Факультет: Физико

Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 1
1. Простое трансцендентное расширение области целостности.
2. Лемма Гаусса о произведении 2-х примитивных многочленов. Пример.
3. Наити произведение многочленов f  g в Z 6 [ x] , если
f  2 x3  3 x 2  5 x  4, g  3 x3  5 x 2  4 x  3 .
4. Найти НОК многочленов: f1  x3  2 x 2  3x  2, f 2  x 4  x3  x 2  x  2,
f 3  x 3  x 2  4.
Зав. кафедрой
_ ___ ____
П. Н. Михайлов
__ __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _ _ ___
___ __ ___ ___ ____ ___ _
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 2
1. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом.
Теорема.
2. Поле F рациональных дробей. Трансцендентное расширение кольца
многочленов от n переменных. Теорема.
3. Наити НОД многочленов: f  x5  7 x4  20 x3  48x2  52 x  57,
g  x 4  8x3  23x 2  34 x  39.
 x 2 y 2  x 2 y  y  x  0,
4. Решить систему с помощью результанта 

Зав. кафедрой
xy2  2 xy  1  0
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 3
1. Степень многочлена. Свойства степеней многочленов.
2. Разложение многочлена от n переменных в произведение
неприводимых многочленов и его единственность. Теорема.
3. Выполнить деление с остатком первого многочлена на второй
f  4 x3  x 2 , g  x  1  i. (i 2  1).
4. При каком  многочлены f и g имеют общий корень
f  x3  (2  1) x 2  2 x  2  1, g  x 2  (  1) x  2.
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 4
1. Деление многочлена на двучлен x  c  . Теорема Безу. Теорема о связи
корня многочлена и делимости многочлена на x  c  .
2. Лемма Гаусса о произведении 2-х примитивных многочленов. Пример.
3. Наити необходимое и достаточное условия делимости многочлена f (x)
на g (x ) , если f ( x)  x3  px  q, g ( x)  x2  mx  1.
4. Найти сумму квадратов корней многочлена f  2 x5  3x 4  6 x3  7 x 2  4.
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 5
1. Наибольшее возможное число корней многочлена в области
целостности. Теорема. Следствие.
2. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Высший член
многочлена. Замечание. Пример.
3. Выполнить деление с остатком f на g , в кольце Z 3[ x] , если
f  2 x 4  x  1, g  2 x  1 .
 x 2 y 2  x 2 y  y  x  0,
4. Решить систему уравнений 
2
 xy  2 xy  1  0
Зав. кафедрой
_ ___ ____
П. Н. Михайлов
__ __ ___ ___ ___ ___ __ ___ _ _ ___
___ __ ___ ___ ____ ___
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 6
1. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Теорема.
2. Высший член многочлена. Лемма о высшем члене произведения
многочленов.
3. Найти остаток от деления многочлена f на g , пользуясь схемой
Горнера f  x 4  2 x3  4 x 2  6 x  8, g  x  1.
4. Выразить симметрический многочлен через элементарные
симметрические многочлены f ( x1, x2 , x3 )  x13  x23  x33  3x1x2 x3.
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 7
1. Теорема о делении с остатком.
2. Кольцо многочленов от нескольких переменных. Теорема об области
целостности кольца многочленов.
3. Выполнить деление с остатком первого многочлена на второй
f  2 x 4  3x3  4 x 2  5x  6, g  x 2  3x  1.
4. Найти кратность корня c  2 у многочлена f , если
f  x5  6 x 4  11x3  2 x 2  12 x  8.
Зав. кафедрой
_ ___ ____
П. Н. Михайлов
__ __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _ _ ___
___ __ ___ ___ ____ ___
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 8
1. Наибольший общий делитель. Взаимно простые многочлены. Теорема.
Свойства НОД.
2. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических
многочленах и следствие из нее (без док-ва). Вывод
S ( x12 ), S ( x12 x2 ), S ( x13 ) .
3. Наити необходимое и достаточное условия делимости многочлена f (x)
на g (x ) , если f ( x)  x 4  px 2  q, g ( x)  x 2  mx  1.
4. Найти остаток от деления многочлена f на g , пользуясь схемой
Горнера f  x3  x2  x, g  x  1  2i. (i 2  1).
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 9
1. Алгоритм Евклида. Замечание.
2. Результант многочленов от нескольких переменных. Теорема (без доква).
3. Выполнить деление с остатком в кольце Q[x ] , многочлена f на g , если
f  x6  7 x5  13x 4  4 x 2  11x  5, g  x3  5 x 2  4 x  3.
4. Наити НОД многочленов: f1  x3  2 x 2  3x  2, f 2  x 4  x3  x 2  x  2,
f 3  x 3  x 2  4.
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 10
1. Наименьшее общее кратное. Теорема о связи НОД и НОК мног-нов.
2. Исключение переменных. Пример решения системы уравнений
методом исключения переменных.
3. Непосредственным делением f на g найти неполное частное и
остаток, если f  2 x5  3x 4  6 x3 , g  x3  2 x2  3x  1.
4. Найти сумму кубов корней многочлена f  x3  6 x  7.
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 11
1. Неприводимые над полем многочлены. Примеры. Замечание.
2. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Теоремы (о
возрастании модуля мног-на, о наименьшем значении модуля мног-на,
лемма Даламбера -- без док-ва). Основная теорема алгебры.
3. С помощью схемы Горнера найти неполное частное и остаток от
деления f на g , если f  8x8  10 x7  36 x6  28x5  4 x3  24 x 2  20 x  11,
g  x  3.
4. Наити НОД многочленов: f1  x3  2 x 2  3x  2, f 2  x 4  x3  x 2  x  2
Зав. кафедрой
_ ___ ____
П. Н. Михайлов
__ __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _ _ ___
___ __ ___ ___ ____ ___
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 12
1. Факториальное кольцо. Разложение многочлена в произведение
нормированных неприводимых мног-ов и его единственность. Теорема.
2. Зависимость между корнями и коэффициентами многочлена. Теорема
Виета. Следствие из теоремы Виета.
3. Наити необходимое и достаточное условия делимости многочлена f (x)
на g (x ) , если f ( x)  x3  ax 2  3x  c, g ( x)  x 2  px  2
4. Наити НОД многочленов: f  ( x  1)813( x  2)107 ( x  3)91,
g  x9  x8  5x7  x6  11x5  13x 4  7 x3  15x 2  4.
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 13
1. Схема Горнера как метод деления многочлена на двучлен. Пример.
2. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение
неприводимых многочленов. Теоремы (без док-ва).
3. Найти остаток от деления многочлена f на g , пользуясь схемой
Горнера f  4 x3  x, g  x  1  i. (i 2  1).
4. Вычислить результант многочленов f  2 x3  3x 2  2 x  1, g  x 2  x  3.
Зав. кафедрой
_ ___ ____
П. Н. Михайлов
__ __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _ _ ___
___ __ ___ ___ ____ ___
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 14
1. Формальная производная многочлена. Теорема (без док-ва).
2. Сопряженность мнимых корней многочлена с действит. коэф-тами.
Разложение многочлена над R в произведение неприводимых
многочленов. Теоремы. Следствия (без док-ва).
 x 2 y  x  12  0,
3. Решить систему с помощью результанта  2
 x  xy  12  0.
4. С помощью схемы Горнера найти неполное частное и остаток от
деления f на g , если f  x6  (2  2i) x5  (1  i) x3  (1  i) x 2  2i, g  x  1  i.
(i 2  1).
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 15
1. Разложение многочлена по степеням двучлена x  c  . Получение
формулы Тейлора для многочленов.
2. Уравнения третьей степени. Теорема о корнях уравнения третьей
степени. Следствие. Теорема (без док-ва).
3. Выполнить деление с остатком первого многочлена на второй
f  x3  x 2  x, g  x  1  2i. (i 2  1).
4. Вычислить результант многочленов f  2 x3  x 2  3x  1, g  3x 2  2 x  3.
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 16
1. Кратные корни многочлена. Теоремы (без док-ва). Способы
нахождения всех корней многочлена и определения их кратностей.
2. Уравнения третьей степени. Теорема о корнях уравнения третьей
степени. Следствие. Теорема (без док-ва).
3. Наити НОД многочленов: f  x5  7 x4  20 x3  48x2  52 x  57,
g  x 4  8x3  23x 2  34 x  39.
 x 2 y  x  12  0,
4. Решить систему с помощью результанта 
2
 x  xy  12  0.
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 17
1. Общие корни 2-х многочленов. Результант. Дискриминант. Теорема
(без док-ва). Вычисление дискриминанта для многочлена 2-ой степени.
2. Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Теорема. Следствия. Замечание.
3. Выполнить деление с остатком первого многочлена на второй
f  x3  x 2  x, g  x  1  2i. (i 2  1).
4. Найти сумму кубов корней многочлена f  x3  6 x  7.
Зав. кафедрой
_ ___ ____
П. Н. Михайлов
__ __ ___ ___ ___ ___ ___ ___ _ _ ___
___ __ ___ ___ ____ ___
Стерлитамакский филиал федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Башкирский государственный университет»
Факультет: Физико-математический
Кафедра: Алгебры, геометрии и методики обучения математике
Дисциплина: Алгебра и теория чисел
Учебный год: 2012-2013
Билет № 18
1. Многочлен от нескольких переменных. Степень многочлена по
отношению к переменной. Степень многочлена.
2. Уравнения четвертой степени. Получение корней уравнения четвертой
степени.
3. Найти остаток от деления многочлена f на g , пользуясь схемой
Горнера f  2 x5  5x3  8x, g  x  3.
 x 2 y  x  6  0,
4. Решить систему с помощью результанта 
2
 x  xy  6  0.
Зав. кафедрой
П. Н. Михайлов