08-01-00546.
ЛИТЕРАТУРА
1. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации:
теория, алгоритм, приложения. – М.: Наука, 1986. – 232 с.
2. Голованов А.И. Конечно-элементное моделирование больших деформаций
гиперупругих тел в терминах главных удлинений // Вычислительная механика сплошных
сред. – 2009. – Т. 2. – № 1. – C. 19–37.
3. Голованов А.И., Султанов Л.У. Численное исследование больших упругопластических
деформаций трехмерных тел МКЭ // Прикл. мех. – 2005. – Т. 41. – № 6. – С. 36–43.