Министерство науки и образования РФ Новосибирский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Министерство науки и образования РФ
Новосибирский государственный технический университет
Кафедра прикладной математики
Лабораторная работа №2
Тема: “Анализ модели международной торговли ”
Факультет: ПМИ
Группа: ПМ-72
Вариант: 3
Студенты: Голубева В.В.
Хван Г.О.
Преподаватели:
Еланцева И.Л.
Новосибирск, 2011
Цель работы
Ознакомиться с моделью международной торговли, алгоритмами приведения модели к каноническому виду и методами её анализа.
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
Задание
3. Матрица обмена А:
X1 X2 X3 X4 X5
0.2
0.1
0.8
0.1
0.4
0.8 0.3
0.4
0.6 0.2 0.6
X6 X7
0.1
0.5
0.3
0.2
0.4
0.2 0.3
0.5
Приведение к каноническому виду проводить по алгоритму 1.
Ход работы
1) Реализовать алгоритм приведения матрицы обмена к каноническому виду. Для
заданной матрицы обмена выделить неприводимые подмножества.
Алгоритм:
1. В качестве рассматриваемого множества берём множество всех индексов.
2. Для первого индекса j из рассматриваемого множества находим все индексы i,
для которых выполняется условие αij ≠0. Из j и найденных индексов i формируем
подмножество S.
X1 = {4, 5}
3. Берём в качестве j последовательно все элементы подмножества S и повторяем
шаг 2 до тех пор, пока оно не перестанет пополняться. Выделенное в результате
подмножество является независимым.
X4 = {5}
X5 = {1, 4} => {1, 4, 5} - независимое неприводимое
4. Для всех элементов независимого подмножества повторяем шаги 2 и 3 до тех пор,
пока в нём не будут выделены все неприводимые подмножества.
5. Из рассматриваемого множества индексов вычёркиваем те, которые вошли в
выделенные неприводимые подмножества.
S = {2, 3, 6, 7}
6. Возвращаемся на шаг 2 до тех пор, пока удаётся выделять неприводимые
подмножества или пока рассматриваемое подмножество индексов не пусто.
X2 = {7}
X7 = {2}
S = {2, 7} – независимое неприводимое
Вычеркнули эти индексы:
S = {3, 6} (3)
7. Перенумеровываем индексы
так,
чтобы номера из
i-го неприводимого
подмножества занимали места с (li-1+ 1) по li, где li = ∑ij =1mj , mj - число элементов в j-ом
неприводимом подмножестве. Индексы, не вошедшие ни в одно неприводимое
подмножество, соответствуют подмножеству B из (3).
B = {3, 6}
X1
X4
X5
X2
X7
X3
X6
X1 X4
0.2
0.4 0.8
0.4 0.2
X5 X2 X7 X3
0.1
0.3
0.6
0.6
0.8 0.5
0.2 0.5 0.3
0.1
X6
0.1
0.2
0.3
0.4
X2 X7 X1 X4 X5 X3 X6
X2 0.8 0.5
X7 0.2 0.5
0.3
X1
0.2
0.1
0.1
X4
0.4 0.8 0.3
0.2
X5
0.4 0.2 0.6 0.6
X3
0.1 0.3
X6
0.4
Матрица обмена приведена к каноническому виду.
2) Предположить, что в начале процесса обмена все участники экономики имеют
равное количество денег. Для каждого из неприводимых подмножеств найти ус
тойчивое распределение дохода с использованием Z–преобразования.
a) Для первого неприводимого подмножества:
{1, 4, 5}
Матрица обмена:
0.2 0 0.1
A  0.4 0.8 0.3
0.4 0.2 0.6
С помощью Z-преобразования найдем Ak .
z  1 
 1  1z 0

5
10 



2
4

3
z 1 z
z 
I  Az  
 5
5
10

 2
1
3 
z
z
1

z

5
5 
 5
2
2

 50  70  z  21  z 
z
( 5  4  z)
z
2
3
2
3
 50  80  z  33  z  3  z 
50  80  z  33  z  3  z 
50  80  z  33  z2  3  z3

25  20  z  2  z2
1
( 10  3  z)
( 15  z)
( I  Az)   2  z 
2 
z

2
3
2
3
50  80  z  33  z  3  z 
50  80  z  33  z  3  z 
50  80  z  33  z2  3  z3

( 3  z  5)
z
( 5  4  z)
 4 z
2  ( 5  z) 
2  ( 5  z) 

2
3
2
3
50  80  z  33  z  3  z 
50  80  z  33  z  3  z 
50  80  z  33  z2  3  z3

Каждый элемент этой матрицы является функцией от z и может быть представлен в
виде суммы двух слагаемых со знаменателями вида
1
.
1 z









2
2
 4.3478 10-2
.2149
6.7415 4.3478 10
.2316
.5214
4.3478 10
.3784
1.7552 






 z  1.
z  2.1132 z  7.8867
z  1.
z  2.1132 z  7.8867
z  1.
z  2.1132 z  7.8867 
 .6086

.8023
1.8063
.6086
.8643
.1397
.6086
1.4123
.4703








z  1. z  2.1132 z  7.8867
z  1. z  2.1132 z  7.8867
 z  1. z  2.1132 z  7.8867

 .3478

.5873
4.935
.3478
.6327
.3817
.3478
1.0339
1.2849




 z  1.  z  2.1132  z  7.8867

z  1. z  2.1132 z  7.8867
z  1. z  2.1132 z  7.8867
 4.3478 102
1 
1
0.6086
   z  
1 z 
 0.3478

4.3478 10 2
0.6086
0.3478
4.3478 10 2 
 0.2149 0.2316 0.3784 
1

 0.8023 0.8643 1.4123 
0.6086  

1
2.1132  (1  2.1132 z ) 
 0.5873 0.6327 1.0339 
0.3478 
 6.7415 0.5214 1.7552 
1
 1.8063 0.1397 0.4703 


7.8867  (1  17.8867 z ) 
 4.935 0.3817 1.2849 
Воспользовавшись свойствами Z-преобразования, находим:
 4.3478 102 4.3478 102 4.3478 102 
0.2316 0.3784 
k  0.2149

  1  

k
A   0.6086
0.6086
0.6086   
  0.8023 0.8643 1.4123 
2.1132


 0.3478
 0.5873 0.6327 1.0339 
0.3478
0.3478 

0.5214 1.7552
k  6.7415
 1  


 1.8063 0.1397 0.4703 
 7.8867  
 4.935 0.3817 1.2849 
После k туров обмена вектор дохода имеет вид: yk  Ak y0 ,
где
y0  1 ,...,n  – вектор дохода в начале процесса обмена. Предполагаем, что
1  2  ...  n , то есть все участники экономики имеют равное количество денег, тогда
y0=(1/3, 1/3, 1/3).
Устойчивое распределение дохода:
 4.3478 102

y  lim Ak y0   0.6086
k 
 0.3478

4.3478 10 2
0.6086
0.3478
1 
4.3478 10 2   3   0.043

0.6086   1   0.609 
 3
0.3478   1  0.348 
 3 
b) Для второго неприводимого подмножества
{2, 7}
0.8 0.5

0.2 0.5
С помощью Z-преобразования найдем Ak .
1 
 4
1  5 z  2 z 
I  zA  

  1 z 1 1 z
2 
 5
Матрица обмена имеет вид: A  
( 2  z)
z
 5 
5

10  13  z  3  z2 10  13  z  3  z2
1
( I  Az)  

z
( 5  4  z)
2 
 2 
2
10  13  z  3  z2
10  13  z  3  z







Каждый элемент этой матрицы является функцией от z и может быть представлен в


виде суммы двух слагаемых со знаменателями z и  1 
1 
z:
2 
5
5
2
 5

7
7 
7 
 7 
5 
 2
5
1  z 1  3 z 1  z 1  3 z 
1  7
1
1
10
10 
7
 7


   z   
5
2  1  3 z  2
2
2
 2
 1 z 2
10  7
7
7
7 
7 
 7
 7 
1  z 1  3 z 1  z 1  3 z 
10
10 

Воспользовавшись свойствами Z-преобразования, находим:
5 
k  2
5
5 
7
7
7  3   7
Ak  
 
2
5 
2   10    2
7
7 
 7
 7
После k туров обмена вектор дохода имеет вид: yk  Ak y0 ,
где
5 
7
5 
7 
y0  1 ,...,n  – вектор дохода в начале процесса обмена. Предполагаем, что
1  2  ...  n , то есть все участники экономики имеют равное количество денег, тогда
y0=(0.5, 0.5).
Устойчивое распределение дохода:
5
7
k
y  lim A y0  
k 
2
 7
1
5    5 
7 2
7
  
2  1  2 
7    7
2
3) Найти устойчивое распределение дохода для всей модели.
Найдем устойчивое распределение дохода с учетом того, что в процессе обмена
участвуют подмножество стран В. Тогда предельная доля дохода, отчисляемая из В в i-ую
1
страну, описывается формулой i  ai 1  D  y0 , i  1,..., r
Устойчивое распределение дохода вычислим по формуле:
 S1 0 0
 S1 0 0 
 a1 
1




k
y  lim A y0   0 S2 0 y0   0 S2 0  ( y0   ), где    ...   I  D  y0  A y0 ,
k 
 0 0 0
 0 0 0 
 ar 
0.1
D
0
0.3
,
0.4
 S1
y  lim A y0   0
k 
 0
k
0.5
0
0
0.8
0.2
0.5
0
0

0
0
0.2
0

S  0
0
0.4
0.8
0
0
0.4
0.2

0
0
0
0
0
0
0
0

0 0
S2 0  ( y0  A y0 )  S  y0 ,
0 0
0 
0 
0.1 

0.3 
0.6 

0 
0 
0.8
0.2

0

S  0
0

0
0

0.167 0.083 
0.222 
 17 

0.136 


1
0.5
0
0
0
0.167 0.083 


 7
0.061 
 17 
0
0.2
0
0.1
0.067 0.067 



 
0
0.4
0.8
0.3
0.2
0.433  , y0   1 7  , тогда y  0.305 
0.276 
 17 
0
0.4
0.2
0.6
0.4
0.333 



1 
0
0
0
0
0
0

0

 7





1
0
0
0
0
0
0

0

 7
y - вектор устойчивого распределения доходов при равномерном начальном доходе стран
– участников торговли. Как видим, доход стран из множества В распределился между
странами из неприводимых подмножеств.
0.5
0
0
0
4) Провести исследование модели при различном начальном распределении дохода.
По результатам исследования сделать выводы.
Yo := [1.000000, 1.000000, 1.000000, 1.000000, 1.000000, 1.000000, 1.000000]
Y := [1.550000, 0.950000, 0.433333, 2.133333, 1.933333, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 1.000000]
Y := [0.083333, 0.083333, 0.066667, 0.433333, 0.333333, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 1.000000, 0.000000]
Y := [0.166667, 0.166667, 0.066667, 0.200000, 0.400000, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 1.000000, 0.000000, 0.000000]
Y := [0.000000, 0.000000, 0.100000, 0.300000, 0.600000, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [0.000000, 0.000000, 0.000000, 1.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000]
Y := [0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.800000, 0.200000, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [0.000000, 0.000000, 1.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000]
Y := [0.000000, 0.000000, 0.200000, 0.400000, 0.400000, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [0.000000, 1.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000]
Y := [0.500000, 0.500000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [1.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000]
Y := [0.800000, 0.200000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [1.000000, 1.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000]
Y := [1.300000, 0.700000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [0.000000, 0.000000, 1.000000, 1.000000, 1.000000, 0.000000, 0.000000]
Y := [0.000000, 0.000000, 0.300000, 1.500000, 1.200000, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 1.000000, 1.000000]
Y := [0.250000, 0.250000, 0.133333, 0.633333, 0.733333, 0.000000, 0.000000]
-------Yo := [1.000000, 1.000000, 1.000000, 1.000000, 1.000000, 0.000000, 0.000000]
Y := [1.300000, 0.700000, 0.300000, 1.500000, 1.200000, 0.000000, 0.000000]
--------
Как видим, доход из множества В с течением времени распределяется между странами
неприводимого подмножества.
Доход, изначально принадлежавший странам неприводимого подмножества, так и остается
внутри этого множества.