Формула преобразования волновой функции

Сведение уравнения общей теории относительности к волновому уравнению
Северо-Западный Государственный Заочный Технический университет
Санкт-Петербург, Миллионная, д.5,
E -mail Yakubovski@rambler.ru
Статья поступила:
, подписана в печать
При малых поправках к тензору Галилея уравнение общей теории относительности
сводится к волновому уравнению. При произвольной энергии модифицированное
уравнение общей теории относительности является волновым, но с калибровочной
производной. Оно обобщает уравнение Максвелла, причем в микромире описывает
поля сильного, слабого, электромагнитного и гравитационного взаимодействия,
используемые в стандартной модели. Оказалось, что при движении электрона в
водородоподобном атоме стационарным орбитам соответствует минимум энергии.
Причем метрический тензор в микромире оказался периодической колеблющейся
величиной, что описывает метрические свойства пространства микромира.
Ключевые слова: общая теория относительности, волновое уравнение, метрический
тензор
УДК 539.1
PACS number: 04.20.-q, 41.20.-q, 95.35.+d
Flattening the equations of general relativity to the wave equation
Equations general theory of relativity is wave equation, when small amendments to the
Galileo tensor. When free-energy modified general equation theory of relativity is a wave,
but with calibrations derivative. It summarizes Maxwell's equation, which describes a field
of strong, weak, electromagnetic and gravitational interaction used in standard model. It
turned out that when driving electron in atom have stationary orbits, corresponds to a
minimum energy. Metrics tensor was appeared the periodic vibrating value that describes
the metric the properties of space of the microcosm.
Key the words: general theory of relativity, wave equation, metrics tensor
Уравнение
общей
теории
относительности
путем
добавки
членов,
стремящихся к нулю, при массе частицы стремящейся к бесконечности, может
описывать процессы микромира. Поэтому актуально ее представление в виде
волнового уравнения, которое описывает свойство микромира. В частности имеется
возможность описать поля стандартной модели с помощью общей теории
относительности. Это описание является обобщением полей стандартной модели на
высокие энергии.
Уравнение общей теории относительности имеет вид (см.[1])
Rik 
8
1
(Tik  g ik T ) ,
4
2
c
2
Rik – свернутого тензора Риччи кривизны пространства, Tik тензор энергииимпульса единицы объема тела. Запишем его в виде
g pq  2 g ik
g pq  2 g ik
8
1
(1)

R

 4 (Tik  g ik T ) .
ik
p
q
p
q
2 x x
2 x x
2
c
Где выделен главный волновой член, при малом отличии метрического тензора от
тензора Галилея сумма второго и третьего члена в левой части формулы (1), мала.
Запишем калибровочное волновое уравнение
g pq n 

8
1
( i
 Pipn )( km q  Pkqm ) g nm  4 (Tik  g ik T ) .
p
2
2
x
x
c
n
m
Где Pip , Pkq неизвестные функции, которые если их определить, делают уравнение
общей теории относительности волновым. Распишем это уравнение
g
g pq  2 g ik

8
1
(2)
( p q  Pipn nkq  p Pkqm g im  Pipn Pkqm g nm )  4 (Tik  g ik T ) .
2 x x
2
x
x
c
g nk
Воспользовавшись формулой
 n,kq  k ,nq , и опустив индекс третьего и
x q
четвертого члена левой части (2), получим
g pq  2 g ik
g pq n
g pq Pi ,kq 8
1

Pip (n,kq  k ,nq  Pn,kq ) 
 4 (Tik  g ik T ) .
p
q
p
2 x x
2
2 x
2
c
Приравняем два выражения
g pq  2 g ik
g pq ns
g pq Pi ,kq
.
Rik 

g
P
(




P
)

s ,ip
n , kq
k , nq
n , kq
2 x p x q
2
2 x p
Откуда определим величины Pn,ip через величины x p , p  0,....,3 . Т.е. имеем систему
из 64 неизвестных при 16 уравнениях. Определим 16 неизвестных Gik по формуле
Pi ,kq  Gik i ,kq , и подставим в дифференциальное уравнение. Это один из видов
калибровки волнового уравнения. Тогда система дифференциальных уравнений
разбивается на систему из 16 уравнений, каждое из которых содержит частные
производные первого порядка относительно Gik . При этом 48 неизвестных окажутся
определенными. Решаем эту систему дифференциальных уравнений методом
характеристик. Оно сводится к системе 16 уравнениям в частных производных
первого порядка, где в каждом уравнении имеется частная производная от одной
функции
Gik
g pq i ,kq
 H ik (Guv , x p ) .
x p
где имеем характеристики
dx pik
(3)
 g pq i ,kq .
ds
Тогда
подставляя
уравнение
характеристик,
получим
обыкновенное
дифференциальное уравнение
dGik
(4)
 H ik (Guv , x p )
ds
Решая эти дифференциальные уравнения характеристик (3),(4) при начальных
условиях, зависящих от трех параметров, получим 16 решений
x p  g pik ( s, s1 , s 2 , s3 )
Gik  hik (s, s1 , s 2 , s3 )
Или получаем зависимость Gik  Gik ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 ) . Значит, знаем значение тензора
Pn,kq ( x l ) и имеем волновое уравнение
3
g pq n m
8
1
Dip Dkq g nm  4 (Tik  g ik T )
2
2
c
.
(5)
n
n 
n
q
n 
ns
q
Dip   i
 Pip ( x )   i
 g Ps ,ip ( x )
x p
x p
Где справа в уравнении (5) стоит дельта функция точечной частицы. Величина
метрического тензора g nm играет роль потенциала.
Итак, уравнение общей теории относительности имеет вид волнового
уравнения с калибровочной инвариантностью, где можно произвольно задавать 48
параметров матрицы  i,kq в формуле Pi ,kq  Gik  i ,kq . При этом вид этой матрицы не
скажется на физических процессах описываемых уравнением общей теории
относительности, так как уравнение общей теории относительности не изменилось.
При этом во внешнем пространстве надо использовать матрицу  i ,kq  i ,kq с
тензором g i k  g ik для получения действительного метрического тензора, а во
внутреннем пространстве для получения комплексного, не сопряженного при
перемене индексов метрического тензора, надо использовать матрицу g i k .
Определение метрического тензора с отрицательными индексами будет описано в
дальнейшем.
При этом имеется 32 глюонных полей Ga , a  1,...,8,   0,...,3 по числу
генераторов группы SU (3) c , двенадцать калибровочных поля Vi , i  1,...,3,   0,...,3
группы SU (2) w по числу генераторов этой группы. Четыре
поля B ,   0,...,3
группы U (1)Y . Поля для внешности частицы и для ее внутренней части поля
различны. Во-первых, это следует из эксперимента, во-вторых, решение
Шварцшильда имеет резкую границу, равную гравитационному радиусу, которое
проявляется в отличии внутренних и внешних полей. Эти заданные поля определят
тензор Pi ,kq  i ,kq , так как эти поля соответствуют метрическому тензору общей
теории относительности.
Для получения зависимости метрического тензора от этих полей исследуем
уравнение общей теории относительности. Гравитационную массу представим, как
 m , где  это гравитационная постоянная, и введем дополнительный множитель
[1  iq /( m  )][1  iq /( m  )]  1  q 2 /( m 2 )
в
уравнение
общей
теории
относительности, учитывающий квантовые эффекты, причем этот множитель
зависит от расстояния до ядра, где величина q имеет размерность заряда.
Для описания остальных видов взаимодействия надо в множитель, на который
умножаем уравнение общей теории относительности, ввести дополнительно
константы электрослабого взаимодействия
1  q 2 /( m 2  )  [m 2   e 2  m Pl2  (r )  ( g 2  g  2 ) (r )] /( m 2  )
 (r )  exp( 2  rb / r  r / rb ),
.
(6)
 (r )  exp[ rl / rl  rl / rl  rl /( r  rl )  (r  rl ) / rl ]
Величина rb , rl  rl радиус действия ядерного потенциала и электрослабого
взаимодействия. Величины e, mPL это заряд электрона и масса Планка. Величины
4
g , g  это калибровочные константы связи, остальные константы определены выше.
Величина m это масса частицы. Формулы  (r ),  (r ) устроены таким образом, что в
центре взаимодействия они равны единице. Радиус сильного взаимодействия rb
совпадает с размером частицы и является его радиусом черной дыры или
гравитационный
rg  rb 
радиус,
и
для
водорода
определяется
по
формуле
2mPl2
2

~ 1.3  10 13 cm , где mq  550me , т.е. 550 масс электрона. Это
2
m
c
mq c
q
часть энергии кварков, приходящаяся на взаимодействие между ними. Добавка к
радиусу сильного взаимодействия за счет слабого взаимодействия равна
4 em 
2( g 2  g  2 )
rl 

 4 /(137  0.231  3  1010  8  10 4  2)  2.6  10 17 cm .
2
2
mv c
sin W mv c
где для энергии взаимодействия используется масса промежуточного бозона c
большой
энергией
mv c 2 ,
величина
 em
это константа
электромагнитного
взаимодействия. Величина  w это слабый угол смешивания. Расстояние, на которое
распространяется влияние слабого
взаимодействия
2rl  0.52  10 16 cm .
Как
покажем в дальнейшем, внутри ядра имеются поля слабого взаимодействия и
поэтому слабое взаимодействие осуществляется в ядре атома. Существуют три
разновидности  распада. При  распаде из ядра удаляется один электрон, нейтрон
ядра превращается в протон и испускается антинейтрино. Может испускаться
позитрон, и может происходить захват ядром К электрона.
Находит свое объяснение странные частицы. Странные частицы рождаются при
сильных взаимодействиях, а распадаются при слабых взаимодействиях. Дело в том,
что поля сильного взаимодействия комплексные, а слабого действительные. При
этом комплексные поля могут превратиться в действительные, рождая странные
частицы, а поля действительные обратно в комплексные не превращаются, т.е.
распад частиц происходит в результате слабого взаимодействия.
Уравнения общей теории относительности запишутся в виде
Rik 
8
q2
1
(
1

)(Ti k   ik T ) .
4
2
2
c
m
При величине массы, удовлетворяющей условию m   , получим стандартное
уравнение общей теории относительности. Причем гравитационный радиус имеет
размер, соответствующий размерам квантовой механики. Это необходимо при
5
использовании метрического тензора, чтобы он имел характерный размер,
соответствующий размерам длины волны элементарных частиц.
Построим, метрический тензор общей теории относительности по функции
Лагранжа для малых скоростей в случае электромагнитного и гравитационного поля.
Функция Лагранжа для электромагнитного и гравитационного поля, равна
L  mc 2 1  V 2 / c 2  eAiV i / c  mU ,
где
четырехмерная
скорость
при
малой
скорости
движения
V i  (1,V  / c),   1,...,3; i  0,...,3 . Вводя вместо заряда e
тела
равна
комплексный заряд
ie  m  , получим
L  mc 2 1  V 2 / c 2  (ie  m  ) AiV i / c ,
где гравитационный потенциал U входит в потенциал A0 . При этом имеем
S  mc ds   Ldt ,
откуда получим
ds  [ 1  V 2 / c 2  (ie  m  ) AiV i /( mc 3 )]cdt . Мнимый заряд
является естественным обобщением формулы (6), так как его использование в
сочетании с формулой (6), приводит к волновому уравнению с мнимым зарядом в
правой части, которое следует из уравнения общей теории относительности.
Введение мнимого заряда позволяет единым образом описать отталкивание зарядов
одного знака и притяжение гравитационных масс. При таком определении
статический закон взаимодействия зарядов и масс будет одинаков. Кроме того,
заряды и массы подчиняются одинаковым волновым уравнениям. Значение
элементарного заряда e гораздо больше массы элементарных частиц m  , и
поэтому массы не проявляют излучающих свойств.
Поэтому считается, что в
волновом уравнении временной член для уравнения относительно гравитационного
поля равен нулю.
У метрического тензора один из двух индексов сделаем отрицательный. Это
позволит для диагональных элементов получать комплексные значения, которые при
перестановке индексов соответствуют комплексно сопряженному значению. При
перестановке индексов для не диагональных элементов тоже получаем комплексно
сопряженное значение. При изменении всех знаков индексов тоже получаем
комплексно сопряженное значение. При этом отметим, что квадратичная форма,
полученная из этих комплексных метрических тензоров действительна
ds 2  g ik dx i dx k  ( g i k  g  k i )dx i dx k  ( g i k  g * i k )dx i dx k ,
6
для
метрического
тензора,
соответствующему
электромагнитному
и
гравитационному полю специальной теории относительности, описывающей
инерционную систему отсчета при малых скоростях движения, получим
g  0, 0
ie  m  A0
 0.5 
m
c2
g  , 0  g  0,  
g 0, 0
ie  m  A
m
c2
 ie  m  A0*
 0.5 
m
c2
g 0,   g  , 0 
 ie  m  A*
m
c2
g    0.5,   1,2,3
0
отметим, что в данных формулах индексы
и  0 отличаются, как если бы
вместо нуля стояла другая целая цифра.
При этом для вспомогательного тензора энергии-импульса для материальных тел с
учетом отрицательных индексов имеем Pi k  c 2 u i u k / 2 ,  плотность массы тела,
откуда T00  c 2 / 2 , T0  c 2V  /( 4c) . Деление на 2 величины P0 основано на
равенстве Pi k  Ti k  Tki , i  k при малых скоростях движения. Тогда имеем из
уравнения общей теории относительности (1)
R
0
0
8
e2
 2 (1  2 )T00 / 2
c
m
R

0
8
e2
 2 (1  2 )T0
c
m
,
или опуская верхние индексы для не релятивистского случая, получим
 
R 0, 0  2 (e 2  m 2 ) (r  r0 ) / m
 
R , 0  2 (e 2  m 2 )V  (r  r0 ) /( mc)
и так как
1
1 2
выполняется Ri ,  k  [  2 2 ] i ,  k , где  i ,  k малая поправка к
2
c t
метрическому тензору Галилея, получим R0, 0  (  1 / c 2  2 / t 2 )(ie  m  ) /( 2m) .
Итак,
имеем
и
уравнение
для
тензора
R , 0  (A  1 / c 2  2 A / t 2 )(ie  m  ) /( 2m) , получим
 2 
 
 4 (ie  m  )V / c (r  r0 )
2
2
c t
,
 2 0
 
 0  2 2  4 (ie  m  ) (r  r0 )
c t
 
т.е. нерелятивистское уравнение для электромагнитного и гравитационного поля
следует из релятивистского уравнения при малых скоростях.
7
Введение понятия мнимого заряда и влияния электромагнитного поля на
гравитационные массы позволяет описать движение космических кораблей,
приближающихся к Земле не вдоль экватора. Было измерено см.[2] дополнительное
ускорение космических объектов, которое можно объяснить влиянием магнитного
поля на полюсах Земли на массивные тела на больших высотах.
При этом для величины силы, действующей на массу в магнитном поле, имеем
следующее значение в системе Си

F   m 0 [V, H] ,
где V скорость движения тела. При этом ускорение при напряженности поля
H  40A/ì равно
a   0VH ,
и направлено перпендикулярно скорости и напряженности поля H . За характерное
время нахождения в поле тяготения Земли 2 Re / V , где Re радиус Земли, тело
приобретет боковую скорость
V    0 2Re H  10 5  4  10 7  2  6  106  40  6 10 3 m / sec  6mm / sec
что соответствует экспериментальным данным [2], добавка
скорости порядка
величины îò 1 äî 13mm / sec . Отметим, что эта добавка максимальна, когда огибается
полюс. При этом напряженность магнитного поля направлена вдоль радиуса и,
следовательно, ортогональна скорости движения. В случае круговой орбиты,
проходящей через полюс, влияния двух полюсов компенсируются. В случае
вращения тела вдоль экватора магнитное поле определяет силу, действующую по
направлению
радиуса
и
создающую
дополнительное
центростремительное
ускорение. Отметим, что разброс в экспериментальных данных приращения
скорости объясняется не стабильным магнитным и электрическим полем Земли на
больших высотах разные время суток и в разное время года.
При этом метрический тензор для четырех компонент калибровочных полей для
низкоэнергетического предела для внешности частицы, выглядит так
ie  m  Z k
ie  m  cos  wVk3  sin  m Bk

0
.
5
h

1k
m
m
c2
c2
ie  m  Wk
ie  m  Vk1  iV k2
 0.5h2 k 

0
.
5
h

2k
m
m
c2
c2
g 1 k  0.5h1k 
g  2,  k
8
ie  m  Wk
ie  m  Vk1  iV k2

0
.
5
h

3k
m
m
c2
c2
ie  m  Ak
ie  m  sin  wVk3  cos  m Bk
 0.5h0 k 

0
.
5
h

0k
m
m
c2
c2
g 3,  k  0.5h3k 
g 0 k
При этом внешнее действительное поле, определяется как величина g ik  g i k  g ik ,
причем имеется 16 величин результирующего поля. Внутреннее глюонное поле
комплексное, так как компоненты g i k , g ik внутри тела не сопряжены. Где hik
Галилеев тензор общей теории относительности. Величины Z k ,Wk описывают
бозоны см.[3], а величина Ak , является безмассовой и описывает фотон. Отметим,
что вне тела метрический тензор является действительным, так как надо
рассматривать компоненты g ik  g i k  g i  k и при изменении знака индексов
получается комплексно сопряженная величина. Итого, имеется 16 компонент этого
метрического тензора.
Рассматривать глюонные поля надо для внутренней части частицы как 32
компоненты тензора g i  k , причем при перестановке индексов не обязательно
получится комплексно сопряженная величина. Символ Кристоффеля при этом равен
i ,kl 
1 g ik g il g kl
(


).
2 x l x k x i
Причем надо рассматривать как положительные, так и отрицательные значения
индексов. При этом возникнет тензор с одинаковыми и разными знаками индексов.
Отметим, что индексы могут быть отрицательными. Причем если у метрического
тензора индексы одинакового знака, положительные или отрицательные, значит,
для этой величины в формуле для символа Кристоффеля
тензор
равный
g ik  g i  k  ( g i  k  g i* k ) / 2 .
берется метрический
Т.е. внутри частицы имеются
вспомогательные поля внешнего пространства, т.е. действительные поля. При этом
справедливо совпадение переменных с разным знаком индексов x l  x  l . Так как при
применении метода итераций уравнения окажутся комплексные, значит, возможны
не сопряженные решения.
Причем рассматривается единое поле, вне частиц состоящее из 16 компонент, и
внутри частиц из 32 компонент.
Для использования этих калибровочных полей надо за символ  i,kq брать
символ Кристоффеля. Это один из видов калибровки. Тогда все 48 калибровочных
полей будут учтены и задача имеет однозначное решение.
Для определения полей частиц необходимо решать нелинейное уравнение (5) по
определению g nm . Задав начальное приближение по определению комплексного
9
g nm , которое определится из волнового уравнения при условии Pn,kq  0 . Для
внешности частицы правая часть уравнения общей теории относительности равна
нулю и метрический тензор определяется собственными колебаниями системы,
зависящими от начальных условий. При этом решение уравнения общей теории
относительности удовлетворяет g n  m  g * nm и значит, метрический тензор общей
теории относительности равен действительной функции g nm  g n  m  g n* m . Для
внутренности частицы он имеет наряду с начальными значениями, удовлетворяет
вынужденному колебанию, связанному с не нулевой частью правой частью
уравнения, которое при комплексности функции Грина определяет комплексное
решение.
Для
уравнения
Гельмгольца
она
равна
величине
exp( it  ik | r  r0 |) / | r  r0 | , где  , k частота и волновое число электромагнитной
волны. Значит, внутреннее поле частицы является не комплексно сопряженным.
Определяем символ Кристоффеля по вычисленным величинам метрического тензора
g nm . Решаем уравнение в частных производных по определению Gik . Получаем
волновое уравнение, из которого определяем комплексный метрический тензор g nm .
При этом отличие метрического модифицированного тензора общей теории
относительности в микромире от метрического тензора макромира, говорит об
отличии его метрических свойств от нашего четырехмерного пространства больших
масс и расстояний. Пространство и время является периодическими,
колеблющимися, комплексными, так как поля, его образующие являются
колеблющимися. Причем внутри адронов метрический интервал пространства
комплексный, а вне них метрический интервал действительный. При этом
излучающие свойства внутри этого пространства отличаются от излучающих
свойств макро пространства. Точно так же, как общая теория относительности
считает пространство вблизи тел большой массы искривленным, аналогично общая
теория относительности в применении к микромиру описывает искривленное,
комплексное пространство микромира, соответствующее другим видам полей.
Причем все эти поля описываются изменением свойства пространства. Т.е.
фундаментальная идея описать свойства микрочастиц с помощью изменения
метрики пространства реализуется. Эйнштейн считал, что для этого необходимо
переход в многомерное пространство. Введение отрицательных индексов
соответствует переходу в 8 мерное пространство.
Возможно, приведенное
преобразование уравнения общей теории относительности сможет описать и
пространство микромира. Во всяком случае, количество значений метрического
тензора и количество полей стандартной модели совпадает. Причем происхождение
полей стандартной модели связано с метрическими свойствами пространства
времени.
Оценим отклонение метрического тензора от тензора Галилея, при котором
начнутся сказываться отклонение от уравнений Максвелла для электромагнитного
eA
~ 1 . Величина A должна равняться
поля. Для этого должно выполняться
mc 2
mc 2 / e  10 27  9  10 20 /( 4.8  10 10 ) ~ 2  10 3 CGS  6  10 5 V . Т.е. при потенциале
относительно бесконечности, равном 6  10 5 V наблюдается отклонение от уравнений
Максвелла. При этом эффективная длина волны излучения будет уменьшаться, так
как создающие и принимающие поле частицы одного знака и добавка к величине k 2
в уравнении общей теории относительности положительна. Средняя напряженность
поля может достигать на расстоянии в 100km величины 6V/m .
Докажем
существование
минимума
электромагнитного
поля,
соответствующего радиусу Бора вращающего вокруг ядра электрона. При этом
10
волновой оператор при учете уравнения общей теории относительности мало
изменится. Величина Ps ,ip по порядку величины равна s,ip и значит, имеем по
порядку величины
g sp g ip
g

1
Dipn   in p  g ns ( sip  i  s )
2
x
x
x
x
ns
Так как оператор g
равен константе, минус потенциал
поля с
ieAn
r
коэффициентом, т.е. g n 0 ~ 1 
 1  B2 , где a расстояние между электроном
2
mc
137 a
и ядром (поле An ~ ie и участвуют заряды разного знака и это контравариантная
компонента, откуда знак плюс перед дробью в выражении для метрического
тензора), rB это радиус Бора электрона. Получаем, что поправка к тензору Галилея
мала и только на расстоянии rB / 137 2 имеются отклонения от уравнений Максвелла.
Оценим величину расстояния, на котором электростатическая энергия
электрона имеет минимум. Волновая форма уравнения общей теории
относительности по существу сводится к добавке к величине квадрата волнового
ie  2 A
числа выражения
, что получается при учете произведения операторов Dipn .
2
2
mc r
rB2
e 2 A 2
Квадратичный член
имеет меньший порядок величины.
( ) ~
m 2 c 4 r
137 4 a 4
Известно, что квадрат эффективного волнового числа, соответствующий
эффективной длине волны излучения электрона в атоме, находящегося на
расстоянии rB от ядра атома,
равен, как показывает расчет величине
k 2  4 2 /( rB 137) 2 . Это квадрат эффективного волнового числа излучения атома
водорода. Добавка при учете уравнения общей теории относительности к
ковариантному метрическому тензору общей теории относительности, равна
 2rB 1
2ieie 1
1
1
отрицательному выражению
так как
( 3  3)
( 3  3 ), a  rB ,
2
2
mc a
rB
137 a
rB
участвуют заряды разного знака, и как это следует из волнового уравнения, поле Ak
пропорционально величине  ie . Добавка получается при использовании формулы
ie  2 A
. Складывая квадрат волнового числа излучения с добавкой, получим
mc 2 a 2
эффективное нулевое волновое число. Откуда получаем значение a ~ rB / 3 2 2 для
среднего расстояния для начала затухания поля в атоме. Ведь при дальнейшем
уменьшении радиуса орбиты электрона величина эффективного волнового числа
становится мнимой и это приведет к затуханию поля. При этом на расстоянии
a ~ rB / 3 2 2 имеется нуль электромагнитного поля, и электрон располагается в
минимуме статической энергии между этим нулем и нулевым полем
на
бесконечности.
Таким способом определится значение поля или метрического тензора с
волновым решением, а не статическим, как решение Шварцшильда. Волновое
решение справедливо для определения полей элементарных частиц, имеющих
малую массу.
11
Список литературы
1.
Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц Теория поля т.II, Наука, М.,1973.
2.
John D. Anderson, James K. Campbell, John E. Ekelund, Jordan Ellis, and James F.
Jordan // Anomalous Orbital-Energy Changes Observed During Spacecraft Flybys of
Earth.
3.
Phys. Rev. Lett. 100, 091102 (2008)
Д.С.Горбунов, В.А.Рубаков Введение в теорию ранней Вселенной.- М.:,
Издательство ЛКИ, 2008г.-552с.