Искаков Михаил Борисович

Искаков Михаил Борисович
Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, Москва
Искаков Алексей Борисович
Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, Москва
Равновесие в безопасных стратегиях и множество наилучших
безопасных ответов в модели пространственной конкуренции
Хотеллинга.
Доклад посвящен исследованию классической теоретической задачи пространственно
распределенной конкуренции, поставленной Хотеллингом в 1929 году [1]. Это модель
игрового двухшагового взаимодействия продавцов некоторого товара, в котором их
стратегиями являются, во-первых, определение расположения своих торговых точек в
пространстве и, во-вторых, установление цен на товар. На выбор покупателей товара,
равномерно расположенных на отрезке, влияют два фактора: цены и затраты на перевозку
товара.
Рассматривается отрезок [ A, B] длины l, это может быть улица в городе, береговая
линия, автомагистраль, а также некоторая линейка свойств товара предлагаемого на
рынке, для моделей монополистической конкуренции. На нем равномерно распределены
покупатели с некоторой плотностью, которую без потери общности можно считать
единичной. На расстоянии a и b от концов отрезка в точках x1, x2 ( x1  x2 ) расположены
магазины игроков 1 и 2, предлагающие одинаковый товар по ценам p1, p2 . Расстояние
между магазинами обозначается d  l  a  b . Каждый покупатель тратит на
транспортировку товара до дома некоторую цену на единицу длины, которая, также без
потери общности, считается единичной. При постановке задачи с неэластичным спросом
покупатель всегда покупает единицу товара. При постановке задачи с эластичностью
спроса единица товара приобретается покупателем, находящимся в некоторой точке
отрезка, если сумма цены и транспортных расходов до этой точки не превосходит
единичной полезности, хотя бы для одного магазина. Все потребители не имеют никаких
предпочтений по выбору продавца, кроме как по сумме стоимости товара и затрат на
транспортировку. Таким образом, объемы проданного товара q1,q2 равны длине отрезков,
на которых расположены покупатели, выбравшие тот или иной магазин.
Исследуется равновесие, совершенное по подыграм в динамической игре, которая
проходит в два шага:
Шаг 1. Продавцы определяют точки своего расположения a, b, (a  b  l ) .
Шаг 2. Продавцы определяют цену на свой товар p1, p2 .
Целевая функция игрока-продавца 1:
 p1 (v1  w1 ), p1  p 2  d

(1)
u1 (a, b, p1 , p 2 )  p1 q1   p1 (v1  r1 ), | p1  p 2 | d

0,
p1  p 2  d

d  p2  p1
где для неэластичного спроса v1  1  p1 , w1  1  p1 , r1 
, для
2
эластичного:
1
 d  p 2  p1

(2)
v1  min{ a, 1  p1 }, w1  min{ d  b, 1  p1 }, r1  min 
, 1  p1 
2


Целевая функция игрока 2 выписывается симметрично.
Основная сложность, обнаружившаяся при исследовании модели Хотеллинга –
отсутствие равновесий Нэша в игре установления цен для многих случаев расположения
магазинов продавцов, предлагающих товар [2]. В работе [2], посвященной полностью
модели Хотеллинга, определены условия существования равновесия Нэша.
Если рассмотреть игру установления цен при фиксированных местоположениях
игроков, то при несовпадающих x1  x2 каждый игрок может, назначив достаточно низкие
цены, обеспечить себе положительный выигрыш независимо от стратегии конкурента. С
другой стороны, при некоторых местоположениях магазинов не существует равновесия
Нэша в игре цен потому, что в локальном равновесии, найденном Хотеллингом, возникает
следующая ситуация. По крайней мере, один из игроков может, опустив цены
относительно данного равновесия, полностью завладеть рынком и получить при этом
дополнительную прибыль. Поскольку при реализации этой угрозы одним игроком второй
теряет все и получает наихудший результат из возможных, естественно предположить,
что рациональной стратегией в областях несуществования равновесия Нэша будет
стремление к наибольшему выигрышу при исключении возможности указанного
наихудшего результата игры. Именно эта логика поведения заложена в идее равновесия в
безопасных стратегиях, впервые предложенного в [3]. Применительно к игре цен в задаче
Хотеллинга его можно рассматривать как демпинговое ценовое равновесие [4].
Пусть задана произвольная игра   ( X i , ui , i  N ) .
Определение 1. Угрозой игрока j игроку i ( j  i ) называется пара профилей
{x, ( x j , x  j )} такая что: u j ( x j , x  j )  u j ( x) и u i ( x j , x  j )  u i ( x) . При этом профиль x
называется содержащим угрозу, а профиль ( x j , x j ) , также как и стратегия x j ,
называются угрожающими игроку i со стороны игрока j.
Определение 2. Стратегия xi игрока i называется безопасной стратегией при
заданной обстановке x i , если профиль x не содержит угроз игроку i.
Определение 3. Множеством Wi ( x)  X i стратегий, предпочтительных с учетом
угроз для игрока i относительно профиля x называется множество стратегий xi таких, что
ui ( xi , xi )  ui ( x) и для любого игрока j  i и для любой его угрозы игроку i:
{( xi , x i ), ( xi , x j , x ij )} выполнено u i ( xi , x j , x ij )  u i ( x) .
Определение 4. Профиль x * называется равновесием в безопасных стратегиях,
i : Wi ( x* )  
 , xi*  arg max ui ( xi , x*i )
xiWi ( x* )
если
.
Для нахождения решения задачи Хотеллинга также требуются производные понятия и
обозначения. Введем следующие определения.
Определение 5. Множество безопасных стратегий игрока i при заданном
окружении x i обозначается Vi ( xi ) .
Определение 6. Функцией наилучших безопасных ответов игрока i называется
многозначная функция BSRi ( xi )  arg max ui ( xi , xi ) .
xi Vi ( x i )
Определение 7. Множеством наилучших безопасных ответов игрока i называется
множество M BSRi  {x | xi  BSR i ( x i )} .
Определение 8. Множеством наилучших безопасных ответов игры называется
множество M BSR   M BSRi  {x | xi  BSRi ( xi ), i  N}
i
2
Если множество равновесий Нэша обозначить как M NE , а множество РБС – M SSE , то
справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. M NE  M SSE  M BSR . Обратное вложение множеств – неверно.
Решение подыгры цен ищется как подмножество множества наилучших безопасных
ответов игры. Для этого последовательно строятся: множество ситуаций игры безопасных
для всех игроков, функции наилучших безопасных ответов, множество наилучших
безопасных ответов, для элементов которого проверяется выполнение определения РБС.
После того, как определено решение подыгры цен, исследование подыгры расположений
не встречает теоретических сложностей. Для случая неэластичного спроса решение игры в
безопасных стратегиях представлено в [4]. Приведем решение задачи для обоих случаев.
Для доказательства существования РБС в игре цен сначала сузим область поиска,
выделив множество, в котором все стратегии безопасны, и в пределах которого должны
находиться решения задачи, если они существуют. Согласно теореме 1, в ситуации РБС
выбор каждого игрока – наилучший безопасный ответом на выбор конкурентов. Поэтому,
чтобы найти РБС в ценовой игре Хотеллинга, требуется проанализировать, какие угрозы
игрокам возникают при выборе цен, и какие соответственно профили являются
безопасными. Угрозу сопернику могут представлять только изменения игроком цены в
сторону уменьшения. Угроза может представлять одну из трех ситуаций: появление
отсутствующего на рынке («вытесненного») продавца, расширение уже существующей
покупательской зоны, которая может быть связана с полным вытеснением соперника,
либо без такого вытеснения.
Теорема 2. Пусть задана игровая задача определения цен с эластичным спросом
( pi  Pi , ui ( p1 , p2 ), i  {1,2}) , где Pi  [0,1] , значения ui определяются (1). Тогда множество
профилей, безопасных для обоих игроков M SS задается системой неравенств:
p1  arg max u1 ( p, p 2 )

| p 2  p|  d

p 2  arg max u 2 ( p1 , p)

(3)
| p1  p| d

u1I ( p 2  d )  u1II ( p1 , p 2 ), ïðè p 2  d
 I
II
u 2 ( p1  d )  u 2 ( p1 , p 2 ), ïðè p1  d
Любое решение игры в смысле РБС принадлежит множеству M SS .
Неравенства в (3) имеют понятный экономический смысл. Значение первых двух
неравенств было раскрыто еще самим Хотеллингом. Они исключают для игроков
возможность потерь в ходе конкурентной борьбы, когда сопернику выгодно понизить
цену и увеличить свой объем продаж. Третье и четвертое условие исключает для игроков
ситуацию вытеснения, когда конкуренту становится выгодно понизить цену настолько,
чтобы захватить весь рынок. Эти условия используются в [d’Aspremont, Gabszewicz,
Thisse, 1979], чтобы найти ограничения для решения, найденного Хотеллингом. Однако
вопрос о том, каким будет содержательное решение, когда третье или четвертое
ограничения становятся ключевыми, до настоящего времени остается открытым.
Для случая неэластичного спроса можно заметить, что на множестве M SS целевые
функции каждого игрока возрастают по его цене. Поэтому наилучшие безопасные ответы
будут располагаться на верхней границе множества M SS по их стратегиям (ценам).
Подставляя в (3) значения целевых функций соответствующие этому случаю, получаем
систему неравенств:
3
p1  p2 (l  b  a ) / 2


p2  p1 (l  a  b) / 2


( p2  d )l  p1 (l  b  a  p2  p1 ) / 2
( p1  d )l  p2 (l  a  b  p1  p2 ) / 2
Решение системы дает формулы равновесия ценовой игры.
Теорема 3. Игровая задача ( Pi  R  , ui ( p1 , p2 ), i  {1, 2}) , где ui определяются (1),
имеет следующее единственное решение в смысле РБС для любых допустимых значений
параметров a  0, b  0, a  b  l :
1) при выполнении условий a  3l  b  6 bl , b  3l  a  6 al
p1*  l   a  b  / 3, u1*  0,5( p1* ) 2 ,
равновесные цены и выигрыши: *
p2  l   a  b  / 3, u2*  0,5( p2* ) 2 ;
2) при выполнении условий a 
l b
(4 bl  l  b), a  3l  b  6 bl
l b
равновесные цены и выигрыши:
p1*  2l  2 bl ,
u1*  0,5( p1* ) 2 ,
p2*  3l  b  a  4 bl ,
u2*  0,5 p2* (l  a  b  p1*  p2* );
3) при выполнении условий b 
l a
(4 al  l  a ), b  3l  a  6 al
l a
равновесные цены и выигрыши:
p1*  3l  a  b  4 al , u1*  0,5 p1* (l  a  b  p2*  p1* ),
p2*  2l  2 al ,
u2*  0,5( p2* ) 2 ;
4) при выполнении условий a 
l b
l a
(4 bl  l  b), b 
(4 al  l  a )
l b
l a
равновесные цены и выигрыши:
При решении подыгры первого шага сложностей принципиального характера не
возникает, применяется обычное равновесие Нэша. Решение игры расположений для
неэластичной задачи:
( x1  a, x2  l  b,
Теорема
4.
Пусть
задана
игровая
задача
ui ( p1* (a, b), p2* (a, b)), i  {1, 2}) , где ui определяются (1), а pi* ( a , b) – утверждением
теоремы 3. В игре имеются следующие равновесия Нэша (a* , b* ) :
1) a*  0,25l , b*  0,25l;
2
 a *  b* 
4
*
*
*
2)  l 
  (2a  b )l , a  0, 25l ;
3
3


2
 a *  b* 
4 *
*
*
3)  l 
  ( a  2b )l , b  0, 25l.
3
3


Других равновесий Нэша в игре нет.
Случай эластичного спроса. Рассмотрим более подробно множество M SS и
ограничивающие его условия безопасности (3). Первые два неравенства задают условия
безопасности от частичного сокращения покупательской зоны. Это условие ограничивает
множество M SS сверху функцией наилучшего ответа.
4
Лемма 1. Функция наилучшего ответа в игре ( pi  [0,1], ui ( p1 , p2 ), i  {1,2}) , где ui
задаются (1), (2), BRi ( p i ) определяется следующей формулой:


2ai  d  pi
2  d  pi  

, max 1  ai ,
,

 pi  d ,
BRi ( pi )  max  pi  d , min 
2
6

  (4)

max 2  d  p ,0.5, min{ 0.5(1  a ),1  a } 
i
i
i



Вторые два неравенства задают условия безопасности игрока от полного вытеснения с
рынка или от демпинга. Эти условия ограничивают цены сверху функцией, которую
можно обозначить как функция демпинга. Введем следующие обозначения.
 i  min{ ai , ai  d }; a1  a; a2  b;
pˆ imax  max{ d , max{1  ai ,1  d  ai }}
pˆ imin  max{ d , min{ 1  ai ,1  d  ai }}
 i ( pi )  pi (min{ 1  pi , ai }  d  pi / 2)
Лемма 2. Для профиля ( p1 , p2 )  M SS условие безопасности от полного вытеснения
в ценовой игре с эластичным спросом (1), (2) можно записать в форме pi  Di ( p i )
где функции ограничения безопасности от вытеснения:
 D a , pˆ imax  D a

Di ( pi )   D b , pˆ imin  D b  pˆ imax
 D c , d  D c  pˆ min
i

(5)
2
4  pi
  4  pi   i ( pi ) 
D d
 max 0, 
 

8
2 
  8 
a
  2  2 i  pi  2

2  2 i  pi
D d
 max 0, 
  i ( pi )
4
4
 


b
2 ( p )

d  i i ,  i ( pi )  0
D c  
2l  pi

d ,  i ( pi )  0
однозначно определены и непрерывны для всех pi  [0,1] .
Функция наилучшего безопасного ответа определяется
ограничений – функции наилучшего ответа и функции демпинга.
объединением
Лемма
3.
Функция
наилучшего
безопасного
ответа
( pi  [0,1], ui ( p1 , p2 ), i  {1,2}) , где ui задаются (1), (2), определяется как:
в
двух
игре
BSRi ( pi )  min{ BRi ( pi ), Di ( pi )} .
(6)
Полученные
вспомогательные
утверждения
дают
возможность
доказать
существование решения в безопасных стратегиях в игре цен для задачи Хотеллинга с
эластичным спросом.
Теорема 5. Игровая задача определения цен  : ( pi  [1,0], ui , i  {1,2}) , где u i
определяются (1), (2) всегда имеет решение в смысле РБС.
Любое РБС ( p1* , p2* ) определяется системой уравнений:
p1*  BSR1 ( p2* ), p2*  BSR2 ( p1* ) .
Таким образом, решение задачи ценовой игры сводится к решению
уравнений (6) с подстановкой значений функций (4), (5), (6). Используемые
наилучшего ответа и демпинговых цен являются кусочно-непрерывными.
(7)
системы
функции
Поэтому
5
решение системы уравнений (зависящее от трех пространственных параметров: a, b и d)
распадается на мозаику из большого количества (более 60-и) непрерывных кусочков.
Возможные варианты решения распадаются на 5 классов решений.
В первом случае уравнения задают такую игровую ситуацию, в которой для каждого
игрока текущий выигрыш (в правых частях уравнений) равен его выигрышу при стратегии
вытеснения соперника (в левых частях). Это означает, что при заданных
пространственных параметрах (a, b, d ) в точке решения ( p1* , p2* ) функции наилучшего
безопасного ответа совпадают с функциями демпинговых цен. Система двух уравнений
при выполнении ограничений имеет единственное решение. Данный случай можно
определить как двустороннее РБС или равновесие взаимного сдерживания, так как
требование безопасности стратегий ограничивает обоих игроков. Обозначим его как U2решение.
Во втором случае уравнения задают такой игровой профиль, в котором стратегия
игрока 1 (или 2) является наилучшим ответом. Одновременно его выигрыши в данном
профиле и при стратегии вытеснения соперника одинаковы. Это означает, что при
заданных пространственных параметрах (a, b, d ) в точке решения ( p1* , p2* ) функции
наилучшего безопасного ответа совпадают с функцией демпинговых цен для одного
уравнения, и с функцией наилучшего ответа для другого. Система из двух уравнений при
выполнении ограничений имеет единственное решение. Этот случай можно
рассматривать как одностороннее РБС или равновесие одностороннего сдерживания,
так как угрозы ограничивают действие только одного игрока из двух. Обозначим его как
U1-решение.
В оставшихся трех случаях функции наилучшего безопасного ответа совпадают с
функциями
наилучшего
ответа.
Равновесие
Хотеллинга,
эквивалентное
исследовавшимся до сих пор в других работах решениям задачи с неэластичным спросом,
обозначается как H-решение. Условием равновесия отрыва является нулевая полезность
покупателя, находящегося на границе покупательских зон магазинов. Его можно
интерпретировать как ценовое равновесие с разделом сфер влияния. Особенностью
этого решения является его не единственность. Множество таких равновесий обозначим
как B-решение. Наконец независимое равновесие, тот вырожденный случай, при
котором покупательские зоны не соприкасаются, обозначается как I-решение.
Общее решение игровой задачи цен можно вписать следующим образом.
При выполнении условия  max 0.5, min 0.5(1  ai ),1  ai   2  d задача имеет
i{1, 2}
единственное I-решение:
p1*  max 0.5, min 0.5(1  a),1  a, p2*  max 0.5, min 0.5(1  b),1  b .
При выполнении условий
4
2

max 0.5, min 0.5(1  ai ),1  ai   2  d ,  max  , min  (1  ai ),1  ai   2  d

3

i{1, 2}
i{1, 2}
7
задача имеет множественные B-решения:
max 0.5, min 0.5(1  a),1  a



*
p1  max 
10
b
4
,
min  7  d , max  3  d  3 ,1  d  b 






4
2

max  , min  (1  a ),1  a 

3


7

p1*  min 
,


3
3
b

 
min
  d , max   d  ,1  d  b

2
2
2




p2*  2  d  p1* .
6
При выполнении условия
4

2
 max  7 , min  3 (1  a ),1  a   2  d
i
i{1, 2}
i
задача имеет
единственное H-, U1-, или U2-решение. H-решение задачи определяется формулой:


2(2ai  ai )
1  d  ai 2  7d  12ai 

, max ai 
,

d 

3
2
11




*
pi  min 
, i  1,2




3
d

4

2
a
3

d

a
2

d


i
i
max 1  a , min

, max 
,


  
i

11
6
5



 


U1-решение задачи определяется формулами:

2  d  p*i
*
p

 1  ai
i

6

2
 p*i  d 
6 i  1  d  (6 i  1  d ) 2  (1  d ) 2 (24 i  1)

24 i  1



pi*  1  ai

2


1 
1  ai
1  ai 



d
 i 
   i 
 2 i (1  ai )(3ai  2d  1) ,  i  0



2 i 
2
2 
 p*  



 i 
(
1

a
)(
3
a

2
d

1
)

i
i

d
,  i  0


2
l

(
1
 ai )


d  p*i
*
pi  ai 
 1  ai

2

2
 p*i  d 
6 i  ai  d  (6 i  ai  d ) 2  (ai  d ) 2 (8 i  1)

8 i  1
(2,2), p*i  max{1  ai  d ,1  ai }  pmax
i

*
min
( i ,  i )   (0, l ), pi  min{ 1  ai  d ,1  ai }  pi
 (1,1  min{ a , a  d }), p min  p*  p max
i
i
i
i
i



U2-решение. В общем случае решение системы сводится к решению уравнения
четвертой степени. Было доказано, что для таких решений всегда выполняется (ui* )ai  0 .
Из этого следует, что в 2-шаговой игре расположений ни одна точка (ai , ai ) , которой
соответствует в качестве решения ценовой игры двустороннее РБС, не будет
пространственным равновесием. Поэтому можно не выписывать его аналитическое
решение, а когда это потребуется, решать систему численно.
Итак, были найдены решения ценовой игры Хотеллинга для произвольных
расположений (a, b, d ) или (a, b, l ) . Это позволяет сформулировать задачу и найти
решения для 2-шаговой игры расположений Хотеллинга с эластичным спросом.
Поскольку для некоторых расположений игра цен имеет множественные решения, то
требуется доопределить отношения предпочтения. В случае, когда решением является
множество ценовых равновесий, игрок в рамках этого множества может получить
выигрыш в пределах некоторого интервала, от минимального до максимального значения.
Будем считать, что профиль является предпочтительным для игрока, если как
минимальный, так и максимальный возможный его выигрыш не меньше и хотя бы один из
них строго больше.
Чтобы найти решение аналитически, необходимо провести анализ производных
целевых функций игроков по расположению для ценовых. Полученный результат
формулируется в виде следующего утверждения.
Теорема
6.
2-шаговая
игра
выбора
расположений
Хотеллинга
7
 : (ai  [0, l ], a1  a2  l , ui , i  {1,2}) , где ui (a1 , a2 , p1* (a1 , a2 ), p1* (a1 , a2 )) определяются (2.2), с
равновесными безопасными стратегиями p1* (a1 , a2 ), p1* (a1 , a2 ) в подыгре цен, имеет
следующее решение (a1, a2 ) :
1. 0  l  0.8 :
a*i  3l  ai*  6 la i* ,


 
l 1  l


l
 ai*  min 15  6 6 l ,
4

 ,
2
2
pi*  2 la i* , p*i  2 l  la i* , ui*  2la i* , u *i  2l l  ai* , i {1,2}
2. 0.8  l  0.5  0.15  0.887 :
2l  1 *
4  2l *
(2  l )l
, p1  p2* 
, u1  u2* 
A. a1*  a2* 
(симметричное)
3
3
3
(2l  ai*  1) 2
B. a*i 
, 1  l  l (4  l )  ai*  min ai, 1  2l  2l (3l  1) ,
4l
* 2
(1  ai )
pi*
(1  a*i ) 2
*
*
*
*
*
*
*
pi 
 1  2ai , pi  1  ai , ui 
(2l  1  ai ), ui 
, i  {1,2},
4l
2
2
где ai единственный при l  0.8 корень уравнения:


(1  a)3
 2(1  a) 2  (6l  1)(1  a)  4l  0
4l
3. 0.5  0.15  l  50 / 53  0.943 :
2l  1 *
4  2l *
(2  l )l
, p1  p2* 
, u1  u2* 
A. a1*  a2* 
(симметричное)
3
3
3
16
3l 1
3l 1
l (17l  16) , a2*  1  
l (17l  16) ,
B. l  , a1*  1  
17
4 4
4 4
3l 1
3l 1
p1*  
l (17l  16) , p2*  
l (17l  16) ,
4 4
4 4
5l 
5l 


u1*   2  p2*  , u2*   2  p1*  
2
2


3l
(2  l )l
,
C. a*i   ai* 
2
1  ai*
 2l 2  1

3l 1
1  l  l (4  l )  ai*  min 
, 1 
l (17l  16)  ,
4 4
 4l  1

*
3l
(2  l )l *
*
*
* (l  2 ai )
pi*  1  ai* , p*i  1   ai* 
,
u

(
1

l

a
)
l
,
u

p
, i  {1,2}
i
i
i
i
2
1  ai*
1  ai*
4. 50 / 53  l  1 :
a1*  a2* 
2l  1 *
4  2l *
(2  l )l
, p1  p2* 
, u1  u2* 
(симметричное)
3
3
3
5. 1  l  8 / 7  1.143 :
 2l 2  1 1

3l
(2  l )l 2l  1
*
a*i   ai* 
,

a

min
, l  2  l (8  3l )  ,

i
*
2
1  ai
3
 4l  1 2

*
3l
(2  l )l *
*
*
* (l  2 ai )
pi*  1  ai* , p*i  1   ai* 
,
u

(
1

l

a
)
l
,
u

p
, i  {1,2}
i
i
i
i
2
1  ai*
1  ai*


6. 8 / 7  l  4 / 3  1.333 :
a1*  a2*  1  l / 2, p1*  p2*  l / 2, u1*  u2*  l 2 / 2 (симметричное)
8
7. 4 / 3  l  12 / 7  1.714 :
a1*  a2*  l / 2, p1*  1  a1* , p2*  1  a2* , u1*  2a1* (1  a1* ), u2*  2a2* (1  a2* ),
 l 3 1
 l 1 3
max   ,   a1* , a2*  min   , 
 2 7 3
2 3 7 
8. 12 / 7  l  13 / 7  1.857 :
l 1
4  2l *
(2  l )l
, u1  u2* 
A. a1*  a2*   , p1*  p2* 
(обобщенное)
3 7
3
3
B. a1  a2 
*
*
l 3
1
3
3
,  a1* , a2*  , 2a1*  a2*  l  , a1*  2a2*  l  ,
2 7
2
7
7
1  a1*  p1*  1  l  a1*  2a2* , 1  a2*  p2*  1  l  a2*  2a1* , p1*  p2*  2  d ,
u1*  2 p1* (1  p1* ), u2*  2 p2* (1  p2* ) (множественное обобщенное)
9. 13 / 7  l  2 :
1
1
1
A. 2ai*  a*i  l  , pi*  , p*i  1  a*i , ui*  , u*i  2a*i (1  a*i ),
2
2
2
3
19 3
l
l  1 1 
max  , l    ai*  l  ,  a* i  min 
, , i  {1,2} (обобщенное)
2
14 7
2
 2 2
l 3
1
3
3
B. a1*  a2*  ,  a1* , a2*  , 2a1*  a2*  l  , a1*  2a2*  l  ,
2 7
2
7
7
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1  a1  p1  1  l  a1  2a2 , 1  a2  p2  1  l  a2  2a1 , p1  p2*  2  d ,
u1*  2 p1* (1  p1* ), u2*  2 p2* (1  p2* ) (множественное обобщенное)
10. l  2 :
l * l *
1
1
, a2  , a1  a2*  l  1, p1*  p2*  , u1*  u2* 
2
2
2
2
1
1
1
B. 2ai*  a*i  l  , pi*  , p*i  1  a*i , ui*  , u*i  2a*i (1  a*i ),
2
2
2
3
19 3
l
l  1 1 
max  , l    ai*  l  ,  a* i  min 
, , i  {1,2} (обобщенное)
2
14 7
2
 2 2
Таким образом, в докладе представлено аналитическое решение в безопасных
стратегиях задачи Хотеллинга, для постановок задачи с неэластичным и эластичным
спросом. Также продемонстрирован метод исследования – поиск решения игры как
подмножества множества наилучших безопасных ответов игры. Для этого
последовательно строятся: множество ситуаций игры безопасных для всех игроков,
функции наилучших безопасных ответов, множество наилучших безопасных ответов, для
элементов которого проверяется выполнение определения РБС. Последовательность
сформулированных в докладе утверждений отражает указанную логику.
A. a1* 
Литература
1.
HOTELLING H. Stability in competition. // The Economic Journal, Vol. 39, №. 153. (Mar.,
1929), pp. 41-57.
9
2.
D'ASPREMONT C., GABSZEWICZ J., THISSE J.-F. On Hotelling's "Stability in
competition" // Econometrica, Vol. 47, №. 5 (Sep., 1979), pp. 1145-1150.
3.
ИСКАКОВ М.Б. Равновесие в безопасных стратегиях // Автоматика и телемеханика.
2005. №3. С. 139 – 153.
4.
ISKAKOV M., ISKAKOV A., PAVLOV P. Solution of the Hotelling’s Game in Secure
Strategies : Working paper WP7/2011/06 / National Research University “Higher School of
Economics”. – Moscow : Publishing House of the Higher School of Economics, 2011. – 36
p.
10