ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ « Паспорт фонда оценочных средств дисциплины «Функциональный анализ»

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
учебной дисциплины
«ФУНКЦИНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
Паспорт фонда оценочных средств
дисциплины «Функциональный анализ»
Контролируемые
№
дидактические
п/п
единицы
Контролируемые
Оценочные средства
компетенции
5 семестр
ОК-1,
ОК-2,
ПК-11
1.
Мощность множества
2.
ОК-1,
Топологические и метОК-2,
рические пространства
ПК-11
3.
Банаховы и гильбертоОК-1,
вы
пространства.
ОК-2,
Функционалы и операПК-11
торы.
4.
ОК-1,
Теория меры и интеОК-2,
грал Лебега.
ПК-11
Комплект вопросов для устного опроса студентов.
Задания для практических занятий.
Задания для аудиторной контрольной работы
№ 1.
Комплект вопросов для устного опроса студентов.
Задания для аудиторных самостоятельных работ.
Задания для практических занятий.
Комплект вопросов для устного опроса студентов.
Задания для практических занятий.
Задания для аудиторных самостоятельных работ.
Задания для аудиторной контрольной работы
№ 2.
Комплект вопросов для устного опроса студентов.
Задания для практических занятий.
План–график проведения контрольно-оценочных мероприятий
Дата1
Название
оценочного
мероприятия
Сентябрь
Текущий
–
деконтроль
кабрь
Сентябрь
Текущий
–
деконтроль
кабрь
Сентябрь
Текущий
–
деконтроль
кабрь
Вид оценочного средства
Объект контроля
Вопросы к практиче- Умения понимать и грамотно излагать
ским занятиям
основные теоретические положения
курса «Функциональный анализ».
Навыки применения теоретических
Задания для практичезнаний в процессе решения практических занятий
ских задач по темам курса «Функциональный анализ».
Задания для аудиторных Умения и навыки самостоятельной расамостоятельных работ
боты с теоретическим и практическим
материалом по темам курса «Функцио-
Точные даты проведения контрольно-оценочных мероприятий планируются преподавателем после составления и подписания сетевых графиков на факультете.
1
Название
оценочного
мероприятия
Дата1
Октябрь,
декабрь
Текущий
контроль
2-4-ая
неделя
января
Экзамен
Вид оценочного средства
Объект контроля
нальный анализ».
Задания для аудиторных Умения и навыки, полученные при
контрольных работ
изучении разделов курса «Функциональный анализ».
Билеты с теоретическими вопросами по дисци- ОК-1, ОК-2, ПК-11
плине
Оценочные средства текущего контроля успеваемости.
Методические рекомендации к процедуре оценивания
Организация занятий дисциплине. Фонд текущей аттестации
Занятия по дисциплине «Функциональный анализ» представлены следующими видами работы: лекции, практические занятия, самостоятельная работа студентов.
Текущая аттестация студентов. Текущая аттестация студентов по дисциплине
«Функциональный анализ» проводится в соответствии с Уставом Университета, локальными
документами Университета и является обязательной.
Текущая аттестация по дисциплине «Функциональный анализ» проводится в форме
контрольных мероприятий (аудиторных самостоятельных и контрольных работ) по оцениванию фактических результатов обучения студентов и осуществляется ведущим преподавателем.
Объектами оценивания выступают:
 учебная дисциплина (активность на занятиях, своевременность выполнения различных видов заданий, посещаемость всех видов занятий по аттестуемой дисциплине);
 степень усвоения теоретических знаний;
 уровень овладения практическими умениями и навыками по всем видам учебной
работы;
 результаты самостоятельной работы.
Активность студента на занятиях оценивается на основе выполненных студентом работ и заданий, предусмотренных данной рабочей программой дисциплины. Студент, пропустивший два занятия подряд, допускается до последующих занятий на основании допуска.
Кроме того, оценивание студента проводится на контрольной неделе (рубежный контроль) (на 4 неделе октября или на 1 неделе ноября) в соответствии с распоряжением ректора. Оценивание студента на контрольной неделе проводится преподавателем независимо от
наличия или отсутствия студента (по уважительной или неуважительной причине) на занятии. Оценка носит комплексный характер и учитывает достижения студента по основным
компонентам учебного процесса за текущий период. Оценивание осуществляется с выставлением оценок в ведомости и указанием количества пропущенных занятий.
Фонд текущего контроля включает:
 аудиторные самостоятельные работы,
 аудиторные контрольные работы.
Тематика заданий для практических занятий, типовые задачи
Практическое занятие № 1. Множества. Эквивалентные множества и их свойства
I. Множества. Сравнение конечных и бесконечных множеств
Вопросы.
1) Что можно сказать о понятии «множество»? Как охарактеризовал его Г. Кантор?
2) Когда множество задано?
3) Какое множество называют конечным, пустым, бесконечным?
4) Какое соответствие называют взаимно однозначным?
Задача 1. Постройте всевозможные отображения множества А  а1 , а2  в множество
В  т, п.
Задача 2. Охарактеризуйте отображение f : R  R , заданное формулами:
а) f x   x 3 ; б) f x   2 x ; в) f x  cos x .
II. Эквивалентные множества и их свойства
Вопросы.
1) Дайте определение эквивалентных (равномощных) множеств.
2) Каковы свойства эквивалентных (равномощных) множеств?
Задача 3. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством N натуральных чисел и множеством всех целых чётных чисел.
Задача 4. Найдите взаимно однозначное отображение отрезка 0; 1 на отрезок а; b.
Задача 5. Найдите взаимно однозначное отображение интервала 0; 1 на всю числовую прямую.
Задача 6. Постройте взаимно однозначное отображение отрезка 0; 1 на интервал
0; 1 .
Задача 7. Установите взаимно однозначное отображение между лучом 0;   и интервалом a; b  .
Задача 8. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно отображающая
отрезок а; b на всю числовую прямую?
Задача 9. Существует ли непрерывная функция, взаимно однозначно отображающая
отрезок а; b на интервал с; d  ?
Задача 10. Установите взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и множеством точек плоскости, являющихся дополнением к замкнутому единичному кругу.
Практическое занятие № 2. Понятие мощности множества. Счетные множества и их
свойства
I. Понятие мощности множества
Вопросы.
1) Что называют мощностью множества А?
2) Как обозначают мощность множества?
3) Обобщением какого понятия является понятие мощности множества?
II. Счетные множества и их свойства
Вопросы.
1) Какие множества называют счетными? Как обозначают мощность счетного множества?
2) Сформулируйте и докажите критерий счетного множества.
3) Приведите примеры счетных множеств.
Задача 1. Докажите счетность множества рациональных чисел.
Задача 2. Докажите, что во всяком бесконечным множестве есть счетное подмножество.
Вопросы.
1) Что можно сказать о подмножестве любого счетного множества?
2) Каким множеством является объединение конечного числа счетных множеств?
3) Каким множеством является объединение счетного множества счетных множеств?
Задача 3. Докажите счетность множества рациональных чисел другим способом.
Вопросы.
1) Каким множеством является объединение счетного множества конечных множеств?
2) Сформулируйте теорему о множестве, элементы которого определяются п индексами, каждый из которых пробегает счетное множество значений.
Задача 4. Докажите, что множество упорядоченных пар целых чисел счетное.
Задача 5. Какова мощность всех треугольников на плоскости, вершины которых расположены в точках с натуральными координатами?
Задача 6. Какова мощность множества всех шаров в пространстве с рациональными
радиусами и центрами, расположенными в точках с рациональными координатами?
Задача 7. Какова мощность множества всех алгебраических чисел?
Практическое занятие № 3. Множества мощности континуума
I. Понятие несчетного множества
Вопрос. Какое множество называют несчетным?
Задача 1. Докажите, что множество точек отрезка 0; 1 несчетно.
Задача 2. Докажите, что мощность бесконечного множества не изменится, если к нему
добавить конечное или счетное множество.
Задача 3. Докажите, что мощность несчетного множества не изменится, если из него
удалить конечное или счетное подмножество.
II. Множества мощности континуума
Вопросы.
1) Какие множества называют множествами мощности континуума? Как обозначают
мощность множества континуума? Приведите примеры множеств мощности континуума.
2) Какие числа называют трансцендентными?
Задача 4. Какова мощность множества трансцендентных чисел?
III. Свойства множеств мощности континуума
Вопросы.
1) Каким множеством является объединение конечного или счетного множества множеств мощности континуума?
2) Сформулируйте теорему о множестве, элементы которого определяются конечным
или счетным множеством индексов, каждый из которых независимо от других пробегает
множество значений мощности континуума?
Задача 5. Докажите, что множество упорядоченных пар действительных чисел является множеством мощности континуума.
Задача 6. Какова мощность всех квадратов на плоскости, вершины которых расположены в точках с иррациональными координатами?
Задача 7. Докажите, что множество всех шаров в пространстве с действительными радиусами и центрами, расположенными в точках с иррациональными координатами, является
счетным.
Задача 8. Какова мощность множества всех отрезков на числовой прямой?
Практическое занятие № 4. Теорема Кантора-Бернштейна. Признаки равномощности множеств
I. Признаки эквивалентности (равномощности) множеств
Вопросы.
1) Какое множество называют промежуточным?
2) Докажите теорему о мощности промежуточного множества.
3) Докажите теорему Кантора-Бернштейна.
Задача 1. Докажите, что любой отрезок числовой прямой эквивалентен любому интервалу.
Задача 2. Докажите, что любой круг на плоскости эквивалентен любому квадрату.
II. Сравнение мощностей. Существование множеств сколь угодно большой мощности
Вопросы.
1) Когда мощности множеств равны? Когда мощности множеств связаны знаком неравенства?
2) Что можно сказать о мощности множества всех подмножеств некоторого множества?
3) Существуют ли среди бесконечных множеств множество самой большой мощности? Приведите примеры.
III. Двоичная запись действительных чисел
Задача 3. Докажите, что между множеством чисел отрезка 0; 1 и множеством последовательностей, состоящих из 0 и 1, можно установить взаимно однозначное соответствие.
Задача 4. Какова мощность множества всех последовательностей, состоящих из 0 и 1?
Задача 5. Какова мощность множества всех последовательностей, состоящих из двух
символов?
Задача 6. Какова мощность множества всех возрастающих последовательностей натуральных чисел?
Задача 7. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел?
Задача 8. Какова мощность множества всех подмножеств множества натуральных чисел?
Практическое занятие № 5. Контрольная работа № 1
Практическое занятие № 6. Метрические пространства
I. Определение топологического пространства
Вопросы.
1) Что называют топологией на множестве Х ?
2) Дайте определение топологического пространства, точки этого пространства.
3) Какие множества называют открытыми?
4) Что значит «задать топологическое пространство»?
5) Какие множества называют замкнутыми?
6) Что называют окрестностью точки в топологическом пространстве?
7) Какое топологическое пространство называют хаусдорфовым?
II. Определение и примеры метрических пространств
Вопросы.
1) Что называют метрикой?
2) Что называют метрическим пространством?
3) Приведите примеры метрических пространств, указав метрику в каждом из них.
Задача 1. Является ли метрикой на множестве натуральных чисел функция:
х у
 х, у  
?
ху
Задача 2. Задают ли метрику на числовой прямой следующие функции:
1)  х, у   х 3  у 3 ; 2)  х, у   х 2  у 2 ;
 х, у   arctg х  arctg у .
Задача 3. Образует ли метрическое пространство множество точек числовой прямой,
если
1, если х  у,
1)  х, у   
3)  х, у   sin х  у  ;
0, если х  у;
2)  х, у   х  у ;
4)  х, у   x 2  2 y 2 х  у .
Задача 4. Образует ли метрическое пространство множество точек плоскости, если


определить расстояние между точками М1 х1 , у1  и М 2 х2 , у2  по формуле:
1)  М 1 , М 2  

х1  х2 
у1  у 2

2
;
2)  М 1 , М 2   4 х1  х2    у1  у 2  .
4
4
Задача 5. Найдите расстояние между функциями f x   х 2 и g x  2х  3 в метриках пространств:
1) С0; 4 ;
2) С1 0; 4 ; 3) С2 0; 4; 4) D1 0; 4 .
Практическое занятие № 7. Основные топологические понятия метрических пространств. Открытые множества и их свойства
I. Основные топологические понятия метрических пространств
Вопросы.
1) Что называют открытым шаром в метрическом пространстве?
2) Дайте определение  -окрестности точки. Приведите примеры  -окрестностей точек в одномерном и двумерном евклидовых пространствах; в дискретном пространстве.
3) Каковы свойства окрестностей?
Задача 1. Дайте определение  -окрестности точки f 0 в пространстве Са; b .
Найдите окрестность радиуса   1 функции синус в пространстве С0; 2  .
Принадлежат ли этой окрестности функции: 1) cos x ; 2) 1,5 sin x ; 3) 2 sin x ; 4)
sin x  0,5 ?
II. Открытые множества и их свойства
Вопросы.
1) Какую точку множества называют внутренней?
2) Дайте определение открытого множества. Приведите примеры открытых множеств
в конкретных метрических пространствах.
Задача 2. Докажите, объединение любой совокупности открытых множеств открыто.
Задача 3. Докажите, пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто.
Задача 4. Верно ли, что пересечение счетного множества открытых множеств открыто?
Практическое занятие № 8. Замкнутые множества. Структура открытых и замкнутых множеств на числовой прямой. Совершенное множество Кантора
I. Замкнутые множества и их свойства
Вопросы.
1) Какую точку множества называют точкой прикосновения?
2) Дайте определение замыкания множества, замкнутого множества. Приведите примеры замкнутых множеств в конкретных метрических пространствах.
Задача 1. Докажите, что в любом метрическом пространстве замкнутый шар является
замкнутым множеством.
Задача 2. Докажите, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто.
Задача 3. Докажите, пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.
Задача 4. Всегда ли замкнуто объединение счетного множества замкнутых множеств?
II. Характерные точки множеств. Критерии замкнутости множества
Вопросы. 1) Дайте определение предельной, изолированной и граничной точек множества из метрического пространства. Приведите примеры.
2) Как связаны между собой точка прикосновения, предельная точка и изолированная
точка множества?
3) Дайте определение границы множества.
Задача 5. Докажите, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
Задача 6. Докажите, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.
III. Структура открытых и замкнутых множеств на числовой прямой. Совершенное множество Кантора
Вопросы.
1) Какова структура открытых множеств на числовой прямой?
2) Какова структура замкнутых множеств на числовой прямой?
3) Дайте определение множества Кантора.
4) Какое множество называют совершенным?
Задача 7. Докажите, что множество Кантора является совершенным и имеет мощность
континуума.
Практическое занятие № 9. Сходимость последовательностей в метрических пространствах
I. Сходимость последовательностей в метрических пространствах
Вопросы.
1) Что называют последовательностью точек метрического пространства?
2) Дайте определение предела последовательности.
3) Сформулируйте критерий сходимости.
4) Какую последовательность называют сходящейся?
5) Каковы свойства сходящихся последовательностей?
Задача 1. Докажите, что в т-мерном евклидовом пространстве сходимость последовательности по метрике равносильна сходимости по координатам.
Задача 2. Вычислите пределы последовательностей:
2n
2


 п  1 2п 3 
 ; 2) bп   1 ; 1  1  ; n  3  .
1) а п   п ; 3
 2 п  n  1  3n 2 
п  1 
 3


Задача 3. Докажите, что в пространстве непрерывных функций Са; b сходимость
последовательности по метрике равносильна равномерной сходимости функциональной последовательности на отрезке а; b.
х
Задача 4. Сходится ли последовательность f п х  
к функции f х   0 по
1  п2 х2
метрике пространств: 1) С0; 1; 2) С1 0; 1.
Задача 5. Сходится ли последовательность f п х   х е пх к функции f х   0 по мет-
рике пространства С0; 10.
Практическое занятие № 10. Непрерывные отображения метрических пространств.
Компактные и связные множества в метрическом пространстве.
Непрерывные отображения компактных и связных множеств
I. Непрерывные отображения метрических пространств
Вопросы.
1) Когда говорят, что задано отображение метрического пространства Х в метрическое
пространство Y?
2) Что называют образом множества А  Х при отображении f : X  Y ?
3) Что называют прообразом множества B  Y при отображении f : X  Y ? Каковы
свойства образа и прообраза?
4) Дайте определение отображения, непрерывного в точке на разных языках. Какое
отображение называют непрерывным на множестве?
5) Приведите примеры непрерывных отображений.
6) Как можно определить плоскую кривую Жордана?
7) Какое отображение называют гомеоморфизмом?
8) Какие МП называют гомеоморфными?
Задача 1. Докажите, что отображение f : X  Y непрерывно на множестве Х тогда и
только тогда, когда прообраз f 1 G  любого открытого множества G  Y является открытым множеством в Х.
II. Компактные множества
Вопросы.
m
1) Сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрасса в метрическом простанстве R .
2) Дайте определение компактного множества К в метрическом простанстве М. Пример.
3) Какое множество называют ограниченным?
4) Каковы свойства компакта?
m
Задача 2. Докажите критерий компактности в метрическом простанстве R .
III. Непрерывные отображения компактов
Задача 3. Докажите, что непрерывный образ компакта есть компакт.
Задача 4. Докажите теорему Вейерштрасса об ограниченности и существовании
наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компакте.
Задача 5. Докажите теорему об обратном отображении.
Практическое занятие № 11. Связные множества в метрическом пространстве
I. Связные множества
Вопросы.
1) Какое метрическое пространство называют связным, несвязным?
2) Какое множество метрического пространства называют связным?
3) Приведите простейшие примеры связных множеств.
Задача 1. Докажите связность отрезка.
Задача 2. Докажите, что непрерывный образ связного метрического пространства является связным метрическим пространством.
Вопросы.
1) Является ли кривая Жордана связным множеством?
2) При каких условиях метрическое пространство М является связным?
3) Дайте определение линейного связного множества.
4) Какова связь между линейно связным и связным множествами.
5) Что можно сказать о связи линейно связных и связных множеств?
п
6) Какое множество называют областью в метрическом пространстве R ?
II. Линейно связные множества на числовой прямой. Классические теоремы математического анализа
Вопросы.
1) Каков критерий линейной связности множества на числовой прямой?
2) Сформулируйте теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении и об обращении в нуль непрерывной функции.
Задача 3. Докажите, что непрерывный образ линейно связного множества является
линейно связным множеством.
Практические занятия № 12. Полные метрические пространства и их свойства.
Принцип сжимающего отображения (метод неподвижной точки)
I. Полные метрические пространства и их свойства
Вопросы.
1) Какую последовательность точек метрического пространства называют фундаментальной?
2) Какова связь между сходящейся и фундаментальной последовательностью? Верно
ли обратное утверждение?
3) Какое метрическое пространство называют полным?
4) Приведите примеры полных метрических пространств.
5) Каковы свойства полных метрических пространств?
6) Определения изометрии, изометричных метрических пространств, пополнения
полного метрического пространства. Сформулируйте теорему о единственности пополнения.
m
Задача 1. Докажите полноту пространства R
Задача 2. Докажите полноту пространства Са; b .
Задача 3. Докажите полноту пространства l 2.
II. Принцип сжимающего отображения
Вопрос. Дайте определения неподвижной точки отображения и сжимающего отображения.
Задача 4. Докажите теорему о непрерывности сжимающего отображения.
Задача 5. Докажите теорему Банаха – принцип сжимающего отображения.
Практическое занятие № 13. Линейные нормированные и банаховы пространства.
Евклидовы и гильбертовы пространства
I. Банаховы пространства
Вопросы
1) Дайте определение линейного пространства.
2) Что называют нормой?
3) Какое линейное пространство называют нормированным?
4) Приведите примеры линейных нормированных пространств, указав норму в каждом из них.
5) Какое из понятий является более общим: «метрическое пространство» или «линейное нормированное пространство»?
Задача 1. Задают ли норму на числовой прямой следующие функции:
1)
х;
2)
х ;
3)
х2 ;
4) х ; 5) х 2 .
Задача 2. Докажите, что линейное нормированное пространство является метрическим
пространством с расстоянием  х, у   х  у .
Задача 3. Докажите, что:
1) Са; b – нормированное пространство.
2) С1 а; b – нормированное пространство.
3) D1 а; b – нормированное пространство.


Задача 4. Найдите норму функции f x   0,2 4 х 3  х 4 в пространствах:
1) С 1; 5; 2) С1  1; 5 ; 3) С2  1; 5 ; 4) D1  1; 5.
II. Гильбертовы пространства
Вопросы.
1) Что называют скалярным произведением элементов линейного пространства?
2) Дайте определение евклидова пространства.
3) Приведите примеры евклидовых пространств, указав скалярное произведение его
элементов.
Задача 5. Задают ли скалярное произведение на числовой прямой следующие формулы:
1) х, у   ху ;
2) х, у   ху3 ;
3) х, у   5ху .
Задача 6. Докажите, что для скалярного произведения справедливо неравенство Коши-Буняковского: х, у   х, х    у, у  .
Задача 7. Докажите, что евклидово пространство является линейным нормированным
пространством с нормой х 
х, х  .
Практические занятия № 14. Разложение функций в тригонометрические ряды
Фурье на отрезке [ ;  ] .
I. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке   ;   .
Вопросы.
1) Сформулируйте теорему Дирихле о достаточном условии разложения функции в
тригонометрический ряд Фурье.
2) В чем заключается отличие суммы S х  тригонометрического ряда от функции
у  f x  ?
3) Каков алгоритм разложения функции у  f x  в тригонометрический ряд Фурье?
Задача. Разложить в тригонометрические ряды Фурье следующие функции:
х
1) f  x     на   ;   ;
3) f x    x на   ;   ;
3
   х  0,
 х,    х  0,
1,
2) f x   
4) f x   
0  x  .
0  x  .
2 х,
 х  1,
Практическое занятие № 15. Разложение четных и нечетных функций в тригонометрический ряд Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье по синусам и по
косинусам
I. Разложение четных функций в тригонометрический ряд Фурье
Вопрос. Какой вид имеет тригонометрический ряд Фурье четной функции?
Задача 1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f x   х  1 .
II. Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд Фурье
Вопрос. Какой вид имеет тригонометрический ряд Фурье нечетной функции?
х
Задача 2. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f  x   sin .
2
III.
Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье по синусам
Вопрос. Как можно разложить в тригонометрический ряд Фурье по синусам функцию
у  f х  , определенную на отрезке 0,   ?
Задача 3. Разложить в тригонометрический ряд Фурье по синусам функцию:


0х ,
 x,
2
f x   
  х,   x   .

2
IV.
Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье по косинусам
Вопрос. Как можно разложить в тригонометрический ряд Фурье по косинусам функцию у  f х  , определенную на отрезке 0,   ?
Задача 4. Разложить в тригонометрический ряд Фурье по косинусам функцию:


sin
x
,
0

х

,

2
f x   

 1,
 x  .

2
Практические занятия № 16. Разложение функций в тригонометрические ряды
Фурье на отрезке [l ; l ]
I. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке  l; l 
Вопрос. Как разлагается функция в тригонометрический ряд Фурье на отрезке  l, l 
l  0 ?
Задача. Разложить в тригонометрический ряд Фурье следующие функции:
1  2 x,  1  х  0,
1) f x   
3) f x   е х , 0  х  1 по синусам.
0  x  1.
 2,
 0,  2  х  0,
0  х  1,
 1,

2) f x     х,
4) f x   
по косинусам.
0  x  1,
2

х
,
1

x

2

 1,
1  x  2.

Практическое занятие № 17. Контрольная работа № 2
Практическое занятие № 18. Линейные функционалы
I. Понятие линейного функционала и его примеры
Вопросы.
1) Что называют функционалом?
2) Какой функционал называют линейным?
Задача 1. Докажите, что скалярное произведение f х   x, a  задает линейный функционал в пространстве Rп для любого х  R n и некоторого фиксированного элемента а  R n .
Задача 2. Докажите, что соотношение f k x   хk задает линейный функционал в пространстве l 2 для каждого х  x1 , x2 , ... , xn , ... из l 2 и некоторого фиксированного целого положительного числа k.
b
Задача 3. Докажите, что интеграл Римана I  f    f  x  dx задает линейный функциоa
нал на пространстве Сa, b непрерывных функций.
II. Свойства линейного функционала
Вопрос. Сформулируйте определения непрерывного функционала в точке линейного
нормированного пространства Х по Гейне и по Коши.
Задача 4. Докажите, что если линейный функционал f непрерывен в какой-либо точке линейного нормированного пространства Х , то он непрерывен на всем Х .
Задача 5. Докажите, что для того чтобы линейный функционал f , определенный на
линейном нормированном пространстве Х , был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен, то есть
f х   М х
(
 х Х .
*)
Задача 6. Докажите, что если f – непрерывный линейный функционал, то среди всех
чисел М , удовлетворяющих неравенству (*) есть наименьшее.
III. Норма линейного функционала
Определение. Наименьшее из чисел М , при которых выполняется неравенство (*)
называют нормой функционала f и обозначают: f .
1) Так как f  inf M , то f  М для любого М  М  .
f x 
 x 
 f   , x  0 .
x
 x 
Определение. Точную верхнюю границу значений f x  на единичном шаре линейно-
2)
го
 х Х

нормированного
f х   f  х
пространства

Х
f 
называют
нормой
функционала
f :
f  sup
x 0
f x 
x
 sup f x  .
x 1
Задача 7. Найдите норму линейного функционала f х   x, a  в пространстве Rп.
b
Задача 8. Найдите норму функционала I  f    f  x  dx в пространстве Сa, b.
a
Задача 9. Покажите, что функционал F  f  
0, 5

0
f x  dx 
1
 f x dx
в пространстве
0, 5
С0,1 линеен, и найдите его норму.
Задача 10. Докажите, что если рx – непрерывная функция на отрезке a, b , то норма
b
b
a
a
функционала F  f    p x   f  x  dx в пространстве Сa, b равна F   p x  dx .
Практические занятия № 19. Линейные операторы
I. Понятие линейного оператора и его примеры
Вопросы.
1) Что называют линейным оператором? его областью определения?
2) Что называют образом, прообразом элемента?
3) Дайте определение области значений оператора.
4) Какой оператор называют взаимно однозначным?
5) Дайте определение обратного оператора.
6) Приведите примеры линейных операторов.
II. Понятие непрерывного линейного оператора
Вопрос. Дайте определение непрерывного оператора в точке по Коши и по Гейне.
Задача 1. Докажите, что если Х и Y – банаховы пространства и линейный оператор
A : Х  Y непрерывен в точке 0  Х , то он непрерывен в любой точке х0  Х .
III. Ограниченность линейного оператора
Вопрос. Какой линейный оператор называют ограниченным?
Задача 2. Докажите, что если Х и Y – банаховы пространства, то линейный оператор
A : Х  Y непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
IV. Норма линейного оператора
Вопросы.
1) Какие операции можно определить во множестве линейных непрерывных операторов?
2) Что называют нормой линейного оператора?
Задача 3. Докажите, что норма линейного оператора удовлетворяет всем аксиомам
нормы.
Практические занятия № 20. Мера множества по Лебегу
Вопросы.
1) Сформулируйте теорему о структуре открытых множеств на числовой прямой.
2) Что называют мерой а) интервала; б) ограниченного открытого множества?

Задача 1. Докажите сходимость ряда G    k   k  , где  k ,  k  – попарно непеk 1
ресекающиеся интервалы, из которых состоит открытое ограниченное множество G .
Вопросы.
1) Что называют внешней мерой множества? Всякое ли ограниченное множество имеет внешнюю меру?
2) Дайте определение измеримого множества и его меры.
Задача 2. Пользуясь определением измеримого множества, докажите, что отрезок
а; b измерим, причем его мера а; b  b  a a  b.
Задача 3. Пусть измеримое множество Е  а; b. Докажите, что множество
Е  а; b \ Е измеримо, причем  Е   а; b  E .
Задача 4. Докажите, что замкнутое ограниченное множество измеримо.
Вопрос. Дайте определение счетной аддитивной меры?
Задача 5. Докажите, что объединение (если оно ограничено) счетного множества измеримых множеств является измеримым множеством.
Задача 6. Докажите, что множество Q всех рациональных чисел произвольного отрезка а; b измеримо, причём Q  0 .
Задача 7. Докажите, что множество I всех иррациональных чисел произвольного отрезка а; b измеримо, и найдите его меру.
Задача 8. Пусть Е – ограниченное множество такое, что   E  0 . Докажите, что Е
измеримо, причем E  0 .
Задача 9. Докажите, что всякое подмножество множества меры нуль имеет меру нуль.
Практическое занятие № 21. Измеримые функции и их свойства
Вопрос. Дайте определение измеримой функции.
Задача 1. Докажите, что функций Дирихле Dх  измерима на отрезке а; b.
Задача 2. Докажите, что всякая функция f х  , непрерывная на отрезке а; b, измерима на нем.
Задача 3. Пользуясь определением, докажите измеримость функций:
2) f х  x, x  a; b;
1) f х  с  сопst , x  a; b;
0 при 0  х  1 2,
3) f х   
1 при 1 2  х  1.
Вопросы.
1) Сформулируйте теорему, выражающую необходимое и достаточное условие измеримости функции на множестве Е .
2) Сформулируйте свойства 1 – 4 измеримых функций.
Задача 4. Докажите свойства 1 – 3 измеримых функций.
Вопросы.
1) Когда говорят, что некоторое свойство справедливо почти всюду на множестве Е .
2) Какие функции называют эквивалентными на множестве Е ?
Задача 5. Докажите, что функция Дирихле эквивалентна на отрезке а; b непрерывной функции.
Вопросы.
1) Чему равна мера множества точек разрыва функции Дирихле на отрезке а; b?
2) Сформулируйте и докажите свойство 5 измеримых функций.
Задача 6. Докажите, что если функция f х  эквивалентна на отрезке а; b непрерывной функции, то f х  измерима на а; b.
Вопрос. Сформулируйте теорему Лузина. Проиллюстрируйте ее на примере функции
0 при 0  х  1 2,
f х   
1 при 1 2  х  1.
Описание оценочных средств по видам работ
Проверочные работы по дисциплине «Функциональный анализ»
Проверочные работы по дисциплине «Функциональный анализ» разделяются на аудиторные самостоятельные работы, аудиторные контрольные работы. Самостоятельная работа
выполняется в течение 20-30 минут. Контрольная работа выполняется в течение всей пары.
Примерные задания аудиторных самостоятельных работ
Самостоятельная работа № 1 (5 семестр)
Задание. Найти расстояние между функциями f ( x)  x 3 и g ( x)  3 x  4 в пространствах:
1) C[0; 2] ;
2) C1[0; 2] ;
3) C2 [0; 2] .
Самостоятельная работа № 2 (5 семестр)
Задание. Вычислить норму функции f ( x)  x 2  x в пространствах:
1) C[2; 2] ; 2) C1[2; 2] ; 3) C2 [2; 2] .
Самостоятельная работа № 3 (5 семестр)
Задание. A  R2 . Найти A , A, A и AO , если A  (0;2]  {1;3} .
Примерные варианты заданий аудиторных контрольных работ
Контрольная работа № 1 (5 семестр)
Задание 1. Установить биекцию между множествами:
1) N и В – квадратных корней из нечётных чисел.
2) 2; 3 и 1; 4 (тремя способами).
3) 3; 4 и 3; 4 .
4) 0;   и 1; 3 .
5) 0; 2 и 0;   .
6) R и 1; 2 .
Задание 2. Доказать эквивалентность
1) любого открытого круга и любого замкнутого шестиугольника;
2) любого замкнутого тетраэдра и любого открытого шара.
Задание 3. Какова мощность множества
1) квадратичных функций с натуральными коэффициентами;
2) всех квадратов на плоскости;
3) всевозможных подмножеств множества Q;
4) всевозможных последовательностей целых чисел;
5) конечных подмножеств множества алгебраических чисел.
Контрольная работа № 2 (5 семестр)
Задание. Разложить в ряд Фурье следующие функции:
1) f ( x)    2x,
x    ;  ;
x
 ,  3  x  0,
3) f ( x)   3
2, 0  x  3;
2) f ( x)  cos x,
x  0;   по синусам;
 x, 0  x  1,
4) f ( x)  
1, 1  x  2,
по косину-
сам.
Критерии оценки выполнения студентами аудиторных самостоятельных работ
и аудиторных контрольных работ
 « Отлично» – решены все задачи работы с подробными объяснениями.
 «Хорошо» – работа выполнена, но есть арифметические ошибки или не до конца
обоснованы решения задач.
 «Удовлетворительно» – выполнено 2 3 проверочной работы.
 «Неудовлетворительно» – во всех остальных случаях.
Оценочные средства промежуточной аттестации.
Методические рекомендации по проведению процедур оценивания
Фонд промежуточной аттестации: вопросы к экзамену.
Промежуточная аттестация студентов. Промежуточная аттестация по дисциплине
«Функциональный анализ» проводится в соответствии с Учебным планом в виде экзамена.
В пятом семестре: экзамен – в период экзаменационной сессии в соответствии с графиком проведения экзаменов.
Студент допускается к экзамену по дисциплине в случае выполнения им учебного
плана по дисциплине: выполненных и защищенных работ. В случае наличия учебной задолженности студент отрабатывает пропущенные занятия в форме, предложенной преподавателем и представленной в настоящей программе.
Экзамен принимает лектор. Экзамен проводится в устной форме по билетам. Экзаменатору предоставляется право задавать студентам дополнительные вопросы сверх билета, а
также, помимо теоретических вопросов, давать задачи и примеры, связанные с курсом. Количество вопросов в экзаменационном билете – 2.
Вопросы к экзамену (5 семестр)
1. Понятие мощности множества (определения взаимно однозначного соответствия,
эквивалентных множеств, примеры. Свойства эквивалентных множеств. Определение мощности множества).
2. Счётные множества (определение, теоремы 1–2, свойства 1–4 о счётных множествах). Примеры счётных множеств.
3. Несчётные множества (определение, теорема о несчётности точек отрезка [0, 1]).
Определение множества мощности континуума, теорема о бесконечном множестве и теорема
о несчётном множестве. Примеры множеств мощности континуума. Свойства 1–3 множеств
мощности континуума.
4. Признаки эквивалентных множеств (о мощности промежуточного множества, теорема Кантора-Бернштейна, примеры).
5. Сравнение мощностей. Существование множеств, сколь угодно высокой мощности
(теорема о множестве всех подмножеств данного множества).
6. Определения: метрики, метрического пространства, носителя и точки. Примеры
метрических пространств. Определения индуцированной метрики и подпространства.
7. Открытые множества (открытый шар,  -окрестность точки, примеры, свойства
окрестностей; внутренняя точка, открытое множество, примеры). Теорема об объединении и
пересечении открытых множеств.
8. Замкнутые множества (определения: точки прикосновения, замыкания, замкнутого
множества, примеры). Теорема о связи замкнутых и открытых множеств. Теорема о пересечении и объединении замкнутых множеств.
9. Характеристические точки множеств (предельная, изолированная, граничная точки
множества, граница множества, примеры). Критерии замкнутости множества.
10. Структура открытых и замкнутых множеств на числовой прямой. Совершенное
множество Кантора.
11. Сходимость последовательности в метрическом пространстве (определения: последовательности точек метрического пространства, предела последовательности, сходящейся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Сходимость в конкретных метрических пространств ( R m , Са ; b )).
12. Непрерывные отображения метрического пространства (определения: отображения, образа, прообраза множества, непрерывного отображения в точке и на множестве, примеры непрерывных отображений). Критерий непрерывности отображения.
13. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности в метрическом пространстве R m . Определения ограниченного множества и компактного множества.
Свойства компактов. Критерий компактности в метрическом пространстве R m .
14. Непрерывные отображения компактов (теорема о непрерывном образе, теорема
Вейерштрасса).
15. Связные множества (определения: связного и несвязного метрического пространства, связного множества, примеры. Теоремы о связности отрезка и о непрерывном образе
связного множества. Теорема о связности метрического пространства. Определение линейно
связного метрического пространства. Связь между линейно связным и связным множествами.
16. Линейно связные множества на числовой прямой. Классические теоремы математического анализа (теоремы Больцано-Коши). Теорема о непрерывном образе линейно связного множества и её следствия.
17. Определение фундаментальной последовательности. Теорема о связи сходящейся
и фундаментальной последовательности. Определение полного метрического пространства.
Примеры полных метрических пространств ( R m , Са ; b, l 2).
18. Свойства полных метрических пространств (теорема о замкнутом множестве, теорема о вложенных шарах). Определения: изометрии, изометричных пространств, пополнения
метрического пространства. Сформулировать теорему о пополнении метрического пространства.
19. Определения неподвижной точки и сжимающего отображения. Теорема о непрерывности сжимающего отображения. Теорема Банаха – принцип сжимающих отображений.
20. Определения: линейного пространства, нормированного пространства и нормы
вектора. Теорема о связи линейного нормированного пространства и метрического пространства. Примеры линейных нормированных пространств. Банаховы пространства (определение и примеры).
21. Определения: скалярного произведения и евклидова пространства. Неравенство
Коши-Буняковского. Теорема о связи Евклидова пространства, линейного нормированного
пространства и метрического пространства. Примеры евклидовых пространств. Гильбертовы
пространства (определение и примеры).
22. Ортонормированные системы (определение и пример).
23. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве (понятие общего ряда Фурье, теорема об
экстремальном свойстве коэффициентов Фурье). Неравенство Бесселя. Базис гильбертова
пространства. Равенство Парсеваля.
24. Тригонометрические ряды Фурье.
25. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке   ;   .
26. Разложение четных и нечетных функций в тригонометрический ряд Фурье.
27. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье по синусам и по косинусам.
28. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье на отрезке  l; l  .
29. Линейные функционалы и линейные операторы (понятие и примеры, определение
взаимно однозначного и обратного операторов). Теорема о взаимно однозначном операторе
и о линейности обратного оператора.
30. Непрерывность и ограниченность линейного оператора. Пространство линейных
операторов. Норма линейного оператора.
31. Элементы теории меры (понятие открытого покрытия, лемма Гейне-Бореля, определение линейной меры Лебега, теоремы). Примеры измеримых множеств. Свойства множеств, измеримых по Лебегу.
32. Измеримые функции (понятие и примеры измеримых функций) и их свойства.
33. Интеграл Лебега (определение и свойства). Доказать, что функция Дирихле интегрируема по Лебегу. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Оценивание студента на экзамене по дисциплине «Функциональный анализ»:
Знания, умения, навыки студента на экзамене оцениваются оценками:
Оценка экзамена
(стандартная)
«Отлично»
Требования к знаниям на устном экзамене по билетам
Оценка «отлично» выставляется студенту, если он глубоко и прочно
усвоил программный материал; последовательно, четко, логически
стройно и полно излагает основные положения вопроса. Умеет тесно
увязывать теорию с практикой: свободно справляется с задачами, вопросами и другими видами применения знаний, причем не затрудняется с
ответом при видоизменении заданий, использует в ответе материал дополнительной литературы.

Умеет правильно построить математическую модель конкретной задачи, алгоритм ее решения и безупречно обосновать свои рассуждения.

Владеет основными приёмами преобразования выражений и методами решения типовых задач.

Приобрел навыки в применении дедуктивных рассуждений в процессе решения различных типов задач.
Оценка «хорошо» выставляется студенту, если он твердо
знает программный материал, грамотно его излагает. Не допускает
логических неточностей в процессе решения задач.

Умеет, но с небольшими ошибками арифметического характера
применить полученные знания при решении задач.

Владеет, но с незначительными ошибками, основными методами
решения задач.
Приобрел опыт в систематизации типов задач и алгоритмов их решения.


«Хорошо»
Оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если он имеет
знания только основного материала, но не усвоил его деталей, не допускает грубых ошибок в ответе, допускает отдельные неточности в решении задач.

Умеет, но со значительными ошибками, применить полученные
знания при решении задач.

Не владеет ясным представлением об алгоритмах основных типов
задач.

Приобрел опыт решения простейших задач.

«Удовлетворительно»
Оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который
допускает грубые ошибки в ответе.

Не умеет применять полученные знания при решении задач.

Не владеет основными методами решения простейших задач.

Не приобрел опыт решения простейших задач

«Неудовлетворительно»
Виды и формы отработки пропущенных занятий
Студент, пропустивший занятия обязан самостоятельно отработать пропущенный материал, дальше работать согласно графику учебного процесса.
Форма отработки студентом пропущенной лекции выбирается преподавателем. Как
правило, отработка пропущенной лекции должна быть осуществлена до рубежного контроля
по соответствующему разделу учебной программы.
Пропущенные практические занятия студент должен самостоятельно отработать и представить к рубежному контролю.
Студенты допускаются к экзамену по дисциплине при условии отработки всех занятий, предусмотренных учебным планом данного семестра по данной дисциплине. Студенту,
имеющему право на свободное посещение занятий, выдается график индивидуальной работы, согласованный на кафедрах и утвержденный деканом факультета.
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
учебной дисциплины
«ФИЗИКА»
Паспорт фонда оценочных средств дисциплины «Физика»
№
п/
п
Контролируемые
дидактические единицы
1
Кинематика
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Контролируемые
компетенции
(или их части)
ОК-12, ОК-14,
ПК-10, ПК-11
Динамика
материальной ОК-12, ОК-14,
точки
ПК-10, ПК-11
Законы сохранения в меха- ОК-12, ОК-14,
нике
ПК-10, ПК-11
ОК-12, ОК-14,
Механика твёрдого тела
ПК-10, ПК-11
ОК-12, ОК-14,
Колебания и волны
ПК-10, ПК-11
ОК-12, ОК-14,
Кинетическая теория газов
ПК-10, ПК-11
ОК-12, ОК-14,
Термодинамика
ПК-10, ПК-11
ОК-12, ОК-14,
Реальные газы и жидкости
ПК-10, ПК-11
ОК-12, ОК-14,
Твёрдые тела
ПК-10, ПК-11
ОК-12, ОК-14,
Фазовые переходы
ПК-10, ПК-11
Оценочные средства
Защита
зачет
Защита
зачет
Защита
зачет
Защита
зачет
Защита
зачет
Защита
зачет
Защита
зачет
Защита
зачет
Защита
зачет
лабораторной работы,
лабораторной работы,
лабораторной работы,
лабораторной работы,
лабораторной работы,
лабораторной работы,
лабораторной работы,
лабораторной работы,
лабораторной работы,
Зачет
План–график проведения контрольно-оценочных мероприятий
Дата
Название оценоч- Вид оценочного
ного мероприятия
средства
Объект контроля
2 неделя
Текущий
троль
кон-
Лекционные занятия
Кинематика материальной точки.
3 неделя
Текущий
троль
кон-
Лекционные занятия
Кинематика твердого тела
4 неделя
Текущий
троль
кон- Практическое заня- Кинематика материальной точки.
тие
Кинематика твердого тела.
5 неделя
Текущий
троль
кон- Практическое заня- Динамика материальной точки. Затие
коны сохранения в механике.
6 неделя
Текущий
троль
кон- Практическое заняМеханика твердого тела.
тие
7 неделя
Текущий
троль
кон- Практическое заняКолебания и волны
тие
8 неделя
Текущий
троль
кон- Практическое заня- Первое начало термодинамики и его
тие
применение к изопроцессам.
Текущий
троль
кон- Практическое заня- Тепловые машины. Цикл Карно и
тие
его КПД.
10 неде- Текущий
ля
троль
кон- Практическое заня- Второе начало термодинамики. Энтие
тропия.
11 неде- Текущий
ля
троль
12 неде- Текущий
ля
троль
13 неде- Текущий
ля
троль
кон- Защита лабораторной работы
кон- Защита лабораторной работы
кон- Защита лабораторной работы,
14 неде- Текущий
ля
троль
кон- Защита лаборатор- Исследование свойств газов с поной работы,
мощью вакуумных насосов.
15 неде- Текущий
ля
троль
кон- Защита лабораторИзмерение удельной теплоемкости
ной работы
Измерение скорости звука в воздуЗащита лабораторконхе. Определение отношения теплоной работы,
емкостей воздуха при постоянном
давлении и постоянном объеме.
кон- Защита лаборатор- Исследование
поверхностных
ной работы,
свойств жидкости.
9 неделя
16 неде- Текущий
ля
троль
17 неде- Текущий
ля
троль
18 недеЗачет
ля
Вопросы к зачету
Исследование движения тел в поле
силы тяжести
Исследование собственных механических колебаний
Исследование свободных (затухающих) механических колебаний
ОК-12, ОК-14, ПК-10, ПК-11
Описание оценочных средств по видам работ
Вопросы для самоподготовки и защите результатов лабораторных работ
Лабораторная работа № 1
Вопросы для самоподготовки
1. Кинематика равномерного и равнопеременного поступательного движения материальной
точки.
2. Кинематика равномерного и равнопеременного вращательного движения твердого
тела.
3. Динамика твердого тела. Основной закон динамики твердого тела. Момент инерции.
4. Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения.
5. Закон сохранения механической энергии.
Контрольные вопросы
1. Движения испытуемых тел. Почему не рекомендуется устанавливать угол наклона?
Какие величины необходимо измерить для определения скорости скатывающегося тела в
момент отрыва от наклонной плоскости?
2. Какое влияние оказывают силы трения и сопротивления воздуха на движение испытуемых тел?
3. Какое из испытуемых тел, шар или цилиндр, имеет большую дальность полета?
Почему?
4. Какова траектория плоскости более 20°?
Лабораторная работа № 2
Вопросы для самоподготовки
1. Гармонические колебания и их характеристики: амплитуда, период, частота, фаза.
2. Условия возникновения гармонических колебаний. Упругие и квазиупругие силы.
3. Математический маятник, пружинный маятник, физический маятник.
4. Ускорение свободного падения. Зависимость ускорения свободного падения от географической широты местности.
Контрольные вопросы
1. Что такое математический маятник?
2. Оказывает ли влияние масса самой пружины на период колебаний пружинного маятника?
3. Перечислите причины, влияющие на величину погрешности определения периода
колебаний маятника. Как уменьшить погрешность?
Лабораторная работа № 3
Вопросы для самоподготовки
1. Дифференциальное уравнение свободных (затухающих) колебаний и его решение.
2. Коэффициент затухания и его физический смысл.
3. Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.
Контрольные вопросы
1. Почему при равных условиях затухание колебаний более массивного маятника происходит медленнее?
2. За какое время амплитуда колебаний уменьшится в 2 раза, если коэффициент затухания δ=0,1с-1? Что при этом произойдет с полной энергией колебательной системы?
Лабораторная работа № 4
Вопросы для самоподготовки
1. Основные положения молекулярно-кинетической теории и их экспериментальное
подтверждение.
2. Идеальный газ. Основное уравнение кинетической теории газа.
3. Уравнение состояния идеального газа. Основные газовые законы.
4. Постоянная Больцмана. Универсальная газовая постоянная. Единица измерения количества вещества – моль. Молярная масса. Число Авогадро.
Контрольные вопросы
1. Места соединений резиновыми шлангами не являются абсолютно герметичными,
так же, как и закрытый кран не гарантирует отсутствие проникновения воздуха в откачанный
сосуд.
2. Как этот факт повлияет на результаты измерений плотности воздуха, универсальной газовой постоянной и на процесс откачки воздуха?
Лабораторная работа № 5
Вопросы для самоподготовки
1. I начало термодинамики. Внутренняя энергия. Теплота и работа как способы изменения внутренней энергии.
2. Теплоемкость. Удельная и молярная теплоемкость.
3. Теплоемкость твердых тел. Закон Дюлонга-Пти.
4. Кристаллические и аморфные тела. Явление анизотропии.
5. Классификация кристаллов по типу межмолекулярных сил. Ионные, ковалентные,
молекулярные и металлические кристаллы.
6. Теплоемкость твердых тел. Закон Дюлонга-Пти.
7. Теплопроводность металлов и диэлектриков. Закон Видемана-Франца.
Контрольные вопросы и задания
1. Можно ли использовать сравнительный метод для измерения теплоемкости жидкостей?
2.
даниях.
3.
емкость.
4.
даниях.
5.
емкость.
Назвать источники основных погрешностей определения теплоемкости в 1 и 2 заЗная удельную теплоемкость воды (4 200 Дж/кг.К) рассчитать ее молярную теплоНазовите источники основных погрешностей определения теплоемкости в 1 и 2 заЗная удельную теплоемкость воды (4 200 Дж/кг.к) рассчитать ее молярную тепло-
Лабораторная работа № 6
Вопросы для самоподготовки
1. Волновые процессы. Скорость волны. Длина волны. Частота.
2. Продольные и поперечные волны. Звуковые волны.
3. Волны бегущие и волны стоячие. Графическое изображение волн.
4. Число степеней свободы молекул. Закон равнораспределения энергии по степеням
свободы.
5. Зависимость молярных теплоемкостей (CP и CV ) от числа степеней свободы.
6. Адиабатный процесс в идеальном газе. Уравнение Пуассона.
Контрольные вопросы
1. Можно ли в задании 1 перемещать не телефон, а микрофон?
2. Почему CP больше чем CV?
3. Почему адиабата круче изотермы?
Лабораторная работа № 7
Вопросы для самоподготовки
1. Особенности поверхностного слоя жидкости. Поверхностная энергия.
2. Физический смысл коэффициента поверхностного натяжения.
3. Сила поверхностного натяжения. Ее величина и направление.
4. Давление Лапласа.
5. Капиллярные явления.
6. Особенности поверхностного слоя жидкости. Поверхностная энергия.
7. Физический смысл коэффициента поверхностного натяжения.
8. Сила поверхностного натяжения. Ее величина и направление.
9. Давление Лапласа.
10. Капиллярные явления.
Контрольные вопросы
1. Какая жидкость используется в качестве «эталонной» в задании 2?
2. При каком условии аспиратор не сможет обеспечить пробулькивание пузырьков?
3. Почему в процессе охлаждения прибор может работать при закрытом кране аспиратора?
4. Какая жидкость используется в качестве «эталонной» в задании 2?
5. При каком условии аспиратор не сможет обеспечить пробулькивание пузырьков?
6. Почему в процессе охлаждения прибор может работать при закрытом кране аспиратора?
Критерии оценки
Оценка «отлично». Ответ полный и правильный на основании изученных теорий; материал изложен в определенной логической последовательности, литературным языком с использованием необходимых формул; показано умение выводить эти формулы; задача решена
рациональным способом; в решении нет ошибок; доказана размерность определяемой величины; ответ самостоятельный.
Оценка «хорошо». Ответ полный и правильный на основании изученных теорий; материал изложен в определенной логической последовательности с использованием необходимых формул, при этом допущены две-три несущественные ошибки, исправленные по требованию преподавателя; в решении задач нет существенных ошибок, но задача решена нерациональным способом или не доказана размерность определяемой величины, или допущено
не более двух несущественных ошибок.
Оценка «удовлетворительно». Ответ полный, но при этом допущена существенная
ошибка или ответ неполный, несвязный. При решении задач в логическом рассуждении нет
существенных ошибок, но допущена существенная ошибка в математических расчетах.
Оценка «неудовлетворительно». При ответе обнаружено непонимание студентом основного содержания учебного материала, незнание закономерностей, которым подчиняются
процессы или допущены существенные ошибки, которые студент не может исправить при
наводящих вопросах преподавателя. При решении задачи допущены существенные ошибки.
Оценочные средства промежуточной аттестации.
Вопросы к зачету
1. Кинематика материальной точки. Равномерное и равнопеременное движение.
2. Кинематика твердого тела. Равномерное и равнопеременное движение.
3. Динамика материальной точки. Законы Ньютона.
4. Законы сохранения импульса, механической энергии, момента импульса.
5. Механика твердого тела. Основной закон динамики твердого тела.
6. Механические колебательные системы.
7. Бегущие и стоячие волны.
8. Экспериментальные основы МКТ.
9. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.
10. Физический смысл функции распределения скоростей молекул.
11. Применение I начала термодинамики к изопроцессам.
12. Цикл Карно и его КПД.
13. Энтропия и ее свойства.
14. Статистический характер II начала термодинамики.
15. Изотермы Ван-дер-Ваальса и реального газа.
16. Поверхностные свойства жидкостей.
17. Классификация кристаллов по типу межмолекулярных сил.
18. Теплоемкость кристаллов.
19. Диаграмма состояния вещества.
20. Фазовые переходы первого рода. Теплота фазовых переходов.
Критерии оценки
Оценка «зачет» выставляется студенту, если он посетил все занятия (или вовремя отработал пропущенные), выполнил все предусмотренные программой задания и при собеседовании показал знание основных законов по программному материалу и умение использовать их при решении практических задач;
Оценка «незачет» при обнаружении существенных пробелов в знании программного
материала.
Виды и формы отработки пропущенных занятий
Основной задачей введения обязательной отработки пропущенных учебных занятий
является повышение ответственности студентов всех форм обучения за нарушение правил
внутреннего распорядка.
Пропущенные учебные занятия подлежат отработке.
Порядок организации работы
Преподаватель называет студенту даты пропущенных занятий и количество пропущенных учебных часов.
На отработку занятия студент должен явиться согласно расписанию приема отработок
преподавателя, которое имеется на кафедре.
При себе студент должен иметь: выданное ему задание и отчет по его выполнению.
Студент, пропустивший лекционные занятия обязан:
 предоставить рукописный конспект пропущенной лекции;
 ответить на несколько узловых вопросов по теме пропущенной лекции.
Студент, пропустивший семинарское, практическое занятия обязан:
 предоставить решение задач пропущенного занятия;
 решить одну-две задачи по теме пропущенного занятия.
Студент, пропустивший лабораторные занятия обязан:
 выполнить лабораторный эксперимент и представить его результаты;
 ответить на теоретические вопросы к занятию;
 отчитаться по лабораторной работе;
 выполнить тестовые задания или расчетные задачи по пропущенной теме;
Пропущенные практические занятия должны отрабатываться своевременно, до рубежного тестирования по соответствующему разделу учебной дисциплины.
Преподаватель, согласно графику приема отработок, принимает отработку пропущенного занятия у студента, делает соответствующую отметку. Отработка засчитывается,
если студент демонстрирует зачетный уровень теоретической осведомленности по пропущенному материалу. Студенту, получившему незачетную оценку, отработка не засчитывается.
Зачетный уровень теоретической осведомленности заключается в том, что студент
свободно оперирует терминологией, которая рассматривалась на занятии, которое подлежит
отработке, отвечает развернуто на вопросы, подкрепляя материал примерами.
Студенты допускаются к экзамену по дисциплине при условии отработки всех занятий, предусмотренных учебным планом данного семестра по данной дисциплине. Студенту,
имеющему право на свободное посещение занятий, выдается график индивидуальной работы, согласованный на кафедрах и утвержденный деканом факультета.