Методы расчета электростатических полей

ПРИМЕНЕНИЕ ANSYS ДЛЯ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
О.М. Павлейно (школа № 208 10 а класс, СПб)
Существуют различные методы расчета электростатических полей, как
строгие, так и приближенные. Выбор того или иного метода диктуется, в
основном, самой постановкой задачи. В простейших случаях можно непосредственно воспользоваться законом Кулона, теоремой Гаусса или мет одом изображений. Однако в общем случае нужно решать уравнение Пуассона:
 2  2  2

.
 2  2 
2
 0
x
y
z
(1)
Точное решение этого уравнения можно получить лишь для задач с несло жной геометрией. Поэтому, как правило, уравнение (1) решают численно.
Существуют два основных численных метода: метод конечных разностей и метод конечных элементов. В методе конечных разностей произво дные, входящие в исходное дифференциальное уравнение, заменяются приближенными выражениями, содержащими значения искомой функции в узлах сетки. Граничные условия также записываются в узловых точках. Тем
самым, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений.
В методе конечных элементов исходная задача заменяется эквивалентной задачей о поиске минимума некоторого функционала. Например, для
плоской задачи при   0 в качестве такого функционала можно взять
   2    2 
  dxdy .
J   
 
x   y  

S 


(2)
В каждом элементе сетки выбирают пробные функции, в качестве которых
используют полиномы. Далее выражают коэффициенты полиномов через
значения искомой функции в узлах элементов. Функционал заменяют суммой интегралов по отдельным элементам, подставляя в них вместо искомой
функции пробные. Эти интегралы вычисляются, и при этом результат зависит от значений искомой функции в узлах. Приравнивая производные от
функционала по значениям функции в узлах нулю и учитывая граничные
условия, получают систему алгебраических уравнений для определения и скомых значений в узлах.
В настоящее время метод конечных элементов лежит в основе большинства программных средств, позволяющих рассчитывать электростатические поля. Одним из них является ANSYS.
Решение задачи в ANSYS состоит из трех этапов. На первом этапе
осуществляется предварительная подготовка модели (в терминах ANSYS –
Preprocessor), включающая в себя выбор типа анализа, построение геометрической модели и сетки, задание свойств материалов, а также граничных
условий. На втором этапе (Solution) производится решение задачи. Третий
этап – обработка результатов (Postprocessor), которая представляет собой их
просмотр и сохранение. Исследуемые модели могут быть плоскими и объемными; замкнутыми и с открытыми границами. В качестве источников
электрического поля могут выступать точечные, линейные, поверхностные
и объемные заряды, а также объекты с заданным потенциалом.
В данной работе с применением ANSYS был решен ряд задач электростатики. В частности, было рассчитано поле различных по форме заряженных тел над металлическим и диэлектрическим полупространством. Было
изучено искажение поля плоского конденсатора при внесении в него диэлектрических и металлических тел, а также его поведение в области вне
пластин в зависимости от расстояния между ними. Был также проведен расчет распределения плотности зарядов на поверхности металлических тел
различной формы, помещенных в неоднородное электростатическое поле.
Было проиллюстрировано влияние металлических экранов на поле двух
разноименно заряженных цилиндров. Результаты расчетов представлены в
виде линейных и контурных графиков, векторных полей и анимационных
файлов.
Проведенные расчеты показали, что ANSYS является удобным средством для анализа электростатических полей. В нем можно решать задачи и
непосредственно из графического интерфейса, и путем написания программ
на языке APDL. ANSYS предоставляет широкие возможности построения
геометрических моделей. Он содержит большое число команд, позволяющих строить различные геометрические объекты, проводить над ними лог ические операции и операции масштабирования. В состав данного пакета
входит удобный инструмент построения и реформирования сетки. ANSYS
позволяет детально анализировать результаты решения задачи путе м построения контурных графиков и векторных полей. Мы можем анализировать решение в любой интересующей нас части модели, в том числе в произвольном узле сетки, выводить решение вдоль выбранного пути или в сечении модели. Таким образом, ANSYS может быть применен как для решения учебных задач, так и для проведения сложных практических расч етов.
Руководитель: декан физического факультета СПбГУ – Чирцов А.С.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сивухин Д.В. Курс общей физики. Электричество. М., 1979.
2. А.Б. Каплун и др. ANSYS в руках инженера. М., 2003.