1-volkovax - Всероссийский фестиваль педагогического

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
(2014/15 учебный год)
Номинация: Проектная и творческая деятельность учащихся
Название работы: «Различные
способы разложения
многочлена на множители»
Автор: Волкова Лилия , 8 класс, руководитель Кудашева Ольга Алексеевна
Место выполнения работы:
ГБОУ СОШ «ОЦ» с. Старая Шентала
муниципального района Шенталинский
Самарской области
Содержание
1. Введение
2. Основная часть
2.1 Основные понятия
2.2 Методы разложения многочленов на множители
2.2.1 Вынесение общего множителя за скобки
2.2.2 Использование формул сокращенного умножения
2.2.3 Способ группировки
2.2.4 Выделение полного квадрата из квадратного трехчлена
2.2.5 Деление многочлена на многочлен
(деление многочлена на двучлен углом)
2.2.6 Метод (Бином Ньютона)
3. Практическая часть
3.1 Практическая значимость разложения многочлена на множители
3.2 Применение различных способов разложения на множители
к решению задач
4. Вывод по исследованию
5. Список литературы
6. Приложение « Банк заданий»
1. Введение
Математика – удивительный мир! Мы никогда не перестанем удивляться,
какие интересные задания может задавать нам эта наука!
В октябре месяце ученики школы принимали участие в школьном туре
олимпиады по математике. Задания были разные, интересные, требующие
рассуждений, выстраивания логической цепочки, внимательности. Среди
заданий было и такое: х4 +х2 =1.
Для его решения необходимо разложить левую часть на множители. Здесь я
и столкнулась с проблемой.
Мы изучали в 7 и 8 классе тему «Разложение многочлена на множители».
Рассматривали основные способы. Но такого задания, которое досталось на
олимпиаде, нам раньше не встречалось. Подумав и скомбинировав
изученные способы разложения многочлена на множители, задание я
выполнила. Появился интерес к таким заданиям.
Актуальность исследования. Для решения многих задач, заданий в
математике разработаны общие правила - алгоритмы. Решение таких задач
особых трудностей не вызывает – надо лишь распознать вид данной задачи и
вспомнить соответствующее правило. Значительно труднее решать задачи,
для которых в математике нет готовых правил. При разложении многочлена
на множители зачастую приходится самостоятельно отыскивать те или иные
приемы, как это случилось на олимпиаде.
В своей работе я рассмотрю различные способы разложения многочлена на
множители, которые лежат за страницами нашего учебника. Работа
называется «Различные способы разложения многочлена на множители»
Эта тема заинтересовала меня тем, что с помощью разложения на
множители можно приводить дроби к общему знаменателю, применять
разложение многочленов на множители при сокращении дробей, при
решении уравнений, рационально вычислять значения числовых выражений,
доказывать неравенства, делить выражения на какое-либо число, сравнивать
числа.
Объект исследования: многочлены.
Предмет исследования: способы разложения многочлена на множители.
Цель работы: исследовать различные способы разложения многочленов на
множители.
Задачи:
- рассмотреть начальные сведения о многочленах;
- рассмотреть традиционные школьные способы разложения;
- рассмотреть способы, которые не изучаются в школе;
- исследовать, насколько разнообразными могут быть задачи на применение
разложения многочлена на множители;
- сделать подборку заданий для применения каждого из рассмотренных
способов.
Гипотеза исследования: Рассмотренные способы разложения многочлена на
множители позволят рационально решать многие алгебраические задания.
Практическая значимость работы.
Настоящая работа будет полезна при обучении в старших классах, при
подготовке к экзаменам, олимпиадам, так как при решении задач на
разложение развивается логическое мышление. Материал работы может
заинтересовать тех, кто увлекается математикой и желает расширить свой
кругозор. Подборка заданий, презентация может использоваться учителем
математики на факультативных занятиях.
Новизна исследования: исследованием способов разложения многочлена
на множители, которые не изучаются в 8 классе, ранее не занимались.
Методы исследования:
- поисковый
- аналитический
-сравнение и обобщение
2. Основная часть
2.1 Основные понятия
Многочлен – алгебраическое выражение, представляющее сумму или
разность нескольких одночленов. По латыни многочлен называют полином.
Например, Зх2 у - 5xy2 + х - у – многочлен. (а - с)4 и
р2 +2
𝑑 2 −3
многочленами не
являются.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами
многочлена или мономами.
Если многочлен содержит два слагаемых - одночлена, то его называют
двучленом или биномом (12а3 - 64), три слагаемых – трехчленом или
триномом (12а3 - 64а2 + 7а) и т.д., одночлен или моном - многочлен,
состоящий из одного члена (3х2, 5bd).
Среди членов многочлена могут быть подобные. Они имеют одну и ту же
буквенную часть, отличающиеся друг от друга лишь коэффициентами.
В многочлене 5а2b + 2 + 4ab2 – 3a2b - 7
члены 5а2b и – 3a2b являются
подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть.
Подобными слагаемыми являются и члены 2 и -7, не имеющие буквенной
части. Подобные слагаемые в многочлене подобными членами многочлена, а
приведение подобных слагаемых в многочлене – приведением подобных
членов многочлена.
Приведём подобные члены в многочлене
5а2b + 2 + 4ab2 – 3a2b – 7.
Имеем 5а2b + 2 + 4ab2 – 3a2b - 7 = (5а2b – 3a2b) + 4ab2 + (2 -7)= 2a2b +4ab2-5.
Каждый член многочлена 2a2b +4ab2-5 является одночленом стандартного
вида. И этот многочлен не содержит подобных членов. Такие многочлены
называют многочленами стандартного вида.
Итак, любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого
нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести
подобные члены.
Членами многочлена стандартного вида 8xy + 6x2y3 – 9 служат одночлены
второй, пятой и нулевой степеней. Наибольшую их этих степеней называют
степенью многочлена. Многочлен 8xy + 6x2y3 – 9 является многочленом
пятой степени.
Таким
образом,
наибольшую
из
степенью
многочлена
степеней
входящего
стандартного
в
них
вида
называют
одночлена.
Степенью
произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему
многочлена стандартного вида.
Выясним, какова степень многочлена
3a4 + 8ab – 2a4 – a4 + 5b.
Для этого приведём его к стандартному виду:
3a4 + 8ab – 2a4 – a4 + 5b = 8ab + 5b.
Степень многочлена 8ab + 5b равна 2, поэтому степень многочлена
3a4 + 8ab – 2a4 – a4 + 5b также равна 2.
Многочлен первой степени называют линейным многочленом, многочлен
второй степени - квадратным, а многочлен третьей степени - кубическим
многочленом.
Если степени всех членов многочлена одинаковы, то этот многочлен
называют однородным. Например с4 + 2с3у – 6с2у2 + Зу4 - однородный
многочлен степени 4. Любое число, и даже нуль, является многочленом.
Если имеем многочлен
Рп(х)
относительно одной переменной
х
и он
записан в порядке убывания степеней, то такой многочлен имеет
канонический вид.
2.2 Методы разложения многочленов на множители
Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был
представлен
в виде произведения нескольких
сомножителей. Такое
тождественное преобразование называется разложением многочлена на
множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих
сомножителей.
Разложение многочлена на множители – это представление многочлена в
виде произведения двух или нескольких многочленов
Существует несколько способов разложения многочлена на множители,
которые мы изучаем в школе:
 вынесение множителя за скобку;
 использование формул сокращённого умножения;
 способ группировки.
2.2.1 Вынесение общего множителя за скобки
Это
преобразование
является
непосредственным
следствием
распределительного закона: ac + bc = c(a + b) и сводится к следующему
алгоритму:
1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов.
2. Найти с наименьшим показателем переменные, которые входят в
каждый член многочлена.
3. Общий множитель состоит из произведения наибольшего общего
делителя коэффициентов и общих переменных с наименьшим
показателем.
4. Обычно множитель, выносимый за скобки, выбирают так, чтобы члены
многочлена, оставшегося в скобках, не содержали общего буквенного
множителя, а их коэффициенты не имели общих делителей.
5. Выносим общий множитель за скобки.
6. В скобках остается выражение, полученное при делении каждого члена
многочлена на общий множитель.
Таким образом, суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в
рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.
Пример 1.
Разложим на множители многочлен 28х3 – 35х4.
Решение.
1. Находим у элементов 28х3 и 35х4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7;
для х3 и х4 – х3. Иными словами, наш общий множитель 7х3 .
2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей,
один из которых 7х3:
28х3 – 35х4 = 7х3 ∙ 4 – 7х3 ∙ 5х.
3. Выносим за скобки общий множитель
28х3 – 35х4 = 7х3 ∙ 4 – 7х3 ∙ 5х = 7х3(4 – 5х).
Пример 2.
Разложим на множители многочлен
-15𝑥 2 𝑦 3 − 30𝑥 3 𝑦 2 + 45𝑥 4 𝑦.
В многочлене -15𝑥 2 𝑦 3 − 30𝑥 3 𝑦 2 + 45𝑥 4 𝑦 модули коэффициентов – числа
15, 30 и 45. Их наибольший общий делитель равен 15 . Поэтому в качестве
коэффициента общего множителя можно взять число 15 или -15. Все члены
многочлена содержат переменные x, y. Переменная x входит в них во второй,
в третьей и четвертой степенях, и поэтому за скобки можно вынести 𝑥 2 .
Переменная y содержится в членах многочлена в третьей, второй и первой
степенях, поэтому за скобки можно вынести y . Итак за скобки
целесообразно вынести одночлен 15𝑥 2 𝑦 или -15𝑥 2 𝑦 . Вынесем, например,
за скобки -15𝑥 2 y. Получим:
-15𝑥 2 𝑦 3 − 30𝑥 3 𝑦 2 + 45𝑥 4 𝑦 = -15𝑥 2 𝑦(𝑦 2 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥 2 )
Вынесем за скобки 15𝑥 2 y. Получим:
-15𝑥 2 𝑦 3 − 30𝑥 3 𝑦 2 + 45𝑥 4 𝑦=15𝑥 2 𝑦 (−𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑥 2 ).
Другие примеры разложения многочлена на множители методом вынесения
общего множителя за скобки содержатся в банке заданий.
2.2.2 Использование формул сокращенного умножения
У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а
отрезками прямых. Они говорили не «a2», а « квадрат на отрезке a », не
«ab», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b».
Например, тождество (a+b) 2=a2+2ab+b2 во второй книге «Начал» Евклида
(ІІІ в.до н.р.) формулировались так: «Если прямая линия (имеется в виду
отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на
отрезок вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между
отрезка. Некоторые термины подобного геометрического изложения алгебры
сохранялись до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом,
а третью степень – кубом числа.
Разность квадратов: 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Разность и сумма кубов: 𝑎3 ± 𝑏 3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена
умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение
многочлена можно выполнить короче, воспользовавшись формулами
сокращенного умножения.
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 .
(1)
Тождество ( 1 ) называют формулой квадрата суммы. Эта формула
позволяет проще выполнять возведение в квадрат суммы любых двух
выражений.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс
удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат
второго выражения
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 .
(2)
Тождество ( 2 ) называют формулой квадрата разности. Она позволяет
проще возводить в квадрат разность любых двух выражений:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения
минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат
второго выражения.
Примеры:
а) 64x 2 + 48x + 9 = (8x)2 + 2 ∙ 8x ∙ 3 + 32 = (8x + 3)2 .
б) 100x 2 − 140xy + 49y 2 = (10x)2 − 2 ∙ 10x ∙ 7y + (7y)2 = (10x − 7y)2
в) 9b(b − 1) − (3b + 2)2 = 9b2 − 9b − (3b2 + 2 ∙ 3b ∙ 2 + 22 ) = 9b2 − 9b −
3b2 − 12b + 4 = 6b2 − 21b + 4
Зная формулы квадрата суммы и квадрата разности, нетрудно вывести
формулы куба суммы и куба разности.
Имеем (𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)2 (𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 )(𝑎 + 𝑏) =
𝑎3 + 2𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 .
Следовательно,
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 . (3)
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное
произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное
произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго
выражения.
Аналогично можно получить
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 .
(4)
Тождество (4) называют формулой куба разности
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус
утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс
утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб
второго выражения.
Примеры:
а) 8𝑥 3 + 36𝑥 2 + 54𝑥 + 27 = (2𝑥)3 + 3(2𝑥)2 ∙ 3 + 3 ∙ 2𝑥 ∙ 32 + 33 = (2𝑥 + 3)3
б) 27x 3 − 135x 2 + 225x − 125 = (3x)3 − 3(3x)2 ∙ 5 + 3 ∙ 3x ∙ 52 − 53 =
(3x − 5)2 .
в)(5 + 2y)(y − 3) − (5 − 2y)2 = 5y − 15 + 2y 2 − 6x − 52 − 2 ∙ 5 ∙ 2y + 2y 2 =
5y − 15 + 2y 2 − 6y − 25 + 20y − 4y 2 = 19y − 2y 2 − 40.
В тождестве (а-b)(a+b)=a2 – b2 поменяем местами правую и левую части.
Получим
a2 – b2= (а-b)(a+b).
Это тождество называют формулой разности квадратов. Её применяют для
разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих
выражений и их суммы.
Пример:
a) 49x2 – 16y6 = (7x)2 – (4y3)2 = (7x – 4y3)(7x + 4y3)
b) 9y2 – (1 + 2y)2 = (3y)2 - (1 + 2y)2 = (3y -1 – 2y)(3y + 1 + 2y)= (y -1)(5y +1)
Для разложения на множители суммы кубов используется тождество
a3 + b3 = (a +b)(a2 – ab + b2) (5), которое называют формулой суммы
кубов.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и
неполного квадрата из разности.
Для разложения на множители разности кубов используется тождество
a3 – b3 =(a – b)( a2 + ab + b2) (6), которое называют формулой разности
кубов.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих
выражений и неполного квадрата их суммы.
Пример:
а) 27 х3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)
b) m6 – n3 = (m2)3 – n3 = (m2 – n)(m4 + m2n + n2)
«Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в
выражении одну из формул сокращенного умножения.
Формулы сокращенного
умножения
Пример.
Разложим на множители многочлен х6 – 1.
Решение.
1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов.
Для этого представим х6 как (х3)2, а 1 как 12, т.е. 1. Выражение примет вид:
(х3)2 – 1 = (х3 + 1) ∙ (х3 – 1).
2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и
разности кубов:
(х3 + 1) ∙ (х3 – 1) = (х + 1) ∙ (х2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х2 + х + 1).
Итак,
х6 – 1 = (х3)2 – 1 = (х3 + 1) ∙ (х3 – 1) = (х + 1) ∙ (х2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х2 + х + 1).
2.2.3 Способ группировки
Он основан на том, что переместительный и сочетательный законы
сложения
позволяют
группировать
члены
многочлена
различными
способами.
1.Члены многочлена можно группировать так, чтобы над ними было легко
совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).
2. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих
множителей в каждой группе в скобках остается один и тот же многочлен,
который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за
скобки.
Пример 1
Разложим на множители многочлен
ab-2b+3a-6.
Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий
множитель: ab -2b +3a – 6 = (ab – 2b)+(3a – 6)
В первой группе вынесем за скобки множитель b, а во второй – множитель 3:
(ab – 2b) + (3a – 6) = b(a -2) +3(a – 2)
Каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель a-2. Вынесем
этот общий множитель за скобки:
b(a-2)+3(a-2)=(a-2)(b+3)
Имеем ab-2b+3a-6 =(a-2)(b+3)
Пример 2
ac + bd – bc – ad =(ac – bc) + (bd – ad)=c(a – b) - d(a – b) =(a – b)(c - d)
Пример 3
ab – ac – bx + cx + c – b =(ab – bx – b) + (-ac – cx + x) =b(a – x – 1) – c(a – x –
1)= (a – x – 1)(b – c)
2.2.4 Выделение полного квадрата из квадратного трехчлена.
Выделение полного квадрата - это такое тождественное преобразование,
при котором заданный трехчлен представляется в виде (a±b)2
суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или
буквенного выражения.
При применении этого способа требуется выделить полный квадрат,
который требуется использовать, а затем фигурирующий многочлен
дополнить прибавлением или вычитанием нужных членов до полного
квадрата.
Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен
4х2 – 12х + 5. Выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена:
(2х)2 - 2∙2х∙3 + 32 – 32 + 5 = (2х – 3)2 – 4 =(2х – 3)2 – 22 =
(2х – 3 – 2)(2х – 3 + 2) = (2х – 5)(2х – 1)
Пример 2. Сократить дробь.
𝑥 2 + 2𝑥 − 15 (𝑥 + 5)(𝑥 − 3) (𝑥 + 5)
=
=
(𝑥 − 3)2
(𝑥 − 3)
𝑥 2 − 6𝑥 + 9
Знаменатель дроби 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)2
Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения
полного квадрата из квадратного трехчлена.
𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 𝑥 2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 1 + 1 − 1 − 15 = (𝑥 + 1)2 − 16
= (𝑥 + 1 + 4)(𝑥 + 1 − 4) = (𝑥 + 5)(𝑥 − 3)
2.2.5 Деление многочлена на многочлен
(деление многочлена на двучлен углом)
При изучении материала на тему исследовательской работы, я увидела
другие способы разложения многочлена на множители.
Рассмотрим одну любопытную теорему (без доказательства), которая
позволит нам еще один прием разложения многочлена на множители.
Теорема: Пусть все коэффициенты многочлена 𝑝(𝑥) – целые числа. Если
целое число a является корнем многочлена 𝑝(𝑥), то 𝑎 – делитель
свободного члена многочлена 𝑝(𝑥).
Пример: разложим на множители многочлен
𝑝(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 10𝑥 + 24
Решение: попробуем найти целочисленный корень этого многочлена. Если он
есть, то, по теореме, его следует искать среди делителей свободного члена
заданного многочлена, т.е. среди делителей числа 24. Выпишем эти делители
– «кандидатов в целочисленные корни» :
±1, ±2, ±3, ±4,±6, ±8, ±12, ±24. Будем подставлять выписанные значения
поочередно в выражение для 𝑝(𝑥). Имеем:
𝑝(1)=12 ≠ 0; 𝑝(−1) = 30 ≠ 0; 𝑝(2) = 0.
Итак, 𝑥 = 2 - корень многочлена 𝑝(𝑥), а потому 𝑝(𝑥) можно представить в
виде (𝑥 − 2)𝑞(𝑥). Чтобы найти частное 𝑞(𝑥), можно разделить 𝑝(𝑥) на 𝑥 −
2 «уголком». Я покажу этот прием:
разделим многочлен р(х) на многочлен (х – 2)
х3 – 3х2 – 10х + 24
х–2
х3 – 2х2
х2 – х – 12
- х2 – 10х + 24
- х2 + 2х
- 12х + 24
- 12х + 24
0
Многочлен (х2 – х – 12) = (х + 3)(х-4) способ выделения квадрата двучлена.
Получим х3 – 3х2 – 10х +24 =(х – 2)(х2 – х – 12)=(х – 2)(х + 3)(х – 4)
2.2.6 Метод (Бином Ньютона)
Нам известны формулы квадрата суммы и квадрата разности, куба
суммы и куба разности. Так как разность 𝑎 − 𝑏 можно рассматривать как
сумму 𝑎 + (−𝑏) , то в каждом случае можно говорить о двух формулах, а об
одном квадрате двучлена и кубе двучлена :
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
Нетрудно получить формулы для возведения двучлена в четвертую, пятую
и т. д. степень. Получить их можно последовательно одну за другой, умножая
многочлен, записанный в правой части предшествующей формулы, на 𝑎 + 𝑏.
(𝑎 + 𝑏)4 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 ) = 𝑎4 +
3𝑎3 𝑏 + 3𝑎2 𝑏 2 + 𝑎𝑏 3 + 𝑎3 𝑏 + 3𝑎2 𝑏 2 + 3𝑎𝑏 3 + 𝑏 4 = 𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏 2 +
4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4
(𝑎 + 𝑏)5 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)4 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏 2 + 4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4 )
= 𝑎5 + 4𝑎4 𝑏 + 6𝑎3 𝑏 2 + 4𝑎2 𝑏 3 + 𝑎𝑏 4 + 𝑏𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 2 + 6𝑎2 𝑏 3
+ 4𝑎𝑏 4 + 𝑏 5 = 𝑎5 + 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏 2 + 10𝑎2 𝑏3 + 5𝑎𝑏 4 + 𝑏 5 .
Для того чтобы заметить закономерность в формуле n –й степени двучлен
𝑎 + 𝑏 при различных значениях n, выпишем их, начиная с n=1 и заканчивая
n=5.
(𝑎 + 𝑏)1 = 𝑎 + 𝑏
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏2 + 4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4
(𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏 2 + 10𝑎2 𝑏3 + 5𝑎𝑏 4 + 𝑏 5
------------------------------------------------------------------------------------------Рассматривая эти формулы , можно заметить , что в правой части каждой из
них записан многочлен, содержащий n+1 членов, где n- показатель степени
двучлена.
Первый член многочлена 𝑎𝑛 , т.е. равен произведению 𝑎𝑛 𝑏 0 . Далее при
переходе к каждому последующему члену показатель степени a уменьшается
на 1 , а показатель степени b увеличивается на 1, т.е. сумма показателей
степеней в каждом слагаемом равна n.
Сложнее обстоит дело с коэффициентами . Чтобы выявить
закономерность в их образовании, выпишем по порядку в строку
коэффициенты многочленов при n=2 , а затем при n=3 :
1 2 1
3 3
В первой строке первый и последний коэффициенты равны 1. Нетрудно
заметить, что во второй коэффициент можно получить , сложив записанные
над ним числа 1 и 2 .
По тому же правилу можно получить строку для n=4 из строки, записанной
для n=3 :
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Аналогичным образом из строки 1 4 6 4 1 можно получить строку, в которой
выписаны коэффициенты многочлена, полученного при возведении двучлена
a+b в пятую степень:
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Подмеченную закономерность нетрудно обосновать, если проанализировать
приведенные ранее примеры на умножение « в столбик» многочлена 𝑎3 +
3𝑎2 𝑏 + 3 𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 на двучлен 𝑎 + 𝑏 и многочлена 𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 4𝑎2 𝑏 2 +
4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4 на двучлен a+b .
Если добавить строку для n=0 ( при 𝑎 ≠ 0 или 𝑏 ≠ 0), то коэффициенты
всех строк можно расположить в виде треугольника:
Степень
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
7
1 7 21 35 35 21 7 1
8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
………………………………………………………………………………
ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ
В нем «боковые стороны» состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме
двух чисел, записанных над ним. Этот треугольник называют треугольником Паскаля по
имени известного французского ученого Блеза Паскаля (1623-1662)- математика, физика,
философа и литератора, описавшего такой треугольник в своем знаменитом трактата « об
арифметическом треугольнике»
Продолжая запись по подмеченному правилу, мы можем получить строку
коэффициентов для n=6, 7, 8 и т.д. в формуле
(𝒂 + 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 + 𝒏𝒂𝒏−𝟏 𝒃 + ⋯ + 𝒏𝒂𝒃𝒏−𝟏 + 𝒃𝒏
3. Практическая часть
3.1 Практическая значимость разложения многочлена на множители
Убедимся в том, что разложение на множители – вещь полезная.
Пусть нам предлагают решить уравнение 4x2 + 12 x +9 = 0.
Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но мы его пока
еще не знаем. Как быть? Воспользуемся разложением многочлена на
множители, вспомнив формулу сокращённого умножения.
(2x + 3)2 = 0
2x + 3 = 0
2x= -3
x= -
3
2
= -1, 5
Уравнение решено, оно имеет один корень -1,5.
Решить уравнение:
7х2 – 2х = 0
x∙ (7х – 2) = 0
х = 0 или 7х – 2 =0⇒ х = 0 или х =
2
7
Рассмотрим другую ситуацию. Пусть нужно найти значение числового
выражения 532-472 и 612-392.
Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности
квадратов:
532-472 = (53-47)(53+47) =6•100 = 600
612-392= (61-39)(61+39) =22•100= 2200.
Таким образом, разложение многочлена на множители используется для
решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических
выражений.
3.2 Применение различных способов разложения на множители
к решению задач
Пример 1. Доказать, что число 472 − 322 составное.
Используем формулу разности квадратов получим:
474 − 322 = (472 )2 − 322 = (472 − 32)(472 + 32).
Видно, что у данного числа есть множители 472 − 32 и 472 + 32. Поэтому
такое число по определению является составным.
Пример 2. Выполнить действия
95∙97∙103∙105 = (100 – 5)(100 – 3)(100 + 3)(100 + 5) = (1002 – 32)(1002 – 52) =
(10000 – 9)(10000 – 25) = 100000000 – 250000 – 90000 + 225 = 100000225 –
340000 =99660225
Пример 3. Выполнить действия
(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) помножим данное выражение на выражение (2 –
1) при этом его значение не изменится т.к 2 – 1 = 1 и применим формулу
разности квадратов, получаем
(2 – 1) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) =
(24 – 1) (24 + 1)(28 + 1) = (28 – 1) (28 + 1) = 216 – 1= 65536 – 1 = 65535.
Пример 4. Сравнить
81∙87 и 842. Преобразуем произведение 81∙87 = (84 – 3)(84 + 3) = 842 - 32
842 – 32 < 842 ⇒ 81∙87 < 842.
Пример 5. Доказать, что при всех натуральных n значение выражения
(3n + 2)3 + (4n + 5)3 кратно 7
Преобразуем выражение по формуле суммы кубов
(3n + 2)3 + (4n + 5) 3=((3n + 2)+(4n + 5))((3n + 2)2+(3n + 2)(4n + 5) + (4n + 5)2)=
(7n + 7) ((3n + 2)2+(3n + 2)(4n + 5) + (4n + 5)2)=7(n + 1) ) ((3n + 2)2+(3n + 2)(4n
+ 5) + (4n + 5)2).Видно, что данное выражение имеет множитель 7, поэтому
оно кратно 7.
Пример 6. Вычислить
672 − 352 − 572 + 452 (672 − 572 ) + (452 − 352 ) 124 ∙ 10 + 80 ∙ 10
=
=
(84 − 74)2
842 − 2 ∙ 84 ∙ 74 + 742
102
10(124 + 80) 204
=
=
= 20,4
102
10
Пример 7.
Решить уравнение x 2+ 14x + 45 = 0
Решение:
Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.
Для применения первой формулы необходимо получить выражение
x2+ 14x + 49 = 0.
Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x2+ 14x + 45 число 4, чтобы
выделить полный квадрат
x 2+ 14x + 45+4−4 =0
(x 2+ 14x + 45+4)−4=0
(x 2+ 14x + 49)−4=0
(x+7)2−4=0
Применим формулу «разность квадратов» a2−b2=(a−b)⋅(a+b)
(x+7)2−22=0
(x+7–2)(x+7+2)=0
(x+5)(x+9)=0
x+5=0
x+9=0
x1 = – 5
x2 = – 9
Ответ: –9;–5.
Пример 8.
Решить уравнение x2 − 6x − 7 = 0
Решение:
Выделим в левой части полный квадрат.
Для применения формулы необходимо получить выражение x2 − 6x +9 = 0
Поэтому запишем выражение x2 − 6x в следующем виде: x2−6x =x2−2⋅x⋅3
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе удвоенное произведение x на 3.
Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32
Итак, прибавим и отнимем в левой части уравнения 32, чтобы выделить
полный квадрат.
х2 − 6x − 7 = x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 – 32 − 7 = (x2 − 2⋅ x ⋅3 + 32 ) –
32 − 7 ==(x − 3)2 − 9 − 7 = (x − 3)2 − 16.
Подставим в уравнение и применим формулу a2−b2=(a−b)⋅(a+b).
(x −3)2−16=0
(x −3)2=16
x −3=4 x −3= −4
x=3+4
х= -4 + 3
x1 = 7
х2 = -1
Ответ:–1;7.
Пример 9.
Решить уравнение 3х3 – 2х – 1=0
Для разложения на множители используем прием деления многочленов
столбиком (или, как еще иногда говорят, уголком). Несложно догадаться, что
- корень многочлена 3х3 – 2х – 1. Следовательно, он без остатка
делится на х -1 .
Выполним это деление:
3 х3 + 0 ∙х2 – 2х - 1
х–1
3
2
3 х – 3х
3 х2 + 3 х +1
3 х2 – 2х
-3 х2 - 3х
х -1
х -1
0
Таким образом 3х3 – 2х – 1= (х – 1)( 3х2 + 3х + 1).
То есть исходное уравнение принимает вид:
(х – 1)( 3х2 + 3х + 1)= 0
х – 1= 0
х1=1
3х2 + 3х +1 = 0
1
х2 + х + =0
3
1
1
1
1
2
1
4
4
3
(х + 2∙ х ∙ + ) - + = 0
2
1 2
)
2
(х +
+ =0
12
Это уравнение корней не имеет.
Ответ: 1
В предыдущем разделе были рассмотрены различные способы
разложения многочлена на множители. Однако часто каждый из этих
способов в отдельности не приводит к достижению цели, и для разложения
многочлена на множители приходится пользоваться
их комбинацией.
Пример 10.
Решить уравнение: 9х3 – 18х2 – х + 2 = 0
Сначала используем способ группировки.
(9х3 – 18 х2) – ( х – 2) = 0
Из первой группы вынесем общий множитель за скобку.
9х2 (х – 2) – (х – 2) = 0
Ещё раз вынесем общий множитель за скобку.
(х -2) (9х2 – 1) = 0
х – 2 = 0 9х2 – 1 = 0
х1 = 2
9х2 = 1
х2 =
х2 =
1
1
3
3
Ответ: 2; ; -
1
9
1
3
х3 = -
1
3
Пример 11.
Разложим на множители многочлен х3 – 3х2 + 5х – 15.
1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х3 – 3х2) + (5х – 15).
2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х2 в
первом случае и 5 – во втором.
(х3 – 3х2) + (5х – 15) = х2(х – 3) + 5(х – 3).
3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х2(х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)( х2 + 5).
Итак,
х3 – 3х2 + 5х – 15 = (х3 – 3х2) + (5х – 15) = х2(х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙( х2 + 5).
Пример 12.
Разложить на множители многочлен a2 – 7ab + 12b2.
1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a2 – (3ab + 4ab) + 12b2.
Раскроем скобки и получим:
a2 – 3ab – 4ab + 12b2.
2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий
с 4-ым. Получим:
(a2 – 3ab) – (4ab – 12b2).
3. Вынесем за скобки общие множители:
(a2 – 3ab) – (4ab – 12b2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).
4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
Итак,
a2 – 7ab + 12b2 =
= a2 – (3ab + 4ab) + 12b2 =
= a2 – 3ab – 4ab + 12b2 =
= (a2 – 3ab) – (4ab – 12b2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
Покажу решение задания из текста олимпиады.
х4 + х2 +1 = х4 + х2 – х2 +х2 +1=
(х4 + х2 +1 +х2) – х2 =
(х4 + 2х2 + 1) – х2
(х2 + 1)2 – х2 = ( (х2+ 1) – х) ( (х2 +1) +х)=
(х2 – х + 1) (х2 + х + 1)
Пример 13.
х4 + 4х3 – х2 – 8х – 2= х4 + 4х3 – 2х2 + х2 -2 =
(х4 – 2х2) + (4х3 – 8х) + х2 – 2=
х2 (х2 – 2) + 4х( х2 – 2) + (х2 – 2)= (х2 – 2) ( х2 +4х +1)
Пример 14.
Доказать, что значение выражения 834 + 65 кратно 81
(834 + 65) ∶ 81
(81 + 2)4 + 65 = 814 + 4 ∙ 813 ∙ 21 + 6 ∙ 812 ∙ 22 + 4 ∙ 811 ∙ 23 + 24 + 65 =
81(813 + 4 ∙ 812 ∙ 2 + 6 ∙ 81 ∙ 22 ∙ 4 ∙ 23 ) + 16 + 65 = 81(813 + 8 ∙ 812 + 24 ∙
81 + 32) + 81 = 81(813 + 8 ∙ 812 + 24 ∙ 81 + 32 + 1) - т.к. один из
множителей делится на 81 => все выражение делится на 81.
4. Вывод по исследованию
В своей работе я рассмотрела:
- начальные сведения о многочленах;
- традиционные школьные способы разложения;
- способы, которые не изучаются в школе;
- исследовала, насколько разнообразными могут быть задачи на применение
разложения многочлена на множители;
- сделала подборку заданий для применения каждого из рассмотренных
способов.
В процессе исследования рассмотрено большое количество задач, при
решении которых используются различные приемы разложения многочленов
на множители. Я убедилась, что можно решать очень много разнообразных
задач с помощью разложения на множители: можно приводить дроби к
общему знаменателю, применять разложение многочленов на множители при
сокращении дробей, при решении уравнений, рационально вычислять
значения числовых выражений, доказывать неравенства, делить выражения
на какое-либо число, сравнивать числа.
Поэтому гипотеза исследования подтвердилась.
Конечно, есть еще много методов и приемов разложения на множители
многочленов. Эту тему я продолжу изучать и дальше. Считаю, что
настоящая работа будет полезна при обучении в старших классах, при
подготовке к экзаменам, олимпиадам, так как при решении задач на
разложение развивается логическое мышление. Материал работы может
заинтересовать тех, кто увлекается математикой и желает расширить свой
кругозор. Подборка заданий, презентация может использоваться учителем
математики на факультативных занятиях.
Список использованной литературы
1. Ю.Н. Макарычев и др учебник Алгебра 7 и 8 классы издательство М.:
Просвещение 2010 год
2. Брагин В.Г., Грабовский А.И. Все предметы школьной программы в
схемах и таблицах. Алгебра. Геометрия. - М: Олимп, ООО «Издательство
АСТ-ЛТД, 1998. - 240 с.
3. Ш.А. Алимов и др учебник Алгебра 7 и 8 классы издательство М.:
Просвещение 2009 год
4. Дроздов В.Б. Тренировка в разложении на множители // Математика в
школе. – 1999. - №5.
5. Математика. – 1994. - №27, 28.
6. Математика. – 2000. - №14.
БАНК ЗАДАНИЙ
Тема: «Разложение многочлена на множители»
а) 6𝑎2 𝑏 + 15𝑏2 = 3 ∙ 2𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 3 ∙ 5 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 = 3𝑏(2𝑎2 + 5𝑏)
б) 8ab-6ac = 2a(4b-3c)
в) 𝑐 3 + 𝑐 4 = 𝑐 3 (1 + 𝑐 1 )
г) 2х(х – 2) +5 (х – 2)2 = (х – 2)(2х + 5(х – 2)) = (х – 2)(7х – 10).
у4 – у3 – 16 у2 + 16 у =0
2у4 – 18у2 = 5у3 – 45у
х3 +7х2 – 6
х3 + 4х2 -5
х5 + х4 – 6х3 – 6х2 + 5х +5
х5 – х4 – 2х3 + 2х2 -3х +3
Задание Олимпиады « Олимпус»
а2 + 8ах – 9 х2
(x2 - 2x)2 + (x – 1)2 =1
(х2 +2х)2 – 2(х +1)2 = 1
х2+ 6х + 5
х2 – х – 6
Докажите, что при любом значении х многочлен х2+ 6х + 10 принимает
положительные значения.
Докажите, что выражение а2 + b2 – 2аb + 1 принимает лишь положительные
значения.
Докажите, что значение выражения 3273 + 1733 делится на 500.
Докажите, что значения многочлена х3 – х при целых значениях х кратны
числу 6.