Document 870718

ОБ АЛГЕБРЕ ЯЗЫКОВ, ПРЕДСТАВИМЫХ В ГРАФАХ С
ОТМЕЧЕННЫМИ ВЕРШИНАМИ
И.С. Грунский1, Е.А. Пряничникова2
1
Институт прикладной математики и механики НАНУ, Донецк, Украина
2
Государственный университет информатики и искусственного интеллекта, Донецк, Украина
В докладе рассматриваются свойства алгебры языков, представимых
ориентированными графами с отмеченными вершинами. Такие графы широко используются при построении вычислительных систем [1].
Пусть Х – конечный алфавит, Х+ - множество всех непустых слов
конечной длины в алфавите Х. По аналогии с [2] введем на языках L1, L2
 Х+ следующие операции:
1) L1  L2 = w w L èëè w  L2 
1
2) L1  L2 = w1  w2 w1 L è w2  L2 
Операция ◦ на множестве Х+ определяется следующим образом: для всех
w1, w2  Х+, всех х,у  Х w1х ◦у w2= w1хw2, если х=у; w1х ◦у w2 – не определено, если х≠у.
1
3) L =


i 0
Li =, где Lнач={x| xw  L, x  X, w Х*}, Lкон= {x| wx  L, x
X, w  Х*}, L0= Lнач∩ Lкон ; L1=L; для всеx n≥1 Ln+1=Ln ◦L.

i
4) L+=  L
i 1
= L  L  L  L  L  L.....
Рассмотрим алгебраическую систему 2 X , ,,, , X . Регулярными

выражениями в этой алгебре будем называть формулы:
1)  является регулярным выражением и представляет пустое множество.
2) Для каждого х Х символ х является регулярным выражением и представляет язык {x}.
3) Для каждого х Х и у Х ху является регулярным выражением, представляющим язык {xy}.

4) Если p и q – регулярные выражения, то выражения  p  q  ,  p  q  ,  p 
также являются регулярными.
X
Множество 2 является идемпотентным полукольцом относительно
операций  è  [2]. Для
регулярных выражений в алгебре

2 X , ,,, , X выполняются следующие соотношения:

R  R0  R ; R  ( R 0  R ) ; R  R  R  R ; R  R  R  R0  R ;
R   Q  Q  R   Q  Q ; R  R  R  R ; R  R  R 0  R  R .
Теорема 1. В алгебре 2 X , ,,, , X уравнение с одним неизвест
ным вида Y  Y  R  Q имеет наименьшее решение Y  R  Q  Q .
Теорема 2. Для системы уравнений Yi=
n
 Yi
j 1
 Ri , j  Qi , i=1,….n су-
ществует наименьшее решение, регулярное относительно коэффициентов
Ri j и свободных членов Qi.
Назовем графом с отмеченными вершинами четверку G=(Q, E,X, μ),
где Q – конечное множество вершин, |Q|=n, E  QxQ – множество дуг, Х–
множество отметок вершин,  : Q  X –функция отметок вершин. Пусть
I  Q – множество начальных вершин графа, F  Q - множество финальных вершин. Путем в графе G будем называть конечную последовательность смежных вершин q1q2…….qk , где (qi ,qi+1)  E. Отметкой пути будем
называть p Х+, такоe, что p= μ(q1) μ(q2)… μ(qk). Множество отметок всех
путей в графе G, у которых начальная вершина q1 I, конечная вершина
qk F, назовем языком, порожденным графом G, и обозначим L(G). Для так
называемых детерминированных графов с одним начальным состоянием
свойства языков изучались в работе [3].
Теорема 3. Для языка L равносильны следующие утверждения:
1)Язык L представим в виде регулярного выражения алгебры 2 ,,,, , X .
X
2) Существует такой граф с отмеченными вершинами G, что L(G)=L.
Список литературы
1. Капитонова Ю.В., Летичевский А.А. Математическая теория проектирования
вычислительных систем. -- М.: Наука, 1988. -- 296 с.
2. A. Ginzburg. Algebraic Theory of Automata. Academic Press, New
York, 1968.
3. I.Grunsky, O.Kurganskyy, I.Potapov. Languages Representable by Vertex-labeled Graphs. Proceedings of the 30th International Symposium on Mathematical Foundations of Computer Science, LNCS, v.3618, 2005, 435-446.