Андрей Тоом

Андрей Тоом
Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы [1]
Перевод с английского Е.А.Муравьевой и А. Тоома.
Так же, как Жерофски (1996), Томас (1997) и Бут (1998), печатавшиеся сравнительно
недавно в этом журнале, я очень озабочен положением с текстовыми задачами и хотел
бы кое-что сказать об этом. На школьном уровне многие нетекстовые задачи — лишь
технические упражнения, необходимые, но не увлекающие. Многие интересные и
нестандартные задачи существуют в форме текстовых задач. Это не значит, что все
текстовые задачи сложны, но все они требуют некоторого понимания естественного языка
и способности переводить один в другой разные виды представления: слова, символы,
образы. Это сходно с основной мыслью Томаса, хотя я не вполне согласен с его
подходом к решению уравнений.
В России, где я вырос, текстовые задачи десятилетиями использовались на всех уровнях
сложности, с различными целями — от распространения математической грамотности до
«озадачивания» наиболее одаренных детей. Если вы откроете любую русскую книжку для
младшей, средней или высшей школы, любой сборник занимательных или олимпиадных
задач, вы обнаружите огромное количество текстовых задач. Например, знаменитая книга
Перельмана «Занимательная алгебра» содержит много превосходных текстовых задач, в
том числе такую:
«Артели косарей надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину
дня артель косила больший луг. После этого артель разделилась пополам: первая
половина осталась на большем лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же
половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на
другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»
(Перельман, 1976, с. 39).
Этой задаче больше ста лет. Известно, что Лев Толстой, весьма интересовавшийся
вопросами народного просвещения, очень любил ее, потому что её можно решить без
применения алгебры, используя следующий чертёж [2]:
Здесь я хочу обратиться к следующему важному вопросу, заданному Жерофски: «Все это
подводит меня к вопросу, на который у меня еще нет ответа, вопросу о целях текстовых
задач как жанра» (с. 41). Хотя русские учителя издавна используют текстовые задачи
весьма продуктивно, они, насколько мне известно, никогда не пытались рационально
объяснить, почему же текстовые задачи так полезны, потому что никому из них не
приходило в голову в этом усомниться. Они руководствовались и продолжают
руководствоваться традицией, опытом, интуицией и эстетическими критериями — и все
это не стоит сбрасывать со счетов. Однако я согласен с Жерофски, что в настоящей
ситуации надо обсудить, каковы же цели текстовых задач. Она замечает:
«Утверждение, что текстовые задачи дают практику в решении проблем реальной
жизни, малоубедительно, поскольку истории эти гипотетичны, практической
ценности не представляют и, в отличие от реальных ситуаций, дополнительную
информацию привлечь нельзя. Тем не менее, они имеют долгую и непрерывную
традицию в математическом образовании, и эта традиция значима» (с. 41).
Я убежден, что на ее вопрос нет единственного ответа: как многие другие культурные
явления (басни, например), текстовые задачи имеют несколько целей. Здесь я
сосредоточусь на двух и сравню их между собой: текстовые задачи как прикладные и как
умственные манипулятивы.
Текстовые задачи как прикладные
В этом случае задача дает приложение математики к некой ситуации, возможной в
повседневной жизни. Вот пример: «В магазине продаются апельсины по восемь штук за
доллар. Покупатель хочет взять семь. Сколько он должен заплатить?» Эта задача
основана на реальном случае из моей жизни. Я покупал продукты в магазине, где восемь
апельсинов продавались за один доллар. Я положил (как мне казалось) восемь
апельсинов в пакет и пошел к кассирше, которая сосчитала апельсины и сказала, что их
только семь. Я попросил ее назвать их стоимость. Она схватилась за калькулятор, но не
знала, что с ним делать в данном случае. Она позвала своего начальника с
калькулятором побольше, но и он не мог решить, что с ним делать. Тогда он пересчитал
апельсины и обнаружил, что их восемь. Тем дело и кончилось.
Я знаю, что истории о математической безграмотности молодежи рассказывают во
множестве. Вопрос в том, что из этого следует? Некоторые лидеры американского
образования предлагают увеличить внимание к «задачам из реального мира», возможно,
напоминающим вышеприведённую. Я утверждаю, что «задачи из реального мира» не
должны составлять ни единственную, ни даже основную часть задач, используемых в
школе, и намерен подкрепить это мнение двумя аргументами.
Один состоит в том, что изучение математики должно быть систематическим: если
какая-то тема вообще изучается, то в результате ученики должны научиться решать все
задачи по этой теме до определенного уровня сложности, большинство из которых,
конечно же, не встречаются в повседневной жизни. Другой аргумент, по моему мнению,
еще более важный, будет приведен ниже.
Текстовые задачи как умственные манипулятивы
Эти задачи имеют дело с воображаемыми ситуациями, которым необязательно
встречаться в повседневной жизни. Числовые данные необязательно брать из
действительности. То, что требуется узнать, необязательно неизвестно и не обязательно
нужно знать в действительности, а то, что дано, не всегда доступно. В этом случае
внутренняя последовательность, интересная математическая структура важнее, чем
сходство с повседневной жизнью или практическая польза. Цель этих задач — играючи,
без помпы ввести детей в подлинную математику, например в теорию чисел, теорию
графов или комбинаторику, избегая при этом громоздкой профессиональной
терминологии.
Конечно, эти две функции текстовых задач не исключают одна другой. Многие задачи,
фактически используемые в школах и включённые в многочисленные сборники, являются
смесью этих типов. Однако, многие из лучших и наиболее педагогически полезных задач
явно принадлежат ко второму типу: они не из «реального мира». Их цель — передать
математическую идею, то есть использовать подходящие конкретные объекты для
представления или овеществления абстрактных математических понятий. Подобно
животным в баснях, «реальные объекты» в этих задачах не следует понимать буквально.
Это аллегории, умственные манипулятивы или овеществления, прокладывающие
детям дорогу к абстракциям.
Например, монеты, орехи и пуговицы легко отделить друг от друга и сосчитать, и поэтому
они удобны для представления отношений между целыми положительными числами.
Самым младшим детям нужны реальные предметы, которые можно потрогать, более
старшие могут их себе представить — это уже следующий шаг в интеллектуальном
развитии. Вот почему задачи с монетами так хороши для начальной школы. Насосы и
другие механические устройства легко вообразить работающими в постоянном режиме.
Задачи на производительность и скорость должны быть (и в России являются) обычными
уже в средних классах школы. Поезда, автомобили и корабли так широко представлены в
задачниках не потому, что все ученики собираются заниматься транспортным бизнесом,
но по иной, гораздо более здравой причине: эти объекты легко представить себе
движущимися с постоянной скоростью, и поэтому они подходят для овеществления
представления о равномерном движении, которое, в свою очередь, может служить
овеществлением линейной функции. Таким образом, мы можем вести детей все дальше и
дальше по пути развеществления, то есть — развивать абстрактное мышление.
Следует помнить, что формальное и абстрактное мышление, необходимое для успеха в
современном цивилизованном технологическом обществе, не является автоматическим
следствием физиологического созревания или социальной адаптации. Дети не научаются
мыслить формально или абстрактно так же естественно, как они научаются бегать,
прыгать или говорить.
«Умение решать «школьные» задачи не есть, конечно, самоцель. Самое главное, чем
ученики овладевают в школе, это научная информация и научное мышление.
Невозможно было бы создавать, проверять и использовать научную информацию, если
бы каждое отдельное рассуждение нужно было бы сравнивать с реальностью или с
доступной информацией о реальности.» (Тульвисте, 1991, с. 122).
Наблюдения такого рода (и сходные, приведенные Бутом (1998) в его статье в данном
журнале) заставляют меня думать, что обучение решению задач из «нереального мира»,
в которых данные следует принимать на веру как абстрактные гипотезы, а не как
утверждения о реальности, и делать логические выводы из этих данных, очень важно для
формирования способности к формальному рассуждению.
Необходимость прилагать сознательные и организованные усилия к развитию у детей
абстрактного мышления особенно очевидна в такой стране, как Россия, где исторически
многие люди были необразованными. Например, в начале двадцатого столетия
большинство россиян были неграмотными, и я полагаю, что теоретические воззрения
Выготского следует рассматривать в связи с мощным стремлением к народному
образованию, игравшим большую роль в России в конце девятнадцатого и начале
двадцатого веков. Этот просветительский пафос можно ощутить и в работах Перельмана,
опубликовавшего несколько замечательных популяризаций математики, включая
«Занимательную алгебру».
Когда я приехал в США в 1990 году и начал преподавать, я обнаружил, что многие
университетские студенты очень плохо справляются с решением текстовых задач. Когда
я стал читать американскую образовательную литературу, я обнаружил странный (для
меня) подход к текстовым задачам, совершенно отличный от того, к какому я привык в
России. Некоторые американские педагоги считают, что задачи, решаемые на уроках
математики, должны быть как можно ближе к повседневной жизни. Я полагаю, что этот
подход берет свое начало от известного американского психолога и преподавателя
Эдварда Торндайка, в чьей оказавшей большое влияние на американскую педагогику
книге «Психология алгебры» имеется глава, названная «Нереальные и бесполезные
задачи», начинающаяся так: «В предыдущей главе было показано, что около половины
вербальных задач, дающихся в стандартных курсах, не подлинные, поскольку в
реальной жизни их ответ не был бы нужен. Очевидно, что не стоит, разве что для
объема, таким образом соединять алгебраическую работу с никчемностью»
(Торндайк, 1926, с. 258). Хотя Торндайк старался придерживаться строго научного
подхода, такие слова, как «подлинный» с одной стороны и «нереальный и бесполезный»
с другой — имеют сильный оценочный оттенок, подобно словам, употребляемым (и
злоупотребляемым) в политической пропаганде. Давайте применим подход Торндайка к
задаче Льва Толстого, приведенной в начале. Разве могут несколько человек, косящих
луг, не знать, сколько их там? Конечно, нет. Таким образом, по критерию Торндайка, эта
задача нереальна и бесполезна и, если дать ее детям, вызовет ощущение никчемности.
Однако, уверяю вас, это не так.
Существует важное сходство между детской игрой и математикой: в обоих случаях
исключительно важно творческое воображение. Идея не нова. Например, Мартин
Гарднер (1959) писал: «Возможно, даже за чистой математикой скрывается
потребность в игре». Однако, многие, похоже, следуют больше Торндайку, чем
Гарднеру. Например, в статье Усыскина, перепечатанной в выпуске журнала «Учитель
математики», посвящённом 75-й годовщине Национального Совета Учителей Математики
США, говорится: «Алгебра имеет так много подлинных приложений, что фальшивые
традиционные текстовые задачи больше не нужны» (1995, с. 159). Объяснение этого
заявления, как мне кажется, в том, что существует и действует странная, но широко
распространенная теория, которую я бы назвал теорией не-переноса. Согласно этой
теории, дети не могут переносить умения и знания из класса в жизнь за пределами
школы и, поскольку целью образования является просто лучшее приспособление к этой
самой жизни, занятия должны быть заполнены задачами, которые люди решают в
повседневной жизни. К тому же, детей никак не может интересовать то, что не связано с
повседневностью.
Вот всего один пример. Такая задача может использоваться чуть ли не повсюду на
земном шаре без всяких ограничений: «Салли на пять лет старше своего брата Билла.
Через четыре года она будет в два раза старше, чем тогда будет Билл. Сколько лет
Салли сейчас?» Однако, в США эта задача объявлена непригодной по следующей
причине: «Прежде всего, кто бы мог задать подобный вопрос? Кому это может
понадобиться? Если Билл и Салли сами этого не знают, это какая-то тупая семья»
(Смит, 1994, с. 85).
Как пример противоположного, гораздо более продуктивного подхода, позвольте мне
снова процитировать Перельмана. Вторая часть его книги, называемая «Язык алгебры»,
состоит из 25 разделов, каждый из которых посвящен определенной обучающей задаче.
Один из них, «Уравнение думает за нас», начинается так: «Если вы сомневаетесь в том,
что уравнение бывает иной раз предусмотрительнее нас самих, решите следующую
задачу: «Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в десять раз
старше сына?» Уравнение составлено и решено, но результат отрицательный: –2. Что
это значит? Перельман объясняет: «Когда мы составляли уравнение, мы не подумали о
том, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз превосходящим
возраст сына — такое соотношение могло быть только в прошлом. Уравнение
оказалось вдумчивее нас и напомнило о сделанном упущении». Я считаю, что этот
комментарий по-настоящему поучителен: сказку стоит рассказать ради морали, и для
меня это весомая причина для такого обсуждения.
Вообразите, что в некоторой стране всем будущим учителям литературы в процессе их
профессиональной подготовки вбивается в голову, что все сказки, басни и
фантастические рассказы бесполезны. Когда им рассказывают басню, где животные
разговаривают друг с другом, они не могут ее воспринять так просто и радостно, как это
делают дети, но истощают свое воображение, пытаясь представить, как такое могло
случиться в реальной жизни: быть может, животных специально учили говорить? Или им
сделали какую-то операцию? Или это переодетые люди? И так далее.
Я, конечно, не имею в виду, что все дети должны интересоваться или интересуются
неуклюжими или неестественными сюжетами. Я не призываю использовать случайные
или хаотичные задачи. Напротив, я считаю, что задачи должны быть математическими
проблемами, представленными в доступной для детей форме, и их качество зависит в
первую очередь от качества их внутренней математической структуры, а также от их
изящества и доступности. Это значит, что они не должны быть перегружены незначащими
или случайными деталями.
Хорошая задача должна быть так же эстетически притягательна, как предмет искусства.
Возьмем басню Эзопа «Ворона и лисица». С одной стороны, она пользуется образами,
известными каждому ребенку, с другой — в ней нет незначащих деталей. Однако, с
упомянутой выше странной точки зрения, эта басня может быть полезна только тем, у
кого есть шанс в некоем уже предусмотренном будущем взгромоздиться на ветку с куском
сыра во рту. [3]
Мы имеем здесь дело с одним из главнейших законов культуры: человеческая культура
никогда не отражает реальность один к одному. Она сгущает, упрощает, идеализирует.
Географические карты не могут и не должны быть равны тому ландшафту, который они
представляют. Создания человеческого ума подчинены суровому закону экономии:
избытка следует избегать, каждая деталь должна служить своей цели.
Хорошая задача обладает всеми теми же свойствами, которые генерал Чак Йагер
(первый, кто летал быстрее звука) отметил у хорошего самолетного двигателя: «простой,
частей немного, легко управлять, очень сильный» (цитировано у Бентли, 1989, с. 6).
Многие из так называемых задач «реального мира» запутаны и небрежны. Реальный мир
полон хлама, излишеств, нелепости и скуки, и всего этого следует избегать на уроках
математики.
(Бентли, 1989) Bentley, J. Programming Pearls. Addison-Wesley, 1989.
(Бут, 1998) Boote, D. Physics word problems as exemplars for enculturation. For the Learning
of Mathematics, 18 (2), 28-33.
(Гарднер, 1959) Gardner, M. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles &
Diversions. Simon and Schuster, New York, 1959.
(Жерофски, 1996) Gerofsky, S. A Linguistic and Narrative View of Word Problems in
Mathematical Education. For the Learning of Mathematics, 16, 2 (June 1996), pp. 36-45.
(Перельман, 1976) Перельман, Я. И. Занимательная алгебра. М.: Наука, 1976.
(Смит, 1994) Smith, M. Humble Pi. Prometeus Books, 1994.
(Томас, Жерофски, 1997) Thomas, R., Gerofsky, S. An Exchange about Word Problems. For
the Learning of Mathematics, 17, 2 (June 1997), pp. 21-23.
(Торндайк, 1926) Thorndike, E. L. a.o. The psychology of algebra. The Macmillan Company,
New York, 1926.
(Тульвисте, 1991) Tulviste, P. The Cultural-Historical Development of Verbal Thinking.
Translated by Marie Jaroszewska Hal. Nova Science Publishers, 1991.
(Усыскин, 1995) Usiskin, Z. What Should Not Be in the Algebra and Geometry Curricula of
Average College-Bound Students? Mathematics Teacher, v. 88, n. 2, February 1995, pp. 156164.
Комментарий автора для русского издания. Оригинал статьи опубликован как Andre
Toom. Word problems: Applications or Mental Manipulatives. For the Learning of Mathematics,
v. 19, n. 1 (March 1999), pp. 36-38.
Комментарии Шевкина А.В.
[1] Приводим толкование термина, принадлежащее автору статьи. Манипулятив — это
любой физический предмет, используемый при обучении математике для овеществления
каких-либо абстракций. Всем известный пример — счетные палочки. В настоящее время
в Америке очень модно всячески преувеличивать значение манипулятивов. Конечно, они
необходимы маленьким детям, но по мере их взросления становятся нужны все меньше.
Вместо буквальных, ощутимых манипулятивов становятся нужны воображаемые
манипулятивы, ради которых, собственно, и написана эта статья. Когда в старших
классах ученики рассуждают о том, сколькими способами комиссия из десяти человек
может выбрать председателя, секретаря и казначея, то это не приложение
комбинаторики к организационной работе; это комбинаторика, а комиссия и т.д. —
умственный манипулятив.
Потребность в умственных манипулятивах никогда не кончается она присуща и
профессиональным математикам на самом высоком уровне. Вот пример — рассказ
Роланда Львовича Добрушина в интервью, данном им Евгению Борисовичу Дынкину: «Ну
вот, я помню задачу, на которой я понял, что такое теория вероятности. Это была задача,
которая была сформулирована для нас, слово «вероятность» не знавших. Это задача
такая: есть N резервуаров, из каждого из них какая-то доля воды переливается в другой
резервуар, и надо доказать, что количество воды в данном резервуаре стремится к
пределу. Честно говоря, я думаю, что для меня до сих пор так вероятность и осталась
водой, жидкостью, которая переливается из одного сосуда в другой. Так я себе и мыслю
случайный процесс. (Роланд Львович Добрушин. К 70-летию со дня рождения. Москва,
1999, с. 9.)
[2] «Визуальное решение» может быть таким. Один прямоугольник, изображает у нас
больший луг и второй прямоугольник, площадь которого в 2 раза меньше площади
первого, — меньший луг. Вся бригада за полдня скосила в 2 раза больше, чем половина
2
большего луга скосила вся бригада за полдня,
3
4
1
следовательно, за день она скосила
большого луга (весь большой луг и
меньшего),
3
3
1 1 1
4
1
а один косец за день скосил   большего луга.
больше
в 8 раз,
2 3 6
3
6
бригады за то же время, т.е.
следовательно, в артели 8 косцов.
[3] Здесь можно добавить еще один комментарий. Он относится к цели использования
текстовых задач. У нас в России тоже были и есть специалисты, видящие цели
использования задач достаточно узко: только в применении результатов на практике.
Здесь очень уместен вопрос: так ли глупы были китайцы, дававшие во II в. задачу такого
содержания.
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного
моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели
одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Вдумаемся! Средства связи того времени не позволяли ни осуществить одновременный
старт, ни проконтролировать момент встречи! Так почему китайцы давали решать во II в.
своим детям такие задачи? Может быть, их интересовало не непосредственное
приложение полученного результата (да еще дробного!), а нечто иное — результат,
оставляемый процессом мышления в голове ребенка? Не случайно же именно китайцы
изобрели порох и бумагу. Впрочем, пример с басней Эзопа кажется мне еще
убедительней!
А.В. Шевкин
manip.doc