«Решение показательных уравнений и неравенств (включая уравнения и неравенства смешанного типа)»

Урок в 11 классе по теме:
«Решение показательных уравнений и неравенств
(включая уравнения и неравенства смешанного типа)»
Учитель: Алтухова Ю.В.
Цель урока:
● Систематизировать знания учащихся по заданной теме.
● Закрепить умение решать показательные уравнения и неравенства,
сводимые к простейшим вида a f ( x )  a g ( x ) специальными методами:
 Разложением на множители;
 Введением новой переменной и сведением показательного
уравнения (неравенства) к алгебраическому;
 Делением обеих частей уравнения (неравенства) на одну из
степеней.
● Закрепить умение решать показательные уравнения и неравенства (+
смешанного типа) графическим и функционально-графическим методом.
При этом уметь четко обосновывать равносильный переход от показательного
уравнения (неравенства) к уравнению (неравенству) вида f(x)= g(x) [f(x)  g(x)]
на основе:
а) свойств монотонного возрастания или убывания функции y  a t (a > 1;
0 < a < 1);
б) свойств степеней с одинаковыми, отличными от единицы, положительными
основаниями.
● Открыть некоторые способы решений уравнений и неравенств.
Повторение:
-
-
понятие уравнения и его решения;
понятие неравенства и его решения;
умение решать квадратные уравнения и алгебраические неравенства;
знание свойств с рациональным (иррациональным) показателем и
определение арифметического корня n-й степени; умение решать
иррациональные уравнения;
знание свойств показательной функции;
определение геометрической прогрессии;
умение строить и читать графики функций;
умение решать простейшие тригонометрические уравнения и
неравенства;
понятие о свойстве сопряженных выражений [произведение их равно
разности квадратов входящих в выражения компонентов].
Знания и навыки:
- Знать алгоритм решения простейших показательных уравнений и
неравенств;
- Знать основные методы решения более сложных показательных
уравнений и неравенств (+ смешанного типа);
- Уметь применять рассмотренные методы решения при решении
уравнений и неравенств смешанного типа.
Наглядные пособия и раздаточный материал:
- Дидактические материалы;
- Таблицы и плакаты на доску (алгоритмы, методы решения уравнений и
неравенств);
- Раздаточный материал для самостоятельной работы;
- Листы-памятки по решению показательных уравнений.
НА ДОСКЕ
«Что значит решить задачу?
Это значит cвести
ее к уже
решенным»
С.А.Яновская
(советский математик, профессор МГУ,
1896-1966)
Тема урока:
№
1
Решение показательных уравнений и
неравенств.
Методы решения
, a > 0, a ≠ 1
равносильно f(x) = g(x)
a
f ( x)
a
([сравнение] уравнивание
показателей)
f ( x)
a  b , a > 0, a ≠ 1, b > 0
2
3
4
Графический метод
(функционально- графический)
Разложение на множители
(вынесение общего множителя за
скобку)
Деление на
a
5
f ( x)
Список уравнений (II)
g ( x)
a
 0 ,b
f ( x)
f ( x)
или
0

b
f ( x)
Введение новой переменной,
сведение к алгебраическому
x 2
(1)
( 2)
2
2  2  2  6,5  3,25  1,625  ...
27  0,3
2x 1x  2x 1
x 1
(2)
(3)
x 4
x 2
6 x
2
(4)
x 2
16  10
x
(5)
 5  2 3  +  5  2 3  =  10 
(6)
5
x
x
(7)
(8)

125
x
5
x
 30
3  4  7 10  2  25  0
2   2
 2 3  2 3  4
32 x  2  3  3  0
x
x
2
(10)
x
2 x  3
x 1
x
(9)
x
x
2
x  x 6
2( x 6)
В приведенной выше таблице колонка «Методы решения» появляется по
ходу урока.
Вид уравнения
(неравенства)
Af(x)=B
A f( x) =Bg( x) ,
0<a<1, a> 1
К равносильному уравнению
f(x)=g(x),
неравенству:
F( x) >g( x) , при a>1
F( x) <g( x) , при 0<a<1
Равносильные и тождественные
преобразования
- основания степеней равны? Связи ?
- показатели равны? Связи?
Применить
специальные
методы
Решить
Проверка при
необходимости
Ответ
- Здравствуйте ребята! Сегодня нам предстоит подвести итоги изучения
большой темы курса алгебры и предугадать ближайшую перспективу
следующих уроков.
- Чему мы учились на прошлых уроках?
- Чем же мы будем заниматься сегодня?
- Итак, тема нашего урока звучит по-прежнему: «Решение показательных
уравнений и неравенств», но цель урока - подвести итоги, обобщить и
систематизировать изученный материал.
(В помощь учащимся - листы-памятки).
К доске вызываются трое учащихся по домашнему заданию.
- Пока ребята у доски готовятся к обсуждению некоторых заданий домашней
работы, поработаем вместе.
(На доске - список уравнений (I)).
1) 100 2 (0,1) 2  10 x
2) ( x  1) 5  25

3) ( 3 ) 2 x  (tg ) x 1
3
4) 5
 12
x
x
 13
x
5) 2 x  3  x
6) 2 cos
2
x
 8 sin
2
x
0
7) cos(3  5 )  cos(  5 x )  sin(   5 x )
x
1
3x  7  4
8)
9)
x
3  x 5  225
10) x 2  3 x  4  0
11) (2 x  1) x  (2 x  1) x
2
- Вашему вниманию предложены уравнения. Какие из них являются
показательными?
- Какие содержат показательные выражения (являются смешанными)?
- Какие вовсе не являются показательными?
- А если я поменяю знак равенства на знак неравенства, изменится ли от этого
вид неравенства?
- Итак, пожалуйста, сформулируйте определение показательных уравнения и
неравенства.
уравнение - это уравнение
Показательное
содержащее переменную
в показателе степени
неравенство - это неравенство
- Запишите дату, тему урока.
- Каков общий вид простейших показательных уравнений? *
a f ( x )  a g ( x ) , a  0, a  1,
a f ( x )  b, a  0, a  1, b  0
- Почему обговариваются условия для основания степени уравнений?
( Из определения показательной функции //из определения степени с
иррациональным показателем// следует, что степень определена для
положительного, не равного единице, основания).
- А неравенств?
(изменяется знак неравенства)
- Каковы основные методы решения простейших показательных уравнений?
(уравнивание показателей)
- Неравенств?
(Переход к равносильному неравенству).
a f ( x)  a g ( x) ,
- На чем они основаны?
*
a  1,
f ( x)  g ( x)
0  a  1,
f ( x)  g ( x).
- Расшифруйте.
Для уравнений: 1) Если степени с равными основаниями, отличными от
единицы и большими нуля, равны, то показатели равны;
2) функция y  a x (a  0, a  1) монотонна на R, поэтому каждое свое значение
она принимает при единственном значении аргумента.
Для неравенств: 1) Показательная функция y  a x , a  1 (0  a  1) монотонно
возрастает (убывает) на R, поэтому большему (меньшему) значению функции
соответствует большее значение аргумента.
2) Если a>1, то из неравенства a u  a v  u  v ;
если 0<a<1, то из неравенства a u  a v  u  v.
- Выберите из предложенных списков те, которые можно назвать простейшими
(или свести к ним). (1, 3, 9 уравнения - список I; 3, 4, 10 уравнения - список II).
Можно ли какие-нибудь решить устно?
- Попробуйте устно решить уравнение 1 (список I).
- А если бы это было неравенство?
(x=0)
(x<0, так как a=10, 10>1).
- Уравнение №3?
x  1,
т.к.
( 3)2 x 
 3
x 1
2x  x  1
x 1
- Можно ли еще какие-нибудь уравнения решить устно?
Уравнения 4 , 5 (список 1)
- Какой метод использовали при решении?
Функционально-графический.
- На чем он основан?
На свойствах монотонных функций.
Запись на доске: a f ( x )  g ( x)
Возрастающая = убывающая
Возр.+возр. = убывающая
Убыв.+ убыв.= возрастающая
графики пересекаются не более,
чем в одной точке
Возраст.(убыв.) = постоянная
- Всегда ли можно быстро решить уравнение функционально-графическим
методом?
Нет, если корень трудно подобрать, или значение
корня не является целым числом.
- Какой метод послужил основой для функционально-графического метода?
Графический.
- В чем его суть?
Построить графики двух функций в одной системе координат.
Абсциссы точек пересечения графиков – корни заданного уравнения.
- Дома было предложено решить графическим методом неравенство
2 x  5  x 2 . (Внимание на доску). В чем недостаток метода?
Неточные значения корней соответствующего уравнения.
- В чем достоинство?
Всегда можно «увидеть» корни уравнения,
найти приближенно, и, значит, и решить неравенство.
- А если бы решили поработать устно?
Велика возможность потери одного корня
уравнения и, следовательно, неверного решения неравенства.
- Решили бы устно этим методом уравнение 3 x  5  x 2 ?
Корней бы не нашли.
x
2
12
- Второе уравнение из домашней работы:     2 x.
7
7
Удобно было строить
график функции, стоящей в левой части уравнения?
- Можно ли было избежать построений?
Подбором найти корень уравнения (x=1)
(слева – убывающая функция, справа – возрастающая).
- А если знак равенства поменять на знак неравенства «< »? (Учитель изменяет
на доске цветным мелом).
 Найдем подбором корень уравнения;
 Схематически построим графики обеих функций;
 Выберем решение неравенства.
- Итак, какой метод использовали?
Графический и функционально-графический.
- Решите указанные уравнения функционально-графическим методом.
4) 12 x  5 x  13 x
5) 2 x  3  x
- Если бы знак равенства поменять на знак неравенства, то при решении
неравенства на что бы обратили внимание?
На основание степени.
- Какие методы решения уравнений еще знаем?
(Перечисляем).
- Дома было предложено уравнение 5 2 x  7  5 2 x 1  7 x  5 x 1 . (Решение уравнения
представлено учеником, обсуждается)
(+ смотри список уравнений II,
уравнение 6)
- Какими методами его решали?
 Вынесение за скобки общего
множителя.
 Деление на степень.
- На что обращали внимание? (1 Шаг)
На основания степени.
- 2 шаг?
На показатели степени, можно ли их сделать равными?
- Для чего?
Чтобы свести к простейшему.
- А что бы было, если изменить знак «=» на «  »?
…
- Какие еще уравнения из списка можно решить названными методами?
 Вынесением общего множителя – уравнения 2, 6
(список II)
 Делением на степень – уравнение 6,9.
- Какие методы еще знаем?
 Замена, сведение к квадратному (уравнение1);
 к алгебраическому (уравнения 8, 12, 9, 14).
- Найдите
в списке уравнения, решаемы этими методами, оговорите
специальные приемы.
(Обсуждаем оставшиеся без «указания метода» уравнения (7(список II)- если не
обсудят ранее, 5, 11)
- Итак, подведем первые итоги.
Чтобы решить показательное
уравнение или неравенство, какой
первый шаг нужно сделать?
Если «да», то
Если «нет», то
1. Определить, является ли уравнение
(неравенство) простейшим, то есть
вида a f ( x )  a g ( x ) , a  0, a  1.
4. Исходя из свойств показательной
функции, перейти от простейшего
показательного уравнения
(неравенства) к уравнению f(x)=g(x) (
неравенству f(x)>g(x), если a>1;
f(x)<g(x), если 0<a<1).
5. Решить полученное уравнение
(неравенство).
6. Если нужно, то сделать проверку.
7. Записать ответ.
2. Установить, какие и в каком
порядке
нужно
выполнить
тождественные
и
равносильные
преобразования, чтобы привести к
виду (1): - общие для всех уравнений и
неравенств;
- специальные.
3.
С
помощью
выбранных
преобразований привести уравнение
(неравенство) к простейшему.
4, 5, 6.
«Алгоритм» последовательно появляется на доске в виде схемы. (При
необходимости, алгоритм можно повторить).
Проверочная работа
- Проверим, как же мы научились решать показательные уравнения и
неравенства, выполнив самостоятельную работу. ( Листы, копирка, ответы
выписывают в квадратики). За доской двое учащихся. Время работы – 20
минут. Если «за доской проблемы», то можно взять помощь одноклассника.
Консультация одноклассника – минус 1 балл «решающему за доской». Работа
дифференцированная, поэтому за доской работают по различным вариантам.
(20 минут работают).
Проверка.
«Ключ» на доске показывает учитель:
«3» 1 2 3 3
«4» 4 1 3 2
«5» 3 1 4 2
«5+» 3 1 2 4
- Кто справился?
- Какие были проблемы?
- Кто выбранный уровень освоил на ½?
- Кто решил только уравнения?
- Кто решил только неравенства?
Те учащиеся, кто справился на «5», консультируют работавших по уровню на
«3».
Работа по группам.
(Класс заранее делится на группы).
Список уравнений:
I группа – уравнение №2:
II группа – уравнение №5:
III группа – уравнение №9:
IV группа – уравнение №10:
V группа – уравнение № 8:
2 x1  2 x4  2 x2  6,5  3,25  1,625  ...;
2 x  1x
 2 x  1 ;
x
3  4  7  10 x  2  25 x  0;
x 1
2
x
 
2 x 3
 2
;
125
5 x  x  30.
5
2
Решив уравнение, группы делегируют к доске своего представителя. Все
уравнения обсуждаются, записывается решение всеми учащимися класса.
Задание на дом: из дидактических материалов решить по одному
уравнению (из нерешенных ранее) на применение каждого метода. Изменить в
уравнениях знак «равенства» на знак «неравенства» и решить полученные
неравенства.
Итоги урока
- Чем занимались на уроке?
- Чему научились?
- Какие основные методы решения показательных уравнений (неравенств)
знаем?
- Каков алгоритм решения показательного уравнения (неравенства)?
- Что полезного извлекли для себя на уроке?
- Что нового узнали?
- Что хотелось бы узнать и чему еще научиться?
Решать уравнения и неравенства вида a f ( x )  b, где b не представимо в виде
a g ( x) .
- Но это тема наших следующих уроков.
Урок закончен. Спасибо, дети!