Двугранный угол многогранника.
Пересечения скатов крыши образуют двугранные углы.
Самостоятельная работа. Двугранный угол.
1. Сформулируйте определение двугранного угла [Фигура, образованная двумя
полуплоскостями с общей границей (модель).
2. Перечислите элементы двугранного угла [ребро, грани (показать на
модели)].
3. Сформулируйте определение линейного угла [Угол с вершиной на ребре,
стороны которого перпендикулярны этому ребру (показать на модели)].
4. Для чего применяется линейный угол? [Для измерения величин двугранных
углов]
5. Зачем доказывается утверждение, что все линейные углы данного
двугранного угла равны? Откуда это следует? [Корректность определения
величины двугранного угла; следует из равенства углов с сонаправленными
сторонами]
6. Как построить линейный угол другим способом?
[Провести плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла]
7. Верно ли, что двугранные углы с соответственно параллельными гранями
равны? [Нет, так как их линейные углы – с соответственно параллельными
сторонами, то либо они равны, либо в сумме составляют 180]
8. Что такое прямой двугранный угол? Почему плоскости его граней
перпендикулярны? [Угол, величиной 90. По определению перпендикулярных
плоскостей]
9. В каких границах лежит величина двугранного угла?
[(0; 180)]
10. Сформулируйте определение угла между плоскостями
[A) Угол между параллельными плоскостями равен 0. Б) Угол между
пересекающимися плоскостями равен величине наименьшего из
двугранных углов, образующихся при их пересечении]
У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или
вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.
Величины двугранных углов правильных многогранников:
Название
точный двугранный угол в
радианах
приближённое значение в
градусах
arccos(1/3)
70.53°
π/2
90°(точн.)
π − arccos(1/3)
109.47°
2·arctg(φ)
116.56°
2·arctg(φ + 1)
138.19°
Тетраэдр
Гексаэдр или
куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
где φ = (1 + √5)/2 — золотое сечение.
Через любые три точки, не лежащие
Аксиома 1. на одной прямой, проходит
плоскость, и притом только одна.
В
А
С
Если две точки прямой лежат в
плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
Аксиома 2:
В
А
Аксиома 3:

Если две плоскости имеют
общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой
лежат все общие точки этих
плоскостей.


М
m
1. Через прямую и не лежащую на ней точку
проходит плоскость, и притом только одна.
М
m

2. Через две пересекающиеся прямые проходит
плоскость, и притом только одна.
b
а
Свойство параллельных плоскостей:
Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их
пересечения параллельны.
Прямой и точкой, не лежащей
Тремя точками, не
лежащими на одной
прямой
на ней
Двумя параллельными прямыми
Двумя пересекающимися
прямыми
Какие многоугольники могут
получиться в сечении
тетраэдра?
Какие многоугольники могут
получиться в сечении
параллелепипеда?
Задача №1. Построить сечение,
определенное точками K, L, M.
Р
K
L
В
А
M
Треугольник КМL
– сечение
D1
C1
O
N
B1
A1
D
C
M
А
B
D1
N
C1
O
B1
A1
M
D
C
А
B
D1
C1
O
B1
A1
N
D
C
M
X
А
B
P
K
O
D1
C1
Z
B1
N
A1
X
D
C
M
А
P
B
Анализ этапа введения понятия двугранный угол.
Тема: « Двугранный угол»
Цель: Ввести понятие двугранного угла, дать студентам возможность
сформулировать алгоритм построения линейного угла двугранного угла.
Этап введения понятия можно разбить на 9 подэтапов . Работа осуществляется
по плану нахождения ответов на вопросы о любом угле : «Как назвать ?
(определение )» «Как построить?» «Как измерить?»
1. «Мотивация»
Цель: Рассмотреть новый вид углов в стереометрии (в пространстве). Выясняем
план работы над новой темой (вопросы учитель выписывает на доске). Ученики
настраиваются на работу Устанавливается связь прошлого с новым по линии
«единый план».
2. «Связи - проблема»
Цель:
Установить
связь
прошлого
материала
с
новым
через
прослеживание логической и конструктивной цепочки «углы в геометрии» с
выходом на проблему «новый угол в пространстве».Организована практическая
работа для актуализации прошлого, мотивированная фразой: «чтобы найти
новых
...практическую
работу
проведем».
Цели
заданий
носят
подготовительный характер. Ученики работают с моделями плоскостей и
прямых, вспоминают определения различных углов и на плоскости и в
пространстве. Наглядно (важно в стереометрии видеть фигуру) приходят к
выводу, что углы существуют, и значит, их надо охарактеризовать. Используем
аналогию (связь) с углом на плоскости.
3. «Практическая работа по построению двугранного угла»
Цель: Преодолеть проблему «стереометрического видения» через практический
опыт учеников (наглядно) построить двугранный угол. Выделить характерные
признаки угла (граница, 2 полуплоскости). Мотивом служит фраза «Изучим
один из этих углов». Работа с классом ведется фронтально по наводящим
вопросам учителя. Заполняется таблица «Угол на плоскости - угол на модели».
4. «Работа по изображению двугранного угла»
Цель: Изобразить на бумаге двугранный угол. Ответить на вопрос «Как
построить?» Связываем практику с теорией, наглядную фигуру с ее чертежом.
Ученики учатся чертить двугр. угол. Учитель дает возможность изобразить
двугр. углы, находящиеся у учеников на столах. Далее называют и
одновременно изображают основные элементы двугр. угла используя выше
заполненную таблицу.
5. «Работа над введением определения»
Цель: Проанализировав ход и результат построения дать имя углу и
сформулировать его определение. Мотивом является фраза «Попытайтесь
проанализировав ... дать имя».Ученики устанавливают логическую связь (через
мыслительные операции) практики с теорией. Разрешают первый вопрос плана
урока. Учитель выделяет эту запись цветным мелом на доске. Результатом
работы также является формулировка темы урока: «Двугранный угол». В
тетрадях ученики делают записи темы и определения двугр. угла.
6. «Отвечаем на третий вопрос плана урока»
Цель: Используя практический опыт учеников с помощью известных им
чертежных инструментов (транспортира и чертежного треугольника) ответить
на вопрос сначала о мере двугранного угла, а потом о способе его измерения.
Через постановку проблемы (интрига): «Как использовать транспортир? »
задаем мотив деятельности по разрешению вопроса № 3.Ученики работают с
моделями и чертежным треугольником. Учитель выполняет все операции
параллельно классу.
7. «Введения понятия линейного угла двугранного угла»
Цель: Ответить на вторую часть вопроса о способе измерения двугранного угла.
Организована
практическая
фронтальная
работа,
мотивированная вопросом «Как измерить любой двугранный угол?» Уточнив
основные действия операции по использованию чертежного треугольника
выходим на правило (алгоритм ) построения линейного угла (используем
конкретно-индуктивный метод).Вводим вспомогательную схему имени двугр.
угла.
8. «Работа с учебником»
Цель: Продолжить рассмотрение свойств линейного угла двугранного угла,
используя другой источник информации - учебник. Мотивом этой деятельности
стала фраза (вопрос): «Интересно,а зависит ли величина двугр. угла от того
какой линейный угол будем строить? » С помощью рисунков в учебнике
учащиеся делают вывод о равенстве всех линейных углов двугр. угла. Учитель
дает домашнее задание: самостоятельно доказать это утверждение (оно
предварительно записывается в тетрадь). Восстанавливая связи с видами
линейных углов, приходим к необходимости классифицировать по видам и
двугр. углы.
9. «Промежуточное подведение итогов введения понятия двугранный»
Цель:
Обобщить все знания полученные на уроке в ходе работы над
разрешением вопроса: «Двугранный угол - это.. . Что о нем надо знать?»
«Еще раз вспомним, все ли ...» - это мотив этого этапа. В ходе повторения
задействуем
слово
(вслух
повторяем
определение,
построения линейного угла двугр. угла)
комментируем
шаги
действие ( изображаем двугр. угол ,строим его линейный угол)
зрение (модели лежат на партах, рисунки в учебнике и тетрадях, выделенные
цветным мелом вопросы плана исследования двугр. угла)
Работа организована фронтально. На всех этапах использовался поисковый
метод:студенты находят связи, актуализируют свои действия, ставятся
проблемы, решаемые с помощью практического опыта учащихся.
Скачать

3. «Практическая работа по построению двугранного угла