УДК 677 Двухуровневая игра с веерной иерархией на нижнем

УДК 677
ДВУХУРОВНЕВАЯ ИГРА
С ВЕЕРНОЙ ИЕРАРХИЕЙ НА НИЖНЕМ УРОВНЕ
Л. В. Смирнова
Рассматривается
бескоалиционным
двухуровневая
вариантом
на
иерархическая
нижнем
уровне
игра
с
иерархии
при
использовании аналога решения по Штакельбергу и концепции равновесия
по Бержу-Вайсману.
Ключевые слова: управляемые системы, двухуровневая система,
условие равновесности по Бержу-Вайсману, теория иерархических игр,
бескоалиционный вариант.
ВВЕДЕНИЕ
Иерархические игры моделируют конфликтно управляемые системы с
иерархической
структурой.
Такая
структура
определяется
последовательностью уровней управления, следующих друг за другом в
порядке
определенного
приоритета.
В
математической
постановке
иерархические игры классифицируются по числу уровней. Простейшей из них
является двухуровневая система, состоящая их одного элемента верхнего
уровня – центра и N элементов нижнего уровня – игроков. Управляющий
центр имеет право первого хода и может ограничивать возможности игроков
нижнего уровня. Иными словами, иерархические игры - это класс игр,
характеризующихся
прежде
всего
неравноправным
положением
её
участников. Особенность игры состоит в наличии на нижнем уровне
иерархии не менее двух игроков. В связи с этим возникает вопрос о выборе
игроками нижнего уровня правил рационального поведения. Предположим,
что среди игроков нижнего уровня образование коалиций либо невозможно,
либо запрещено правилами ведения игры, то есть игроки действуют
изолированно.
Таким образом, в статье рассматривается иерархическая система с
бескоалиционным вариантом на нижнем уровне. В этом случае будем
считать, что выбор стратегий игроков нижнего уровня продиктован
стремлением к достижению одной из равновесных ситуаций. В данной
работе ограничимся концепцией равновесия по Бержу-Вайсману.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Двухуровневая игра с одним игроком верхнего уровня иерархии и
бескоалиционной игрой N лиц на нижнем уровне задается упорядоченной
четверкой
  0,
 ,U ,B U , X i i , f j  u, x  j0,

.
Здесь множество порядковых номеров игроков (подсистем) нижнего
уровня иерархии  1,..., N  ; 0 – порядковый номер игрока верхнего уровня
(центра), который распоряжается выбором своей стратегии u U  m .
Стратегию i –го игрока нижнего уровня иерархии будем отождествлять с
вектор-функцией xi (u) : U  X i 
ni
,
предполагая при этом измеримость
по Борелю компонент xi (u) (этот факт обозначаем xi () B U , X i  ).
Порядок ходов в игре  следующий. Первый ход делает центр (игрок
верхнего уровня иерархии), сообщая всем N игрокам нижнего уровня свою
стратегию u U . Затем (второй ход) игроки нижнего уровня выбирают свои
стратегии xi (u) , xi () B U , X i  , которые совместно с u U образуют
ситуацию (u, x(u))  (u, x1(u),..., xN (u)) U   B U , X i  игры  . На множестве
i
таких ситуаций U B U , X  , где X   X i 
n
(n   ni ) , определена
i
i
функция выигрыша каждого j -го игрока f j (u, x)  f j (u, x(u)) ( j  0,1,2,..., N ) ,
значение которой в конкретной ситуации называют выигрышем игрока j .
Окончательный (третий ход) делает центр, формируя свою стратегию u U ,
исходя из значения функционала f 0 (u, x(u )) . Будем считать, что при
формировании своих стратегий (с учетом порядка ходов) все игроки
стремятся к увеличению своих выигрышей. При этом в первую очередь,
возникает вопрос о формализации «подходящего» решения игры  .
Поясним подход, используемый далее в определении решения игры
 для случая, когда на нижнем уровне иерархии функционирует лишь один
игрок (то есть N  1 и поэтому  1 ), пусть также f0 (u, x1)  f1(u, x1) . При
этом используем возможный аналог максимакса для однокритериальной
задачи
1  U , B U , X1  , f1  u, x1  .
Аналог максимакса для 1 формализуем в два этапа.
I этап: для каждого u  U строим множество


X1(u)   x1(u)  X1 | max f1(u, x1)  f1(u, x1(u))  ,


x1X1
то есть множество X 1 (u ) состоит из точек x1  x1 (u ) , в которых
реализуется максимум функции f1 (u, x1 ) при заданном u U ; эту операцию
естественно назвать построением внутреннего максимума.
II этап: предполагая существование измеримого по Борелю селектора
x1 () многозначного отображения X1 (u):U  X1 , построим суперпозицию
f1 (u, x1(u)) и для заданного числа   0 найдем стратегию u U такую, что
f1  u, x (u )   f1  u , x1(u )   
Пару (ситуацию)
u U .
 u , x1(u)  U B U , X1 
естественно назвать
-
максимаксимальным решением задачи 1 (аналог решения двухуровневой
игры 1 по Штакельбергу и аналог внешнего максимума в максиминной
задаче).
Следуя изложенному подходу, решение игры
определять в два этапа.
 также будем
1 этап: для бескоалиционной игры N лиц (u ) , которую получаем из
 , фиксируя u U , именно,
(u) 
, X i i , fi  u, x i ,
(1)
в качестве аналога внутреннего максимума (этап I) используем концепцию
равновесности по Бержу-Вайсману: ситуацию x B  ( x1B ,..., xNB )  X назовем
удовлетворяющей условию равновесности по Бержу-Вайсману в игре (u ) ,
если
f i (u, x || xiB )  f i (u, x B ) x  X   X i
i
здесь
(i ) ,
(2)
( x || xiB )  ( x1,..., xi 1, xiB , xi 1,..., xN ) ; операция (2) «порождает»
многозначное отображение
X B (u)  {x B (u)  X | fi (u, x || xiB (u))  fi (u, x B (u)) x  X (i  )} ,
(3)
причем X B () : U  2 X ; пусть x B (u ) - измеримый по Борелю селектор
отображения X B (u ) : U  2 X ; здесь и далее 2 X означает множество всех
подмножеств компакта X .
2 этап (аналог внешнего максимума из этапа II): для заданной
постоянной   0 найдем стратегию центра u U , при которой
f0 (u, x B (u))  f 0 (u , x B (u ))   u U .
С учетом упомянутого выше порядка ходов для игры  ситуацию
(u , x B (u )) естественно называть
 -максимальным решением игры  .
Цель предлагаемой статьи состоит в том, чтобы установить
существование указанного  -максимального решения при обычных для
математической теории игр ограничениях на элементы игры  .
СВОЙСТВА РАВНОВЕСИЯ ПО БЕРЖУ-ВАЙСМАНУ
В этом разделе будем рассматривать бескоалиционную игру N лиц
(u ) для каждой стратегии центра u U . Напомним, что ситуация
x B (u)  ( x1B (u),..., xNB (u)) игры (u ) удовлетворяет условию равновесности по
Бержу-Вайсману, если
x
здесь x
fi (u , x || xiB (u ))  f i (u , x B (u )) (i  ) ,
max
\{ i }X
\{i}
(4)
\{ i }
 ( x1 ,..., xi 1 , xi 1 ,..., xN )  X
N
\{i}
  X k , тогда равенства (4) можно
k 1
k i
представить в эквивалентном виде
fi (u, x1,..., xi 1, xiB (u), xi 1,..., xN )  fi (u, x B (u)) x
\{i}
X
\{i}
(i  ) .
(5)
Далее будет установлен ряд свойств ситуаций, удовлетворяющих
условию равновесности по Бержу-Вайсману, которые затем используются в
разделе 3 при доказательстве существования  -максимального решения
игры  .
Утверждение 1. Если при каждом u U в игре (1) множества X i (i  )
суть компакты, а функции fi (u, x) (i  ) непрерывны на X   X i , то
i
множество X B (u ) ситуаций x B (u ) из (3), удовлетворяющих условию
равновесности по Бержу-Вайсману есть компакт (может быть и пустой).
Доказательство. В игре  фиксируем какую-либо (произвольную)
стратегию центра u U и тогда из  (при фиксированном u U ) получаем
бескоалиционную игру N лиц (u ) . Множество X B (u ) ситуаций x B (u ) ,
удовлетворяющих условию равновесности по Бержу-Вайсману определено в
(3). Заметим, что множество
X B (u )
подмножеством компакта X   X i .
i
ограничено, так как является
Покажем, что X B (u ) замкнуто. Для этого рассмотрим произвольную
бесконечную последовательность
{x( r ) }0
точек из
{x( r ) }0  X B (u )  X ,
есть
компакт,
а
X
подпоследовательность {x( rl ) }0  {x( r ) }0 и ситуация
X B (u ) . Так как
то
существует
x  X такие, что
(покомпонентно)
lim x
( rl )
l 
 x .
(6)
Множество X B (u ) замкнуто, если x  X B (u ) . Установим этот факт от
противного, предположим, что x  X B (u ) . Тогда найдутся (см. (4) и (5))
номер
x
\{s}
s
и
набор
 ( x1,..., xs1, xs1,..., xN )  X
\{s}
стратегий
\{s}
игроков
такие, что
f s (u, x1,..., xs1, xs , xs1,..., xN )  f s (u, x || xs )  f s (u, x ).
(7)
Из (7), а также из непрерывности f s (u , x) на X , и, следовательно,
f s (u, x || xs ) на X s получаем существование настолько
непрерывности
малого числа   0 такого, что для всех ситуаций x  X игры (u ) , при
которых евклидова норма || x  x ||   (и, следовательно || xs  xs ||   ),
будет
f s (u, x || xs )  f s (u, x ).
(8)
Выберем теперь такой «достаточно большой» номер
|| x  x
( rl )
l   0 , чтобы
||  

при всех l  l (что возможно вследствие (6)). Тогда для этих x
следует
f s (u, x || x
( rl )
)  f s (u, x
( rl )
)
l  l  .
( rl )
из (8)
Данное неравенство противоречит тому факту, что x
( rl )
 X B (u )
(l  l  ) и, поэтому является ситуацией игры (1), удовлетворяющей условию
равновесности по Бержу-Вайсману, то есть
fi (u, x || xi l )  fi (u, x l )
(r )
(r )
x
\{i}
X
\{i}
(i  ).
Из ограниченности и замкнутости множества X B (u ) следует его
компактность.
Следствие 1. При выполнении требований утверждения 1 множество
f (u, X B (u))  { f (u, x)  ( f1 (u, x),..., f N (u, x)) 
N
| x  X B (u)}
является компактом (может и пустым) при каждом u U .
Здесь X B (u ) - множество ситуаций игры (u ) , удовлетворяющих
условию равновесности по Бержу-Вайсману.
Справедливость следствия 1 сразу получаем из утверждения 1 и
непрерывности вектор-функции
f ( x, u) по
x  X для каждого u U (при
непрерывном отображении компакт переходит в компакт).
Для игры (u ) введем функцию
(u, x, z)  max[ fi (u, z || xi )  fi (u, x)],
i
(9)
где ситуации x, z  X , а стратегия центра u U фиксирована. Будем
считать, что пара ( x B , z  )  X  X является седловой точкой (u, x, z ) , если
при всех x  X и z  X справедлива цепочка неравенств
(u, x B , z )  (u, x B , z  )  (u, x, z  ) .
(10)
Утверждение 2. Если функция (u, x, z ) из (9) имеет седловую точку
( x B , z  ) , определенную в (10), то ситуация x B  x B (u )  X удовлетворяет
условию равновесности по Бержу-Вайсману, то есть для x B (u ) выполняется
система неравенств (5).
Доказательство. С учетом (9) неравенства (10) примут вид
max [ fi (u, z || xiB (u))  fi (u, x B (u))] 
i
 max [ fi (u, z || xiB (u))  fi (u, x B (u))] 
(11)
i
 max [ fi (u, z || xi )  fi (u, x)]
x, z  X .
i
x  z  X . Отсюда, учитывая
Неравенства (11) выполнены и для
равенство
max [ fi (u, z  || zi )  fi (u, z  )]  0 ,
i
получим
max [ fi (u, z || xiB (u))  fi (u, x B (u))]  0
z  X .
i
Значит для всех i 
и x X
fi (u, x || xiB (u))  fi (u, x B (u))  0.
Тогда, согласно приведенному выше определению, ситуация x B (u )  X
удовлетворяет условию (5) равновесности по Бержу-Вайсману.
Замечание 1. Утверждение 2 сводит задачу построения ситуации,
удовлетворяющей условию равновесности по Бержу-Вайсману к
нахождению седловой точки функции (9). Вопросам численного нахождения
экстремумов для функций вида (9) посвящено значительное число
публикаций (см. например, [1], [2]).
Перейдем к свойству многозначного отображения X B (u ) : U  2 X из
(3), связанному с полунепрерывностью сверху. Итак, пусть выполнены
требования утверждений 1 и 2, то есть имеют место
Условие 1. Множества U , X i (i  )
суть компакты и функции
выигрыша fi (u, x) непрерывны на U  X (где X   X i ).
i
Условие 2. Скалярная функция (u, x, z ) из (9) при каждом u U
имеет седловую точку ( x B (u), z  (u))  X  X (определенную в (10)).
Построим многозначное отображение (3):
X B (u )  {x B (u )  X |
x
f i (u, x || xiB (u ))  f i (u , x B (u )) (i  )}.
max
\{ i }X
\{ i }
По утверждению 2 множество X B (u )   при каждом u U , а по
утверждению 1 для всех u U
множество
X B (u ) есть компактное
подмножество компакта X . Таким образом, каждой стратегии центра u U
поставлен в соответствие непустой компакт X B (u ) : U  2 X , точки которого
x B (u ) в игре (u ) удовлетворяют условию равновесности по БержуВайсману.
Отображение X B (u ) : U  2 X называется полунепрерывным сверху по
включению при изменении u U , если справедливо следующее заключение:
пусть
u ( k ) U (k  1,2,...)
есть
некоторая
последовательность,
имеющая предел (покомпонентный)
u U ,
lim u ( k )  u ,
k 
(12)
и пусть
x k  X B (u ( k ) ) (k  1,2,...)
-
(13)
соответствующая ей последовательность ситуаций игр (u ( k ) ) , также
имеющая предел
lim x( k )  x .
k 
(14)
Тогда
отображение
X B () : U  2 X
включению при изменении u U , если
x  X B (u ).
(15)
полунепрерывно
сверху
по
Утверждение 3. При выполнении условий 1 и 2 многозначное
отображение X B () : U  2 X , где
X B (u)  {x B (u)  X | fi (u, x || xiB (u))  fi (u, x B (u)) x
\{i}
X
\{i}
(i  )}
полунепрерывно сверху по включению при изменении u U .
Доказательство. Используем определение (12)–(15). Пусть {u ( k ) }1  U 
некоторая последовательность стратегий центра, сходящаяся к u U , то
есть
имеет
место
(12).
По
{u ( k ) }1
построим
соответствующую
последовательность ситуаций, удовлетворяющих условию равновесности по
Бержу-Вайсману
x( k )  x B (u ( k ) )  X B (u ( k ) ) (k  1,2,...)
и имеющую предел
lim x( k )  x .
k 
Заметим, что множество X есть компакт (как декартово произведение
компактов X i (i  ) ), поэтому из последовательности {x( k ) }1  X всегда
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке из X .
Наконец, докажем, что справедливо включение
x  X B (u ) .

Предположим противное: пусть ситуация x  X B (u ) , то есть x не
удовлетворяет условию (4) равновесности по Бержу-Вайсману в игре (u ) .
Тогда найдутся, по крайней мере, одна ситуация x  X и номер l 
что
такие,
fl (u , x || xl )  fl (u , x ) .
(16)
Вследствие непрерывности f l (u , x ) на U  X , существования пределов
(12) и (14), а также выполнения неравенства (16) найдется достаточно
большое целое число K  0 , что при k  K будет
fl (u ( k ) , x || x( k ) )  fl (u ( k ) , x( k ) ) .
Эти неравенства противоречат условию равновесности по БержуВайсману ситуаций u
(k )
в играх (u ( k ) ) . Итак, установлено, что при
выполнении условий 1 и 2 определенное в (3) многозначное отображение
X B () : U  2 X полунепрерывно сверху по включению при изменении u U .
РАВНОВЕСНОЕ РЕШЕНИЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ ДВУХУРОВНЕВОЙ ИГРЫ
С учетом указанного в разделе 1 порядка ходов и применения на
нижнем уровне иерархии концепции равновесности по Бержу-Вайсману,
 -равновесного решения
приведем
формальное
определение
иерархической двухуровневой игры  .
Пусть априори задано (или выбрано) число   0 ; далее BVS - первые
английские буквы фамилий Бержа, Вайсмана и Штакельберга
соответственно.
Определение. Ситуацию (u , x B (u )) U  B U , X  назовем  равновесным по BVS решением игры  , если при каждой стратегии центра
u U
а) справедливы равенства
x
fi (u , x || xiB (u ))  f i (u , x B (u )) (i  ) ,
max
\{ i }X
(17)
\{ i }
б) имеет место неравенство
f0 (u, x B (u))  f 0 (u , x B (u ))   .
(18)
Замечание 2. Требование (17) означает, что при каждом u U
ситуация x B (u ) удовлетворяет условию равновесности по Бержу-Вайсману
(отсюда взятые первые две буквы BV в определении  -равновесного по BVS
решения). Ограничение (18) совместно с (17) означает, что в игре 
используется известная в теории иерархических игр концепция
оптимальности по Штакельбергу [3] (поэтому использована последняя буква
S в определении BVS решения).
Замечание 3. Случаю, когда на нижнем уровне иерархии используется
(в играх (u ) ) концепция равновесности по Нэшу [4] посвящена работа [5].
Существование введенного выше  -равновесного по BVS решения
(при любых   0 ) устанавливается в следующем утверждении.
Теорема. Предположим, что в игре 
10) множества U , X i
(i  ) суть непустые компакты, а функции
выигрыша f j (u, x) ( j {0, }) непрерывны на U   X i ;
i
20) скалярная функция
(u, x, z)  max[ fi (u, z || xi )  fi (u, x)]
i
при каждом u U имеет седловую точку ( x B (u ), z  (u )) , именно,
(u, x B (u), z )  (u, x B (u), z  (u))  (u, x, z  (u))
 x, z  X .
Тогда при любом   const  0 в игре  существует
BVS решение.
 -равновесное по
Доказательство разобьем на два этапа. На этапе I докажем
существование ситуации x B (u ) : U  X , x B () B U , X  , удовлетворяющей
условию равновесности по Бержу-Вайсману в игре (u ) (то есть равенствам
(17)) при каждой стратеги центра u U . На этапе II покажем, что для любого
постоянного числа   0 существует своя стратегия центра u U , при
которой имеет место неравенство (18). Тогда, согласно приведенному выше
определению, пара (u , x B (u )) U  B U , X  и будет  -равновесным по BVS
решением игры  .
Этап
I.
Рассмотрим
многозначное
отображение
X B () : U  2 X ,
определяемое множеством ситуаций x B (u ) бескоалиционной игры
(u ) 
, X i i , fi  u, x i
при каждом u U
Бержу-Вайсману:
,
удовлетворяющих условию равновесности по
X B (u )  {x B (u )  X | max
x
\{ i }X
f i (u, x || xiB (u ))  f i (u, x B (u )) (i  )}.
\{ i }
Множество X B (u ) ,
во-первых, не пусто при каждом u U (согласно утверждению 2 и
требованию (20) теоремы),
во-вторых,
X B (u )
при
каждом
подмножеством множества ситуаций
требованию (10) теоремы),
в-третьих,
многозначное
X
u U
является
компактным
(согласно утверждению 1 и
отображение
X B () : U  2 X
полунепрерывно сверху по включению при изменении u U (согласно
утверждению 3).
Учитывая, кроме этих трех фактов, компактность U , X i (i  ) и
непрерывность fi (u, x) (i  ) , по теореме об измеримом выборе [6, с. 26]
получаем, что существует измеримый по Борелю селектор x B () : U  2 X
(измеримая по Борелю вектор-функция x B (u ) ), который при каждой
стратегии центра u U и каждом i  , реализует равенство (17) и поэтому
удовлетворяет требованию (а) приведенного выше определения.
Этап II. Функция выигрыша центра f 0 (u , x) ограничена
сверху, как
непрерывная функция, определенная на компакте U  X . С помощью
найденной на этапе I измеримой по Борелю вектор-функции x B (u ) построим
суперпозицию f 0 (u, x B (u )) . Скалярная функция f 0 (u, x B (u )) ,
во-первых, ограничена сверху, то есть найдется число M такое,
что f0 (u, x B (u))  M при всех u U ,
во-вторых, функция
f0 (u, x B (u )) измерима по Борелю (как
суперпозиция непрерывной и измеримой функции).
Пусть теперь
 - произвольное положительное число. Тогда для
каждого   0 можно указать такую «свою» стратегию центра u U , что для
всех u U имеет место неравенство
f0 (u, x B (u))  f 0 (u , x B (u ))   ,
то есть выполнено неравенство (18) из определения  -равновесной по
BVS ситуации (в игре  ). Следовательно, в результате этапов I и II показано,
что в игре  существует пара (u , x B (u )) , удовлетворяющая требованиям (а)
и (б) приведенного определения равновесной по BVS ситуации. Теорема
доказана.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для
двухуровневой
иерархической
игры
с
бескоалиционным
вариантом на нижнем уровне формализовано понятие
 -равновесного по
BVS решения и установлены достаточные условия существования указанного
решения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
2. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.
3. Von Stackelberg H. Marktform and Gleichgewicht. Vienna: Springer, 1934
(Англ. перев.: The theory of the market economy. Oxford: Oxford
University Press, 1952).
4. Nash J.F. Non-cooperative games // Ann. Math.. 1951, № 54.
5. Жуковский
В.И.,
Смирнова
Л.В.
Двухуровневая
игра
с
бескоалиционным вариантом на нижнем уровне иерархии // Spectral
and Evolution Problems, Ukraine, 2008, Vol. 18.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности.
Россия, Москва