Предположим, что СВ и независимы. Тогда )

Предположим, что СВ  и  независимы. Тогда (s, q)  ( s)(q) и
формула (7.23) приобретает вид
 ( s ) [1  (a  a( s ))] 
( s )  E e  s  (1  )1 
.
(a  a( s ))  ( s ) 

Пусть теперь   1. При этом оказывается, что ( s)  e  s и, следовательно,
 e  s [1  (a  ae  s )] 
(7.28)
( s)  (1  )1 
.
(a  ae  s )  e  s 

Тогда суммарный объем  и число требований в системе  совпадают.
И в этом случае, обозначив через pi стационарную вероятность наличия
в системе i требований (или, что то же самое, вероятность того, что
  i ), получаем по формуле математического ожидания дискретной СВ
( s)  E e
s 

  pi e
 si
i 0

  pi (e s ) i  P(e s ) ,
i 0
где P(z ) – ПФ числа требований в системе. Таким образом, заменив в
правой части формулы (7.28) e  s на z, получаем
 z[1  (a  a z )]  (1  ) (1  z ) (a  a z )
P( z )  (1  )1 
,


(
a

a
z
)

z

(
a

a
z
)

z


т. е. формулу Поллачека – Хинчина.
2. Случай дискретного требования. Предположим, что требование
дискретно, т. е. с вероятностью q k  P{  k} содержит k знаков,

k = 1, 2, ...,
 qk
 1. Введем в рассмотрение ПФ числа знаков (объема)
k 1

требования Q( z )  E z   q k z k . В этом случае имеем

k 1

( s)  E e  s   q k e  sk  Q(e  s ) .
k 1
Предположим, что каждый знак требования обслуживается в течение случайного времени  , пусть E (t ) – ФР СВ  , a (q) – ПЛС ФР
E (t ) (вспомним модель с дискретными требованиями из п. 7.1). Тогда,
обозначив через B(t   k ) условную ФР времени обслуживания требования при условии, что оно содержит k знаков, получим
122

(q)   e
 qt


dB(t )   e  qt  q k dB(t   k ) 
0
k 1
0



k 1
0
k 1
  q k  e  qt dB(t   k )   q k ((q)) k  Q((q)) .
И аналогично

 ( s, q )   q k e
 sk
k 1

e
 qt

dB(t   k )   q k (e  s (q)) k  Q(e  s (q)) .
k 1
0
Подставив найденные функции в формулу (7.23), получим
 Q(e  s )  Q(e  s (a  aQ(e  s ))) 
s
( s)  R(e )  (1  ) 1 
,
s
s
Q
(

(
a

aQ
(
e
)))

Q
(
e
)


откуда следует, что ПФ числа знаков, находящихся в системе в стационарном режиме, равна
 Q( z )  Q( z(a  aQ( z ))) 
,
R( z )  E z   (1  ) 1 
Q((a  aQ( z )))  Q( z ) 

или, по-другому,
(1  )[Q((a  aQ( z )))  Q( z(a  aQ( z )))]
.
(7.29)
R( z ) 
Q((a  aQ( z )))  Q( z )
Сравним теперь полученное соотношение с формулой (7.1). Рассмотренный здесь случай отличается от модели с дискретными требованиями (п. 7.1) тем, что каждое требование, т. е. все содержащиеся в нем
знаки, покидает систему в момент окончания обслуживания последнего
знака, в то время как в модели п. 7.1 мы по умолчанию предполагали, что
каждый знак покидает систему в момент окончания его обслуживания. В
случае, если каждый знак обслуживается в течение некоторого фиксированного времени t 0 , имеем (q )  e  qt0 .
3. Время обслуживания требования пропорционально его объему. В этом случае имеем   c , c  0 и, следовательно,
B(t )  P{  t}  P{c  t}  P{  t c}  L(t c) .
Для ПЛС (q) ФР B(t ) тогда имеем

(q)   e
0
 qt

dB(t )   e
 qt

dL(t c)   e cqt dL(t )  (cq ) .
0
0
Найдем также для этого случая ФР F ( x, t ) , представив ее в виде
123
(7.30)
x
F ( x, t )  P{  x,   t}   P{  t   u} dL(u ) ,
0
где из того, что   c , следует
1, если u  t c ,
P{  t   u}  
0, если u  t c .
Поэтому
x
 dL(u )  L( x), если x  t c ,
0
F ( x, t )  t c

  dL(u )  L(t c) , если x  t c .
0
Или, иначе, F ( x, t )  L( y) , где y  min( x, t c) .
Заметив теперь, что в нашем случае плотность условного распределения с ФР B(t   x)  P{  t   x} можно представить в виде дельта-
функции (t  cx) и что dF ( x, t )  dB(t   x) dL( x)  (t  cx) dt dL( x) ,
найдем ( s, q) :

( s, q )    e  sx qt dF ( x, t ) 
0 0

  e
 sx  qt

dB(t   x) dL( x)   e
0 0
0
 sx

dL( x)  e  qt dB(t   x) 
0



0
0
0
  e  sx dL( x)  e  qt (t  cx) dt   e  sx e  cqxdL( x)  ( s  cq) . (7.31)
Отсюда следуют формулы для вычисления моментов  i j  c j i  j ,
 j  c j  j , i, j  1, 2, ... .
Подставив полученные соотношения (7.30), (7.31) в (7.23), имеем
(ca  ca( s))  ( s  ca  ca( s))
.
(7.32)
( s)  (1  )
(ca  ca( s))  ( s)
Сделаем еще одно предположение о том, что объемы требований
распределены экспоненциально с параметром f, т. е. L( x)  1  e  fx . Легко
заметить, что в этом случае ( s)  f ( s  f ) , и из формулы (7.32) следует, что
124
( s ) 
(1  ) ( s  f ) 3
.
(7.33)
[( s  f ) 2  cas] ( s  f  ca )
Для нахождения явного вида ФР D(x) необходимо найти обращение
преобразования Лапласа  ( s) s . При этом следует рассмотреть два случая.
1)   ac f  1/2. В этом случае квадратный трехчлен в знаменателе
формулы (7.33) имеет два разных вещественных корня:
ca (ca  4 f )  2 f  ca
ca (ca  4 f )  2 f  ca
, s2  
.
s1 
2
2
Поэтому обращение данного преобразования методами теории вычетов
в этом случае дает


(1  ) ( s  f ) 3 e sx
D( x)   Res
;
0
,
ca

f
,
s
,
s
.
1
2
2
s
[(
s

f
)

cas
]
(
s

f

ca
)


После простых вычислений приходим к формуле
 2 e  (1) fx
D( x)  1 

1  2
(7.34)

1

b
(1  )  1  b1
2


e b1 fx 
e b2 fx  ,
1  b2  
(4  )  1  b1  

где b1 
2    (4  )
2    (4  )
, b2 
.
2
2
2)   1/2. В этом случае f  2ca и формула (7.33) принимает вид
( s  2ca ) 3
( s  2ca ) 3
( s ) 

,
2[( s  2ca ) 2  cas]( s  ca ) 2( s  4ca ) ( s  ca ) 2
т. е. при обращении преобразования Лапласа  ( s) s в этом случае следует учитывать, что один из корней знаменателя (а именно  ca ) является
полюсом второго порядка. Тогда имеем


( s  2ca ) 3 e sx
D( x)   Res 
;
0
,

4
ca
,

ca
,
2
 2s( s  4ca ) ( s  ca )

откуда после вычислений получаем
1
1  11 fx 
D( x)  1  e 2 fx     e  fx 2 .
(7.35)
9
3 6 4 
125
Первые два момента СВ  имеют вид
1 2(3   3   2  2)
1 (2  )
, 2  2 
.
1  
f
1 
f
(1  ) 2
Возвращаясь к примеру, рассмотренному нами в п. 7.6, заметим, что
для CMO 1 функция F ( x, t ) имеет вид: F1 ( x, t )  (1  e  fx ) (1  e  t ) , а для
СМО 2 получаем F2 ( x, t )  1  e  fy , где y  min( x, t c) .
4. Оценки характеристик потерь в системе с ограниченным
суммарным объемом. Рассмотрим теперь СМО M / M / 1 /(, V ) , которая отличается от рассмотренной нами выше системы с пропорциональным объему временем обслуживания только тем, что в ней суммарный
объем ограничен величиной V. Для этой системы явный вид ФР D (x)
определяется соотношениями (7.34), (7.35). Поэтому, пользуясь формулами
V
p *  1   D (V  x) dL( x) , Q*  1 
0
1 V
xD (V  x) dL( x) ,
1 0
где L( x)  1  e  fx , 1  1 f , можем найти оценки характеристик потерь
p * и Q * . Простые вычисления дают
p *
(1  )  e b1 fV
e b2 fV   e (1) fV




, если   1 2 ,


1

b


1

b


1  2
(4  ) 
1
2

и
1
p*  (8e  fV
9
2
1
fVe  fV 2 , если   1 2 ;
6
(1   fV  e  fV )e  fV


1  2
 e 2 fV ) 
Q*  (1  fV )e  fV
(1  )  e b1 fV  [1  (1  b1 ) fV ]e  fV



(1  b1 )(1  b1  )
(4  ) 
e b2 fV  [1  (1  b2 ) fV ]e  fV 

 , если   1 2 ,
(1  b2 )(1  b2  )

и
1
Q*  (10e  fV
9
2
 e  2 fV ) 
1
fVe  fV 2 , если   1 2 .
4
126
Отметим, что в том случае, если СВ  и  независимы и распределены экспоненциально (см. модель с непрерывными требованиями
в п. 7.1), явный вид ФР стационарного объема определяется соотношением
D( x)  1   e  (1) fx .
Для такой системы оценки характеристик потерь имеют вид
1
p*  e  (1) fV , Q*  [e (1) fV  (1  )e  fV ] .

Заметим, что в п. 7.5 мы получили точную формулу для вероятности
потери данной системы:
1 
.
p   (1) fV
e

Очевидно, выполняется неравенство p   p * .
7.9. Системы M/G/n/0 и M/G/
Классическая СМО M / G / n / 0 была рассмотрена в п. 6.4. Предположим, что требование в этой СМО характеризуется случайным объемом
 независимым от объемов других требований. Время обслуживания
требования  зависит только от его объема. Задана ФР F ( x, t ) 
 P{  x,   t}. Будем считать, что суммарный объем требований в системе неограничен. Относительно параметров входного потока, ФР, моментов и преобразований всех рассматриваемых здесь СВ примем обозначения п. 7.7. Примем также обозначение y  a1 . Будем считать, что
эта величина конечна, т. е. в рассматриваемой СМО существует стационарный режим.
Теорема 3. Для СМО M / G / n / 0 в стационарном режиме при указанных предположениях справедливо соотношение
1
n
( s)  p 0  [a q ( s, q)
i 0
q 0
]i
 n

i ! , где p 0    y j j ! .
 j 0

Доказательство. Пусть  – число требований в системе в стационарном режиме. Обозначим через  *i время, прошедшее с момента начала обслуживания i-го требования (считаем, что требования занумерованы
случайным образом, как это указано в п. 6.4), i  1,  . Введем в рассмот127
рение функции H i ( x, y1 , ..., yi ) , i  1, n , имеющие следующий вероятностный смысл:
dHi ( x, y1 , ..., yi )  P{ [ x; x  dx)   i, 1*  y1 , ..., *i  yi } , i  1, n .
Если число требований в системе   i  1, то объем j-го требования  j в
системе зависит только от величины y j , j  1, i , и, в соответствии с
леммой 1,
P{ j [ x; x  dx)
 *j
 y j }  [1  B( y j )]

1
 dF ( x, u) .
u y j
ПЛС e y j (s) правой части последнего выражения имеет вид
e y j ( s)  [1  B( y j )]
При условии   i,
1*
 y1 , ...,

e
1
x 0
 *i

 sx
 dF ( x, u) .
u y j
i
 y i имеем     j , причем СВ
j 1
 j независимы. Поэтому для ПЛС hi ( s, y1 , ..., y i ) по х условной ФР
H i ( x, y1 , ..., y i ) получаем

hi ( s, y1 , ..., y i )   e  sx dH i ( x, y1 , ..., y i ) 
0
i
i
j 1
j 1
  e y j ( s)   [1  B( y j )]

1
e
 sx
x 0

 dF ( x, u) .
(7.36)
u y j
Очевидно, функцию (s ) можно представить в виде
n 

( s)  p 0    ... hi ( s, y1 , ..., y i ) p i ( y1 , ..., y i ) dy1 ... dyi ,
i 1 0
(7.37)
0
где функции p i ( y1 , ..., y i ) определяются соотношением (6.42). Из (7.37) с
учетом (6.42) и (7.36) получаем


i 
ai
 sx
( s)   p0   e
 dy j  dF ( x, u) .
i 0 i !
j 1 x 0
y j 0
u y j
n
Остается вычислить интеграл в последнем выражении:

e
x 0
 sx


z 0
uz


 d z  dF ( x, u )    e
x 0 u 0
128
 sx
u
dF ( x, u )  d z 
z 0
(7.38)


  ue
 sx
dF ( x, u )   q ( s, q)
q 0
.
(7.39)
0 0
В самом деле,


    sxqt

 e

dF ( x, t )  q     te  sxqt dF ( x, t ) .

0 0
0 0

Подставив (7.39) в (7.38), получаем утверждение теоремы. 
Следствие 1. Два первых момента стационарного суммарного объема СМО M / G / n / 0 определяются соотношениями
n 1
n 1
n2


2
i
2
i
2
1  E  p 0 a11  y i !;  2  E  p0  a 21  y i !  a 11  y i i ! .
i 0
i 0
i 0


Следствие 2. Если L( x)  1  e  fx и   c , c  0 , то явный вид ФР
СВ  определяется соотношением
n
2i 1

yi 
( fx) j  


D( x)  p0 1   1  e  fx 

j ! 

j 0
 i 1 i ! 

i
n
(acf )
(заметим, что в этом случае ( s )  p 0 
).
2i
i 0 i !( s  f )
Следует отметить, что в том случае, когда СВ  и  независимы и
распределены экспоненциально с параметрами f и  соответственно,
имеем
n
i 1

yi 
( fx) j  


 fx
D( x)  p0 1   1  e 
 .
j ! 

j 0
 i 1 i ! 

Соответствующие стационарные характеристики для СМО M / G / 
получаются из найденных нами характеристик СМО M / G / n / 0 с помощью вычисления пределов при n   .
Легко показать, что ПЛС (s ) стационарного суммарного объема в
этом случае имеет вид
( s)  exp[ y  a q ( s) q 0 ] ,
а первый момент и дисперсия стационарного суммарного объема определяются соотношениями
2
1  a11 ,  2  1  a 21 .
129
Первое из этих соотношений мы могли бы получить непосредственно из
аналога формулы Литтла.
Если СВ  и  независимы, имеем
(s)  exp{ y[1  (s)]} .
Наконец, если   c , c  0 , то ( s, q)  ( s  cq) , и в этом случае
( s)  exp[ ac (1  ( s))] ,
а первый момент и дисперсия имеют вид
2
1  ac 2  y  2 1 ,  2  1  ac 3  y  3 1 .
Рассмотренные в настоящем разделе примеры СМО требований
случайного объема демонстрируют важность учета при расчетах зависимости времени обслуживания требований от их объема.
7.10. Примеры расчета объема памяти
информационных систем
В настоящем пункте мы рассмотрим несколько примеров расчета
объема памяти реальных информационных систем. Будем анализировать
сеть передачи данных. В такой сети сообщения или их части передаются
по каналам связи от узла к узлу, а в конечном итоге от абонента к абоненту. В коммутационных узлах сети происходит накопление сообщений, их преобразование, обработка и передача следующему центру или
абоненту. Таким образом, сеть представляет собой множество коммутационных центров и абонентов, связанных каналами передачи. Каналы
характеризуются различными скоростями передачи данных. Поэтому некоторое (иногда весьма большое) число низкоскоростных каналов могут
объединяться в специальном узле, называемом концентратором, в один
высокоскоростной канал по принципу частотного или временного
уплотнения, а также по асинхронному принципу. В концентраторах выполняются также некоторые операции над сообщениями.
1. Модель концентратора. В случае реализации асинхронного
принципа уплотнения каналов в концентраторе, проводимые в нем операции над сообщениями делятся на следующие этапы: ввод в память,
ожидание в очереди и вывод в высокоскоростной канал.
При вводе производятся операции приема кодовых элементов, формирования кодовых комбинаций, обнаружения и исправления ошибок, а
также анализа заголовка сообщения. Поскольку во многих практически
важных случаях время ввода сообщения в память оказывается очень малым в сравнении со временем ожидания обслуживания, его в некоторых
130
моделях можно не учитывать, считая равным нулю. В противном случае
чаще всего оправданным оказывается предположение о том, что время
ввода сообщения в память равно времени его вывода в высокоскоростной канал, т. е. времени его передачи.
Сказанное позволяет представить концентратор в виде однолинейной однофазной СМО с бесконечным или конечным объемом памяти, на
вход которой поступает поток требований с известными характеристиками. Точнее, априори известны закон распределения числа требований,
поступающих в систему в единицу времени, и закон распределения их
объема. Пусть а – интенсивность входного потока, 1 – средний объем
сообщения. Роль прибора играет здесь синхронный высокоскоростной
канал, по которому сообщения передаются со скоростью С бит в секунду.
Модель концентратора в самом общем виде представляет, таким образом, СМО типа GI / G / 1 /  с ограниченным суммарным объемом
( GI / G / 1 /(, V ) ) и прибором, который обслуживает требования со временем обслуживания, пропорциональным объему с коэффициентом пропорциональности c  1 C (в том случае, если объем требования измеряется в битах). Можно, однако, исследовать концентратор с помощью более простой модели M / G / 1 /  с неограниченной (если речь идет о временных характеристиках) или ограниченной (если речь идет о выборе
объема) памятью. Временные характеристики при этом определяются
элементарно (см. раздел 5). При проектировании необходимо уметь рассчитывать вероятность превышения заданного объема памяти. Если
необходимо, чтобы эта вероятность не превышала значений 10 4  10 6 ,
то при определении объема памяти средствами классической ТМО в теории систем связи принято считать, что его величина практически совпадает с величиной суммарного объема (в системе с неограниченным объемом памяти), превышение которого возможно с заданными вероятностями, т. е. вероятность потери в СМО с ограниченной памятью отождествляется с вероятностью превышения заданного суммарного объема в
СМО с неограниченной памятью. Мы уже говорили, что такое отождествление не является корректным, что и продемонстрируем далее на
конкретных моделях.
Анализ концентратора при бесконечном объеме БП. Статистический анализ информационных систем передачи научной и коммерческой
информации (в таких системах объем требований, а, значит, и время обслуживания, достаточно велики) дает основания предположить, что на
131
вход концентратора поступает простейший поток сообщений интенсивности а; объемы сообщений (в битах или символах)  распределены по
геометрическому закону со средним значением 1  1 p , т. е. P{  r} 
 p (1  p ) r 1 , r  1, 2, .... Моменты i-го порядка  i ( i  1, 2, 3 ) СВ  определяются соотношениями
1  1 p ,  2  (2  p) p 2 ,  3  [(3  p) 2  3] p 3 .
В п. 7.7 мы получили соотношения для ПЛС (s ) ФР стационарного
суммарного объема и его первых двух моментов 1 и  2 для самого общего случая СМО M / G / 1 /  с неограниченной памятью. Из этих соотношений элементарно следует, что в нашем конкретном случае имеем
 (2  )
;
1г  
p 2(1  )
 г2
(1  )[(3  p) 2  3]  2 (2  p) 2 (1  2)



p2
2 p 2 (1  )
 3 (2  p )  4 (2  p ) 2
 2

,
3 p (1  ) 2 p 2 (1  ) 2
где   ac1  a ( pC ) .
ПФ R(z ) числа символов в такой СМО (с дискретными требованиями) мы также получили в общем случае. Для нашего случая (при геометрическом распределении длин) имеем
 Q( z )  Q( zA( z )) 
R( z )  (1  )1 
,
Q( A( z ))  Q( z ) 

где Q( z ) 
 p (1  z ) 
zp
, A( z )  exp 
 . В ТМО анализируемую
1  z (1  p)
 1  z (1  p ) 
систему с геометрическим распределением времени обслуживания обозначают M / g / 1 /  .
Вычисляя и анализируя характеристики рассматриваемой СМО
(табл. 1), можно сделать ряд важных выводов. Заменим геометрическое
распределение объема требований экспоненциальным с тем же средним
значением ( L( x)  P{  x}  1  e  fx , где f  p ). Как уже говорилось,
можно геометрическое (дискретное) распределение аппроксимировать
экспоненциальным (непрерывным), причем с увеличением 1 погрешность аппроксимации уменьшается (как видно из таблицы, по отноше132
нию к первому моменту суммарного объема эта погрешность не зависит
от загрузки  ).
Таблица 1
1

Средний
суммарный
объем

г
1

э
1
Среднее время
пребывания
M / g /1/ 
v
1  1
г
1
Погрешность
(%)
M / M / 1/ 
v1э
 1г 
1  э  
 1 
100%
 v1г 
1  э  
 v1 
100%
0,2
0,4
0,6
0,8
0,225
0,533
1,050
2,400
0,450
1,067
2,100
4,800
1,125
1,330
1,750
3,000
1,250
1,670
2,500
5,000
50
50
50
50
10
20
30
40
0,2
p  0,25 0,4
0,6
0,8
1,575
3,733
7,350
16,80
1,800
4,267
8,400
19,20
4,880
6,330
9,250
18,00
5,000
6,700
10,00
20,00
12,5
12,5
12,5
12,5
2,4
5,5
7,5
10,0
1  10
4,275
10,133
19,950
45,600
4,500
10,667
21,000
48,000
12,350
16,333
24,300
48,000
12,50
16,70
25,00
50,00
5
5
5
5
1,2
2,2
2,8
4,0
p 1
1  4
p  0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
Следовательно, при достаточно больших объемах требований (в реальных информационных системах имеем 1  15 знаков = 120 бит) замена геометрических распределений экспоненциальными является
оправданной. И в этом случае, как следует из результатов, полученных
в п. 7.8,
1 (2  )
,
1э  
f
1 
a
1 2(3  3   2  2)
э
, 
.
2  2 
2
Cf
f
(1  )
Для рассматриваемой системы в п. 7.8 получен явный вид ФР стационарного суммарного объема.
133
Учет ограничения объема БП. Анализируя данную систему с неограниченной памятью, можем, как известно, оценить требуемый объем
памяти V по заданным характеристикам потерь. Если, например, вероятность потери мала (10 3  10 5 ), то можно считать, что ограничение по
объему памяти практически не влияет на временные характеристики системы (время пребывания и время ожидания).
Используя ранее описанный подход, опирающийся на методы классической ТМО, т. е. отождествляя заданную малую вероятность потери
p  с вероятностью превышения p пр суммарного объема в СМО с неограниченной памятью, считаем, что объем памяти равен такому значению V суммарного объема в модели, что выполняется равенство
p  pпр  1  D(V ) ,
где D(x) – ФР стационарного суммарного объема в анализируемой
СМО. Решая это уравнение численно относительно V, определим величину V, якобы гарантирующую эту вероятность потери.
Более корректной и надежной является оценка (справедливая для
любых допустимых значений p  ), основанная на полученном нами ранее неравенстве
V
p   1   D (V  x)dL( x)  p * ,
0
причем в п. 7.8 были получены явные формулы для определения величины p * в системе M / M / 1 /(, V ) со временем обслуживания, пропорциональным объему требования. Именно такую систему мы сейчас и рассматриваем.
Проведем сравнительный анализ оценок p пр и p * . Его результаты,
рассчитанные для случая 1  1 (в этом случае можно считать, что объем
памяти V измеряется в числе средних объемов требования), помещены в
табл. 2. При этом считаем также, что первый момент времени обслуживания 1  1 (т. е. за единицу времени принимается среднее время обслуживания; в случае необходимости перевод в другие единицы делается
элементарно). Данные в таблице приведены для загрузок   0,2 и
  0,6 . Точное значение вероятности потери будет несколько меньше,
чем p * , но больше, чем p пр , и в этом заключается главный недостаток
«классического» подхода, не способного обеспечить непревышение заданной вероятности потери.
134
Отметим в заключение тот факт, что в результате промежуточного
накопления в концентраторе данных, поступающих от терминалов, и
управления порядком их передачи в высокоскоростном канале ликвидируется пачечная структура информации; поэтому пропускная способность канала используется гораздо более эффективно.
Таблица 2
p пр
V
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
  0,2
0,200000
0,027368
0,002218
0,000174
0,000014
0,000001
p
  0,6
0,600000
0,194241
0,047492
0,010854
0,002385
0,000511
0,000108
0,000022
0,000005
0,000001
  0,2
1,000000
0,071547
0,005948
0,000476
0,000037
0,000003
*

  0,6
1,000000
0,286946
0,073518
0,017228
0,003843
0,000838
0,000176
0,000037
0,000008
0,000002
2. Коммутационный центр. Основными функциями коммутационного центра в сети являются прием сообщения или его части (пакета) из
канала связи, запись принятой информации в накопитель, анализ служебной части сообщения или пакета и последовательная его передача в
соответствии с адресом получателя. В дальнейшем будем пользоваться
термином «сообщение» для обозначения как собственно сообщения, так
и пакета, т. е. его части, передаваемой в сети по такому же принципу, что
и целое сообщение. В процессе решения перечисленных задач коммутационный центр выполняет множество операций, которые условно можно
разделить на три группы: 1) операции по обработке сообщений; 2) операции по управлению сообщениями; 3) операции по обеспечению взаимодействия центра с другими элементами данной сети или других сетей.
Одной из важнейших характеристик коммутационного центра является объем буферной памяти, в которой хранится информация о находящихся в центре сообщениях. Рассмотрим модель определения объема
памяти центра, который представим в виде трехфазной СМО (рис. 13),
содержащей фазы приема (1), передачи (2) и задержки (3) сообщения.
В рассматриваемой системе память является общим, динамически
распределяемым ресурсом. Объемы сообщений будем считать распределенными по экспоненциальному закону: L( x)  1  e  fx . Сообщения
135
поступают на прием по m каналам, образуя простейшие потоки интенсивности a i ( i  1, m ). Время приема пропорционально объему сообщения, т. е.  i(1)   g i , где g i  0 – время приема единицы объема сообщения по i-му каналу.
Будем считать, что поступившие на прием сообщения записываются
в память мгновенно в момент начала обслуживания на первой фазе. Сообщения обслуживаются в порядке их поступления, число мест ожидания в очереди бесконечно. Принятые сообщения поступают на передачу
Фаза приема (1)
O1(1)
...
O2(1)
Om(1)
Память ( V   )
ОП1(1)
...
ОП (21)
ОП (m1)
Распределитель
ОП(22)
...
ОП(22)
ОП (n2)
Фаза передачи (2)
Фаза задержки (3)
...
Рис. 13. Схема коммутационного центра
136
в один из имеющихся n передающих каналов, причем канал с номером j
n
может быть выбран с вероятностью R j (  R j  1 ).
j 1
Поскольку время приема сообщения распределено экспоненциально,
поток принятых сообщений в стационарном режиме, как мы знаем,
m
является простейшим с интенсивностью    ai . Следовательно, в j-й
i 1
передающий канал поступает простейший поток сообщений с интенсивностью  j  R j  , j  1, n . Время передачи сообщения по j-му передающему каналу пропорционально его объему  (j2)   c j ( c j  0 ). Считаем,
что каждое сообщение после окончания его передачи еще находится в
системе в течение некоторого постоянного времени y  const (до того,
как оно будет сброшено в архив). Этой третьей фазы в коммутационном
центре может и не быть. Объем памяти в данной модели считаем бесконечным. Найдем статистические характеристики суммарного объема сообщений в рассматриваемой трехфазной системе обслуживания без потерь в стационарном режиме.
Сначала рассмотрим первую фазу (фазу приема). На этой фазе имеется m независимых СМО. Рассмотрим одну из них, при этом в обозначениях параметров будем опускать индексы, означающие номера соответствующих систем внутри данной фазы. Найдем ПЛС r (s ) ФР R(x)
объема обслуживаемого в этой СМО сообщения (т. к. только обслуживаемые сообщения на этой фазе содержатся в памяти). Тогда, вспоминая
СМО M / G / 1 /  (см. п. 7.7), получаем в принятых нами в этом пункте
обозначениях
 


n 1 0
0
n 1
r ( s)  p 0    p n ( y ) e y ( s) dy  p 0   e y ( s) p n ( y ) dy .
Здесь, очевидно,


n 1
n 1
 p n ( y)  p(1, y) , где p( z, y)   p n ( y) z n . Из формулы
(5.31) следует, что p(1, y)  a[1  B( y)] , а из следствия леммы 1 получаем
e y ( s)  [1  B( y )]
1

e
x 0
137
 sx


u y
dF ( x, u ) .
Поэтому
r ( s)  p0  a


y 0
x 0
 dy  e
 sx


u y
x 0
 dF ( x, u)  p0  a  e
 sx


y 0
u y
 dy  dF ( x, u) .
Последний интеграл нам уже приходилось вычислять, он равен
 q ( s, q) q 0 . В итоге, поскольку p 0  1   , имеем
r (s)  1    aq (s, q)
q 0
 Ee  s2 ,
где  2 – объем обслуживаемого требования.
Первые два момента СВ  2 равны
2
r1  E 2  a11 , r2  E 2  a 21 .
В нашем случае, как известно, ( s, q)  ( s  q g i ) , где i – номер
анализируемого приемного канала. Имеем, таким образом,
a
ri ( s)  1  i [1  ( s)] , i  1, m ,
gi
а поскольку ( s)  f ( s  f ) , то

ai  1
f
 
,
g i  f (s  f ) 2 
а первые два момента объема требования в i-м приемном канале:
2a i
2 i(1)
6a i
6 i(1)
r1 i 

 2 ,
, r2 i 
f
gi f 2
gi f 3
f
ri ( s)  1 
где  i(1) – загрузка i-го канала фазы приема (1). Дисперсия же вычисляется по формуле
2 i(1)
2
r2 i  r1 i  2 (3  2 i(1) ) .
f
Из независимости рассматриваемых на фазе приема m СМО следует,
что ПЛС общего стационарного суммарного объема сообщений на первой фазе имеет вид
m 


f
 a 1
.
 (1) ( s)   1  i  

2 
g
f


(
s

f
)
i 1 
i 

Соответствующие первый момент и дисперсия суммарного объема
равны
r1(1)
2 m (1) (1)
2
   i , r2  (r1(1) ) 2  2
f i 1
f
138
m
  i(1) (3  2 i(1) ) .
i 1
На фазе передачи (2) имеем n независимых однолинейных СМО
M / M / 1 /  , для каждой из которых можно определить явный вид ФР
суммарного объема. ПЛС ФР стационарного объема такой СМО есть
 (j2) ( s)
(1   (j2) ) ( s  f ) 3

[( s  f ) 2   j s c j ] ( s  f   j c j )
, j  1, n ,  (j2) 
j
cj f
.
В силу независимости передающих каналов для ПЛС общего стационарного суммарного объема сообщений, находящихся на второй фазе,
получаем

( 2)
n
( s)  
j 1
 (j2) ( s)
 (s  f )
3n
1   (j2)
n
 [(s  f ) 2  
j 1
j
s c j ] (s  f   j c j )
.
Первый момент и дисперсия суммарного объема сообщений на второй
фазе имеют вид
1( 2)
 (22)
 (1( 2) ) 2
1
 2
f
( 2)
( 2)
1 n  j (2   j )
;
 
f j 1 1   (j2)
n
 (j2) [( (j2) ) 3  2( (j2) ) 2  8 (j2)  6]
j 1
(1   (j2) ) 2

.
Как известно, в стационарном режиме поток обслуженных в j-м канале второй фазы сообщений является простейшим с интенсивностью  j
( j  1, n ). Следовательно, поток сообщений, поступающих на фазу заn
m
j 1
i 1
держки (3), является простейшим с интенсивностью     j   ai .
Легко понять, что фаза задержки моделируется с помощью стационарной СМО M / G /  , т. е. ПЛС ФР стационарного объема сообщений
на фазе задержки имеет вид
 (3) (s)  exp[  q (s, q)
q 0
],
или в нашем случае (время обслуживания здесь не зависит от объема)
 (3) ( s )  exp{ [1  ( s )]} ,
где   y . Первый момент и дисперсия суммарного объема сообщений
на фазе задержки имеют вид
139
1(3)  1 y 
 ( 3)
2
,  2  (1(3) ) 2  2 y  2 .
f
f
В рассматриваемой системе отдельные фазы, строго говоря, нельзя
считать независимыми, поскольку объем сообщения остается неизменным в течение всего времени его пребывания в системе. Рассматриваемые фазы будут независимы в том случае, если при поступлении на очередную фазу объем сообщения разыгрывается заново. Будем, однако,
считать, что зависимость, которую вносит постоянный объем сообщения,
не является существенной и, таким образом, анализируемые фазы независимы. Тогда для ПЛС (s ) стационарного суммарного объема коммутационного центра получаем
( s)   (1) ( s) ( 2) ( s) (3) ( s) .
Первый момент суммарного объема равен (данное значение в рамках данной модели является точным, поскольку математическое ожидание суммы СВ всегда равно сумме математических ожиданий этих СВ)
( 2)
( 2)
2 m (1) 1 n  j (2   j ) 
1    i  
 .
f i 1
f j 1 1   (j2)
f
Аналогичным образом, дисперсия суммарного объема будет равна
(приблизительно) сумме дисперсий этой СВ по каждой из рассмотренных фаз.
Для оценки объема памяти V коммутационного центра можно воспользоваться тем, что
V
p *
 1  R (V ) , где R(V )   D (V  x) dL( x) .
0
Поскольку здесь R(x) есть ФР суммы двух независимых СВ – суммарного объема  и объема поступившего в систему сообщения  , ее первые
два момента имеют вид
r1  1  1 , r2   2  211   2 .
Тогда ФР R(x) аппроксимируется ФР гамма-распределения
R * ( x) 
 ( p, gx)
,
( p )
140
2
2
2
где p  r1 (r2  r1 ) , g  r1 (r2  r1 ) . В этом случае имеет место приближенное равенство
p *  1  R * (V ) ,
где R * (V ) определяется по таблицам.
3. Расчет объема памяти коммутационного центра с учетом
окружения. Рассмотрим фрагмент сети, содержащей четыре коммутационных центра, к каждому из которых присоединена группа из 30 одинаковых абонентских пунктов (АП). Каждый пункт соединен со своим центром индивидуальным дуплексным каналом со скоростью передачи 200
бит/с. Центры соединены между собой высокоскоростными дуплексными каналами. Структура фрагмента сети и его параметры представлены
на рис. 14.
30
30
...
...
200 бит/с
200 бит/с
...
200 бит/с
...
200 бит/с
a1
600 бит/с
a2
b12 1200 бит/с
2400 бит/с
b23
b14
b34
a4
200 бит/с
...
1200 бит/с
200 бит/с
200 бит/с
30
a3
...
200 бит/с
30
Рис. 14. Фрагмент коммутационной сети
Каждый знак сообщения кодируется 8 двоичными разрядами, а система защиты от помех обусловливает снижение скорости передачи на
20 % ; значения эффективной скорости передачи и другие параметры
141
представлены в табл. 3. В рассматриваемой сети пары АП обмениваются
сообщениями. Будем считать, что объемы сообщений распределены экспоненциально со средним значением 1  1000 знаков. Через каждый АП
в сеть извне поступает простейший поток сообщений с интенсивностью
25,2 сооб./час = 0,007 сооб./с, из которых 40 % адресуется абонентам той
же группы с равновероятным распределением между пунктами, а 60 %
распределено поровну по АП остальных групп.
Для обмена сообщениями между каждой парой центров выделяется
только один допустимый маршрут, который выбирается по следующему
правилу: для смежных центров обмен осуществляется по соединяющему
их направлению, для несмежных – по направлениям с большими скоростями передачи.
Необходимо оценить средние значения и дисперсии суммарного
объема по каждому направлению (в предположении неограниченных
объемов памяти для всех центров), а также объем памяти центра a2 (см.
рис. 14), обеспечивающего вероятность потери сообщений не более 0,01.
Таблица 3
Значение параметра для каналов
Параметр
Размерность
абонентских
b1 2 , b3 4
b1 4
b2 3
Номинальная
бит/c
200
1200
600
2400
Ci j
зн./c
20
120
60
240
i j
сооб./с
0,007
0,084
0,042
0,126
i j
–
0,350
0,700
0,700
0,524
1 i j
зн.  10 3
0,89
3,03
3,03
1,6
зн.2  10 6
2,89
13,4
13,4
5,8
скорость
 2 i j  1 i j
2
В таблице 3 скорость передачи по направлению (каналу) bi j обозначена через Ci j . Каждое направление моделируется с помощью рассмотренной нами в п. 7.8 СМО M / M / 1 /  с экспоненциально распределенным объемом требования и временем обслуживания, пропорциональным
142
объему. Интенсивность входного потока в такой СМО обозначена через
 i j , а загрузка – через  i j .
Тогда моменты первого и второго порядка стационарного суммарного объема по направлению bi j определяются соотношениями
1  i j (2   i j )
1 2 i j (3   i j   i j  2 i j )
; 2 i j  2 
,
1 i j  
f
1  i j
f
(1   i j ) 2
где f – параметр распределения объема требования ( 1  1 f ).
Считая направления и абонентские каналы независимыми, первый
момент и дисперсию суммарного объема коммутационного центра a 2
получим, суммируя аналогичные характеристики для всех каналов этого
центра и смежных с ним направлений. В итоге получаем, что первый
момент и дисперсия соответственно суммарного объема равны
2
1  31 , 33  10 3 зн. ,  2  1  105 , 90  10 6 зн. 2 .
Расчет объема памяти V центра a 2 производим по заданной вероят3
2
ности p *  0,01 в соответствии с соотношением p *  1  R * (V ) , где
R * (V )   ( p, gx ) ( p ) , p  r1
r2   2  211   2 .
Легко
2
(r2  r1 ) , g  r1 (r2  r1 ) , r1  1  1 ,
2
получить,
2
что
r1  32,33  10 3 зн. ,
r2  r1  106,90  10 6 зн. 2 . Далее за единицу объема возьмем величину r1 .
Тогда имеем p  g  9,7776 . Для простоты считаем p  g  10 . По таблицам1 определяем, что вероятность потери не выше 0,01 будет гарантирована при объеме памяти V  1,7 единиц среднего суммарного объема,
2
или, иначе, V  58,194  10 3 зн.
1
См., напр., Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М. :
Наука, 1983.
143
ЛИТЕРАТУРА
1. Байхельт, Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход /
Ф. Байхельт, П. Франкен. М. : Радио и связь, 1988. 392 с.
2. Бочаров, П. П. Теория массового обслуживания / П. П. Бочаров, А. В. Печинкин.
М. : Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 1995. 529 с.
3. Буриков, М. Д. Теория массового обслуживания / М. Д. Буриков, Ю. В. Малинковский, М. А. Маталыцкий. Гродно : Изд-во Гродн. ун-та, 1984. 108 c.
4. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. М. : Наука, 1988. 480 c.
5. Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения /
Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. М. : Наука, 1991. 383 c.
6. Гнеденко, Б. В. Введение в теорию массового обслуживания Б. В. Гнеденко,
И. Н. Коваленко. М. : Наука, 1987. 336 c.
7. Дудин, А. Н. Практикум на ЭВМ по теории массового обслуживания / А. Н. Дудин,
Г. А. Медведев, Ю. В. Меленец. Минск : Университетское, 2000. 109 с.
8. Зелигер, Н. Б. Проектирование сетей и систем передачи дискретных сообщений /
Н. Б. Зелигер, О. С. Чугреев, Г. Г. Яновский. М. : Радио и связь, 1984. 176 c.
9. Ивченко, Г. И. Теория массового обслуживания / Г. И. Ивченко, В. А. Каштанов,
И. Н. Коваленко. М. : Высш. шк., 1982. 256 c.
10. Кёниг, Д. Методы теории массового обслуживания / Д. Кёниг, Д. Штойян. М. :
Радио и связь, 1981. 127 c.
11. Клейнрок, Л. Вычислительные системы с очередями / Л. Клейнрок. М. : Мир,
1979. 600 c.
12. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. М. : Машиностроение, 1979. 432 c.
13. Климов, Г. П. Стохастические системы обслуживания / Г. П. Климов. М. : Наука,
1966. 244 c.
14. Королюк, В. С. Полумарковские процессы и их приложения / В. С. Королюк,
А. Ф. Турбин. Киев : Наукова думка, 1976. 184 с.
15. Кочегаров, В. А. Проектирование систем распределения информации. Марковские
и немарковские модели / В. А. Кочегаров, Г. А. Фролов. М. : Радио и связь, 1991.
216 с.
16. Матвеев, В. Ф. Системы массового обслуживания / В. Ф. Матвеев, В. Г. Ушаков.
М. : Изд-во МГУ, 1984. 240 c.
17. Прабху, Н. Методы теории массового обслуживания и управления запасами /
Н. Прабху. М. : Машиностроение, 1969. 356 c.
18. Риордан, Дж. Вероятностные системы обслуживания / Дж. Риордан. М. : Связь,
1966. 184 с.
19. Розанов, Ю. А. Случайные процессы / Ю. А. Розанов. М. : Наука, 1979. 184 с.
20. Саати, Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения /
Т. Л. Саати. М. : Сов. радио, 1971. 510 c.
21. Скитович, В. П. Элементы теории массового обслуживания / В. П. Скитович. Л. :
Изд-во Ленинградского ун-та, 1976. 96 c.
22. Теория сетей связи / под ред. В. Н. Рогинского. М. : Радио и связь, 1981. 192 c.
144
23. Тихоненко, О. М. Аналог формулы Литтла для систем обслуживания неоднородных требований / О. М. Тихоненко // Автоматика и телемеханика. 1996. № 1. С.
104–108.
24. Тихоненко, О. М. Модели массового обслуживания в информационных системах /
О. М. Тихоненко. Минск : УП «Технопринт», 2003. 327 с.
25. Тихоненко, О. М. Модели массового обслуживания в системах обработки информации / О. М. Тихоненко. Минск : Университетское, 1990. 191 c.
26. Тихоненко, О. М. Теория массового обслуживания / О. М. Тихоненко. Минск :
ВУЗ-ЮНИТИ, 1999. 144 c.
27. Хинчин, А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания /
А. Я. Хинчин. М. : Физматгиз, 1963. 236 c.
28. Шварц, М. Сети ЭВМ: Анализ и проектирование / М. Шварц. М. : Радио и связь,
1981. 336 c.
29. Шварц, М. Сети связи: протоколы, моделирование и анализ / М. Шварц. Ч. 1. М. :
Наука, 1992. 336 c.
30. Шварц, М. Сети связи: протоколы, моделирование и анализ / М. Шварц. Ч. 2. М. :
Наука, 1992. 272 c.
31. Яшков, С. Ф. Анализ очередей в ЭВМ / С. Ф. Яшков. М. : Радио и связь, 1989.
216 с.
32. Klimow, G. P. Procesy obsługi masowej / G. P. Klimow. Warszawa : Wydawnictwa
Naukowo-Tecniczne, 1979. 343 s.
33. Tikhonenko, O. Modele obsługi masowej w systemach informacyjnych / O. Tikhonenko.
Warszawa: Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, 2003. 311 s.
145