Математические теории принятия решений

Математические теории принятия решений.
Альфред Пуро.
Постмодернизм - время в котором мы живем.
Ренессанс - эпоха возрождения к Греческой культуре.
Классицизм - классические искусства, классическая экономика.
Модерн - эпоха до 50 годов нашего столетия.
Неоклассицизм.
Экономико-математические методы - это обобщающее название комплекса
экономических и математических научных дисциплин, введенное академиком B.C.
Немчиновым в начале 1960-х гг. С известной долей условности классификация этих дисциплин
может быть представлена в следующем виде.
1. Математическая статистика:
 дисперсионный анализ;
 корреляционный анализ;
 факторный анализ;
 теория индексов и др.
2. Математическая экономия и эконометрия:
 теория экономического роста (модели макроэкономической динамики);
 теория производственных функций;
 межотраслевые балансы;
 национальные счета;.
 анализ спроса и потребления;
 региональный и пространственный анализ;
 глобальное моделирование и др.
3. Методы принятия оптимальных решений, включая исследование операций:
 оптимальное (математическое) программирование:
~ линейное программирование;
~ нелинейное программирование;
~ дискретное программирование;
~ блочное программирование;
~ стохастическое программирование;
~ динамическое программирование;
 сетевые методы планирования и управления;
 программно-целевые методы планирования и управления;
 теория управления запасами;
 теория массового обслуживания;
 теория игр;
 теория расписаний и др.
4. Экономическая кибернетика:
 системный анализ экономики;
 теория экономической информации, включая экономическую семиотику;
 теория автоматизированных систем управления.
5. Методы экспериментального изучения экономических явлений:
 методы машинной имитации;
 деловые игры;
 методы реального экономического эксперимента.
Наибольшее распространение получили оптимизационные методы, к которым, прежде
всего, относятся линейные модели, которые адекватно соответствуют многим различным
ситуациям. Одной из таких моделей является модель двухэтапной транспортной задачи.
Начало постмодернизма - Генри Форд - "Теория принятия управленческих решений".
Теория принятия управленческих решений подразделяется на три области:
1.Социально - экономическое направление.(Институционализм) .
1
2.Психологическое направление.
А.Дискрептивное направление (описательное).
ЛПР - лицо принимающее решение.
Б.Проскрептивное направление теории решений. (Prescript) - Оглашение приговора.
Психология проведения решений в обществе (коллективе).
С.Организационно-технологическое направление (Технология проведения).
Концепция математического выбора. Технология принятия решения в экономике
фирмы.
Миссия.
Структурирование
(разбиение
На этапы)
1
Цели =>
Задачи =>
1
2
2
3
3
4
4
5
Результаты =>
Оценка и выбор вариантов.
Выбор варианта может быть связан с одним или несколькими критериями (Однокритериальный
или многокритериальный)
Модели.
Требования предъявляемые к моделям.
1.Модель должна отражать существенные черты объекта или процесса (абстракция).
2.Модель должна быть варьируема (Легко изменяема) .
3.Дешивизна модели.(Математические модели наиболее дешевые).
Главная трудность при использовании математических моделей правильный выбор
критериев.
Норберт Винер - создатель теории вычислительной машины.
Внешние неизменяемые условия (const).
BLACK BOX
Вход управления
Система математическо
го соотнош.
Выходной сигнал.
Изменяемые параметры.
Классификация математических моделей.
Детерминированные
Простые
Сложные
Теория фирмы.
Линейное программирование.
Динамические параметры
(изменяемые)
Динамическое
программирование.
Вероятностные.
Стахостические.
Теория лавочника.
Стахостическое
программирование.
Стохастические процессы.
2
У детерминированных моделей параметры полностью определенны.
У стахостических моделей значение части параметров неизвестно.(Принятие решений в
условиях неопределенности) или заданно в виде закона Вероятности. (Принятие решения в
условиях риска).
Однокритериальный выбор решения (целевая функция или функция полезности).
Прибыль = Доходы - Расходы или P(x) = R(x) - C(x)
Пример:
Определить объем выпуска продукции обеспечивающий максимальную прибыль.
Выразим расходы: C x   x  500000 , Где 500 000 - постоянные расходы, независящие от
объема производства.
Доход будет равен R x  1500 x , Где 1500 это стоимость одного изделия, умноженная на х
(количество выпуска).
2

Px   1500 x  x 2  500000
dp x 
dp d
R  C   dR  dC
 0,


dx
dx dx
dx dx
 прибыль выразим уравнением
Теория лавочника.
Пусть лавочник имеет пакет молока по себестоимости 6 крон, которое продает за 10.
Необходимо подсчитать среднюю, оптимальную и максимальную прибыль в зависимости от
спроса.
З А К
Спрос
в день.
Дни
спроса.
Вероят
ности%
25 ед.
30 ед.
А
35 ед.
З
40 ед.
45 ед.
25
30
35
40
45
Крите
рии
30
0.15
100
70
60
10
-20
60
0.3
100
120
100
60
30
50
0.25
100
120
140
120
80
40
0.2
100
120
140
160
130
20
0.1
100
120
140
160
180
Всего:
/1.
100
112
116
102
80
200
(от 200
дней.
дней)
1.Осторожный критерий - максимизировать минимальновозможную прибыль.
2.Азартный критерий - максиум возможной прибыли независимо от возможности
получения ее.
3.Критерий наиболее вероятного исхода - выбирается критерий имеющий наибольшую
вероятность реализации.
4.Критерий максиума математического ожидания (максиума среднего значения) применяется в том случае, когда решение производиться многократно в неизменяемых
условиях.
3
M  x    X i Pi 
i 1
X 
n
1
 X i ni
n 1
М1= 100*0.15 + 100*0.3 + 100*0.25 + 100*0.2 + 100*0.1 = 15+30+25+20+10= 80
М2= 70*0.15 + 120*0.3 + 120*0.25 + 120*0.2 + 120*0.1 = 10,5+36+30+24+12=112,5
М1= 60*0.15 + 100*0.3 + 140*0.25 + 140*0.2 + 140*0.1 - 9+30+35+28+14= 176
Стоимость информации или идеальный предсказатель.
Максимально возможная прибыль.
25 человек на 25 пакетов
Cтоимость информации равна разности между прибылью полученной с ее помощью и без нее.
Частный случай разности между максимальной возможной прибылью и прибылью полученный
на основе решения по критерию максиума математического ожидания.
Сложные модели.
Сложные детерменированные модели.
Постановка задачи условного экстремума для функции многих переменных.
1. j ( x1 x2.... xn )  0 - Система уравнений определяющая область решения задачи (плана).
2. W ( x1 x2..... xn )
 exstremum Нахождение минимальных или максимальных значений
целевой функции.
А. Нахождение экстремальных значений функции нескольких переменных.
dz
0
dx
dz
0
dy
Алгоритм нахождения экстремальных значений из системы двух уравнений:
 dz
 dx  0
Определяем точки локального максиума и миниума. Сравнивая значения в
 dz
 0
 dy
критических точках, выбираем значения наибольшее и наименьшее.
Б. Функция Ланграджа - сведения задачи нахождения условного экстремума к
безусловному.
J i  X 1 X 2 ... X n ...гдеi  1  m
W  X 1 X 2 ... X n   extremum
Задача нахождения функции условного экстремума сводиться к задаче нахождения
безусловного экстремума относительно функции Ланграджа.
m
1
i 1
m
L X 1 X 2.... X n 12 ...m   W  X 1 X 2... X n  i j j 
4
Где лямбда - множители Лангражда. Критические точки определяются из системы уравнений
 dL
 dX  0
 i
 dL
0

d

n

 X 1 X 2... X n 12... m   W  X 1 X 2... X n 


После определяем критические точки вычислением значения функции в них.
Задачи математического программирования.
К классу задач М.П. относятся задачи решаемые на компьютерах вычислительного типа, при
помощи определенных программ и алгоритмов.
Примеры задач:
1.Задача линейного программирования.
Примеры постановки задач линейного программирования.(Научная идея Конторовича и
Дансинга).
Задача рационального использования ресурсов.
Клиринг - расчет между банками без финансов.
Обозначим :
AIJ - норму расхода ресурса вида I, идущего на выпуск продукции вида J
X J - план выпуска продукции J.
BI - количество ресурса вида I.
C J - прибыль получаемая от продажи продукта вида J.
Задача состоит из двух уравнений.
1.
m
 AIJ  XJ  B I , гдеI  1  m
 J 1
 XJ  0

2.
m
F   C J X J - условие максимальной прибыли получаемые от реализации продукции.
J 1
Задача составления рациона.
Обозначим :
AIJ - количество элемента вида I, содержащегося в единицы продукции вида J
X J - Содержание продукта в смеси..
BI - потребность элемента вида I.
C J - стоимость продукта вида J.
Задача состоит из двух уравнений
1.
m
 AIJ  XJ  BI , гдеI  1  m
 J 1
 XJ  0

2.
5
m
F   C J X J - минимальное количества продукции J, с необходимым содержанием элемента I
J 1
Транспортная задача.
Составить план перевозок.
№Направления
В1
№Назначения
A1
X11
A2
A3
A4
В2
C11
X12
В3
C12
В4
Аi
X13
C13
X14
C14
X33
C33
X34
C34
Ai - cтоимость
Bi - потребность
CIJ - тариф перевозки из пункта А, в пункт В.
Задача.
m
X
IJ
 AI
IJ
 BJ
J 1
m
X
J 1
m
F   C JI X JI  min , где Хji - стоимость перевозки.
J 1
X IJ  0
Составление расписания.
Xi - в урочное время
Yi - в неурочное время.
Zi - количество продукции на складе. 2 доллара стоимость ее хранения.
1месяц
2месяц
3месяц
4месяц
Продукция
40шт.
50шт.
60шт.
40шт.
Стоимость
3
4
2
6
Стоимость в
4
5
3
7
сверхурочное
.время
5месяц
30шт.
3
4
В урочное время можем произвести не более 40 шт.
Математические функции:
X1+Y1+Z1 = 40
F =3X1 +4Y1, 4X2 + 5Y2, 2X3 + 3Y3, 6X4 + 7Y4
X2+Y2+Z1-Z2 = 50
2(Z1+Z2+Z3+Z//)=>min
X3+Y3+Z2-Z3 = 60
X4+Y4+Z3-Z4 = 40
X5+Y5+Z4-Z5 = 30
X J YI  0
Классификация задач линейного программирования.
1.Общий вид, общая форма постановки задачи Л.П.
6
m
 AIJ  X J  BI , гдеI  1  k
 J 1
m
 AIJ  X J  BI , гдеX J  0
 J 1
m
W   CJ X J
J 1
Особенности:
1.Переменная Хj содержится в условиях задачи в первой степени(линейно) - линейные задачи.
2.Условия задачи содержат как равенство так и неравенство.
Стандартный вид задачи Л.П.
m
m
A
J 1
IJ
X J  BI
XJ  0
A
J 1
IJ
X J  BI
XJ  0
m
F   C I C J  min
J 1
Матричная запись.


A  AIJ , X  X I


B  BI , C  C I
Стандартная форма.
  
 A X  B
 

X  0




F

C
X
, max

  
 A X  B
 

X  0




F

C
X
, min

Каноническая форма задачи линейного программирования.





A  X  B
 
 X  0
W - JX - extremum
Дополнительные переменные и переход из одной формы в другую.
Пример:
7
2 X 1  3 X 2  10

4 X 2  X 2  16
2 X 1  3Y2  X 3  10
Используя дополнительные переменные приведем
4 X 1  X 2  X 4  16
X 1  X 2  0, F  X 1  X 2  max
уравнение к каноническому виду.
суббота, 29 Сентября 2001 г.
Геометрический смысл задач линейного программирования.
1.Система ограничений определяет выпуклый многогранник в пространстве ее переменных
Екстремум целевой функции находиться на границе области в тех точках, где плоскость
постоянного уровня целевой функции касается многогранника. Так как касание может
проходить по вершине или ребру, или грани многогранника, задача может иметь единственное
решение (касание по вершине) , или бесконечное множество решений при касании по ребру,или
грани многогранника. В последнем случае решение является выражденным.
!.Выпуклая область.
2.Вогнутая область.
Область называется выпуклой, если вместе с двумя любыми точками, принадлежащими
этой области она содержит отрезок соединяющий эти точки.
Заметим, что линейное неравенство определяет полупространство( выпуклую область).
Докажем, что система неравенств определяет выпуклую область.
А. Уравнение отрезка соединяющего две плоскости.
М1
М2

M 1  x1 
 

M 2  x2 
 



x   x1  1    x2
В. Докажем что система неравенств определяет выпуклую область.
 

A X1  b  A
из этого следует:

A X 2  b  1   





x   x1  1    x2

A  (  x1  1    x2 )  b  1   b
 
откуда А Х  b
8

F  C1 X 1  C2 X 2

a ) f
Из геометрического свойства следует: Если касание проходит по вершине решение
единственное.
Если у задачи имеется несколько ответов(бесконечное множество ответов), то такое
решение называется выражденным.
Задача не имеет решения, если область не ограничена. Задача может обладать
различными видами устойчивости.
Решение задачи обладает устойчивостью, относительно изменения коэффициентов
целевой функции. (Степень устойчивости - угол цен). Или - изменение цен на выпускаемые
товары не изменяет оптимального плана.
Каждая грань области многогранника определяет ограничение по ресурсу. Вершина
многоранника, где пересекаются два ресурса, является для данной задачи неизменяемой,
относительно других параметров.
Особенностью решения задачи является то, что часть ресурсов используется
полностью(точка пересечения ресурсов - одна из вершин многогранника). А остальные части
ресурсов во многом остаются не востребованы. Геометрическое изменение области не
востребованных ресурсов не влечет за собой изменение решения.
Геометрическое решение задачи линейного программирования.(Если задача содержит две
неизвестные переменные).
Пример:
2 X 1  3 X 2  18
X  6
 1

X 2  4
 X 1 X 2  0
F  6 X 1  X 2  max
2 X 1  18, X 1  9
3 X 2  18, X 1  6
9
Взаимодвойственные задачи.
Задачи условия которых выражаются соотношениями - называются
взаимодвойственными.
 

X 0
y0
AX b
Ayb

 
F  b y  min
F  C X  max

 
.
C

X
CX  .
 ........
.
Замечания :

(b) = b

Y A   A Y
t
Примеры составления взаимодвойственных задач.
2 X 1  3 X 2  4 X 3  5

6 X 1  7 X 2  8 X 3  9
X  0
 1
F  10 X 1  11 X 2  12 X 3  max
Х1
2
6
10
У1
У2
С
2 y1  6 y 2  10

3 y1  7 y 2  11
4 y  8 y  12
2
 1
F  5 y1  9 y 2  min
Х2
3
7
11
Х3
4
8
12
b
5
9
вторник, 9 Октября 2001 г.
Теоремы двойственности.
 


A X  b

 X  0
 
F  b X  max
 


 AY  b

Y  0

F  b Y  min
10
Замечания:
A
1. (
X
oooo
Y
oooo  oooo 
T 
) AY
oooo
Y
( oooo  oooo 
oooo
A
(
12 
12
03

2
3
)  скаляр .
oooo
)  18 
2
3
 25
Умножим обе части первого неравенства на матрицу строку слева.


t 

 

T

 A Y X  b Y , где А Y    X C  F

Y  0






A
Y
X

bY


Y  0
Получаем основное тождество:



F  x c  YAX  Y b  
1.Теорем взаимной двойственности.
А. Взаимодвойственные задачи одновременно имеют, или не имеют решения.
Б. Значение целевой функции относительно которой разыскивается max, не превосходит
значение целевой функции, относительно которой разыскивают min.
В. Если двойственные задачи имеют решение, значение целевых функций в определенной точке
совпадают.
2.Теорема о взаимодополнительных решениях.
  n

YI   AIJ X J  bI   0
  J 1

X  0 : Y  0
I
 J
  n

 X J   AIJ YI  C J   0
  J 1

 X  0 : Y  0, гдеJ  1em.
I
 J
Теорема о взаимной дополняемости облегчает поиск решения одной задачи при условии что
решение дополнительной задачи известно.
Примеры:
 X 1  2 X 2  3 X 3  12

 1 2 X 1  X 2  4 X 3  18
 2  X 1  0
F  16 X 1  12 X 2  12 X 3  max
Y1  2Y1  16

2Y2  Y2  12
3Y  4Y  12
3
 3
  12Y1  18Y2  min
Y1  2Y1  16
_
Y1  2Y1  16
2Y2  Y2  12  2
4Y2  2Y2  24
=>

 3Y  8 : y 
8
3
=>
Y2  12 
16 20
2

6
3
3
3
11
  12Y1  18Y2  min
8
3
  12   18 
20
 152
3
Воспользуемся второй теоремой двойственности для нахождения решений первоначальной
задачи.
X 1 Y1  2Y2  16  0
Y1  X 1  2 X 2  3 X 3  12  0
Y2 2 X 1  X 2  4 X 3  18  0
X 1  2 X 2  3 X 3  12
2 X 1  X 2  4 X 3  18
X 1  2 X 2  12
X 2 2Y2  Y2  12   0
X 3 3Y3  4Y3  12   0
=>
2 X 1  X 2  18  2

 3 X 1  24 : X 1  8 : X 2  2
16 X 1  12 X 2  12 X 3  16  8  12  2  12  0  128  24  152
Экономический смысл двойственности.
Задачи
Если первоначальная задача является задачей рационального исследования ресурсов, то
двойственная задача определяет значение ценности ресурсов при оптимальном плане. Ценность
ресурса зависит от плана выпуска и дохода получаемого от продажи продукции.
 
A B  b

 X  0
F  CX  max
12
Полностью не использованные ресурсы имеют нулевую внутреннюю ценность.
Внутренняя ценность ресурса равна увеличению прибыли, при увеличении на единицу этого
ресурса.
Внутренняя цена ресурса позволяет оптимизировать инвестиции, для получения
максимальной прибыли.
Самостоятельная работа.
Решить задачу:
mx1  nx2  4 x3  12

3x1  4 x 2  x3  12
F  12 x1  12 x2  8 x3  max
 x1  2 x2  4 x3  12

=> 3x1  4 x2  x3  12
Где  m  1, n  2
 y1  3 y 2  1212;4 

2 y1  4 y 2  126;3
4 y  y  82;8
3
 3
F  12 y1  12 y 2  min
F  12 x1  12 x2  8 x3  max
y1  3 y 2  12
3 y 3  y 3  8....  3

12
44
, y2  8 
 4,5
11
12
12
132
  12   12  4,5 
 54  12  54  68
11
11
 11 y  12, y1 
суббота, 13 Октября 2001 г.
Транспортные задачи.
А1
А2
В1
150
10
В2
В3
100
60
А3
160
10
100
В4
70
160
130
70
160
150
170
160
60
230
160
/550
Алгоритм решения задачи.
1.Составление первоначального (опорного) плана.
2.Проверка оптимальности плана.
3.Если план не оптимальный, то улучшение плана.
4.Проверка оптимальности плана.
13
1.Составление первоначального плана. Первоначальный план можно составить различными
способами:
а. Метод Северо-западного угла
Решение начинается с заполнения верхней левой клетки далее двигаясь по вертикали или
горизонтали последовательно заполняются клетки таблицы перевозок.
Достоинства:
Простота составления плана.
Недостатки:
Первоначальный план, как правило не оптимизирован и требует многочисленных итеракций.
Применяется в компьютерных программах.
Б. Метод минимальной клетки.
Составление плана начинается с клетки имеющей меньший тариф. Далее мы двигаясь по
горизонтали или вертикали последовательно заполняются клетки с минимальным тарифом.
Принцип решения.
А. По минимальному тарифу везти как можно больше
В1
В2
А1
5
А2
8
В3
В4
50
4
130
3
1
100
2
7
5
8
10
40
А3
160
3
5
70
160
А1
В1
150
А2
130
160
120
70
В2
В3
1
5
8
3
10
А3
100
В4
8
2
150
7
5
170
3
230
100
/550
160
5
130
1
4
100
160
10
150
50
170
40
230
70
/550
130
160
100
Проверка оптимальности плана методом потенциалов.(проверка осуществляется согласно
второй теоремы двойственности).
Для каждого столбца и строки определяем потенциал, исходя из уравнения для заполненных
клеток. YI  VK  CIK
Так как число потенциалов больше числа уровней выбираем У1=0. Последовательно
определяем потенциал из уравнений. Условие оптимальности для нежелательной клетки
считается выполненным, если сумма потенциалов ее не превосходит тариф.
План считается оптимальным, если условия оптимальности выполняются для всех клеток.
14
В1
60
А1
А2
В2
1
90
А3
2
6
8
10
50
В3
170
В4
1
4
10
5
5
4
6
3
230
60
8
110
100
90
220
170
150
90
60
170
180
170
/560
Школы менеджмента.
среда, 24 Октября 2001 г.
1885-1920
Научного
управления.
1950 Количественный
подход.
1920 - 1950
1930 - 1950
Классическая или
административная.
1970 Процессный
подход
1950 Системный подход
Неоклассическая
или школа человеческих отношений.
1960 Ситуационный
подход.
Школа научного управления и его представители.
Тейлор, Френк и Лилия Гилберт, Генрих Ганит… .



Основные положения в достижении направления.
Управление - самостоятельная специализация и им должны заниматься профессионалы.
Тщательное планирование работ (НОТ).
Организация процесса нормирования и стимулирования.
Основное внимание уделяется процессу производства.
Административная школа.
Ее представители: Анри Файоль, Джеймс Муни, Альфред Слоун.
Основные положения и достижение направления:
 Создание рациональной структуры организации (подразделения занимающиеся финансами ,
производством, маркетингом).
Принципы Файоля:
1. Разделение труда.
2. Дисциплина.
3. Полномочия и ответственность.
4. Единоначалие
5. Единство направления.
6. Подчинение личных интересов общим.
7. Вознаграждение персонала.
8. Скалярная цепь(Руководящие лица).
9. Порядок.
15
10. Справедливость.
11. Инициатива.
Школа человеческих отношений. 1930 -1950.
Мери Паркер Фоллетт, Элтон Майс.
Бихевиористская школа.



Основные положения и достижения направленность.
Повышение эффективности организации, за счет повышения человеческих ресурсов.
Учет психологии социальных групп.
Учет влияния различных стимулов (теория содержательной мотивации : Маслоу,
Херцбергер, Майкеллана).
"Менеджмент" - обеспечение выполнения работ, работ с помощью других лиц.
Фоллетт.
Процессный подход.
Управление - серия взаимосвязанных действий ( управленческих функций)
направленных на достижение цели.
Основные функции процесса управления:
Планирование:
 Сбор информации.
 Анализ ситуации.
 Определение целей.
 Определение путей достижения цели.
 Технология достижения целей (этапы, ресурсы, сроки).
Организация работы:
Систематизирующие действия для достижения целей:
 Структуированная организация.
 Распределение обязанностей и делегирование прав.
Мотивация:
 Стимулирование работника с учетом всех его потребностей.
 Контроль (определение контролируемых параметров и критериев).
Системный подход.
Система - это некоторая целостность состоящая из взаимодействующих частей.
Организация - открытая система.
Внешняя среда:
 Общая среда. (может влиять косвенным путем).
 Организационная среда - оказывает влияние на всю организацию.
 Домен организации (определяется секторами внешней среды, влияющими на
организацию).
Характеристики среды и взаимосвязь с ней.
 Неопределенность среды. Стабильность - не стабильность, Простота - комплексность,
Зависимость от ресурсов.
 Стратегия поведения. Создание буферов и наведение мостов.
Механические и органические формы управления. Изменение домена (полит. Активности).
Ситуационный подход.
Рассматривает использование различных методов управления в конкретных ситуациях.
Основывается на:
 Банк ситуаций, содержащий эталоны ситуаций.
 Экспертную комиссию (эксперты 1 и 2 уровня).
 Технологи и Аналитики.
16


Оценочная система и система оценок.
ЛПР.
Технология выявления основных факторов.
 "Мозговая атака" Кутузов.
 Генерирование идей (Обсуждение).
 Двухуровневое анкетирование.
1.Составление анкеты. Ранжирование факторов в анкете.
понедельник, 29 Октября 2001 г.
Алгоритм составления плана и улучшения цикла.
Цикл - замкнутая ломаная.
Выбираем точку в которой не выполняется критерий оптимальности. Далее двигаясь по
заполненным клеткам составляем цикл. Вдоль цикла поочередно расставляем знаки ( плюс
и минус). Начинаем со знака + в отмеченной клетке (где не выполняется критерий критерий
оптимальности)
По циклу передвигается наименьшее число содержащееся в клетке отмеченной знаком .
Цикл улучшает план перевозок, если сумма потенциалов в клетках со знаком + меньше
суммы потенциалов в клетках со знаком -
В1
V1 = 2
А1
U1 = 0
А2
U2= 6-2 = 4
В2
V2 = 4
2
В3
V3 = 1
1
15
8
14
20
170
60
180
130
120
3
4
8
200
10
80
90
6
50
А3
U3 =
В4
V4 = 3
130
5
130
50
210
10
120
90
120
/550
вторник, 30 Октября 2001 г.
Принятие решений.
17
Проблема принятия решений по своей определенности подразделяется на :
1. Условия задачи полностью определенны. Решение сводиться к просмотру вариантов и
выбору из них лучшего.
2. Принятие решений в условиях риска. Характеризуется тем что степень неполноты
информации выражается посредством функции распределения вероятностей, тех или
иных ситуаций.
3. Принятие решений в условиях неопределенности.
Вероятность реализации ситуаций в этом случае не задана.
Схема принятия решений.
Цель
Варианты задач.
Структуирование задач,
Расчет вариантов… .
Инфор
мация.
Время
Проблема выбора
Лучшего варианта
Организация выполнения решения, проверка решения.
Постановка задачи математического выбора в условиях рынка.
Предполагается возможным реализация конечного числа ситуаций, с заданной
вероятностью.
Необходимо разработать критерий принятия решений, если можно рассчитать значение
целевой функции матрицей Нэша.
Пример постановки задачи.
Возможные решения.
Ситуация
Варианты
А1
А2
А3
А4
С1
0.3
2
-1
1
1
С2
0.2
1
0
0
0
С3
0.5
0
-1
1
2
А1>A2
A4>A2
Доминирующее решение и упрощение матрицы Нэша.
Рассмотрим методы упрощения процедуры принятия решений, основанные на понятии
доминирования.
Отношение предпочтения связывается с установлением порядка (частичного порядка) на
множестве возможных решений.
Установление частичного порядка на основе критерия гарантированного доминирования:
Решение доминирует другое, если минимальная прибыль первого решения не меньше
максимальной прибыли второго решения, при любых ситуациях.
Упрощение задачи осуществляется исключением из нее доминирующих решений.
Ситуационное доминирование:
Решение доминирует другое, если при любых ситуациях значение прибыли первого
решения больше значения прибыли второго решения. A1>A2 : A>A3
18
суббота, 3 Ноября 2001 г.
В1
V1 = 3
В2
V2 = 2
В3
V3 = 3
А1
U1 = 0
8
4
А2
U2= 1
6
3
В4
V4 = 6
6
170
100
4
8
180
60
6
4
200
90
3
70
120
А3
U3 = -2
1
100
60
8
110
110
120
130
70
90
190
100
В1
V1 = 1
В2
V2 = 5
В3
V3 = 2
В4
V4 = 6
А1
U1 = 0
1
А2
U2= - 4
8
5
120
2
40
/550
6
10
3
4
10
2
2
170
130
10
180
180
А3
U3 = 0
А1
U1 = 0
А2
U2 = 4
1
10
110
110
120
90
130
40
190
180
В1
V1 = 2
В2
V2 = 4
В3
V3 = 1
В4
V4 = 9
2
10
80
130
50
/550
15
90
6
_
8
14
+
10
15
130
+
80
3
4
-
8
50
А3
U3 = 1
1
210
80
90
200
90
170
80
180
130
120
200
120
120
/550
19
В1
V1 = 2
А1
U1 = 0
А2
U2 = 4
В2
V2 = 4
2
В3
V3 = 1
10
80
1
15
90
6
_
8
14
+
10
15
130
+
80
3
4
-
8
50
А3
U3 = 1
В4
V4 = 9
130
50
210
80
90
170
80
180
130
120
200
120
120
/550
_
130
+
_
50
120
Цикл - замкнутая ломанная.
Выбираем точку в которой не выполняется критерий оптимальности. Далее двигаясь по
заполненным клеткам составляем цикл. Вдоль цикла поочередно расставляем знаки + и Начинаем со знака (+) в отмеченной клетке. По циклу передвигается наименьшее число
содержащееся в клетке отмеченным знаком (-) минус. Цикл улучшает план перевозок, если
сумма потенциалов со знаком(+) меньше чем со знаком (-).
В1
V1 = 8
А1
U1 = 0
А2
U2= 4
В2
V2 = 1
15
В3
V3 = 7
1
В4
V4 = 6
10
8
170
2
180
120
15
200
160
70
170
4
16
10
3
15
60
А3
U3 = 2
70
130
60
120
40
210
40
9
90
90
120
/550
20
Домашнее задание
В1
V1 = -10
А1
U1 = 0
В2
V2 = 10
В3
V3 = 2
15
10
10
А2
U2= 12
В4
V4 = 8
2
90
2
25
10
20
2
15
130
А3
U3 = -8
6
70
20
170
160
70
180
130
50
130
200
210
10
90
5
120
50
200
/550
Оформление домашнего задания.
1.Транспортная задача.
Составляем оптимальный план перевозок по заданной таблице.
Варианты:
М-2 N- K
1.Составляем первоначальный план методом минимальной клетки.
2.Проверяем оптимальность плана методом потенциалов.
2.1 План выполняется (Условие оптимальности выполняется)
2.2 Условие не выполняется
2.3.Составить цикл.
Вероятностное или стахостическое доминирование.
Задан перечень работ:
Длительность послед. Работ.
Задача.
1. Определить наименьший срок выполнения всего комплекса работ (критический пункт)
2. Определить резервы времени.
3. Определить дополнительную величину финансирования сокращающюю весь срок
выполнения работ.
4. При возможном уменьшении стоимости выполнения всего комплекса работ за счет…
Граф-задачи.
Граф - совокупность вершин (дуг).
1.Ориентированный граф.
21
2.Несвязный граф.
3.связный граф.
Задачи рассписания.
Принцип построения графа:
 Вершина соответствует началу или окончанию работ.
 Работы можно классифицировать как последовательные и параллельные.
tp = 25
4(20)
1(5)
5(25)
8(15)
2(10)
3(15)
?
7(10)
Каждая последующая работа может начинаться при условии выполнения всех
предшествующих ей работ.
Критическим путем называют путь от начала до завершения работ (наибольший путь).
Резерв времени равен разности между поздним началом последующей работы и раним
окончанием данной работы. 4(10)
Пример:
1(5)
3(15)
5(15)
Исход:
№ Работ
1. Работа.
2. Работа
3. Работа.
4. Работа
5. Работа.
Продолжительность
5
10
15
20
15
После работы
1
1
1
2, 3, 4
До работы
2, 3, 4
5
5
5
-
Элементы статистики.
1.Основные понятия.
Генеральная совокупность.
22
Выборка должна быть репрезентативной.
Элементы выборки - варианты (вариационный ряд)
Дискриптивная статистика (описательная статистика).
Been reash - разбиение интервала.
Wk 
nk
n
3500
2000
W5
W4
1500
W3
1000
W2
W1
Где W5….W1 - листы.
Гистограмма.
1500
3500
Кумулята - график накопленных частот.
100%
Медиана разбивает ранжированный вариационный ряд на 2 равные части.
Квартили, децелы, процентно разбивают ранжированный ряд на 4, 10, 100, частей.
Дискриптивная статистика.
Count - объем выборки.
Average - среднее значение.
Standart evour -

SD
n
Standart deviation - оценка среднего квадратического отклонения
Variotious - интервал изменения.
с  сигма
Нормальное распределение.
 D
Random Seed - случайный бросок.
Output
пятница, 16 Ноября 2001 г.
Вероятностное и стахостическое доминирование.
Решение вероятностно (стахостически) доминирует другое, если значение кумулятивной
вероятности первого решения не меньше второго.
23
Пример:
Сравним решение значений интегральных функций распределения прибыли по следующей
таблице.
Значение
прыбыли.
Значение
вероятности
прибыли
-1
0
1
2
0
0.5
0.2
0.3
1
1
1- 0.5 = 0.5
1 - 0.7 = 0.3
Вероятность
того что
прибыль не
меньше еденицы
0
0.2
0.3
0.5
1
1
1 - 0.2 = 0.8
1 - 0.5 = 0.5
Кумулята или интегирированная вероятность.
В свою очередь критерии доминирования могут быть упорядочены. Т.е. если решение
доминирует по одному критерию, то оно доминирует и по более слабому критерию.
Пример:
Гарантированное доминирование одного решения другим наиболее сильное, т.е. Если одно
решение гарантируется другим при гарантированном доминировании.
Методы предпочтения не всегда дают однозначное решение задачи, потому что решения
обычно не могут быть упорядочены. В большинстве случаев они помогают определить
только эффективное множество решений - множество из которого будет выбираться
окончательное решение.
Критерий принятия решения в условиях риска.
1.Ожидаемого значения (математического ожидания). Смотреть теорию Лавочника.
2.Наиболее вероятностного исхода.
Этот критерий состоит из того, что в ожидаемой ситуации реализуется наиболее
вероятностное событие. Следовательно мы принимаем решение у которого наиболее
вероятностное событие связанно с наибольшим значением целевой функции или
наименьшим значением издержек.
Трансакционные расходы - расходы на получение информации.
Критерий наиболее вероятностного исхода как правило используется при нечасто
повторяющихся решениях. Его обоснованное применение должно сопровождаться
анализом всех возможных ситуаций при испытаниях.
3.Предельного уровня.
Критерий предельного уровня основывается непосредственно на значениях целевой
функции и учитывает временной фактор.
При решении используются предвории. Иную и устанавливается предельный уровень
при котором решения принимаются или отврегаются.
Такой принцип действия не является оптимальным в смысле подсчета точного (частоту
поступления предложений - уровень спроса), затрат связанных с хранением товаров и
распределения и распределением цены предложения. Все эти факторы в большей или
меньшей форме учитывают при установлении значения предельного уровня.
4.Ожидаемое значение - дисперсия.
Применяется как модификация критерия ожидаемого значения при не столь
частоповторяющемся решении и учитывает риск обусловленный не определенными
ситуациями.
Для учета риска чаще всего используют дисперсию, средне-квадратическое отклонение
или коэффициент вариации. В стандартном виде критерий зависит от математического
ожидания, дисперсии и коэффициента и учитывает склонность ЛПР(лиц принимающих
решение) к риску, если К=0.
24
 1
max  M    KDT 
 T 
Критерий сводиться к максиуму ожидаемого значения и не учитывает риск. Чем больше К , тем
больше критерий учитывает риск и меньше учитывает математическое ожидание.
В качестве примера применения критерия ожидания значение дисперсии рассматривает
стандартную модель теории портфеля ценных бумаг.
Гири Марковец - лауреат нобелевской премии по экономике 1990 год .
Ковариация: cov ax xy  M F ( x)  M ( x) Y  M y
Учитывает стохастическую связь между двумя случайными величинами.
При составлении оптимального портфеля вводиться Xi - вектор структуры портфеля.
1
2
3
0.2
0.3
0.5
= 1

 

 
Учитывает ту часть инвестиций которую мы вкладываем в ту или другую акцию. Так что
m1n1
математическое ожидание прибыли от всего портфеля
X
1
cov( X i : X j ) X j
I , J 1
Задачи составления портфеля ценных бумаг сводиться к нахождению вектора Х по
n1m1
критерию
max M x   K  X 1 M X 1 j X j X j

I , J 1
Принятие решений в условиях неопределенности.
В1
V1 = 5
В2
V2 = 10 (-1) = 11
А1
U1 = 0
А2
U2= -1
5
А3
U3 = 6 - 11 = 5
10
4
В3
V3 = 3-(-5) =8
В4
V4 =2
8
10
2
10
5
3
130
30
120
6
3
10
350
120
100
70
170
50
230
100
/600
среда, 21 Ноября 2001 г.
Принятие решений в условиях неопределенности.
Как и в случаях принятия решений в рисковых ситуациях, конечная структуированная
задача в условиях неопределенности задается матрицей целевой функции. Отличие в
постановке задачи заключаются в том, что неизвестны вероятности реализации ситуаций.
Различие критериев принятия решения отражается в дополнительной информации,
известной ЛПР (лицу принимающему решение), его возможности и интересы.
1. Критерий Лапласа.
Исходит из предположения равной вероятности реализации различных ситуаций с
последующим применением критерия ожидаемого значения ( математичемкого ожидания).
25
Пример:
Ситуации
С1 - 0, 33
С2 - 0, 33
С3 - 0, 33
Определяем
средние
значения:
А1
2
1
0
1
Возможности рынка.
А2
1
0
-1
-2/3
А3
-1
0
1
0
А4
-1
0
2
1/3
0  1
2. Математический критерий Вальда Эрвина.
Является наиболее осторожным, поскольку он исходит из выбора наилучшего варианта из
множества наихудших возможностей. Если целевая функция является функцией потерь, то
выбирается решение обеспечивающее минимум потерь при любых возможных ситуациях.
FJI - матрица потерь. Критерием является минимум максимума.
Мin max (FJI) В том случае когда целевая функция равна прибыли, решением является значение действий
обеспечивающихся максимальной гарантии прибыли.
Minmax = max (0, -1, -1, -1).
3. Критерий оптимизма-пессимизма Гурвица.
Этот критерий старается охватить разнообразие подходов в принятии решений с помощью
водимого коэффициента альфа - показателя оптимизма.
Принятие решения, основывается на выводе решения обеспечивающего наибольшее
значение для величины.
 max f KI  1    min  f KI 
При альфа равном 0 в случае прибыли, критерий Гурвица совпадает с критерием мин.мах.
(минимакса).
При альфа = 1 и значениями матрицы F по определению убытка критерий совпадает с
критерием минмах.
Теория игр.
Теория игр зародилась в 1929 году, когда была опубликована статья Джона Фон
Неймана "Теория стратегических игр". В 1944 году выходит монография "Теория игр и
экономическое поведение".
В общем случае игры по критериям неопределенности ситуаций делятся:
1. Комбинаторные игры (шахматы, шашки… ). Неопределенность игры связанна с
множеством комбинаций, трудно поддающихся быстрому анализу.
2. Стахостические игры. (кости, рулетка…). Неопределенность игры обусловлена
непредсказуемостью ситуаций возникающих в игре. Критерием принятия решения является
- принятие решения в условиях риска.
3. Стратегические игры. Неопределенность игры обусловлена отсутствием информации.
оппонента (о действиях). Ситуации в которых эффективность действий одного из
участников зависят от других участников.
Самих же участников игры мы можем поделить на :
 Интересы участников игры совпадают.
 Участникам выгодно договариваться (существует обмен информацией).
 Интересы не совпадают и участникам может оказаться невыгодно сообщать друг другу о
своих намерениях. (Здесь велика вероятность развития конфликтных ситуаций).
Теория игр занимается построением математических моделей каждой ситуации и
разработкой методом нахождения оптимальных действий в этих условиях.
Терминалогия:
Математическая модель - Стратегическая игра.
Участники - Игроки.
Исход конфликта - выйгрыш (количество).
26
Действия игроков - Ходы.
Стратегия - план на основе которого осуществляются ходы.
В зависимости от числа возможных стратегий игры подразделяются на конечные и
бесконечные. В зависимости от числа игроков : на парные и множественные. Игры в которых
целью является максминимум: индивидуального выйгрыша - бескоалиционные.
Игры в которых действия направлены на мах выйгрыш группы без последующего раздела коалиционные .
Парная антогонистическая игра с 0 суммой выйгрыша и конечным числом стратегий
носит название матричной игры.
Матричная игра.
Матричная игра считается заданной если определенна ее матрица выйгрышей (матирца Нэша).
aik - определяет выигрыш первого игрока (или проигрыш второго игрока) при условии, что
1 игрок выбрал стратегию J, а 2 стратегию k.
Пример:
2 игрок
1 Стратегия
2 Стратегия
3 Стратегия
4 Стратегия
1 игрок.
1 Стратегия
10
6
4
10
2 Стратегия.
5
8
3
7
Решение принимается исходя из осторожного критерия.
Для 1-го игрока максимум гарантированного выгрыша.
Для 2-го игрока минимум возможного проигрыша.
Такой критерий считается оправданным при принятии ответственных решений,
связанных с возможными большими финансовыми, материальными, людскими потерями.
Гарантированный выигрыш 1-го игрока:
 i  min  ij 
1 J  m
B j  min aij 
 1  6
 2  5
jin
B j  10
B1  10
B2  8
B3  4
B4  10

Объем нижней цены игры равен = max  i   max min  ij

При условии что 1  i  n
Нижняя цена игры равна максимальному гарантированному выигрышу 1-го игрока. -5.
V  min max  ij min B j 
Верхняя цена игры равна: минимально возможному проигрышу второго игрока. Можно
показать что V1 больше равно V2.
Седловая точка в решениях стратегий. Диполь Курно.
пятница, 30 Ноября 2001 г.
Принятие решения в смешанных стратегиях в отсутствии седловой точки.
Под смешанными стратегиями понимают комбинации чистных стратегий, которые
принимаются с определенной частотой (вероятностью).
При определении критерия выбора чистых стратегий, исходят из критерия максимального
(среднего) выигрыша первого игрока и минимального среднего проигрыша второго игрока.
Величину максимального среднего выигрыша 1 игрока определяет формула:
M  pi q  
n
a
ij
pi q j где
i 1, j 1
Рi - вероятности с которыми первый игрок реализует свои стратегии.
Qj - вероятности с которыми второй игрок реализует свои стратегии.
27
Задача 1 игрока определить Рi - обеспечивающие максимальность функции 1 игрока и
минимальность ф-ции 2 игрока.
Смешанные стратегии 1-го игрока определяются из критерия максиума гарантируемого
выигрыша, при любых стратегиях 2-игрока.
Средний выйгрыш (задача первого игрока)
n
a
i 1
ij
pi  x, где
n
pi  0.... pi  1, гдеVi  max
i 1
(задача второго игрока)
m
~
 aij q j  V
j 1
m
V j  0....  1, где V  min
~
j 1
Пример:
1 Стратегия
2 Стратегия
-4
5
-2
4
-1
0
-3
-2
1.Определяем верхнюю цену игры:
 i  min aij 
m1
1С   4;2;1;3  4
 2С  5;4;0;2  2
 j  max a ji 
j 1 m
1  max  4;5  5
2. Определяем нижнюю цену игры:
V  max  i   max  4 : 2  2
~
1i  2
V min  min 5,4,0,3  0
1 j  4
Поиск решение задач в смешанных стратегиях.
Задача 1-го игрока
Задача 2-го игрока.
 4 p1  5 p2  V
 4q1  2q2  1q1  3q4  0
5q1  4q2  0q3  2q4  0
Yi  0
q1  q2  q3  q4  1
V  min
~
 2 p1  4 p2  V
~
 1 p1  50 2  V
~
 3 p1  ( 2) p2  V
~
Pi  0
~
P1  P2  1
V  max
28
Задача относиться к классу задач линейного программирования и имеет нестандартный вид.
В том случае, когда число стратегий не больше 2, ее решение можно получить графически.
Vˇˇ
V~~
-4P2 + 5(1 - P2) =V~ , при 0 = 5, при 1=-4
5
4
0
1
Pi
-1
-2
-4
Определяем стратегию 1-го игрока из системы уравнений:
 4 p1  2 p2  0

 ( p1  p2  1)  2
3 p1  2 p2  V
~

1
2
 P1  .....  V~ Из 2-го уравнения вычитаем 1-ое, складываем 6 p1  2, p1  . p2 
3
3

 P1  p2  1
1
V 
~
3
2 игрок
1 игрок
1 стратегия
2 стратегия
3 стратегия
4 стратегия
5 стратегия
J
1 стратегия
4
2
3
2
-2
4
2 стратегия
i
-3
1
0
2
3
3
-3
1
0
2
-2
V~ = max (-3,1,0,2,-2) = 2
V~ = min (4,3) = 3
Седловая точка в задаче отсутствует.
29
Задача 2-го игрока
Задача 1-го игрока.
4 p1  2 p2  3 p3  2 p4  2 p5  V
~
4q1  3q2  V
~
 3 p1  p2  2 p4  3 p5  V
~
2q1  q2  V
~
Pi  0
P1  P2  P3  P4  P5  1
V  max
~
Решение задачи второго игрока ищем графически, выбирая уравнение с двумя
переменными.
Vˇˇ
V~~
-4P2 + 5(1 - P2) =V~ , при 0 = 5, при 1=-4
5
4
Решение задачи вырожденное.
0
1
Pi
-1
-2


~
~

1
1
( 2 q1  3q2  V )  2   4 q1  q2  V  5q1  1  q1   q2 
5
3

q1  q2  1


~
2 q1Q  2 q2  V
Ответ Q1 принадлежит интервалу от (1/5:2/3)
Задача 3
1 cтратегия
2 стратегия

Q1
Q2
Q3
Q4
-1
5
5
7
-2
7
8
0
8
-3
7
7
  3
  2
Решение : Определяем наличие седловой точки в игре.
Определяем гарантированный выигрыш первого игрока.
1  min ij  3
1 j 4
30
1  min ij  2
1 j 4
Определяем максимально возможный проигрыш второго игрока.
 j  max ij  8
1 j 2
Определяем нижнюю цену игры.
V  max  i    3 : 2  2
~
~
V  min  i   5 : 7 : 8 : 7  5
~
V  V Так как в V нижнего меньше V верхнего игрока игрока, то игра не содержит седловой
~
точки и решение разыскивается в смешанных стратегиях
Задание 1
Задание 2
-  1 p1  5 p2  V
~
 1q1  7q2  8q3  3q4  V
~
7 p1  2 p2  V
~
5q1  2q2  0q3  7q4  V
~
8 p1  0 p2  V
qi  0
~
 3 p1  7 p2  V
q1  q2  q3  q4  1
~
V  min
Pi  0
~
P1  P2  1
V  max
Решение 1-го игрока находим графически:
 10 p1  9 p2  V
 3 p1  7 p2  V
~
~

Из
первого
уравнения
вычитаем
второе.
7
p

2
p

V
(
P

P

1
)

10
 1
2
1
2
~

10
 p1  p2  1
19 P2  10, P2 
19
Из геометрического решения определяем систему уравнений позволяющей вычислить
стратегию первого игрока.
5
4
0
1
Pi
-1
-2
Вычисляем V подставляя значения Р1 и Р2. V = 43/19
Таким образом ур-е  1 p1  5 p2  V истинное.
~
Производим вычисления согласно истинному уравнению.
31
 8P1  7 P2  0
 p1  5 p  V
P1  P2  1 | 8  8P1  8 P2  8

7 P1  2 P2  V
8
7
15P2  8  P2  , P1 
15
15
Таким образом оптимальными стратегиями 1-го игрока являются P2 
8
7
, P1 
15
15
Для определения стратегий второго игрока воспользуемся теоремой о
взаимодополнительных решениях. (2 теорема двойственности).
1 Задача
2 Задача
- q1 (  1 p1  5 p2  V )  0
~
p1 ( 1q1  7q2  8q3  3q4  V  0
~
q2 (7 p1  2 p2  V  0
~
p2 (5q1  2q2  0q3  7q4  V  0
~
q3 (8 p1  0 p2  V  0
qi  0
~
q4 ( 3 p1  7 p2  V  0
q1  q2  q3  q4  1
~
V  min
Pi  0
~
P1  P2  1
q1  0
q2  0
q3  0
q4  0
Из анализа теоремы двойственности получаем:
 q1  7q2  V  0

5q1  2q2  v  0  6q1  9q2  0
q  q  1
1
 2
 6q1  9q2  0

 15q2  6
6q1  6q2  6
q1 
9
9
, q 2 
5
15
Ответ:
Оптимальные стратегии для 1-го игрока P2 
Оптимальные стратегии для 2-го игрока
q1 
8
7
, P1 
15
15
9
9
, q2 
5
15
Рррррррррррррррррррррррррррр
1111111111
32