Наименование курса:

Наименование курса:
ОПРЕДЕЛИМОСТЬ И ВЫЧИСЛИМОСТЬ
Автор: к. ф.-м. н. А.И. Стукачев
1.1 Цели и задачи курса.
Специальный курс «Определимость и вычислимость» доступен для
понимания студентов 2–6 курсов механико-математических факультетов
университетов. Основной целью данного курса является знакомство
студентов с различными подходами к обобщению классической теории
вычислимости на случай вычислимости над произвольными алгебраическими
системами, с установлением сходств и различий этих подходов, как с
классическим случаем, так и между собой. В качестве основного принимается
подход, при котором обобщенная вычислимость понимается как Сигмаопределимость в допустимых множествах. Это позволяет изучать различные
направления обобщенной вычислимости с применением языка и методов
теории множеств и теории моделей.
Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:
-изучение теоретической части курса;
-решение цикла задач и упражнений по курсу;
-сдача экзамена.
1.2. Требования к усвоению содержания курса.
По окончании изучения указанной дисциплины студент должен
Иметь представление о месте и роли изучаемой дисциплины среди
других разделов дискретной математики и математической логики.
Знать содержание программы курса, формулировки основных
результатов и основные методы их доказательства.
Уметь применять различные подходы к исследованию свойств
вычислимости и определению конструктивной сложности конкретных
алгебраических систем, и использовать их при решении типичных задач.
1.4. Формы контроля.
Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом
предусмотрен экзамен, включающий в себя теоретические вопросы.
Текущий контроль. Не предусмотрен.
2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
2.1. Новизна и актуальность.
Специальный курс «Определимость и вычислимость» является новым по
отбору изучаемого материала. Он включает как классические результаты
теории вычислимости на допустимых множествах, так и результаты
современных
исследований
по
обобщенной
вычислимости
над
алгебраическими системами. Большое внимание уделяется взаимосвязям
изучаемых тем с другими направлениями исследований, в частности, с
теорией конструктивных моделей. Курс характеризуется математической
строгостью изложения.
2.2. Тематический план курса.
Наименование разделов
и тем
1. Теория KPU и
допустимые множества
2. Вычислимость на
допустимых множествах
3. Допустимые множества и
бесконечные логики
4. Допустимые множества
и гиперарифметическая
иерархия
5. HF-вычислимость
6. Относительная
конструктивизируемость
алгебраических систем
Итого по курсу:
Количество часов
Лаборато Самостоя Всего
Лекции Семинары рные
тельная часов
работы работа
6
0
0
0
6
10
0
0
0
10
6
0
0
0
6
12
0
0
6
18
16
18
0
0
0
0
6
8
22
26
68
0
0
20
88
2.3. Содержание отдельных разделов и тем.
Раздел 1 Теория KPU и допустимые множества.
Дельта_0- формулы и Сигма-формулы. Аксиомы теории KPU и некоторые
следствия из них.Модели теории KPU. Допустимые ординалы и допустимые
множества (в смысле Барвайса и в смысле Ершова). Допустимые множества
вида HF(M). Классическая вычислимость как Сигма-определимость в HF(0).
Раздел 2 Вычислимость на допустимых множествах.
Рекурсивные определения. Теорема о Сигма-рекурсии. Индуктивные
определения. Теорема Ганди. Существование универсального Сигмапредиката, некоторые следствия.
Раздел 3 Допустимые множества и бесконечные логики.
Бесконечные языки и их интерпретация в допустимых множествах.
Допустимые фрагменты языков, их свойства. Теорема Барвайса о
компактности.
Раздел 4 Допустимые множества и гиперарифметическая иерархия.
Конструируемые множества. Рекурсивно насыщенные системы. Допустимые
множества вида HYP(M), связь с гиперарифметикой при M=N.
Конструктивные ординалы и гиперарифметические множества натуральных
чисел, аналитическая иерархия. Теорема Крайзеля о компактности.
Раздел 5 HF-вычислимость.
Связь между HF-вычислимостью, вычислимостью по Московакису и BSSвычислимостью. Свойства вычислимости на допустимых множествах:
принцип униформизации, существование универсальной Сигма-функции,
принцип редукции. Пример допустимого множества без универсальной Сигмафункции. Квазирезольвентные допустимые множества, их свойства. HFнадстройки над моделями регулярных теорий. Теорема об униформизации в
HF-надстройках над моделями регулярных теорий, следствие для HF(R).
Раздел 6 Относительная конструктивизируемость алгебраических систем.
Сигма-определимость алгебраических систем в допустимых множествах.
Полурешетки Сигма-степеней. Теорема Лакомба-Московакиса. Естественные
вложения полурешеток тьюринговых степеней и степеней перечислимости в
полурешетки Сигма-степеней. Сигма-определимость несчетных систем в
HF(L), теорема Ершова. Приложение для поля C комплексных чисел. Сигмаопределимость несчетных моделей c-простых теорий. Полурешетки степеней
представимости счетных систем, связь с полурешетками Сигма-степеней.
2.4. Образцы вопросов для подготовки к экзамену.
Вопросы для подготовки к экзамену, по существу, совпадают с пунктами
программы курса «Определимость и вычислимость». Ниже приводятся
образец экзаменационного билета, содержащий два теоретических вопроса:
1. Аксиомы теории KPU. Принцип Сигма-ограниченности.
2. Сигма-определимость несчетных систем в HF(L): теорема Ершова.
2.5. Список основной и дополнительной литературы.
1. ЮЛ. Ершов, Определимость и вычислимость, Новосибирск, Научная книга,
1996.
2. J. Barwise, Admissible Sets and Structures, Springer, 1975.
3. C.J. Ash, J.F. Knight, Computable Structures and the Hyperarithmetical
Hierarchy, Elsevier, 2000.