Численное моделирование поведения полимерного материала

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПОЛИМЕРНОГО МАТЕРИАЛА
С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ ФОРМЫ
Р. А. Каюмов, А. Т. Мухаметшин
Казанский государственный архитектурно-строительный университет,
Казань, Россия
В данной работе модель материала с памятью формы использована применительно к
полимерам, обладающим наследственной упругостью. Здесь и далее используются
векторно-матричные
обозначения.
В
частности,
   {11,  22 ,  33 , 12 ,  23 , 13} ,
   { 11 , 22 , 33 , 12 , 23 , 13} . Согласно [1] полная деформация складывается из упругой
деформации
  ,
деформации наследственной упругости
e
 
ec
и деформации памяти
формы { ph } . Закон упругого деформирования принимался в виде
De
Для большинства полимерных материалов характерна «наследственная упругость».
Здесь изменение деформации наследственной упругости с течением времени описывалось
t
соотношением { }   [ H [(t   )]]{ ( )}d , где { ec } – деформации наследственной
ec
0
упругости, H – ядро ползучести, { ( )} – напряжения. Для полимеров ядро ползучести
достаточно хорошо аппроксимируется соотношением
 0.5  0.5 0 0 0
 1
 0.5
1
 0.5 0 0 0

 0.5  0.5
1
0 0 0
[ H ]  [ H 0 ]C /(t   )  , Н 0   
 , C > 0, 1>α>0.
0
0
0
3
0
0


 0
0
0
0 3 0


0
0
0 0 3
 0
Следуя общепринятому подходу, введем параметр процесса фазовых превращений q.
Дифференциальное уравнение, описывающее изменение q, примем в виде [2]


.
 (1  q) /(T  M 2 ) при T  0, M 2  T  M 1 
dq / dT  

.


  q /( A2  T ) при T  0, A1  T  A2 
где T – температура; M1, M2 – температуры начала и окончания прямого превращения, A1,
A2 – температуры начала и окончания обратного превращения. В остальных случаях q =
const.
Деформация памяти формы, вообще говоря, должна зависеть от всех параметров
процесса. Однако, следуя работам [1, 2], примем гипотезу о том, что ее скорость зависит
только от напряжений, самой деформации памяти формы и параметра q, зависящего в
  / dq = F ({ },  , q) . Далее предположим, что
функция F представима в виде d   / dq = F (q) F ({ },  ) . Функцию F разложим в
свою очередь от температуры T: d
ph
ph
ph
ph
1
2
2
ряд Маклорена, а F1 аппроксимируем степенной функцией
d  ph  / dq = (1  q)n (b  c{ }  a  ph )
(1)
Путем выбора констант в (1) можно получить различные модели материала с
памятью формы.
При прямом превращении рассматривались 2 варианта разложения функции F2 .
Если принять b = 0, то в этом случае получается вариант определяющих соотношений,
приведенный в [2]:
F2 ({ },  ph ) = c{ }  a  ph 
(2)
Принимая b = a = 0, получим соотношения, использованные в [3]:
F2 ({ },  ph ) = c{ }
При обратном превращении, согласно [2], скорость изменения деформаций памяти
формы мало зависит от приложенных напряжений. В этом случае рассматривались
следующие варианты разложения функции F2 ({ },  ph ) :
F2 ({ },  ph ) = b  a  ph  ,
(3)
F2 ({ },  ph ) = b ,
(4)
F2 ({ },  ph ) = a  ph  .
(5)
Для выбора b используют разные условия. В нашем случае b подбиралось из
условия, что при обратном превращении деформации памяти формы должны вернуться к
значениям, которые были в начале прямого превращения. Кроме того, для обратного
превращения рассматривался вариант, использованный в [3], в котором скорость
изменения деформаций памяти формы не зависела от параметра q:
F1 (q) = 1, F2 ({ },  ph ) = b .
(6)
Для решения задачи применялся метод Эйлера. При определении НДС использован
МКЭ с восьмиузловым изопараметрическим пространственным конечным элементом.
В качестве модельной рассматривалась задача растяжения бруса. На рис. 3
представлены заданные законы изменения во времени нагрузки и температуры. Сначала
считалось, что деформации наследственной упругости отсутствуют. На рис. 4 и рис. 5
представлены зависимости деформаций памяти формы от времени для разных случаев
определяющих соотношений.
T
Температура/100 и Нагрузка
1,20E+00
6,00E-01
1,00E+00
5,00E-01
8,00E-01
4,00E-01
[2]
Температура/100
6,00E-01
3,00E-01
(11)
Нагрузка
(11)
2,00E-01
4,00E-01
(10)
[3]
1,00E-01
2,00E-01
0,00E+00
0,00E+00
0
0
10
20
30
40
50
60
70
t
Рис. 3
80
90
100
10
20
30
40
50
-1,00E-01
t
Рис. 4
60
70
80
90
100
Деформации
1,60E+00
5,00E-01
1,40E+00
4,00E-01
1,20E+00
3,00E-01
[2]
2,00E-01
(11)
(11)
1,00E-01
0,00E+00
0
10
20
30
40
50
-1,00E-01
60
70
80
90
100
1,00E+00
упругие
8,00E-01
(10)
6,00E-01
[3]
4,00E-01
ползучести
памяти
формы
суммарные
2,00E-01
0,00E+00
-2,00E-01
-2,00E-01
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t
t
Рис. 5
Рис. 6
Как видно из рис. 4 и 5 варианты соотношений (3), (4), (6) дают близкие результаты,
а соотношение (5) дает нелогичное и сильно отличающееся от других значение { ph } . На
рис. 6 представлены результаты расчетов с учетом деформаций ползучести,
получающиеся с использованием соотношений (2), (4). Исследовалась зависимость
остаточных неупругих деформаций от времени при изменении температуры.
Анализ результатов показывает, что определить механические характеристики,
входящие в определяющие соотношения, непосредственно из каких-либо частных
экспериментов непростая задача, поскольку трудно разделить деформации на
составляющие  e  ,  ec  ,  ph  . Разделить  e  ,  ec  можно, например, лишь при
высоких температурах Т > A2, поскольку при этом
  =0.
ph
Поэтому для отыскания
функций [ D(T )], C(T ),  (T ), F1 , F2 нужно применять методы идентификации (см. обзор,
например, в [5]).
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект №08-01-00628.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белошенко В.А., Варюхин В.Н. Эффект памяти формы в полимерах и его
применение. – Киев: Наукова думка, 2005. – 189 с.
2. Мовчан А.А. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных
превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1995. –
№ 1. – С. 197–205.
3. Орлов Р.Х., Тютюнников Н.П. Численное моделирование прямого и обратного
превращений в стержнях и пластинах из сплава с памятью формы // Механика
композиционных материалов и конструкций. – 2007. – № 1. – С. 131–140.
4. Терегулов И.Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести.
– М.: Наука, 1969. – 206 с.
5. Каюмов Р.А., Нежданов Р.О., Тазюков Б.Ф. Определение характеристик волокнистых
композитных материалов методами идентификации. – Казань: Изд-во КГУ, 2005. – 258 с.