О пользе и вреде формализованных моделей в филошенетике
advertisement
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОРФОМЕТРИЯ – НОВЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К СРАВНЕНИЮ КОМПЬЮТЕРНЫХ ОБРАЗОВ И.Я. Павлинов. В кн.: Информационные и телекоммуникационные ресурсы в зоологии и ботанике. СПб., 2001. P. 65-90. ПРЕДИСЛОВИЕ Задача разграничения изменчивости (в широком смысле) формы и размеров морфологических объектов — одна из фундаментальных для многих биологических исследований. До недавнего времени в исследованиях такого рода «параллельно» существовали и развивались два разных подхода — количественный аналитический и качественный геометрический. В первом случае задача сводилась к тому, чтобы с помощью тех или иных количественных техник «вычленить» размерную компоненту из общего разнообразия и в «остатке» получить компоненту формы (Bookstein, 1989a). Если для описания объекта берется набор линейных промеров, то в простейшем случае используется их логарифмирование: приведение размеров к логарифмической шкале, как полагается, в какой-то мере нивелирует различия в размерах, тем самым делая более выраженными различия в форме. В одномерном анализе используются так называемые индексы, представляющие собой результат деления определенных промеров на какой-то один, характеризующий размер объекта, — чаще всего на его общую длину или высоту; иногда в дополнение к индексам вычисляют углы. Сходный, хоть и не столь очевидный результат достигается с помощью регрессионного анализа: остатки уравнения регрессии линейных промеров (относительно той же длины или высоты) становятся новыми количественными переменными, в которых размерная компонента по принимаемому допущению отсутствует. Многомерный анализ так или иначе связан с манипулированием ковариационной матрицей — точнее, с вычислением ее собственных векторов. Последние взаимно ортогональны (в алгебраическом смысле), причем наибольшую нагрузку на первый собственный вектор дает переменная, характеризующаяся наибольшей дисперсией, — а таковой чаще всего является как раз общая длина (или высота). На этом основании принимается допущение, что все прочие собственные вектора позволяют характеризовать «не-размерную» компоненту разнообразия, то есть (по определению) различия по форме. Соответственно, эти вектора и оказываются некими «переменными формы». Очевидно, что такого рода исследования дают лишь косвенную оценку различий по форме, которая биологически осмысленна в той мере, в какой справедливы указанные допущения. Форма же как таковая, взаимопревращения геометрии разных форм в аналитическом подходе остаются, вообще говоря, «за кадром». Нельзя не учитывать и то, что многие статистические методы корректно работают только с достаточно большими массивами данных, для которых выполняется условие нормальности (или мультинормальности) распределения значений переменных, а это выполняется далеко не всегда. Несколько особняком стоит то направление количественных исследований, которое основано на описании разнообразия формы объектов совокупностью дискретных морфотипов. Подсчет их частот и сравнение выборок по этим частотам дает некоторую количественную оценку сходства/различия по форме. Здесь две проблемы. Во-первых, изменчивость морфологических структур чаще всего носит непрерывный характер, так что в выделении дискретных морфотипов присутствует известный элемент произвола. Кроме того, отдельные формы нельзя сравнить непосредственно — результатом оказывается некая усредненная оценка различий между совокупностями. В отличие от аналитических методов, геометрический подход нацелен на сравнение форм как таковых. В современной биологии он восходит к пионерским исследованиям Д’Арси Томпсона (Thompson d'Arcy, 1917; последнее издание — Thompson d'Arcy, 1992), который впервые использовал трансформационную решетку для иллюстрации взаимопревращений разных форм (рис. 1); впрочем, в живописи графическое представление такого рода взаимопревращений восходит к художникам эпохи Возрождения — таким, как А. Дюрер. И хотя результаты Д’Арси Томпсона неоднократно воспроизводились в различных руководствах по биометрии, широкого распространения его метод не получил. Причина достаточно проста: в нем не было заложено никакой количественной техники, это чисто «образный» подход, допускающий только попарные визуальные сравнения. Ранние попытки соединить метод трансформационных решеток со стандартными статистическими методами (см. обзор: Bookstein, 1991) имели частный характер; общая же проблема была в том, что, прежде чем искать подходящий количественный подход к геометрическому анализу формы, необходимо было найти подходящий способ ее описания — то есть определить, что должны представлять собой данные и переменные для такого рода анализа (Bookstein, 1993). Прорывом здесь стала идея использовать в качестве исходных переменных не стандартные линейные измерения, а декартовы координаты меток (landmarks), расставляемых на сравниваемых морфологических объектах. Соответственно, разница между последними по их форме определяется как разница между конфигурациями меток. Такой способ описания и сравнения морфологических структур, дополненный особой — так называемой прокрустовой (procrustes) — метрикой оценки их различий, дал начало новому направлению в биометрии, который получил название «геометрическая морфометрия» (geometric morphometrics) (Bookstein, 1991). В кратком виде геометрическую морфометрию можно определить как совокупность методов многомерного айген-анализа координат меток, описывающих конфигурацию морфологических объектов в пространстве форм (о нем см. далее). Она разрабатывается как особый аналитический инструмент, позволяющий исключить влияние размеров на результаты анализа формы морфологических структур. Это достигается благодаря набору специфических алгебраических техник, делающих данный подход весьма нетривиальным инструментом биометрии (Rohlf, Marcus, 1993; Павлинов, 1995). В частности, они существенно отличают геометрическую морфометрию от других количественных методов исследования формы морфологических структур — таких как анализ рядов Фурье, фрактальный анализ (например, Ferson et al., 1985; Hartwig, 1991; Slice, 1993a; Costa, Cesar, 2000). От роду геометрической морфометрии всего несколько десятков лет: лишь в начале 80х гг. ХХ столетия были сформулированы основополагающие идеи, заложившие его теоретические основы (Kendall, 1984; Bookstein, 1986). В настоящее время это весьма активно развивающаяся дисциплина, математический аппарат которой считается достаточно развитым для решения многих прикладных задач (Bookstein, 1991, 1996). Выпущен ряд обобщающих сводок, сборников и обзорных статей, дающих полное представление о теории, методах и результатах использования геометрической морфометрии в прикладных биологических исследованиях (Rohlf, Bookstein, 1990a; Bookstein, 1991, 1996; Marcus et al., 1993, 1996; Rohlf, 1996, 1999; Dryden, Mardia, 1998; Monteiro, Reis, 1999; Costa, Cesar, 2000). Программное обеспечение подхода также вполне развито для решения многих биологических задач (см. далее соответствующий раздел). В Интернете организована сеть, объединяющая более четырех сотен «геометристов», ее адрес MORPHMET@LISTSERV.CUNY.EDU (поддерживается Л. Маркусом). Имеется сайт, открывающий доступ к компьютерным программам, а также с почти исчерпывающей библиографией по геометрической морфометрии, включающей более 500 ссылок (адрес http://www.public.asu.edu/jmlynch-geomorph-index.html, поддерживается Джоном Линчем). В настоящей статье дан краткий обзор основных идей и методов геометрической морфометрии, компьютерных программ, краткого словаря и некоторых результатов их применения. Учитывая характер профессиональных интересов автора, а также то, что публикация адресована биологам, собственно математический аппарат подхода здесь не излагается. Для того, что данный текст можно было соотнести с англоязычными публикациями, для основных заимствованных из них понятий и терминов дан исходный англоязычный эквивалент. ИСХОДНЫЕ ФОРМАЛИЗАЦИИ C формальной точки зрения объектом геометрической морфометрии является совокупность декартовых x,y- или x,y,z-координат (для двухмерных или трехмерных тел, соответственно) меток. Описанием объекта служит матрица pk, где p — число меток, k — размерность объекта как физического тела. Будучи оцифрованным, этот объект может претерпевать следующие изменения, изменяющие эти координаты: изометрические — смещение (translation), поворот (rotation), зеркальное отображение (reflection) (изменяется только положение), изометрическое масштабирование (scaling) (изменяются только размеры) и неизометрическое растяжение/сжатие (stretching/shearing) (изменяется форма). Очевидно, что только последний тип преобразований является областью приложенияы геометрической морфометрии. Из данного перечня видно, что исходные координаты содержат заведомо избыточную информацию об объекте (или о его компьютерном образе): не только о его размерах и форме, но также о положении и ориентации на плоскости. Поэтому задача состоит в том, чтобы перейти от этих координат к неким производным переменным — так называемым переменным формы (shape variables) (далее они для удобства приводятся как Ф-переменные), которые содержат информацию о форме как таковой. Последняя, по определению, описывается только конфигурацией (взаимным положением) меток. Изменения формы, исследуемые геометрической морфометрией, раскладываются на две составляющие — однородную (uniform) (аффинную, линейную) и неоднородную (non-uniform) (неаффинную, нелинейную). Первая, называемая однородной компонентой формы (uniform shape component) (Bookstein, 1991), включает нелокализуемые изменения: это глобальные растяжение/сжатия, которые одинаковы в окрестностях всех меток, их «моделью» может служить превращение прямоугольника в ромб (рис. 2а). Вторая включает локальные растяжение/сжатия, искривления, изгибы и т.п. Эти изменения различны в окрестностях разных меток (локализуемы) и могут быть представлены как искривления сторон прямоугольника (рис. 2б). Чтобы устранить «размерный фактор» из описания объекта, необходимо прежде выразить его через координаты меток — единственный источник информации о свойствах этого объекта в геометрической морфометрии. Соответственно, вычисляется центроидный размер (centroid size) как сумма квадратов расстояний между всеми метками или как квадратный корень суммы квадратов расстояний всех меток от центроида объекта (Bookstein, 1991). Эта переменная, не скоррелированная ни с одной из Ф-переменных и характеризующая названный фактор, используется для выравнивания (см. ниже) экземпляров в данной выборке. Все процедуры геометрической морфометрии так или иначе связаны с использованием эталонного объекта (reference object): конфигурация его меток определяет геометрию кендэллова пространства (см. далее), относительно него проводятся все операции сравнения. В одних случаях это может быть какой-то введенный в выборку реальный или гипотетический объект — например, обозначающий начало морфологического ряда. В других эталон вычисляется как усредненная (consensus) конфигурация, которая определяется (методом наименьших квадратов или его аналогами) таким образом, чтобы ее суммарные отличия по всем (или некоторым, см. далее) меткам от всех экземпляров в выборке были минимальны. Совокупность всех морфологических объектов (точнее, их оцифрованных образов), определенных через координаты меток, образует пространство структур (figure space) размерностью pk (Goodall, 1991; Rohlf, 1996). Очевидно, что это пространство ни в коей мере не является физическим, «заполненным» морфологическими объектами. На самом деле это частный случай фенетического гиперпространства, то есть «математический артефакт», конструируемый с помощью неких математических операций на основе координат меток. Процедура геометрической морфометрии начинается с того, что исследуемые объекты совмещаются своими центроидами в точке пересечения осей пространства. Затем их центроидные размеры приводятся к единице, благодаря чему достигается их выравнивание (alignment) относительно эталона: тем самым из последующего анализа исключается «размерный фактор». Выравнивание каждого из экземпляров идет за счет такого его изометрического изменения, при котором между ним и эталоном минимизируется разница значений центроидов, вычисленных по всем меткам (прокрустов метод, Procrustes method) или по определенной паре меток (метод базовой линии, baseline method). После этого происходит изометрическое «вращение» выровненных объектов относительно эталона таким образом, чтобы минимизировать суммарную разницу значений координат по всем меткам (подробнее см. раздел «Количественные сравнения форм»). В результате всех этих манипуляций упомянутое выше пространство структур обращается в пространство форм (shape space), или кендэллово пространство (Kendall’s space) — ключевое для геометрической морфометрии. Метрика кендэллова пространства называется прокрустовой, поскольку в формировании его математических свойств большое значение имеет уже упоминавшаяся прокрустова дистанция — специфический аналог евклидовой дистанции (см. далее). Размерность этого пространства pk–k–k(k–1): в случае двухмерных объектов эта размерность составляет 2p–4, в случае трехмерных — 3p–7. Пространство является неэвклидовым и для простейшего случая, когда плоские объекты описываются координатами трех меток, представимо как поверхность гиперсферы (рис. 3). Соответственно, морфологические объекты (формы) представимы как точки на этой поверхности. Для более сложных морфологических структур геометрия кендэллова пространства оказывается значительно более сложной и простой визуализации не поддается (Goodall, 1991). Метрические свойства кендэллова пространства позволяют оценивать сходство по форме (подобие) морфологических структур как расстояние между соответствующими точками на гиперсфере. Ключевой мерой сходства в данном случае является все та же прокрустова дистанция. Она была предложена еще в 60-е гг. (например, Sneath, 1967), но только в рамках геометрической морфометрии была оценена по достоинству. В настоящее время существует несколько ее версий, связанных между собой довольно простыми отношениями (Dryden, Mardia, 1998; Rohlf, 1999a). Угловая прокрустова дистанция определяется как угол (в радианах) между радиусами, соединяющими две точки на поверхности гиперсферы с ее центром (см. рис. 3); ее численным выражением является арккосинус квадратного корня суммы квадратов разниц значений координат меток выровненных объектов (Bookstein, 1993). Эту дистанцию можно считать также геодезической дистанцией, поскольку она оценивает расстояние по поверхности гиперсферы. Хордовая прокрустова дистанция dp измеряется как длина хорды, соединяющей эти же точки: она вычисляется как квадратный корень суммы квадратов разностей между координатами соответствующих меток. Две эти величины связаны формулой =2sin-1(dp /2). Как и евклидова дистанция, она является метрикой и потому может использоваться в стандартных процедурах кластеризации и ординации (см. ниже раздел «Применение стандартных методов»). Неевклидов характер кендэллова пространства затрудняет непосредственное использование многомерных методов, основанных на допущении ортонормальности ковариационной матрицы и на линейных комбинациях переменных (таковых в статистике большинство). При этом, очевидно, чем больше различаются формы, то есть чем дальше друг от друга соответствующие точки расположены на гиперсфере, тем сильнее сказывается эффект нелинейности. Поэтому статистические методы адекватно описывают различия по форме (распределение точек на гиперсфере), только если эти различия «малы» (Bookstein, 1991). Для устранения этого ограничения используется линейное (евклидово) тангенциальное пространство (tangent space). Если последнее представимо как гиперсфера, то тангенциальное пространство — это гиперплоскость, касательная к ней (см. рис. 3). Точка касания плоскости к сфере определяет положение усредненной (для данной совокупности экземпляров) конфигурации меток. Морфологические объекты представимы как проекции исходных точек на эту плоскость, так что свойства их распределения отображаются без существенной потери информации. Мерой сходства в данном случае служит расстояние на плоскости: фактически это евклидова дистанция de. Очевидно, что de и dp связаны между собой монотонной линейной функцией, так что шкала различий искажается не слишком сильно, особенно если эти различия невелики. Математические свойства кендэллова пространства позволяют считать, что в общем случае различия между реальными морфологическими объектами, исследуемыми в биологии, в целом действительно «малы»: соответствующие им точки распределены в окрестностях названной точки касания (Rohlf, 1996, 1999). Эмпирически степень вышеуказанного искажения определяется сопоставлением величин двух дистанций, вычисленных для данной выборки, — угловой прокрустовой (на поверхности кендэллова пространства) и евклидовой (на поверхности тангенциального пространства) с помощью программы TPSsmall. Практически во всех известных случаях допущение линейности подтверждается; исключение составляет лишь сравнение объекта со своим зеркальным отображением (Rohlf, 1999). Следует особо подчеркнуть одну важную особенность кендэллова (и, соответственно, тангенциального) пространства. Его геометрия задается не характером отношений между исследуемыми экземплярами (в частности, ковариацией меток), а исключительно конфигурацией эталона. Образно говоря, сначала на основе этой конфигурации формируется кендэллово пространство, а затем уже на него как бы проецируются собственно исследуемые объекты (уместной аналогией может быть поверхность Земного шара, на которую «спроецированы», скажем, города). Это значит, среди прочего, что, в отличие, например, от факторного анализа, в котором геометрия пространства осей (в частности, его ортонормальность) устанавливается апостериорно по результатам анализа всей выборки и зависит от структуры ее ковариационной матрицы, в геометрической морфометрии ортонормальность многомерного распределения задается прокрустовой метрикой до анализа данных и — это особенно важно — в общем случае не зависит от структуры сходственных отношений экземпляров (Bookstein, 1996). Из этого видно, что выбор эталонного объекта играет важную роль исследованиях методами геометрической морфометрии. Вводя тот или иной эталон, меняя координаты его меток, мы тем самым автоматически меняем геометрию кендэллова пространства. Поэтому вполне обоснованно в качестве эталона рекомендуется использовать именно усредненную конфигурацию: она соответствует точке касания тангенциального пространства и занимает центральную часть распределения, так что выравнивание относительно нее приводит к меньшим искажениям исходной (на поверхности кендэллового пространства) структуры сходственных отношений, нежели при использовании какой-либо «периферийной» конфигурации, обозначающей, скажем, начало морфологического ряда (Rohlf, 1996). Кроме того, в этом случае свойства кендэллова пространства оказывается косвенно зависящими от геометрии исследуемых экземпляров, для которых вычисляется усредненная конфигурация. Такой способ формирования кендэлловых пространств определяет одно важное их свойство: они оказываются «локальными». Это значит, что каждое такое пространство, сформированное на основе некой отдельной эталонной конфигурации, оказывается «изолированным» от других поространств, сформированных на основе других эталонов. Это чисто математическое свойство, вытекающее из теоремы немонотонности (Н. МакЛеод, in litt.), делает такие пространства своего рода «замкнутыми аксиоматиками», для взаимной интерпретации которых необходимы некие «трансляторы». Данная проблема в настоящее время только начинает осознаваться, да и то едва ли в полной мере. Дело в том, что несопоставимость результатов, полученных для разных кендэлловых пространств (операционально — для разных массивов данных), по сути, противоречит самой природе сравнительного метода, вне которого никакое биологическое исследование немыслимо. Так что названная проблема несопоставимости разных «локальных» кендэлловых пространств требует некоего общего решения, без которого возможности самого этого подхода оказываются весьма «локальными». Из базовых свойств кендэллова пространства следует, что методы геометрической морфометрии в общем случае не ограничены законами распределения. Поэтому для них не актуальны ограничения, связанные с необходимостью выполнения этих законов, с размером выборки и т.п. Это обстоятельство, вообще говоря, делает необязательным исчисление доверительного интервала для Ф-переменных и, соответственно, оценку статистической значимости результатов (но см. далее раздел «Количественные сравнения форм»). ДАННЫЕ Областью исследований геометрической морфометрии является разнообразие формы морфологических структур — физических тел, на поверхности которых можно осмысленно расставить метки и снять с них декартовы координаты. Это разнообразие может быть неопределенной индивидуальной изменчивостью; различиями между таксонами, полами, кастами насекомых, биоморфами и экотонами и другими дискретными группами; онтогенетическими или филогенетическими рядами; серией поз, фаз локомоции (MacLeod, Rose, 1993); флуктуирующая асимметрия (Klingenber, McIntyre, 1998); и так далее. В общем случае морфологический объект трехмерен. В аппарате рассматриваемого подхода нет теоретических ограничений на его исследование в трехмерном представлении. Однако некоторые технические ограничения — в частности, чувствительность оцифровывающей техники — в настоящее время делают получение соответствующих данных для небольших объектов (скажем, длиной до несколько сантиметров) весьма проблематичным (Dean, 1996). Поэтому чаще всего приходится работать с двумерными объектами — либо с плоскостными проекциями объемных структур, либо с такими плоскими структурами, для которых третье измерение не имеет особого биологического смысла. К числу последних относятся, например, крыло насекомого, во многих случаях лист растения, жевательная поверхность зуба полевки и т.п. Разумеется, такая «редукция» трехмерного объекта к его двухмерной проекции зачастую ведет к потере биологически значимой информации. Что же, «за неимением гербовой пишут на простой»… Некоторым утешением служит лишь то, что использование линейных промеров едва ли многим лучше: ведь даже для такой сравнительной простой морфологической структуры, как нижняя челюсть позвоночного, необходима сложная система многих десятков измерений, связанных в некое подобие триангуляционной сети, чтобы дать более-менее адекватное описание объемной фигуры (В.А.Лапшов, устное сообщение) — что же говорить о структурах такой сложной конфигурации, как осевой череп? В качестве полумеры разработана методика «псевдо-трехмерного» представления объекта на анализе совокупности нескольких двухмерных проекций, расположенных под определенными строго фиксированными углами (Fadda et al., 1997). Выборка экземпляров для исследования методами геометрической морфометрии составляется с учетом следующих обстоятельств. Морфологические структуры строго сопоставимы лишь в том случае, если они соотнесены с одним и тем же кендэлловом (или тангенциальным) пространством. Это значит, что все исследуемые экземпляры должны включаться в одну выборку (об исключениях см. ниже), для них должен задаваться (или вычисляться) единый общий эталон, даже если они относятся к разным биологическим группам. Если в качестве эталона используется не высчисленная усредненная конфигурация, а некий реальный (или гипотетический) морфологический объект, он также должен быть единым для всех выделяемых и сравниваемых группировок. Так, если предполагается с помощью дисперсионного или дискриминантного анализа оценивать различия между полами или видами по Ф-переменным, все соответствующие экземпляры должны на первом этапе сравнения исследоваться как единая совокупность. Если задача исследования предполагает определение значений некоторых Ф-переменных независимо для каждой из этих групп, для их сравнимости необходима следущая процедура. Сначала для всей этой совокупности определяется общая эталонная конфигурация. Затем каждая из групп исследуется отдельно от прочих, но соотносится с данной общей эталонной конфигурацией: это, очевидно, должно означать, что они соотносятся с одним и тем же кендэлловым пространством. Методы геометрической морфометрии основаны на анализе конфигурации всей совокупности меток, размещенных на исследуемой морфологической структуре. Поэтому наиболее «подходящими» для них являются монолитные или жестко сочлененные структуры с минимумом степеней свободы (Adams, 1999) — такие, как крыло двукрылого насекомого, лист растения, та или иная проекция осевого черепа. В отличие от них, крыло летучей мыши менее «удобно»: его элементы очень подвижны относительно друг друга, поэтому серьезную проблему представляет определение «стандартного» положения (Birch, 1997). Что касается расчлененных структур, то, очевидно, объединять в один массив (файл) данных можно только такие, для которых взаимное положение и смещение меток имеет биологический смысл. Так, одной совокупностью данных можно считать метки, расставленные на общей проекции осевого черепа и нижней челюсти, причем желательно при сомкнутых зубных рядах, что соответствует стандартному для всех зверей положению. Напротив, полностью лишено смысла объединение в один массив конфигурации черепа и, скажем, лопатки. Для каждой из таких структур нужно составлять отдельный массив данных и анализировать по отдельности; сравнивать же их между собой можно с помощью канонического или корреляционного анализа (см. следующий раздел). Усредненную конфигурацию можно вычислять для любой совокупности экземпляров, включенных в данную выборку (то есть координаты которых записаны в отдин файл). Так, если нужно оценить «усредненные» различия между полами или видами, то для каждой из сравниваемых совокупностей следует составлять отдельную выборку, вычислять для нее усредненную конфигурацию, а затем эти конфигурации включать в новую выборку (записывать координаты их меток в отдельный файл). Это позволяет более четко выявлять искомые различия между морфологическими структурами. Анализ формы гнатосомы нескольких видов клещей рода Ixodes (Волцит, Павлинов, 1994) показывает, что при сравнении разных полово-возрастных групп различия между взрослыми самцами по усредненным конфигурациям оказываются более отчетливыми, чем по индивидуальным экземплярам (рис. 4). Поскольку геометрическая морфометрия базируется на исследовании попарных отношений объектов, а не их распределений, объем выборки, в том числе соотношение числа экземпляров и меток, особого значения не имеет. Однако если предполагается использовать стандартные статистические методы (например, дисперсионный анализ), объем выборки должен быть достаточно большим. А если эти методы включают инверсию ковариационной матрицы, то число экземпляров в выборке должно не менее чем в 4 раза превышать число меток (Bookstein, 1996). Вышеуказанная «осмысленность» расстановки меток означает, в первую очередь, что метки на одном объекте должны быть взаимно однозначно соотнесены с метками на другом. Это значит, что одни и те же метки должны быть «привязаны» к таким фиксированным точкам на поверхности объекта, которые в определенном смысле являются «одними и теми же». В соответствии с основанием, по которому устанавливается соотносимость меток, выделяют несколько их типов (Bookstein, 1990a; Slice et al., 1996; MacLeod, 2001). Метки типа I устанавливается в соответствии с классическими критериями гомологии (прежде всего, специального качества). Таковы, например, метки, фиксированные в местах крепления определенных сухожилий на кости или слияния определенных жилок на крыле насекомого. Для фиксации меток типа II большее значение имеют не только строго биологические, но и геометрические соображения — например, размещение меток в определенных точках наибольшей кривизны какого-либо контура (жевательной поверхности зуба, листа). Метки типа III определяются почти исключительно геометрически: их помещают в каких-либо экстремальных точках контура кривой (например, на концах диаметра окружности). Только соотносимые метки типа I и отчасти II можно считать гомологичными; метки же типа III едва ли гомологичны — они просто эквивалентны (MacLeod, 2001). В тех случаях, когда строгая фиксация меток не представляется возможной из-за отсутствия четких «привязок», допустимо использовать так называемые контурные точки (outline points) или полуметки (semilandmarks) (Bookstein, 1997; Павлинов, 2000а; MacLeod, 2001). Они расставляются равномерно в соответствии с заданным алгоритмом вдоль контура, не имеющего каких-либо однозначно сопоставимых («гомологизируемых») точек. В данном случае экземпляры сравниваются не по отдельным меткам, а по единой последовательности полуметок; соответственно, эквивалентность устанавливается не между отдельными метками, а между всей последовательностью точек, описывающей кривизну контура (рис. 5). Эта эквивалентность достигается тем, что число полуметок одинаково на всех сравниваемых контурах, причем первая и последняя из них обязательно фиксируются в строго определенных точках (то есть являются истинными метками типа I или II). Вопрос об эффективности использования полуметок в исследованиях формы нельзя пока считать окончательно решенным (Sampson et al., 1996; N. MacLeod, in litt.). Причина в том, что полуметки, последовательность которых порождена единым алгоритмом, взаимно скоррелированы; к тому же они, чтобы адекватно описать контур, должны быть близко расположены одна к другой. Все это накладывает определенные ограничения на применение к ним методов геометрической морфометрии. Во-первых, использование полуметок из-за их скоррелированности дает несколько смещенную оценку структуры разнообразия (занижает изменчивость). Во-вторых, их взаимная близость позволяет использовать только методы прокрустова наложения и исключает, по-видимому, применимость метода тонких пластин (об этих методах см. ниже) (F.J. Rohlf, in litt.). (Кстати, по указанной причине и стандартные метки желательно размещать достаточно равномерно и без локальных сгущений, если это допускают свойства объекта и задачи исследования). Таким образом, данный способ описания формы можно считать только вспомогательным. В реальной ситуации нередко приходится использовать комбинацию из разных типов меток и полуметок. Например, при описании латеральной проекции черепа мышевидного грызуна (рис. 6а) точкам 9, 11, 17 соответствуют метки типа I, точкам 6, 7 — метки типа II, точкам 8, 13 — метки типа III, точкам 1-5 — полуметки. Все преобразования форм в кендэлловом (и тангенциальном) пространстве являются непрерывными. Поэтому любые качественные изменения, ведущите к изменению топологии морфологической структуры, этому подходу, вообще говоря, пока недоступны. В частности, средствами геометрической морфометрии невозможно описать и, соответственно, аналитически исследовать различия, связанные с появлением/исчезновением структурных элементов — отверстий, дополнительных костей на черепе или бугорков на зубах, жилок на крыле насекомого или на листе. Некоторую надежду на разрешимость этой проблемы дают последние публикации Ф.Букштейна (Bookstein, 2000, 2001), в которых он обсуждает возможности использования нечто вроде теории катастроф Тома: подразумевается, что количественные изменения формы могут быть описаны как разрывы («кризисы») на поверхности кендэллова простраства. Пока подобные методы находятся только «в проекте», применяются различные «обходные маневры». Так, для выборки достаточно большого объема отсутствующую структуру можно обозначать «виртуальной меткой» (virtual landmark), координаты которой вычисляются как средние координат соответствующей реальной метки по всей выборке (Marcus et al., 2000; Pavlinov, 2001). Если мы имеем дело со слиянием/разделением структур, то этот тип качественных преобразований по крайней мере в некоторых случаях может быть описан как слияние/разделение соответствующих меток при сохранении их общего числа (Pavlinov, 2001). Известную методологическую проблему в геометрической морфометрии составляет анализ формы билатерально симметричных структур (Bookstein, 1996). Дело в том, что при прокрустовом выравнивании те метки, которые задают ось симметрии, не имеют никакого преимущества перед прочими метками. Поэтому при совмещении объектов с в разной степенью нарушенной симметрией ось симметрии будет вращаться, если того потребует метод наименьших квадратов. Если асимметрия не является важной частью геометрии морфологического объекта (например, череп у зубатых китов) или не служит специальным предметом исследования (например, флуктуирующая асимметрия), то решением может быть работа с одной его половиной. При этом либо метки изначально расставляются только на какойто одной стороне — правой или левой; либо тождественный набор меток расставляется на обеих сторонах, а затем координаты усредняются для каждой пары соответствующих эквивалентных меток. Способы оцифровывание морфологических объектов, то есть «превращение» их в компьютерные (экранные) образы, пригодные для исследования средствами геометрической морфометрии, достаточно разнообразны. Их выбор определяется размерами (большой — маленький) и конфигурацией (объемный — плоский) самих объектов, задачами исследования (насколько они позволяют «редуцировать» трехмерный объект до двухмерного), а также доступностью соответствующей техники (см. несколько устаревший обзор: Becerra et al., 1993). Снятие трехмерных координат меток возможно с самого натурного объекта, если доступны электромагнитный пальчиковый дигитайзер типа Polhemus 3SPACE или бинокуляр типа Reflex. Двухмерные координаты снимаются с плоскостных изображений объектов — либо непосредственно с них (фотографии, рисунки и т.п.) с помощью планшетных дигитайзеров типа ArtZ II Vacom, либо на мониторе с помощью экранных дигитайзеров. Во втором случае изображение объекта предварительно вводится в компьютер оцифровывающей камерой или через сканер. Для многих задач, основанных на анализе двухмерных объектов, работа с экранными дигитайзерами наиболее эффективна, поскольку на мониторе изображение можно многократно увеличивать, что повышает точность размещения меток. Для расстановки контурных точек экранный дигитайзер — пока единственная возможность. Для того, чтобы минимизировать ошибки снятия координат, «точкование» каждого экземпляра рекомендуется проводить несколько раз, причем желательно с перерывом (или разными руками). После этого по всей совокупности повторностей для данного экземпляра вычисляются усредненные координаты, которые и используются в дальнейшем анализе. Существует множество программ с возможностями экранного дигитайзера. Непосредственно для нужд геометрической морфометрии написаны Morpheus et al., WinDig; весьма удобна и потому популярна TPSdig. Значения координат автоматически записываются в файл данных, в большинстве программ в кодах ASCII (реже в формате электронной таблицы). При использовании экранных дигитайзеров ранее записанные координаты легко поддаются редактированию прямо на экранном изображении (в чем еще одно преимущество этого метода сбора данных по сравнению с «точкованием» натурных объектов). Чаще всего в геометрической морфометрии используют непосредственно декартовы координаты меток или контурных точек. При использовании экранного дигитайзера этими координатами обычно являются x,y-расстояния между меткой и левым верхним углом монитора в пикселях. Если для задач исследования нужно фиксировать какую-то преимущественную «точку отсчета» в описании формы, вычисляют так называемые букштейновы координаты (Bookstein coordinates) (Bookstein, 1991). Для этого из множества меток выбираются две, определяющие уже упоминавшуюся базовую линию: это, в зависимости от задач исследования, могут быть наиболее удаленные друг от друга метки или, например, обозначающие какую-либо функционально значимую структуру. Этим меткам присваиваются координаты (0,0) и (1,0), прочие метки переопределяются как вершины треугольников с общим основанием, заданным базовой линией; соответственно пересчитываются их координаты. Это автоматически ведет к выравниванию объектов. В сравнении экземпляров те метки, которые определяют базовую линию, не используются. Букштейновы координаты вычисляются, например, в программе Shape. В настоящее время разрабатываются методы замещения координат отсутствующих меток вычисленными: в основе лежат те же модификации метода наименьших квадратов, используемые при выравнивании экземпляров (Slice, 1993c). Это позволяет не только включать в анализ неполные фрагменты, но и реконструировать («достраивать») форму их недостающих частей по результатам проведенного анализа. Благодаря этому в сферу геометрической морфометрии могут быть вовлечены многие палеонтологические материалы. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ ФОРМ Поскольку экземпляры при их оцифровывании в общем случае размещены произвольно относительно друг друга (и какой-то контрольной точки — например, левого верхнего угла монитора), непосредственно по координатам меток они между собой не сопоставимы. Поэтому первой процедурой геометрической морфометрии с необходимостью оказывается уже упомянутый выше переход от исходных координат к неким Ф-переменным, значениями которых являются координаты меток в кендэлловом (или в тангенциальном) пространстве. Это задает определенным образом фиксированное положение экземпляров в названном пространстве, что делает конфигурации их меток (то есть их формы) полностью сопоставимыми. В геометрической морфометрии, как уже отмечено выше, все начинается с выравнивания объектов (точнее, их компьютерных образов), в результате чего исключаются различия, связанные со смещением, масштабированием и поворотом объектов (но не с их зеркальным отображением). Существует несколько методов выравнивания, из которых наиболее общими являются два: стандартный метод наименьших квадратов (или его непараметрические аналоги — в частности, прокрустово совмещение = Procrustes fit) и специфический для данного подхода метод резистентного совмещения (resistant fit) (ранее я его обозначал как «совмещение растяжением», что едва ли точно). Они могут быть представлены (Rohlf, 1990) как жесткое «вращение» одного объекта относительно другого так, чтобы минимизировать разницу между ними по координатам меток. В первом методе минимизируются сумма квадратов расстояний между объектами (точками тангенциального пространства) по всем меткам (Bookstein, 1991). Во втором (Rohlf, Slice, 1990) используется мединная мера соответствия и принимаются во внимание только наименее различающиеся метки, так что «аномальные» метки мало влияют на общий результат совмещения. Недостатком этого метода является то, что его статистические свойства исследованы плохо, а критерий минимизации не формализован (Rohlf, 1993). В стандартной (standard fitting) процедуре экземпляры совмещаются с эталоном попарно за один «заход»; в обобщенной (global fitting) процедуре используется итеративная техника формирования эталонной конфигурации и, соответственно, выравнивания. Кроме того, оба метода могут быть дополнены процедурой аффинного совмещения (affin fitting), позволяющего учесть при выравнивании однородную компоненту. Конечным результатом применения метода наименьших квадратов является количественная оценка различий экземпляров по форме (прокрустова дистанция), результатом применения метода резистентного совмещения — геометрическое представление этих различий (о них речь ниже) (Bookstein, 1996). После приведения экземпляров к «общему знаменателю» (когда устранены различия в положении, поворотах и размерах) между ними сохраняются некоторые различия, о чем свидетельствует дисперсия вокруг меток эталонной конфигурации (см. рис. 6б). По определению они считаются различиями по конфигурации (взаиморасположению) меток в тангенциальном пространстве — то есть по форме. Их количественной мерой служат так называемые прокрустовы остатки (Procrustes residuals), вычисляемые по каждой из меток; сумма квадратов этих остатков дает общую оценку сходства/различия по форме (прокрустову дистанцию в названном пространстве) между сравниваемыми экземплярами. Поскольку метод наименьших квадратов является приближенным, то и названная оценка также нестрогая — это необходимо иметь в виду, обсуждая «тонкие детали» структуры сходственных отношений. В геометрической морфометрии наиболее употребимы два общих количественных метода сравнения, реализованные в большинстве соответствующих программ. Один из них основан на методе наименьших квадратов, другой — на методе тонких пластин. Первый более эффективен, когда основной вклад в общие различия дает небольшое число меток (то есть если различия четко локализованы), второй — когда различия слабо локализованы и определяются большим числом меток (Rohlf, 1996). Метод наименьших квадратов – это метод наложения (superimposition), который служит непосредственным продолжением выравнивания объектов на основе прокрустова или резистентного совмещения. Прокрустовы остатки, возникающие после совмещения, рассматриваются как специфические Ф-переменные — прокрустовы координаты (Rohlf, 1999). Их суммирование дает матрицу прокрустовых дистанций, которая затем используется в многомерной статистике без каких-либо дальнейших преобразований. Очевидно, варьирование техники метода наложения (обзор см. у Dryden, Mardia, 1998) влияет на величину этих дистанций. Кроме того, в программе Morphometrika матрица прокрустовых остатков непосредственно раскладываются на собственные вектора методом главных компонент. В этом случае Ф-переменными оказываются координаты в пространстве главных компонент, по ним сравниваются объекты. Существенно иным является метод тонких пластин (thin-plate spline analysis). Его аппарат отчасти заимствован из теории сопротивления материалов: метод основан на уподоблении двумерного морфологического объекта тонкой однородной деформируемой металлической пластине (Bookstein, 1989b, 1991). В данном случае один экземпляр совмещается с другим путем до полной тождественности в конфигурации меток путем «растяжения/сжатия», количественной мерой соответствующих мягких деформаций служит коэффициент «энергии искривления» (bending energy). Последний играет роль плавной интерполяционной функции, параметры которой основаны на физических свойствах однородной металлической пластины. Поэтому названный коэффициент, в отличие от прокрустовой дистанции, нельзя интерпретировать как обобщенную меру подобия форм. Его биологический смысл состоит лишь в том, что он численно выражает «локализуемость» изменений, которые претерпевает конфигурация меток эталона при его превращении в исследуемые экземпляры (Bookstein, 1993). Метод тонких пластин реализован в программах Morpheus et al. и ряда программ серии TPS. Этот метод является многошаговым, его применение дает несколько последовательно надстраиваемых Ф-переменных. В данном случае они называются деформациями (warps), которые задают геометрию тангенциального пространства и распределение в нем сравниваемых объектов. Ключевым для метода тонких пластин является айген-анализ, в результате которого матрица коэффициентов энергии искривления размерностью pp раскладывается на p взаимно ортогональных собственных векторов, называемых главными деформациями (principal warps) (Bookstein, 1989, 1990). Их геометрия определяется исключительно конфигурацией меток на эталонном объекте и описывает возможные направления изменений этого объекта в тангенциальном пространстве. Эта Ф-переменная самостоятельного значения не имеет, служит главным образом как некое «геометрическое устройство», организующее тангенциальное пространство и позволяющее ввести в метод тонких пластин другие Ф-переменные — частные и относительные деформации (см. далее). Собственные числа главных деформаций, последовательно убывающие от первой деформации к последней, определяются масштабами (локализуемостью) изменений эталона. Наибольшие значения чисел первых деформаций соответствуют наименьшим по масштабам изменениям, которые происходят между наиболее близко расположенными метками (не какимито двумя конкретными, а вообще — наиболее близкими). Соответственно, деформации с наименьшими значениями этих чисел отражают наибольшие по масштабам изменениями, в которые вовлечены наиболее удаленные друг от друга метки. Линейные изменения конфигурации меток не локализуемы, им соответствует «хвост» распределения из трех главных деформаций с нулевыми значениями собственных чисел. Если задачей исследования ставится анализ только неоднородных (нелинейных, локализуемых) изменений, то эти «нулевые» главные деформации могут быть исключены из последующего анализа, в результате чего матрица собственных векторов редуцируется (с некоторой потерей информации) до размерности p–3. Размерность соответствующего тангенциального пространства оказывается равной p–k–1. Чтобы соотнести объекты исследования с тангенциальным пространством, сформированным главными деформациями, на основе последних определяется новый класс Фпеременных — частные деформации (partial warps) (Bookstein, 1989). Они вычисляются как координаты проекций выровненных экземпляров на каждый из векторов, соответствующих главным деформациям. В результате для n экземпляров получается матрица np значений частных деформаций; если линейная компонента исключена, то размерность матрицы n(p–3). Грубо говоря, для каждого экземпляра эти значения показывают степень его отличий от эталона по каждой из деформаций; их также можно интерпретировать как такое «количество» каждой из главных деформаций, которое необходимо для преобразования эталона в этот экземпляр. На этом основании Рольф (Rohlf, 1993) вообще избегает термина «частные деформации»: для него — это приписываемые главным деформациям «веса», которые отражают вклад названных деформаций в преобразования эталона в каждый из сравниваемых экземпляров. В общем случае, частные деформации отражают распределение экземпляров в тангенциальном пространстве, которое обрисовано главными деформациями соответствующего эталона. Из этого следует, что геометрия частных деформаций определяется только геометрией главных деформаций и, как и последние, не зависит от ковариации в выборке. Поэтому эта геометрия неустойчива: изменение эталона влечет за собой изменение и самой этой геометрии, и размещения проекций объектов в нем — то есть значений частных деформаций. И главные, и частные деформации сильно скоррелированы друг с другом и потому не могут интерпретироваться по отдельности как некие признаки, каждый из которых имеет какойто специфический биологический смысл. В известном смысле их можно уподобить гармоникам, выделяемым при анализе рядов Фурье (Rohlf, 1998). Каждая отдельная гармоника сама по себе не имеет смысла — только их совокупность, определяющая в целом конфигурацию контура. Точно так же и отдельная частная деформация не может быть сопоставлена с тем или иным конкретным преобразованием формы морфологических структур. Анализ распределения экземпляров по осям каждой из частных деформаций позволяет выявить, с какими по масштабу изменениями соответствующей морфологической структуры связаны их основные различия. Если последние приходятся главным образом на первые деформации, то они преимущественно мелкомасштабны; если на последние деформации — крупномасштабны; если на «нулевые» деформации, велика доля различий по линейной компоненте формы. Так, оценка распределения полово-возрастных групп клещей Ixodes в пространстве 12 выделенных частных деформаций (см. рис. 4) позволяет заключить следующее. Взрослые самцы в целом наиболее четко отделяются по 11-ой и 5-ой деформациям, а также по однородной компоненте (рис. 7): следовательно, они отличаются от прочих полово-возрастных групп (личинок, нимф и взрослых самок) прежде всего общей формой гнатосомы. В дополнение к этому, группа самцов, обозначенная № 8, резко обособлена по 3-ей частной деформацией: это значит, что ее специфика выражены также и по мелкомасштабным деталям строения гнатосомы. Чтобы устранить ограничения, присущие частным деформациям, на основе их ковариационной (а не корреляционной) матрицы методом главных компонент вычисляются относительные деформации (relative warps) (Bookstein, 1991; Rohlf, 1993). Они представляют собой собственные вектора указанной матрицы, взаимно ортогональны, полная размерность матрицы относительных деформаций для n экземпляров равна nmin(n–1, p(или p–3)) — то есть она определяется числом экземпляров, а не меток. Распределение экземпляров во вновь сформированном пространстве форм задается координатами их проекций на каждую из относительных деформаций. Кроме того, эти деформации могут быть вычислены также непосредственно на основании матрицы прокрустовых остатков. Поскольку метод вычисления относительных деформаций аналогичен методу главных компонент, первые относительные деформации берут на себя значительную часть доли общей дисперсии в тангенциальном пространстве: об этой доле можно судить по значениям собственных чисел. Соответственно, последние относительные деформации, на которые приходится исчезающе малая доля общей дисперсии, можно считать избыточными. Следвательно, переход к этому классу Ф-переменных допускает редукцию размерности пространства форм. При вычислении относительных деформаций вводится важный параметр , который позволяет присвоить разные или одинаковые «веса» изменениям разного масштаба (в вышеуказанном смысле — то есть разным главным деформациям) (Rohlf, 1993). При >0 из анализа исключаются «нулевые» главные деформации, соответствующие однородным (нелокализуемым) изменениям, ординация экземпляров производится на основании матрицы коэффициентов энергии искривления. При этом при =1 оставшиеся «ненулевые» главные деформации «взвешиваются» обратно пропорционально квадратному корню их собственных чисел. В результате, чем больше масштаб изменений в конфигурации меток эталона, тем больше их вклад в распределение экземпляров по осям относительных деформаций. При =0 в анализ включаются все главные деформации, причем им приписывается одинаковый вес, так что относительные деформации в данном случае по сути вычисляются на основе прокрустова метода совмещения, а не метода тонких пластин. Это значение следует принимать, если метки (и особенно полуметки) очень близко расположены одна к другой. Существенно, что при =0 соотношение расстояний между экземплярами в пространстве относительных деформаций получается таким же, как и по исходным координатам меток (Rohlf, 1993). На этом основании можно считать, что распределение экземпляров в названном пространстве непосредственно отражает структуру их сходственных отношений, задаваемую евклидовой метрикой. Поэтому нулевое значение параметра в общем случае предпочтительно. Но если исследование направлено на анализ аллометрических ростовых зависимостей, то следует принимать =1, поскольку аллометрические соотношения чаще проявляются именно при крупномасштабных изменениях формы. Для того, чтобы отдельные относительные деформации можно «локализовать», их нужно соотнести с конкретными метками. Для этого вычисляется матрица нагрузок (разложенных по декартовым осям x, y, при трехмерном анализе также z) каждой метки на каждую относительную деформацию (табл. 1). Как и в методе главных компонент, нагрузки показывают, насколько велик вклад данной метки в изменения, которые претерпевает эталон в пространстве относительных деформаций. Кроме того, поскольку оси этого пространства взаимно ортогональны, распределение вкладов меток в каждую из относительных деформаций также позволяет выявить, какие составляющие изменения формы взаимно независимы. Так, из данных табл. 1 видно, что среди меток на осевом черепе мышевидных грызунов (см. рис. 6) наибольшую нагрузку дают: на первую относительную информацию — метки 11, 17, 18; на вторую — метки 14, 15, 19. Это показывает, что изменения положения заднего края зубного ряда и переднего края массетерной площадки взаимосвязаны и мало скоррелированы со смещением средней части скуловой дуги и затылочного мыщелка. Аналогичным образом выявляется вклад однородной компоненты в общее разнообразие формы. Как видно из данных той же таблицы, ее исключение для осевого черепа дает некоторое возрастанию дисперсии, приходящейся на I и II относительные деформации, а для нижней челюсти —нет. Это означает, что в первом случае мелкомасштабные (локализуемые) изменения формы преобладают над нелокализуемыми, а во втором — наоборот. Сравнивать между собой абсолютные значения нагрузок, вычисленных для разных морфологических структур, очевидно, не имеет смысла. Однако распределения долей дисперсии (собственных чисел) непосредственно сопоставимы: по ним можно судить о том, а) насколько взаимосвязаны взаимные те или иные изменения у разных структур и/или б) насколько велик вклад локальных трансформаций в общее разнообразие исследуемых форм. Так, из данных табл. 1 видно, что для осевого черепа в сравнении с нижней челюстью доля дисперсии, приходящаяся на первую деформацию, заметно выше, чем на вторую. Это, в совокупности с резкой диспропорцией в распределении нагрузок в пределах каждой из деформаций, служит косвенным указанием на то, что нелинейные изменения формы более резкие и локализованы более четко (то есть ограничены небольшим числом меток) на осевом черепе в сравнении с нижней челюстью. Исследуя Ф-переменные, полученные для одной и той же или для разных морфологических структур, необходимо отчетливо представлять, что они — не более чем оси некоего фенетического гиперпространства. Коль скоро последнее, очевидно, является математическим артефактом, то и сами переменные, задающие его геометрию, не «самодостаточны» с точки зрения биологического содержания: они вычисляются на основе манипуляций с матрицей коэффициентов энергии искривления. Поэтому, как и в случае с переменными, получаемыми разными методами факторного анализа (главные компоненты, канонические переменные и т.п.), в отношении Ф-переменных достаточно бессмысленны суждения об их биологических «свойствах» — таких как гомология, наследуемость и т.д. Это же справедливо и в отношении анализа изменчивости названных переменных: оценка значимости различий между группами, направления географической изменчивости и т.п. формально возможна, но вполне бессодержательна. Все, что они позволяют, — дать оценку сходства по всей совокупности меток, с помощью которых описывается форма морфологической структуры. А прочие суждения осмысленны и содержательны лишь в той мере, в какой Ф-переменные могут быть соотнесены с конкретной частью данной морфологической структуры. При проверке гипотезы о неслучайном характере различий выборок или связей переменных прибегают к соответствующим статистическим тестам, «адаптированным» к особенностям Ф-переменных, прежде всего к подчеркнутой выше взаимной скоррелированности частных деформаций. Для оценки статистической значимости различий используется обобщенный F-критерий Гудолла (основан на анализе прокрустовых дистанций) или T2критерий Хотеллинга (основан на анализе прокрустовых остатков) (Goodall, 1991; Dryden, Mardia, 1998). Иногда вместо стандартных статистических тестов используют какой-либо из методов рандомизации — пермутацию, бутстрепинг и т.п. (Dryden, Mardia, 1998; Costa, Cesar, 2000). Если стоит задача сравнения нескольких групп по всей совокупности Ф-переменных, применяется многофакторный дисперсионный анализ (MANOVA, реализована в программах TPSregr и APS.). Так, при анализе влияния таксономической принадлежности и пищевой специализации в выборке мышевидных грызунов получены следующие результаты. Значения Fкритерия Гудолла, показывающие влияние названных факторов, составляют, соответственно: для осевого черепа — 1.86 и 5.43 (df 38, 608; p=0.002 и р0.001), для нижней челюсти — 3.12 и 2.79 (df 22, 352; р0.001). Как видно, для осевого черепа таксономическая принадлежность оказывается менее значимой (наиболее низкий уровень), чем пищевая специализация, для нижней челюсти — наоборот. Если необходимо сравнить группы по отдельным Ф-переменным, следует применять стандартный статистический анализ (см. следующий раздел). Оценка сопряженности изменений формы разных морфологических структур, данные по которым по тем или иным причинам не могут быть объединены в один массив (см. выше раздел «Данные»), возможна несколькими способами. Один из подходов основан на методе, аналогичном анализу канонических корреляций (программа TPSpls). В данном случае сначала для каждой структуры независимо вычисляются частные деформации в соответствии со стандартной процедурой. Затем для каждой матрицы частных деформаций вычисляются вектора (канонические переменные), которые попарно сравниваются между собой — первый с первым, второй со вторым и так далее. Точно так же можно оценивать сопряженность изменения формы морфологической структуры (в данном случае вычисляется единственный вектор) с любой количественной переменной — с размерами тела, с климатическим или иными факторами среды и т.д. (аналогично регрессионному анализу). В этом случаях получается обобщенный показатель сопряженности изменения формы в целом, не разложенной на отдельные Ф-переменные. Например, у мышевидных грызунов связь формы осевого черепа с формой нижней челюсти выражена четко, а с размерами тела незначительна (рис. 8): корреляция первых векторов, соответственно, 0.96 и 0.62. Еще один способ — оценка связи между отдельными относительными деформациями, выявленнными для разных морфологических структур, или между ними и другим переменным. Этот подход представляет особый интерес: выяснив, какие деформации наиболее скоррелированы между собой и какие метки входят в них с наибольшими нагрузками, можно установить, какие конкретно локальные изменения разных морфологических структур сопряжены (или не сопряжены) между собой. Так, при анализе осевого черепа и нижней челюсти выяснилось, что наиболее сильно скоррелированы между собой первые (для каждой из структур) относительные деформации. Сопоставление данных табл. 1 и изображений на рис. 6 позволяет заключить, что смещения зубного ряда и массетерной площадки осевого черепа (метки 11, 17, 18) теснее всего сопряжены с изменением конфигурации основания проксимальной части нижней челюсти (метки 4, 6, 11). Хотелось бы напомнить, что геометрия пространства форм зависит от конфигурации эталонного объекта. Поэтому, если в качестве эталона используется не центроид, а, скажем, начало морфологического ряда, и/или не декартовы, а букштейновы координаты, то для повышения достоверности результатов бывает полезно варьировать эталон и базовую линию, чтобы убедиться в достаточной устойчивости получаемых распределений относительно начальных условий анализа (Bookstein, 1996). Особую проблему составляет общая оценка разнообразия значений Ф-переменных. В настоящее время в геометрической морфометрии не разработан показатель, который был бы аналогичен стандартному коэффициенту вариации. В принципе возможно давать интегральную оценку разнообразия на основе прокрустовой дистанции; однако в данном случае возникают проблемы двоякого рода. С одной стороны, разработчики рассматриваемого подхода считают одной из ключевых его задач изучение «локальных», а не «тотальных» различий по форме, в связи с чем они скептически относятся к разного рода обобщенным показателям сходства/различия (типа «таксономических дистанций») как к чему-то заслуживающему специального содержательного анализа (Bookstein, 1996; Rohlf, 2001a; N. MacLeod, in litt.). И действительно, разные экземпляры могут различаться по разным меткам, а в прокрустовой дистанции эта специфика различий будет скрыта. С другой стороны, свойства прокрустовой дистанции еще не до конца выяснены: так, эмпирически установлено (собственные данные автора), что ее значения варьируют в прямо пропорциональной зависимости от числа меток, однако характер этой зависимости и, соответственно, поправочный коэффициент формально пока не выведены. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Как было отмечено в вводном разделе статьи, геометрическая морфометрия родилась в значительной мере как «технический инструмент» аналичитического решения геометрических задач, сформулированных Д’Арси Томпсоном. Поэтому творцы этого строго количественного по своей сути подхода неоднократно подчеркивали в публикациях, что основным его достоинством является не «цифирь», а именно геометрические образы, в которые могут быть воплощены количественные данные. Впрочем, следует сразу оговориться: графические формы представления результатов геометрической морфометрии не следует воспринимать «слишком буквально». Как вы помните, в основе ее алгоритмов лежат приближенные вычислительные алгоитмы — метод наименьших квадратов, метод тонких пластин. И если численные результаты реализации этих алгоритмов приближенные, то уж их графические результаты и подавно. Это скорее своего рода визуальные «метафоры», которые побуждают размышлять о возможных способах преобразования формы, но не в коем случае не картируют однозначно эти преобразования в каждой точке на поверхности морфологического объекта (Bookstein, 1996). Самой простым способом графического представления результатов анализа разнообразия формы является разложение матрицы остатков, полученных методом резистентного совмещения, на собственные вектора для каждой метки в отдельности. Эти вектора характеризуют направление и степень изменчивости в окрестностях каждой метки; в данном случае ковариация меток не учитывается. Наиболее наглядной визуализацией результатов этого анализа служат эллипсоиды, очерчивающие границы (условного) доверительного интервала дисперсии значений координат каждой данной метки на множестве сравниваемых экземпляров. Получаемая картина достаточно легко интерпретируется (см. рис. 6б): чем больше площадь эллипсоида, тем больше изменчивость; чем он более вытянут, тем более эта изменчивость упорядоченна (круг соответствует случайным вариациям); направление длинной оси эллипсоида указывает, в каком направлении происходит преимущественное изменение данной метки у эталонной конфигурации при ее трансформации в конфигурации исследуемых экземпляров. Этот метод, реализованный в программе GRF, фактически является одномерным потому сейчас не пользуется популярностью. Более изощренные техники, в основе которых лежит метод тонких пластин: они учитывают соотносительные изменения положения меток, то есть их ковариацию, и тем самым многомерные в полном смысле. Получаемые результаты служат графическим представлением частных и относительных деформаций. В данном случае используются два графических метода — если угодно, две графические «метафоры». Одна из них представляет названные деформации в виде трансформационной решетки (с которой, собственно, все и начиналось), другая — как систему векторов (рис. 9, 10). Оба они реализованы в программах TPSsplin, TPSpls, TPSrelw, TPSregr, Morpheus et al. В первом случае сначала на один объект (например, на эталон) «накладывается» ортогональная решетка (рис. 9а). Затем с ним совмещают другой объект и в зависимости от степени и характера различий между ними решетка так или иначе трансформируется (рис. 9б). Новая конфигурация решетки строится на основании совмещения меток по значениям коэффициента энергии искривления. Плавность соответствующей ему интерполяционной функции (см. выше) позволяет определять конфигурацию решетки и между метками, так что плотность линий (в общем случае их количество произвольное) может быть достаточно высокой. Очевидно, конфигурация решетки больше всего видоизменяется в тех местах, которые соответствуют наибольшим смещениям меток — то есть где локализованы наибольшие различия. Сходным образом создается векторное представление изменений формы. Впрочем, векторы, в отличие от решеток, жестко «привязаны» к меткам. Экземпляру, выбранному в качестве эталона, соответствуют векторы нулевой длины. При наложении на него другого экземпляра определенным образом меняются направление и длина векторов (рис. 9в). Как и в случае трансформационной решетки, имеет значение вся совокупность векторов или хотя бы те из них, которые соответствуют наиболее значимым меткам. Их направления указывают, куда смещаются метки при наложении двух сравниваемых экземпляров. Длина векторов прямо пропорциональна степени смещения меток и отражает, тем самым, степень различий. Коэффициент энергии напряжения не является метрикой и для него не соблюдаются некоторые ее аксиомы. В частности, не выполняется отношение симметрии: в данном случае (A,B) (B,A). Поэтому совмещение А с В и В с А дает разную конфигурацию трансформационной решетки и векторов: одно дело «растянуть», скажем, череп хомяка до черепа полевки и другое дело, наоборот, череп полевки «вжать» в череп хомяка (рис. 10). В обоих формах графического анализа степень искажений решетки или длину векторов имеет смысл обсуждать только в пределах данной деформации. Их масштаб достаточно условен, его можно менять для получения более отчетливой иллюстрации соответствующих изменений. Поэтому нельзя говорить, глядя на разные решетки или вектора, что на одной из них изменения больше, чем на другой (выше то же было оговорено в отношении прокрустовой дистанции). С помощью геометрического представления относительных деформаций демонстрируется, в какой части морфологической структуры локализованы различия при сравнении конкретных экземпляров и каков характер этих изменений, соответствующих данной деформаии. В общем случае степень искажения решетки в окрестностях метки (или, лучше, длина связанного с ней вектора) прямо пропорциональна нагрузке соответствующей метки на данную относительную деформацию и, таким образом, служит визуальным представлением численного значения этой нагрузки. Графическое представление различий по форме можно получить как при попарном сравнении объектов (см. рис. 10), так и для выбоки большего объема. Во втором случае важна демонстрация теоретически возможных (с точки зрения аппарата геометрической морфометрии, использующего плавную интерполяционную функцию) изменений формы эталона в пространстве относительных деформаций. По сути это означает демонстрацию того, как меняется форма исследуемых объектов в сравнении с эталоном в зависимости от их положения относительно выбранной оси (рис. 11). Если в качестве эталона выбрана усредненная форма, то положительным и отрицательным значениям координат сравниваемых экземпляров соответствуют «положительная» и «отрицательная» конфигурации решетки и векторов для каждой из деформаций. Конечно, этот знак чисто условен: речь идет о совмещении эталона (точки пересечения осей пространства деформаций) с объектами, которые удалены друг от друга в противоположные стороны от последнего. Поэтому полную картину изменений для данной деформации дает пара экстремальных конфигураций — «положительная» и «отрицательная». Графический метод может служить важным дополнением количественному многомерному анализу (типа MANOVA), выявляющему различия между группами. Для этого вычисляются усредненные конфигурации для каждой из групп (см. выше раздел «Данные»), которые затем совмещаются. Конфигурации трансформационной решетки показывают, с какими участками морфологической структуры преимущественно связаны различия, которые были выявлены статистически. Интересную возможность сравнения и оценки динамики формы морфологической структуры предоставляет программа TPStree, если имеется дендрограмма заданной топологии, отражающая интересующие исследователя отношения (например, родственные) между объектами. Для каждого ее фрагмента можно получить графическое представление отличий между усредненной конфигурацией для всей группы, сходящейся к данному узлу и конфигурацией, соответствующей основанию дендрограммы. Следует только иметь в виду, что если дендрограмма отражает родственные отношения, то названная конфигурация ни в коем случае не должна отождествляться с предковой для группы — она именно усредненная. ПРИМЕНЕНИЕ СТАНДАРТНЫХ МЕТОДОВ Геометрическая морфометрия ограничена изучением изменений формы как таковой. Ее численным «конечным продуктом», строго говоря, являются прокрустовы дистанции и значения частных деформаций, показывающие, в какой степени и чем одна форма отличается от другой. Но если задачи исследования простираются далее, возникает необходимость использовать другие количественные методы, которые имеются в арсенале стандартной статистики. Частично такие методы «встроены» в сам рассматриваемый подход и учитывают его особенности: в их числе — методы главных компонент и канонических корреляций, регрессионный и дисперсионный анализ (вкратце арассмотрены выше). Вместе с тем, некоторые широко используемые стандартные техники пока еще в инструментарий геометрической морфометрии не включены. Таковы, например, методы кластеризации, многомерное шкалирование, пошаговый дискриминантный анализ и т.п. Их применение в ряде случаев связано с некоторыми ограничениями, вытекающими из свойств распределения Ф-переменных: очевидно, данное обстоятельство необходимо принимать в расчет, планируя исследование (Bookstein, 1996; Rohlf, 1998, 2001a; Costa, Cesar, 2000). Большинство из этих свойств было упомянуто выше; суммируя изложенное, необходимо подчеркнуть следующее. Прежде всего следует еще раз напомнить, что сравнение выборок по Ф-переменным возможно только в том случае, если при их вычислении все особи, относящиеся к этим выборкам, были включены в один массив данных. Количественные результаты, полученные независимо для разных массивов данных средствами геометрической морфометрии, между собой пока строго не сопоставимы. Прокрустова дистанция является метрикой и поэтому с ней можно обращаться так же, как с евклидовой дистанцией, — например, использовать в многомерном шкалировании (Gower, 1975) или в кластерном анализе. В отличие от этого, коэффициент энергии искривления не обладает свойствами ни метрики, ни ультраметрики, так что исследовать матрицу значений этого коэффициента какими-либо стандартными методами не следует. Частные деформации взаимно скоррелированы и поэтому отражают сходство по форме только во всей совокупности. Каждая из них, взятая отдельно, осмысленно интерпретируемой информации не несет и потому не может анализироваться независимо от других. Кроме того, эта Ф-переменная по сути является не вектором, а тензором, поскольку задается парой (или тройкой) x,y(z) координат. Поэтому не рекомендуется исследовать матрицу npk значений частных деформаций методами одномерной статистики и многомерными, основанными на допущении ортонормальности (стандартный факторный анализ). В данном случае применимы такие методы как множественная регрессия, многомерный анализ варианс и коварианс (MANOVA, MANCOVA), дискриминантный анализ в стандартной форме (без отсеивания переменных); многомерные тесты вроде Т2 Хотеллинга, D2 Махаланобиса, «лямбда» Уилкса и др.; кластерный анализ на основе евклидовой дистанции, вычисленной по всей совокупности частных деформаций (Bookstein, 1996). В отличие от этого, относительные деформации взаимно нескоррелированы, так что к ним применимы не только все перечисленные методы, но и одномерные, а также пошаговый дискриминантный анализ. Только нужно помнить при этом, что относительные деформации (как и вообще главные компоненты) являются своего рода «математическим артефактом» и потому, например, исследовать различия по каждой из них с помощью T-критерия Стьюдента достаточно бессмысленно. Как и в случае частных деформаций, различия по относительным деформациям могут быть количественно оценены с помощью евклидовой дистанции, которая дает такие же результаты, что и прокрустова. Последнее обстоятельство особенно важно, поскольку есть некоторые задачи, которые связаны со стандартизацией данных, каковая вызывает наименьшие возражения как раз в случае относительных деформаций. Например, с помощью многомерного шкалирования можно оценить степень структурированности разнообразия формы морфологической структуры. Для этого распределения стрессов, полученные на последовательных шагах итеративной процедуры снижения размерности, сопоставляются для реального и случайного распределений (Пузаченко, 2001). Но поскольку величина стресса прямо пропорциональна величине дистанций, то данные, по которым последние вычисляются, должны быть одинаково стандартизованы — а это в существующих статистических пакетах проще осуществить на исходных переменных, а не на вычисленных по ним дистанциям. На рис. 12 показано распределение стрессов, полученных для двух матриц евклидовых дистанций. Одна из них рассчитывалась по значениям относительных деформаций, вычисленных в выборке из 60 третьих верхних коренных скальной полевки Alticola (некоторые варианты изображены на рис. 5); другая — по значениям, сгенерированным счетчиком случайных чисел; в обоих случаях значения переменных стандартизованы в интервале [0,1] (стандартизация и рандомизация выполнялись в пакете SYSTAT, многомерное шкалирование — в пакете Statistica for Windows). Как видно, две кривые фактически совпадают, что говорит о случайном характере распределения вариантов строения зубной коронки. На этом основании можно заключить, что в выявленных таким методом различиях отсутствует элемент дискретности. По-видимому, это лишний раз свидетельствует против самой возможности выделении «дискретных» морфотипов. Оценка влияния таксономической принадлежности и пищевой специализации на форму черепа мышевидных грызунов по отдельным относительным деформациям с помощью Fкритерия Фишера (ANOVA в пакете Statistica for Windows) дал следующие результаты. Наибольшую связь с обоими факторами, как и следовало ожидать, показала 1-ая относительная деформацию, «берущая» на себя наибольшую долю общей дисперсии. Что касается соотношения влияния факторов, то здесь результаты несколько отличаются от полученных с помощью критерия Гудолла (см. выше раздел «Количественные сравнения форм»). В данном случае обе морфологические структуры оказались зависимыми более от таксономической принадлежности, чем от пищевой специализации, значения F-критерия Фишера составили, соответственно: для осевого черепа — 30.38 и 12.81, для нижней челюсти — 16.73 и 4.01 (по критерию Гудолла для осевого черепа более значимой оказалась пищевая специализация). Вероятно, причина расхождения состоит в том, что 1-ая относительная деформация, вычисленная на основании метода тонких пластин, все-таки не «вбирает» в себя какие-то особенности разнообразия формы, которые содержит полный набор прокрустовых остатков. Особую проблему составляет оценка возможностей использования количественных результатов, полученных методами геометрической морфометрии, в кладистическом анализе, многие количественные методы которого уже стали вполне «стандартными». Попытки такого рода, основанные на анализе частных деформаций (Zelditch et al., 1995; Naylor, 1996; Zelditch, Fink, 1998), встретили достаточно резкий отпор (Adams, Rosenberg, 1998; Rohlf, 1998, 2001a; MacLeod, 2001). Причины достаточно очевидны. Частные деформации являются «математическими артефактами» — линейными комбинациями исходных координат меток, вычисленными с помощью неких алгоритмов: поэтому, в отличие от меток, они не могут быть «гомологизированы». В этом отношении от них выгодно отличаются относительные деформации, которые могут быть непосредственно соотнесены с конкретными метками (через «веса», см. выше) и, по-видимому, использованы в качестве переменных для кладистического анализа (MacLeod, 2001). Но здесь возникает еще одна проблема: обе эти Ф-переменные — строго непрерывные, причем это их свойств вытекает не из особенностей структуры морфологического объекта или разнообразия его состояний, а из плавности математической интерполяционной функции, соответствующей коэффициенту энергии искривления. Очевидно, что внесение в их распределение «дискретности», как того требуют рутинные методы парсимонии в кладистике, противоречит сути этих переменных. Д. Рольф (Rohlf, 1998, 2001a) считает, что наиболее реальную возможность получить филогенетически осмысленное древо по данным, полученным средствами геометрической морфометрии, предоставляет метод наибольшего правдоподобия (в трактовке Felsenstein, 1973, 1988, 2001), приложенный к матрице прокрустовых дистанций. Доводом в пользу этого служит то обстоятельство, что исходной статистической моделью в обоих случаях является броуновское движение в окрестностях некоторой центральной точки. Однако в отношении морфологических структур, которые исследует геометрическая морфометрия, подобная модель, по-видимому, лишена биологического смысла. С другой стороны, если имеется готовая кладограмма, полученная по каким-то другим структурам, то на нее можно «наложить» изменения исследуемой формы, выявленные средствами геометрической морфометрии (см. выше раздел «Графические сравнения»). Кроме того, на основе метода контрастов можно попытаться вычленить «филогенетический груз» в структуре разнообразия данной формы и с большим основанием обсуждать возможные причины ее исторических изменений (например, David, Laurin, 1996; Schaefer, Lauder, 1996). КОМПЬЮТЕРНЫЕ ПРОГРАММЫ В стандартные пакеты статистических программ, таких как SYSTAT, SPSS, SAS, Statistica и др., количественные методы геометрической морфометрии пока еще не встроены. Они реализованы в ряде специализированных программ, многие из которых были упомянуты выше. Почти все эти программы рассчитаны на платформу PC (операционные системы DOS, Windows, реже OS/2 и UNIX), немногие — на Mac. PC-ориентированные программы в ранних версиях работали из-под DOS, в более поздних — из-под Windows. Данные (координаты меток) хранятся в стандартных текстовых файлах в кодах ASCII, в виде исключения в формате электронной таблицы. Почти все эти программы распространяются через Интернет свободно (кроме Morphologika и последней версии NTSYSpc, которые являются коммерческим продуктом), доступ к ним возможен через Интернет-сайт, поддерживаемый Дж. Рольфом, по адресу http://life.bio.sunysb.edu/morph/. Ниже дан краткий обзор некоторых их них, наиболее употребимых (программы перечислены в алфавитном порядке). «Морально устаревшие» программные продукты, замещенные более поздними версиями или имеющие более продвинутые современные аналоги, здесь не рассматриваются. APS (Penin, 2000) исследует выборку из несколько экземпляров, выделяя главные компоненты (относительные деформации) на матрице прокрустовых остатков; позволяет сравнить две группы (дискриминантный анализ по прокрустовым остаткам), определяет регрессию каждой из выделенных компонент по центроидному размеру. Графическим представлением результатов служит распределение экземпляров в пространстве главных компонент. GRF (Rohlf, Slice, 1991) и GRF-nd (Slice, 1993b) — приложения DOS, работают с 2мерными (первая) и n-мерными (вторая) объектами. GRF-nd позволяет работать с неполными данными, выбирать метки. Экземпляры совмещаются методами наименьших квадратов и резистентного совмещения, прокрустовы остатки раскладываются методом главных компонент на собственные вектора, для каждой метки графически воспроизводится дисперсия в форме эллипсов или векторов. Morpheus et al. (Slice, 1993c) по сути представляет собой более продвинутую версию GRF-nd для работы на PC (в Windows, OS/2, UNIX) и Mac. Проводит прокрустов анализ (попарное сравнение экземпляров по всем меткам), графическим представлением результатов служит трансформационная решетка. Проводит также анализ Фурье. Позволяет сохранить в файлах координаты усредненной конфигурации, коэффициенты гармоник Фурье. Morphologika (O’Higgins, Jones, 1998) — очень хорошо организованное весьма красочное приложение Windows. Рассчитана на работу с 2- и 3-мерными объектами; позволяет выбор экземпляров и меток. Возможности невелики: программа проводит прокрустово совмещение, вычисляет по прокрустовым остаткам главные компоненты (относительные деформации), показывает распределение экземпляров и изменения трансформационной решетки в пространстве относительных деформаций. NTSYS-pc (Rohlf, 2000a) — начиная с версии 2.0 является приложением Windows, в которое включены некоторые элементы геометрической морфометрии. Программа рассчитана на анализ не только 2-, но и 3-мерных объектов (в отличие от серии TPS этого же автора). Вычисляет главные и частные деформации. Shape (Cavalcanti, 1996) вычисляет и сохраняет в файле букштейновы координаты по заданной базовой линии. TPS — серия программ, выпускаемых Дж. Рольфом. Ранние версии работают из-под DOS (здесь не рассматриваются), современные — приложения Windows, существуют в 16- и 32битной версиях. Рассчитаны на анализ только 2-мерных объектов. Многие из них имеют встроенный несложный редактор экранных изображений (управление цветом, размерами, метками), позволяют сохранять экранное изображение в файле графического формата. Поздние версии программ этой серии — один из наиболее мощных инструментов геометрической морфометрии; все они снабжены подробными справками. TPSdig (Rohlf, 2001b) — экранный дигитайзер, работает с графическими файлами большинства стандартных растровых форматов; кроме того, позволяет загружать некоторые мультимедийные фильмы и захватывать кадры; имеет фильтры, позволяющие отчасти менять плотность изображения. Позволяет расставлять и редактировать на экране метки и полуметки, сохранять их координаты в файле; при повторной загрузке последнего (если в нем прописан путь к графическому файлу) показывает на экране изображение экземпляра с расставленными метками. TPSpls (Rohlf, 1998a) проводит анализ канонических корреляций, позволяя оценивать сопряженность изменений формы двух морфологических структур или морфологической структуры и другой (линейной) переменной. Во многом работает сходно с программой TPSregr (см. далее). TPSpower (Rohlf, 1999c) — вспомогательная программа, позволяющая на случайной модели с заданными параметрами, соответствующими исследуемой выборке, выяснить пороговые значения оценок, вычисляемых некоторыми критериями. TPSregr (Rohlf, 1998b) проводит множественный регрессионный и дисперсионный анализы (в обоих случаях используется линейная модель) на основе частных деформаций. В первом случае независимыми переменными являются одна или несколько непрерывных (напр., общие размеры, температура), во втором — категориальные (цифровые коды групп). Отображает изменения формы, предсказанные уравнением регрессии, в форме трансформационной решетки. Дает оценку статистической значимости сопряженности независимых и Ф-переменных, сходства двух уравнений регрессии, различий между группами с использованием стандартных критериев или на основе пермутации. Отображает на экране эмпирическое распределение экземпляров и линию регрессии; позволяет сохранить в файле это изображение, а также параметры уравнения регрессии, прокрустовы остатки. TPSrelw (Rohlf, 1998c) вычисляет главные, частные и относительные деформации для выборки. Вычисляет и позволяет сохранить в файлах координаты эталонной конфигурации и экземпляров после их выравнивания, координаты экземпляров в пространствах частных и относительных деформаций, нагрузки меток на относительные деформации. При вычислении относительных деформаций позволяет варьировать параметр , включать и исключать однородную компоненту. Отображает на экране изменения формы в виде трансформационной решетки или векторов, распределение экземпляров в пространствах частных и относительных деформаций; позволяет сохранить экранные изображения в графическом файле. TPSsmall (Rohlf, 1998d) применяется для того, чтобы оценить соответствие данных требованиям линейной модели путем сопоставления прокрустовых (геодезических) и евклидовых дистанций. TPSsplin (Rohlf, 1997) на основе метода тонких пластин попарно сравнивает экземпляры выборки между собой и с вычисленным эталоном, основной формой представления результатов служат трансформационные решетки или векторы (возможности те же, что и в TPSrelw). Также вычисляет и позволяет сохранить в файле матрицы прокрустовой и геодезической дистанций. TPStree (Rohlf, 2000b) позволяет проследить, как меняется форма морфологической структуры на произвольно заданном иерархическом дереве (ультраметрическом или аддитивном). Описание дерева содержится в отдельном файле в формате NEXUS. Отображает на экране дерево и трансформационную решетку, конфигурация которой меняется в соответствии с положением курсора на дереве и отражает усредненную конфигурацию объектов, объединяемых в кластер, обозначенный курсором. Для каждого положения (соответствующего гипотетическому объекту) можно сохранить в файле координаты меток, значения частных деформаций. TPSutil (Rohlf, 2000c) — небольшая программа для редактирования файлов данных: позволяет объединять несколько файлов в один, исключать и включать метки, рандомизировать список экземпляров. WinDig (Lovi, 1996) — довольно простой экранный дигитайзер с возможностями редактирования экранных изображений. Кроме перечисленных выше программ, некоторые задачи геометрической морфометрии могут быть решены в стандартных статистических пакетах — например, в Matlab, SAS — при использовании соответствующих языков программирования (Marcus, 1993). КРАТКИЙ СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ Ниже приведен краткий словарь основных терминов, используемых геометрической морфометрией. Он в основном заимствован из публикации Slice et al. (1996). Обновленную версию этого словаря можно найти на веб-сайте по адресу http://life.bio.sunysb.edu/morph/. — «весовой» параметр, используемый в анализе относительных деформаций для придания различных (если отличен от нуля) или одинаковых (если равен нулю) «весов» различным главным деформациям. Аффинная трансформация (affine transformation) — линейная трансформация формы, при которой параллельные линии остаются параллельными (превращает квадрат в параллелограмм). То же, что однородная компонента. Базовая линия (baseline) — воображаемая линия, соединяющая пару меток, которым приписываются фиксированные значения координат (0,0) и (1,0). На этом основании определяется базис для вычисления Букштейновых координат. Букштейновы координаты (Bookstein coordinates) — для двухмерных объектов координаты меток, пересчитанные на основе базовой линии как координаты вершин треугольников основания которых совпадают с этой линией. Также обозначаются как двухточечные координаты (two-point shape coordinates). Выравнивание (alignment) — такое изометрическое изменение сравниваемых объектов, при котором их центроиды приводятся к единичному размеру, совпадающему с центроидным размером эталонной конфигурации. Главные деформации (principal warps) — айгенфункции матрицы коэффициентов энергии искривления, интерпретируются как деформированные плоскости (тонкие пластины), наложенные на исходную конфигурацию меток. Совокупность главных деформаций соответствует полному разложению разнообразия форм относительно эталонной конфигурации. В совокупности с однородной компонентой образуют ортонормальный базис для тангенциального пространства в окрестностях усредненной формы. Кендэллово пространство (Kendall’s space) — основополагающая интерпретация пространства форм в геометрической морфометрии. Образно говоря, представляет собой сферу, на поверхности которой распределены точки, соответствующие отдельным формам. Метрика пространства определяется прокрустовой дистанцией, задает полный набор геометрических характеристик для анализа отношений между формами. Большинство многомерных методов геометрической морфометрии представляет собой линейную комбинацию статистических оценок дистанций и направлений в этом пространстве. Метка (landmark) — особая точка на морфологическом объекте или на его оцифрованном образе, размещенная в соответствии с некоторыми правилами. Размещение меток определяется или согласно классическим критериям гомологии (тип I), или исходя из геометрических свойств объекта (типы II и III) (см. также полуметки). Наложение (superimposition) — трансформация одной или нескольких форм, позволяющая совместить ее (их) с некой другой формой. Наложение осуществляется по двум заранее заданным меткам (букштейновы координаты), по небольшому числу меток (резистентное совмещение) или по всем меткам методом наименьших квадратов (прокрустово совмещение). Однородная компонента формы (uniform shape component) — аспект различий между объектами по форме, моделью которого служит линейная (аффинная) трансформация. В совокупности с частными деформациями однородная компонента образует ортогональный базис для пространства форм. Относительные деформации (relative warps) — главные компоненты распределения форм в тангенциальном пространстве. Каждая относительная деформация соответствует некоторому направлению изменения формы относительно эталонной конфигурации, графическим представлением которого может служить деформация тонкой пластины. В методе относительных деформаций используется параметр , который (при 0) «взвешивает» изменения формы обратно пропорционально масштабу изменений. Относительные деформации вычисляются по частным деформациям или по прокрустовым остаткам. Переменная формы (shape variables) — любое описание геометрии биологической формы или ее оцифрованного образа, инвариантное относительно трансформаций, связанных со смещениями, поворотами и изменениями масштаба. Переменными формы являются углы, отношения и любые совокупности координат, вычисляемые в геометрической морфометрии (прокрустовы остатки, главные, частные и относительные деформации и т.п.). Полуметка (semilandmark) — элемент единой последовательности точек вдоль контурной линии, порожденной единым алгоритмом. Прокрустова дистанция (Procrustes distance) — мера различий между формами по координатам меток. Вычисляется как квадратный корень суммы квадратов разностей между координатами меток после оптимального (методом наименьших квадратов) выравнивания и совмещения объектов по центроидным размерам (см. также прокрустовы остатки). Прокрустово совмещение (Procrustes fit) — набор методов (наименьших квадратов) для минимизации различий между выровненными формами по координатам всех меток за счет их жесткого «вращения» относительно эталонной конфигурации. Прилагательное «прокрустово» заимствовано из древнегреческой мифологии: Прокруст — имя гиганта, который «совмещал» свои жертвы со своим ложем, вытягивая или укорачивая их. Прокрустовы остатки (Procrustes residuals) — совокупность векторов, связывающих метки данного экземпляра с эквивалентными метками эталонной конфигурации после прокрустова совмещения. Сумма квадратов длин этих векторов служит (приближенной) оценкой квадрата прокрустовой дистанции между данным экземпляром и эталоном. Пространство форм (shape space) — Фундаментальный алгебраический формализм в геометрической морфометрии. Каждая точка в этом пространстве соответствует конфигурации меток, из которой исключены размер, положение и поворотная ориентация, — то есть форма по определению. Распределение точек в пространстве форм соответствует распределению полных конфигураций, а не отдельных меток. Резистентное совмещение (resistant fit) — метод наложения, в котором используется медианный критерий соответствия, а не метод наименьших квадратов. При этом во внимание принимаются только метки, дающие небольшие различия между формами, так что метод менее чувствителен к экстремальным отклонениям, нежели прокрустово совмещение. Вместе с тем, данный метод не имеет хорошо проработанной теории распределения. Тангенциальное пространство (tangent space) — линейное пространство (плоскость), касательное к кендэллову пространству в точке, соответствующей эталонной конфигурации (обычно это усредненная конфигурация для исследуемой выборки). Если разнообразие форм невелико, евклидова дистанция в тангенциальном пространстве служит хорошей аппроксимацией прокрустовой дистанции в кендэлловом пространстве. Линейность тангенциального пространства позволяет при сравнении форм использовать многие стандартные методы статистики. Усредненная конфигурация (consensus configuration) — совокупность меток, соответствующих центральному моменту в исследуемой выборке. Обычно вычисляется для оптимизации некоторой оценки совмещения форм: в частности, при прокрустовом совмещении с помощью усредненной формы минимизируется сумма квадратов прокрустовых дистанций между экземплярами в исследуемой выборке. Форма (shape) — в геометрической морфометрии представляет собой геометрическое свойство конфигурации точек, инвариантное относительно перемещений, поворотов и изменений масштаба. Форма объекта представляет собой конфигурацию меток, которой соответствует единственная точка в пространстве форм, заданном набором переменных форм. В морфометрии имеются также другие трактовки формы (например, через контуры, поверхности или функции), которым соответствуют иные многомерные пространства. Центроидный размер (centroid size) — оценка размера в геометрической морфометрии, используется для выравнивания конфигурации меток. Вычисляется как квадратный корень а) суммы квадратов расстояний меток от их центроида или б) суммы варианс меток вокруг этого центроида по x- и y- осям. Частные деформации (partial warps) — вспомогательный конструкт для описания изменений формы. Геометрически представляют собой ортонормальный базис для тангенциального пространства; алгебраически — это собственные векторы матрицы коэффициентов энергии искривления, описывающие изменения формы вдоль каждой из координатных осей. За исключением крупномасштабных изменений и однородной компоненты, частные деформации (приближенно) локализуемы и (приближенно) шкалируемы. Значения частных деформаций соответствуют проекциям форм на главные деформации, вычисляются по результатам ортогонального вращения полного набора прокрустовых остатков. Энергия искривления (bending energy) — метафора, заимствованная из механики тонкой металлической пластины. Представляет собой воображаемую энергию, которая потребовалась бы для искривления пластины таким образом, чтобы изменить неким требуемым образом положение ее меток. Энергия искривления для аффинной трансформации равна нулю, поскольку соответствует равномерному изменению конфигурации без искривления. Значение энергии искривления, соответствующее определенной главной деформации, обратно пропорционально масштабу последней. Это значение нельзя интерпретировать как меру различий (например, как таксономическую дистанцию) между двумя формами. Эталонная конфигурация (reference configuration), эталон — конфигурация меток, с которой совмещаются экземпляры при их сравнении. Это может быть другой экземпляр или усредненная конфигурация. Эталон соответствует точке касания линейного тангенциального пространства к сферическому кендэллову пространству. Использование усредненной конфигурации предпочтительнее, поскольку позволяет минимизировать нарушения, связанные с линейной аппроксимацией. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Волцит О.В., Павлинов И.Я. Онтогенетическая и межвидовая изменчивость формы гнатосомы у четырех видов иксодовых клещей (Ixodoidea: Ixodidae) // Паразитол. 1994. Т. 28. № 4. С. 318-332. Павлинов И.Я. Разнообразие формы: новые подходы // Стратегия изучения биоразнообразия наземных животных. М.: РАН. 1995. С. 44-50. Павлинов И.Я. Анализ изменчивости формы третьего верхнего коренного зуба у скальных полевок рода Alticola (Cricetidae) методами геометрической морфометрии // Зоол. журн. 1999. Т. 78. №1. С. 78-83. Павлинов И.Я. Дополнительные материалы по использованию геометрической морфометрии при анализе изменчивости коренных зубов у полевок (род Alticola, Rodentia, Mammalia) // Зоол. журн. 2000а. Т. 79. № 1. С. 104-107. Павлинов И.Я. Геометрическая морфометрия формы черепа мышевидных грызунов (Mammalia: Rodentia): связь формы черепа с пищевой специализацией // Журн. общей биол. 2000б. Т. 61. № 6. С. 583-600. Пузаченко А.Ю. Внутрипопуляционная изменчивость черепа обыкновенного слепыша Spalax microphthalmus (Spalacidae, Rodentia). 1. Методика анализа данных, невозрастная изменчивость самцов // Зоол. журн. 2001. Т. 80. Вып. 3. С. ??? Adams D. C. Methods for shape analysis of landmark data from articulated structures // Evol. Ecol. Res. 1999. P. 959-970. Adams D.C., Rosenberg M.C. Partial warps, ontogeny, and phylogeny: a comment on Zelditch and Fink (1995) // Sys. Biol. 1998. V. 47. № 1. P. 168-173. Becerra J.M., Bella E., Garcia-Valdecasas A. Building your own machine image system for morphometric analysis: a user point of view // Eds Marcus L.F., Bello E., Garcia-Valdesas A. Contributions to morphometrics. Madrid: C.S.C.I., 1993. P. 65-93. Birch J.M. Comparing wing shape of bats: The merits of principal-components analysis and relativewarp analysis // J. Mamm. 1997. V. 78. № 5. P. 1187-1198 Bookstein F.L. Size and shape spaces for landmark data in two dimensions (with discussion and rejoinder) // Statist. Sci. 1986. V. 1. № 1. P. 181-242. Bookstein F.L. «Size and shape»: a comment on semantics // Syst. Zool. 1989a. V. 38. № 2. P. 173-180. Bookstein F.L. Principal warps: thin-plate spline and the decomposition of deformations // I.E.E.E. Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 1989b. Vol. 11. P. 567-585. Bookstein F.L. Introduction to methods for landmark data // Eds Rohlf F.J., Bookstein F.L. Proceedings of the Michigan morphometric workshop. Ann Arbor (Michigan): Univ. Michigan Mus. Zool. Spec. Publ. № 2. 1990a. P. 215-225. Bookstein F.L. Morphometric tools for landmark data: geometry and biology. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991. 198 р. Bookstein F.L. A brief history of the morphometric synthesis // Eds Marcus L.F., Bello E., GarciaValdesas A. Contributions to morphometrics. Madrid: C.S.C.I., 1993. P. 15-36. Bookstein F.L. Combining the tools of geometric morphometrics // Eds Marcus L., Corti M., Loy A., Slice D. Advances in morphometrics. N.Y.; L.: Plenum Press, 1996. P. 131-152. Bookstein F. L. Landmark methods for forms without landmarks: localizing group differences in outline shape // Medical Image Analysis. 1997.V. 1. P. 225-243. Bookstein F. L. Creases as local features of deformation grids // Medical Image Analysis. 2000. V. 4. P. 93-110. Bookstein F. L. Creases as morphometric characters // Eds MacLeod N., Forey P. Morphometrics, shape, and phylogeny. L.: Taylor & Francis, 2001 (in press). Cavalcanti M.J. Shape, a program to compute shape coordinates, unform x and y, and centroid size. Rio de Janeiro: Univ. Ursula. 1996. (program) Costa L. Da Fontroura, Cesar R. M. Shape analysis and classification: theory and practice. Chicago: CRC Pr., 2000. 659 p. David B., Laurin B. Morphometrics and cladistics: measuring phylogeny in the sea urchin Echinocardium // Evolution. 1996. V. 50. № 1. P. 348-359. Dean D. Three-dimensional data capture and visualization // Eds Marcus L., Corti M., Loy A., Slice D. Advances in morphometrics. N.Y.; L.: Plenum Press, 1996. P. 53-70. Dryden I.L., Mardia K.V. Statistical shape analysis. NY: Wiley. 1998. 347 p. Fadda C., Faggiani F., Corti M. A portable device for three dimensional landmark collection on skeletal elements // Mammalia. 1997. T. 62. № 4. P. 622-627. Felsenstein J. Maximum likelihood estimation of evolutionary trees from continuous characters // Amer. J. Genetics. 1973. V. 25. № 3. P. 471-492. Felsenstein J. Phylogenies and quantitative characters // Annu. Rev. Ecol. Syst. 1988. V. 19. P. 445471. Felsenstein J. Quantitative characters, phylogenies and morphometrics // Eds MacLeod N., Forey P. Morphometrics, shape, and phylogeny. L.: Taylor & Francis, 2001 (in press). Ferson, S. F., Rohlf F. J., Koehn R. K. Measuring shape variation of two-dimensional outlines // Syst. Zool. 1985. V. 34. №1. P. 59-68. Goodall C.R. Procrustes methods in the statistical analysis of shapes // J. Roy. Statist. Soc. Ser. B. 53. 1991. P. 285-339. Gower J.C. Generalized procrustes analysis // Psychometrica. 1975. V. 40. № 1. P. 33-51. Hartwig W.C. Fractal analysis of sagittal suture morphology // J. Morphol. 1991. V.210. № 3. P. 289298. Kendall D.G. Shape-manifolds, procrustean metrics and complex projective spaces // Bull. London Mat. Soc. 1984. V. 16. № 1. P. 81-121. Klingenber C.P., McIntyre G.S. Geometric morphometrics of developmental instability: analyzing patterns of fluctuating asymmetry with procrustes methods // Evolution. 1998. V. 52. № 5. P. 1363-1375. Lovi D. WinDig, free data digitizer, ver. 2.5. 1996. (program) MacLeod N. Phylogenetic signals in morphometric data // Eds MacLeod N., Forey P. Morphometrics, shape, and phylogeny. L.: Taylor & Francis, 2001 (in press). MacLeod N., Rose K.D. Inferring locomotor behavor in Paleogene mammals via eigenshape analysis // Amer. J. Sci. 1993. V. 293. Ser. A. № 4. P. 300-355. Marcus L. Software // Eds Marcus L.F., Bello E., Garcia-Valdesas A. Contributions to morphometrics. Madrid: C.S.C.I., 1993. P. 259-264. Marcus L.F., Bello E., Garcia-Valdecasas A. (Eds). Contributions to morphometrics. Madrid: C.S.C.I., 1993. 264 p. Marcus L., Corti M., Loy A., Slice D. (Eds). Advances in morphometrics. N.Y., L.: Plenum Press, 1996. 587 p. Marcus L., Hinst-Zaher E., Zaher H. Application of landmark morphometrics to skulls representing the orders of living mammals // Hystrix (n.s.). 2000. Vol. 11. № 1. P. 27-48. Monteiro L., Reis S.F. Principios de morfometria geometrica. Holos Editora 1999. 188 pp. Naylor G.J. Can partial warp scores be used as cladistic characters? // Eds Marcus L., Corti M., Loy A., Slice D. Advances in morphometrics. N.Y.; L.: Plenum Press, 1996. P. 519-530. O’Higgins P., Jones N. Morphologika Software. L.: University College London. 1998. (program) Pavlinov I.Ya. Geometric morphometrics of glirid dental crown pattern // Turkish J. Zool. 2001 (in press). Penin X. APS, version 2.3. 2000. (program) Rohlf F.J. Rotational fit (Procrustes) methods // Eds Rohlf F.J., Bookstein F.L. Proceedings of the Michigan morphometric workshop. Ann Arbor (Michigan): Univ. Michigan Mus. Zool. Spec. Publ. № 2. 1990. P. 227-236. Rohlf F.J. Relative warps analysis and example of its application to mosquito wings // Eds Marcus L.F., Bello E., Garcia-Valdecasas A. Contributions to morphometrics. Madrid: C.S.C.I., 1993. P. 131-160. Rohlf F.J. Morphometric spaces, shape components and the effect of linear transformations // Eds Marcus L., Corti M., Loy A., Slice D. Advances in morphometrics. N.Y.; L.: Plenum Press, 1996. P. 131-152. Rohlf F.J. TPSsplin: thin-plate spline, version 1.15. N.Y.: State Univ. at Stony Brook. 1997. (program). Rohlf F.J. TPSpls, version 1.05. N.Y.: State Univ. at Stony Brook. 1998a. (program). Rohlf F.J. TPSregr, version 1.19. N.Y.: State Univ. at Stony Brook. 1998b. (program). Rohlf F.J. TPSrelw: relative warps, version 1.20. N.Y.: State Univ. at Stony Brook. 1998c. (program). Rohlf F.J. TPSsmall: is shape variation small?, version 1.11. N.Y.: State Univ. at Stony Brook. 1998d. (program). Rohlf F.J. On applications of geometric morphometrics to studies of ontogeny and phlogeny // Syst. Biol. 1998. V. 47. № 1. P. 147-158. Rohlf F.J. Shape statistics: Procrustes superimposition and tangent spaces // J. Classification. 1999a. V. 16. № 1. P. 197-223. Rohlf F.J. TPSpower, version 1.01. N.Y.: State Univ. at Stony Brook. 1999c. (program). Rohlf F.J. NTSYS-pc. Numerical taxonomy and multivariate analysis system, version 2.1. Exeter Software. 2000a. (program). Rohlf F.J. TPStree: fitting shapes to trees, version 1.12. N.Y.: State Univ. at Stony Brook. 2000b. (program) Rohlf F.J. TPSutil — TPS utility program. N.Y.: State Univ. at Stony Brook. 2000c. (program) Rohlf F.J. Geometric morphometrics and phylogeny // Eds MacLeod N., Forey P. Morphometrics, shape, and phylogeny. L.: Taylor & Francis, 2001a (in press). Rohlf F.J. TPSdig, version 1.23. N.Y.: State Univ. at Stony Brook. 2001b. (program). Rohlf F.J., Bookstein F.L. (Eds). Proceedings of the Michigan morphometric workshop. Ann Arbor (Michigan): Univ. Michigan Mus. Zool. Spec. Publ. № 2. 1990. 380 p. Rohlf F.J., Marcus L. A revolution in morphometrics // Trends in Ecol. Evol. 1993. V. 8. № 4. P. 129132. Rohlf F.J., Slice D. GRF — generalized rotational fitting. N.Y.: State University at Stony Brook. 1991. (program) Sampson P.D., Bookstein F.L., Sheehan F.H., Bolson E.L. Eigenshape analysis of left ventricular outlines from contrast ventriculograms // Eds Marcus L., Corti M., Loy A., Slice D. Advances in morphometrics. N.Y., L.: Plenum Press, 1996. P. 211-234. Schaefer S.A., Lauder G.V. Testing historical hypothesis of morphological change: biomechanical decoupling in loricaroid catfishes // Evolution. 1996. V. 50. № 4. P. 1661-1675. Siegel A.F., Benson R.H. A robust comparison of biological shapes // Biometrics. 1982. V. 38. № 2. P. 341-350. Slice D. E. The fractal analysis of shape // Eds Marcus L.F., Bello E., Garcia-Valdecasas A. Contributions to morphometrics. Madrid: C.S.C.I., 1993a. P. 161-191. Slice D. E. GRF-ND: generalized rotational fitting of n-dimensional data. N.Y.: State University at Stony Brook, 1993b. (program) Slice D. E. Morpheus et al. N.Y.: State University at Stony Brook, 1993c. (program) Slice D.E., Bookstein F.L., Marcus L.F., Rohlf F.J. Glossary for geometric morphometrics // Eds Marcus L., Corti M., Loy A., Slice D. Advances in morphometrics. N.Y., L.: Plenum Press, 1996. P. 531-552. (Более поздняя версия словаря размещена на веб-сайте http://life.bio.sunysb.edu/morph/) Sneath P.H.A. Trend-surface analysis of transformation grids // J. Zool. 1967. V. 151. № 1. P. 65-122. Thompson d'Arcy W. On growth and form. N.Y.: Dover Publ., 1992. 1116 p. Zelditch M.L., Fink W.L. Partial warps, ontogeny, and phylogeny: a reply to Adams and Rosenberg // Syst. Biol. 1998. V. 47. № 3. P. 345-348. Zelditch M.L., Fink W.L., Swiderski D.L. Morphometrics, homology, and phylogenetics: quantified characters as synapomorphies // Syst. Biol. 1995. V. 44. № 1. P. 179-189. Таблица 1 Количественные характеристики (нагрузки, объясненная дисперсия) первой и второй относительных деформаций (RW1, RW2) осевого черепа и нижней челюсти у мышевидных грызунов Muroidea (по: Павлинов, 2000б, с изменениями) Нагрузки Номер метки осевой череп RW1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 нижняя челюсть RW2 RW1 RW2 x y x y x y x y 16.1 -10.9 -6.5 -18.7 -16.7 -25.8 11.9 43.7 -9.7 47.4 128.9 48.4 21.9 -64.4 30.0 -7.5 107.2 119.8 44.3 6.3 25.9 43.23 46.07 -28.5 -0.6 11.8 6.1 -8.0 -8.9 -2.7 -3.9 49.3 -3.8 115.2 -55.3 -6.5 37.0 -32.8 18.0 -21.4 41.4 -92.5 -74.1 27.0 27.4 -8.0 -19.0 -9.4 3.2 -8.2 -0.3 47.2 -62.5 17.9 -41.3 0.6 -41.1 192.5 -144.6 -7.3 -57.7 2.9 128.3 0.6 -2.3 12.15 12.57 -27.8 -6.8 11.5 -13.0 -1.5 -8.6 -1.7 28.0 58.3 -29.9 -4.5 -16.5 -21.9 121.9 -104.1 39.5 -117.0 180.3 -60.3 53.3 -9.5 -19.2 1.1 23.0 -33.5 -12.0 8.8 7.3 0.2 4.3 -26.6 39.3 0.4 6.5 0,2 2,3 4,2 3,2 36, 2 -41,7 -10,9 1,2 8,0 1,8 1,8 -1,6 -5,1 4,0 -15,8 -24,9 -0,2 24,9 -38,8 1,9 25,6 -29,9 31,8 -21,4 -18,7 61,5 -1,2 5,4 1,2 12,2 20,4 -28,9 -1,7 32,9 -28,6 13,9 -11,6 5,6 -19,7 Доля Uni+ 32.88 21.25 дисперсии, Uni– 32.61 22.58 % Примечание. Номера меток см. на Рис. 6. Uni+ — с учетом, Uni– — без учета однородной компоненты.
