Методы вычислений: метод конечных элементов

Методы вычислений: метод конечных элементов
профессор А.М. Мацокин
ММФ НГУ 2012-2013 уч.год (6 семестр, 16 лекций)
Вводный курс лекций по методу конечных элементов для студентов 3 курса ММФ НГУ посвящен
изложению основ построения и применения на практике проекционных и вариационно-разностных методов
решения краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений.
В предлагаемых лекциях (каждая из которых может излагаться более, чем 2 академических часа)
сформулированы задачи и изложены основы построения методов их решения. К программе этого курса
прилагаются в файле: <2012-13_Выч.Мет.FEM.zip>:
1. Конспекты лекций: файл <2012-13 лекции Выч.Мет.FEM.pdf>,
2. Файл <билеты+лекции+семинары.zip>, содержащий билеты устных (и письменных) экзаменов, а
также конспекты лекций и нескольких семинаров в прошедшем учебном году.
ПРОГРАММА
1.
2.
3.
Гильбертовы пространства и уравнения в них.
1.1. Предгильбертово пространство, пополнение предгильбертова пространства до гильбертова.
Линейный функционал, Линейный оператор. Энергетическое пространство.
1.2. Операторная, проекционная и вариационная формулировка задач в гильбертовом пространстве.
Определение метода Ритца для приближенного решения вариационной задачи в гильбертовом
пространстве.
Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка.
2.1. Формула Грина, конормаль, самосопряженность.
2.2. Положительная определенность оператора в пространстве функций равных нулю на границе.
Неравенство Фридрихса.
2.3. Положительная определенность оператора в пространстве функций с равными нулю на границе
производными по конормали. Неравенство Пуанкаре.
2.4. Положительная определенность оператора в пространстве функций с равными нулю на границе
суммами производных по конормали и функций с заданным весом.
Формулировки эллиптических краевых задач.
3.1. Однородная краевая задача Дирихле: операторная формулировка, энергетическое пространство
o
оператора, след на границе (теорема Фишера), проекционная формулировка в W 12 () .
3.2. Однородные вторая и третья краевые задачи: операторная формулировка, энергетическое
4.
5.
6.
7.
пространство оператора, проекционная формулировка в W 12 () .
Приближенное решение эллиптических краевых задач в проекционных и вариационных
формулировках.
4.1. Метод Галеркина и его эквивалентность методу Ритца.
4.2. Лемма Вишика-Сеа. Предельная плотность последовательности подпространств в энергетическом
пространстве − достаточное условие сходимости метода Ритца-Галеркина.
4.3. Число обусловленности матрицы жесткости.
МКЭ в одномерном случае.
5.1. Двухточечная краевая задача.
5.2. Подпространство кусочно–линейных восполнений. Подпространство кусочно–лагранжевых
восполнений. Базис в подпространстве кусочно–лагранжевых восполнений.
5.3. Система сеточных уравнений метода Галеркина в подпространстве кусочно–лагранжевых
восполнений. Число обусловленности матрицы. Вычисление компонентов вектора правой части и
элементов матрицы системы.
5.4. Разрешимость задачи при приближенном вычислении интегралов. Оценка. Обусловленность
матрицы.
МКЭ в многомерном случае.
6.1. Триангуляция области. Невырожденный m -мерный симплекс. Разбиение невырожденного 2мерного симплекса. Разбиение невырожденного 3-мерного симплекса.
6.2. Кусочно-линейные восполнения на триангуляциях. Линейное восполнение на треугольнике.
Оценка точности линейной интерполяции.
6.3. Система сеточных уравнений метода Галеркина в подпространстве кусочно-линейных
восполнений для первой краевой задачи. Число обусловленности матрицы жесткости.
6.4. Локальные вектор нагрузки и матрица жесткости, алгоритмы сборки вектора правой части и
матрицы системы сеточных уравнений метода Галеркина.
МКЭ в многомерном случае (пример: решение системы метода Галеркина для уравнения Пуассона в
единичном квадрате (задача Дирихле) методом Фурье).
7.1. Собственные функции (векторы) и числа оператора приближенной задачи.
7.2. Разложение по базису из собственных векторов решения и правой части системы метода
Галеркина. Алгоритм вычисления решения системы проекционно-разностных уравнений. Оценка
числа арифметических действий.
7.3. Быстрое дискретное преобразование Фурье.
Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы.
m
1.
Когда билинейная форма a(u, v)   (  a i, j
 i, j1
2.
Доказать, что оператор L   i, j1
m
u v
 a 0 uv) dx симметрична ?
x j x i


(
a i, j (x)
 a 0 (x) будет симметрическим на линейных
xi
x j
)
множествах функций:
D1 (L)  { v(x)  C2 () :
v(x) |  0} ,
D2 (L)  { u(x)  C2 () :
m
u(x)
u
  a i, j
cos(n, x i )
N

xj
i, j1
 0}

3.
u(x)
D3 (L)  { u(x)  C2 () : [
 (x)u(x)]  0} для заданного (x)  C() .
N

Доказать положительную определенность оператора Лапласа на множестве функций
4.
D1 ()  { v(x)  C2 () : v(x) |  0} .
Доказать положительную определенность оператора Лапласа на множестве функций
D2 ()  { v(x)  C2 () :
5.
 v(x) dx  0} .
Доказать положительную определенность оператора Лапласа на множестве функций
D3 ()  { v(x)  C2 () : (v(x) / N  v(x)) |x  0} .
6.
Оператор следа tr  : W21 ()  L2 () непрерывен или нет?
7.
Совпадает или нет пополнение множества D3 (L)  { u(x)  C2 () : [
 (| u |
2
8.
u(x)
 u(x)]  0} в норме
N

 | u |2 ) dx с W21 () ?
Написать проекционную и вариационную формулировки краевой задачи:
u(x)  f (x), x  ,
а) 
 u(x)  0, x    .
u(x)  f (x), x  ,

b) 
u(x) / n  u(x)  0, x    .
9. Какой краевой дифференциальной задаче удовлетворяет гладкое решение проекционной задачи:
o

1
u(x)  W 2 (0,1) :
а) 
o
 1 u (x)v (x) dx  1 f (x)v(x) dx  v(x)  W 12 (0,1).


0
 0
u(x)  W 12 (0,1) :

b)  1
1
1
 0 [u (x)v (x)  u(x)v(x)] dx  0 f (x)v(x) dx  v(x)  W 2 (0,1).
10. Какой краевой дифференциальной задаче удовлетворяет гладкое решение вариационной задачи:
o

u(x)  W 12 (0,1) : F(u)  inf
F(v),

o

vW 12 (0,1)
а) 
1
1

F(v)   | v (x) |2 dx  2  f (x)v(x) dx.

0
0

u(x)  W 12 (0,1) : F(u)  inf F(v),

vW 12 (0,1)
b) 
1
1
F(v)  ( | v (x) |2  | v(x) |2 ) dx  2 f (x)v(x) dx.


0
0

11. На сетке h  {0  x 0 , x1  h, ..., xi  ih, ..., x n  nh  1} построить базис в пространстве
непрерывных, линейных на каждом интервале (xi , xi 1 ) , функций, обращающихся в нуль в конце
интервала (0, 1).
12. На сетке h  {0  x 0 , x1  h, ..., xi  ih, ..., x n  nh  1} построить базис в пространстве
непрерывных, квадратичных на каждом интервале (xi , xi 1 ) , функций, обращающихся в нуль в конце
интервала (0, 1).
13. На сетке h  {0  x 0 , x1  h, ..., xi  ih, ..., x n  nh  1} построить базис в пространстве непрерывных
вместе с первой производной, кубических на каждом интервале (xi , xi 1 ) , функций, обращающихся в
нуль в конце интервала (0, 1).
14. Построить систему уравнений методом Галеркина с использованием кусочно-линейных восполнений,
аппроксимирующих задачу 9.a).
15. Построить систему уравнений методом Ритца с использованием кусочно-линейных восполнений,
аппроксимирующих задачу 10.a).
16. На сетке h  {0  x 0 , x1  h, ..., xi  ih, ..., x n  nh  1} построить базис в пространстве
непрерывных, линейных на каждом интервале (xi , xi 1 ) , функций.
17. Построить систему уравнений методом Галеркина с использованием кусочно-линейных восполнений,
аппроксимирующих задачу 9.b).
18. Построить систему уравнений методом Ритца с использованием кусочно-линейных восполнений,
аппроксимирующих задачу 10.b).
19. Что такое кусочно-линейный интерполянт гладкой функции, и с какой точностью он приближает
o
20.
21.
22.
23.
функцию в норме W 12 (0,1) ?
Лемма Вишика-Сеа и кусочно-линейный интерполянт гладкой функции в оценке точности решения
задач 9 − 10 методом Ритца-Галеркина с использованием кусочно-линейных восполнений.
Симплекс: треугольник, тетраэдр. Триангуляция многомерной области. Кусочно-линейные
восполнения.
Построить систему уравнений методом Галеркина с использованием кусочно-линейных восполнений,
аппроксимирующих задачу Неймана для уравнения Пуассона на квадрате. Исследовать разрешимость
системы.
Построить систему уравнений методом Ритца с использованием кусочно-линейных восполнений,
аппроксимирующих задачу Дирихле для уравнения Пуассона на квадрате.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Список основной и дополнительной литературы.
С.Г. Михлин. Вариационные методы в математической физике.
– М.: Наука, 1970.
Л.А. Оганесян, Л.А. Руховец. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений.
– Ереван: изд. АН Арм.ССР, 1979.
Г.И. Марчук, В.И. Агошков. Введение в проекционно-сеточные методы.
– М.: Наука, 1981.
Ж. Деклу. Метод конечных элементов. – М.: Мир, 1976.
Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир, 1976.
Ф. Сьярле. Метод конечных элементов для эллиптических задач.
– М.: Мир, 1982.
Ю.М. Лаевский. Метод конечных элементов (основы теории, задачи). НГУ,
А.М. Мацокин. Методы вычислений: метод конечных элементов (конспект лекций). mmfd.nsu.ru