Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
Министерство образования и науки Амурской области
Отдел образования администрации Завитинского района
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение – средняя
общеобразовательная школа с. Успеновка Завитинского района Амурской области
Районная научно – практическая конференция школьников «Наука. Творчество.
Исследование»
Секция
«Естественнонаучная»
В мире фракталов
Подготовила:
Лосева Ольга Александровна
Учащаяся _11_ кл.
04.02.98
Основное место учебы
МБОУ СОШ с. Успеновка
Завитинского района Амурской области
Руководитель:
Витько Светлана Борисовна
Учитель математики
МБОУ СОШ с. Успеновка
I квалификационная категория
Контактный телефон:
34-2-81
E- mail: vitko711@rambler.ru
С. Успеновка
2014 г.
1
Оглавление.
I. Введение ………………………………………………………………3
II. Основная часть………………………………………………………
1.Что такое «фракталы»?...................................................................4
2. Классификация фракталов…………………………………………5
2.1 Геометрические фракталы…………………………………………5
2.2 Алгебраические фракталы…………………………………………7
2.3 Стохастические фракталы…………………………………………8
2.4 Природные фракталы………………………………………………8
3. Применение фракталов………………………………………………9
III. Заключение……………………………………………………………12
Литература…………………………………………………………………14
Приложение 1………………………………………………………………..15
Приложение 2………………………………………………………………..19
2
I. ВВЕДЕНИЕ
«В одном мгновенье видеть вечность,
Огромный мир - в зерне песка,
В единой горсти – бесконечность
И небо – в чашечке цветка».
У. Блейк. пер. С. Маршака
Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе
ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение,
многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К
примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей
солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?
Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что
использование только знакомых объектов классической геометрии для их
моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель
горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то
многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений
и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей
из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке
человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки,
напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.
В современном мире всё стремительно меняется. Это касается и самой
«старой» науки – математики. Меня заинтересовало одно из открытий
тридцатилетней давности – открытие фракталов – удивительно красивых и
таинственных геометрических объектов.
На уроках геометрии мы изучаем окружности, параллелограммы, треугольники,
квадраты и т.д. Однако в природе большей частью объекты «неправильные» шероховатые, зазубренные, изъеденные ходами и отверстиями. Для описания
подобных объектов нам и понадобятся фракталы.
3
Цель работы: исследование фракталов.
Задачи:
 узнать, что такое «фракталы»;
 изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии;
 ознакомиться с биографией создателя фракталов – Бенуа Мандельброта;
 рассмотреть основные виды фракталов;
 попытаться найти применение фракталов в природе, жизни человека;
Методы исследования: изучение и анализ источников информации.
I. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. Что такое «фракталы»?
Фракталы - это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая
часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не
увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его маленькая копия. Эти
удивительные фигуры стали широко известными в 70-х годах прошлого века
благодаря Бенуа Мандельброту, работавшему тогда в математическим аналитиком в
фирме IBM. Слово фрактал образовано от латинского “fractus” и было предложено
Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения самоподобных структур,
которыми он занимался.
Одним из основных свойств фракталов является
самоподобие, поэтому их определение, данное Мандельбротом, звучит так:
“Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то
смысле подобны целому ”.
Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они
приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких
коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения
машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации
4
искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого
представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на
природные.
Кроме самоподобия, фракталы замечательны еще и тем, что многие из них
удивительно похожи на то, что мы встречаем в природе. Снежинку, морского
конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать,
используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что
природа имеет свойство фрактальности.
Есть много видов фракталов, наиболее крупные из них: геометрические,
алгебраические, стохастические.
2. Классификация фракталов
2.1 Геометрические фракталы.
Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается
путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов
поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых
будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который
преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой
фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет
становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме)
бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.
Одними из самых известных фракталов такого типа являются кривая и
снежинка Кох и ковер Серпинского.
Кривая Кох (рис. 1), названная так в честь шведского математика Хельги фон Кох,
открывшую ее еще в 1904 году.
Для того чтобы построить данный фрактал нужно последовательно выполнить
бесконечное число шагов. Начальный шаг – нулевой. Возьмём отрезок произвольной
длины (рис. 2, а) и поделим его на три равные части. На среднем отрезке CD
построим правильный треугольник CED, чье основание CD мы потом удалим. Мы
получим кривую ACEDB, у которой все звенья равны (рис. 2, б).
Второй шаг: каждое из звеньев AC, CE, ED, DB вновь поделим на три равные части
и построим на средних отрезках правильные треугольники, чьи основания мы потом
5
удалим. Мы получим новую ломаную AMKNCLPFEQRSDTUXB (рис. 2, в). Второй
шаг закончен.
Продолжая этот процесс до бесконечности, мы и получим искомый фрактал –
кривую Кох.
Как видно на рисунке, кривая Кох очень точно имитирует снежинку, поэтому
замкнутую кривую Кох называют еще и снежинкой Кох (рис. 3).
Ковер Серпинского (рис.4)
Для построения коврика Серпинского из центра треугольника мысленно
вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в
середины сторон исходного треугольника. Повторим эту же процедуру для трех
образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до
бесконечности (рис.5). Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся
треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. Ковер Серпинского,
названный так в честь польского математика Вацлава Серпинского (1882-1969).
Здесь проявляется одно из свойств фракталов – самоподобие. Если мы возьмем
любой из образовавшихся треугольников (разумеется кроме тех, которые мы
вырезали) и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы
имеем дело с полным самоподобием.
Ковер Серпинского можно построить как от руки, так и при помощи компьютера.
Кривая дракона (рис.6)
Дракон Хартера, был впервые исследован физиками NASA, в числе которых
был Вилиам Хартер. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером в колонке
«Математические игры» журнала «Scientific American». Многие свойства фрактала
были описаны Дэвисом Чардлером и Дональдом Кнутом.
Драконова ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол.
Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных
замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных
также в виде прямого угла.
Один из способов построения кривой дракона - складывание длинной
бумажной полоски. Начнем с горизонтальной полоски: согнем вверх ее правую
половину и наложим на левую. Затем сложим полученную двойную полоску так,
6
чтобы перегиб, расположенный ранее справа, совпал с левым краем сложенной
полоски; повторим этот процесс столько раз, сколько сможем. (Практически это
вряд ли удастся сделать больше семи раз, но теоретически процесс можно
продолжать до бесконечности).
Геометрические фракталы имеют колоссальное практическое значение.
Применяя их в машинной графике, ученые научились получать сложные объекты,
похожие на природные: изображения снежинок, горных вершин, искусственных
облаков, деревьев, кустов, веток, береговой линии и так далее.
2.2 Алгебраические фракталы
Следующей обширной группой фракталов являются алгебраические фракталы.
Алгебраические фракталы появились гораздо позже геометрических, а их
изображения ученые научились получать лишь после создания ЭВМ. Их название
весьма условно, поскольку в результате построения мы получаем геометрическую
фигуру. Однако построение ведется на основе алгебраических формул, и, по всей
видимости, именно отсюда и берет свое название эта группа фракталов. Одним из
самых известных представителей этой группы является множество Мандельброта.
Множество Мандельброта
Данное множество было открыто Бенуа Мандельбротом, отцом теории
фракталов и названо в его честь. С развитием ЭВМ стало возможным построение его
графического образа (рис. 7). Если внимательно рассмотреть рисунок, то можно
заметить, что основная форма множества повторяется многократно во все меньших
размерах.
Кроме того, ученые увеличили участок границы множества Мандельброта в
200 раз (рис. 8). Как и в случае с треугольником Серпинского, мы наблюдаем
проявление самоподобности. Не полной самоподобности, конечно, но близкой с
ней. Также с проявлением неполной самоподобности ученые сталкиваются,
увеличивая и другие участки множества Мандельброта.
Множество Жюлиа
Множества семейства Жюлиа названы так в честь французского математика
Гастона Жюлиа, который во времена Первой Мировой Войны в оккупированной
немцами Франции продолжал научную деятельность. Жюлиа являет собой огромное
7
поле для экспериментов. Так как вид этого фрактала зависит от параметра , изменяя
его, можно получать изображения, в корне не похожие на первоначальное (рис. 9,
10). Одни из них похожи на большие тучи (рис. 9), другие напоминают колючие
ветви кустарников (рис. 10), третьи выглядят как искры, летящие во время салюта.
Однако обычно бывает трудно найти подходящие значения параметра так,
чтобы получить изображение множества Жюлиа. К счастью, есть возможность
нахождения подходящих значений параметра с помощью множества Мандельброта.
Практическое значение алгебраических фракталов в машинной графике не
может быть неоцененно. Множества Мандельброта и Жюлиа являются основами при
создании фрактальных изображений.
2.3Стохастические фракталы
Если при создании фрактала случайным образом изменять какие-либо
параметры, то полученный фрактал будет иметь некоторые случайные отклонения от
самоподобия. Такие фракталы называются стохастическими, они очень похожи на
природные фракталы. С их помощью моделируют различные природные процессы, в
том числе рельефы местности.
Типичный представитель стохастических фракталов "Плазма". (рис. 11)
Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим
цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет
равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс
некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным"
будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря
- получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются
горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится
карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и,
пожалуйста, фотореалистичные горы готовы.
2.4 Природные фракталы
Природа довольно часто выражает себя в фрактальных формах. Фракталы с
наибольшей очевидностью можно усмотреть в формообразованиях живой природы:
8
ракушки, ветви деревьев, листья и лепестки цветов, ландшафты (морские побережья
и русла рек), легкие человека, очертания облаков.
В этой галерее я собрала природные образы, в которых ясно видна фрактальность. И
конечно, в природе гораздо больше фрактальных объектов, нежели тут
представлено, поскольку фракталы - сама суть природы. Неудивительно, что и
наше сознание подчиняется тем же фрактальным законам.
В некотором отношении, бактериальные колонии - особенно интересный
пример природного фрактала. (рис. 12) Некоторые виды бактерий создают колонии,
напоминающие по форме математические фракталы, колонии других с первого
взгляда не похожи на фрактал.
Растения - и деревья и травы - обладают выраженной фрактальной формой, в
отличие, например от животных. Кроме того, что фрактальную структуру имеет лист
растения (прожилки), общее строение растений также фрактально. (рис. 13)
Например, здесь, маленькие листья аналогичны по форме большим, хотя и не
являются их точной копией. Тем не менее, мы имеем самоподобие, действующее в
различных масштабах, то есть, имеем дело с фракталом.
Кораллы - это продукт деятельности колоний коралловых полипов. Они на нем
живут, они же его и создают. Полипы - небольшие организмы, которые вылавливают
из воды планктон. Переварив его, они "складывают" минеральные остатки "под
себя", так что коралловый скелет колонии постоянно растет. И как мы видим,
получаются целые фрактальные деревья. (рис. 14)
Кровеносная система легкого. Тут еще все сложнее: переплетаются два
отдельных фрактальных дерева - по одному подается венозная кровь, по- другому
отводится обогащенная кислородом артериальная. А в совокупности легкое потрясающая по сложности система трех фракталов - одного дыхательного и двух
кровеносных... (рис. 15)
Деревья фрактальны, но только в определенном диапазоне масштабов. Здесь
четыре подобные развилки ветвей, а потом фрактальный закон роста ветвей, когда
доходит до листьев, перестает действовать. Наверное, с возрастом у этого дерева
может появиться и пятый и шестой уровни фрактала ветвей. (рис. 16)
3. Применение фракталов
9
Фракталы открывают простоту сложного. Открытие фракталов произвело
революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные
алгоритмы нашли применение во многих сферах человеческой деятельности.
« Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии
морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно
движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно
деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в
процессе эволюции». (Х. О. Пайген и П. Х. Рихтер)
 Компьютерная графика
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения
изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты,
поверхности морей и так далее. С использованием фракталов могут строиться не
только ирреальные изображения, но и вполне реалистичные (например, фракталы
нередко используются при создании облаков, снега, береговых линий, деревьев и
кустов и др.). Поэтому применять фрактальные изображения можно в самых разных
сферах, начиная от создания обычных текстур и фоновых изображений и кончая
фантастическими ландшафтами для компьютерных игр или книжных иллюстраций.
А создаются подобные фрактальные шедевры путем математических расчетов.
 Физика и другие естественные науки
В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании
нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные
процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при
моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они
применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних
органов (система кровеносных сосудов).
 Фрактальные антенны
Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств
было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда
жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн.
Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на
лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна
10
работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не
изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и
наладить их серийный выпуск.
 Экономика
В середине века двадцатого, когда весь научный мир увлекался только что
появившейся теорией фракталов, известный американский финансист Ральф
Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции, которая была основана
на использовании теории фракталов. Эллиот исходил из того, что геометрия
фракталов имеет место быть не только в живой природе, но и в общественных
процессах. К общественным процессам он относил и торговлю акциями на бирже.
 Литература
Среди литературных произведений находят такие, которые обладают
текстуальной, структурной фрактальной природой.
В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:
 неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе
У попа была собака, он ее любил.
Она съела кусок мяса, он ее убил.
В землю закопал,
Надпись написал,
Что
У попа была собака…
Вот море,
А на море сyша,
А на сyше пальма,
А на пальме кот сидит
И видит море,
А на море сyша…
 тексты с наращениями
«Дом, который построил Джек».
При подборе материалов по данной теме мной были найдены программы,
описывающие построение фракталов в различных языках программирования. Эти
11
программы меня очень заинтересовали и я хочу продолжить свою работу, для того
чтобы научиться самостоятельно создавать программы для создания фракталов. Но
это уже работа по информатике.
III. Заключение
В результате проделанной работы выяснилось, что за фракталами таятся
огромные, как художественные, так и практические перспективы развития.
Фракталы оказались принципиально новым открытием в геометрии, способным
изменить древние, бытующие до недавних пор, представления о геометрической
структуре мира.
Фракталы применяются в языках программирования, в компьютерных моделях
природы, в различных новаторских программах обучения. Также, в наше время
предпринимаются попытки обоснования искусства с точки зрения фракталов. Теория
фракталов используется и при изучении структуры Вселенной.
Значение открытия фракталов для науки трудно переоценить. Создание
практически точных моделей окружающей среды позволит точнее рассмотреть
оценить факторы, влияющие на ее состояние.
Изучая множества Мандельброта и Жюлиа, строя кривые Кох и Гильберта,
треугольник Серпинского, можно сформировать представление о процессах и
явлениях, одинаково сложных независимо от масштаба рассмотрения и таким
образом подготовить восприятие человека к пониманию фрактальной геометрии
природы. Многоцветие красок и разнообразие фрактальных изображений
определенно оставят глубокий след в сознании людей.
Фракталы стали незаменимыми помощниками астрофизиков, медиков,
геологов. Фрактальное моделирование как инструмент для изучения
неупорядоченных систем, каковыми являются нефтегазовые месторождения, стало
технологической потребностью. Фрактальные модели упрощают анализ движения
жидкости или газа, что важно для индустриальных технологий разработки
месторождений нефти и газа. Модели, построенные на основе фрактальных
изображений, позволяют с большой точностью моделировать космическое
пространство и ткани внутренних органов живых организмов.
12
Фракталам посвящены тысячи публикаций и огромные ресурсы в сети
Интернет, однако для многих специалистов далеких от информатики данный термин
представляется абсолютно новым. Поэтому, по моему мнению, фракталы, как
объекты, представляющие интерес для специалистов различных отраслей знания,
должны получить надлежащее место в курсах математики и информатики.
Фракталы окружают нас всюду: это деревья, горы, облака. Но, кроме этого
фракталы встречаются в объектах и невидимых человеческим глазом: это клетки
различных живых тканей, трещины в земной коре и многое другое. Фрактальная
графика может применяться во многих областях естественных наук. Она
используется не только в математике, но и в экономике, географии, астрономии,
биологии, физике и даже в литературе. Фракталы помогают геофизикам определять
форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее
слоях различных химических элементов, а астрономам – моделировать
формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и
космической пыли.
Таким образом, фракталы всегда находятся вокруг нас. Это важный элемент любой
науки, а точнее, и всей нашей жизни.
В процессе исследования была проделана следующая работа:
1. Проанализирована и проработана литература по теме исследования.
2. Рассмотрены и изучены различные виды фракталов.
3. Собрана коллекция фрактальных образов для первичного ознакомления с
миром фракталов.
4. Были найдены примеры применения фракталов в природе и жизни
человека.
13
Литература
1. Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство М.: Мир, 1995.
2. “Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия 2003”/ “Кирилл и Мефодий”, 2003
3. Бондаренко В.А., Дольников В.Л. Фрактальное сжатие изображений // Автоматика
и телемеханика. – 1994. – № 5.
4. Вишик М.И. Фрактальная размерность множеств. Соросовский образовательный
журнал. № 1, 1998.
5. Волошинов А.В. Математика и искусство – М.: Просвещение, 2000.
6. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.
7. Б. Мандельброт “Фракталы, случай и финансы”/ Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2004
8. Морозов А.Д., Введение в теорию фракталов.
9. Интернет – ресурсы:
http://delphisity.narod.ru/stat1/stat2.html
http://www.photoline.ru/cgi-bin/cr1/photo.pl?ind=1081416586
http://fractal.boom.ru/
http://math.child.ru/otdohni/museum/fractals.html
http://www.enchgallery.com/fractals/fracthumbs.htm
http://i029.radikal.ru/0802/74/bc91570f21b7.jpg
14
Приложение 1.
Рисунок 1. Кривая Кох
Рисунок 2. Построение кривой Кох
Рисунок 3. Снежинка Кох
Рис. 4 Ковер Серпинского
15
Рисунок 5. Построение ковра Серпинского
Рисунок 6. Кривая дракона
Изображение ковра Серпинского, полученное с
помощью ЭВМ
Рисунок 7. Множество Мандельброта
Рисунок 8. Участок границы множества
Мандельброта, увеличенный в 200 раз
Рисунок 9; 10. Множество Жюлиа с измененными
параметрами
Рисунок. Множество Жюлиа
16
Рисунок 11. Плазма
Рисунок 12. Колония бактерий в питательной среде
Рисунок 13 Листья растения
17
Рисунок 14. Кораллы
Рисунок 15 Кровеносная система легкого
Рисунок 16. Экзотическое дерево
18
Приложение 2
Галерея фракталов
19
20
21