1. Составляющие формальной системы. Язык формальной

1. Составляющие формальной системы. Язык формальной теории.
Синтаксис формального языка, отношение между формулой и
подформулой, сложные и атомарные формулы.
Формальные системы (ФС) – это совокупность чисто абстрактных
объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила
оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без
учета смыслового содержания, т.е. семантики. Формальная система задается:
 Наличие конечного алфавита (словарь). Количество символов, которым
мы будем оперировать.
 Правило построений формул. Формулы не могут быть неправильно
построенными, но могут быть неверными, но правильно
построенными.
 Должно быть задано конечное число аксиом (или выделено конечное
число формул, которые мы не доказываем). Аксиома – это формула,
считающейся истинной без доказательства.
 Правила вывода. Позволяют выводить теоремы из аксиом или других
теорем. Теорема – формула, истинность которой доказана с помощью
правил вывода из аксиом или других теорем.
Язык формальной теории задается алфавитом и грамматикой.
Формальный язык отличается от естественного тем, что он явно и строго
описывается правилами, едиными для всех пользователей языка. Под
формальным языком обычно понимается множество текстов этого языка. В
большинстве случаев не перечисляют тексты, а задают алфавит языка
(множество допустимых символов языка) и грамматику языка (множество
правил, по которым из множества символов алфавита составляются тексты
языка).
Для описания грамматики языка используется метаязык. Алфавит этого
языка содержит классы метасимволов.Формальные языки могут быть
линейные и графовые. Линейные языки состоят из строк, то есть линейный
язык – это множество строк. Строка рассматривается как вектор символов.
Одни строки могут являться подстроками других. Если для любого
элемента одной строки объединение всех пересечений одноэлементного
множества этого элемента с элементами другой строки не равно пустому
множеству, то первая строка является подстрокой второй строки.
Подстрока другой строки называется подформулой тогда, и только тогда,
когда обе строки являются формулами. Отношение подформулы задает на
множестве формул языка древовидную структуру.
Формулы бывают сложными и атомарными. Атомарная формула – это
формула, которая не содержит логических связок и не является логической
константой. Сложная формула содержит логические связки. В логике
логическими связками называют действия, вследствие которых порождаются
новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В качестве
основных обычно называют конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию,
отрицание.
2. Составляющие формальной системы. Аксиомы и аксиомные
схемы, примеры. Соотношение между мощностью множества
аксиом и мощностью множества правил вывода, правило
подстановки.
Формальные системы (ФС) – это совокупность чисто абстрактных
объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила
оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без
учета смыслового содержания, т.е. семантики. Формальная система задается:
 Наличие конечного алфавита (словарь).
 Правило построений формул.
 Должно быть задано конечное число аксиом.
 Правила вывода. Позволяют выводить теоремы из аксиом или других
теорем.
Аксиома – это формула, считающейся истинной без доказательства.С
помощью аксиомных схем задаются аксиомы. Отличие аксиомной схемы от
аксиомы в том, что аксиомная схема записывается на некотором метаязыке,
формулы которого содержат метапеременные. Любая аксиома может быть
получена путем одновременной замены каждой метапеременной во всех ее
вхождениях в аксиомную схему на конкретную формулу языка.
Например, аксиомные схемы, задающие правила для введения и удаления
логических связок по отношению к формулам, являющимся подформулами
этих аксиом:
Множество аксиом является подмножеством формальной модели. Так как
формальная модель может содержать бесконечное число формул, то правила
вывода позволяют из аксиом вывести остальные формулы формальной
модели. Одна и та же формальная модель может быть задана разными
наборами аксиом и правил вывода.
Множество аксиом может быть бесконечным (в этом случае задается при
помощи аксиомных схем), и множество правил вывода содержать только
одно правило вывода, или – множество аксиом может быть пустым, а
множество правил вывода может содержать несколько правил вывода.
Результат подстановки t вместо v в атомарную формулу F получается из F
одновременной заменой всех вхождений v на t, где v – переменная, t –
формула языка.
3. Составляющие формальной системы. Множество правил вывода
(метааксиом отношения выводимости), примеры. Отношение
выводимости () в классических формальных теориях, свойства.
Формальные системы (ФС) – это совокупность чисто абстрактных
объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила
оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без
учета смыслового содержания, т.е. семантики. Формальная система задается:
 Наличие конечного алфавита (словарь).
 Правило построений формул.
 Должно быть задано конечное число аксиом.
 Правила вывода. Позволяют выводить теоремы из аксиом или других
теорем.
Над формулами формальной системы с помощью правил вывода задается
отношение выводимости Ij. Рассмотрим правило прямого заключения,
описанное на метаязыке следующим образом:
На лекциях Ij обозначалось |=, кроме вышеприведённого свойства
отношение вывода является транзитивным отношением и обладает
следующим свойством:
Содержательно каждое правило грамматики
имеет смысл
подстановки. Например, строка означает возможность замены метасимвола
на цепочку
. Начав со стартового символа и пользуясь различными
правилами грамматики, мы можем получать различные цепочки из символов,
которые называются выводимыми цепочками. Если же метасимволов в
цепочке не осталось, то процесс ее преобразования закончен и больше с
цепочкой ничего сделать нельзя.
4. Понятие формального вывода формулы в формальной теории.
Отношение непосредственной выводимости. Гипотезы, теоремы
формальной теории.
Под формальным (логическим) выводом формулы β из множества
посылок G понимается вектор (последовательность) логических формул,
каждый i-й компонент которого является аксиомой или элементом множества
G, либо – формулой, которая выводима (получена путём применения правила
вывода) из множества формул, состоящего из всех таких формул и только
таких формул, которые являются k-ми компонентами этого вектора, где (k<i),
а формула β является последним компонентом этого вектора.
Формула β является гипотезой тогда и только тогда, когда предполагается,
что существует формальный вывод формулы β из множества посылок,
являющегося подмножеством аксиом этого исчисления. Но он еще не
построен.
Формула β является теоремой (теоремой исчисления) тогда и только
тогда, когда существует формальный вывод формулы β из множества
посылок, являющегося подмножеством аксиом этого исчисления.
5. Семантика формальной теории, модель. Алгебраические системы,
алгебры классической логики. Высказывание, предикат,
логические связки.
Алгебраическая система или алгебраическая структура — множество G
(носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура),
удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Непустое множество M,
рассматриваемое вместе с интерпретацией на нем всех символов сигнатуры
называется алгебраической системой сигнатуры Ω и обозначается Т = (М. Ω).
Множество M называют носителем алгебраической системы (M, Ω).
Мощностью алгебраической системы называется мощность ее носителя.
Модель логики предикатов задаётся множеством элементов (носителем) и
множеством отношений на этом множестве элементов (сигнатурой). Любое
множество предикатов задаёт хотя бы одну модель. Каждая формула языка
логики предикатов обозначает некоторый предикат. Интерпретацией
формулы логики предикатов называется функция, которая каждой
(предметной) переменной формулы ставит в соответствие её значение. По
аналогии с алгеброй высказываний можно рассматривать алгебраическую
систему логики предикатов, носитель которой совпадаете носителем модели,
а сигнатура которой - является множеством предикатов.
Простейшая логическая формула может задавать некоторое
высказывание. Высказывание – это некоторая сущность, относительно
которой можно сказать, истинна она или ложна.
Предикат (n-арный) — это функция с областью значений {0,1} ,
определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом,
каждую n-ку элементов M он характеризует либо как «истинную», либо как
«ложную». Предикат можно связать с математическим отношением: если nка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней
1.Предикат называют тождественно-истинным и пишут:
если
на любом наборе аргументов он принимает значение 1. Предикат называют
тождественно-ложным и пишут:
если на любом наборе
аргументов он принимает значение 0. Предикат называют выполнимым, если
хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.
Логические связки. В логике логическими связками называют
действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с
использованием уже существующих. В качестве основных обычно называют
конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, отрицание.
6. Квантификация переменных в логических формулах. Семантика
кванторов. Свободные и связанные переменные, термы, открытые
и замкнутые формулы.
Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих
область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор
всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для любого…» или
«любой…») и квантор существования (обозначение: , читается:
«существует…» или «найдется…»). В математической логике приписывание
квантора к формуле называется связыванием квантора.В логике предикатов,
большое значение имеют 2-е операции называемые:
1) Квантор "Существования"
2) Квантор "Общности"
Кванторы являются способом сокращенной записи конъюнктивных и
дизъюнктивных формул. Необходимость связана с тем, что область
определения предикатов может быть бесконечной.
Переменная в формуле является свободной, если не существует
кванторной формы для этой переменной, которая является подформулой
рассматриваемой формулы. Иначе переменная называется связанной
соответствующим квантором.
Терм — выражение формального языка (системы), является формальным
именем объекта или именем формы. Понятие терма определяется
индуктивно. Термом называется символьное выражение: t(X1, X2, … , Xn),
где t — имя терма, называемая функтор или «функциональная буква», а X1,
X2, … , Xn — термы, структурированные или простейшие.В логике первого
и второго порядков терм определяется рекурсивно следующим образом:
 всякая индивидная константа есть терм;
 всякая свободная переменная есть терм;
 если fi — і-местная фунциональная константа и t1, t2, …, ti — термы,
то fi(t1,t2,...,ti) также есть терм;
Формула называется замкнутой, если множество ее свободных
переменных является пустым. Иначе формула является открытой.
7. Дистрибутивность и ассоциативность кванторов.
Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих
область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор
всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для любого…» или
«любой…») и квантор существования (обозначение: , читается:
«существует…» или «найдется…»). В математической логике приписывание
квантора к формуле называется связыванием квантора.В логике предикатов,
большое значение имеют 2-е операции называемые:
1) Квантор "Существования"
2) Квантор "Общности"
Кванторы являются способом сокращенной записи конъюнктивных и
дизъюнктивных формул. Необходимость связана с тем, что область
определения предикатов может быть бесконечной.
Ассоциативность.
Высказывание
означает, что область истинности предиката P(x)
совпадает с областью значений переменной x.
Высказывание
означает, что область истинности предиката P(x)
непуста.
8. Нормальные формы логических формул: КНФ, ДНФ.
Предварённая нормальная форма. Сколемовская стандартная
форма.
Так как операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания образуют
логический базис, то любая истинностная функция является их
суперпозицией, то есть может быть выражена через эти операции.
Следовательно, для любой истинностной функции можно построить
обозначающую ее формулу языка логики высказываний. В связи с этим
разделяют классы логических формул, называемых нормальными формами.
Различают дизъюнктивную нормальную форму и конъюткивную
нормальную форму.
Элементарная конъюнкция – формула, подформулами которой являются
только конъюнктивные формулы, либо – атомарные формулы, либо
отрицания атомарных формул.
Элементарная дизъюнкция – формула, подформулами которой являются
только дизъюнктивные формулы, либо – атомарные формулы, либо
отрицания атомарных формул.
ДНФ – формула, подформулами которой являются дизъюнктивные
формулы, либо элементарные конъюнкции.
КНФ – формула, подформулами которой являются конъюнктивные
формулы, либо – элементарные дизъюнкции.
Предварённой нормальной конъюнктивной (дизъюнктивной) формой
называется формула, в которой нет некванторной подформулы, которая
имеет кванторную подформулу, и в которой присутствует в качестве
подформулы КНФ (ДНФ), которая не является подформулой формулы, не
являющейся кванторной формулой или КНФ (ДНФ). Другими словами,
предварённая нормальная форма – это формула, у которой все кванторы
записаны слева, а оставшаяся подформула является КНФ(ДНФ), не
включающей кванторов.
Говорят, что предваренная формула является
- формулой, если ее
кванторная приставка содержит n групп кванторов, причем первыми стоят
кванторы существования. Если первыми стоят кванторы всеобщности,
говорят о классе
. (Аналогичные обозначения используются в теории
алгоритмов для классификации арифметических множеств).
Пример: формула
принадлежит классу
, формула
принадлежит классу , а формула
вообще не находится в предваренной нормальной
форме.
Сколемовская стандартная форма получается из предварённой
нормальной формы, путем преобразования последней и записью в виде
текста расширения рассмотренного языка предикатов, допускающего
константы и функциональные термы в качестве аргументов предикатов.
9. Интерпретация логических формул. Таблицы интерпретаций.
Зависимость мощности множества интерпретаций от мощности
носителя модели формальной теории.
Модель логики предикатов задается множеством элементов (носителей) и
множеством отношений на этом множестве элементов (сигнатурой). Любое
множество предикатов задает хотя бы одну модель.
Каждая формула языка логики предикатов обозначает некоторой
предикат. Интерпретацией формулы логики предикатов называется функция,
которая каждой предметной переменной ставит в соответствие ее значение.
Как можно будет увидеть из последующих примеров число интерпретаций
формулы в модели равно mn, где n – есть число свободных предметных
переменных в формуле, а m – мощность носителя модели. Число моделей,
i 1 2m
p
qi
которые можно построить равно
, где p – число предикатов
(мощность сигнатуры модели), qi – число аргументов (арность) предиката i,
m – мощность носителя модели.
По аналоги с алгеброй высказываний можно рассматривать
алгебраическую систему логики предикатов, носитель которой совпадает с
носителем модели, а сигнатура которой является множеством предикатов. В
связи с тем, что число интерпретаций в логике предикатов быстро возрастает
и может быть неограниченным, табличный метод решения логических задач
неприемлем.
Рассмотрим пример: (a  b)  (c  a)
( a  b )  (c  a )
a
b
c
c a
ab
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
10. Семантическая классификация логических формул.
Общезначимость, нейтральность, противоречивость. Отношение
равносильности формул.
Общезначимость
Формула называется общезначимой логической формулой тогда и только
тогда, когда она обозначает функцию равнозначную константе 1 . Примером
общезначимой формулы является формула ( p →p ).
p
p →p
0
1
1
0
Противоречивость
Формула называется противоречивой логической формулой тогда и
только тогда, когда она обозначает функцию равнозначную константе 1 .
Примером противоречивой формулы является формула (P ~¬P).
P
(P ~¬P)
0
0
0
1
Нейтральность
Формула, не являющаяся ни общезначимой, ни противоречивой,
называется нейтральной. Примером нейтральной формулы является формула
(¬P).
P
(¬P)
0
1
0
1
Следование и равносильность формул
Одна формула следует из другой тогда и только тогда, когда для любой
интерпретации, для которой значение обозначаемой второй формулой
функции равнозначно 1 , значение обозначаемой первой формулой функции
также равнозначно 1 .Например, формула ( P →Q) следует из формулы
(P^Q). Это записывается так ((P^Q)' (P →Q)). Если формула следует из любой
формулы, т.е. является общезначимой, то это записывается так: (' (P →P)).
Формула следует из формулы тогда и только тогда когда множество
невыполнимо.
Две формулы равносильны тогда и только тогда, когда следуют друг из
друга. Например, формулы (¬PvQ) и (P→Q) равносильны, так как:
((¬PvQ)'(P→Q)) и ((P→Q) '(¬PvQ)). Равносильность формул записывается
так: ((P→Q)(¬PvQ)). Следовательно, две формулы равносильны тогда и
только тогда, когда обозначают функции, для которых существует каждой из
них равнозначная или равная функция.
11.Понятие метатеоремы. Метатеорема дедукции.
Метатеорема - теорема относительно объектов (понятий, определений,
аксиом, доказательств, правил вывода, теорем и др.) какой-либо научной
теории (т. н. предметной, или объектной, теории), доказываемая средствами
метатеории этой теории. Термин «метатеорема» употребляется
преимущественно в применении к теоремам об объектах формализованных
теорий (т. е. в случае, когда предметная теория является исчислением, или
формальной системой). Если метатеорема, относящаяся к какому-либо
логико-математическому исчислению, доказывается т. н. финитными
средствами, ни в какой форме не использующими абстракции актуальной
бесконечности, то её относят к метаматематике; таковы, напримертеорема
Гёделя о неполноте формальной арифметики и более богатых систем.
Теорема дедукции, доказанная Эрбраном, по-видимому, самый
эффективный прием в классическом исчислении высказываний. Хотя она и
называется "теоремой" дедукции – это метод, который применяется для
доказательства теорем. То есть, как говорят, метатеорема. Метатеорема
дедукции (МТД): G1, G2,..., Gβ-1, Gβ
R, то можно составить
доказательство G1, G2,..., Gβ-1
Gβ R. Проще говоря, значок
можно
переносить справа налево, на место запятой, оставляя вместо него на каждом
шаге символ :
Обратное движение также
допустимо, причем, обоснование
этого (в отличие от метатеоремы
дедукции) элементарно. Пусть у нас
имеется старое доказательство: G1,
G2,..., Gβ-1
Gβ R. Построим на
его основе новое доказательство: G1,
G2,..., Gβ-1, Gβ
R . Если R аксиома, или одна из гипотез G1,
G2,..., Gβ, то новое доказательство
получится сразу (длиной в 0 строк).
Иначе возьмем старое доказательство
целиком и добавим в его конец одну дополнительную строку:
Gβ, Gβ R
R // MP - старое доказательство плюс одна эта строка как
раз и составят новое доказательство. Самое крайнее положение значка
при
движении вправо - перед последней формулой R (дальше modus ponens
двигать значок не позволяет). Самое крайнее положение значка
при
движении влево - с краю формулы. При движении значка вправо символ
должен ставится на место операции , которая обрабатывается (согласно
скобкам и приоритетам) самой последней. Если в формуле последней
обрабатывается другая операция, то дальнейшее движение значка
невозможно. При движении влево надо не забывать расставлять скобки,
чтобы в образовавшейся формуле новый символ обрабатывался (согласно
скобкам и приоритетам) самым последним.
12.Связь тождественно-истинных высказываний и теорем исчисления
высказываний, формальной теории высказываний.
13.Формальное доказательство двойного отрицания ( { A ~ A }).
14.Формальное доказательство перехода от прямого заключения к
заключению от обратного ({ A  B }  { B  A }).
15.Формальное доказательство закона исключенного третьего (
{ A  A }).
16.Категоричность, -категоричность, непротиворечивость и полнота
формальных теорий. Эрбранова модель.
Математическую теорию, изучающую данную аксиоматическую теорию
как единое целое, устанавливающую свойства данной аксиоматической
теории, называют метатеорией по отношению к изучаемой теории, и методы
математической логики являются основными методами этой науки. Факты,
устанавливаемые в ней относительно изучаемой аксиоматической теории,
называют метатеоремами.
Непротиворечивость. Аксиоматическая теория называется
непротиворечивой, если ни для какого утверждения А, сформулированного в
терминах этой теории, само утверждение А и его отрицание !А не могут быть
одновременно теоремами этой теории. Чтобы установить
непротиворечивость аксиомат. теории, необходимо проверить систему
аксиом на противоречия и истинность логических умозаключений.
Категоричность. Аксиоматическая теория называется категоричной,
если любые две ее модели изоморфны (неотличимы). Примеры категоричных
теорий: евклидовой геометрии, различных систем чисел (натуральных,
целых, рациональных и др.). Примеры некатегоричных теорий: теория групп,
теория колец, теория полей и теории других алгебраических систем.
Пусть α – какое-нибудь кардинальное число (мощность). Теория первого
порядка Т называется α-категоричной, если Т имеет хотя бы одну модель
мощности α и любые две ее модели мощности α изоморфны.
Полнота. Аксиоматическая теория называется абсолютно полной, если
для любого утверждения А, сформулированного в терминах этой теории,
точно одно из утверждений А и !А является ее теоремой. Аксиоматическая
теория называется полной в узком смысле (или в смысле Поста), если
добавление к ее аксиомам любого недоказуемого в ней утверждения с
сохранением всех правил вывода приводит к противоречивой теории. Всякая
абсолютно полная теория будет полна в узком смысле. Классическим
примером неполной системы аксиом является система аксиом и постулатов
«Начал» Евклида (так, для обоснования наличия точки пересечения у двух
прямых требуется аксиома непрерывности). Всякая полная и
непротиворечивая аксиоматическая теория категорична. Не всякая
категоричная теория полна.
Вероятностной Эрбрановой моделью сигнатуры W будем называть пару
M = áU, mñ, где m – вероятность на Â. Функциональные символы
интерпретируются на U обычным образом. Эрбрановой моделью сигнатуры
W будем называть вероятностную Эрбранову модель M = áU, Iñ, где I : Â ®
{0, I}.
17.Правило введения отрицания. (Справедливость метода
доказательства от противного в исчислении высказываний).
Суть метода доказательства от противного. Для того, чтобы доказать
утверждение X→Y, предполагается, что верно утверждение Х. Отсюда
нужно логическими рассуждениями прийти к утверждению Y. Вместо этого
делается предположение, противное тому, которое требуется доказать, т.е.
предполагается ¬Y. Далее, рассуждая на основании этого предположения, мы
приходим к нелепому выводу ¬Х. «Нелепость» вывода состоит в том, что он
противоречит исходному данному утверждению Х. Получение такого вывода
заставляет нас отвергнуть сделанное предположение ¬Y и принять то,
которое требовалось доказать, – Y. Это возможно, потому что в этом состоит
логический закон контрапозиции X → Y≡ ¬ Y → ¬X устанавливающий
равносильность этих утверждений.
Метод доказательства от противного применяется также и в других
формах. Например, вместо импликации X → У доказывают равносильную ей
импликацию (X ^¬ Y) → ¬X, т.е. предполагая, что истинны утверждения Х и
¬У, выводят истинность утверждения ¬X в противоречие с предположением.
На основании равносильности Х→ Y≡ (X ^¬ Y) → ¬X. Сделается вывод об
истинности импликации X → Y. Вторая равносильность Х→ Y≡ (X ^¬ Y) →
Y дает возможность заменить доказательство импликации X → Y
доказательством импликации (X ^¬ Y) → Y, т.е. предположив, что истинны
утверждения X и ¬Y, вывести отсюда истинность утверждения К в
противоречие с предположением. Наконец еще одна форма этого метода,
являющаяся также одной из форм метода приведения к абсурду, основана на
равносильности X → Y≡ (X ^¬ Y) → (Z ^¬ Z) Предполагая, что истинны
утверждения Хи ¬Y, выводим из них некоторое утверждение и его
отрицание.
Метод доказательства от противного имеет две модификации: метод
приведения противоположного утверждения к абсурду и метод приведения
данного утверждения к абсурду.
Первый метод состоит в следующем. Пусть требуется доказать
утверждение Х. Допускается противоположное ему утверждение ¬Х и из
него выводятся два противоречащих друг другу утверждения Y и ¬Y: ¬X →
Y и ¬X → ¬Y. Из этого делается вывод о том, что справедливо исходное
утверждение Х. Оправданием этому методу служит тавтология:. (¬X→¬Y) →
((¬X→Y)→X).
Второй метод состоит в следующем. Пусть требуется опровергнуть Х,
т.е. доказать ¬Х. В этом случае два противоречащих друг другу утверждения
Y и ¬Y выводятся не из утверждения ¬Х, а из самого данного утвреждения
Х: Х→Y и X→¬Y. Из этого делается вывод о том, что справедливо !Х, т.е.
данное утверждение Х опровергнуто. Оправданием этому методу служит
тавтология: (X→¬Y) → ((X→Y)→¬X).
18.Исчисление предикатов первого порядка. Аксиоматика.
Предикат – высказывательная функция, определенная на некотором
множестве М, т.е. такая n-местная функция Р, которая каждому
упорядоченному набору <a1,a2, …, an> элементов множества М сопоставляет
некоторое высказывание, обозначаемое P(a1,a2, …, an).
Логика первого порядка (исчисление предикатов) - допускающее
высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и
предикатов. Расширяет логику высказываний. Аксиоматика исчисления
предикатов основывается на аксиоматике исчисления высказываний,
используя все аксиомные схемы исчисления высказываний применительно к
формулам языка логики предикатов, а также используя две следующие
дополнительные аксиомные схемы для кванторов.
Здесь формула α, имеющая свободное вхождение переменной χ,
обозначена как α(χ). Формула α(χ) не имеет свободных вхождений τ.
Формула α(τ) получена заменой свободных вхождений переменной χ на τ.
Пояснение. Множество аксиом можно задавать с помощью аксиомных
схем. Отличие аксиомной схемы от аксиомы в том, что, как это обычно
бывает при определениях, аксиомная схема записывается на некотором
метаязыке, формулы которого содержат метапеременные (лексические
переменные). Любая аксиома может быть получена путём одновременной
замены каждой метапеременной во всех её вхождениях в аксиомную схему
на конкретную формулу соответствующего языка (в данном случае – языка
логики высказываний). В данном случае метапеременные обозначены
символами греческого алфавита.
Ниже приведены аксиомные схемы исчисления высказываний, задающие
аксиомы для введения и удаления логических связок по отношению к
формулам, являющимися подформулами этих аксиом:
Названия этих аксиомных схем следующие: «аксиомная схема введения
импликации», «аксиомная схема удаления импликации», «аксиомная схема
введения конъюнкции» и т.д.
19.Исчисление предикатов первого порядка. Правила вывода.
Предикат – высказывательная функция, определенная на некотором
множестве М, т.е. такая n-местная функция Р, которая каждому
упорядоченному набору <a1,a2, …, an> элементов множества М сопоставляет
некоторое высказывание, обозначаемое P(a1,a2, …, an).
Логика первого порядка (исчисление предикатов) — формальное
исчисление, допускающее высказывания относительно переменных,
фиксированных функций, и предикатов. Расширяет логику высказываний.
Есть два правила вывода, называемые правилами Бернайса. Если
переменная не является параметром формулы , то правила Бернайса
разрешают такие переходы:
Мы говорим, что стоящая снизу от черты (в каждом из правил) формула
получается по соответствующему правилу из верхней. Соответственно
дополняется и определение вывода как последовательности формул, в
которой каждая формула либо является аксиомой, либо получается из
предыдущих по одному из правил вывода.
Поясним интуитивный смысл этих правил. Первое говорит, что если из
следует , причем в есть параметр , которого нет в , то это означает,
что формула истинна при всех значениях параметра , если только
формула истинна.
Используя первое правило Бернайса, легко установить допустимость
правила обобщения
(если в исчислении предикатов выводима формула сверху от черты, то
выводима и формула снизу). В самом деле, возьмем какую-нибудь
выводимую формулу без параметров (например, аксиому, в которой
вместо , и подставлены замкнутые формулы). Раз выводима формула
, то выводима и формула
(поскольку
является
тавтологией и даже аксиомой). Теперь по правилу Бернайса выводим
и применяем правило MP к этой формуле и к формуле .
Правило (Gen) (от Generalization — обобщение) кодифицирует
стандартную практику рассуждений: мы доказываем какое-то утверждение
со свободной переменной , после чего заключаем, что мы доказали
,
так как было произвольным.
Второе правило Бернайса также вполне естественно: желая доказать в
предположении
, мы говорим: пусть такое существует, возьмем его и
докажем (то есть докажем
со свободной переменной ).
20.Теорема о доказуемых формулах исчисления предикатов. Теорема
об общезначимых предикатных формулах (Теорема Гёделя).
Теорема о доказуемых формулах исчисления предикатов. В исчислении
предикатов доказуемыми замкнутыми формулами являются все тавтологии,
и только они.
Здесь речь идёт о правилах доказательства (MP, CondP, Contr, Gen, Part).
Точнее говорить о том, что эта система правил, позволяющих доказать
любую тавтологию, то есть "абсолютный логический закон", верный при
любой интерпретации входящих в него символов. О том, что любое
содержательное доказательство можно представить как вывод некоторой
тавтологии.
Доказывается эта теорема очень просто. То, что все выводимые формулы -это тавтологии, факт совершенно очевидный. Обратное нужно обосновать.
То есть надо доказать, что любая тавтология Ф выводима (доказуема). Если
это не так, то теория T, состоящая из одной аксиомы ¬Ф, должна быть
непротиворечивой. Потому что вывод противоречия тем самым доказывал
бы "от противного" формулу Ф. А поскольку всякая непротиворечивая
теория имеет модель, то мы получили бы такую модель, в которой формула
¬Ф истинна. Это означало бы, что Ф ложна в данной модели
(интерпретации). Но это противоречит тому, что Ф является тождественно
истинной (тавтологией).Заметим, что теорема Гёделя о полноте исчисления
предикатов формально не является усилением теоремы о полноте исчисления
высказываний -- это разные теоремы.
Первая теорема Гёделя о неполноте.
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка
(в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную
арифметику), существует такая замкнутая формула , что ни , ни
не
являются выводимыми в этой теории.
Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории
существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни
доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к
системе аксиом, оставив её непротиворечивой. При этом для новой теории (с
увеличенным количеством аксиом) также будет существовать недоказуемое
и неопровержимое утверждение.
21.Двойственность кванторов общности и существования,
доказательство.
Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих
область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор
всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для любого…» или
«любой…») и квантор существования (обозначение: , читается:
«существует…» или «найдется…»). Кванторы являются способом
сокращенной записи конъюнктивных и дизъюнктивных формул. Так как
область определения предикатов может быть бесконечной.
Квантор существования - специальный указатель на то, что некоторое P
имеет место (или истинно) при некоторых переменных, перечисленных в
этом указателе, причем конкретные значения, обеспечивающие это, не
указываются, а фиксируется лишь то, что они существуют. Переменные,
перечисленные в указателе, называются связанными. Стандартно К.С.
обозначается как где xi - имена переменных, которые являются связанными.
Квантор общности - Специальный указатель на то, что некоторое
содержащее переменные, распространяется на все формулы, получаемые при
подстановке вместо переменных, перечисленных в этом указателе, любых
значений из областей определения этих переменных. К.О. обозначает как где
xi имена тех переменных, на которые распространяется его действие.
Двойственность кванторов.
Если квантор существования расположен после кванторов общности, то
соответствующая переменная, связанная квантором существования
заменяется отсутствующим в исходной формуле функциональным термом,
список аргументов в котором содержит все переменные, связанные
расположенными до рассматриваемого квантора существования кванторами
общности. Все кванторы общности исключатся из исходной формулы.
Рассмотрим следующий пример.
Пусть есть формула
тогда её
сколемовская стандартная форма(Сколемовская (стандартная) форма
получается из предварённой нормальной, путём преобразования последней и
записью в виде текста расширения рассмотренного языка предикатов,
допускающего константы и функциональные термы в качестве аргументов
предикатов. Строится сколемовская стандартная форма следующим образом.
Если предварённая нормальная форма является кванторной формулой
существования, то каждая во всех вхождениях переменная, связанная
квантором заменяется, константой, которая отсутствует в формуле, и процесс
повторяется для оставшейся подформулы выглядит следующим образом.
.
22.Формальное доказательство переименования связанных
переменных.
Переменные в логике играют роль, аналогичную их роли в алгебре или
анализе. Прежде всего они позволяют указать в структуре математического
объекта те места, которые при использовании этого объекта будут заняты
другими объектами. Например, линейная функция f может быть записана
классической формулой f(x)=x + 6 или еще с помощью обозначения,
подчеркивающего статус объекта f, формулой типа f = x.x + 6.
В этом контексте х означает не объект, а место для объекта. Можно без
хлопот переобозначить х, т. е. заменить два вхождения х, например, на у.
Очевидно, что нельзя заменить только одно вхождение, а другое оставить без
изменения. Такой тип замены называется одновременной подстановкой.
Говорят, что х — связанная переменная, желая тем самым отразить то
обстоятельство, что первое вхождение х описывает связь, которой подчинено
второе вхождение х. Переименование связанной переменной допустимо, так
как сколько было различных вхождений переменных до одновременной
подстановки, столько же останется и после. Например, выражение ху. х * у
равняется uy.u * y, но не ии.и * и. Теперь рассмотрим такой контекст, где х
тем или иным образом представляет число 3, a sq — квадратичная функция.
Можно написать sq (х) = х + 6, но, очевидно, уже нельзя заменять х на у, так
как на этот раз через х обозначен вполне определенный объект. Переменная х
называется свободной, точнее, два вхождения х называются свободными.
Рассмотрим следующий пример:
Единственной связанной переменной здесь является i. Связь вводится
первым вхождением i. Остальные символы представляют свободные
переменные или функциональные константы. Можно переименовать i в j или
l, но не в k или п. Наконец, в выражении
связанные переменные — х и t. Связи
вводятся соответственно первым вхождением х и последним вхождением t.
Теперь вернемся к логике. Из интуитивного понимания квантификации
вытекает, что имеется связь между вхождениями переменной, содержащейся
в квантификации. В формуле x [Н (х)  М (х)] переменная х «связана».
Связь вводится первым вхождением, которое следует непосредственно после
квантора общности. Область действия некоторой квантификации есть
формула, к которой применяется эта квантификация. Вхождение переменной
х, появляющейся в кванти-фикациях x или x, называется
квантифицированным. Каждое вхождение переменной х в область действия
этой квантификации является связанным. Вхождение переменной х
свободное, если оно не является ни квантифицированным, ни связанным.
23.Правило резолюций. Хорновские дизъюнкты. Минимальная
модель.
Метод резолюций. Главная идея метода резолюций состоит в том, что,
если одна и та же атомарная формула (или сопоставимые формулы)
появляется (-ются) в одном дизъюнкте без отрицания, а в другом - с
отрицанием, то дизъюнкт, называемый резольвентой и получаемый в
результате соединения этих двух дизъюнктов, из которых вычеркнута
упоминавшаяся повторяющаяся формула (или сопоставимые формулы),
является следствием указанных дизъюнктов. Пусть C1 и C2 - два
предложения в исчислении высказываний, и пусть
,а
, где P - пропозициональная переменная, а C'1 и C'2 - любые
предложения (в частности, может быть, пустые или состоящие только из
одного литерала). Правило вывода:
называется правилом
резолюции. Предложения C1 и C2 называются резольвируемыми (или
родительскими), предложение
- резольвентой, а формулы P и
контрарными литералами. Метод резолюций является обобщением метода
"доказательства от противного". Вместо того чтобы пытаться вывести
некоторую формулу-гипотезу из имеющегося непротиворечивого множества
аксиом, мы добавляем отрицание нашей формулы к множеству аксиом и
пытаемся вывести из него противоречие. Пользуясь законом исключенного
третьего мы приходим к выводу, что исходная формула была выводима из
множества аксиом.
Дизъюнкт - это совокупность литер, одни из которых не содержат, а
другие содержат знак отрицания. Если первые записывать через точку с
запятой слева от знака ":-", а вторые - без знака отрицания через запятую
справа от знака ":-" и в конце каждого дизъюнкта ставить точку, то получим
выражение вида: A1;A2;…;An: - B1,B2,…,Bm . Хорновский дизъюнкт это дизъюнкт, содержащий не более одной литеры без отрицания. Например:
A:-B,C,D; A:-B1,B2,Bn. Существует два вида хорновских дизъюнктов.
Хорновский дизъюнкт с заголовком - это дизъюнкт, содержащий одну
литеру без отрицания. Он может содержать одну или несколько литер с
отрицанием или не содержать их вообще, например: A:-B,C, ...,D; A:-B;
A:-. Последний из приведенных дизъюнктов можно записывать без знака
":-", то есть в виде А. Хорновский дизъюнкт без заголовка - это дизъюнкт,
не содержащий литер без отрицания, например: :-B,C, ...,D; : -A.
В результате применения метода резолюций к двум хорновским
дизъюнктам с заголовками вновь получается хорновский дизъюнкт с
заголовком. Известно, что пустой дизъюнкт не имеет заголовка.
Следовательно, если все дизъюнкты имеют заголовки, то из них могут быть
получены только дизъюнкты с заголовками. Таким образом, для того чтобы
из исходных дизъюнктов, отрицая доказываемое высказывание, можно было
бы вывести пустой дизъюнкт, необходимо наличие, по крайней мере, одного
дизъюнкта без заголовка. Если среди исходных имеется несколько
дизъюнктов без заголовка, то доказательство каждого нового дизъюнкта
методом резолюций может быть преобразовано в доказательство, в котором
используется не более чем один дизъюнкт без заголовка. Если пустой
дизъюнкт следует из заданного множества исходных, то он следует и из его
подмножества, содержащего дизъюнкты с заголовками и не более одного
дизъюнкта без заголовка. Любая задача, которая может быть выражена с
помощью хорновских дизъюнктов, должна иметь только один дизъюнкт без
заголовка (целевой); все остальные дизъюнкты должны быть с заголовками
(гипотезы). Хорновские дизъюнкты были выбраны в качестве основы для
создания программных систем автоматического доказательства теорем.
Моделью называется интерпретация, которая удовлетворяет множеству
предикатных выражений S для всех значений переменных. Существует
несколько определений минимальной модели. Минимальная модель модель, для которой не существует подмоделей, удовлетворяющих
множеству выражений S при всех значениях переменных.
24.Унификация. Унифицирующая подстановка, унификатор.
Наибольший общий унификатор.
Задача унификации: По двум описаниям X и Y определить, можно ли
найти объект Z, который удовлетворяет обоим описаниям. Обычно
уточняется как задача нахождения по данным двум термам, содержащим
переменные, такой подстановки термов вместо переменных, которая
превратила бы исходные термы в идентичные. В том случае, когда такая
подстановка для термов существует, она называется унификатором, а термы
называются унифицируемыми. Если термы унифицируемы, то у них может
быть много унификаторов, но всегда существует и единствен наибольший
общий унификатор, из которого с помощью композиций подстановок
можно получить все другие унификаторы. Этот унификатор, обладает таким
свойством, что для всякого другого унификатора q для того же множества
выражений существует такая подстановка t, что q = zt, где zt - композиция
подстановок r и t.
Унификация (сопоставление) является основной операцией в методе
резолюций. Пусть даны два дизъюнкта
и
,
принадлежащие множеству S. Предположим, что литеры l1 и l2 являются
унифицируемыми, т. е. обладают общей фундаментальной конкретизацией.
Из каждой пары фундаментальных конкретизаций
и
,
таких, что l1'=l1'=l1' получается резольвента
. Каждый
дизъюнкт такого типа является логическим следствием из С1 и С2 . Задача
состоит в том, чтобы найти такой дизъюнкт R, фундаментальные
конкретизации которого были бы в точности конкретизациями того же
самого типа, как и для R' . Обозначим через lU наибольшую нижнюю
границу пары {l1 , l2} относительно порядка < . Наиболее общим
унификатором литер l1 и l2, ,будем называть подстановку sU , такую, что sU
[l1]= sU [l2]=lU. Резольвентным дизъюнктом (резольвентой) R с требуемым
свойством будет следующее выражение:
.
То есть, унификация - процедура подстановки термов в два логических
выражения вместо переменных. Термы подбираются таким образом, что при
замене ими одноименных в двух выражениях переменных оба выражения
становятся идентичными. Сама подстановка называется унификатором. У.
используется при логическом выводе в методе резолюций.
25.Прикладные исчисления предикатов и их отличие от чистого
исчисления предикатов и теорий второго порядка и выше.
Предикат – высказывательная функция, определенная на некотором
множестве М, т.е. такая n-местная функция Р, которая каждому
упорядоченному набору <a1,a2, …, an> элементов множества М сопоставляет
некоторое высказывание, обозначаемое P(a1,a2, …, an).
Исчисление предикатов — формальное исчисление, допускающее
высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и
предикатов. Расширяет логику высказываний.
Прикладные исчисления, в отличие от «чистых» исчислений, содержат
дополнительные предикатные константы в языке и дополнительные аксиомы,
определяющие свойства этих констант. Прикладные исчисления можно
разбить на абстрактные и предметные, т.е. те, которые описывают свойства
«чистых» математических абстракций и те, которые описывают свойства
физических объектов. Предметные прикладные исчисления обычно строятся
с помощью языков логического программирования в рамках некоторой
программной системы, решающей ту или иную прикладную задачу.
Абстрактные прикладные исчисления встречаются чаще.
Логика второго порядка — расширяет логику первого порядка, позволяя
проводить квантификацию общности и существования не только над
атомами, но и над предикатами. Нечёткое множество второго порядка может
быть определено следующим образом, т.е. областью определения для него
выступает множество первого порядка.
Таким образом, областью определения множества следующего порядка
является множество предыдущего порядка.Логика второго порядка не
упрощается к логике первого порядка.
26.Исчисление с равенством. Язык, аксиоматика, правила вывода,
свойства отношения равенства.
Предикат – высказывательная функция, определенная на некотором
множестве М, т.е. такая n-местная функция Р, которая каждому
упорядоченному набору <a1,a2, …, an> элементов множества М сопоставляет
некоторое высказывание, обозначаемое P(a1,a2, …, an).
Исчисление предикатов — формальное исчисление, допускающее
высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и
предикатов. Расширяет логику высказываний.
Исчисление с равенством – исчисление, которое описывает, формализует
свойства бинарного отношения эквивалентности (равенства).
Язык: Алфавит этого языка содержит дополнительный класс символов,
включающий символ ў, использующийся в качестве предикатной константы.
Синтаксис позволяет строить предикатные термы, используя этот символ.
Аксиоматика исчисления с равенством может быть выстроена на основе
аксиоматики логики предикатов с добавлением следующей аксиомной схемы
и аксиомы. Здесь формула
получена из формулы
некоторых свободных вхождений переменной χ на λ.
заменой
Теоремами исчисления с равенством являются свойства симметричности
и транзитивности соответственно.
Кроме правила прямого заключения в логике предикатов используются
ещё два правила вывода. Для любого множества формул G языка логики
предикатов, для любых формул α (χ) и β (χ) , содержащих свободную
переменную χ , и любой формулы γ , которая не содержит свободной
переменной χ , справедливы следующие правила (правило обобщения и
конкретизации соответственно).
Наряду с этими правилами и исходя из них, как метатеоремы могут
быть получены следующие правила вывода.
27.Исчисления частичного и линейного порядка. Язык, аксиоматика,
правила, теоремы.
Предикат – высказывательная функция, определенная на некотором
множестве М, т.е. такая n-местная функция Р, которая каждому
упорядоченному набору <a1,a2, …, an> элементов множества М сопоставляет
некоторое высказывание, обозначаемое P(a1,a2, …, an).
Исчисление предикатов — формальное исчисление, допускающее
высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и
предикатов. Расширяет логику высказываний.
Исчисление порядка – исчисление, которое описывает, формализует
свойства бинарных отношений порядка. В дополнение к аксиома логики
исчисления с равенством, следующие две аксиомы используются во всех
исчислениях порядка, описывающих отношение (предпорядка) порядка ,
специальный символ для обозначения которого вводится, как предикатная
константа, в алфавит языка исчисления порядка. Этими аксиомами
соответственно являются аксиома антисимметричности и аксиома
транзитивности. Ђ.
Исчисление частичного порядка:
Включение в аксиоматику исчисления порядка (для отношения Ђ)
следующей аксиомы приводит к исчислению частичного порядка.
В качестве правил вывода используются все правила исчисления
предикатов.
Исчисление линейного порядка:
Включение в аксиоматику исчисления порядка (для отношения Ђ)
следующей аксиомы приводит к исчислению полного порядка.
В качестве правил вывода используются все правила исчисления
предикатов.
28.Исчисление строгого и нестрогого порядка Язык, аксиоматика,
правила, теоремы.
Предикат – высказывательная функция, определенная на некотором
множестве М, т.е. такая n-местная функция Р, которая каждому
упорядоченному набору <a1,a2, …, an> элементов множества М сопоставляет
некоторое высказывание, обозначаемое P(a1,a2, …, an).
Исчисление предикатов — формальное исчисление, допускающее
высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и
предикатов. Расширяет логику высказываний.
Исчисление порядка – исчисление, которое описывает, формализует
свойства бинарных отношений порядка. В дополнение к аксиома логики
исчисления с равенством, следующие две аксиомы используются во всех
исчислениях порядка, описывающих отношение (предпорядка) порядка ,
специальный символ для обозначения которого вводится, как предикатная
константа, в алфавит языка исчисления порядка. Этими аксиомами
соответственно являются аксиома антисимметричности и аксиома
транзитивности. Ђ.
Исчисление нестрогого порядка:
Включение в аксиоматику исчисления порядка (для отношения Ђ)
следующей аксиомы приводит к исчислению нестрогого порядка.
В качестве правил вывода используются все правила исчисления
предикатов.
Исчисление строгого порядка:
Включение в аксиоматику исчисления порядка (для отношения Ђ)
следующей аксиомы приводит к исчислению строгого порядка.
В качестве правил вывода используются все правила исчисления
предикатов.
29.Исчисление с выводом по аналогии. Отношение подобия.
Исчисление предикатов — формальное исчисление, допускающее
высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и
предикатов. Расширяет логику высказываний.
Ещё одним примером неклассического логического вывода является вывод
по аналогии.
Правило прямого вывода (заключения) по аналогии формально может
выглядеть так:
где σ – бинарное отношение подобия на множестве термов и формул.
Вывод по аналогии реализуется в рамках базы знаний. База знаний состоит
из набора фактов и правил, записанных на линейном языке. Факты
представлены предикатными формулами с указанными значениями
аргументов; факты утверждают истинность заданной интерпретации
предиката. Значением аргументов являются константы. Например: P(a,b).
Правила представляются в виде хорновских дизъюнктов. Хорновский
дизъюнкт – дизъюнктивная логическая формула, высказывание,
непосредственно содержащее только одну предикатную подформулу без
отрицания, а все остальные предикатные подформулы – под отрицанием. Все
переменные в хорновском дизъюнкте связываются квантором общности.
Например: P(A,B) <- P(A,C); P(C,B).
Последнее равносильно:P(A,B)   P(A,C)   P(C,B)
Исчисление предикатов .Рассмотрим аксиоматику исчисления
предикатов, которая основывается на аксиоматике исчисления
высказываний, используя все аксиомные схемы исчисления высказываний
применительно к формулам языка логики предикатов, а также используя
две следующие дополнительные аксиомные схемы для кванторов.
Здесь формула α , имеющая свободное вхождение переменной χ ,
обозначена как α (χ) . Формула α (χ) не имеет свободных вхождений τ .
Формула α (τ) получена заменой всех свободных вхождений переменной χ
на τ .
Следовательно, эти две аксиомные схемы для кванторов необходимо
учитывать при выводе по аналогии.
Подобие - В метрических пространствах так же, как в n-мерных
римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие
определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя
с точностью до постоянного множителя. Отношение подобия – отношение
выполняющие данное преобразования.
30.Исчисление арифметики. Язык, аксиоматика, правила, теоремы.
Предикат – высказывательная функция, определенная на некотором
множестве М, т.е. такая n-местная функция Р, которая каждому
упорядоченному набору <a1,a2, …, an> элементов множества М сопоставляет
некоторое высказывание, обозначаемое P(a1,a2, …, an).
Исчисление предикатов — формальное исчисление, допускающее
высказывания относительно переменных, фиксированных функций, и
предикатов. Расширяет логику высказываний.
Исчисление арифметики описывает натуральные числа и закономерности
операций над натуральными числами. В алфавит языка исчисления
арифметики дополнительно вводятся классы следующих символов ,',0+,∗ .
Аксиоматика кроме аксиомных схем исчисления предикатов содержит шесть
аксиом и одну аксиомную схему, формализующую метод математической
индукции.
Теоремы: Примерами теорем исчисления арифметики являются
следующие формулы.
31.Теория алгоритмов. Понятие примитивно-рекурсивной функции.
Тео́рия алгори́тмов — наука, изучающая общие свойства и
закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их
представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное
доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический
анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с
классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества
алгоритмов и т. п.
Рекурси́вная фу́нкция (от лат. recursio — возвращение) — это числовая
функция f(n) числового аргумента, которая в своей записи содержит себя же.
Такая запись позволяет вычислять значения f(n) на основе значений
, подобно рассуждению по индукции. Чтобы
вычисление завершалось для любого n, необходимо, чтобы для некоторых n
функция была определена нерекурсивно (например, для n = 0,1). Вот пример
рекурсивной функции, дающей n-ое число Фибоначчи:
Примитивно рекурсивная функция — вычислимая функция нескольких
натуральных переменных, частный случай рекурсивной функции.
Определение понятия примитивно рекурсивной функции является
индуктивным. Оно состоит из указания класса исходных примитивно
рекурсивных функций и двух операторов (подстановки и примитивной
рекурсии), позволяющих строить новые примитивно рекурсивные функции
на основе уже имеющихся. К числу исходных примитивно рекурсивных
функций относятся функции следующих трёх видов: 1) Нулевая функция O
одного переменного, сопоставляющая любому натуральному числу значение
0. 2) Функция следования S одного переменного, сопоставляющая любому
натуральному числу x непосредственно следующее за ним натуральное число
x + 1. 3) Функции , где
, от n переменных, сопоставляющие
любому упорядоченному набору x1,...xn натуральных чисел число xm из
этого набора.
32.Теория алгоритмов. Понятие рекурсивной функции.
Тео́рия алгори́тмов — наука, изучающая общие свойства и
закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их
представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное
доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический
анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с
классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества
алгоритмов и т. п.
Рекурси́вная фу́нкция — это числовая функция f(n) числового аргумента,
которая в своей записи содержит себя же. Такая запись позволяет вычислять
значения f(n) на основе значений
, подобно
рассуждению по индукции.Чтобы вычисление завершалось для любого n,
необходимо, чтобы для некоторых n функция была определена нерекурсивно
(например, для n = 0,1). Вот пример рекурсивной функции, дающей n-ое
число Фибоначчи:
Руководствуясь этой записью, мы можем вычислить F(n) для любого
натурального n за конечное число шагов. Правда, по пути придется м
дополнительно вычислить значения
, В связи с
этими накладными расходами полезно знать, есть ли у рекурсивной функции
нерекурсивная (замкнутая) форма.
Например, рекурсивния функция:
может быть переведена в замкнутую форму:
. Замкнутая
форма может быть найдена не для всех рекурсивных функций
(соотношений). Для некоторых из них найдены лишь приближенные
замкнутые формы. Некоторые рекурсивные соотношения, такие как
факториал, считаются элементарными математическими операциями.
Рекурсивные функции играют важную роль в теории алгоритмов, так как
многие алгоритмы имеют рекурсивную структуру.
33.Теория алгоритмов. Понятие задачи. Классы задач. Понятие
кодировки задачи. Понятие неизбыточной кодировки задачи.
Тео́рия алгори́тмов — наука, изучающая общие свойства и
закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их
представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное
доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический
анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с
классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества
алгоритмов и т. п.
В понятие "Задачи" входят в первую очередь такие классы проблемных
ситуаций, когда необходимо осуществить: 1) сбор информации, 2) оценку
ситуации, 3) принятие решений, 4) осуществление действий. К группе
наиболее важных классов "задач" относятся: 1) формулировка целей, 2)
постановка задач, 3) построение моделей, 4) выдвижение гипотез, 5) оценка
достоверности решений, 6) верификация моделей, 7) декомпозиция задач,
упрощение, 8) планирование, 9) классификация\категоризация, 10) выбор из
многих альтернатив, 11) распознавание образов, и проч.
Классы сложност.
Схема кодирования (кодировка): необходимо ввести алфавит Σ —
множество, состоящее из конечного числа символов
, Σ* —
множество слов для алфавита, слово — конечный набор букв, слово будем
обозначать &sigma = {σi, σj, σk, …}. Кодировка — e: П → Σ*, ∀ I ⇒ e(I) = σ ∈
Σ* — отображение массовой задачи в множество слов, индивидуальная
задача отображается в слово. Можно сказать, что отображение параметров
задачи. Отображение должно удовлетворять следующим свойствам:
Возможность декодирования однозначного: ∀ I1 ≠ I2, e(I1) ≠ e(I2)
Само кодирование и процесс декодирования должны быть полиминальной
сложностиЮ e, e-1 — полиномиальные вычисления. Неизбыточность
кодировки: для любой другой кодировки, удовлетворяющей свойствам 1 и 2
найдётся такой полином от n, что для любого натурального n найдётся такая
задача I, что длина входа задачи I:
— не
существует кодировки, которая на порядок лучше . Обычно встречаемся с
кодировкой чисел. Какие бывают кодировки: двоичная. Например, есть число
N, в двоичной кодировке получаем число N2 = (1, 0, …, 1), |N2| = log2 N,
можно взять другую систему: |N10| = log10 N, и в данном случае порядок
соответствует.
Другая кодировка: кодирование палочками, длина слова |N1| = N = 2log2
N, и эта кодировка избыточная, так как в этом случае получаем не полином а
экспоненту.
Классы сложности задач
Класс полиномиально разрешимых задач
= {L(Π, e) | ∃ A решающий Π с
кодировкой e, ∃p(.) — полином:
Задача принадлежит классу полиномиальных задач: П ∈ P — ежели для
неё существует алгоритм с полиномиальной сложностью.
Труднорешаемые задачи — задачи, для которых нет полиномиального
алгоритма.
Слово о полиномиальных и экспоненциальных алгоритмах: если есть
алгоритм, который имеет полиномиальную сложность, но степено например
порядка 7. Это ничем не лучше экспоненты. Но опыт показывает, что через
некоторое время появляется алгоритм, который решает задачу с
приемлемыми степенями полинома.
Ежели задача не принадлежит классу полиномиальных (П ∉ P), то есть
три возможности:
 П неразрешима алгоритмически, то есть, нет алгоритма, который не
решает любую индивидауальную задачу. Пример: 10-я проблема
Гильберта по многочлену с целыми коэфициентами g необходимо
найти, имеет ли уравнение g = 0 целочисленные решения. Было
доказано (Матюясевич Ю. М.), что эта проблема алгоритмически
неразрешима.
 Запись решения имеет экспоненциальную сложность
 Нет полиномиального алгоритма. Для любой подобной задачи
доказано, что не существует полиномиальное решение задачи на МТ,
допускающей бесконечный алфавит
34.Теория алгоритмов. Детерминированная машина Тьюринга.
Программа машины Тьюринга.
Тео́рия алгори́тмов — наука, изучающая общие свойства и
закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их
представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное
доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический
анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с
классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества
алгоритмов и т. п.
Машина Тьюринга (МТ) —абстрактная вычислительная машина. Была
предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия
алгоритма. Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и,
согласно тезису Чёрча — Тьюринга, способна имитировать все другие
исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом
реализующие процесс пошагового вычисления.
В состав Машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента,
разделённая на ячейки, и управляющее устройство, способное находиться в
одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего
устройства конечно и точно задано. Управляющее устройство может
перемещаться по ленте, читать и записывать в ячейки ленты символы
некоторого конечного алфавита. Выделяется особый пустой символ,
заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на
которых записаны входные данные. Управляющее устройство работает
согласно правилам перехода. Каждое правило перехода предписывает
машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей
клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое
состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые
состояния Машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и
переход в любое из них означает конец работы, остановку алгоритма.
Машина Тьюринга называется детерминированной, если каждой
комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не
более одного правила, и недетерминированной в противном случае. В
теоретической информатике недетерминированная машина Тьюринга —
машина Тьюринга, функция перехода которой представляет собой
недетерминированный конечный автомат.
Детерминированная машина Тьюринга имеет функцию перехода, которая
по комбинации текущего состояния и символа на ленте, определяет три
вещи: символ, направление смещения головки и новое состояние конечного
автомата. Например, X на ленте в состоянии 3 однозначно определяет
переход в состояние 4, запись на ленту символа Y, и перемещение головки на
одну позицию влево. В случае недетерминированной машины Тьюринга,
комбинация текущего состояния и символа на ленте может допускать
несколько переходов. Например, X на ленте и состояние 3 допускает, как
состояние 4 с записью на ленту символа Y и смещением головки вправо, так
и состояние 5 с записью на ленту символа Z и смещением головки влево.
35.Теория алгоритмов. Понятие алгоритма, свойства. Разрешимость
задач, функций, предикатов и теорий. Тезис Чёрча-Тьюринга.
Тео́рия алгори́тмов — наука, изучающая общие свойства и
закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их
представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное
доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический
анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с
классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества
алгоритмов и т. п.
Алгоритм — описание последовательности действий (план), строгое
исполнение которых приводит к решению поставленной задачи за конечное
число шагов. Алгоритмизация — процесс разработки алгоритма (плана
действий) для решения задачи. Свойства: 1) Дискретность (от лат. discretus
— разделенный, прерывистый) – это разбиение алгоритма на ряд отдельных
законченных действий (шагов). 2) Детерминированность (от лат. determinate
— определенность, точность) - любое действие алгоритма должно быть
строго и недвусмысленно определено в каждом случае. 3) Конечность каждое действие в отдельности и алгоритм в целом должны иметь
возможность завершения. 4) Массовость - один и тот же алгоритм можно
использовать с разными исходными данными. 5) Результативность - в
алгоритме не было ошибок.
Те́зис Чёрча — Тью́ринга — фундаментальное утверждение для многих
областей науки, таких, как теория вычислимости, информатика,
теоретическая кибернетика и др. Это утверждение было высказано Алонзо
Чёрчем и Аланом Тьюрингом в середине 1930-х годов.
В самой общей форме оно гласит, что любая интуитивно вычислимая
функция является частично вычислимой, или, что тоже самое, может быть
вычислена некоторой машиной Тьюринга. Тезис Чёрча — Тьюринга
невозможно строго доказать или опровергнуть, поскольку он устанавливает
«равенство» между строго формализованным понятием частично
вычислимой функции и неформальным понятием «интуитивно вычислимой
функции». Физический тезис Чёрча — Тьюринга гласит: Любая функция,
которая может быть вычислена физическим устройством, может быть
вычислена машиной Тьюринга.
Разрешимость - свойство формальной теории обладать алгоритмом,
определяющим по данной формуле, выводима она из множества аксиом
данной теории или нет. Теория называеться разрешимой, если такой
алгоритм существует, и неразрешимой, в противном случае. Вопрос о
выводимости в формальной теории является частным, но вместе с тем,
важнейшим случаем более общей проблемы разрешимости.
36.Теория алгоритмов. Существование невычислимых функций.
Неразрешимость проблема остановки (предиката xT (a, a, x) ).
Тео́рия алгори́тмов — наука, изучающая общие свойства и
закономерности алгоритмов и разнообразные формальные модели их
представления. К задачам теории алгоритмов относятся формальное
доказательство алгоритмической неразрешимости задач, асимптотический
анализ сложности алгоритмов, классификация алгоритмов в соответствии с
классами сложности, разработка критериев сравнительной оценки качества
алгоритмов и т. п.
Существование невычислимых функций
Предложение. Существуют невычислимые функции типа N®N.
Доказательство. Интуитивное понятие "алгоритм" позволяет проводить
некоторые рассуждения об алгоритмах. Представим себе, что алгоритм - это
предписание для исполнителя, записанное в какой-то момент времени в виде
текста, т.е. в виде слова в некотором алфавите. Сколько бы ни существовало
человечество до момента создания этого текста, оно может к этому времени
изобрести лишь конечное число букв, поэтому алфавит для записи
алгоритмов в любой момент времени конечен. Следовательно, в любой
момент времени может существовать лишь счётное множество алгоритмов, а
следовательно, лишь счётное множество вычислимых функций. Рассмотрим
вычислимые функции типа N®N. Занумеруем вычислимые функции
натуральными числами: f0(x),f1(x),f2(x),...,fi(x),...
Если теперь мы построим пример функции типа N®N, которая отличается
от каждой из функций этой последовательности, то она будет невычислимой.
Рассмотрим функцию h(i)«fi(i)+1, i=0,1,2,.... Очевидно, что h(x)¹fi(x) для всех
i, поскольку h(i)¹fi(i), и h(x) является невычислимой функцией. Предложение
доказано.
В теории вычислимости проблема остановки — это проблема
разрешимости, которая может неформально быть поставлена в виде: Даны
описание алгоритма и его начальные входные данные, требуется определить,
сможет ли выполнение алгоритма с этими данными завершиться когда-либо.
Альтернативой этому является то, что он работает всё время без остановки.
37.Доказательство алгоритмической неразрешимости классического
исчисления арифметики.
Открытое в ХХ веке чрезвычайно важное явление алгоритмической
неразрешимости. Оно основано на том, что существуют классы корректно
поставленных массовых проблем, допускающих применение алгоритмов, для
которых тем не менее доказано отсутствие каких-либо алгоритмов их
решения.
Вычислимые функции — это множество функций, вида
которые могут быть реализованы на исполнителе машин Тьюринга. Задачу
программирования функции f называют алгоритмически разрешимой или
алгоритмически неразрешимой, в зависимости от того, является функция f
вычислимой или нет. В качестве множества N обычно рассматривается
множество B * — множество слов в двоичном алфавите B = {0,1}, но
результатом вычисления может быть не только слово, но и специальное
значение «неопределённость», соответствующее случаю, когда алгоритм
«зависает». Таким образом, можно дать следующее определение N:
где
, а undef —элемент, означающий
неопределённость.
Роль множества N может играть множество натуральных чисел, к
которому добавлен элемент undef, и тогда вычислимые функции — это
некоторое подмножество натуральнозначных функции натурального
аргумента. Удобно считать, что в качестве N могут выступать различные
счётные множества — множество натуральных чисел, множество
рациональных чисел, множество слов к каком-либо конечном алфавите и др.
Важно, чтобы существовал некоторый формальный язык в конечном
алфавите описания элементов множества N и чтобы задача распознавания
корректных описаний была вычислима. Например, для описания
натуральных чисел удобно использовать двоичную систему счисления —
язык описания натуральных чисел в алфавите B.
В данном определении вместо исполнителя машин Тьюринга можно взять
один из Тьюринг-полных исполнителей. Грубо говоря, «эталонным
исполнителем» может быть некоторый абстрактный компьютер, подобный
используемым персональным компьютерам, но с потенциально бесконечно
памятью и особенностями архитектуры, позволяющими использовать эту
бесконечную память.
Важно отметить, что множество программ для этого исполнителя счётно.
Поэтому вычислимых функций не более чем счётно. В то время как
множество функций вида
несчётно, если N счётно. Значит есть
не вычислимые функции, причём их мощность больше, чем мощность
вычислимых функций. Примером невычислимой функции (алгоритмически
неразрешимой проблемы) может быть функция определения останова —
функция, которая получает на вход описание некоторой машины Тьюринга и
вход для неё и возвращает 0 или 1 в зависимости от того, остановится данная
машина на данном входе или нет.
38.Теорема Гёделя о неполноте непротиворечивого классического
исчисления арифметики.
Система аксиом считается полной, если из этих аксиом можно вывести
любое истинное предложение, выражаемое на языке данной системы. В
противном случае (т.е. если не каждое истинное предложение, выразимое в
данной системе, выводится из ее аксиом) система аксиом неполна. Гедель
показал, что каждому элементарному символу, каждой формуле (т.е. цепочке
элементарных символов) и каждому доказательству (конечной
последовательности формул) можно однозначным образом приписать
некоторый номер (натуральное число).
Такой номер, служащий своего рода значком, указывающим на
отмеченный им объект формальной системы, называется геделевским
номером этого символа, формулы или доказательства. Геделевский номер
любого объекта формальной системы можно вычислить. Элементарные
символы, составляющие алфавит системы, бывают двух сортов – константы
и переменные. Кроме элементарных символов-констант, в алфавит входят
также переменные трех сортов: числовые переменные «x», «y», «z» (их
геделевские номера – различные числа, большие 10), пропозициональные
переменные «p», «q», «r» (их геделевские номера – квадраты различных
простых чисел, больших 10) и предикатные переменные (их геделевские
номера – кубы различных простых чисел, больших 10).
Идея самого доказательства теоремы Геделя о неполноте. Это
доказательство можно разбить на пять шагов:
1) Прежде всего Гедель показывает, как построить арифметическую
формулу G, представляющую («кодирующую») математическое
высказывание «формула G недоказуема». Иначе говоря, формула гласит о
себе самой, что она недоказуема. Идея построения такой формулы G, по
существу, заимствована из рассуждения, приводящего к парадоксу Ришара. В
этом парадоксе, как мы помним, выражению «ришарово число»
сопоставляется некоторое число n, после чего рассматривается предложение
«n есть ришарово число». В геделевском же доказательстве формуле G
сопоставляется некоторое число h, причем это делается так, чтобы оно
соответствовало предложению «Формула, которой сопоставлено число h,
недоказуема».
2) Но затем Геделю удается показать, что формула G доказуема тогда и
только тогда, когда доказуемо ее формальное отрицание ~G. И этот шаг
доказательства аналогичен соответствующему рассуждению в парадоксе
Ришара, где доказывается, что n есть ришарово число в том и только в том
случае, если n не есть ришарово число. Но если некоторая формула и ее
отрицание доказуемы, то арифметическое исчисление, в котором возможны
оба доказательства, противоречиво.Значит, если это исчисление
непротиворечиво, то как G, так и ~G не выводимы из аксиом арифметики.
Следовательно, если арифметика непротиворечива, то G является формально
неразрешимой формулой.
3) Далее Гедель доказывает, что хотя формула G формально недоказуема,
она является тем не менее истинной арифметической формулой. Она
является истинной в том смысле, что утверждает про каждое натуральное
число, что оно обладает некоторым арифметическим свойством, причем
свойство это такого рода, что наличие его у каждого натурального числа
можно действительно подтвердить посредством прямой проверки.
4) Поскольку формула G, будучи истинной, является формально
недоказуемой, система аксиом арифметики неполна. Иными словами, из
аксиом арифметики нельзя вывести все истинные предложения арифметики.
Более того, Гедель доказал существенную неполноту (это свойство называют
чаще непополнимостью) арифметики: даже если присоединить к е
аксиоматике новые аксиомы, обеспечивающие выводимость истинной
формулы G, все равно и для такой пополненной (расширенной) системы
можно всегда указать истинную, но формально недоказуемую формулу.
5) В заключение Гедель указал, как построить арифметическую формулу
А, представляющую математическое высказывание «Арифметика
непротиворечива», и доказал, что формула «А ¬ G» (если не А, то G)
формально недоказуема. Из этого следует недоказуемость и самой формулы
А.
Окончательный вывод: непротиворечивость арифметики нельзя
установить посредством рассуждения, представимого в формальном
арифметическом исчислении.
39.Теория сложности. Недетерминированная машина Тьюринга.
Программа недетерминированной машины Тьюринга.
В информатике, теория сложности вычислений является разделом
теории вычислений, изучающим стоимость работы, требуемой для решения
вычислительной проблемы. Стоимость обычно измеряется абстрактными
понятиями времени и пространства, называемыми вычислительными
ресурсами. Время определяется количеством тривиальных шагов,
необходимых для решения проблемы, тогда как пространство определяется
объёмом памяти или места на носителе данных.
В частности, теория сложности вычислений определяет NP задачи — это
задачи, которые недетерминированная машина Тьюринга может вычислить в
полиномиальное время, а детерминированная не может. Обычно это
сложные проблемы оптимизации, например, задача коммивояжера. Задача
коммивояжёра (бродячий торговец) заключается в отыскании самого
выгодного маршрута, проходящего через указанные города.
Машина Тьюринга (МТ) — абстрактная вычислительная машина. Машина
Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису
Чёрча — Тьюринга, способна имитировать все другие исполнители (с
помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие
процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления
достаточно элементарен.
Машина Тьюринга называется детерминированной, если каждой
комбинации состояния и ленточного символа в таблице соответствует не
более одного правила, и недетерминированной в противном случае. В
теоретической информатике недетерминированная машина Тьюринга —
машина Тьюринга, функция перехода которой представляет собой
недетерминированный конечный автомат. Детерминированная машина
Тьюринга имеет функцию перехода, которая по комбинации текущего
состояния и символа на ленте, определяет три вещи: символ, направление
смещения головки и новое состояние конечного автомата. Например, X на
ленте в состоянии 3 однозначно определяет переход в состояние 4, запись на
ленту символа Y, и перемещение головки на одну позицию влево. В случае
недетерминированной машины Тьюринга, комбинация текущего состояния и
символа на ленте может допускать несколько переходов. Например, X на
ленте и состояние 3 допускает, как состояние 4 с записью на ленту символа Y
и смещением головки вправо, так и состояние 5 с записью на ленту символа
Z и смещением головки влево.
Более формально, недетерминированная машина Тьюринга - это
шестёрка объектов
, где: 1) Q конечное множество
состояний; 2) Σ конечное множество символов (алфавит плёнки); 3)
начальное состояние; 4) - пробельный символ (
); 5)
конечное
множество допускающих состояний; 6)
это многозначное отображение из пары состояние - символ называемая
функцией перехода, где L левая часть а R правая часть.
40.Теория сложности. Класс недетерминировано полиномиально
разрешимых классов задач (NP). Классы NP-трудных, NP-полных
классов задач. Проверка на принадлежность к классу NP-полных.
В информатике, теория сложности вычислений является разделом теории
вычислений, изучающим стоимость работы, требуемой для решения
вычислительной проблемы. Стоимость обычно измеряется абстрактными
понятиями времени и пространства, называемыми вычислительными
ресурсами. Время определяется количеством тривиальных шагов,
необходимых для решения проблемы, тогда как пространство определяется
объёмом памяти или места на носителе данных.
В частности, теория сложности вычислений определяет NP задачи — это
задачи, которые недетерминированная машина Тьюринга может вычислить в
полиномиальное время, а детерминированная не может. Обычно это
сложные проблемы оптимизации, например, задача коммивояжера. Задача
коммивояжёра (бродячий торговец) заключается в отыскании самого
выгодного маршрута, проходящего через указанные города.
В теории алгоритмов классом NP (от англ. non-deterministic polynomial)
называют множество алгоритмов, время работы которых
сильно зависит от размера входных данных, но если
предоставить алгоритму некоторые дополнительные
сведения (так называемых свидетелей решения), то он
сможет достаточно быстро (за время, не превосходящее
многочлена от размера данных) решить задачу. Язык L
называется принадлежащим классу NP, если существуют
двуместный предикат
из класса P (т.е.
вычислимый за полиномиальное время) и многочлен nc
такие, что для всякого слова x условие «x принадлежит
L» равносильно условию «найдётся y длины меньше nc такой, что верно
» (где n — длина слова x). Слово y называется свидетелем
принадлежности x языку L.
Проблема является NP-трудной, если и только если есть NP-полная
проблема L, которая Тьюринг-сводящаяся к H за полиномиальное время, т.е.
. Иными словами, L, могут быть решены за полиномиальное время,
абстрактной машиной используются для изучения решения проблем(oracle).
Класс сложности NP-полные (сокращенно NP-C или НКП, Н. П.) является
класс проблем, имеющих два свойства:
 Любое решение проблемы может быть проверено быстро (за
полиномиальное время); комплекс проблем, связанных с этим
свойством называется NP.
 Если проблема может быть решена быстро (за полиномиальное время),
то аналогично могут быть решены все проблемы в NP.
NP-полнота
Есть язык над конечным алфавитом .
является NP-полной тогда и только тогда, когда выполняются
следующие два условия:

 любой
имеет полиномиальное время, сводящихся к
(
), Где
o Существует
выполнимо, и при следующих условиях:
таким образом, чтобы выполнялось
.
o Существует машина Тьюринга с полиномиальным временем,
которая работает с лентой со скоростью
, при входных
данных .
41.Теория сложности. Класс детерминировано полиномиально
разрешимых классов задач (P). Класс экспоненциально
разрешимых классов задач, дополнения классов классов задач (P,
NP и др.), соотношения между классами. Понятие хорошо
характеризованного класса задач.
В информатике, теория сложности вычислений является разделом теории
вычислений, изучающим стоимость работы, требуемой для решения
вычислительной проблемы. Стоимость обычно измеряется абстрактными
понятиями времени и пространства, называемыми вычислительными
ресурсами. Время определяется количеством тривиальных шагов,
необходимых для решения проблемы, тогда как пространство определяется
объёмом памяти или места на носителе данных. Таким образом, в этой
области предпринимается попытка ответить на центральный вопрос
разработки алгоритмов: "как изменится время исполнения и объём занятой
памяти в зависимости от размера входа?".
В частности, теория сложности вычислений определяет NP задачи — это
такие задачи, которые недетерминированная машина Тьюринга может
вычислить в полиномиальное время, тогда как детерминированная не может.
Обычно это сложные проблемы оптимизации, например, задача
коммивояжера. Задача коммивояжёра (коммивояжёр — бродячий торговец)
заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через
указанные города хотя бы по одному разу.
В теории алгоритмов классом P (от англ. polynomial) называют множество
алгоритмов, время работы которых не слишком сильно зависит от размера
входных данных (не превосходит многочлена от размера данных).
Алгоритмы, принадлежащие классу P, считаются быстрыми. Класс P
включён в более широкие классы сложности алгоритмов. Класс P является
одним из самых узких классов сложности. Алгоритмы, принадлежащие ему,
принадлежат также классу NP, классу BPP (как допускающие
полиномиальную реализацию с нулевой ошибкой), классу PSPACE (т.к. зона
работы на машине Тьюринга всегда меньше времени), классу P/Poly (для
доказательства этого факта используется понятие протокола работы машины,
который переделывается в булеву схему полиномиального размера). Уже
более 30 лет остаётся нерешённой задача о равенстве классов P и NP. Если
они равны, то любую задачу из класса NP можно будет решить быстро (за
полиномиальное время). Однако научное сообщество склоняется в сторону
отрицательного ответа на этот вопрос. Кроме того, не доказана и строгость
включения в более широкие классы, например, в PSPACE, но равенство P и
PSPACE выглядит на данный момент очень сомнительно.
Класс сложности EXPTIME (иногда называемый EXP, экспоненциально
разрешимых) представляет собой совокупность всех решение проблемы,
решаемые на детерминированной машине Тьюринга в O (2 P (N)) времени, где
P (N) является полиномиальная функция N.
С точки зрения DTIME,
42.Модальные логики. Язык, кванторы, семантика и двойственность
модальных кванторов.
Модальная логика — логика в которой кроме стандартных логических
связок, переменных и/или предикатов есть модальности. Модальности
бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем»,
«всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то»,
«близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать
утверждениями типа «Москва всегда была столицей России», которые
невозможно или сложно выразить в не модальном языке.
Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие,
например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика
доказуемости). Обычно для обозначения модального оператора используется
и двойственный к нему :
. Модальности: Алетические
модальные понятия:
1) Логические: L — необходимо; M — возможно; С — случайно.
2) Фактические: — необходимо; — возможно; — случайно.
Модальная логика исследует логические связи модальных высказываний.
Само понятие модальности толкуется как некоторая оценка суждения, или
высказывания. Модальное суждение – это характеристика суждения в
зависимости от свойства устанавливаемой им достоверности. К обычным
логическим операторам, таким, как конъюнкция, дизъюнкция, добавляются
операторы строгой импликации →, строгой эквивалентности ↔ и совсем
новые операторы: необходимости □ («необходимо что…») и возможности ◊
(«возможно что…»). Такие понятия возникают в сферах деятельности, где
допускается два вида «истинности». Одна имеет более универсальный
характер, чем другая. Формулы модальной логики определяются индуктивно:
1. Всякая пропозициональная буква есть модальная формула.
2. Если Р, Р1 , Р2 … суть формулы, то и их комбинации с логическими
союзами также являются формулами.
3. Если Р есть формула, то и □Р также формула.
Истинными формулами модальной логики являются:
 □Р=┐◊┐Р (необходимо, что Р равно невозможно, что не-Р)
 ◊Р = ┐□┐Р (возможно, что Р равно отрицанию Р не необходимо)
 Р→◊Р (если Р, то возможно, что Р)
 □Р→Р (если необходимо, что Р, то Р).
А такие формулы в исчислении высказываний модальной логики не
выводятся:
 Р→□Р (если Р, то необходимо, что Р)
 ◊Р→Р (если возможно, что Р, то Р)
 ◊Р (возможно, что Р)
 ┐□Р (не необходимо, что Р)
Модальные кванторы всегда двойственны, т.е. модальный квантор
имеет всегда двойственный ему.
43.Общезначимость формул модальной логики в модели,
общезначимость – в структуре, общезначимость.
Модальная логика — логика в которой кроме стандартных логических
связок, переменных и/или предикатов есть модальности. Модальности
бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем»,
«всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то»,
«близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать
утверждениями типа «Москва всегда была столицей России», которые
невозможно или сложно выразить в не модальном языке.
Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие,
например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика
доказуемости). Обычно для обозначения модального оператора используется
и двойственный к нему :
. Модальности: Алетические
модальные понятия:
1) Логические: L — необходимо; M — возможно; С — случайно.
2) Фактические: — необходимо; — возможно; — случайно.
Формула А логики предикатов называется общезначимой, если она
тождественна истинна на всякой области (на любой модели).
Если две равносильные формулы логики предикатов соединить знаком
эквиваленции  , то полученная формула будет принимать значение. И для
любого набора переменных в любой области, т.е. будет общезначимой.
Формулу А называют истинной в модели <G,K> этой формулы А в области
D,если G сопоставляет А значение Т.А называют общезначимой в области D,
если А истинна в каждой модели А в D.А называют выполнимой в D, если
существует хотя бы одна модель А в D, в которой А истинна. А называют
универсально общезначимой, если А общезначима в каждой непустой
области.
Формула F называется выполнимой в модели (M,R,V,W), если эта модель
допустима для F и существует
такое, что
.Формула
называется выполнимой, если существует модель, в которой она выполнима.
Формула F выполнима тогда и только тогда, когда формула
невыполнима.
Стандартное понятие общезначимой формулы распространяется на
построенную трехзначную семантику естественным образом: вместо истинно
надо сказать определенно истинно. Точнее, формула А языка Lн является нобщезначимой, если А определенно истинна в любой структуре для языка
Lн. Для обычной общезначимости пишем ú= А, а для н-общезначимости
будем использовать запись нú= А.
44.Схема аксиом дистрибутивности. Модальное правило вывода.
Модальная система.
Модальная логика — логика в которой кроме стандартных логических
связок, переменных и/или предикатов есть модальности. Модальности
бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем»,
«всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то»,
«близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать
утверждениями типа «Москва всегда была столицей России», которые
невозможно или сложно выразить в не модальном языке.
Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие,
например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика
доказуемости). Обычно для обозначения модального оператора используется
и двойственный к нему :
. Модальности: Алетические
модальные понятия:
1) Логические: L — необходимо; M — возможно; С — случайно.
2) Фактические: — необходимо; — возможно; — случайно.
В формальной системе некоторые формулы выделяют как аксиомы, а
некоторые знакосочетания вида
как основные правила
вывода.При этом выводимость формулы в соотетствующей формальной
системе индуктивно определяется следующим образом
1. Всякая аксиома есть выводимая формула.
2.Если все посылки
правила вывода
выводимы, то и заключение В также выводимо.
Аксиома исчисления высказываний: Всякая тавтология есть аксиома.
Схемы аксиом дистрибутивности
Правила modus pones
Модального правила вывода необходимости
45.Схема аксиом знания. Модальная система. Общезначимость в
структурах.
Модальная логика — логика в которой кроме стандартных логических
связок, переменных и/или предикатов есть модальности. Модальности
бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем»,
«всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то»,
«близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать
утверждениями типа «Москва всегда была столицей России», которые
невозможно или сложно выразить в не модальном языке.
Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие,
например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика
доказуемости). Обычно для обозначения модального оператора используется
и двойственный к нему :
. Модальности: Алетические
модальные понятия:
1) Логические: L — необходимо; M — возможно; С — случайно.
2) Фактические: — необходимо; — возможно; — случайно.
Формула А логики предикатов называется общезначимой, если она
тождественна истинна на всякой области (на любой модели). Формулу А
называют истинной в модели <G,K> этой формулы А в области D,если G
сопоставляет А значение Т.А называют общезначимой в области D, если А
истинна в каждой модели А в D.А называют выполнимой в D, если
существует хотя бы одна модель А в D, в которой А истинна. А называют
универсально общезначимой, если А общезначима в каждой непустой
области.
В основе нормальной модальной системы лежит:
Множества всех теорем логики высказываний, область действия которых
распространена на формулы модального языка высказываний L
Схемы аксиом дистрибутивности
Правила modus pones
Модального правила вывода необходимости
Обогащатьнормальную модальную систему можно за счет аксиом
Выбор модальной системы зависит от модельируемого понятия. Система.
обладающая всеми указанными аксиомами называется s5(KT 45)
Немонотонная S5-система содержит схему аксиомы знания, т.е.
схема утверждает: «все, что предполагается, истинно».
46.Схема позитивной интроспекции. Модальная система.
Общезначимость в структурах.
Модальная логика — логика в которой кроме стандартных логических
связок, переменных и/или предикатов есть модальности. Модальности
бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем»,
«всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то»,
«близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать
утверждениями типа «Москва всегда была столицей России», которые
невозможно или сложно выразить в не модальном языке.
Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие,
например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика
доказуемости). Обычно для обозначения модального оператора используется
и двойственный к нему :
. Модальности: Алетические
модальные понятия:
1) Логические: L — необходимо; M — возможно; С — случайно.
2) Фактические: — необходимо; — возможно; — случайно.
Формула А логики предикатов называется общезначимой, если она
тождественна истинна на всякой области (на любой модели). Формулу А
называют истинной в модели <G,K> этой формулы А в области D,если G
сопоставляет А значение Т.А называют общезначимой в области D, если А
истинна в каждой модели А в D.А называют выполнимой в D, если
существует хотя бы одна модель А в D, в которой А истинна. А называют
универсально общезначимой, если А общезначима в каждой непустой
области.
Обогащать нормальную модальную систему можно за счет
аксиом
Выбор
модальной системы зависит от модельируемого понятия.
Модальная система, которая обычно применяется при рассуждениях о
знаниях, носит наз-нанис S5. Схемы ее аксиом выглядят следующим
образом: l.La =) a 2.Lа=>р) =>(La->LP) 3.La => Lla 4.La=>L-1 La.
плюс привило вывода, позволяющее выводить La из a.
В первой аксиоме утверждается, что каждая известная формула также
истинна. Вторая аксиома выражает логическое всезнание, тогда как третья и
четвертая аксиомы вводят понятия соответственно позитивной и негативной
интроспекции. Позитивная интроспекция означает, что агент точно
представляет себе свои знания, т. е. ему известно, что он знает. Негативная
интроспекция означает, что ему известна степень своего незнания, т. е, ему
известно, чего он не знает. Если допустить возможность, что не все знания
корректны, то первая из аксиом должна быть опущена, и результирующая
система будет называться К4.
47.Схема негативной интроспекции. Модальная система.
Общезначимость в структурах.
Модальная логика — логика в которой кроме стандартных логических
связок, переменных и/или предикатов есть модальности. Модальности
бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем»,
«всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то»,
«близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать
утверждениями типа «Москва всегда была столицей России», которые
невозможно или сложно выразить в не модальном языке.
Формула А логики предикатов называется общезначимой, если она
тождественна истинна на всякой области (на любой модели). Формулу А
называют истинной в модели <G,K> этой формулы А в области D,если G
сопоставляет А значение Т.А называют общезначимой в области D, если А
истинна в каждой модели А в D.А называют выполнимой в D, если
существует хотя бы одна модель А в D, в которой А истинна. А называют
универсально общезначимой, если А общезначима в каждой непустой
области.
Кванторы, которые выражают в том или ином виде временную
(темпоральную) семантику, а именно: необходимость, возможность,
будущность, прошлое, известность, допустимость, вера – получили название
модальных. Эпистемическая логика или логика знания исследует
модальности «знания» и «веры».
Каждая аксиомная схема для того или иного квантора при добавлении к
аксиоматике исчисления предикатов порождает ту или иную модальную
систему (исчисление). Модальная система 5 порождается аксиомной схемой
негативной интроспекции.
Аксиома негативной интроспекции:
. «Я вполне сознаю,
что именно мне неизвестно». Негативная интроспекция означает, что агенту
известна степень своего незнания, т. е, ему известно, чего он не знает. Эта
аксиома является одной из основных аксиом эпистемической логики
(остальные две: аксиома адекватности знания
(«Мои знания
верны») и аксиома позитивной интроспекции
(«Я вполне
представляю все, что мне известно»)). Здесь квадратом обозначается
модальность «необходимо», ромбом – «возможно», причем
.
Эти аксиомы используются при решении задач, когда коллектив субъектов
(мультиагентная система) пытается совместными усилиями или в
конкурентной борьбе достичь какой-то цели. В таком случае каждый агент
должен принимать в расчет не только знания о предметной области, но и
представления о том, какими знаниями располагают другие агенты.
48.Язык временной логики с ветвящимся временем. Свойства
темпорального отношения. Семантическая интерпретация
кванторов временной логики с ветвящимся временем и для
описания семантики возможных миров.
Интервальная временная логика описывает свойства и отношения
временных интервалов, и предикатов заданных для этих интервалов.
Множество всех возможных временных интервалов интервальной временной
логики обозначим I.
Введём следующие сокращения. Рассмотрим свойство отношение
непосредственного следования интервалов.Запись (i;j) читается как:
«интервал i непосредственно предшествует интервалу j». Ниже приведена
зависимость некоторого предиката от значений переменной t. являющихся
точечными интервалами.
Кванторы: Кванторы, которые выражают в том или ином виде временную
(темпоральную) семантику, а именно: необходимость, возможность,
будущность (будущее), прошлое, известность, допустимость, вера –
получили называние модальных.Модальные кванторы могут обладать
следующими свойствами. Модальные кванторы всегда двойственны, т.е.
модальный квантор имеет всегда двойственный ему.
Каждая аксиомная схема для того или иного квантора при добавлении к
аксиоматике исчисления предикатов порождает ту или иную модальную
систему (исчисление). Так называемая модальная K система для модального
квантора порождается следующей аксиомной схемой (схемой
дистрибутивности).
Модальная система T для модального квантора порождается «аксиомной
схемой знания».
Модальная система 4 для модального квантора порождается «аксиомной
схемой позитивной интроспекции».
Модальная система 5 для модального квантора порождается «аксиомной
схемой позитивной интроспекции».
Можно рассматривать модальные системы, являющиеся комбинациями
вышеперечисленных. Так, например, модальные системы 4KT и 45KT имеют
обозначения S4 и S5 соответственно. Во всех этих системах наряду с
правилами вывода исчисления предикатов используется следующее
модальное правило вывода.
49.Язык временной логики с ветвящимся временем. Аксиоматика.
К временным логикам относятся исчисления, которые формализуют
свойства временных (темпоральных) отношений и зависимость истинности
тех или иных предикатов, от временных переменных. Рассматривается
(временная) модель T, которая состоит из множества временных моментов и
отношения предшествования . Отношение предшествования обладает в
этой логике следующими свойствами. T:p
Свойство отношения строгого порядка.
Свойство линейности в прошлое.
Свойство связности.
Семантика временных кванторов в логике ветвящегося времени
определяется следующим образом. Вводится понятие формулы,
общезначимой в модели, задаваемой тремя величинами σ,χ,T которые
соответственно являются: временной моделью T, элементом множества всех
ветвей T()BranchesT временной модели и микромоделью (состоянием) –
элементом носителя модели T. Фактически эти три величины соответствуют
неявным переменными в формуле α, обозначающей временной (зависящий
от значений этих переменных) предикат.
Задана некоторая функция ϕ, которая позволяет вычислить
общезначимость любой формулы α, принадлежащей множеству атомарных
формул А, в микромодели Aχ.
Атомарные формулы предполагаются не являющимися явно открытыми,
т.е. не содержащими явных вхождений свободных переменных. Тогда
общезначимость отрицания формулы и конъюнкции формул устанавливается
соответственно следующим образом.
Общезначимость формул, содержащих временные (темпоральные)
кванторы, устанавливается для кванторов постоянства в будущем G,
постоянства в прошлом GH и квантора необходимости , соответственно.
Двойственные кванторы случайности в будущем, случайности в прошлом
и возможности определяются через ранее определённые.
Аксиоматика логики с ветвящимся временем может быть построена на
аксиоматике, как минимум, исчисления высказываний и дополнительно
может включать какие-либо из следующих.
Для любой атомарной формулы γ и формулы α, подформулой которой не
является γ верно
. Одним из
обобщающих аналогов логик ветвящегося времени, для которого также
могут использоваться правила немонотонного вывода, являются логики,
которые получили название семантик возможных миров.
Формула является общезначимой в модели, тогда и только тогда когда она
общезначима в любой микромодели.
Формула является общезначимой в структуре (временной модели), тогда и
только тогда когда она общезначима во всех микромоделях этой структуры
(временной модели).
50.Язык интервальной временной логики. Базовые отношения
интервальной временной логики.
Интервальная временная логика описывает свойства и отношения
временных интервалов, и предикатов заданных для этих интервалов.
Множество всех возможных временных интервалов интервальной
временной логики обозначим I. Введём следующие сокращения.
Рассмотрим свойство отношение непосредственного следования
интервалов . Запись
читается как: «интервал i непосредственно
предшествует интервалу j». Другие отношения над интервалами могут быть
определены следующим образом.
Отношение «строго до» (отношение опосредованного предшествования)
Отношение «нестрого до» (отношение предшествования).
Отношение включения интервалов.
Отношение строгого включения интервалов.
Отношение разъединённости.
51.Аксиоматика темпоральных отношений интервальной временной
логики.
Интервальная временная логика описывает свойства и отношения
временных интервалов, и предикатов заданных для этих интервалов.
Множество всех возможных временных интервалов интервальной
временной логики обозначим I.
Аксиоматика интервальной временной логики основывается на
аксиоматике исчисления с равенством. Следующие пять аксиом
описывают свойства временных интервалов и отношения непосредственного
предшествования.
Следующие формулы определяют свойства слабого и сильного отрицаний в
интервальной временной логике.
52.Аксиомы однородности и дискретной вариативности в
интервальной временной логике. Теоремы.
Интервальная временная логика описывает свойства и отношения
временных интервалов, и предикатов заданных для этих интервалов.
Множество всех возможных временных интервалов интервальной
временной логики обозначим I.
Эта логика рассматривает так называемые однородные предикаты. Любой
однородный предикат по интервально переменной , обозначенный
формулой , удовлетворяет следующей аксиомной схеме однородности.
Также для любого однородного предиката выполняется свойство
дискретной вариативности (изменчивости), задаваемое следующей
аксиомной схемой.
Следует отметить, что сильное отрицание однородного предиката, в
общем случае не является однородным предикатом по той же
интервальной (временной) переменной, это означает, что понятие
сильного отрицания является относительным и темпорально независимым от
предиката, который оно отрицает.
Теоремы интервальной временной логики являются следующие формулы.
Для однородных по переменным
следующие теоремы.
предикатов также верны
53.Семантическая связь модальных и многозначных логик. Таблицы
истинности логических функций для трёхзначной и
четырёхзначной логики.
Модальные логики. Кванторы, которые выражают в том или ином виде
временную (темпоральную) семантику, а именно: необходимость,
возможность, будущность (будущее), прошлое, известность, допустимость,
вера – получили название модальных.
Многозначные логики. Многозначные логики используют три и более
значений истинности. Для каждой многозначной логики можно определить
разные наборы логических операций, поэтому могут существовать разные
логики равной значности.
Трехзначная логика. Значения это логики семантически
интерпретируются так: «необходимо ложно» (0), «проблематично» (1),
«необходимо истинно» (2), что во временной семантике означает, что
формула ложна во все моменты времени, формула истинна для
определенного множества моментов времени ложна в остальные моменты
времени, и – формула истинна во все моменты времени.
Таблица истинности для отрицания и модальных кванторов.
Таблица истинности конъюнкции.
Таблица истинности дизъюнкции.
Таблица истинности импликации.
Таблица истинности эквиваленции.
Четырехзначная логика.
Значения рассматриваемой четырехзначной логики называются
«необходимо ложно», «случайно ложно», «случайно истинно», «необходимо
истинно» (0,1,2,3), что семантически означает, что формула ложна во все
моменты времени, формула ложна сейчас и истинна потом, что формула
истинна сейчас и ложна потом, и – формула истинна во все моменты
времени.
Таблицы истинности для отрицания и модальных кванторов.
Таблица истинности конъюнкции.
Таблица истинности дизъюнкции.
Таблица истинности импликации.
Таблица истинности эквиваленции.
54.Немонотонный, полумонотонный и монотонный вывод.
Семантика, свойства.
Логики умолчаний введены и развиты Рейтером для формализации
рассуждений, являющихся лишь выполнимыми. При неполной информации
мы вынуждены получать всего лишь правдоподобные предположительные
заключения. Иногда мы считаем абсолютно общими правила, которые
правильны в большинстве случаев, но допускают некие исключения.
Рассмотрим рассуждение: Киви – птица, т.е. получается, что киви летает.
Однако не все птицы летают, но можно без особого разрешения заключить,
что киви летает, если это не запрещено. Это рассуждение с умолчаниями.
Логики умолчаний позволяют формализовать такие рассуждения в виде
правил вывода, называемых умолчаниями:
 :M

- смысл таков: если мы верим в α и если β выполнимо вместе со
всем, во что мы верим, то можно верить и γ.
Итак, правило «птицы вообще летают» выразимо в виде:
Птица( x) : M Летает( x)
Летает( x)
Система логики умолчаний представляется теорией с умолчаниями,
состоящей из некоторого множества особо выделенных формул и правил
вывода. Для такой системы существует несколько множеств выводимых
предположений. Эти множества представляют различные картины мира,
которые можно вообразить, исходя из теории с умолчаниями.
В общем виде умолчание выглядит следующим образом:
, где
α – требование, β – обоснование, γ – следствие. Среди умолчаний выделяют
нормальные и полунормальные как и среди теорий с умолчанием.
Другими результатами движения в направлении неклассических логик
являются логические теории (немонотонные логики), в которых используется
немонотонный вывод. Немонотонность вывода связана с тем, что
вывод необходимо делать исходя из неполной информации, поэтому при
немонотонном выводе допустим вывод не только общезначимых формул, но
и возможно только нейтральных, т.е. немонотонные правила вывода
позволяют выводить выполнимые формулы. Немонотонное отношение
выводимости не обладает свойством монотонности, т.е. существуют такие
множества формул G ,F , E , что выполняется следующее свойство.
Немонотонность отношения выводимости:
Однако отношение немонотонного вывода может иногда удовлетворять
свойству полумонотонности, когда для любых множеств G ,F , E,
формул верно:
55.Логики умолчаний. Правила вывода. Понятие расширения.
Альтернативные расширения.
Логики умолчаний введены и развиты Рейтером для формализации
рассуждений, являющихся лишь выполнимыми. При неполной информации
мы вынуждены получать всего лишь правдоподобные предположительные
заключения. Иногда мы считаем абсолютно общими правила, которые
правильны в большинстве случаев, но допускают некие исключения.
Рассмотрим рассуждение: Киви – птица, т.е. получается, что киви летает.
Однако не все птицы летают, но можно без особого разрешения заключить,
что киви летает, если это не запрещено. Это рассуждение с умолчаниями.
Логики умолчаний позволяют формализовать такие рассуждения в виде
правил вывода, называемых умолчаниями:
 :M

- смысл таков: если мы верим в α и если β выполнимо вместе со
всем, во что мы верим, то можно верить и γ.
Итак, правило «птицы вообще летают» выразимо в виде:
Птица( x) : M Летает( x)
Летает( x)
Система логики умолчаний представляется теорией с умолчаниями,
состоящей из некоторого множества особо выделенных формул и правил
вывода. Для такой системы существует несколько множеств выводимых
предположений. Эти множества представляют различные картины мира,
которые можно вообразить, исходя из теории с умолчаниями.
В общем виде умолчание выглядит следующим образом:
, где
α – требование, β – обоснование, γ – следствие. Среди умолчаний выделяют
нормальные и полунормальные как и среди теорий с умолчанием.
Умолчания теории с умолчаниями позволяют строить расширение такой
теории. Пусть Ldflt – язык, на котором задаются формулы теории с
умолчаниями, тогда расширением теории Δ с умолчаниями, заданной парой
<F, D>, будет такое множество E тогда, выполняется следующее:
, где ρ – замкнутая формула.
Доказательство множества
формул {f}(формулы f), в теории
Δ с умолчаниями (Δ=<D,F>)
определяется следующим
образом: <D0, D1,…, Dk>, при
условии, что верно:
, где CC(Di) – конъюнкция
следствий умолчания Di, DC(Di-1)
– конъюнкция требований
умолчания Di-1.
56.
56.Логики умолчаний. Понятие нормальной и полунормальной
теории. Понятия вывода и доказательства.
Логики умолчаний введены и развиты Рейтером для формализации
рассуждений, являющихся лишь выполнимыми. При неполной информации
мы вынуждены получать всего лишь правдоподобные предположительные
заключения. Иногда мы считаем абсолютно общими правила, которые
правильны в большинстве случаев, но допускают некие исключения.
Рассмотрим рассуждение: Киви – птица, т.е. получается, что киви летает.
Однако не все птицы летают, но можно без особого разрешения заключить,
что киви летает, если это не запрещено. Это рассуждение с умолчаниями.
Логики умолчаний позволяют формализовать такие рассуждения в виде
правил вывода, называемых умолчаниями:
 :M

- смысл таков: если мы верим в α и если β выполнимо вместе со
всем, во что мы верим, то можно верить и γ.
Итак, правило «птицы вообще летают» выразимо в виде:
Птица( x) : M Летает( x)
Летает( x)
Система логики умолчаний представляется теорией с умолчаниями,
состоящей из некоторого множества особо выделенных формул и правил
вывода. Для такой системы существует несколько множеств выводимых
предположений. Эти множества представляют различные картины мира,
которые можно вообразить, исходя из теории с умолчаниями.
Нормальная теория – теория, в которой следствие и обоснование одного
и того же умолчания совпадают. Такие теории состоят из нормальных
 ( x) : M  ( x)
 ( x)
умолчаний:
Кроме такого свойства, как свойства допускать хотя бы одно расширение,
нормальная теория с умолчаниями обладает свойством полумонотонности:
если увеличить множество умолчаний, то полученная теория допускает
расширение, включающее какое-то расширение исходной теории.
Практически важное следствие этого свойства состоит в возможности
построения такой теории доказательств, в которой использованные
умолчания проявляются локальным образом.
 ( x) : M (  ( x)   ( x))
 ( x)
В полунормальной теории умолчания имеют вид:
В общем, полунормальное умолчание явно управляется дополнительным
условием в обосновании. Теория с полунормальным умолчаниеми не
обязательно обладает расширением. Она теряет некоторые достоинства
нормальных теорий, в частности полумонотонность.
Определим доказательство в теории с умолчаниями следующим образом.
Пусть ∆= (D, F) – замкнутая нормальная теория и f – замкнутая формула из
языка L. Конечна последовательность D0, …, Dk конечных подмножеств из
D – есть доказательство для f в ∆ тогда и только тогда, когда
F  {KC(D0)} |− f,
F  {KC(Di)} |− KT(Di-1) для i = 1, 2, …, k,
Dk =  ,
F  {KC(Di)| 0 ≤ i ≤ k} выполнимо,
где KC(Di) – конъюнкция следствий и KT(Di) – конъюнкция требований
умолчаний из Di.
Итак, доказательство – есть последовательность подмножеств умолчаний.
57.Немонотонные логики Мак-Дермотта. Правила вывода, теоремы.
Мак-Дермотт и Дойл предложили изящный метод, позволяющий
избежать зацикливания при задании правил немонотонного вывода. Они
предложили неконструктивную характеризацию устойчивых множеств
взаимно выполнимых формул, немонотонно выводимых из некоего набора
посылок. Эти множества – суть решения некоторого уравнения, являющегося
неподвижными точками и связанные с отношением выводимости,
определяемым данной немонотонной системой. Соответствующая система
может рассматриваться как классическая модальная аксиоматическая
система, пополненная правилом выводы выполнимых утверждений.
Немонотонная аксиоматическая система содержит три вида элементов:
 «нелогические сведения», являющиеся формулами из языка L со
статусом дополнительных аксиом;
 схемы логических аксиом;
 логические правила вывода.
Совокупность схем логических аксиом будет состоять из схем формул,
аксиоматизирующих логику предикатов, а также из модальных аксиом.
Множество правил вывода будет содержать (кроме обычных правил: modus
ponens, универсального обобщения и модальной необходимости)
специфическое правило немонотонного вывода.
Правила вывода (p, q – производные формулы из языка L):
 modus ponens: p, p  q |– q,
 правило универсального обобщения: p |– (  v)p,
 правило необходимости: p|–Lp,
 правило немонотонного вывода
Выбирая разные подмножества из списка схем модальных аксиом (схема
аксиомы знаний, схема Баркан, схема позитивной интроспекции, схема
негативной интроспекции), получаем различные системы немонотонного
вывода.
Основная ценность немонотонной логики Мак-Дермотта заключается в
методе неподвижной точки, используемой для характеризации устойчивых
множеств заключений немонотонной системы, а также в применении
модальной логики для формирования модифицируемых рассуждений.
58.Аксиоматический подход к формализации математики.
Аксиоматика Цермело.
Одним из приложений в рамках аксиоматического подхода является
формализация понятий в рамках всей математики. Построено несколько
различных аксиоматических систем (теорий), которые позволяют
формализовывать довольно большое множество математических абстракций.
Одной из таких систем является аксиоматическая система ЦермелоФренкеля, являющейся стандартной для теории множеств. К ней часто
добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело – Френкеля с
аксиомой выбора.
Вначале определим некоторые обозначения:
Оператор i.
Пустое множество.
Двуэлементное множество.
Объединение двух множеств.
Пересечение двух множеств.
Отношение подмножества.
Декартово произведение двух множеств.
Понятие функции.
Понятие образа функции δ при аргументе χ.
Понятие бесконечности.
Тогда аксиоматика Цермело-Френкеля может быть записана следующим
образом:
Аксиома объёмности.
Аксиома пары.
Аксиома суммы.
Аксиома степени.
Аксиома выделения.
Аксиома бесконечности.
Аксиома выбора.
Аксиома фундирования.
Аксиома подстановки Френкеля.
Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной
системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом
любопытны потому, что любая математическая теория может быть
«переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой
теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.
Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит
бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы.
Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с
множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG
равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не
упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в
другой.
59.Конструктивизм, аксиоматика интуиционистских формальных
теорий.
Форма́льная (аксиоматическая) тео́рия, формальное исчисление — это
понятие, разработанное в рамках формальной логики в качестве основы для
формализации теории доказательства. Формальная теория —
разновидность дедуктивной теории, где множество теорем выделяется из
множества формул путем задания множества аксиом и правил вывода.
Формальная теория
— это:
 множество символов, образующих алфавит;
 множество
слов в алфавите
, которые называются
формулами;
 подмножество формул
, которые называются аксиомами;
 множество отношений
на множестве формул,
,
которые называются правилами вывода.
Интуициони́зм — система философских и математических идей и
методов, связанных с пониманием математики как совокупности
«интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения
интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения
является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного
эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской
математике отвергается теоретико-множественный подход к определению
математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые
в классической логике.
Конструктивизм исходит из того, что обучение – это активный процесс, в
ходе которого люди активно конструируют знания на основе собственного
опыта. Следовательно, интуиционную теорию постоянно необходимо
развивать (обучать, пополнять).
Аксиоматика – набор относительных истин в какой-либо науке,
принимаемых на веру, но имеющих рациональное истолкование.
Нечёткое множество, алгебра нечётких множеств.
Нечеткое множество A={(x, µA(x))} определяется как совокупность
упорядоченных пар, составленных из элементов x универсума X
соответствующих степеней принадлежности µA(x). Поскольку функция
принадлежности полностью описывает нечеткое множество, то нечеткое
множество может задаваться непосредственно в виде функции
принадлежности µA: X→[0,1]. Таким образом, нечеткое множество вводится
путем расширения двухэлементного множества принадлежностей {0,1} до
отрезка [0,1]. Значения функции принадлежности не стоит отождествлять с
вероятностью принадлежности элемента x нечеткому множеству A,
поскольку степень принадлежности не имеет, как правило, статистической
природы.
Ядром Core(A) нечеткого множества A называется множество точек таких,
что Core(A)={x X | µA(x)=1}. Точки x X, в которых µA(x)=0.5 именуются
точками перехода.
Обычное множество, ближайшее к нечеткому, определяется как:
Пусть A и B – два нечетких множества на универсуме X.
Включение нечеткого множества А в нечеткое множество В определяется
условием:
Равенство нечеткого множества А нечеткому множеству В определяется
условием:
Дополнение нечеткого множества A определяется условием:
В теории нечетких множеств для обозначения операции взятия минимума
используется символ , а для обозначения операции взятия максимума –
символ .
Пересечение нечетких множеств A и B определяется как наибольшее
нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:
Объединение нечетких множеств A и B определяется как наименьшее
нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:
Можно выделить следующие типы нечетких отношений:
Рефлексивность:
Слабая рефлексивность:
Сильная рефлексивность:
Антирефлексивность:
Симметричность:
Антисимметричность:
Асимметричность:
Транзитивность:
60.Ядро и носитель нечёткого множества. Нормальное нечёткое
множество, выпуклое нечёткое множество.
Под нечётким множеством A понимается совокупность
, где X — универсальное множество, а
—
функция принадлежности, характеризующая степень принадлежности
элемента x нечёткому множеству A.
Функция
принимает значения в некотором вполне упорядоченном
множестве M. Множество M называют множеством принадлежностей, часто
в качестве M выбирается интервал [0,1]. Если M={0,1}, то нечёткое
множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.
Ядро нечеткого множества определяется как такой набор объектов, для
каждого из которых степень принадлежности к данному нечеткому
множеству превышает некоторое пороговое значение (например, 0,9)
Носителем (суппортом) нечёткого множества
называется
множество
. Величина
называется высотой нечёткого множества A. Нечёткое множество A
нормально, если его высота равна 1. Если высота строго меньше 1, нечёткое
множество называется субнормальным.
Нечёткое множество
является выпуклым тогда и только тогда,
когда выполняется условие
для
любых
и
.
61.Меры нечёткости для нечётких множеств. Задачи и методы
фуззификации и дефуззификации.
Для определения степени нечеткости множества введено понятие меры
нечеткости, сводящейся к измерению уровня различия между нечетким
множеством A и его отрицанием .
Наиболее популярна мера Е.Егера
количество элементов в A,
— расстояние между между
множествами
в метрике p (p равно 1 или 2). Значение p
соответствует метрике Хемминга
, где n —
а значение p=2
соответствует эвклидовой метрике
Другую меру нечеткости предложил Б.Коско, она основана на
кардинальных числах множеств
.
Фуззификатор осуществляет преобразование четкого множества X в
нечеткое множество A, характеризующееся функцией принадлежности
. Наибольшее распространение на практике получили функции
принадлежности гауссова типа, а также треугольные и трапецеидальные
функции.
Функция Гаусса для переменной x с центром c и параметром ширины σ
имеет следующий вид
. Находит также применение
обощенная гауссова функция в виде
, где b — параметр
формы. Легко заметить, что подбором параметра формы b обощенной
функции Гаусса можно придать треугольную и трапецеидальную формы.
Обобщенная функция Гаусса может быть также представлена в
рациональной форме
Симметричная треугольная функция принадлежности может быть описана
в виде
Дефуззификатор преобразует нечеткое множество, заданное функцией
принадлежности
, в скаляр. Для такого преобразования могут быть
использованы многие способы, наиболее популярны следующие.
Дефуззификация относительно центра области
Дефуззификация относительно среднего центра
где ci — центр i-ой одиночной функции принадлежности, участвующей в
итоговой агрегированной функции.
Дефуззификация относительно среднего максимума
, где m
— количество максимумов функции принадлежности, yi — значение, в
котором функция принадлежности имеет максимум.
Дефуззификация в виде минимального из максимальных
, где
yi — значения, доставляющие функции принадлежности максимум.
Дефуззификация в виде максимального из максимальных
,
62. Нечёткое отношение. Свойства бинарных нечётких отношений.
Нечетким отношением
на множествах
декартова произведения
Обычное неразмытое n-арное
произведения
множеств
называется нечеткое подмножество
.
отношение
определяется
как
подмножество
декартова
. Подобно нечеткому множеству, нечеткое
отношение можно задать с помощью его функции принадлежности
Далее мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных нечетких отношений, являющихся
отображением на отрезок [0,1], т.е.
Различные типы нечетких отношений определяются с помощью свойств, аналогичных свойствам
обычных отношений, причем для нечетких отношений можно указать различные способы обобщения
этих свойств.
1. Рефлексивность:
2. Слабая рефлексивность:
3. Сильная рефлексивность:
4. Антирефлексивность:
5. Слабая антирефлексивность:
6. Сильная антирефлексивность:
7. Симметричность:
8. Антисимметричность:
9. Асимметричность:
10. Сильная линейность:
11. Слабая линейность:
12. Транзитивность:
Одно из важнейших свойств нечетких отношений заключается в том, что они могут быть
представлены в виде совокупности обычных отношений, причем могут быть упорядочены по включению,
представляя собой иерархическую совокупность отношений. Разложение нечеткого отношения на
совокупность обыкновенных отношений основано на понятии α-уровня нечеткого отношения. Здесь для
простоты будем полагать, что L линейно упорядочено.
α-уровнем нечеткого отношения R называется обычное отношение Rα, определяемое для всех α>0
следующим образом:
Теорема. Нечеткое отношение R обладает каким-либо свойством из перечисленных (кроме сильной
рефлексивности, сильной антирефлексивности, слабой линейности) тогда и только тогда, если этим
свойством обладают все его α-уровни.
63.Алгебры чёткой и нечёткой логики. Нечёткие высказывания.
Алгебра логики, раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со
стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.
Высказывания строятся над множеством
элементами которого определены операции:
, где B — непустое множество, над
, а также две константы — логический
ноль 0 и логическая единица 1.
Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:
Высказывание <b есть b'>, где b - наименование лингвистической переменной, b' - ее значение,
которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х.
Высказывания строятся над множеством (А,т,Ф,У,Т,//, «, ⌐ ), где т – отношение нечеткой
принадлежности, Ф – отношение нечеткого подмножества, У – операция нечеткого объединения, Т –
операция нечеткого пересечения, // - операция нечеткой разности, « - операция нечеткой
симметрической разности, ⌐ - отрицание. А – множество, для которого определены следующие
отношения и операции:

Например высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической переменной
"давление" придается значение "большое", для которого на универсальном множестве Х переменной
"давление" определено соответствующее данному значению "большое" нечеткое множество.
 Высказывание <b есть mb'>, где m - модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ
ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др.
Например: <давление очень большое>, <скорость много больше средней> и др.

Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ..,
ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".
64.Нечёткие логические функции. Семантическое различие нечётких
логических функций и операций над нечёткими множествами.
Логической ( булевой) функцией (или просто функцией) n переменных y = f(x1, x2, …, xn) называется
такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1.
Пусть X i ,i  1,n и Y – четкие множества. X=X1X2… Xn – декартово произведение
множеств, Ai ,i  1,n и B – нечеткие подмножества множеств X i ,i  1,n и Y соответственно. Если
f : X  Y - обычная (четкая) функция, то нечеткая функция B  f  A1 , A2 ,..., An  определяется как
B   y , B  y  | y  f x1 , x2 ,...xn , x1 , x2 ,...xn   X , где



 sup 1 min  A1 x1 ,..., An xn  ,
 B  y    x1 ,..., xn  f  y 

0,

f 1  y   ;
иначе.
Нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C={MFc(x)/x}, MFc(x) [0,1].
Операции над нечеткими множествами заключаются в получении нового нечеткого множества на
основании значений степеней принадлежности MFc(x). Таким образом, операции результат операции
фактически определяется степенями принадлежности MFc(x).
То же время значение нечеткой логической функции получается на основании непосредственно
элементов области рассуждения Х.
65.Нечеткие предикаты. Темпоральная семантика нечетких
предикатов.
Нечёткий предикат – это нечёткое множество, значения которого интерпретируются как
значения истинности. Над нечёткими предикатами определены нечёткие операции
отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и другие. В зависимости от
предметной области эти операции могут отличаться, т.е. могут существовать разные виды
нечёткой конъюнкции, нечёткой дизъюнкции, нечёткой импликации. Эти виды
определяются зависимостью выражаемых предикатами свойств и явлений: например
явления могут быть причинно-зависимыми, независимыми и альтернативными. Однако,
не смотря на различие зависимостей нечёткие логические операции сохраняют некоторые
общие свойства для любой предметной области: так например операция нечёткой
конъюнкции удовлетворяет свойствам операции, которую называют треугольной нормой
или t-нормой. Эти свойства следующие.
Когда задана операция нечёткой конъюнкции (треугольная норма), тогда операция
нечёткой дизъюнкции (s-норма) может быть выражена через неё с помощью операции
нечёткого отрицания.
Примерами операций нечёткой конъюнкции и нечёткой дизъюнкции являются операции
нечёткого пересечении нечёткого объединения множеств соответственно.
Под темпоральной семантикой нечетких предикатов следует понимать непостоянность операций,
характерных для нечетких предикатов в зависимости от предметной области. А отсюда следует
непостоянство значений истинности.
66.Понятие треугольной нормы, параметрическое выражение для
треугольных норм. Виды треугольных норм.
Определение. Треугольной нормой (сокращенно -нормой) называется
двухместная действительная функция
удовлетворяющая следующим условиям:
,
1. Ограниченность:
2. Монотонность:
3. Коммутативность:
4. Ассоциативность:
Треугольная норма
является архимедовой, если она непрерывна и для
любого нечеткого множества
выполнено неравенство
.
Она называется строгой, если функция строго возрастает по обоим
аргументам. Примерами треугольных норм являются следующие операторы:
67.Прямой нечёткий логический вывод на основе нечёткой
импликации. Виды нечётких импликаций.
Обобщённое правило Modus Ponens было предложено Л. Заде. Пусть
заданы нечёткие множества A, B, A' с помощью функций: A  F(U), B 
F(V), A'  F(U). Тогда будет справедливо правило вывода:
Если X есть A, то Y есть B
,
где нечёткое множество B' определяется функцией B'  F(V),
принимающей значения: B' = sup{(A(u)  B(v))  A'(u) : u  U}.
Аналогично для нечётких множеств A, B, B', заданных с помощью функций
A  F(U), B  F(V), B'  F(V), обобщённое правило Modus Tollens
определяется следующим образом:
Если X есть A, то Y есть B
Это правило выражается с помощью равенства:
A'(u) = sup{(A(u)  B(v))  B'(v) : v  V},
если импликация удовлетворяет закону контрапозиции a  b = (1 - b)  (1
- a).
Виды нечетких импликаций:
Larsen
Lukasiewicz
Mamdani
Standard Strict
Godel
Gaines
Kleene-Dienes
Kleene-Dienes-Lu
68.Прямой нечёткий вывод на основе композиции отношений. Меры
необходимости и возможности. Нечёткие предикаты и множества
высших порядков.
Задача прямого вывода подразумевает известность некоторой пары
нечётких предикатов, один из которых рассматривается как посылка, а
второй – как правило, обычно первый предикат является унарным, а второй
– бинарным. Тогда задача прямого вывода сводится к нахождению
композиции межу этими двумя нечёткими предикатами. Результат
(следствие) также является нечётким предикатом.
В зависимости от выбранного правила и вида операции композиции результат
может соответствовать мере необходимости, либо мере возможности нечёткого
логического следствия, либо некоторой другой, например, усреднённой мере. Это
вызвано тем, что правило, обычно нельзя построить однозначным образом для
зависимостей причин и следствий по известным фактам. Правило обычно
строится как некоторая импликация, которая выражает зависимость между
наблюдаемыми причинами и следствиями. В силу вида нечётких операций над
предикатами таких правил может быть несколько, поэтому такая неоднозначность
повышает степень нечёткости результатов нечёткого логического вывода, тогда
для представления более полного заключения при прямом нечётком логическом
выводе необходимо использовать нечёткие предикаты и множества более высоких
порядков. В случае, когда рассматривается правило импликативного вида, исходя
из целей получения меры возможности для заключения, можно
рассчитать предикат, выражающий правило на основании известных причины и
следствия следующим образом.
Затем это уже правило может быть использовано для получения заключения,
когда в качестве причины выбирается тот же или другой нечёткий предикат.
Для множеств событий, явлений, проявляемых свойств можно ввести меры
необходимости и возможности проявления этих свойств. Для любых множеств
событий мера необходимости N и мера возможности P удовлетворяют
следующим соотношениям соответственно:
Нечеткое множество второго порядка может быть определено следующим
образом:
Таким образом, областью определения множества
следующего порядка является множество предыдущего порядка.
69.Задача обратного нечёткого логического вывода.
Задача обратного нечёткого логического вывода является обратной задачей к
задаче прямого логического вывода. В качестве исходных данных здесь
выступают два нечётких предиката – правило и заключение. Найти требуется
множество посылок, которые могут при применении данного правила
привести к указанному заключению. Задача обратного нечёткого вывода
сложнее задачи прямого нечёткого логического вывода и не всегда имеет
решение.
Искомые посылки могут быть найдены как нечёткий предикат (множество)
первого порядка и выше, либо наиболее общие случаи для посылок могут
быть заданы парами минимального и максимального значений для каждого
аргумента посылки.
70.Представление формул временных и нечёткой логик в виде
однородных семантических сетей.
Семанти́ческая сеть — информационная модель предметной области,
имеющая вид ориентированного графа, вершины которого соответствуют
объектам предметной области, а дуги (рёбра) задают отношения между ними.
Объектами могут быть понятия, события, свойства, процессы.
Однородные сети обладают только одним типом отношений(дуг).
По арности, типичными являются сети с бинарными отношениями
(связывающими ровно два понятия).
При представлении формул временных и нечеткой логик в качестве вершин
выступают элементы предметного множества, а в качестве дуг – отношения
между ними (логические связки, предикат).
Направленность дуг семантической сети удобна для отображения отношения
предшествования временных логик.