09-10-01

Тема 10. Предел последовательности
В этой теме Вы познакомитесь с понятием предела числовой последовательности, которое
позволит, в частности, вычислять площади некоторых бесконечных плоских фигур и
находить сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q ,
удовлетворяющим условию 0  q  1 . Будет рассмотрена также связь обыкновенных
дробей с бесконечными десятичными дробями и показано, что все действительные числа
можно мыслить как пределы последовательностей рациональных чисел.
09-10-01. Примеры последовательностей
Теория
1.1. Допустим, что Вы из дома отправились в школу, делая последовательно
одинаковые шаги: сначала десять шагов вперед, затем десять шагов назад, затем снова
десять шагов вперед, затем снова десять шагов назад, и так далее. Вполне понятно, что
при таком способе движения попасть в школу невозможно. Более того, нет ни одного
определенного места, к которому бы Вы при этом приближались: оказавшись около
какого-то места, через некоторое время Вы будете от него в нескольких шагах.
Рассмотренную последовательность шагов можно представить в виде числовой
последовательности, задавая, например, расстояние до дома от того места, где Вы
находитесь. Если считать, что длина шага равна 1 м, то указанная последовательность
(an ) будет иметь вид:
a1  0 a2  1 a9  10
a10  9 a19  0 a20  1
Эта числовая последовательность, рассмотренная для всех натуральных номеров,
является примером бесконечной числовой последовательности, которая не имеет предела
или, как иногда говорят, эта последовательность расходится.
1.2. Возьмем длинный брусок, от которого нужно отпилить ровно третью часть, и
некоторую небольшую мерку. Отметим эту мерку один раз с левого конца бруска и два
раза с его правого конца. Затем еще один раз отметим мерку с левой отметки и два раза с
правой отметки примерно так, как на рисунке 1. Продолжим этот процесс до тех пор, пока
оставшийся промежуток между отметками не будет меньше длины трех мерок.
После этого возьмем маленькую мерку и в оставшемся промежутке аналогично будем
ее отмечать по одному разу с левого края отметок и по два раза с правого края до тех пор,
пока оставшийся промежуток между отметками не будет меньше длины трех маленьких
мерок.
После этого можно взять совсем маленькую мерку и в оставшемся промежутке
аналогично отмечать ее по одному разу с левого края отметок и по два раза с правого края
до тех пор, пока оставшийся промежуток между отметками не будет меньше длины трех
последних мерок.
Теоретически намеченный процесс можно продолжать дальше, выбирая все меньшие
и меньшие мерки.
На практике после выбора двух-трех мерок получается очень маленький зазор между
двумя последовательными отметками, что позволяет наметить распил именно в нужном
месте.
Заметим, что слева и справа мы отмеряли участки пропорционально: слева всегда в 2
раза меньше, чем справа. Поэтому общая длина отмеренной слева части бруска будет в 2
раза меньше общей длины отмеренной справа части бруска. Следовательно, отпиливаемая
часть бруска приблизительно равна 13 от всего бруска.
Рассмотренные
замеры
можно
представить
в
виде
двух
числовых
последовательностей ( an ) и (bn ) , где an — это длина левой отмеренной части бруска, а
bn — это длина правой отмеренной части бруска на шаге с номером n . Бесконечная
последовательность ( an ) является примером числовой последовательности, которая
имеет предел или сходится к числу 13 L , где L –длина всего бруска.
Аналогично бесконечная числовая последовательность (bn ) имеет пределом число
2
, то есть сходится к 23 L .
3 L
1.3.** Рассмотрим прямоугольник ABA1 B1 со сторонами 12 5 и 1 в некоторых
единицах измерения. Отрежем от него квадрат, как на рисунке 2. После этого останется
прямоугольник со сторонами 1 и 521 . Так как 12 5  1  1  521 , то прямоугольник A1B1 A2 B2
начальному прямоугольнику ABA1 B1 .
Отрежем от прямоугольника A1B1 A2 B2 квадрат, как на рисунке 3. После этого
останется прямоугольник B1 A2 B3 A3 , подобный начальному прямоугольнику ABA1 B1 .
Отрежем от прямоугольника B1 A2 B3 A3 квадрат, как на рисунке 4. После этого
останется прямоугольник A2 B3 A4 B4 , подобный начальному прямоугольнику.
Отрежем от прямоугольника A2 B3 A4 B4 квадрат, как на рисунке 5. После этого
останется прямоугольник B3 A4 B5 A5 , подобный начальному прямоугольнику.
После следующего отрезания квадрата от прямоугольника B3 A4 B5 A5 останется
прямоугольник A4 B5 A6 B6 , и так далее.
Оказывается, что последовательность точек
A B A1 B1 A2  B2  A3  B3 
приближается к некоторой предельной точке M в том смысле, что расстояния An M и
Bn M с некоторого момента меньше любого сколь угодно малого положительного числа.
Контрольные вопросы
1.Что называется числовой последовательностью?
2. Что такое общий член последовательности?
3. Как образуется последовательность чисел Фибоначчи?
4. Какую последовательность называют конечной?
Задачи и упражнения
1. Рассмотрите последовательность (an ) и определите, имеет ли она предел или нет:
а) an  1n ;
б)  an 
г)  an  n ;
n
n 1
;
д) an  21n ;
в) an  (1) n ;
е)  an  ( n1) .
n
2.* Для какой дроби указанная последовательность является последовательностью
десятичных приближений по недостатку:
а) 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333;...
б) 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999;... ?
3.* Для какой дроби указанная последовательность является последовательностью
десятичных приближений по избытку:
а) 0,5; 0,05; 0,005; 0,0005;...
б) 0,02; 0,012; 0,0112; 0,01112;... ?
4.** Чему может быть равен предел последовательности:
1; 1 12 ; 1 12  14 ; 1 12  14  18 ; ... ?
5.** Пусть an  { 2n} , где {x} обозначает дробную часть числа x .
2  1 , либо
б) Может ли последовательность ( an ) иметь предел?
а) Покажите, что разность an1  an равна либо
2  2.
Ответы и указания
Задача 1. Рассмотрите последовательность ( an ) , где n  1 2… и определите,
существует ли в каждом из случаев такое подходящее число a , что, начиная с
некоторого момента, различие между этим числом
и элементами
a
1
последовательности может стать заведомо меньше 1 , меньше 10 , меньше 102 , ...
,меньше 10  k , ... :
а) an  1n ; б)  an  nn1 ; в) an  (1) n ;
г)  an  n ; д) an  21n ;
Указание. а) Для an 
1
n
е)  an  ( n1) .
n
и числа a  0 имеем  an  a  10 k , если n  10k ;
б)  для an  nn1 и числа a  1 имеем  an  a  n11 ;
в) такого числа не существует;
г)  для an  n значения могут быть больше любого выбранного числа;
д) для an 
1
2n
и числа a  0 имеем  an  a  1n ;
е)  для an  ( n1) и числа a  0 имеем  an  a  1n .
n
Задача 4  . Чему может быть равен предел последовательности: 1 ; 1 12 ; 1 12  14 ;
1 12  14  18 ; ... 
Указание. Для заданной последовательности имеем: a1  1 ; a2  1 5 ; a3  1 75 ; a4  1 875 ;
a5  1 9375 ; a6  1 96875 . Глядя на этот результат, можно предположить, что члены
этой последовательности при больших номерах мало отличаются от числа 2. Это на
самом деле так, потому что an  2  21n .
Задача 5  . Пусть при n  1 2 ... члены последовательности an заданы формулой
an  { 2n} , где {x} обозначает дробную часть числа x .
а) Покажите, что разность an1  an равна либо 2  1 , либо 2  2 .
б) Может ли последовательность ( an ) сколь угодно близко приближаться к некоторому
числу?
Указание. а) Пусть 2n  p   , 2(n  1)  q   , где p и q – натуральные числа,
0    1 , 0    1 . Тогда an   , an1   и an1  an      2  (q  p) . Так как
1      1 , то 1  2  (q  p)  1 . Это возможно только тогда, когда q  p равно
либо 1, либо 2.
б) Не может, так как если предположить, что с какого-то момента an близки к числу a
с точностью
результата.
1
10
, то  an1  an  102 . Однако, это невозможно в силу предыдущего