Подготовка к ГИА по математике &quot

Подготовка к ГИА по
математике
Числовые последовательности
Сатиева Аида Мунибовна
2012
1
ПЕРМЬ
Содержание
1. Спецификация КИМов для проведения в 2013 году ГИА по математике.
1.1 Кодификатор элементов содержания.
1.2 Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся.
2. Теоретическая часть. Числовые последовательности.
2.1 Арифметическая прогрессия.
2.2 Геометрическая прогрессия.
3. Практическая часть. Конспект занятий «Подготовка к ГИА по математике.
Числовые последовательности».
Литература.
2
1.Спецификация КИМов для проведения в 2013 году ГИА по математике
1.1 Кодификатор элементов содержания.
1) Понятие последовательности.
2) Арифметическая и геометрическая прогрессии.
3) Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической
прогрессии.
4) Формула суммы первых нескольких членов арифметической
прогрессии.
5) Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической
прогрессии.
6) Формула суммы первых нескольких членов геометрической
прогрессии.
1.2 Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся.
1) Решать элементарные задачи, связанные с числовыми
последовательностями.
2) Распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать
задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких
первых членов.
3
2. Теоретическая часть. Числовые последовательности.
Будем вписывать в порядке возрастания положительные четные числа.
Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6,четвертое 8 и т.д. Получим
последовательность
2; 4; 6; 8;... .
Ясно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10,
на десятом – число 20, на сотом – число 200. Вообще для любого
натурального числа n можно указать соответствующие ему положительное
четное число; оно равно 2n.
Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в
порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;… .
2 3 4 5 6
Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую
дробь, стоящую в этой последовательности на n-м месте; она равна
1
1
7
30
как, на шестом месте должна стоять дробь , на тридцатом – дробь
1
1001
1
. Так
𝑛+1
, на тысячном
.
Числа,
образующие
последовательность,
называют
членами
последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами
с индексами, указывающими порядковый номер члена, например a1, a2, a3, a4
и т. д. (считают: «а первое , а второе , а третье , а четвертое» и т. д) Вообще
член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член
последовательности, обозначают аn.
Саму последовательность будем
обозначать так: ( аn).
4
2.1 Арифметическая прогрессия.
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый
член которого, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним
и тем же числом. Это число называется разностью арифметической
прогрессии, и обычно обозначают буквой d.
1) Если аn есть n–й член, d-разность и Sn– сумма первых членов
арифметической прогрессии, то
d=an+1 – an, an=a1+d(n-1),
Sn =
(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛
2
, Sn =
(2𝑎1+𝑑(𝑛−1))𝑛
2
.
Арифметическая прогрессия возрастает, если d>0, и убывает, если d<0.
2) Если ak, al, am, an – члены арифметической прогрессии с такими же
номерами, что k+l =m+n, то ak+al=am+an.
3) Каждый член арифметической прогрессии, отличный от первого и
последнего, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+1
an =
2
5
.
2.2 Геометрическая прогрессия.
Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый
член которого, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на
одно и тоже число. Это число называется знаменателем геометрической
прогрессии, и обычно обозначают буквой q.
1) Если bn есть n–й член, q-знаменатель и Sn– сумма первых членов
геометрической прогрессии, то
q=
Sn=
𝑏𝑛+1
𝑏𝑛
, bn = b1qn-1,
𝑏1(𝑞𝑛−1)
𝑞−1
, q не равен 0.
2) Если bk, bl, bm, bn – члены геометрической прогрессии с такими же
номерами, что k+l =m+n, то bk∙bl=bm∙bn.
3) Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, отличный от первого
и последнего, равен произведению соседних с ним членов:
bn2 = bn-1∙bn+1
6
3. Практическая часть. Конспект занятия «Подготовка к ГИА по
математике. Числовые последовательности».
Цель: научить учащихся самостоятельно, пользуясь теоретическим
материалом, находить способы решения задач.
Задачи:
1. Формировать умения решать элементарные задачи, связанные с
числовыми последовательностями.
2. Научить распознавать арифметические и геометрические прогрессии;
решать задачи с применением формулы общего члена и суммы
нескольких первых членов.
3. Развивать
умения
пользоваться
образовательными
ресурсами
Интернет.
Занятие №1
Деятельность
учащихся
Деятельность учителя
Сообщение цели и задач занятия.
Запись темы занятия.
Учитель предлагает учащимся познакомиться с
информационным модулем «Числовые
последовательности» и выполнить задания модуля.
http://fcior.edu.ru/card/5280/ponyatieposledovatelnosti-svoystva-sposoby-ee-zadaniyai1.html
Предлагает решить задание №1:
Дана арифметическая прогрессия 1;7;13;.. . Найдите
сумму первых шести её членов.
- Какую формулу мы должны вспомнить, чтобы
решить задание?
- Правильно. Для этого откройте модуль
http://fcior.edu.ru/card/5510/summa-n-pervyh-chlenovarifmeticheskoy-progressii-i1.html
и найдите формулу суммы n первых членов.
7
Знакомство с модулем
и выполнение заданий.
- Формулу суммы n
первых членов
арифметической
прогрессии.
Учащиеся работают с
модулем.
(𝑎₁+𝑎𝑛)𝑛
Sn=
2
- Нет.
-Эта формула достаточна, для решения данной
задачи?
- Почему?
- По какой формуле?
- Надо найти а6 по
формуле:
аn=а1+d (n-1)
- Нет. Надо найти d по
формуле:
d= аn+1- аn
d= 7-1=6
-Да.
а6=1+6×5=31
S6=96
- Все значения нам известны в этой формуле?
-Сейчас можно решить задачу?
Учитель предлагает решить дополнительные
задания:
1) Дана арифметическая прогрессия – 8, - 4; 0; …
Найдите сумму первых семи её членов.
2) Какое из чисел является членом
последовательности аn=n2+2n-1
1) 1 2) 2
3)3
4)4
3) Арифметическая прогрессия задана
условиями с1=3, сn-1=cn – 2. Найдите с7.
4) Выписано несколько последовательных
членов арифметической прогрессии:
…;6;x;10;12;…Найдите член прогрессии,
обозначенный буквой x.
Занятие №2
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Сообщение цели и задач занятия.
Запись темы занятия.
Предлагает решить задание №2:
Дана геометрическая прогрессия 3;6;12;.. .
Найдите сумму первых десяти её членов.
Рассуждают аналогично
задаче №1, работают с ЦОР
8
http://schoolcollection.edu.ru/catalog/rubr/73bc
8240-49f3-44c6-8991a547d457a20f/112772/?interface=pu
pil&class=51&subject=17
http://schoolcollection.edu.ru/catalog/rubr/73bc
8240-49f3-44c6-8991a547d457a20f/112773/?interface=pu
pil&class=51&subject=17
Предлагает решить задание №3:
Три последовательности, среди которых есть
арифметическая прогрессия и геометрическая
прогрессия заданы несколькими первыми
членами. Укажите для каждой
последовательности соответствующее ей
утверждение.
1 2 3 4
А. ; ; ; ;…..
2 3 4 5
Б. 1; 4; 7; 10;…
В. 8; 4; 2; 1;…
1) последовательность является
арифметической прогрессией.
2) последовательность является
геометрической прогрессией.
3) последовательность не является ни
арифметической, ни геометрической
прогрессией.
- Какие знания необходимы, чтобы решить
данное задание?
- Предлагает поработать с модулем
http://fcior.edu.ru/card/1997/opredelenie-arifmeticheskoyprogressii-svoystvo-arifmeticheskoy-progressii-i1.html.
и ЦОР http://schoolcollection.edu.ru/catalog/rubr/73bc8240-49f3-44c6-8991a547d457a20f/112772/?interface=pupil&class=51&subject=17
- Как решить задание?
Что такое арифм. и геом.
прогрессии.
Знакомятся с
образовательными
ресурсами.
Найти разности и
знаменатели
последовательностей и
определить вид прогрессии.
Учитель предлагает решить дополнительные
задания:
1) Геометрическая прогрессия задана
условиями b1=2, b n+1=2bn. Какое из
данных чисел является членом этой
прогрессии?
1)1
2)36 3)32 4)24
2) Выписано несколько последовательных
членов геометрической прогрессии: …;24;x;6;
-3;…Найдите член прогрессии, обозначенный
9
А
3
Б
1
В
2
буквой x.
1) 12 2) - 16 3)-12 4)10
3)Чему равен знаменатель геометрической
прогрессии, если её второй член равен 12, а
пятый – 324?
1) 9 2) 6 3)3 4)4
Литература
1) УМК «Математика. Подготовка к ГИА-2013». Под редакцией Ф.Ф.
Лысенко, С.Ю. Кулубахова. Изд-во: Ростов-на-Дону, 2012.
2) Учебник «Алгебра - 9 класс». Под редакцией С.А.Теляковского. Издво: М: «Просвещение», 2009.
3) 3000 задач с ответами по математике. Под редакцией А.Л.Семенова,
И.В.Ященко. Изд-во: «Экзамен» Москва, 2013.
4) Образовательные ресурсы Интернет:
http://school-collection.edu.ru/collection/
http://fcior.edu.ru/
10