МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению лабораторных работ по курсу общей физики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению лабораторных работ по курсу общей физики
РАЗДЕЛ «МЕХАНИКА»
Лабораторная работа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА «ПУЛИ» БАЛЛИСТИЧЕСКИМ
МЕТОДОМ С ПОМОЩЬЮ УНИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА
Цель работы – определение скорости полета «пули» с помощью крутильного маятника на
основе закона сохранения момента количества движения.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Основным элементом установки (см. рис. 8.1) является крутильный маятник,
Рис. 8.1. Схема установки.
представляющий собой металлическую рамку 1, подвешенную на стальной нити 2. Нить
подвеса закреплена вертикально в натянутом состоянии на стойке 3 с основанием 4. Рамка
может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее
ось симметрии. На ней имеются места для крепления двух дополнительных грузов 5
симметрично относительно оси. К ней же крепится «мишень» 6 в виде диска, поверхность
которого покрыта тонким слоем пластилина, флажок 7 для контроля ее колебаний и
противовес 8. «Пулей» служит тонкое металлическое кольцо. К стойке на кронштейне 9
крепится «пистолет», состоящий из направляющего стержня с пружиной 10 и спускового
устройства 11. К стойке также на кронштейне крепится фотодатчик 12 (лампа +
фотоприёмник), соединенный с электронным блоком регистрации времени и числа
колебаний.
ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
После выстрела «снаряд» попадает в «мишень» и
прилипает к ее поверхности (см. рис. 8.2.). Соударение
снаряда с мишенью происходит за столь короткое
время, что поворотом рамки с «мишенью», а,
следовательно, и действием момента сил упругости
нити за это время можно пренебречь. Момент силы
тяжести и силы натяжения нити относительно
вертикальной оси равен нулю. Таким образом,
относительно этой оси суммарный момент внешних
сил, действующий на рамку и «снаряд», равен нулю и
при соударении выполняется закон сохранения
Рис. 8.2. Схема опыта
суммарного момента импульса рамки и «снаряда».
Момент импульса «снаряда» перед соударением L1  mvl , где m- масса «снаряда», v
– его скорость, l – прицельное расстояние (см. рис. 8.2). После соударения рамка с грузами
приходит во вращение с угловой скоростью  , при этом ее момент импульса
(8.1)
L 2  ( I p  2Ml 12 ) .
Здесь I p - момент инерции рамки без грузов, M - масса каждого из грузов, l1 - расстояние
грузов от оси вращения. Вкладом в момент инерции прилипшего “снаряда” можно
пренебречь из-за малости его массы.
По закону сохранения L1  L 2 , следовательно:
v
( I p  2Ml 12 )
(8.2)
.
ml
Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно найти угловую скорость рамки  и момент
инерции рамки с грузами I p  2Ml 12 .
Угловую скорость можно найти по углу максимального отклонения  m рамки после
соударения. После соударения вращение рамки тормозится под действием момента
упругих сил в нити подвеса. При этом выполняется закон сохранения энергии.
Кинетическая энергия рамки переходит в потенциальную энергию закрученной нити:
( I p  2Ml 12 )2 D2m
,
(8.3)

2
2
где D - модуль кручения проволоки. Модулем кручения называется коэффициент
пропорциональности между моментом упругих сил M упр и углом закручивания нити  :
M упр   D .
Знак минус здесь показывает, что направление момента упругих сил противоположно
углу закручивания.
Из соотношения (8.3) находим выражение для угловой скорости:
D
.
(8.4)
  m
( I p  2Ml 12 )
Модуль кручения D и момент инерции I p  2Ml12 определяют значение периода
колебаний рамки. Их отношение, а также необходимый для вычисления скорости момент
инерции рамки с грузами можно найти из измерений периода колебаний рамки с грузами
и без них. Для того чтобы понять, как связан период с этими величинами, рассмотрим
уравнение вращения рамки, подвешенной на упругой нити:
I
  D  .
 - вторая производная от угла по
Здесь I - момент инерции рамки в общем случае, 
времени, т.е. угловое ускорение. Это уравнение приводится к виду
2

(8.5)
  0  ,
D
. Уравнение (8.5) описывает гармонические колебания с циклической
I
частотой колебаний 0 . Период колебаний вычисляется по формуле
где 0 
T0 
2
I
 2
.
0
D
(8.6)
Обозначив период колебаний рамки без грузов T1 , с грузами T , по формуле (8.6)
имеем:
Ip
I p  2Ml 12
.
(8.7)
, T  2
D
D
Из этих формул получим для угловой скорости (8.4) следующее выражение:
2

 m .
(8.8)
T
Исключая модуль кручения из формул (8.7) находим момент инерции рамки с
грузами:
2Ml 12T 2
2
.
(8.9)
I p  2Ml 1  2
T  T12
T1  2 
Подстановка соотношений (8.8) и (8.9) в уравнение (8.2) дает окончательную формулу:
4Ml12T  m
v
.
(8.10)
ml (T 2  T12 )
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Произведите регулировку положения основания с помощью регулировочных опор.
Добейтесь вертикальности нити подвеса.
2. Установите грузы на рамке.
3. Установите «мишень» на рамке. Убедитесь, что «мишень» находится на линии
«выстрела» и перпендикулярна ей а флажок пересекает при колебаниях рамки
оптическую ось фотодатчика.
4. Установите «снаряд» на направляющий стержень «пушки», взведите пружину и
произведите «выстрел». Визуально определите угол  m максимального отклонения
рамки по шкале угловых перемещений с помощью флажка, закрепленного на рамке.
Повторите «выстрел» и измерение угла максимального отклонения не менее трех раз.
5. Измерьте штангенциркулем расстояние l от оси вращения рамки до центра отпечатка
«пули» в мишени.
6. Отклоните рамку с грузами на угол 40 градусов и зафиксируйте с помощью
электромагнита. Нажмите на электронном блоке кнопку «СБРОС», при этом должны
обнулиться показания счетчиков колебаний и времени. Нажмите кнопку «ПУСК», при
этом выключится электромагнит, и начнутся крутильные колебания рамки.
Определите время t, за которое происходит N колебаний рамки. Для регистрации
времени необходимо нажать кнопку «СТОП» после того, как произойдет N-1 полных
колебаний. Прибор остановит счет времени в момент завершения N-го колебания.
Количество колебаний выберите в пределах 10 … 15.
7. Измерьте штангенциркулем расстояние l1 от оси вращения рамки до центров грузов.
8. Снимите грузы с рамки и аналогично п.6. проведите измерения времени t1, за которое
происходит N1 колебаний рамки без грузов. Выберите N1 в пределах 10  15.
9. С помощью лабораторных весов определите массы грузов M массу снаряда m .
10. Вычислите среднее значение угла максимального отклонения при выстреле:
n
m 
  mi
i 1
n
, где n – количество измерений угла максимального отклонения.
11. Вычислите периоды колебания рамки с грузами и без грузов: T  t / N , T1  t1 / N1 .
12. Используя среднее значение угла m , вычислите по формуле (8.10) скорость снаряда
v.
Лабораторная работа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА МЕТОДОМ ИЗГИБА
Цель работы – изучение упругих деформаций различных материалов.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Если прямой упругий стержень обоими концами свободно положить на твердые
опоры и нагрузить в середине грузом весом P, то середина стержня опустится, т. е.
стержень согнется (рис. 10.1).
Легко понять, что при таком изгибе верхние
слои стержня будут сжиматься, нижние –
растягиваться, а некоторый средний слой, который
называют нейтральным слоем, сохранит длину и
только претерпит искривление. Перемещение d,
которое получает середина стержня, называется
стрелой прогиба. Стрела прогиба тем больше, чем
больше нагрузка, и, кроме того, она должна
зависеть от формы и размеров стержня и от его
модуля упругости. Для деформаций растяжения и
сжатия модуль упругости называется модулем
Юнга и численно равен напряжению (т. е. упругой
силе, приходящейся на единицу площади
поперечного сечения тела), возникающему в образце при увеличении (уменьшении) его
длины в два раза.
Найдем связь между стрелой прогиба и характеристиками упругого стержня. В
данной работе используется пластина прямоугольного сечения размерами L (длина), h
(высота), b (ширина). Под воздействием внешней силы пластина искривляется, и ее форма
может быть описана функцией y(x) (см. рис. 10.1). Возникающие в пластине силы
упругости пропорциональны кривизне пластины, т. е. второй производной y (x ) . Условие
равновесия имеет вид:
EI y ( x )  M ( x ) ,
(10.1)
где E – модуль Юнга; I 
bh 3
– коэффициент, определяемый геометрией пластины;
12
P
x – изгибающий момент.
2
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение для формы пластины:
P 2
P
y ( x ) 
x , интегрируя которое, находим: y ( x ) 
x C .
2 EI
4 EI
Постоянную интегрирования C определим из условия равенства нулю наклона пластины в
PL 2
ее центре: y ( L 2 )  0 , откуда C  
. После второго интегрирования имеем:
16EI
Px 3 PL 2 x
y( x ) 

.
(10.2)
12 EI 16EI
Стрела прогиба d по модулю равна смещению середины пластины:
PL 3
d   y( L 2 ) 
, откуда окончательно:
4 Ebh 3
M (x ) 
E
PL 3
.
4dbh 3
(10.3)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Установить одну из исследуемых пластин 1 на призматические опоры 2 (см. рис. 10.2).
Установить часовой индикатор 3 таким образом, чтобы его наконечник коснулся
пластины.
Рис. 10.2. Схема установки.
2. Повесить на скобу 4 гирю 5 массой m. По шкале индикатора определить величину
прогиба. Для повышения точности повторить измерения 4-5 раз.
3. Повторить задание п. 2, увеличивая массу гири с помощью дополнительных грузов.
Всего провести измерения для 3-4 значений m.
4. Измерить штангенциркулем размеры пластины.
5. Вычислить модуль Юнга исследуемого вещества по формуле (10.3) при каждой массе
гири, затем найти среднее значение.
РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ
Из формулы (10.3) получаем для относительной погрешности определения модуля
Юнга при определенном значении массы гири:
2
2
2
2
2
E
 P 
 L   d   b 
 h 
 
  3
 
     3  .
E
 P 
 L   d   b 
 h 
Для среднего значения модуля Юнга:
 E 

 
 E  ср
2
N
1
 E 

 ,

N ( N  1) i 1  E  i
где N – число измерений.
(10.4)
Лабораторная работа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА С ПОМОЩЬЮ ПРУЖИННОГО
МАЯТНИКА
Цель работы – определение модуля сдвига материала пружины.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Сдвигом называется деформация, при которой все плоские слои твердого тела,
параллельные некоторой плоскости (плоскости сдвига), смещаются параллельно друг
другу (рис. 11.1). Сдвиг происходит под действием силы F, приложенной параллельно
плоскости сдвига BC. Мерой деформации при этом является угол сдвига  (относительный
сдвиг). По закону Гука относительный сдвиг пропорционален касательному напряжению:
F
    G ,
(11.1)
S
где S – площадь грани BC, G – модуль сдвига, численно равный касательному
напряжению, вызывающему относительный сдвиг, равный единице.
Рис. 11.1. Деформация сдвига.
Рис. 11.2. Геометрия пружины.
В данной работе определяется модуль сдвига материала, из которого изготовлена
винтовая пружина (рис. 11.2). Основными геометрическими параметрами пружины
являются диаметр проволоки d, диаметр витка пружины D и число витков N. Под
действием растягивающей силы F длина пружины L увеличивается согласно закону Гука
на величину
(11.2)
L  F k ,
где k – жесткость пружины. Направление действия силы при этом перпендикулярно
виткам, поэтому удлинение пружины определяется модулем сдвига и дается
соотношением
8FD 3 N
.
(11.3)
L 
Gd 4
Для определения модуля сдвига в работе используется пружинный маятник,
показанный на рис. 11.3. На штативе 1 установлен кронштейн 2 с узлом крепления
вертикально подвешенных сменных пружин 3. К пружине подвешивается наборный груз
4,. Измерение периодов колебаний груза производится с помощью фотодатчика 5.
Под действием сил тяжести и упругости пружины выведенный из положения
равновесия груз массой m совершает гармонические колебания с частотой   k m и
периодом T  2 m k , откуда для жесткости пружины получаем:
k
4 2 m
.
T2
(11.4)
Рис. 11.3. Схема установки.
Таким образом, измерив период колебаний и воспользовавшись формулами (11.2),
(11.3), (11.4) с F  mg , можно найти модуль сдвига:
32 2 D 3 Nm
.
G
T 2d 4
(11.5)
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Кронштейн 2 с вертикально подвешенной пружиной 3 закрепить на вертикальной
стойке 1 таким образом, чтобы наборный груз 4, подвешенный к пружине, своей
нижней плоскостью совпадал с оптической осью фотодатчика 5 (оптическая ось
совпадает с рисками на фотодатчике).
2. Оттянуть груз вниз и отпустить. При этом груз начинает совершать колебательные
движения на пружине. Измерить время t для n = 10…15 полных колебаний маятника.
Запуск и остановка секундомера осуществляется фотоэлектрическим датчиком. При
нажатии на клавишу “ПУСК “ начинается отсчет времени от момента прохождения
маятником положения равновесия. При нажатии клавиши “СТОП” секундомер
фиксирует длительность t целого числа колебаний на момент ближайшего во времени
прохождения маятником положения равновесия. Число колебаний фиксируется
специальным
индикатором.
Найти период колебаний T  t n . Повторить опыт 4-5 раз.
3. Повторить задание п. 2, увеличивая массу груза. Всего провести измерения для 3-4
значений m.
4. Измерить параметры пружины D, d, N.
5. Для каждого значения m вычислить модуль сдвига G(m) по формуле (11.5). Найти
усредненное значение G.