Свойства решений задач линейного программирования.

КИСЛОВОДСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
«Математические методы в экономике»
для студентов, обучающихся по направлению
080100.62 «Экономика» подготовки бакалавров
Кисловодск 2012
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
к. ф. н.___________Р.Ш. Гочияева
«_______» _________________ 2012 г.
Математические методы в экономике. Рабочая программа для студентов
бакалавриата, обучающихся по направлениям 080100.62 «Экономика», Кисловодск: КГТИ, 2012.
Составитель: кандидат педагогических наук, доцент Шаманова Л.И.
Программа составлена на основании Федерального государственного образовательного стандарта Высшего профессионального образования. Рабочая программа дисциплины «Математические методы в экономике» содержит требования к уровню освоения содержания дисциплины, объем
курса, виды учебной работы, программу дисциплины и тематику лекций,
практических и самостоятельных занятий, и методические указания по их
проведению, вопросы к экзамену, перечень учебно-методического материала.
Дисциплина «Математические методы в экономике» является вариативной
компонентой математического цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению 080100.62
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры общей физики и
высшей математики протокол № … от « »
2012 г.
Зав. кафедрой _________________ Л.И. Шаманова
2
Оглавление
1. Цели и задачи дисциплины ..................................................................................4
2. Требования к уровню освоения дисциплины ...................................................4
3. Формы и методы проведения занятий ..............................................................6
3. Распределение часов по темам и видам занятий .............................................8
4. Содержание дисциплины по темам ....................................................................9
5. Содержание лабораторных занятий ................................................................11
6. Задания для самостоятельной работы ............................................................13
7. Экзаменационные вопросы ................................................................................16
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ......17
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины ..................................18
3
1. Цели и задачи дисциплины
«Математические методы в экономике» относятся к циклу факультативы (ФТД.02). Курс «Математические методы в экономике» является
естественным продолжением курса математики. Он состоит из разделов:
линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, оптимальное управление, принятие решений в
условиях неопределенности.
Его задача – дать фундаментальную подготовку в области важнейших экономико-математических понятий и методов, используемых в анализе экономики, статистики, организации производства и других. Математические модели широко применяются в бизнесе, экономике, исследовании экономической активности и даже в изучении политических процессов. Математические модели полезны для более полного понимания сущности происходящих процессов, их анализа, а также для практического решения экономических задач. Построить модель не менее трудно, чем ее
решить: чем полнее описание задачи, тем, более сложным является ее решение. Для решения некоторых прикладных экономических задач существуют пакеты прикладных программ, чтобы их использовать для более
сложных вариантов, нужно не только понимать экономический смысл задачи, но и представлять методы их решения. Одними из таких методов являются методы линейного программирования, методы динамического
программирования, метод наименьших квадратов, метод функций Лагранжа, эконометрический и другие.
Цель – оснащение студентов знаниями и навыками при изучении
ряда дисциплин, вероятностного моделирования реальных социально –
экономических процессов, подбора и экономической интерпретации вероятностного механизма анализируемых социально – экономических данных.
Этот курс является базовым в экономико-математическом образовании студентов - бакалавров. Студент должен иметь представления о методах и моделях макроэкономики, о случайных процессах, их моделировании и прогнозировании экономических ситуаций, основываясь на статистических данных.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
4
Изучение материалов курса будет способствовать формированию
навыков и способностей, сформулированных в разделе «Компетенции»
стандарта специальности ПК-2, ПК-3, ПК-5, ПК-14, ПК-15:
 использовать, обобщать и анализировать информацию,
ставить цели и находить пути их достижения в условиях
формирования и развития информационного общества;
 самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения, стремиться к
саморазвитию;
 понимать сущность и проблемы развития современного
информационного общества;
 при решении профессиональных задач анализировать социально-экономические проблемы и процессы с применением методов системного анализа и математического моделирования;
 моделировать и проектировать структуры данных и знаний, прикладные и информационные процессы;
 применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях;
 выбирать необходимые для организации информационные
ресурсы и источники знаний в электронной среде;
 применять системный подход и математические методы в
формировании решения прикладных задач.
В результате изучения дисциплины студент должен:
знать:
 общие формы, закономерности и инструментальных средства
математического моделирования - ПК-1;
 особенности возникновения и развития основных методов, понятий, идей, научных теорий в математическом моделировании;
уметь:
 применять методы математического анализа и моделирования,
теоретических и экспериментальных исследований для решения экономических задач;
 находить, анализировать и контекстно обрабатывать научнотехническую информацию ОК-10;
5
 извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек, реферативных журналов ПК-17;
 демонстрировать способность к анализу и синтезу ОК-144
 понять поставленную задачу ПК-2;
 формулировать результат ПК-3;
 на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат ПК-5;
 самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата ПК-6;
 грамотно пользоваться языком предметной области ПК-7;
 ориентироваться в постановках задач ПК-8;
 самостоятельно построить алгоритм и его анализировать ПК-11;
 точно представить математические знания в устной форме ПК27.
владеть:
 навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;
 методикой построения, анализа т применения математических
моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических процессов;
 методами математического и алгоритмического моделирования
при решении прикладных задач ПК-20;
 проблемно-задачной формой представления математических
знаний ПК-22.
3. Формы и методы проведения занятий
В качестве ведущих форм используются лекции, практические и
лабораторные занятия.
ВИД УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
ВСЕГО ЧАСОВ
Аудиторные занятия (всего)
56
Лекции
18
6
ВИД УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
ВСЕГО ЧАСОВ
Практические занятия (ПЗ)
36
Лабораторные работы (ЛР)
0
Самостоятельная работа (всего)
88
Контрольная работа
2
Вид промежуточной аттестации
зачет
Общая трудоемкость дисциплины
144
Все перечисленные формы проведения занятий обеспечивают
междисциплинарные связи в процессе подготовки бакалавра. Ниже знаком
«+» отмечены выделены темы, используемые при изучении обеспечиваемых (последующих) дисциплин.
№
п/п
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
№ № разделов данной дисциплины, необходимых
для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 2 3
4
5
6 7 8
9 10 11 12
1.
Эконометрика
+
+
+
2.
Математический
+
+
+
+
+
+
+
+
анализ
3.
Макроэкономика
4.
Микроэкономика
5.
Дифференциальные
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
и разностные уравнения
6.
Дискретные мате-
+
+
+
+
матические модели
7.
Методы оптималь-
+
+
ных решений
7
+
+
3. Распределение часов по темам и видам занятий
ЛК
ПЗ
КСР
ОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ
Общая задача линейного про2
4
граммирования
Графический метод решения
4
задач линейного программирования
Свойства решений задач ли2
4
нейного программирования
Симплексный метод решения
2
4
задач линейного программирования
Теория двойственности
2
2
Транспортная задача линейного
программирования
Модели целочисленного программирования
Классические методы оптимизации
Модели выпуклого программирования
Модели динамического программирования
Контрольная работа
ВСЕГО:
СРС
ВСЕГО
НАИМЕНОВАНИЕ РАЗДЕЛА
ДИСЦИПЛИНЫ
Распределение часов по видам
учебной работы
8
14
10
14
8
12
10
14
8
10
2
4
10
14
2
2
8
2
2
4
8
12
2
4
8
12
2
4
10
12
88
144
12
14
14
18
12
12
12
14
2
18
36
2
ЗАОЧНАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ
Общая задача линейного про2
граммирования
Графический метод решения
задач линейного программиро2
2
вания
Свойства решений задач линейного программирования
Симплексный метод решения
2
задач линейного программиро8
ЛК
ПЗ
КСР
вания
Теория двойственности
Транспортная задача линейного
программирования
Модели целочисленного программирования
Классические методы оптимизации
Модели выпуклого программирования
Модели динамического программирования
ЗАЧЕТ
ВСЕГО
2
2
4
8
4
4
СРС
ВСЕГО
НАИМЕНОВАНИЕ РАЗДЕЛА
ДИСЦИПЛИНЫ
Распределение часов по видам
учебной работы
14
14
12
14
12
12
14
16
14
14
12
12
128
4
144
4. Содержание дисциплины по темам
1. Линейное программирование
Тема 1. Предмет математического программирования.
Примеры экономических задач, решаемых методами математического программирования. Классификация основных методов математического программирования.
Тема 2. Графический метод решения задач линейного программирования.
Задача с двумя переменными. Графический метод решения задач
линейного программирования с n переменными.
Тема 3. Свойства решений задач линейного программирования.
Многоугольники и многогранники. Экстремум целевой функции.
Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с
угловыми точками.
Тема 4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
9
Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов
симплексной таблицы. Улучшение опорного решения. Определение ведущих столбца и строки.
Выбор начального допустимого базисного решения. Введение искусственных переменных.
Вырожденные задачи линейного программирования. Зацикливание
и его предотвращение.
Тема 5. Двойственность в линейном программировании
Двойственные задачи. Экономическая интерпретация пары двойственных задач. Теоремы двойственности, их экономическая интерпретация.
Тема 6. Транспортные задачи
Экономическая и математическая формулировки транспортной
задачи. Метод потенциалов. Основные способы построения начального
опорного решения. Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления. Транспортные задачи с дополнительными условиями.
Тема 7. Целочисленное программирование
Постановка задачи. Примеры целочисленных моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори. Метод
ветвей и границ. Постановка задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных методах.
Тема 8. Классические методы оптимизации
Классические методы определения экстремумов. Метод множителей Лагранжа.
2. Элементы нелинейного программирования
Тема 9. Выпуклое программирование
Производная по направлению и градиент. Выпуклые функции. Задача выпуклого программирования. Приближенное решение задач выпуклого программирования методом кусочно-линейной аппроксимации. Методы спуска. Приближенное решение задач выпуклого программирования
градиентным методом.
Тема 10. Динамическое программирование
10
Постановка задачи. Основные определения. Принцип оптимальности. Рекуррентные уравнения Беллмана. Примеры решения задач математического программирования методом Беллмана.
5. Содержание практических занятий
ТЕМАТИКА
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Предмет математического программирования. Примеры экономических задач, решаемых
методами
математического
программирования. Классификация основных методов математического программирования.
Графический метод решения
задач линейного программирования. Задача с двумя переменными. Графический метод
решения задач линейного программирования с n переменными.
Свойства решений задач линейного программирования.
Многоугольники и многогранники.
Экстремум
целевой
функции. Опорное решение
задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.
Симплекс-метод решения задач
линейного программированияСимплексные таблицы. Экономическая
интерпретация
элементов симплексной таблицы. Улучшение опорного
решения. Определение ведущих столбца и строки.
Выбор начального до-
Технология
проведения
занятия
Групповое
обсуждение
решения примеров и задач
Решение
практических
задач
количество
часов
Литература
[3],
225-244
4
[3],
389-419
4
4
Дискуссии,
решение
учебных задач
[3],
262-286
4
11
ТЕМАТИКА
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
пустимого базисного решения.
Введение искусственных переменных.
Вырожденные задачи
линейного программирования.
Зацикливание и его предотвращение.
Двойственность в линейном
программировании.
Двойственные задачи. Экономическая интерпретация пары
двойственных задач. Теоремы
двойственности, их экономическая интерпретация.
Транспортные задачи. Экономическая и математическая
формулировки транспортной
задачи. Метод потенциалов.
Основные способы построения
начального опорного решения.
Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления. Транспортные задачи с дополнительными условиями.
Целочисленное программирование. Постановка
задачи.
Примеры целочисленных моделей. Методы решения задач
целочисленного программирования. Метод Гомори. Метод
ветвей и границ. Постановка
задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных методах.
Классические методы оптимизации. Классические методы
определения экстремумов. Метод множителей Лагранжа.
Технология
проведения
занятия
Решение
практических
задач, индивидуальный
опрос в конкретных ситуациях
Групповое
обсуждение,
экспресс
опрос по теме
занятий.
количество
часов
[3],
288-300
2
[3],
307-314;
316-325
4
Решение
практических
задач
2
Групповой
разбор алгоритмов представления
функций в ряд
12
Литература
4
[3],
448-480
4,
358-370;
[9],
194-197
ТЕМАТИКА
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Выпуклое программирование.
Производная по направлению
и градиент. Выпуклые функции. Задача выпуклого программирования. Приближенное решение задач выпуклого
программирования методом
кусочно-линейной аппроксимации. Методы спуска. Приближенное решение задач выпуклого
программирования
градиентным методом.
Динамическое программирование.
Постановка
задачи.
Основные определения. Принцип оптимальности. Рекуррентные уравнения Беллмана.
Примеры решения задач математического программирования методом Беллмана.
Технология
проведения
занятия
с последующей проверкой результатов на компьютере.
Индивидуальное решение задач и
консультирование
количество
часов
Литература
[3],
329-350;
355-364
4
Групповые
дискуссии и
обсуждение
конкретных
ситуаций.
[3],
366-375
4
36
ВСЕГО
6. Задания для самостоятельной работы
Основная цель самостоятельной работы студента при изучении
дисциплины – закрепить теоретические знания, полученные в ходе лекционных занятий, а также сформировать практические навыки решения задач по темам курса.
Самостоятельная работа студента в процессе освоения дисциплины «Математические методы в экономике» включает в себя:
– разбор и изучение теоретического материала по пособиям и
конспектам лекций;
– выполнение контрольных работ;
13
– подготовку к защите контрольных работ;
– подготовку к компьютерному тестированию;
– индивидуальные и групповые консультации по наиболее
сложным вопросам дисциплины;
– подготовка к экзамену.
На самостоятельную работу студентов отводится 80 ч учебного
времени для студентов бакалавриата направления «Экономика».
Тема дисциплины
Предмет математического программирования. Примеры экономических задач, решаемых
методами математического программирования. Классификация
основных методов математического программирования.
Графический метод решения задач линейного программирования.
Задача с двумя переменными. Графический метод решения задач линейного программирования с n переменными.
Свойства решений задач линейного программирования. Многоугольники и многогранники.
Экстремум целевой функции.
Опорное решение задачи линейного программирования, его
взаимосвязь с угловыми точками.
Симплекс-метод решения задач
линейного
программированияСимплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы.
Улучшение опорного решения.
Определение ведущих столбца и
строки.
Выбор начального допу-
Форма самостоятельной работы
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних
заданий: 1, стр. 24-130
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних
заданий: 1, стр. 151-154
Трудоёмкость
в часах
8
10
8
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних
заданий:
2, стр. 375-378
14
10
стимого базисного решения.
Введение искусственных переменных.
Вырожденные
задачи
линейного программирования.
Зацикливание и его предотвращение.
Двойственность в линейном
программировании.
Двойственные задачи. Экономическая интерпретация пары двойственных задач. Теоремы двойственности, их экономическая
интерпретация.
Транспортные задачи. Экономическая и математическая
формулировки
транспортной
задачи. Метод потенциалов. Основные способы построения
начального опорного решения.
Транспортные задачи с нарушенным балансом производства
и потребления. Транспортные
задачи
с
дополнительными
условиями.
Целочисленное программирование.
Постановка задачи. Примеры целочисленных моделей.
Методы решения задач целочисленного программирования.
Метод Гомори. Метод ветвей и
границ. Постановка задачи о
коммивояжере. Понятие о приближенных методах.
Классические методы оптимизации. Классические методы определения экстремумов. Метод
множителей Лагранжа.
Выпуклое
программирование.
Производная по направлению и
градиент. Выпуклые функции.
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних
заданий:
2, стр.322-324; 334-337
Подготовка к тестированию
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних
заданий: 1,стр.53-55;
59-63
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних
заданий: 1, стр.81-90
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних
заданий: 1,1стр. 24-130
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних
15
8
10
8
8
8
Задача выпуклого программирования. Приближенное решение задач выпуклого программирования методом кусочнолинейной аппроксимации. Методы спуска. Приближенное решение задач выпуклого программирования
градиентным
методом.
Динамическое программирование.
Постановка задачи. Основные определения. Принцип
оптимальности. Рекуррентные
уравнения Беллмана. Примеры
решения задач математического
программирования
методом
Беллмана.
ВСЕГО
заданий:
2, стр. 375-378
Работа с учебной литературой
Выполнение домашних
заданий: 1, стр. 151-154
10
88
7. Контрольные вопросы к зачету
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Математические модели простейших экономических задач.
Каноническая форма задачи линейного программирования.
Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.
Графический метод решения задач линейного программирования с n переменными.
Экстремум целевой функции.
Опорное решение задачи линейного программирования, его
взаимосвязь с угловыми точками.
Нахождение начального опорного решения и переход к новому
опорному решению.
Преобразование целевой функции при переходе от одного
опорного решения к другому.
Улучшение опорного решения.
Алгоритм симплексного метода.
Метод искусственного базиса.
Виды математических моделей двойственных задач.
Общие правила составления двойственных задач.
Первая теорема двойственности.
Вторая теорема двойственности.
Двойственный симплексный метод.
16
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
Алгоритм двойственного симплексного метода
Формулировка транспортной задачи.
Математическая модель транспортной задачи.
Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи.
Свойство системы ограничений транспортной задачи.
Опорное решение транспортной задачи.
Распределительный метод.
Метод потенциалов.
Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность.
Транспортная задача по критерию времени.
Применение транспортной задачи для решения экономических
задач.
Метод Гомори.
Метод ветвей и границ.
Классические методы оптимизации.
Метод множителей Лагранжа.
Задача выпуклого программирования.
Приближенное решение задач выпуклого программирования
методом кусочно-линейной аппроксимации.
Методы спуска. Приближенное решение задач выпуклого программирования градиентным методом.
Принцип оптимальности и уравнение Беллмана.
Задача о распределении средств между предприятиями.
Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на n лет.
Задача о замене оборудования.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература
1. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – 2-е изд., испр. –
М.: Дело, 2001. – 688 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / под
ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 656 с.
3. Таха, Х.А. Введение в исследование операций / Х.А. Таха, пер. с англ.
– 6-е изд. – М.: Изд. дом «Вильямс», 2001. – 912 с.
4. Протасов, И.Д. Теория игр и исследование операций: учеб. пособие
/ И.Д. Протасов. – М.: Гелиос АРВ, 2003. – 368 с.
17
5.
6.
Монахов, В.М. Методы оптимизации. Применение математических
методов в экономике / В.М. Монахов. – М.: Просвещение, 1978. – 175
с.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие /под ред. В.И. Ермакова – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2008. 575 с.
б) дополнительная литература
7. Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов / Н.Ш.
Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 471 с.
8. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов: в 2-х частях. Ч 2. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1999. – 416 с.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:
Специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы,
аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения. Может использоваться программа MATHCAD и следующие интернет-порталы:
http://xplusy.oos.cc/web/links_2.html
http://www.lib.tpu.ru/info_portal.xml?lang=ru
http://mathelp.spb.ru
18
19