Основные формулы и законы общей физики(Сборник формул

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕЖД»
УДК
ББК
Ф50
Рекомендовано к изданию кафедрой естественнонаучных дисциплин
и Научно-методическим советом Учреждения образования
«Минский государственный высший радиотехнический колледж»
Болсун А.И., Храмович Е.М.
С о с т а в и т е л и:
Болсун Александр Иванович, профессор кафедры естественнонаучных дисциплин, канд. физ.-мат. наук;
Храмович Елена Минаевна, доцент кафедры естественнонаучных
дисциплин, канд. физ.-мат. наук
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
КУРСА ФИЗИКИ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ
Справочное пособие
Для учащихся второго курса всех специальностей
Рецензент
доцент кафедры естественнонаучных дисциплин МГВРК,
канд. физ.-мат. наук Корольков Владимир Степанович
Приведены основные законы и формулы по всем разделам курса
физики высшей школы, а также справочные материалы по физике и
математике.
Предназначено для учащихся второго курса всех специальностей и преподавателей колледжа.
Минск 2004
1
1. Физические основы механики
Введение
Кинематика



r  xi  y j  z k – радиус-вектор и x, y, z – координаты движущейся
частицы, i,j,k– орты (единичные векторы)
прямоугольной декартовой системы координат.
Справочное пособие содержит определения основных физических величин, а также формулировки физических законов, сопровождаемые необходимыми пояснениями. Пособие охватывает все основные разделы курса физики высшей школы: механику, молекулярную
физику и термодинамику, электродинамику, колебания и волны, оптику, квантовую физику.
Вспомогательный справочный материал по физике включает:
международную систему единиц (СИ); важнейшие физические величины и их единицы; множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц; фундаментальные физические константы; единицы, допускаемые к применению наравне с единицами
СИ; некоторые астрономические величины; таблицу элементарных
частиц;
периодическую
систему
химических
элементов
Д.И.Менделеева.
В конце пособия приведены также основные сведения из математики: некоторые формулы алгебры, тригонометрии и геометрии;
таблица производных и интегралов; формулы векторной алгебры и
математической теории поля; правила приближенных вычислений;
формулы для простейших приближенных вычислений.
Справочные материалы в виде основных формул и законов
предназначены для эффективного и быстрого поиска информации и
могут быть использованы на лекциях, практических занятиях при решении задач, лабораторных и семинарских занятиях, а также для самостоятельной работы учащихся. Для поиска нужной формулы или
законы рекомендуем пользоваться оглавлением.
Приводимые в пособии сведения являются вспомогательным
справочным материалом и не могут заменить учебные пособия по физике и конспект лекций.
r  x2  y2  z2
-модуль радиус-вектора ,
r  r2  r1 -
перемещение материальной точки за некоторый
промежуток времени (рисунок 1)
r  x 2  y 2  z 2  модуль перемещения, где x  x2  x1 ,
y  y2  y1 , z  z 2  z1 .
Y
S
1
j
r2
r1
k
2
r
0
X
i
Z
Рисунок 1


r
v 
t
– средняя скорость (вектор средней
скорости) материальной
точки (ча
стицы), где  r – элементарное перемещение частицы за промежуток
времени  t .
 – мгновенная скорость частицы, где
dr

r

v  lim

 t 0 t
dt
2




v  vx i  vy j  vz k ,
vz 
vx 
dx
dt
,
vy 
dy
dt
,
S  v0t 
dz
dt
– проекции скорости на оси
прямоугольной декартовой системы
координат,
v  vx2  v2y  vz2
t2

 s  vdt
t1
– модуль скорости.
– средняя путевая скорость (средняя
скорость прохождения пути), где  s –
путь, пройденный частицей за промежуток времени  t .


v
a 
t
–  среднее ускорение частицы, где
 v – изменение скорости частицы за
промежуток времени  t .



v d v d 2 r –

a  lim



2
 t 0 t
dt
dt



 ax i  a y j  az k
  
a  a  an
a 
an 
dv
dt
2
v
R
– скорость при равнопеременном
движении.



va  vот  vпе р
– закон сложения скоростей в меха
нике, где v a – скорость тела относительно неподвижной системы
отсчета

(абсолютная скорость), vот – скорость
тела относительно подвижной системы отсчета (относительная скорость)

vпер
– скорость подвижной системы
отсчета относительно неподвижной
(переносная скорость).
  lim
 t 0
 d

t
dt
мгновенное ускорение частицы, где
ax 
d vx d 2 x
 2,
dt
dt
az 
d vz d 2 z
 2
dt
dt
a
ax2

a2y

az2
ay 
d vy
dt

d2 y
dt2
– путь при равнопеременном движении, где v0 – начальная скорость, a –
ускорение, t – время движения.
v  v0  at
– путь, пройденный частицей за промежуток времени  t , v – модуль скорости.
s
t
v 
at 2
2
– угловая скорость твердого тела, где
 – угол поворота твердого тела
вокруг неподвижной оси за промежуток времени  t .
– угловое ускорение твердого тела,
,
  – изменение угловой скорости



v d v d 2 r где

a  lim



 t 0 t
dt
d t 2 твердого тела за промежуток времени
t .
– проекции ускорения
– модуль ускорения.

– полное ускорение частицы (ускорение при криволинейном движении),
 2

 2n
t
T
– угловая скорость при равномерном
вращении, где  – угол поворота за
время t, T – период вращения, n 
– модуль тангенциального ускорения
– частота вращения, n 
– модуль нормального (центростремительного) ускорения, v – модуль скорости, R – радиус кривизны
траектории в данной точке.
1
T
N
, N – чисt
ло оборотов, совершаемых телом за
время t.
3
   0t 
t 2
2
   0  t
v  R
a  R
an   2 R  v
– угол поворота при равноперемен0
ном вращении, где
– начальная
угловая скорость,  – угловое ускорение, t – время вращения.
– угловая скорость при равнопеременном движении.
– связь между линейной скоростью v
и угловой скоростью  , R – расстояние от оси вращения.
– связь между тангенциальным ускорением a и угловым ускорением  .
–связь между нормальным (центростремительным) ускорением, угловой
скоростью  и линейной скоростью v.
xc
v  u ln

p
 mi vi  const
n
i 1

, zc 
m z
m
i i
– координаты центра
масс системы частиц, где mi – масса
i-й частицы, x i , yi , z i – ее координаты
i
i
– уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского),

– формула Циолковского для определения скорости ракеты, где m0 –
начальная масса ракеты.
m0
m
Работа и энергия
 
A  F d S  Fs d s  F d s cos
– элементарная работа,
со
F на
вершаемая постоянной
силой

перемещении d S , где Fs – проекция силы на направление перемещения,  – угол между направлениями силы и перемещения.
A   Fs d s   F cos ds– работа, совершаемая переменной
s
s
силой, на пути s.
 Fi –
dv
mv2
, Fn  man 
 m 2R
dt
R
Fт р
i i
где реактивная сила
(u –
скорость истечения газов из ракеты),
m – масса ракеты.
сумма всех сил, действующих на частицу.
f N
 k
r
, yc
m y

m

 dm
Fр  u
dt
– импульс (количество движения)
материальной точки (частицы), m –
масса и v – скорость частицы.




d v d p – второй закон Ньютона (основное
F  ma  m

динамики частицы), где
dt
d t уравнение


Fт р  fN
стиц (или тел), входящих в систему.
i
  
m a  F  Fр


p  mv
F  m a  m
i
i
Динамика частицы и поступательного
движения твердого тела
F
m x

m
– второй закон
Ньютона в проекциях на касательную
и нормаль к траектории точки.
N A t
– средняя мощность за время t.
 
 A F  ds  
N

 F  v  F vcos  F v –
dt
dt
– сила трения скольжения, где f – коэффициент трения скольжения, N –
сила нормального давления.
– сила трения качения, где fk –
коэффициент трения-качения, r – радиус катящегося тела.
– закон сохранения импульса для замкнутой системы, где n – число ча-
s
Åê 
4
mv
2
2
мгновенная мощность.
– кинетическая энергия движущегося тела, где m – масса и v – скорость
тела.
– теорема Штейнера, где Jc – момент
инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, J – момент
инерции относительно параллельной
оси, отстоящей от первой на расстоянии a, m – масса тела.
1
– кинетическая энергия тела, враща2
E к вр  J z 
ющегося вокруг неподвижной оси z,
2
где Jz – момент инерции тела относительно оси z,  – его угловая скорость.
– кинетическая энергия тела, катяще1
1
E к  m vc2  J c 2
гося по плоскости без скольжения, где
2
2
m – масса тела, vc – скорость центра
масс тела, Jc – момент инерции тела
относительно оси, проходящей через
его центр масс,  – угловая скорость
тела.

 
– момент силы относительно
непоM  r  F 

движной точки O, где r – радиусвектор, проведенный из этой
 точки O
F
в точку приложения
 силы .
M  fl
F
– момент силы
относительно оси
вращения, где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).
 A  M zd
– элементарная работа при вращении
тела, где d  – угол поворота тела, Mz –
момент силы относительно оси z.
n
– момент импульса твердого тела отL z   mi vi ri  J z 
носительно оси вращения, где ri – расi1
стояние от оси z до отдельной частицы тела, mivi – импульс этой частицы,
Jz – момент инерции тела относительно оси z,  – его угловая скорость.
– уравнение (закон) динамики вращаdL
d
M z  z  Jz
 Jz
тельного движения твердого тела отdt
dt
носительно неподвижной оси z, где Mz
= Jz ε
– момент силы, Lz – момент импульса
и Jz – момент инерции тела относительно оси z,  – угловое ускорение.
J  J c  m a2

 U  U  U

F  
i
j
y
z
 x
F  grad U ,

k

– связь между силой, действующее на тело в данной
точке поля, и потенциальной
энер
 
гией частицы , где i , j , k – единичные векторы координатных осей,
gradU – градиент потенциальной
энергии.
U  mgh
– потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на
высоту h, где g – ускорение свободного падения.
F  k x
– сила упругости, где x – деформация, k – коэффициент упругости.
kx 2
2
– потенциальная энергия упругодеформированного тела.
U
E k  U  E  const
– закон сохранения механической
энергии (для консервативной системы).
Динамика твердого тела
J  m r2
n
J   mi ri2
i1
– момент инерции частицы, где m –
масса частицы, r – расстояние до оси
вращения.
– момент инерции системы n частиц
(тела), где ri – расстояние частицы
массой mi до оси вращения. В случае
непрерывного распределения масс
J   r 2d m.
5
Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными, m – масса тела)
№
Тела и их раз- Положение оси z
меры
Вид тела
R
Конус
7
Момент
инерции
Z
–
симметрии
Z
ось
3mR2/10
Z
1
2
Материальная
точка массы m
Произвольная
ось z
Сплошной диск Z
–
(цилиндр)
симметрии
mr2
r
Тонкий
стержень
длиной l
Z – ось, перпендикуляр-ная
стержню
Полый цилиндр
с внутренним
радиусом R2 и
внешним R1
(колесо)
Z – ось
симметрии
10
Кольцо
Ось Z совпадает
с диаметром
кольца
11
Тонкий диск
(круглый)
Ось Z совпадает
с диаметром
диска
8
ось
mR2/2
9
3
Кольцо (обруч),
тонкостенный
Z
–
цилиндр с от- симметрии
верстием
ось
5
Куб
Z – проходит
через центр шара
2mR2/5
Z
Ось Z перпендикулярна к грани
и проходит через
её середину
Ось Z перпендиПрямоугольный
кулярна граням с
параллелепипед
рёбрами a и b
ml2/12
l/2
m(R12+R22)/2
Упругие деформации

F
S

l
l
a
b
a
Z
a
ma2/6
Z
6
Z
mR2
4
Шар радиуса R
l/2
m(a2+b2)/12
6
– напряжение упругой деформации,
где F – растягивающая (сжимающая)
сила, S – площадь поперечного сечения тела.
– относительное продольное растяжение (сжатие), где  l – изменение
длины тела при растяжении (сжатии),
l – длина тела до деформации.
mR2/2
mR2/4
 
– относительное поперечное растяжение (сжатие), где  d – изменение
диаметра стержня при растяжении
(сжатии), d – диаметр стержня.
– связь между относительным поперечным сжатием (растяжением)   и
относительным продольным растяжением (сжатием)  , где  – коэффициент Пуассона.
– закон Гука для продольного растяжения (сжатия), где E – модуль Юнга.
d
d
   
E
– потенциал поля тяготения, где U –
потенциальная энергия частицы массой m, помещенной в данную точку
поля.




g  grad  , g     i    j    k  – связь меж x
y
 z 

ду потенциалом поля тяготения
и его


U
m
 
напряженностью, i , j , k – орты координатных осей.
v1  gR , v2  2 gR 
l
2
U   F dx  1 ES   l 2  E  V
2 l
0
2
– потенциальная энергия
упруго растянутого (сжатого) стержня,
где V – объем тела.
 v1 2

 
m a   m a  Fин
Гравитационное поле.
Неинерциальные системы отсчета.
T12
T22

R 13
R 32
R1
F G
m 1m2
r2
P  mg

 F
g
m
U 
G m1 m2
r




Fин  Fп  Fц  Fк
– третий закон Кеплера, где T1 и T 2 –
периоды обращения планет вокруг
– первая и вторая космические скорости у поверхности Земли, R – радиус
Земли.
– основной закон динамики для не
инерциальных
систем отсчета, где a

и a  – ускорения тела в инерциальной
и неинерциальной системах отсчета
соответственно.

Fп
– силы инерции,
– переносная
 где
сила инерции,

R2
Солнца,
и
– большие полуоси
их орбит.
– закон всемирного тяготения, где F –
сила тяготения (гравитационная сила)
двух частиц с массами m1 и m 2 , r –
расстояние между частицами, G –
гравитационная постоянная.
– сила тяжести, где m – масса тела, g
– ускорение свободного падения.
– напряженность поля тяготения, где
F – сила тяготения, действующая на
частицу массой m, помещенную в
данную точку поля.
– потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух частиц
Fц
– центробежная сила
Fк


Fп   m a0
Fц  m  2r
инерции, – кориолисова сила инерции.
–переносная сила инерции, проявляющаяся при поступательном движе
нии системы отсчета с ускоренем a0 .
– центробежная сила инерции, действующая во вращающейся системе
отсчета на тело, удаленное
 от оси
F

 
Fк  2m  v    
массами m1 и m 2 , находящихся на
расстоянии r друг от друга.
7
вращения на расстояние r, ц направлена всегда по перпендикуляру от оси
вращения.
– кориолисова сила инерции, которая
действует на тело, движущееся
с от
носительной скоростью v  во вращающейся системе отсчета,  – угловая
скорость вращения системы.
Элементы механики жидкости
p  gh
FА   gV
S v  const
 v2
  g h  p  const
2
v  2g h
F
v
S
x
Re   v
– гидростатическое давление столба
жидкости на глубине h, где  – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.
– закон Архимеда, где FA – выталкивающая сила, V – объем вытесненной
телом жидкости.
d

F  6  r v
– уравнение неразрывности, где S –
площадь поперечного сечения трубки
тока, v – скорость жидкости.
– уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой
жидкости, где p – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока, v – скорость жидкости для этого же сечения,  v2 2 – динамическое давление жидкости для
этого же сечения, h – высота, на которой расположено сечение,  g h – гидростатическое давление
V 
 R 4  pt
8l
– число Рейнольдса, определяющее
характер движения жидкости, где  –
плотность жидкости, v – средняя по
сечению трубы скорость жидкости, d –
характерный
линейный
размер,
например диаметр трубки.
– формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик, где r – радиус шарика, v – его скорость.
– формула Пуазейля, позволяющая
определить объем жидкости, протекающей за время t через капиллярную
трубку длинной l, где R – радиус трубки,  p – разность давлений на концах
трубки.
Основы специальной теории относительности
– преобразования Галилея, где
предполагается, что система отсчета
K  x , y , z  движется со скоростью v в
положительном направлении оси x системы отсчета K  x , y, z  , причем оси x 
и x совпадают, а оси y  и y, z  и z параллельны.
x   x  v t , y   y , z   z, t   t
– формула Торричели, позволяющая
определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде, где h – глубина,
на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.
– сила внутреннего трения между слоями
текущей жидкости, где  – динамическая
вязкость жидкости,  v  x – градиент
скорости, S – площадь соприкасающихся
слоев.
u  u  v – закон сложения скоростей в классической механике, где u  d x  dt – ско-
рость тела относительно системы отсчета K  , u  d x dt – скорость тела относительно системы отсчета K, v 
скорость движения K  отноительно К.
8
x 
x  vt
1  v2 c2
, y   y, z   z, t  
t  vx c2
1  v2 c2

p
– преобразования Ло-
ренца, где c – скорость света в вакууме.
2
l  l0 1  v c

ux 
0
2
, u y 
– релятивистское (лоренцово) сокращение длины, где l0 – длина стержня,
измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится
(собственная длина), l – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень движется со скоростью v.
E
u y 1  v2 c2
1  ux v c2
, uz 
uz 1  v2 c2
1  ux v c2
m
1  v2 c2
2
2
1 v c
 mr c2
m c2
1  v2 c2
– релятивистский импульс частицы,
где m – масса частицы (масса покоя).
– релятивистская масса частицы.
– полная энергия релятивистской частицы, где E 0  m c2 – энергия покоя.
 mc2   mr  m c2
– кинетическая энергия
релятивистской частицы.
E 2  m02 c4  p2 c2
– связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы.
2. Основы молекулярной физики
и термодинамики
Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
– релятивист-
ский закон сложения скоростей, где
предполагается, что система отсчета
K  движется со скоростью v в положительном направлении оси x системы
отсчета K, причем оси x  и x совпадают, а оси y  и y, z  и z параллельны.
2
2
2
s12
 c2t12
 l12
 inv
1  v2 c2
m c2
T  E  E0 
– релятивистское замедление хода часов, где  0 – промежуток времени
между двумя событиями, отсчитанный
движущимися вместе с телом часами,
 – промежуток времени между теми
же событиями, отсчитанный покоящимися часами.
1  v2 c2
ux  v
1  ux v c
2
mr 

mv
( при T  const, m  const ) – закон Бойля-Мариотта, где p – давление, V –
объем, T – термодинамическая температура, m – масса газа.
pV  const
V1 T1
(при p  const, m  const ),

V 2 T2
p T
p  p0 1   t , или 1  1 (при V  const, m  const
p2 T2
V  V 0 1   t ,
– интервал s12 между событиями (инвариантная величина), где t12 – промежуток времени между событиями 1 и
2, l12 – расстояние между точками, где
произошли события.
или
) – законы
Гей-Люссака и Шарля, где t – температура по шкале Цельсия, V 0 и p0
– соответственно объем и давление
9
при
0  С,  
1
273
K-1, индексы 1 и 2
vкв 
3R T


3kT
m
v 
8RT


8kT
m
относятся к произвольным состояниям.
n
p   pi
i 1
pV 
M
RT

p  nk T
p
– закон Дальтона для давления смеси n
идеальных газов, где pi – парциальное
давление i-го компонента смеси.
 
– уравнение состояния идеального газа
(уравнение Клапейрона-Менделеева),
где V – объем газа, R – молярная газовая постоянная,  – молярная масса
газа, M – масса газа, M    – количество вещества.
2
  2 E , pV  1 N m v
кв
 3
3

2
1
 M vкв
3
2
2kT
m
– средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа.
3
– закон Максвелла для
распределения молекул идеального газа по скоростям, где f  v – функция
распределения молекул по скоростям
определяет относительное число молекул d N  v N из общего числа N, скорости которых лежат в интервале от v до
v dv.
–
f   
основное уравнение молекулярнокинетической теории идеальных газов,
где vкв – средняя квадратичная скорость молекул, E – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа, n – концентрация молекул, m – масса одной молекулы, M  N m – масса газа, N – число молекул в объеме газа V.
2RT


– средняя арифметическая скорость
молекул, где m – масса молекулы.
  mv2 
d N  v
 m 2 2
f  v 
 4 
 v exp 

N dv
 2 kT 
 2kT 
– зависимость давления газа от концентрации n молекул и температуры T,
где k – постоянная Больцмана
( k  R N A , N A – постоянная Авогадро).
m v
2
1
2
кв
n m vкв , pV  N 
3 
2
3
vв 
3
kT
2
– средняя квадратичная скорость молекул.
d N  

N d
2

3
1
 

 kT 
 kT   2  2 exp 
– закон Максвелла для
распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения,
где f   – функция распределения молекул по энергиям теплового движения определяет относительное число
молекул d N   N из общего числа N,
которые имеют кинетические энергии
  m v2 2, заключенные в интервале от
 до   d  .
  g h  h0  
ph  p0 exp 

RT


– наиболее вероятная скорость молекул.
10
– барометрическая формула, где ph и
p0 – давление газа на высоте h и h0 .
  g h
 m g h
 U 
n  n0 exp 
  n0 exp  kT , n  n0 exp  kT 
 RT 




– коэффициент диффузии.
– распреде-
ление Больцмана во внешнем потенциальном поле, где n и n0 – концентрация молекул на высоте h и h  0 ,
U  m g h – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.
z  2 d 2 n v
l 
v
z

Q  

1
2d 2 n
dT
St
dx
1
c  v l
3 V
M  D
d
St
dx
F  
– среднее число соударений, испытываемых молекулой газа в единицу времени, где d – эффективный диаметр
молекулы, n – концентрация молекул,
v – средняя арифметическая скорость
молекул.
– закон теплопроводности Фурье, где Q
– теплота, переданная посредством теплопроводности через площадь S за время
t, dT d x – градиент температуры,  –
теплопроводность (см. следующую
формулу).
1 
1
kT
2
 
i
kT
2
i
M i
U   RT 
RT
2
 2
– теплопроводность, где cV – удельная
теплоемкость газа при постоянном
объеме,  – плотность газа, v – средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул, l – средняя
длина свободного пробега молекул.
– закон диффузии Фика, где M – масса
вещества, переносимая посредством
диффузии через площадь S за время t,
– градиент плотности, D 
– закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости), где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S, d v d x – градиент
скорости,   1 3  v l – динамическая
вязкость.
Основы термодинамики
– средняя длина свободного пробега
молекул газа.
d d x
dv
S
dx
1
v l
3
11
– средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся
на одну степень свободы молекулы.
– средняя энергия молекулы, где i –
сумма поступательных, вращательных
и удвоенного числа колебательных
степеней
свободы
i  nпост  nвращ  2nколеб  .
– внутренняя энергия идеального газа,
где  – количество вещества, M – масса газа,  – молярная масса газа, R –
молярная газовая постоянная.
Q  U  A
– первый закон термодинамики, где Q
– количество теплоты, сообщенное
системе или отданное ею, U – изменение ее внутренней энергии, A – работа системы против внешних сил.
 Q  dU   A
– первый закон термодинамики для элементарного изменения состояния системы.
C m  c
i
i2
C v  R, C p 
R
2
2
C p  Cv  R
dU 
m
C dT
M v
 A  pdV
температура и объем газа соответственно.
– связь между молярной Cm и удельной
c теплоемкостями газа, где  – молярная масса газа.

– молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении.
Q
A Q1  Q2

1 2
Q1
Q1
Q1
– уравнение Майера.

– изменение внутренней энергии идеального газа.
T1  T2
T1
– работа, совершаемая газом при элементарном изменении его объема.
2
A
V2

pdV
V1
– работа газа при изобарном
V
p
m
m
R T ln 2 , A 
R T ln 1
M
V1
M
p2
– работа газа при изотермиче-
A
A

 const, TV
 1

2 a 
 p  2  V   b   RT
V 

 const, T  p1   const
– уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона), где   C p C v  i  2 i – показатель адиабаты.
RT m
m
C v T1  T 2 , A  1
 1 M
M
 V 
1   1 
  V2 

1
dU  d A
T
– изменение энтропии S при
Реальные газы и жидкости
ском процессе.
pV
2

равновесном переходе из состояния 1 в
состояние 2.
процессе.
A
– термический коэффициент полезного
действия цикла Карно, где T1 – температура нагревателя, T 2 – температура
холодильника.
dQ

1 T
 S1 2  S 2  S1  
– полная работа при изменении объема
газа, где V 1 и V 2 – начальный и конечный объемы газа соответственно.
m
R T2  T1 
M
A  pV 2  V1 ,
– термический коэффициент полезного
действия для кругового процесса (цикла), где Q1 – количество теплоты, полученное системой, Q2 – количество теплоты, отданное системой, A – работы,
совершаемая за цикл.
 1 
pV   V 
  1 1 1   1 
   1   V2 


 1 



p 
a
V 2
– работа
газа при адиабатическом процессе, где
T1, T 2 и V1, V 2 – начальные и конечные
V ê  3 b, pê 
12
a
– уравнение Ван-дер-Ваальса (уравнение состояния реальных газов), где
  M  – количество вещества, p и V –
давление и объем газа, a и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для
разных газов.
– внутренне давление, обусловленное
силами взаимодействия молекул, где
V  – молярный объем газа.
8a
, Tê 
27R b
27 b
2
– связь критических пара-
метров – объема, давления и температуры с постоянными a и b Ван-дерВаальса.

a

U   CV T 
V  


F
E
, 
l
S
 1
1 
 p  


R
R
 1
2
 p
2
R
h
2 cos 
gr
– внутренняя энергия произвольной
массы реального газа, где CV – молярная теплоемкость газа при постоянном
объеме,   M  – количество вещества.
– высота подъема жидкости в капиллярной трубке, где  – краевой угол, r
– радиус капилляра,  – плотность
жидкости, g – ускорение свободного
падения.
3. Основы электродинамики
Электрическое поле
– поверхностное натяжение, где F –
сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости,  E – поверхностная энергия, связанная с площадью  S поверхности пленки жидкости.
F
1 Q1 Q2
4  0 r 2

 F
A
W
E
, 
 
Q0
Q0 Q0
– формула Лапласа, позволяющая
определить избыточное давление для
произвольной поверхности жидкости
двоякой кривизны, где R1 и R 2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости, радиус кривизны
положителен, если центр кривизны
находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если
центр кривизны вне жидкости (вогнутый мениск).
E
– закон Кулона, где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и
Q2 в вакууме, r – расстояние между
зарядами,  0 – электрическая постоянная, равная 8,85 1012 Ф/м, 1 4   0  9 109
м/Ф.

– напряженность E и потенциал 

электростатического поля, где F – сила, действующая на точечный положительный заряд Q0 , помещенный в данную точку поля, W – потенциальная
энергия заряда Q0 , A – работа перемещения заряда Q0 из данной точки
поля за его пределы (в бесконечность).
1 Q
1 Q
, 
4  0 r
4  0 r 2
– напряженность E и потенциал 
электростатического поля точечного
заряда Q на расстоянии r от заряда.
– избыточное давление для сферической поверхности.
 
d  E  E  d S  E nd S
13

E
– поток вектора напряженности


через площадку d S , где d S  d S n –
вектор площадки, модуль которого
равен d S , а направление совпадает с

нормалью n к площадке, E n – проек-
ция вектора
щадке d S .
 
 E   E  d S   E nd S
S
S
n
 n 
E   Ei,    i
i1

E  grad ,
i1

E

объемная плотность зарядов.
на нормаль n к пло
– поток вектора напряженности E через произвольную поверхность S.
E
– принцип суперпозиции
электроста
тических полей, где E i ,  i – напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом Qi, соответственно.

      
E  
i
j
k
y
z 
 x

женностью E
E
d
dr


p Q I

dQ
dQ
dQ
, 
, 
dl
dS
dV

0
– связь между напря-
и потенциалом  элек  
тростатического поля, где i , j , k – единичные векторы координатных осей.
E

2 0
E
– связь между напряженностью и потенциалом в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией.
E
1 Q
4 0 r 2
 
1
 E   E  d S   E nd S 

0
S
S
n
1
 Qi     dV
i 1
0V
– напряженность поля, создаваемого
двумя бесконечными параллельными
разноименно заряженными плоскостями.
при r  R (вне сферы) – напряженность поля,
создаваемого равномерно заряженной
сферической поверхностью радиусом
R с общим зарядом Q на расстоянии r
от центра сферы, при r  R (внутри
сферы) E  0.
1 Q
r
4  0 R 3
при r  R (внутри шара), E 
1 Q
4  0 r 2
при r  R
(вне шара) – напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом Q на
расстоянии r от центра шара.
– электрический момент
 диполя (дипольный момент), где I – плечо диполя.
– линейная, поверхностная и объемная
плотности зарядов.
– напряженность поля, создаваемого
равномерно заряженной бесконечной
плоскостью с поверхностной плотностью заряда  .
E  0 при r  R (внутри цилиндра), E 
1 
2 0 r
при r  R
(вне цилиндра) – напряженность поля
создаваемого равномерно заряженным
бесконечным цилиндром радиусом R
на расстоянии r от оси цилиндра.
– теорема Гауса для
электростатического поля в вакууме,
где  0 – электрическая постоянная,


 E dl   E dl  0
n
 Q i – алгебраическая сумма зарядов,
l
L
i 1
заключенных внутри замкнутой поверхности S, n – число зарядов,  –
14
L
– циркуляция вектора напряженности
электростатического поля, где El –
проекция вектора E на направление

элементарного перемещения d l . Интегрирование производится по любому
замкнутому контуру L.
2 
2

A12  Q0 1   2 , A12  Q0  E  d l  Q0  E l d l
1


p
P i
i V


P    0E
  1 
ченных внутри произвольной замкнутой поверхности S свободных электрических
зарядов, Dn – проекция вектора



D на нормаль n к площадке d S ,


d S  d S n – вектор, модуль которого
равен d S , а направление совпадает с

нормалью n к площадке.
– работа, совершае-
1
мая силами электростатического поля
при перемещении заряда Q0 из точки 1

в точку 2, где El – проекция вектора E
на направление
элементарного пере
мещения d l .
E
– поляризованность, где V – объем ди
электрика, pi – дипольный момент i-й
молекулы.
C
– связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля, где  – диэлектрическая восприимчивость вещества.
C
– связь диэлектрической проницаемости  с диэлектрической восприимчивостью  .
E
P
E  E0 
, E  0–
0

в
C
связь между напряженностью E поля
диэлектрике и напряженностью E 0
внешнего поля.
D   0 E

 
D   0E  P
D
– связь между векторами электрического смещения и напряженностью
электростатического поля.
 
– связь между D, E и
n


  D  d S   D n d S  Qi
S
S

 0
i 1
Q

 0 S
d
2  0  l
ln  r2 r1 
C  4  0 
r1 r2
r2  r1

P.
n
n
1
1
  , C  C i
C i1 C i
i1
– теорема Гауса для электроста-
тического поля в диэлектрике, где
n
 Q i – алгебраическая сумма заклюi 1
15
– напряженность электростатического
поля у поверхности проводника, где
 – поверхностная плотность зарядов.
– электроемкость уединенного проводника, где Q – заряд, сообщенный
проводнику,  – потенциал проводника.
– емкость плоского конденсатора, где
S – площадь каждой пластины конденсатора, d – расстояние между пластинами.
– емкость цилиндрического конденсатора, где l – длина обкладок конденсатора, r1 и r2 – радиусы полых коаксиальных цилиндров.
– емкость сферического конденсатора,
где r1 и r2 – радиусы концентрических
сфер.
– емкость системы конденсаторов при
последовательном и параллельном соединениях соответственно, где Ci –
емкость i-го конденсатора, n – число
конденсаторов.
W 
C 2 Q  Q 2


2
2
2C
W 
W 
F
C   
2
1 n
Q 
2 i1 i i
2

Постоянный электрический ток
I
– энергия уединенного заряженного
проводника.
– энергия взаимодействия системы точечных зарядов, где  i – потенциал,
создаваемый в той точке, где находится заряд Qi, всеми зарядами кроме i-го.
Q  Q 2

2
2C


j  ne v
ра, где Q – заряд конденсатора, C – его
емкость,   – разность потенциалов
между обкладками.
  E 2S
Q2
 2S

 0
2 0  S 2 0 
2

A
,
Q
– сила притяжения между двумя
 0 E 2
  SU 2  0  E 2
Sd  0

V
2
2d
2
R


   E ст  d l – электродвижущая сила, действующая в цепи, где Q – положительный
заряд, переносимый по замкнутой

цепи, A – работа сторонних сил, E ст –
напряженность поля сторонних сил.
l
1
1
, G , 
S
R

– энергия электростатиче-
ского поля плоского конденсатора, где
S – площадь одной пластины, U – разность потенциалов между пластинами,
V  Sd – объем конденсатора.
w
 0  E 2 ED

2
2
– объемная плотность энергии, где D
– электрическое смещение.
n
R   Ri,
i 1
n
1
1

R i1 R i
   0 1   t 
16
– сила I и плотность j электрического
тока, где S – площадь поперечного
сечения проводника, dQ – заряд, протекающий через поперечное сечение
проводника за время d t .
– плотность тока в проводнике, где

v – средняя скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике,
n – концентрация зарядов.
– энергия заряженного конденсато-
разноименно заряженными обкладками конденсатора.
W 
dQ
I
, j
dt
S
– сопротивление R однородного линейного проводника, проводимость G
проводника и удельная электрическая проводимость  вещества проводника, где  – удельное электрическое сопротивление, S – площадь
поперечного сечения проводника, l –
его длина.
– сопротивление проводников при
последовательном и параллельном
соединении соответственно, где Ri –
сопротивление i-го проводника, n –
число проводников.
– зависимость удельного сопротивления  от температуры, где  –
температурный коэффициент сопро-
тивления.
I 
U
R
I  (1   2  12 ) R
в вакууме и газах
1   2  
– закон Ома для однородного участка
цепи,
A1  A2 kT
n

ln 1
e
e
n2
лов на границе двух металлов 1 и 2,
где A1 и A2 – работы выхода свободных электронов из металлов, k – постоянная Больцмана, n1, n2 – концентрация свободных электронов в металлах.
– закон Ома для неоднородного
участка цепи,
I   /R – закон Ома для замкнутой цепи, где
U – напряжение на участке цепи, R –
сопротивление цепи (участка цепи),
 1  2  – разность потенциалов на
концах участка цепи, 12 – э.д.с. источников тока, входящих в участок, 
– э.д.с. всех источников тока цепи.


j   E – закона Ома в дифференциальной

форме, где E – напряженность
элек
тростатического поля, j – плотность
тока,  – удельная проводимость.
A  IUt  I 2 Rt 
U2
t
R
P  UI  I 2 R 
U2
R
2
Q  I Rt  IUt
w  jE   E
I k
k
 0,
2

n
k
T  T2  ln n1
e 1
2
 A 
jнас  CT 2 exp 

 kT 
– работа электрического тока за время t.
– термоэлектродвижущая сила, где
T1  T2  – разность температур спаев.
– формула Ричардсона-Дешмана, где
jнас – плотность тока насыщения термоэлектронной эмиссии, C – постоянная, теоретически одинаковая для всех
металлов, A – работа выхода электрона
из металла.
Магнитное поле
– мощность электрического тока.


pm  IS n
– закон Джоуля-Ленца, где Q – количество теплоты, выделяющееся в
участке цепи за время t.
 

M  pm  B
– закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, где w – удельная
тепловая мощность тока.
 I i R i   k – правила Кирхгофа.
i
– контактная разность потенциа-
k


B   0 H
Электрические токи в металлах,
17
– магнитный момент контура с током,

где S – площадь контура с током, n –
единичный вектор нормали к поверхности контура.
– механический момент (момент силы), действующий на контур с током,
помещенный в однородное магнитное
поле, где B – магнитная индукция,

pm – магнитный момент контура с током.

– связь магнитной
индукции B и

напряженности H магнитного поля,
где  0 – магнитная постоянная,  –
магнитная проницаемость среды.

 
  0 I d l  r
dB 
4
r3

  I dl sin 
dB  0
4
r2


B   Bi
i
  2I
B 0
4 R
B   0

I
2R
 

dF  I dl  B

d F  IB dl sin 
dF 

– модуль вектора
где


между векторами d l и r .

– магнитное поле точечного заряда Q,
свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v, где r – радиусвектор, проведенный от заряда к точке
наблюдения,  – угол между векторами v и r.


– сила Лоренца, действующая на заряд
Q, движущийся в магнитном поле со

скоростью v.
 


F  QE  Q (   Â )
– формула Лоренца, где F – результирующая сила, действующая на движущийся заряд Q, если на него действуют
электрическое
поле напряженностью


E и магнитное поле индукцией B .
B
 

  Q v  r 
B 0
4
r3

 
F Q v B
– угол
– принцип суперпозиции
 (наложения)
магнитных полей, где B – магнитная

индукция результирующего поля, B i –
магнитные индукции складываемых
полей.


n
L
k 1
L
– магнитная индукция в центре кругового проводника (витка) с током, где R
– радиус витка.

– закон Ампера, где d F – сила, дей
ствующая на элемент длины d l проводника с током I, помещенный
в маг
B.
нитное поле с индукцией


 B  dl   B l dl   0  I k – закон полного тока для магнитного
– магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым
проводником с током, где R – расстояние от оси проводника.
– модуль силы Ампера,
где


между векторами d l и B.
– где d – расстояние между проводниками, dl – отрезок проводника.
0 Q v
sin  ,
4 r 2
– закон Био-Савара-Лапласа, где d B –
магнитная индукция поля,
создаваемая

элементом длины d l проводника с

током I, r – радиус-вектор,
проведен
ный от элемента d l к точке, в которой
определяется магнитная индукция.

d B,
 0  2I 1I 2
dl
4 d
поля в вакууме
(теорема о циркуляции

вектора B ), где  0 – магнитная посто
янная, dl – вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура, Bl  B cos – составляю
щая вектора B в направлении касательной контура L произвольной формы (с учетом выбранного направления

обхода),  – угол между векторами B

n
и dl ,  I k – алгебраическая сумма тоk 1
ков, охватываемых контуром.
– угол
B
18
 0N I
l
– магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N вит-
ков, l – длина соленоида.
B
 0 NI
2 r
 
d  B  B  d S  B nD S
 
 B   B  d S   Bnd S
S
S
  N 2 IS
 0
l
B
 0 NI
2 r
 
d  B  B  d S  B nD S
 
 B   B  d S   Bnd S
S
S

– магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме), r – радиус средней
линии тороида.
 0 N 2 IS
l
A  I d
– поток вектора магнитной индукции
(магнитный
поток) через площадку


d S , где d S  d S n – вектор, модуль которого равен d S , а направление совпадает с нормалью n к площадке, Bn –
проекция вектора B на направление
нормали к площадке.
 A  I d 
– поток вектора магнитной индукции
сквозь произвольную поверхность S.
– потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида),  – магнитная проницаемость среды.
– работа по перемещению проводника
с током в магнитном поле, где d  –
магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.
– работа по перемещению замкнутого
контура с током в магнитном поле, где
d   – изменение магнитного потока,
сцепленного с контуром.
Электромагнитная индукция
i  
– потокосцепление (полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида),  – магнитная проницаемость среды.
i
d
dt
 BS  sin t
– э.д.с. индукции, возникающая в рамке площадью S при вращении рамки с
угловой скоростью  в однородном
магнитном поле с индукцией B, где
t – мгновенное значение угла между


вектором B и вектором нормали n к
плоскости рамки.
 LI
– магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L.
– магнитная индукция поля внутри
тороида (в вакууме), r – радиус средней линии тороида.
– поток вектора магнитной индукции
(магнитный
через площадку
 поток)

d S , где d S  d S n – вектор, модуль которого равен d S , а направление совпадает с нормалью n к площадке, Bn –
проекция вектора B на направление
нормали к площадке.
s  L
– поток вектора магнитной индукции
сквозь произвольную поверхность S.
L   0
19
– закон Фарадея, где i – э.д.с. индукции.
dI
dt
N 2S
l
– э.д.с. самоиндукции, где L – индуктивность контура.
– индуктивность соленоида (тороида),
где N – число витков соленоида, l –

 
B  0 H  J

его длина.

I  I 0 exp 


t

, I  I 0 1  exp 
 


t 

 
– токи при размыкании и
  1 
замыкании цепи соответственно, где
  L R – время релаксации, L – индуктивность, R – омическое сопротивление.

w
поля в веществе
(теорема
о циркуля

ции вектора B ), где d l – вектор элемента длины контура, направленный
вдоль обхода контура,
Bl – составляю
щая вектора B в направлении касательной контура L произвольной формы, I и I  – соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых заданным
контуром.
L
– объемная плотность энергии
однородного магнитного поля, где В и Н 
индукция и напряженность магнитного поля.

Магнитные свойства вещества


e 
pm   g L  
L
2m


 P
 pa
J  m 
V
V


J  H

H dl
I
L

– связь орбитального магнитного pm и

орбитального механического L моментов электрона, где g  e  2m – гиромагнитное отношение орбитальных
моментов.

Pm 
– связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества.

– энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, по которому течет
ток I.
 Í 2
B2
BÍ
 0

2 0
2
2
  
– связь между векторами B, H , J , где
 0 – магнитная постоянная.
 B  d l   Bl d l   0  I  I  – закон полного тока для магнитного
L
LI2
W 
2

– теорема о циркуляции вектора
напряженности магнитного поля, где I
– алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром L.
Уравнения Максвелла




D
E P
jсм 
 0

t
t
t

pa
– намагниченность, где
 –
магнитный момент магнетика, равный
векторной сумме магнитных моментов
отдельных мо-лекул (атомов).
– связь между намагниченностью и
напряженностью магнитного поля, где
 – магнитная восприимчивость вещества.


 
B 
E d l  
d S,
t


L
S
S

– плотность тока смещения, где D –

электрическое смещение,  0  E  t  –
плотность
тока смещения в вакууме,

 P  t – плотность тока поляризации.
 
D  d S   dV ,

V


 
  D    
H d l   j 
 d S, B d S  0
t 


L
S
S



– система уравнении Максвелла в ин20
тегральной форме.




  D

B
rot E  
, div D  , rot H  j 
, div B  0
t
t
E
1
m A 2 20
2
– система уравm x   k x ,
нений Максвелла
в дифференциальной

 
 

форме, где D   0  E , B   0 H , j   E ,
 0 и  0 – электрическая и магнитная
постоянные соответственно,  и  –
диэлектрическая и магнитная проницаемости,  – удельная проводимость
вещества.
или
x   20 x  0, x  A cos   0t  
– дифференциальное уравнение гармонических колебаний частицы массой m, где k – коэффициент упругости ( k   20 m ), A –
амплитуда колебаний  0 – круговая
частота,  0 – начальная фаза.
T  2
m
k
T  2
l
g
4. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Механические и электромагнитные колебания
x  A cos   0t  
– уравнение гармонических колебаний,
где x – смещение колеблющейся величины от положения равновесия, A –
амплитуда колебаний,  0  2 T  2 f –
круговая
(циклическая)
частота,
f  1 T – частота, T – период колебаний,  0 – начальная фаза.
T  2
Eк 
1
1
m v2  m A 2 20 sin 2   0t   
2
2
– кинетическая энергия ко-
леблющейся частицы массой m.
U
1
m A 2 20 cos2   0t   
2
– потенциальная энергия колеблю-
щейся частицы массой m.
21
– период колебаний пружинного маятника, где m – масса пружинного маятника,
k – жесткость пружины.
– период колебаний математического
маятника, где l – длина маятника.
J
l
 2
mgl
g
– период колебаний физического маятника, где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний, l –
расстояние между точкой подвеса и
центром масс маятника, L  J  m l –
приведенная длина физического маятника, g – ускорение свободного падения.
T  2 L C
– формула Томсона, устанавливающая
связь между периодом T собственных
колебаний в контуре без активного сопротивления c индуктивностью L и
емкостью контура С.
dx
  d2x

  A  0 sin   0t    A  0 cos   0t     ,
  A  0 cos   0t   

dt
2  dt 2
  20 x – скорость и ускорение части-
цы, совершающей гармонические колебания.
– полная энергия колеблющейся частицы.
1
Q 
Q  0, Q  Q m cos   0t   
LC
туда затухающих колебаний.
– дифференциальное уравнеA t 
ние свободных гармонических колебаний заряда в контуре и его решение,
где Qm – амплитуда колебаний заряда,
 0  1 LC – собственная частота контура.
A t  T 
A 2  A12  A12  2A1A2 cos   2  1 
– амплитуда A результирующего колебания, получающегося при
сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, где A1 и A2 – амплитуды складываемых колебаний, 1 и
 2 – их начальные фазы.
A sin 1  A2 sin  2
tg   1
A1 cos 1  A2 cos  2
2
T 

d2s
dt 2
 2
  ln
Q
d2s
dt
– период биений,     2  1 – разность циклических частот двух колебаний.
–
 T 
– декремент затухания, где A  t  и
A  t  T  – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих
моментам времени, отличающимся на
период.
T
1

 N
– логарифмический декремент
затухания, где   1  – время релаксации, N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды
в e раз.
– начальная фаза результирующего
колебания.
ds
  20 s  0, s  A0 e t cos  t  
dt
A t 
A t  T 
 e T
2
 2
 0

 2
– добротность колебательной системы.
ds
  20 s  x 0 cos  t, s  A cos  t  
dt
– дифференциаль-
ное уравнение вынужденных колебаний и его решение для установившихся колебаний, где s – колеблющаяся
величина, описывающая физический
процесс
( x 0  F0 m в случае механических колебаний, x 0  U m L в случае электромагнитных колебаний),
дифференциальное
уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы и его решение, где s – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс,
 – коэффициент затухания (   r  2m
в случае механических колебаний и
  R  2L  в случае электромагнитных
колебаний),  0 – циклическая частота
свободных незатухающих колебаний
той же колебательной системы,
   20   2 – циклическая частота затухающих колебаний, A0 e  t – ампли-
A
2
 ðåç   2
0  2 , Àðåç 
x0

 20

2

2
õ0
2
2  2
0 
,   arctg
2
 4 
2
.
 резонансная частота
и резонансная амплитуда.
22
2 
 20   2
смещение точек среды с координатой x
в момент времени t, A – амплитуда
волны,  – циклическая (круговая) частота, k  2   2  vT    v – волновое
число,  – длина волны, v – фазовая
скорость, T – период колебаний,  0 –
начальная фаза колебаний.
2

1 
2
2
Z  R 2  L 
  R   R L  RC 
C 

– полное сопротивле-
ние Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные
резистор сопротивлением R, катушку
индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается
переменное напряжение U  U m cos t ,
где R L   L – реактивное индуктивное
сопротивление, RC  1  C  – реактивное емкостное сопротивление.
tg  
I
 L  1  C 
R
Im
2
,U

 max  2m


,  min   2m  1
2
2
v

d
dv
, u
, u  v 
k
dk
d
R


R   L  1  C 
2
2
– фазовая v и групповая u скорости
и связь между ними.
  x , t   2A cos
2
x cos  t  2A cos kx cos  t

– уравнение стоячей
волны.
– средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока, где
cos  
– условия максимума и мини-
мума амплитуды при интерференции
волн, где m  0, 1, 2, 
– действующие (эффективные) значе2
ния тока и напряжения, где Im и Um –
амплитудные значения силы тока и
напряжения.
xп   m
.

1 

, xy  m  

2
2 2
где
v
Упругие волны
  vT , v   f
– связь между разностью фаз  и разностью хода  .
– сдвиг фаз между напряжением и силой тока.
Um
1
P  I mU m cos
2
2


 RT
M
– связь длины волны  , периода T колебаний и частоты f , где v – скорость
распространения колебаний в среде
(фазовая скорость).
 x, t   A cos   t  kx   0 
– уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, где   x , t  –
f 
23
v  v  f
пр
v  vист
0
– координаты пучностей и узлов,
m  0, 1, 2, 
– скорость распространения звуковых волн в газах, где R – молярная
газовая постоянная, M – молярная
масса,   C p CV – отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, T – термодинамическая температура.
– эффект Доплера в акустике, где f
– частота звука, воспринимаемая
движущимся приемником, f 0 – частота звука, посылаемая источником,
vпр – скорость движения приемника,
vист – скорость движения источника, v
– скорость распространения звука.
Верхний знак берется, если при движении источника или приемника
происходит их сближение, нижний
знак – в случае их взаимного удаления.
w

 
S  E H

1
1
 0 0


c

 0  E   0 H

– объемная плотность энергии электромагнитного поля.
– плотность потока электромагнитной
энергии (вектор Умова-Пойнтинга).
5. ОПТИКА
Элементы геометрической оптики
i1  i1,
Электромагнитные волны
v
 0  E 2  0 H 2

2
2
– фазовая скорость распространения
электромагнитных волн в среде, где
c  1  0 0 – скорость распространения света в вакууме,  0 и  0 – электрическая и магнитная постоянные

соответственно,
и
–

электрическая и магнитная проницаемости среды соответственно.
sin i1
 n21
sin i2
sin iпр 
– связь между мгновенными значениями напряженностей электрического E и магнитного H полей электромагнитной волны.
n2
 n21
n1
n2 n1 n2  n1


b
a
R
 


E  E 0 cos  t  k x  , H  H 0 cos  t  k x  
– уравнения плос
кой электромагнитной волны, где E 0 и

H0
– соответственно амплитуды
напряженностей электрического и
магнитного полей волны,  – круговая
частота, k   v – волновое число,  –
начальные фазы колебаний в точках с
координатой x  0 .
24
– законы отражения и преломления
света, где i1 – угол падения, i1 – угол
отражения, i2 – угол преломления,
n21  n 2 n1 – относительный показатель
преломления второй среды относительно первой, n 1 и n 2 – абсолютные
показатели преломления первой и второй среды.
– предельный угол полного отражения
при распространении света из среды
оптически более плотной в среду оптически менее плотную.
– преломление на сферической поверхности (для параксиальных лучей),
где R – радиус сферической поверхности, n1 и n2 – показатели преломления
сред по разные стороны сферической
поверхности, a – расстояние от точки,
лежащей на оптической оси сферической поверхности, до преломляющей
поверхности, b – расстояние от поверхности до изображения, R  0 для
выпуклой поверхности, R  0 для во-
гнутой.
0  4 I
1
2 1 1
  
f
R a b

– формула сферического зеркала, где a
и b – соответственно расстояния от
полюса зеркала до предмета и изображения, f – фокусное расстояние зеркала, R – радиус кривизны зеркала.
 1
1
1  1 1
  n  1 

  
f
 R1 R2  a b
R
– оптическая сила тонкой
B 
линзы, где f – фокусное расстояние
линзы, n  nл nс – относительный показатель преломления ( nл и nc – абсолютные показатели
1
2 1 1
  
f
R a b
– формула сферического зеркала, где
a и b – соответственно расстояния от
полюса зеркала до предмета и изображения, f – фокусное расстояние
зеркала, R – радиус кривизны зеркала.

S
I
S cos 
E

S
R  B
 1
1
1 
1 1

  n  1 


 
f
R2 
a b
 R1
–оптическая
сила
тонкой
линзы, где f  фокусное расстояние
линзы, n=nл/nс  относительный
показатель преломления (nл и nс 
абсолютные показатели преломления
линзы и окружающей среды соответственно), R1 и R 2 – радиусы кривизны
поверхностей ( R  0 для выпуклой поверхности, R  0 для вогнутой), a и b –
расстояния от оптического центра линзы до предмета и изображения соответственно.
Ie 
e

– полный световой поток, испускаемый изотропным точечным источником, где I – сила света источника.
– светимость поверхности, где  – световой поток, испускаемый поверхностью, S – площадь этой поверхности.
– яркость светящейся поверхности в
некотором направлении  , где I – сила
света, S – площадь поверхности,  –
угол между нормалью к элементу поверхности и направлением наблюдения.
– освещенность поверхности, где  –
световой поток, падающих на поверхность, S – площадь этой поверхности.
– связь светимости R и яркости B при
условии, что яркость не зависит от
направления.
Интерференция света
v

– сила излучения, где  e – поток излучения источника  – телесный угол, в
пределах которого это излучение распространяется.
25
c
n
2
 L  L1   2 
0 2
0
– фазовая скорость света в среде, где c
– скорость распространения света в
вакууме, n – абсолютный показатель
преломления среды.
– разность фаз двух когерентных волн,
где L  sn – оптическая длина пути (s –
геометрическая длина пути световой
волны в среде, n – показатель прелом-
m  1, 2, 3, 
ления этой среды),   L2  L1 – оптическая разность хода двух световых
волн,  0 – длина волны в вакууме.
   m 0
    2m  1
0
2
l
 x  0
d
2d n cos r 
rm  m  0 R
– условие интерференционных максимумов, где m  0, 1, 2, 
Дифракция света
– условие интерференционных минимумов, где m  0, 1, 2, 
rm 
a sin     2m  1
– радиус внешней границы m-й зоны
Френеля для сферической волны, где
m – номер зоны Френеля,  – длина
волны, a и b – соответственно расстояния диафрагмы с круглым отверстием
от точечного источника и от экрана, на
котором наблюдается дифракционная
картина.


, a sin    2m
2
2
– условия дифракционных
максимумов и минимумов от одной
щели, на которую свет падает нормально, где a – ширина щели,  – угол
дифракции, m – порядок спектра,  –
длина волны, m  1, 2, 3, 
усло-
вия максимумов и минимумов при интерференции света, отраженного от
верхней и нижней поверхностей тонкой
плоскопараллельной
пленки,
находящейся в воздухе ( n0  1 ), где
m  0, 1, 2,  , d – толщина пленки, n –
ее показатель преломления, i – угол
падения, r – угол преломления. Слагаемое   0 2 обусловлено потерей полуволны при отражении света от границы раздела.
1

rm   m    0 R

2
ab
m
ab
– ширина интерференционный полосы,
где d – расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии l от экрана, параллельного обоим источникам, при условии l  d.
0


 2d n2  sin 2 i  0  m  0 , 2d n cos r  0 
2
2
2


 2d n2  sin 2 i  0   2m  1 0 –
2
2
– радиусы темных колец Ньютона в
отраженном свете (или светлых в проходящем свете), где m  0, 1, 2, 
d sin    m 
– условия главных максимумов дифракционной решетки, на которую
свет падает нормально, где d – период
дифракционной решетки,  – длина
волны, m  1, 2, 3,  – порядок спектра.
1
N0
– период дифракционной решетки, где
N 0 – число щелей, приходящихся на
единицу длины решетки.
2d sin   m 
– условие дифракционных максимумов
от пространственной решетки (формула Вульфа-Брэгга), где d – расстояние
d
– радиусы светлых колец Ньютона в
отраженном свете (или темных в проходящем свете), где m – номер кольца,
R – радиус кривизны линзы,
26
между атомными плоскостями кристалла,
угол
скольжения,
–
световой волны соответственно на
входе и выходе слоя поглощающего
вещества толщиной x,  – коэффициент поглощения.
m  1, 2, 3, 
D 

m

  d cos 
  1,22
R

D

 mN

– угловая дисперсия дифракционной
решетки, где  – угол дифракции, m –
порядок спектра, d – период решетки.
f  f0
1  v 2 c2
1  v c cos
– наименьшее угловое расстояние
между двумя светящимися точками,
при котором изображения этих точек
могут быть разрешены в фокальной
плоскости объектива, где D – диаметр
объектива,  – длина волны света.
– разрешающая способность дифракционной решетки, где ,      – длины волн двух соседних спектральных
линий, разрешаемых решеткой, m –
порядок спектра, N – общее число
штрихов решетки.
f  f0 1 
cos 
v2
c2
c
nv
Взаимодействие электромагнитных волн
с веществом
n2  1 
n0 i
0

e2 m
 20 i
 2
I  I 0e x
– зависимость показателя преломления
вещества n от частоты  внешнего
поля, согласно элементарной электронной теории дисперсии, где  0 –
электрическая постоянная, n0 i – концентрация электронов с собственной
частотой  0i , m – масса электрона, e –
заряд электрона.
– эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме, где f 0 и f – частоты электромагнитного излучения,
испускаемого источником и воспринимаемого приемником, v – скорость
источника электромагнитного излучения относительно приемника, c – скорость света в вакууме,  – угол между вектором скорости v и направлением наблюдения, измеряемый в системе
отсчета, связанной с наблюдателем.
– поперечный эффект Доплера для
электромагнитных волн в вакууме
(    2 ).
– эффект Вавилова-Черенкова, где  –
угол между направлением распространения излучения и вектором скорости
частицы, с – скорость света в вакууме,
n –показатель преломления среды.
Поляризация света
P
– закон ослабления света в веществе
(закон Бугера), где I 0 и I – интенсивности плоской монохроматической
27
I max  I min
I max  I min
– степень поляризации света, где I max
и I min – максимальная и минимальная
интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором.
I  I 0 cos 2 
tg iВ  n21
  l  no  ne   k lE 2
массовая концентрация активного вещества в растворе, d – длина пути.
– закон Малюса, где I – интенсивность
плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор, I 0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор,  – угол
между главными плоскостями поляризатора и анализатора.
Квантовая природа излучения
Re  T 4
– закон Брюстера, где iВ – угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является плоскополяризованным, n21 – относительный показатель преломления.
– оптическая разность хода между
обыкновенным и необыкновенным
лучами на пути l в ячейке Керра, где
no , ne – показатели преломления соответственно обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси, E –
напряженность электрического поля, k
– постоянная.


0
0
R e   r,T d    r,T d 
– связь энергетической светимости R e
и спектральной плотности энергетической светимости r,T ( r,T ) черного тела.
R Tc  AT T 4
– энергетическая светимость серого
тела, где AT – поглощательная способность серого тела.
b
T
– закон смещения Вина, где  max –
длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной
плотности энергетической светимости
черного тела, b – постоянная Вина.
– зависимость максимальной спектральной плотности энергетической
светимости черного тела от темпера, 105 Вт/(м3К5).
туры, C  130
 max 
   no  ne  d   m  1 4  0
– оптическая разность хода для
пластинки в четверть длины волны,
где знак плюс соответствует отрицательным кристаллам, минус – положительным,  0 – длина волны в вакууме,
r,T  max  CT 5
m  0, 1, 2, 
  d
   C d
– угол поворота плоскости поляризации для оптических активных кристаллов и чистых жидкостей, где d –
длина пути,  – удельное вращение.
r,T 
– угол поворота плоскости поляризации для оптически активных растворов, где   – удельное вращение, C –
28
– закон Стефана-Больцмана, где R e –
энергетическая
светимость
(излучательность) черного тела,  –
постоянная Стефана-Больцмана, T –
термодинамическая температура.
2  2
c2
kT
– формула Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергетической
светимости черного тела, где k – постоянная Больцмана.
0  h  
2 2
r,T 
2
c

hc

h
m 
p

c
2

h
c
2
, p 
2 c2 h
5

1

exp hc  kT   1
– фор-
6. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Атом водорода
– уравнение Эйнштейна для внешнего
фотоэффекта, где   h  – энергия фотона, падающего на поверхность металла, A – работа выхода электрона из
металла, E max – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
1
 1
 R 2  2
m
n 
– "красная" граница фотоэффекта для
данного металла, где  0 – максимальная длина волны излучения (  0 – соответственно минимальная частота), при
которой фотоэффект еще возможен.
h
c
Ee
1    w 1  
c
      
, r,T 
мула Планка.
A
hc
, 0 
h
A
0 

exp h   kT   1
  h   A  E max
ния при комптоновском рассеянии, где
 и   – длины волн падающего и
рассеянного излучений, m 0 – масса
электрона,  – угол рассеяния,
C  h  m0 c – комптоновская длина
волны.
– энергия кванта,  и  – частота и
длина волны электромагнитного излучения, h – постоянная Планка.
– релятивистская масса и импульс фотона, где h  – энергия фотона.
– давление, производимое светом при
нормальном падении на поверхность,
где Ee  N h  – облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени),  – коэффициент отражения, w – объемная плотность энергии излучения.
h
2h


sin 2  2 C sin 2
1  cos  
m0 c
m0 c
2
2
En  
– изменение
длины волны рентгеновского излуче29
– обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода,
где  – частота спектральных линий в
спектре атома водорода, R – постоянная Ридберга, m определяет серию
( m  1, 2, 3,  ), n определяет отдельные
линии
соответствующей
серии
( n  m  1, m  2,  ): m  1 (серия Лаймана), m  2 (серия Бальмера), m  3 (серия Пашена), m  4 (серия Брэкета),
m  5 (серия Пфунда), m  6 (серия
Хэмфри).
me vrn  n 
– правило квантования орбит, где m e –
масса электрона, v – скорость электрона по n-й орбите радиусом rn ,
  h 2, h – постоянная Планка.
h  En  Em
– постулат Бора (правило частот), где
En и Em – энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения) соответственно.
1 Z 2 m e e4
n2 8h2  20
– энергия электрона на n-й станционной орбите, где Z – порядковый номер
элемента в системе Менделеева,  0 –
электрическая постоянная, n  1, 2, 3, 
модуля волновой функции.
Основы квантовой механики

h
p
2
dW    *dV   dV
– связь дебройлевской длины волны
частицы с импульсом p.

vфаз
u
 E
 
k
p
d dE

dk
dp

– фазовая скорость свободно движущейся со скоростью v частицы массой
m, где E    – энергия частицы (  –
круговая частота), p   k – импульс,
k  2  – волновое число.
W 
2
x2
  x 
2
– групповая скорость свободно движущейся частицы.
L 

L 


2
– условие нормировки вероятностей,
где интегрирование производится по
всему бесконечному пространству, т.е.
по координатам, x, y, z от   до   .
dx
– вероятность обнаружения частицы в
интервале координат от x 1 до x 2 .
dV
– среднее значение физической величины L, характеризующей частицу,
находящуюся в состоянии, описываемом волновой функцией .
x1
– соотношения неопределенностей для координат и импульса
частицы, где  x ,  y,  z – неопределенности координат,  px ,  py ,  pz –
неопределенности соответствующих
проекции импульса частицы на оси
координат.
dW    *dV   dV
dV  1

 x  px  h,  y  py  h,  z  pz  h
E t  h
2
– вероятность нахождения частицы в
объеме dV в стационарном состоянии,
где     x , y, z  – координатная (амплитудная) часть волновой функции.
2

   U  x , y, z, t    i 
2m
t
– общее уравнение Шредин-
гера (уравнение Шредингера, зависящее от времени), где     x , y, z, t  –
волновая функция, описывающая состояние частицы,   h  2 , h – постоянная Планка, m – масса частицы,  –
оператор
Лапласа
(     2  x 2   2  y 2    2  z 2 ),
–
мнимая
единица,
i  1
U  U  x , y, z, t  – потенциальная энергия
частицы, движущейся в силовом поле.
– соотношение неопределенностей для
энергии и времени, где  E – неопределенность энергии данного квантового состояния,  t – время пребывания
системы в данном состоянии.
– вероятность нахождения частицы в
объеме dV , где     x , y, z, t  – волновая функция, описывающая состояние
частицы,  * – функция, комплексно
сопряженная с ,  2    * – квадрат
 
30
2m

2
– уравнение Шредингера для стацио    x , y, z  –
координатная часть волновой функ-
 E  U    0 нарных состояний, где
ции (   x , y , z, t     x, y, z  exp   i E h t );
E0 
U  U  x , y, z 
– потенциальная энергия
частицы, E – полная энергия частицы.
 i

  x , t   A exp   E t  px x 
 

 nx 
 22
2m l 2
2
n
sin
x
l
l
U  r  
– собственные значения энергии En
частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", где l –
ширина ямы, n  1, 2, 3, 
En  
Z e2
4  0 r
1 Z 2 m e4
n2 8h2  20
x
2

E i  E1 
– собственная волновая функция, соответствующая
вышеприведенному
собственному
значению
энергии,
m  20 x 2 
2m 
E 
 0
2 
2 
 
m e4
8h2  20
L l   l  l  1
– уравнение Шредингера для
линейного гармонического осциллятора в квантовой механике, где
m  20 x 2 2  U – потенциальная энергия
осциллятора,  0 – собственная частота
колебаний осциллятора, m – масса частицы.
1

En   n   0

2
– потенциальная энергия U  r взаимодействия электрона с ядром в водородоподобном атоме, где r – расстояние
между электроном и ядром, Z – порядковый номер элемента,  0 – электрическая постоянная.
– собственной значение энергии En
электрона в водородоподобном атоме,
n  1, 2, 3, 
n  1, 2, 3, 
2 
– энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора.
Элементы атомной физики
– волновая функция, описываю-
щая одномерное движение свободной
частицы, где A – амплитуда волн де
Бройля, px   k – импульс частицы,
E    – энергия частицы.
E n  n2
1
 0
2
– собственные значения энергии гармонического осциллятора, n  1, 2, 3, 
31
– энергия ионизации атома водорода.
– момент импульса (механический орбитальный момент) электрона, где l –
орбитальное квантовое число, принимающее при заданном n следующие
значения: l  0, 1, , n 1 (всего n значений).
L lz   m l
– проекция момента импульса на
направление z внешнего магнитного
поля, где ml – магнитное квантовое
число, принимающее при заданном l
следующие значения: ml  0, 1, ,  l
(всего ( 2l  1 ) значений).
 l  1,  ml  0, 1
– правила отбора для орбитального и
магнитного квантовых чисел.
 r
exp   
 a
a
1
 100  r  
2
приложенная к рентгеновской трубке.
– нормированная волновая функция,
отвечающая 1s-состоянию (основному
состоянию) электрона в атоме водорода, где a  4  0  2  m e2  – величина,
совпадающая с первым боровским радиусом.
3
2
1
2 1
  R  Z    2  2 
m
n 
– вероятность обнаружить
электрон в атоме водорода, находящемся в 1s-состоянии, в интервале от r
до r  d r .
dW  100 dV  100  4 r 2 d r
L s   s  s  1
L sz   m s
Z  n, l, ml , ms   0
Элементы квантовой статистики
и физики твердого тела
– спин (собственный механический
момент импульса) электрона, где s –
спиновое квантовое число ( s  1 2 ).
ni 
– проекция спина на направление z
внешнего магнитного поля, где ms –
магнитное спиновое квантовое число
( m s  1 2 ).
1


exp  E i    k T  1
n1
l0
ch
 min 
eU
, ni 
1


exp  E i    k T  1
– распреде-
ления Бозе-Эйнштейна и ФермиДирака, где ni – средняя концентрация бозонов и фермионов в квантовом
состоянии с энергией Ei, k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура,
 – химический
потенциал. При exp E i   k T   1 оба
распределения переходят в классическое
распределение
МаксвеллаБольцмана ni =  A exp   E i  k T  , где
или – принцип Паули, где Z  n, l, ml , m s  –
число
электронов, находящихся в
1
квантовом состоянии, описываемом
набором четырех квантовых чисел: n –
главного, l – орбитального, ml – магнитного, ms – магнитного спинового.
Z  n   2  2l  1  2n2
– закон Мозли, определяющий частоты
спектральных линий характеристического рентгеновского излучения, где R
– постоянная Ридберга, Z – порядковый номер элемента в периодической
системе,  – постоянная экранирования, m определяет рентгеновскую серию ( m  1, 2, 3,  ), n определяет отдельные линии соответствующей серии ( n  m  1, m  2,  ).

.
A  exp   k T 
–
максимальное число электронов
Z  n , находящихся в состояниях, определяемых заданным главным квантовым числом n.
n E  
– коротковолновая граница сплошного
рентгеновского спектра, где e – заряд
электрона, U – разность потенциалов,

1

exp  E  E F   k T   1
по энергиям для свободных электронов в металле, где EF – энергия Ферми.
При
32
– распределение Ферми-Дирака
T 0K
1 при E  E F ,
n E   
0 при E  E F .
TD 

D
k
ne2 lF
ника.
– характеристическая температура
Дебая, где  D – предельная частота
упругих колебаний кристаллической
решетки.
Физика атомного ядра
и элементарных частиц
– электрическая проводимость металла, согласно квантовой теории
электропроводности металлов, где n
– концентрация электронов проводимости в металле, lF – средняя длина
свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, uF – средняя скорость теплового движения
такого электрона.
m uF
 E  EF
ne  C1 exp  2
 kT
EF 

 E1  E F 
, np  C 2 exp 


 kT 
E
2
E 
   0 exp 

 kT 
1
R  R0A 3
, 10 15 м, A –
– радиус ядра, где R 0  14
массовое число (число нуклонов в ядре).


– энергия связи нуклонов в ядре, где
m p , m n , m я – массы протона, нейтрона и
ядра соответственно, Z – зарядовое
число ядра (число протонов в ядре), A
– массовое число, m H  m p  m e масса
атома водорода ( 11 H ), m – масса атома.




E св  Z m p   A  Z  m n  m я c2  Z m H   A  Z  m n  m c2
– концентрация элек-
тронов в зоне проводимости и дырок в
валентной зоне, где E 2 – энергия, соответствующая дну зоны проводимости, E1 – энергия, соответствующая
верхней границе валентной зоны, EF –
энергия Ферми, T – термодинамическая температура, C1 и C 2 – постоянные, зависящие от температуры и эффективных масс электронов проводимости и дырок (при равенстве последних C1  C 2 ).


 m  Z m p   A  Z  m n  m я  Z mH   A  Z  m n  m
– дефект
массы ядра.
 E св 
E св
A
L я   I  I  1
– уровень Ферми в собственном полупроводнике, где  E – ширина запрещенной зоны.


pm я  gя L я
– удельная проводимость собственных
полупроводников, где  0 – постоянная,
характерная для данного полупровод33
– удельная энергия связи (энергия связи, приходящаяся на один нуклон).
– собственный момент импульса
(спин) ядра, где   h  2 , h – постоянная Планка, I – спиновое ядерное
квантовое число ( I  0, 1 2, 1, 3 2, ).

– связь магнитного момента pm я и собственного
момента импульса (спина)

L я ядра, где g я – ядерное гиромагнитное соотношение.
я 
e
2m p
dN   N dt
– число ядер, распавшихся в среднем
за промежуток времени от t до t  dt ,
где N – число нераспавшихся ядер к
моменту времени t,  – постоянная
радиоактивного распада.
N  N 0 exp    t 
– закон радиоактивного распада, где N
– число нераспавшихся ядер в момент
времени t, N 0 – начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени
t  0 ),  – постоянная радиоактивного
распада.

0
A
A
0
Z X + -1 e  Z 1 Y + 0 e
– ядерный магнетон, где e – заряд
электрона,   h  2 , h – постоянная
Планка, mp – масса протона.

 N  N 0  N  N 0 1  exp   t 
A
Z
X + a  ZA  Y + b,


1

dN
 N
dt
X  ZA 42 Y + 42 He
– число ядер, распавшихся за
N  k  1
dN

,
dt
T
– связь периода полураспада T1 2 и постоянной радиоактивного распада  .
– правило смещения для -распада.
X ZA 1 Y + -10 e
– правило смещения для  –-распада.
A
Z
X ZA 1 Y + +10 e
– правило смещения для  +-распада.
m1
N  N o exp [
( k  1) t
]
T
 скорость нарастания
цепной реакции, где N 0 – число
нейтронов в начальный момент времени, N – число нейтронов в момент
времени t, T – среднее время жизни
одного поколения, k – коэффициент
размножения нейтронов.
– активность нуклида.
A
Z
 – энергия ядерной реакции, где
и m 2 – массы покоя ядра-мишени и
бомбардирующей частицы, ( m3  m4 ) –
суммы масс покоя ядер продуктов реакции. Если Q  0 – экзотермическая
реакция, Q  0 – эндотермическая реакция.
– связь среднего времени жизни  радиоактивного ядра и постоянной 
радиоактивного распада.
A
A
Z
ln 2

X a, b ZA Y
– символическая запись
ядерной реакции, где ZA X и ZA  Y – исходное и конечное ядра соответственно с зарядовыми числами Z и Z  и
массовыми числами A и A , a и b – соответственно бомбардирующая и испускаемая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы.
A
Z
Q  c2  m1  m2    m3  m4 
время t.
T1 2 
или
– схема e-захвата.
34
П р и м е ч а н и е:
Кроме температуры Кельвина (обозначение Т) допускается применять также температуру Цельсия (обозначение t), определяемую
выражением t  T  T0 , где T0  27315
К по определению. Температура
,
Кельвина выражается в кельвинах, температура Цельсия – в градусах
Цельсия (обозначение международное и русское С). По размеру градус Цельсия равен кельвину (1 С  1 К).
Количество вещества n – величина, равная числу структурных
элементов, содержащихся в теле (системе тел); dim n  N, единица –
моль (моль).
Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько
же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12
массой 0,012 кг. При применении моля структурные элементы должны
быть специфицированы и могут быть атомами, молекулами, ионами,
электронами и другими частицами или специфицированными группами частиц.
Сила света I – величина, равная отношению светового потока,
распространяющегося от источника излучения в рассматриваемом
направлении внутри малого телесного угла к этому телесному углу;
dim I  J, единица – кандела (кд).
Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540 10 12 Гц, сила
излучения которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср.
7. Вспомогательный справочный материал по физике
Международная система единиц (СИ)
Международная система единиц (сокращенное наименование SI – System International, в русской транскрипции СИ – произносится раздельно "ЭС-И") принята в 1960 г. Генеральной конференцией по мерам и
весам (ГКМВ) и уточнена на последующих ГКМВ.
Основные физические величины и единицы
Длина l – величина, характеризующая протяженность, удаленность и перемещение тел или их частей вдоль заданной линии. Размерность длины dim l  L, (dim – сокращение от латинского слова dimension – размерность), единица – метр (м).
Метр есть длина пути, проходимого светом в вакууме за интервал
времени 1/299 792 458 с.
Масса m – величина, определяющая инертные и гравитационные
свойства материальных объектов; dim m  M , единица – килограмм (кг).
Килограмм равен массе международного прототипа килограмма.
Время t – величина, характеризующая последовательную смену
явлений и состояний материи, характеризующая длительность их бытия; dim t  T, единица – секунда (с).
Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Сила электрического тока I – скалярная величина, равная производной по времени от электрического заряда, переносимого носителями заряда сквозь рассматриваемую поверхность; dim I  I, единица –
ампер (А).
Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого,
вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2 10 7 Н.
Термодинамическая температура T – температура, отсчитываемая по термодинамической шкале температур от абсолютного нуля;
dim T  , единица – кельвин (К).
Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температуры
тройной точки воды.
Дополнительные единицы
Плоский угол  – геометрическая фигура, образованная двумя
лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки. Размерности
плоский угол не имеет, единица – радиан (рад).
Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина
дуги между которыми равна радиусу.
Телесный угол  – часть пространства, заключенного внутри
одной полости конической поверхности с замкнутой направляющей.
Размерности телесный угол не имеет, единица – стерадиан (ср).
Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата
со стороной, равной радиусу сферы.
35
пени
Механика
Масса
m
килограмм
кг
Плотность
килограмм на кубиче- кг/м3

ский метр
Удельный объем
v
кубический метр на ки- м3/кг
лограмм
Массовый расход Qm
килограмм в секунду
кг/с
Объемный рас- QV
кубический метр в се- м3/с
ход
кунду
Импульс
P
килограмм-метр в секун- кгм/с
ду
Момент импульL
килограмм-метр в квад- кгм2/с
са
рате в секунду
Момент инерции
килограмм-метр в квад- кгм2
J
рате
Сила, вес
F, Q ньютон
Н
Момент силы
M
ньютон-метр
Нм
Импульс силы
I
ньютон-секунда
Нс
Давление, меха- p, 
паскаль
Па
ническое напряжение
Работа, энергия
А, Е, джоуль
Дж
U
Мощность
N
ватт
Вт
Тепловые явления
Температура
T
кельвин
К
Температурный
кельвин в минус первой
К-1

коэффициент
степени
Температурный
grad T кельвин на метр
К/м
градиент
Теплота
(колиQ
джоуль
Дж
чество теплоты)
Удельная теплота
q
джоуль на килограмм
Дж/кг
Теплоемкость
C
джоуль на кельвин
Дж/К
Удельная теплоc
джоуль на килограмм- Дж
кг  К
емкость
кельвин
Энтропия
S
джоуль на килограмм
Дж/кг
Важнейшие физические величины и их единицы
ОбозЕдиница физической величины
начение
Физическая
физиОбовеличина
ческо
Наименование
значей вение
личины
1
2
3
4
Пространство и время
Длина
l, s, d метр
м
Площадь
S
квадратный метр
м2
Объем, вместиV
кубический метр
м3
мость
Время
t
секунда
с
Плоский угол
радиан
рад
, 
Телесный угол
ср
, ,  стерадиан
Линейная
скоv
метр в секунду
м/с
рость
Линейное уско- a, w
метр в секунду в квад- м/с2
рение
рате
Угловая скорость
радиан в секунду
рад/с

Угловое ускорерадиан в секунду в квад- рад/с2

ние
рате
Периодические явления, колебания и волны
Период
T
секунда
с
Частота периоди- , f
герц
Гц
ческого процесса
Циклическая
радиан в секунду
рад/с

(круговая) частота
Частота вращеn
секунда в минус первой
с –1
ния
степени
Длина волны
метр
м

Волновое число
k
метр в минус первой сте- м –1
36
Сила тока
Плотность тока
Электричество и магнетизм
I
ампер
j
ампер на квадратный
метр
Q, q
кулон
Электрический
заряд
Электрический
p
дипольный момент
ПоляризованP
ность
Напряжение, по- U, , 
тенциал, ЭДС
Напряженность
E
электрического
поля
Электрическая
C
емкость
Электрическое
R, r
сопротивление
Удельное элек
трическое сопротивление
Электрическая
G
проводимость
Магнитная
инВ
дукция
Магнитный поток
Ф
Напряженность
Н
магнитного поля
Магнитный мо- pm
мент
Намагниченность
J
Индуктивность
L
ЭлектромагнитN
ная энергия
Объемная плотw
ность энергии
Активная мощP
кулон-метр
кулон
метр
вольт
на
ность
Реактивная мощQ
вар
вар
ность
Полная мощность
S
ватт-ампер
ВА
Оптика, электромагнитное излучение
Сила света
J, I
кандела
кд
Световой поток
Ф
люмен
лм
Световая энергия
Q
люмен-секунда
лмс
Освещенность
E
люкс
лк
Светимость
M
люмен на квадратный лм/м2
метр
Яркость
L, B
кандела на квадратный кд/м2
метр
Энергия излуче- E, W джоуль
Дж
ния
Акустика
Звуковое давлеp
паскаль
Па
ние
Объемная
ско- c, V
кубический метр в се- м3/с
рость
кунду
Скорость звука
v, u
метр в секунду
м/с
Интенсивность
I
ватт на квадратный метр
Вт/м2
звука
Акустическое
Za, Ra паскаль-секунда на куби- Пас/м3
сопротивление
ческий метр
Механическое
Rм
ньютон-секунда на метр
Нс/м
сопротивление
Молекулярная физика
Количество
моль
моль
, n
вещества
Молярная масса
кг
M,  килограмм на моль
моль
Молярная энер- Hмол
джоуль на моль
Дж
гия
моль
Дж
Молярная
смол
джоуль на моль-кельвин
теплоемкость
моль  К
Концентрация
с, n
метр в минус третьей
м-3
молекул
степени
А
А/м2
Кл
Клм
квадратный
вольт на метр
Кл/м2
В
В/м
фарад
Ф
ом
Ом
ом-метр
Омм
сименс
См
тесла
Тл
вебер
ампер на метр
Вб
А/м
ампер-квадратный метр
Ам2
ампер на метр
генри
джоуль
А/м
Гн
Дж
джоуль на кубический
метр
ватт
Дж/м3
Вт
37
Массовая
килограмм на кубиче- кг/м3

концентрация
ский метр
Молярная
смол
моль на кубический метр моль/м3
концентрация
Подвижность
квадратный
метр
на м2/(Вс)
в, 
ионов
вольт-секунду
Атомная и ядерная физика. Радиоактивность
Масса (масса поm
килограмм
кг
коя)
Дефект массы
килограмм
кг

Элементарный
e
кулон
Кл
электрический
заряд
Энергия связи
Eсв
джоуль
Дж
Период полурас- T, 
секунда
с
пада,
среднее
время жизни
Эффективное
квадратный метр
м2

сечение
Активность
А
беккерель
Бк
нуклида
Энергия ионизи- E, W джоуль
Дж
рующего излучения
Поглощенная доД
грэй
Гр
за ионизирующего излучения
Эквивалентная
Н, Дэк зиверт
Зв
доза ионизирующего излучения
Экспозиционная
X
кулон на килограмм
Кл/кг
доза рентгеновского и гаммаизлучения
Множители и приставки для образования
десятичных кратных и дольных единиц
38
Множитель
Приставка
10 18
10 15
10 12
10 9
10 6
10 3
10 2
10 1
10 –1
10 –2
10 –3
10 –6
10 –9
10 –12
10 –15
10 –18
экса
пета
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
деци
санти
милли
микро
нано
пико
фемто
атто
Обозначение
приставки
Э
П
Т
Г
М
к
г
да
д
с
м
мк
н
п
ф
а
Масса покоя нейтрона
Масса покоя дейтрона
Фундаментальные физические константы
 0  4  10 7 Гн / м 
 12,566 370 614 10 7 Гн / м

 0   0 c2

1
 8,854 187 817 1012
Электрическая постоянная
Гравитационная постоянная
Постоянная Планка
G  6,672 59 1011
Планковская длина
l p   m pc  G c3
  
 1616
,
05 10
35
Ф/м
м3/(кгс2)
h  6,626 0755 1034
Джс

12

кг
Электромагнитные константы
Элементарный заряд
e  1602
,
177 33 1019 Кл
Квант магнитного потока
Ф 0  h 2e  2,067 834 61 10 15 Вб
Магнетон Бора
 B  e 2m e  9,274 0154 10 24 Дж/Тл
Ядерный магнетон
 N  e 2m p  5,050 7866 1027 Дж/Тл
Физическая
величина
Масса покоя электрона
Отношение заряда электрона к его массе
Комптоновская длина волны электрона
Классический радиус электрона
Масса покоя протона
1
Длина
R   m e ca2 2h  10 973 731534
,
м –1
a0    4R    0,529 177 249 10
10
m e  9109
,
3897 10
31
Масса
Кл/кг
 e  h  me c  2,426 310 58 10
12
re   2 a0  2,817 940 92 1015
m p  1672
,
62311027
м
кг
 e m e  1,758 819 62 1011
кг
кг
Единицы, допускаемые к применению
наравне с единицами СИ
Атомные константы
Постоянная тонкой струк-    0 ce2 2h  7,297 353 08 103
туры
 1  137,035 9895
Постоянная Ридберга
Боровский радиус
m d  3,343 5860 10
27
Физико-химические постоянные
Постоянная Авогадро
N A  6,022 1367 1023 моль-1
Атомная единица массы
1 а.е.м.  1660
,
5402 1027 кг
F  96 485,309 Кл/моль
Постоянна Фарадея
Универсальная газовая
R  8,314 510 Дж/(мольК)
постоянная
Постоянная Больцмана
k  R N A  1380
,
658 10 23 Дж/К
Молярный объем идеально- V m  R T p  22,414 10 3 м-3/моль
го газа при нормальных
,
условиях
( T  27315
К,
p  101 325 Па)
Постоянная Лошмидта
n0  N A V m  2,686 763 1025 м-3
Универсальные константы
c  299 792 458 м/с
Скорость света в вакууме
Магнитная постоянная
m n  1674
,
9286 1027
м
Время
м
кг
1
Скорость
Ускорение
,
701
Отношение массы протона m p m e  1836152
к массе электрона
39
Единица
Наименование Обозначение
2
3
астрономичеа.е.
ская единица
световой год
св. год
парсек
пк
морская миля
миля
атомная еди- а.е.м.
ница массы
карат
кар
тонна
т
минута
мин
час
ч
сутки
сут
2
3
узел
уз
гал
Гал
Значение в
единицах СИ
4
1,49610 11 м
9,46010 15 м
3,08610 16 м
1852 м
1,66010 –27 кг
210 –4 кг
10 3 кг
60 с
3600 с
86400 с
4
0,514 м/с
10 –2 м/с2
Частота
вращения
Давление
Плоский
угол
Площадь
Объем,
вместимость
Энергия
Оптическая
сила
Механическое напряжение
Полная
мощность (в
электротехнике)
Реактивная
мощность (в
электротехнике)
оборот в секунду
оборот в минуту
бар
градус
об/с
1 с –1
об/мин
бар
…
(1/60) с –1 
0,017 с –1
10 5 Па
1,74510–2 рад
минута
секунда
град (гон)
гектар
литр
…'
…"
град
га
л
2,90910–4 рад
4,84810–6 рад
(/200) рад
104 м2
10 –3 м3
электронвольт
эВ
диоптрия
дптр
1,60210–19
Дж
1 м –1
ньютон на квад- Н/мм2
ратный миллиметр
вольт-амепр
ВА
Некоторые астрономические величины
Средняя Период враКосмиче- Средний Масса, кг плотность, щения вокское тело радиус, м
103 кг/м3
руг оси,
сутки
8
30
Солнце
1,41
25,4
6,9510 1,9910
6
24 5,52
Земля
1,00
6,3710 5,9810
6
22
Луна
3,30
27,3
1,7410 7,3510
Планеты
Солнечной
системы
Меркурий
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
1М
Па
—
Среднее расстояние от
Солнца, 106
км
57,87
108,14
149,50
227,79
777,8
1426,1
2867,7
4494
Период обра- Масса в едищения вокруг ницах массы
Солнца, в годах
Земли
0,241
0,615
1,000
1,881
11,862
29,458
84,013
164,79
0,056
0,817
1,000
0,108
318,35
95,22
14,58
17,26
Таблица элементарных частиц
вар
вар
—
Наименование
Масса в
электронных
час анти- массах
чати- стица
ца
Символ
1
Фотон
2

Лептоны
Нейтрино элек- e
тронное
40
3
Элек
-три-
Время
жизни, с
ческий
заряд
4
5
6

0
0
Стабилен

e
0 (<610 – 0
5
)
Стабильно
Нейтрино мю- 
онное
Тау-нейтрино

Электрон
Мюон
Тау-лептон
е–
–
–
Мезоны
Пи-мезоны (пи-  0
оны)
+
Ка-мезоны (као- К +
ны)
К0
Эта-нуль-мезон

0


0 (< 1)
0


0 (< 500)
0
е+
+
+
1
207
3492
–1
–1
–1
Стабильно
Стабильно
Стабилен
2,210 –6
310 –13
8. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
Алгебра
Правила действия со степенями и корнями:
a x  a y  a x y ,
264,1
0
0,8310 –16

К–
273,1
966,4
1
1
2,610
1,210 –8
К0
974,1
0
8,910
К0s)
5,210
(К0L)
710 –19
–

0
~
р
р
Нейтрон
n
Лямбда-гиперон
0
Сигма-гипероны
+
0

Кси-гипероны
–

0
–
Омега-минусгиперон

n
a 
a na
,

b nb
n
am 
1074
0
1836,1
1
x y
–8
 a xy
,
x
a
 a x y
y
a
n m
 a
m
n
,
a  nm a .
–11
Некоторые свойства пропорции:
–8
ab cd

.
b
d
Формулы корней квадратных уравнений вида ax 2  bx  c  0 :
a c
  ad  bc ,
b d
Барионы
Протон
a x  b x  ab  ,
x
0
ab  n a  n b ,
n
Стабилен
(?)
~
n
~0

1838,6
0
10 3
2183,1
0
2,6310 –10
~
+
~
0
2327,6
1
810 –11
2333,6
0
5,810 –20
~
–
~0

2343,1
–1
1,4810
2572,8
0
2,910 –10
~–

~
2585,6
–1
1,6410 –10
3273
–1
8,210 –11
2
x1, 2
b
b
     ac
2
a
 b  b  4ac
2


.
2a
a
Теорема Виета:
x1  x2  
–10
b
a
,
x1  x2 
c
.
a
Формулы корней квадратных уравнений вида x 2  px  q  0 :
2
x1, 2  
p
 p
    q.
2
2
Тождества сокращенного умножения:
a  b2  a 2  2ab  b
41
2
-квадрат двучлена,
a  b 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
a 2  b 2  a  b  a  b
a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2 
a 3  b 3  a  b  a 2  ab  b 2 
- куб двучлена
Значения тригонометрических функций некоторых углов
-разность квадратов,
-разность кубов,
-сумма кубов.
Общие свойства логарифмов:
log a  xy  log a x  log a y;
x
log a    log a x  log a y;
 y
log a x k  k log a x.
Тригонометрия
Тригонометрические функции острого угла:
sin  
a
;
c
cos  
b
;
c
tg 
a
;
b
ctg 
b
,
a
0
sin 
0
cos 
1
tg
0
ctg
∞
45
60
90
180

6
1
2
3
2
3
3

4
2
2
2
2

3
3
2
1
2

2

1
0
0
-1
1
3
∞
0
3
1
3
3
0
1
tg    tg.
Периодичность тригонометрических функций:
c2  a2  b2.
sin   2   sin  ,
Теорема косинусов:
c  a  b  2ab cos  .
cos  2   cos  ,
tg  2   tg.
2
Теорема синусов:
Основные тригонометрические тождества:
a
b
c


,
sin  sin  sin 
sin 2   cos 2   1,
1
1  tg 2 
,
cos 2 
1
1  ctg 2 
,
sin 2 
где a, b, с – стороны треугольника, лежащие против углов  ,  ,  .
Знаки тригонометрических функций
+ +
- синус
рад
30
sin      sin  ; cos    cos  ;
Теорема Пифагора:
2
0
Четные и нечетные тригонометрические функции:
где a- катет, противолежащий углу  , b- катет, прилежащий углу  ,
c-гипотенуза.
2
град
- +
- +
косинус
- +
+ тангенс и котангенс
42


2
 ,
  ,
k = 0, 1, 2,…
k = 0, 1, 2,…
sin 

,
   , k = 0, 1, 2,…
cos 
2
cos 
ctg 
,
k = 0, 1, 2,…
  ,
sin 

1
   , k = 0, 1, 2,…
tg 
,
2
ctg
2
1  cos 2  2 cos  ,
1  cos 2  2 sin 2  .
tg 
sin   sin   2 sin
cos     cos  cos   sin  sin  ,
u
tg  tg
.
1  tgtg
sin u
cos u
tg u
ctg u
Тригонометрические функции двойного аргумента:
sin 2  2 sin  cos  ,
cos 2  cos 2   sin 2  ,
2tg

tg 2 
,     , k = 0, 1, 2,…
2
4
1  tg 


2
cos 
 sin 
 ctg
 tg
 
 sin 
 cos 
tg
ctg
3

2
 cos 
sin 
 ctg
 tg


2
cos 
sin 
ctg
tg
 
sin 
 cos 
 tg
 ctg
3

2
 cos 
 sin 
ctg
tg
Геометрия
Площадь треугольника:
S
Тригонометрические функции половинного аргумента:
1  cos 

1  cos 
,
cos  
,
2
2
2
2

1  cos 
sin 
1  cos 
tg  


.
2
1  cos  1  cos 
sin 

 
Формулы приведения:
sin      sin  cos   cos  sin  ,
sin
 cos
,
2
2
 
 
sin   sin   2 cos
 sin
,
2
2
 
 
cos   cos   2 cos
 cos
,
2
2
 
 
cos   cos   2 sin
 sin
.
2
2
Формулы сложения:
tg     
 

1
ab sin  ,
2
S
1
aha ,
2
S
1
bhb ,
2
S
1
chc ,
2
где a, b, c – стороны треугольника, ha , hb , hc  высоты,  -угол между
сторонами a и b.
Площадь квадрата:
S  a2 ,
Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
где a  сторона квадрата.
Площадь прямоугольника:
43
S  ab,
Объем куба:
где a и b – смежные стороны прямоугольника.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
V  a3 ,
где a - измерение куба.
Объем цилиндра:
1
S  ph,
2
V  R 2 h,
где p – периметр основания пирамиды, h- апофема.
Объем пирамиды:
где R- радиус основания цилиндра, h- высота цилиндра.
Объем конуса:
1
V  Sh,
3
1
V  R 2 h,
3
где S – площадь основания, h- высота пирамиды.
Площадь сферы радиуса R (диаметра D):
S  4R ,
2
где R- радиус основания конуса, h- высота конуса.
Площадь боковой поверхности конуса:
S  D .
2
S  Rl ,
Объем шара радиуса R (диаметра D):
V 
4 3
R ,
3
где l - образующая конуса.
1
V  D 3 .
6
Площадь круга радиуса R (диаметра D):
S  R ,
2
S
D 2
4
.
Длина окружности радиуса R (диаметра D):
l  2R, l  D, D  2R.
Площадь трапеции:
S
ab
h,
2
где a и b – основания трапеции, h- высота трапеции.
Объем прямоугольного параллелепипеда:
V  abc,
где a, b, c – измерения параллелепипеда.
44
Таблица производных и интегралов

x e
n
Функция
1
Производная
2
Функция
3
Производная
4
Функция
5
Производная
6
xn
nx n1
sin x
cosx
arcsin x
1
0
2,31,
 2

 6 ,
n
x dx 

2,405,
ex  1  4
0
 15 ,
24,9,
1 x 2
1
x

1

xn
x
1
cosx
x
n
x n1
1
ex
e nx
2 x
ex
ne nx
ax
a x ln a
tg x
1
ctg x
cos2 x
1

sin 2 x
1
x
ln x

sin x
arccosx
2
u
ln u
u
v
arctg x
2 u
u
u
vu  v u
x n1
x dx 
, n  1
n 1
dx
 ln x
x


e
x
2
dx
 sin
2
x
x

dx
1 x
dx
2
x 1
2


0
n3
n4
0,225,

118
, ,
x 3 dx 

2
,56,

ex  1 
4,91,

6,43,
 1
2
3
5
  10




Разложение вектора a по единичным векторам (ортам) ex , e y , ez
прямоугольной декартовойсистемы
координат
Oxyz:



a  ax ex  ay ey  az ez ,

где ax , ay , az – координаты вектора a .

Длина (модуль) вектора a :

a  a  ax2  a2y  az2 .


Скалярное произведение двух векторов a и b :
 tg x
 
   
   
a  b  b  a  abcos a  b , a  b  ax bx  ay by  az bz ,

 

где a  b – угол между векторами a и b .


Косинус угла между векторами a и b :
ax bx  ay by  az bz
 
cos a  b 
.
2
ax  a2y  az2 bx2  by2  bz2
  
Скалярное произведение ортов ex , e y , ez :
 
 
 
 
 
 
ex  ex  ey  ey  ez  ez  1, ex  ey  ey  ez  ex  ez  0.


Условие ортогональности двух
векторов a и b :


a  b  0.


Векторное произведение двух векторов a и b :


a  b  c,

где c – вектор, перпендикулярный плоскости,
в которой расположены

 

a и b , причем тройка векторов a , b и c образует правовинтовую си-
 
 ctg x
 1  x 2  arctg x

n 1
n2
dx 
Формулы векторной алгебры
dx
 cos x dx  sin x
n0
1,


  2, n  1 2
x n e  x dx  
n 1
1,
0
2,
n
2

cth x
ch 2 x
1
 2
sh x
 cos
sin x dx   cos x
 tg x dx   ln cos x
1
dx

1
th x
2
n
1 x 2
sh x
ch x
arcctg x

1
1 x 2
1

1 x 2
ch x
sh x
u
v

n 1 2
n!
,
a n1
a  0, n  0
 ax
 
 arcsin x
 ln  x  x 2  1
  2, n  0

n 1
1 2 ,
n x 2
x e dx  
  4, n  2
0
1 2 ,
n3



стему:
dx  e x
45

ex
  
c  a  b  ax
bx

ey

ez
ay
az ,
Формулы математической теории поля
Градиент скалярного поля u M  :
by bz

 
c  c  ab sin a  b .
  
Координаты вектора c  a  b :
ay az
ax ay
az ax
cx 
, cy 
, cx 
.
by bz
bx by
bz bx
  
Векторное произведение ортов ex , e y , ez :


  
  

ex  ey  ez , ey  ez  ex , ez  ex  ey ,


 
 
ex  ex  ey  ey  ez  ez  0.


Условие коллинеарности двух
векторов a и b :
    
a  b  b  a  0.
 
az
by
bz ,
cx
cy
cz


где  S – замкнутая элементарная поверхность, охватывающая объем

V ; dS – вектор площадки.

Поток N векторного поля a  M  через поверхность S :
Условие


S
Дивергенция векторного поля:




S 
div a M   lim
Теорема Остроградского-Гауса:
S 





и c:
 
Тождество Эйлера-Лагранжа:
  
 
ab
2
 
 ab






 l


  l
rot n a M   lim
V 0
 
где

l
S

dC
,
dS
– замкнутый элементарный контур, охватывающий площадь
 S.
Теорема Стокса:
 

 
 a 2b 2.



 a M   dr   rot a M   dS ,
 l
2

 a M   dr ,
 a M   dr
a  b  c  d    a  c b  d   a  d  b  c.

V 
где dr  dx ex  dy ey  dz ez ; r – радиус-вектор точки M.


Проекция вихря векторного поля a  M  на направление n :
Произведения, содержащие более двух векторов:


где S – поверхность, охватывающая объем V.

Циркуляция векторного поля a  M  по замкнутому контуру l:
C
 


dN
.
dV

V
V 0
 

Двойное векторное произведение трех векторов a , b и c :


     
  
     
b
c
a  b  c       b a  c   c a  b   a  c  b  a  b c .
ab a c



 a M   dS
 a M   dS   div a M   dV ,
     
  
a  b  c  b   c  a  c  a  b 
  
  
  
 b   a  c    c  b  a  a  c  b .
 
компланарности трех векторов a , b
  
a  b  c  0.



 a M   dS .
N 
Основное свойство смешанного произведения:

,
V
V 0

ay
S 
grad u M   lim
Смешенное (векторно-скалярное) произведение трех векторов
 

a, b и c:
ax
  
a  b  c  bx

 u M  dS
S 
где l – замкнутый контур, охватывающий поверхность S.
Оператор Гамильтона (интегральное определение) :

 dS
  lim
V 0
46
S 
.
V
градиент скалярного поля u  u  M 
Выражение основных дифференциальных операций с помощью
оператора Гамильтона:
grad u   u,


div a    a ,


rot a    a .
дивергенция

Производная скалярного поля u по направлению S :

u
    u,
S
 
S S
вихрь

S
где
– единичный вектор направления .
Дифференциальные операции второго порядка:
div grad u  2 u   u,

rot grad u      u  0.


grad div a      a ,


div rot a       a  0,




rot rot a       a  grad div a   a.
0
30
45
60
90
рад
0

6

0

3
3
2
1
2

2
1
2

4
2
2
2
2
1
0
0
-1
1
3
∞
0
1
3
3
0
1
cos 
1
tg
0
ctg
∞
3
2
3
3
3
180

.
оператор Лапласа
x 2

2
y 2

2
z 2

 
     
  ex
 ey
 ez ,
x
y
z
2
a y
y

ey

y
ay

az
,
z

ez

.
z
az
grad uv   uv  u grad v  v grad u,


 
div ua     ua   u div a  a  grad u,




rot ua     ua   u rot a  grad u  a ,
 

 
  
 
 
rot a  b    a  b  a div b  b div a  b   a   a   b ,


 
 
 
div a  b    a  b  b  rot a  a  rot b ,
 
 
 
  
 

grad a  b    a  b  a  rot b  b  rot a   a   b  b   a .
Основные дифференциальные операции в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz:
оператор Гамильтона (оператор набла)
  2 

 ax
div a   a 

x
 
векторного поля a  a  M 

ex



rot a    a 
x
ax
Действие оператора Гамильтона на произведения скалярных и

векторных полей ( u  M  , v  M  – скалярные поля, a  M , b  M  – векторные поля) :
град
sin 
 u  u  u
grad u   u  ex
 ey
 ez ,
x
y
z
 
векторного поля a  a  M 
,
47



 



 
 
ляться до трех значащих цифр:
 3,2  17,062 
Правила приближенных вычислений
51
,  2,007 10
Если
x  1,
10,3 103
 3,79 103 .
то в первом приближении можно принять:
1
 1  x,
1 x
1 x  1
сумму следует округлять до сотых долей, т.е. принять ее равной 9,04.
2. При умножении следует округлять сомножители так, чтобы
каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет
сомножитель с наименьшим числом таких цифр.
,
Например, вместо вычисления выражения 3,723  2,4  51846
следует
вычислять выражение 3,7  2,4  5,2.
В окончательном результате необходимо оставлять такое же
число значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления.
В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило соблюдается и при делении
приближенных чисел.
3. При возведении в квадрат или в куб следует в степени брать
столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени.
Например,
ex  1  x,
1  x  2  1  2a,
1
x,
2
1
1 x
 1
ln 1 x   x
1
x,
2
.
, рад) и выражен в радианах,
Если у гол  мал (   5 или   01
то в первом приближении можно принять
sin   , tg   , cos   1.
132
, 2  1,74
4. При извлечении квадратного или кубического корня в результате нужно брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении. Например,
117
, 108  108
, 104 .
5. При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий.
Например,
3,7
20,3 192
,
Формулы для простейших приближенных вычислений
4,462  2,38  117273
,
 10262
,
 9,04093
51
,  2,007 103

После округления до двух значащих цифр получаем, 3,8 103 .
1. При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в
тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных
данных. Значащими цифрами называются все цифры, кроме нуля, а
также и нуль в двух случаях: 1) когда он стоит между значащими
цифрами; 2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единиц соответствующего разряда в данном числе не имеется.
Например, при сложении чисел
 3,2  17,062 
3,7
3
.
Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр – две.
Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округ48
ЛИТЕРАТУРА
1 Болсун А.И., Галякевич Б.К. Физика: Краткий словарь-справочник.Мн.: БелЭн, 1997.
2 Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся ВТУЗов.- М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры,
1959г.
3 Деньгуб В.М., Смирнов В.Г. Единицы величин: Словарьсправочник.- М.: Изд-во стандартов, 1990.
4 Кухлинг Х. Справочник по физике: Пер. с нем.- М.: Мир, 1982.
5 Трофимова Т.И. Справочник по физике для студентов и абитуриентов. М.: 2001.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение____________________________________________________
1. Физические основы механики_________________________________
Кинематика____________________________________________
Динамика частицы и поступательного движения
твердого тела__________________________________________
Работа и энергия_______________________________________
Динамика твердого тела_________________________________
Упругие деформации___________________________________
Гравитационное поле. Неинерциальные системы отсчета_____
Элементы механики жидкости____________________________
Основы специальной теории относительности______________
2. Основы молекулярной физики и термодинамики_________________
Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов_________
Основы термодинамики_________________________________
Реальные газы и жидкости_______________________________
3. Основы электродинамики____________________________________
Электрическое поле_____________________________________
Постоянный электрический ток___________________________
Электрические токи в металлах, в вакууме и газах___________
Магнитное поле________________________________________
Электромагнитная индукция_____________________________
Магнитные свойства вещества____________________________
Уравнения Максвелла___________________________________
4. Колебания и волны__________________________________________
Механические и электромагнитные колебания______________
Упругие волны_________________________________________
Электромагнитные волны________________________________
5. Оптика____________________________________________________
Элементы геометрической оптики_________________________
Интерференция света___________________________________
Дифракция света_______________________________________
Взаимодействие электромагнитных волн с веществом________
Поляризация света______________________________________
Квантовая природа излучения____________________________
6. Квантовая физика___________________________________________
49
Атом водорода_________________________________________
Основы квантовой механики_____________________________
Элементы атомной физики_______________________________
Элементы квантовой статистики и физики твердого тела_____
Физика атомного ядра и элементарных частиц______________
7. Вспомогательный справочный материал по физике_______________
Международная система единиц (СИ)____________________
Важнейшие физические величины и их единицы____________
Множители и приставки для образования десятичных
кратных и дольных единиц______________________________
Фундаментальные физические константы__________________
Единицы, допускаемые к применению
наравне с единицами СИ_________________________________
Некоторые астрономические величины____________________
Таблица элементарных частиц____________________________
Периодическая система химических элементов
Д.И.Менделеева_______________________________________
8. Основные сведения из математики_____________________________
Таблица производных и интегралов_______________________
Формулы векторной алгебры_____________________________
Формулы математической теории поля____________________
Алгебра_______________________________________________
Тригонометрия_________________________________________
Геометрия_____________________________________________
Правила приближенных вычислений______________________
Формулы для простейших приближенных вычислений_______
Литература__________________________________________________
50