необычные свойства обычных клеток

XVII-я Всероссийская дистанционная ученическая конференция
Центр дистанционного образования «Эйдос»
НЕОБЫЧНЫЕ СВОЙСТВА ОБЫЧНЫХ КЛЕТОК
Математика, исследовательская работа.
Сабитова Дарья, 7 класс , МБОУ «Комсомольская СОШ»
Тукаевского района РТ, ismakaeva1997@yandex.ru/
Руководитель - Гайнеева Дилузя Фаткылкадировна ,
учитель математики МБОУ «Комсомольская СОШ»
Тукаевского района РТ, M172172@yandex.ru
www.matematik1963.jimdo.com
Я выбрала эту тему, потому что с вычислениями площадей фигур буду часто
сталкиваться в повседневной жизни и при сдаче ЕГЭ.
Цели: Более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики –площади фигур,
найти более рациональные (легкие) способы вычисления площадей фигур, нарисованных на
клетчатой бумаге, создание условий для непрерывного самообразования, интеллектуального
и творческого развития.
Задачи: изучить теоретический материал по данной теме, изучить литературные источники,
проанализировать вычисление площадей треугольников и прямоугольников старыми и
новыми способами, доказать что исследованный способ подходит для всех фигур
нарисованных на клетчатой бумаге.
Проблема: Вычисление и измерение площадей фигур является одной из очень нужных тем
в геометрии. Я думаю, что с этой проблемой буду очень часто сталкиваться в быту. Я умею
вычислять площади прямоугольников и треугольников. Но ведь не все фигуры являются
только треугольником, или прямоугольником. В силу своей любознательности я увидела,
как старшеклассники с трудом вычисляют площади некоторых многоугольников (их они так
называют).
Гипотеза: Существуют формулы за пределами школьных учебников для вычисления
площадей многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.
Практическая значимость: Экономия времени при вычислении площадей сложных фигур,
различных многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге.
Центр дистанционного образования «Эйдос», 2014
www.eidos.ru; e-mail: projects@eidos.ru
XVII-я Всероссийская дистанционная ученическая конференция
Содержание
Возьмем клетчатую бумагу. Назовем линии идущие по сторонам клеток - сеткой, а
вершины клеток – узлами. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах
(рисунок1) и найдем его площадь. Искать ее можно по – разному. Например, можно
разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площади и сложить. Но
это очень кропотливая и долгая работа.
Я поступила так: дополнила фигуру до прямоугольника АВСД
и вычла ее из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура
легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные
треугольники, и ее площадь вычисляется без усилий.
Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для
вычисления его площади мне пришлось изрядно потрудиться. А если бы многоугольник
выглядел более причудливо? Оказывается, площади многоугольников, вершины которых
расположены в узлах сетки, можно вычислить гораздо проще: есть формула, связывающая
их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта
замечательная и простая формула называется формулой Пика.
Связь между площадью фигуры и количеством узлов, попавших в эту фигуру, особенно
ясно видна в случае прямоугольника.
Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в
узлах и сторонами, идущими по линиям сетки
(рисунок 2). Обозначим через Х количество узлов
(белые точки) , лежащих внутри прямоугольника ,а
через У – количество узлов на его границе(черные
точки). Я сместила сетку на полклетки вправо и
полклетки вниз. В этом случае прямоугольник
можно «распределить» между узлами так: каждый
из Х узлов берет целую клетку смещенной сетки, каждый из У берет на себя 4 граничных
неугловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Нетрудно
заметить, что площадь прямоугольника ABCD равна Х+(У-4):2 + 4*0,25(четверт) = Х+У:2-1.
Таким образом, я установила формулу для прямоугольника нарисованного на клетчатой
бумаге S=Х+У:2-1. Это - формула Пика.
Заметим, что площадь треугольника равна 7*5=35. А теперь вычислим ее по формуле
S=24+24:2-1=35.
А теперь докажем что эта формула подходит для прямоугольного треугольника с
вершинами в узлах сетки и катетами, лежащими на линиях сетки.
Центр дистанционного образования «Эйдос», 2014
www.eidos.ru; e-mail: projects@eidos.ru
XVII-я Всероссийская дистанционная ученическая конференция
В
С
Треугольник АВС достроим до прямоугольника АВСД (рисунок
3). Для прямоугольника формула Пика верна. Так как
прямоугольник состоит из равных треугольников, то площадь
треугольника АВСД равна 2 умножить на площадь треугольника
АВС:
А
Д
SABCD =2*SABC
Значит формула Пика верна для прямоугольного треугольника.
Посмотрим, верна ли эта формула для любого треугольника! Рассматривая рисунок 4,
легко понять : любой такой треугольник можно получить «отрезав» от
некоторого прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки ,
несколько прямоугольников и прямоугольных треугольников с катетами на
линиях сетки . А так как формула Пика верна для прямоугольников и
прямоугольных треугольников , то она верна и для исходного
треугольника.
Вычислим площади нескольких произвольных многоугольников , применяя формулу
Пика.
1. Решение:
Целочисленные точки внутри многоугольника
В = 21.
Целочисленные точки на границе многоугольника
Г = 5.
Применяем формулу: 21 + 5:2 – 1 = 22,5.
2.
Решение:
Целочисленные точки внутри многоугольника В = 1.
Целочисленные точки на границе многоугольника Г = 10.
Применяем формулу: 1 + 10:2 – 1 = 5.
Проведенные мной исследования помогли убедиться в правильности выдвинутой гипотезы:
я доказала, что существуют формулы для вычисления площадей многоугольников , если
многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки.
Центр дистанционного образования «Эйдос», 2014
www.eidos.ru; e-mail: projects@eidos.ru