Федеральное государственное казенное образовательное учреждение «Тверское суворовское военное училище Министерства обороны Российской Федерации» Научно – исследовательская работа по математике «Многогранники» Выполнил: учащийся 7 класса Казарин Антон Владимирович Научный руководитель: преподаватель математики Кириллова Елена Владимировна Тверь, 2014 Оглавление Введение______________________________________________________ Глава I. Теоретическая часть_____________________________________ 1.1. Основные понятия _________________________________________ 1.2. История многогранников ____________________________________ Глава II. Многогранники и их разнообразие ________________________ 2.1. Правильные многогранники__________________________________ 2.2. Правильные многогранники в различных сферах жизни __________ 2.2.1. Чудо природы – кристаллы _________________________________ 2.2.2. Многогранники в биологии_________________________________ 2.2.3. Многогранники в искусстве_________________________________ 2.2.4. Многогранники в архитектуре_______________________________ 2.3. Правильные многогранники в математике ______________________ Глава III. Практическая часть ____________________________________ 3.1. Развертка тетраэдра куба ____________________________________ 3.2. Развертка октаэдра, додекаэдра, икосаэдра______________________ Заключение ___________________________________________________ Список литературы_____________________________________________ Приложение __________________________________________________ 2 3 5 5 5 7 7 8 9 9 11 13 16 20 20 21 22 23 24 Введение Если самые замечательные открытия древних математиков охватываются теперь элементарной математикой... то это потому, что открытия сведены к фактам. Клод Адриан Гельвеций (1715—1771) — французский литератор и философ-материалист утилитарного направления; идеолог французской буржуазии эпохи Просвещения. В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Таким образом, устроен окружающий нас мир, что ни один человек в своей жизни не обойдется без пространственного представления предметов. Раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве, называется стереометрия (от греч. «стереос» — обьѐмный, «метрео» — измеряю). Говоря о стереометрии, невозможно не затронуть такой невероятно красивый материал, как "Правильные многогранники". Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Многогранники имеют не только значение при геометрических исследованиях по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. В прошлом году я написал научно – исследовательскую работу по теме «Оригами и математика». Когда я писал эту работу, я заметил, что модули, с которыми я работал, напоминают объемные геометрические фигуры. 3 В этом году я стал изучать геометрию, интерес к фигурам из оригами постепенно перерос к объемным геометрическим телам. Мне захотелось больше узнать о многогранниках, научиться изготавливать их различные модели и выявить их роль в окружающем мире. Актуальность исследования состоит в том, что многие мои сверстники испытывают затруднения при изучении предмета геометрии. Они не могут представить некоторые простейшие геометрические построения. Но как можно не замечать того что, многие здания похожи на многогранники. А также во многих профессиях, к которым мы стремимся, понадобятся знания свойств геометрических фигур, ведь в современном мире очень широко применяются различные виды многогранников. Гипотеза: если правильные многогранники – самые выгодные фигуры, то природа этим широко пользуется. Цель исследования: познакомиться с многогранниками, их применением в окружающем мире, получить представление о возможных видах правильных многогранников, с точки зрения геометрии, сделать модели многогранников. Задачи исследования: - изучить необходимую литературу по данной теме; - обобщить, систематизировать, классифицировать изученный материал; - доказать, что многогранники встречаются в жизни; - сделать модели многогранников. Объект исследования: многогранники. Предмет исследования: стереометрия. Методы исследования: - поиск информации из разных источников (специальная литература, ресурсы интернета); - беседа с преподавателем; - наблюдение; - практическая работа. 4 Глава I. Теоретическая часть Общие понятия 1.1. Стереометрия изучаются – фигуры часть в геометрии, трехмерном в которой пространстве. Стереометрия включает изучение плоскостей, объемных геометрических тел, их всевозможных сечений и пересечений, а также измерение объемов и площадей тел. Многогранник – поверхность, составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью. Или многогранник – геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер – вершинами многогранника. Многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г + В – Р = 2, где Г – число граней, В – число вершин, Р – число ребер данного многогранника. С с древнейших симметрией. к многогранникам времен наши Наверное, представления этим объясняется о красоте интерес связаны человека – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. Правильный многогранник, или Платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. 1.2. История многогранников Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м 5 и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии. История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел: – Вселенная – додекаэдр – Земля – куб – Огонь – тетраэдр – Вода – икосаэдр – Воздух – октаэдр. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). 6 Глава II. Многогранники и их разнообразие 2.1. Правильные многогранники «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Л. Кэррол Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны. Правильный многогранник, или Платоново тело – это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: он выпуклый, все его грани являются равными правильными многоугольниками, в каждой его вершине сходится одинаковое число граней, все его двугранные углы равны. Существует всего 5 видов правильных многогранников: (Приложение 1) 7 В дословном переводе с греческого «тетраэдр» означает «четырехгранник», октаэдр» – «восьмигранник», «гексаэдр» – «шестигранник», «додекаэдр» – «двенадцатигранник», «икосаэдр» – «двадцатигранник». 1. Куб (гексаэдр) Куб или гексаэдр – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. 2. Тетраэдр Тетраэдр (четырёхгранник) – многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. 3. Октаэдр Октаэдр – один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых, Платоновых тел. Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра. 4. Икосаэдр Икосаэдр – правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин –12. 5. Додекаэдр Додекаэдр, двенадцатигранник – правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). 2.2. Правильные многогранники в различных сферах жизни «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства». Бертран Рассел 8 2.2.1. Чудо природы – кристаллы Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба. 2.2.2. Многогранники в биологии В книге немецкого биолога Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека 9 формы". Действительно, построенные пчелами соты строго параллельны, расстояния между ними выдерживаются с удивительным постоянством. Пчелиные ячейки представляют собой шестигранные геометрические фигуры. В разрезе соты представляют сеть равных правильных шестиугольников. Из правильных n – угольников с одинаковой площадью правильные шестиугольники имеют наименьший периметр. Таким образом, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот. Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр. Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, феодарии скелет по одноклеточного форме организма напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый многогранник. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По – видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади 10 поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. 2.2.3. Многогранники в искусстве Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» (1955 г) изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Леонардо да Винчи (1452 — 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Например, он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Пачоли (1445 — 1514гг.) «О божественной пропорции» (1959 г.) Изображение Леонардо да Винчи усеченного икосаэдра методом жестких ребер. Кубические пространственные решетки в изображении Леонардо. Этим изображением Леонардо на три века предвосхитил гипотезу о периодическом строении кристаллов, высказанную французскими кристаллографами аббатом Рэнэ-Жюстом Гаюи (1743-1822гг.) и морским офицером Огюстом Бравэ (1811-1863). 11 Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери Сэру Томасу Джорджсу. Правильные геометрические тела – многогранники – имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе Эшера "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Наиболее интересная работа Эшера – гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. 12 Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. 2.2.4. Многогранники в архитектуре Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете, в основе всей техники, так или иначе, лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира. Это может показаться странным, но не слово Пирамида определяет отнюдь трехмерный треугольник, и при этом его корень даже, не Египетский. Слово Пирамида составлено из Греческого слова "pyra" в значении огня, света (или видимый и Греческого слова "midos" в значение мер( другое значение – середина(внутри)). Первые определения этому понятию давали: Евклид, Герон, Учебники XIXв., Тейлор, Лежандр. Телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся к одной точке 13 (вершине). Фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник. Многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем – столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет. Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен. Первая была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над ней меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. Общая высота маяка составляла 117 метров. А присутствует ли вообще математика в архитектуре? Конечно. Достаточно взглянуть на здания, и мы тут же увидим знакомые геометрические фигуры: параллелепипед, треугольные фронтоны, полукруглые и прямоугольные окна.… И это лишь малая часть геометрических фигур, которые радуют глаз при взгляде на красивые здания городов. Музыкальный театр. Здание церкви Спаса Преображен. 14 Собор непорочного зачатия Девы Марии на малой Грузинской Исторический музей Казанская церковь в Москве Старицкий Свято – Успенский монастырь 15 Обелиск Победы Успенский собор 2.3. Правильные многогранники в математике Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. 2.3.1. Формула Эйлера Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице 1. Таблица 1 Правильный многогранник Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Граней 4 6 8 12 20 Число Вершин 4 8 6 20 12 Ребер 6 12 12 30 30 Рассматривая таблицу 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце 16 «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2 12, 12 2 20 ). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно. Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. таблице 2). Таблица № 2 Правильный многогранник Число Граней и вершин (Г + В) Ребер (Р) Тетраэдр 4+4=8 6 Куб 6 + 8 = 14 12 Октаэдр 8 + 6 = 14 12 Додекаэдр 12 + 20 = 32 30 Икосаэдр 20 + 12 = 32 30 Вот теперь закономерность видна. Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»: Г + В = Р + 2. Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Сколько правильных многогранников существует? Пусть при одной вершине сходится n – ребер, тогда плоских углов при вершине будет тоже n. И все они равны между собой. Пусть x – один из плоских углов, тогда сумма плоских углов при вершине – nx. По свойству 17 плоских углов nx<360˚, x< α= 360° 𝑛 . Угол правильного n – угольника равен 180(𝑛−2) 𝑛 Начиная с n =7, угол станет меньше 60°, а такого правильного n-угольника не существует. 1. Грани правильного многогранника – правильные треугольники, тогда 𝛼 = 60° 1) 60°× 3=180° < 360°, 4 грани – тетраэдр. 2) 60°×4=240° < 360°, 8 граней – октаэдр. 3) 60°× 5=300° < 360°, 20 граней – икосаэдр. 60 ° ×6 = 360 ° – это противоречит теореме о сумме плоских углов многогранного угла, значит больше правильных многогранников, грани которых – правильные треугольники не существует. 2. Грани правильного многогранника – квадраты, тогда 𝛼 = 90°. 1). 90°×3 = 270° < 360°, 6 граней - гексаэдр (куб). 2). 90°× 4 = 360° – это значит, что больше правильных многогранников, грани которых – квадраты не существует. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60m < 360, 90m < 360 и 108m < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (m – число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника). 3. Грани правильного многогранника – правильные пятиугольники, тогда 𝛼 = 108° 1). 108°×3 = 324° < 360°, 12 граней – додекаэдр. 18 2). 108°× 4 > 360° – это значит, что больше правильных многогранников, грани которых – правильные пятиугольники не существует. 4. Начиная с правильного шестиугольника 𝛼 > 120° Следовательно, n×𝛼 > 360° (n > 3), поэтому правильных многогранников, грани которых – правильные многоугольники с числом сторон больше 5, не существует. Итак, мы доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников. Доказательство того, содержится в «Началах» Евклида. 19 Глава III. Практическая часть Тот, кто, обращаясь к старому, способен открывать новое, достоин быть учителем. Конфуций (ок. 551 до н. э., — 479 до н. э.) — китайский мыслитель и философ. 3.1. Развертка тетраэдра 3.2. Развертка куба 20 3.3. Развертка октаэдра 3.4. Развертка икосаэдра 3.5. Развертка додекаэдра 21 Заключение В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу Д.Гильберт (1862-1943) немецкий математик Подбирая материал для своей работы, я познакомился с различными видами многогранников (правильные, неправильные, звездчатые). Узнал, где они встречаются в природе (кристаллы, соты, снежинки,…) и окружающем нас мире (головоломки, пирамиды, картины). Решая поставленную проблему, я увидел, что многогранники действительно окружают меня везде – это крупинки сахара и соли, камень в кольце мамы, форма зданий и деревьев и многое другое. В своей работе я попытался описать эти древние пространственные фигуры, рассмотреть их свойства и построить модели правильных многогранников, чтобы расширить свое представление о них. Думаю, что собранный материал будет мне полезен и в дальнейшем… 22 Список литературы 1. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.–5-е изд.– М.: Просвещение, 1997. 2. Лаптев Б.Л., Н.И.Лобачевский и его геометрия. М.: Просвещение, 1976. 3. Фридман Л.М., Изучаем математику, Москва, «Просвещение», 1995г 4. Гарднер М. Математические новеллы. Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М., «Мир», 1974. 5. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М., Просвещение, 1992. 6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П.. Рассказы о прикладной математике. М.: Вита-Пресс, 1996 7. Гильберт Д., Кон-фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981 Интернет – ресурсы http://ru.wikipedia.org http://www.krugosvet.ru http://schools.techno.ru 23 Приложение 1 Изображение Тип правильного многоугольника Тип грани Число сторон у грани Число ребер, примыкающих к вершине Общее число вершин Общее число ребер Общее число граней Сумма плоских углов при вершине Тетраэдр Треугольник 3 3 4 6 4 180˚ Куб Квадрат 4 3 8 12 6 270˚ Октаэдр Треугольник 3 4 6 12 8 240˚ Додекаэдр Пятиугольник 5 3 20 30 12 324˚ Икосаэдр Треугольник 3 5 12 30 20 300˚ 24 Приложение 2 Восковые постройки пчёл. На рисунке показано, как соприкасаются ячейки в улье: их общая часть является ромбом. В этом случае площадь поверхности многогранника – ячейки меньше площади поверхности правильной шестиугольной призмы. При такой «математической» работе пчёлы экономят 2 процента воска. 25 Приложение 3 Кристаллография Микромонокристалл германия Монокристалл сегнетовой соли Природные кристаллы турмалина. Кристаллы белка каталазы 26