МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ «МОСКОВСКИЙ НОВЫЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

Негосударственное образовательное частное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ НОВЫЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Уровень основной образовательной программы
Бакалавриат
Направление подготовки
080200.62 Менеджмент, 080100.62Экономика
Формы обучения
Очная, очно-заочная, заочная
Срок освоения ООП
Нормативный
Кафедра
Менеджмента
МОСКВА, 2013
При разработке учебно-методического комплекса в основу положены:
- ФГОС ВПО по направлению подготовки 080200 «Менеджмент» (квалификация (степень)
"бакалавр"), утвержденный Министерством образования и науки РФ от 20 мая 2010 г. N 544;
ФГОС ВПО по направлению подготовки 080100 «Экономика» (квалификация (степень)
"бакалавр"), утвержденный Министерством образования и науки РФ от 21 декабря 2009 г. N 747;
- Учебные планы по направлениям подготовки (бакалавриат) Менеджмент, одобренные
Ученым советом НОЧУ ВПО «МНЮИ» от «17» мая 2012 г. Протокол № 8
- Учебные планы по направлениям подготовки (бакалавриат) Экономика, одобренные
Ученым советом НОЧУ ВПО «МНЮИ» от «17» мая 2012 г. Протокол № 8
Учебно-методический комплекс одобрен и рекомендован к опубликованию Учебно-методическим
советом Протокол №1 от 24 января 2013года
Разработчики: В.Н.Махалин, к.э.н. , доцент, Н.Н.Бурлаков, к.э.н. , доцент.
Рецензент: В.В.Горяинов , к.э.н, старший научный сотрудник
Настоящий учебно-методический комплекс является собственностью МНЮИ и не может
быть использован другими вузами и иными структурами без разрешения МНЮИ.
Программа составлена с использованием справочно-правовой системы «Консультант
плюс».
© МНЮИ
2
Оглавление
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ………………….. ........................................................................ 4
1.1 Цель и задачи освоения учебной дисциплины ........................................................................... 4
1.2.Дидактические единицы содержания учебного курса ............................................................... 5
1.3. Место учебной дисциплины в структуре ООП ......................................................................... 5
1.3.3.Объем и виды учебной работы по дисциплине ....................................................................... 6
1.4. Требования к результатам освоения компетенций ................................................................... 6
РАЗДЕЛ 2. ФОРМИРОВАНИЕ КОМПЕТЕНЦИЙ ............................................................................. 9
2.1. Состав образовательных технологий по дисциплине ............................................................... 9
2.2.
Формирования компонентов компетенций ...................................................................... 10
2.3. Состав, содержание и методика реализации активных и интерактивных
образовательных технологий, применяемых при изучении дисциплины ................................... 16
РАЗДЕЛ 3. ОЦЕНКА УРОВНЯ ОСВОЕНИЯ КОМПЕТЕНЦИЙ. ТЕКУЩИЙ И
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ. ФОНДЫ
ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ………………….. ........................................................................ 16
3.1. Оценочные средства и сроки их реализации ......................................................................... 16
3.2. Описание образовательных и оценочных технологий и методические рекомендации
преподавателям по их реализации ................................................................................................... 21
3.3 Перечень вопросов к экзамену ................................................................................................... 23
3.4. Порядок ликвидации задолженности ....................................................................................... 24
РАЗДЕЛ 4. ОРГАНИЗАЦИЯ ВХОДНОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ
СТУДЕНТОВ……………………………. .............................................................................. 25
4.1. Технология входного контроля ................................................................................................ 25
4.2 Примерный перечень вопросов оценки знаний при входном контроле ................................ 25
РАЗДЕЛ 5. ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ КУРСА ............................................................................... 29
5.1.Тематический план курса для студентов очной формы обучения ......................................... 29
направление подготовки: «Менеджмент» (бакалавриат), ............................................................ 29
направление подготовки: «Экономика» (бакалавриат), ............................................................... 29
5.2. Тематический план курса для студентов очно-заочной формы обучения ......................... 30
5.3. Тематический план курса для студентов очно-заочной формы обучения ......................... 30
направление подготовки: «Экономика» (бакалавриат), ............................................................... 30
5.4.Тематический план курса для студентов заочной формы обучения ...................................... 31
РАЗДЕЛ 6. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ............................................... 32
РАЗДЕЛ 7. ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ...................................... 34
7.1.Семинарские и практические занятия для студентов очной формы обучения .................. 34
7.2. Семинарские и практические занятия для студентов очно-заочной формы обучения .... 38
7.3. Семинарские и практические занятия для студентов заочной формы обучения ............. 43
РАЗДЕЛ 8. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ (CРC)................ 47
8.1. Таблица распределения времени, выделенного на самостоятельную работу ..................... 47
Очная форма обучения (для всех направлений подготовки) ....................................................... 47
Очно-заочная форма обучения Направление – «Менеджмент» .................................................. 47
Очно-заочная форма обучения Направление – «Экономика» ..................................................... 48
Заочная форма обучения (для всех направлений подготовки) .................................................... 48
8.2.Задания на самостоятельную работу ......................................................................................... 48
РАЗДЕЛ 9. ПРАКТИКУМ…………………………............................................................................. 52
РАЗДЕЛ 10. ИСТОЧНИКИ……………………….. ............................................................................. 81
РАЗДЕЛ 11. ГЛОССАРИЙ (СЛОВАРЬ…………….) ........................................................................ 81
РАЗДЕЛ 12. НАБОР ИЛЛЮСТРАЦИЙ, ГРАФИКОВ, СХЕМ, ФОТОГРАФИЙ ........................... 96
3
РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1 Цель и задачи освоения учебной дисциплины
Целью изучения данной дисциплины является реализация требований к освоению
соответствующих компонентов профессиональных компетенций ПК-31, ПК-32 (направление
«Менеджмент») и ПК-10, ПК-13 (направление «Экономика»), на основе
формирования у
студентов системных теоретических знаний, умений и практических навыков при овладении
основными базовыми понятиями и методами оптимальных решений, применения изученных
методов к решению конкретных управленческих задач.
Требования к результатам освоения учебной дисциплины изложены в разделе 1.3
настоящего УМК.
К целям курса "Методы оптимальных решений" относятся следующие:

усвоение студентами современных подходов к разработке и принятию
управленческих решений;

умения применять математический аппарат для исследования и решения
экономических и управленческих проблем;

овладение методологией разработки решений и способами их обоснования в
условиях определенности, риска и неопределенности;

формирование навыков по обработке полученных данных и результатов при
исследовании и решении экономических проблем;

усвоение студентами теоретических знаний и приобретение элементарных
практических навыков по формулированию прикладных экономико-математических моделей;

овладение методами анализа и использованию полученных знаний и навыков для
разработки и принятия управленческих решений;

приобретение студентами навыков анализа проблемных ситуаций в деятельности
социально-экономических систем (предприятий, фирм, учреждений и др.);
Задачи освоения учебной дисциплины

ознакомить студентов с сущностью, познавательными возможностями и
практическим значением моделирования как одного из научных методов познания реальности;

ознакомить студентов с наиболее распространёнными математическими методами,
используемыми в экономико-математическом моделировании;

сформировать навыки принятия управленческого решения с применением моделей и
использованием вычислительной техник;

научить студентов интерпретации результатов экономико-математического
моделирования и применять их для обоснования управленческих решений;

сформировать основу для дальнейшего самостоятельного изучения приложений
экономико-математического моделирования в процессе профессиональной деятельности.
В результате изучения дисциплины студент должен:

освоить и знать основные математические методы анализа принятия решения;

получить практические навыки разработки, выбора и обоснования рациональных
вариантов действий при решении практических задач;
4

получить практические навыки разработки, выбора и обоснования вариантов
эффективных хозяйственных решений в условиях неопределенности и риска;

получить практические навыки выбора и принятия оптимальных управленческих
решений с использованием экономико-математических моделей;

иметь представление о проблематике и перспективах развития теории принятия
решений

уметь самостоятельно находить и использовать дополнительную необходимую
информацию в данной предметной области.

уметь систематизировать и обобщать информацию, необходимую для принятия
управленческих решений;
Программа курса «Методы оптимальных решений» должна ознакомить студента с
используемым понятийным аппаратом дисциплины, с процессом разработки, принятия и оценки
управленческих решений на базе системной концепции и экономико-математических методов.
1.2. Дидактические единицы содержания учебного курса
Исходя из цели изучения данной дисциплины, подлежат освоению следующие
дидактические единицы:
линейное и целочисленное программирование; графический метод и симплекс-метод
решения задач линейного программирования; динамическое программирование; рекуррентные
соотношения Беллмана; математическая теория оптимального управления; матричные игры;
кооперативные игры; игры с природой; плоские графы; эйлеровы графы; гамильтоновы графы;
орграфы; сетевые графики; сети Петри; марковские процессы; задачи анализа замкнутых и
разомкнутых систем массового обслуживания.
Указанные дидактические единицы положены в основу рабочей учебной программы
дисциплины.
1.3. Место учебной дисциплины в структуре ООП
Учебная дисциплина «МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ» относится к
базовой (обязательной) части математического цикла в структуре основной профессиональной
образовательной программы. Настоящий УМК составлен для подготовки студентов, обучающихся
по направлениям подготовки: «Менеджмент» (бакалавриат), профиль «Финансовый
менеджмент», и «Экономика» (бакалавриат), профили «Финансы и кредит» и «Бухгалтерский
анализ, учёт и аудит».
1.3.1. Знания, умения и навыки, формируемые предшествующими дисциплинами
Для изучения учебной дисциплины необходимы следующие знания, умения и навыки,
формируемые предшествующими дисциплинами. Для изучения курса требуется знание базовой
части курса Математики, Математического анализа, Линейной алгебры, Теории вероятности.
1.3.2. Перечень последующих учебных дисциплин, для которых необходимы знания, умения
и навыки, формируемые данной учебной дисциплиной:
Теоретические знания, полученные при изучении данной дисциплины, будут необходимы
при последующем изучении таких дисциплин, как:
Методы принятия управленческих решений;
Исследования систем управления;
Эконометрика;
Статистика;
5
Финансы;
Маркетинг;
Финансовый менеджмент
Бизнес-планирование
1.3.3.Объем и виды учебной работы по дисциплине
направление подготовки: «Менеджмент» (бакалавриат),
ООП
Менеджмент
Менеджмент
Менеджмент
Код
дисны
по
УП
Б.2.В.1
Трудоемкость
ЗЕТ часы
Аудиторные часы
всего
из них:
ПЗ* кур
с.
раб.
очная форма обучения – 6-ой семестр
4
144
54
18
36/20
лекц.
*
зачет
очно-заочная форма обучения – 6-ый семестр
Б.2.В.1
4
144
32
16
16/12
заочная форма обучения – 7-ая сессия
Б.2.В.1
4
144
10
4
6/4
-
Самост Экза.
мен
работа (ча(часы)
сы)
54
36
76
36
125
9
направление подготовки: «Экономика» (бакалавриат),
ООП
Экономика
Экономика
Экономика
Код
дисны
по
УП
Трудоемкость
ЗЕТ часы
Аудиторные часы
всего
из них:
лекц. ПЗ* кур зачет
*
с.
раб.
очная форма обучения – 6-ой семестр
Б2.Б.4
4
144
54
18
36/20
очно-заочная форма обучения – 6 - ой семестр
Б2.Б.4
4
144
20
8
12/8
заочная форма обучения – 9-ая сессия
Б2.Б.4
4
144
10
4
6/4
-
Самост Экза.
мен
работа (ча(часы)
сы)
54
36
88
36
125
9
Примечание:
1.
«*» в числителе указываются общие часы занятий, в знаменателе –интерактивных
занятий.
1.4. Требования к результатам освоения компетенций
В результате изучения дисциплины студенты должны освоить:
1.4.1
Требования к освоению компонентов компетенции ПК-31
(направление «Менеджмент»)
Знать:
 основные математические методы анализа принятия решения
 количественные и качественные методы анализа
 методы оптимального управления по Беллману
6
Уметь:

анализировать обоснованность управляющих решений
количественных и качественных методов
 разрабатывать модели принятия управляющих решений
Владеть:


с
использованием
приёмами выбора наилучшего управляющего решения
навыками применения математических методов оптимизации
1.4.2. Требования к освоению компонентов компетенции ПК-32
(направление «Менеджмент»)
Знать:


основные математические методы анализа принятия решения ;
основные методы построения экономико-математических моделей организационных
систем
 варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием
экономико-математических моделей;
Уметь:

анализировать обоснованность управленческих решений с использованием
количественных и качественных методов
 использовать влияние информационных технологий на менеджмент организации
 находить решения в условиях ограниченных ресурсов
 использовать влияние информационных технологий на увеличение эффективности
труда персонала, управление знаниями в компании и др.
Владеть:



навыками применения математических методов оптимизации
приёмами распределения работ по исполнителям и контроля за реализацией
конкретной управленческой задачи
оптимальными методами решения задач линейного программирования
1.4.3. Требования к освоению компонентов компетенции ПК-10
(направление «Экономика»)
Знать:


современные информационные технологии
методы оптимизации экономических задач
Уметь:

осуществлять поиск информации, сбор, анализ данных, необходимых для решения
аналитических и исследовательских задач
 использовать экономико-математические методы и модели, связанные с решением
оптимизационных задач,
Владеть:
 методикой использования для решения аналитических и исследовательских задач
современных технических средств и пакетов прикладных программ
 навыками решения оптимизационных задач с использованием различных методов
7
1.4.4. Требования к освоению компонентов компетенции ПК-13
(направление «Экономика»)
Знать:


методики оценки вариантов управленческих решений
основные математические методы анализа принятия решения ;
Уметь:


выявлять проблемы, предлагать способы их решения
применять методы поиска оптимальных решений для задач и моделей различного
класса;
Владеть:


приёмами выбора наилучшего управляющего решения
инструментами обоснования принятых управленческих решений с учетом критериев
социально-экономической эффективности, рисков и возможных социальноэкономических последствий
1.4.5 Требования (знания, умения, навыки) к освоению дисциплины
Исходя из цели курса в результате изучения дисциплины студенты должны:
Знать:

основные понятия, определения, теоремы и их следствия и постановку задач
линейного программирования (ЛП), примеры экономических задач;

графический и симплексный методы решения задач ЛП;

понятие двойственности в ЛП, теоремы двойственности;

алгоритм решения транспортной задачи;

решение задач теории игр;

алгоритм решения задачи нелинейного программирования;

алгоритм решения задачи динамического программирования;

задачи планирования и оптимизации на графах.

основные принципы и типы математических моделей, используемых при описании
сложных систем, принятии и анализе решений;

сложившуюся, к настоящему времени, типизацию и классификацию таких моделей,
систем, задач, методов;
Уметь:

выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия
решений с использованием экономико-математических моделей

квалифицированно применять изученные методы при решении прикладных задач
управленческого и экономического содержания;

составлять математические модели экономических задач, приводящих к задачам
линейного программирования (ЛП), целочисленного, параметрического линейного, нелинейного,
динамического программирования;

решать задачи ЛП симплекс-методом, двойственным симплекс-методом;

решать транспортные задачи;

составлять платежные матрицы и решать задачи по теории игр графическим
методом, симплекс-методом;
8

решать задачи целочисленного программирования графическим методом и методом
Гомори;

решать задачи параметрического программирования (в том числе параметрическую
транспортную задачу);

решать задачу нелинейного программирования графическим способом;

решать задачу дробно-линейного программирования методом Лагранжа;

решать задачу динамического программирования с помощью уравнений Беллмана;

решать задачи оптимизации на графах: находить кратчайшие расстояния между
вершинами графа, минимальное остовное дерево, минимальный гамильтонов цикл;

строить сетевые графики, производить расчет временных характеристик.
Владеть:

представлением о проблематике и перспективах развития теории принятия решений
как одного из важнейших направлений, связанных с созданием и внедрением новых
информационных технологий

умением и навыками исследования, решения и применения задач линейного,
целочисленного и динамического программирования;

умением и навыками исследования, решения и применения задач теории
оптимального управления и массового обслуживания.

умением и навыками составления математической модели задачи линейного
программирования и перехода от одной формы записи задачи ЛП к другой;

умением и навыками составления двойственной задачи линейного
программирования;

умением и навыками решения транспортной задачи;

умением и навыками решения задачи целочисленного программирования;

умением и навыками решения задачи параметрического программирования;

решения парных игр с нулевой суммой;

умением и навыками решения задачи нелинейного программирования;

умением и навыками решения задачи динамического программирования;

умением и навыками использования теории графов при решении практических
задач.
РАЗДЕЛ 2. ФОРМИРОВАНИЕ КОМПЕТЕНЦИЙ
2.1. Состав образовательных технологий по дисциплине
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки «Менеджмент» и
«Экономика», реализация компетентностного подхода предусматривает использование в
учебном процессе традиционных, активных и интерактивных форм проведения занятий в
сочетании с внеаудиторной работой студентов.
По данной учебной дисциплине предусмотрены следующие образовательные технологии:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
лекции;
активные / интерактивные формы практических занятий;
практические занятия в традиционной форме;
подготовка к контрольной работе и тестированию
самостоятельная работа;
подготовка к экзамену;
При проведении практических занятий в активной / интерактивной
использоваться следующие формы:
9
форме могут
«Группа шума» – небольшая группа студентов, которая, прерывая обычный ход занятия,
дискутирует с преподавателем.
Деловая игра – метод имитации (подражания, изображения) принятия решений
руководящими работниками или специалистами в различных производственных ситуациях (в
учебном процессе – в искусственно созданных ситуациях), осуществляемый по заданным
правилам группой людей в диалоговом режиме (тема 3-8)..
«Деловая корзина» – коллективная проработка и анализ решений заданий, которые
студенты сначала по очереди вынимают из «корзины» и решают самостоятельно. Метод
активизирует студентов и ориентирует их на самостоятельное решение различных проблем в
исследовательской деятельности.
Дискуссия – обсуждение спорного вопроса, обмен мнениями, идеями между двумя и более
лицами. Цель метода обнаружить различия в понимании проблемы и ее решения, определить
правильные подходы к решению задачи и прийти к единой точке зрения (тема 8)
Доклад-презентация – публичное сообщение, представляющее собой развѐрнутое
изложение определѐнной темы, вопроса программы (темы 1-8). В процессе обучения
рекомендуется использование мультимедийных докладов в форме презентаций как при
проведении лекций преподавателями, так и на практических занятиях студентами в виде докладов
по отдельным проблемным вопросам тематики дисциплины.
Занятие-исследование – практическое занятие, в ходе которого студенты проверяют и
подтверждают теоретические результаты (тема 3).
«Круглый стол» – научный семинар, на котором студенты делают доклады по
определенной теме, презентации, после чего задаются вопросы и происходит обсуждение данной
проблематики (по результатам прохождения раздела). Разновидностью этой формы работы
является «Виртуальный круглый стол», который проводится с применением интернеттехнологий.
Метод «мозгового штурма» – метод обучения, в ходе которого студенты делятся на две
группы: генераторов идей и критиков (тема 7).
Может также применяться так называемый «Метод обратного мозгового штурма», где
группой воспроизводится способ доказательства «от противного».
Тестовое задание – минимальная составляющая единица теста, которая состоит из условия
(вопроса) и, в зависимости от типа задания, может содержать (закрытый тест) или не содержать
набор ответов для выбора (открытый тест). Можно использовать тесты как итоговую или
промежуточную форму контроля, выполненные на бумажных или электронных носителях, а также
в режиме on-line (темы 1-8).
Методические рекомендации для преподавателей и студентов
образовательных технологий изложены в разделах 3.2 и 9 настоящего УМК.
по
реализации
2.2. Формирования компонентов компетенций
Образовательные технологии по освоению компетенций и схема формирования знаний,
умений и навыков приведены в таблице №2.
10
Таблица № 2.
Образовательные технологии по освоению компетенций
Образовательные технологии
по освоению соответствующих компонентов компетенций
Компоненты
компетенций, подлежащие
освоению при изучении
дисциплины
Условные обозначения форм обучения:
О-очная форма обучения; ОЗ-очно-заочная форма обучения; З-заочная форма обучения
Лекции
(Л)
Семинарские и
практические
занятия (ПЗ)
Задания на
самостоятельную
работу
подготовка к
контрольной
работе и
тестированию
Интерактивная
лекция
Подготовка к
экзамену
Компетенция ПК-31
(направление «Менеджмент»)
Знать:
1. Количественные и
качественные методы анализа
2. Методы оптимального
управления по Беллману
Уметь:
1. Анализировать
обоснованность УР с
использованием количественных
и качественных методов
Владеть:
1. Приёмами выбора наилучшего
УР
Лекции по темам
№№ 1-8 для всех
форм обучения
О-ПЗ №1;
ОЗ-ПЗ №1-8
З-ПЗ№1-5
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
Лекции по темам
№№ 1-8 для всех
форм обучения
О-ПЗ №1;
ОЗ-ПЗ №1-2
З-ПЗ№1
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
О-ПЗ №№1-8
ОЗ-ПЗ №1-8
З-ПЗ№1-6
+
+
+
+
Задания на СРС по
темам №№1-5 для
всех форм обучения
Компетенция ПК-32
(направление «Менеджмент»)
Знать:
1. Обеспечение
информационными системами
текущих операций и процессов
принятия УР
2. Основные методы построения
экономико-математических
моделей организационных
систем
Уметь:
1. Использовать, путём
адаптации, информационные
системы (модели) для решения
конкретных управленческих
задач: планирование ресурсов
компании и управление
взаимоотношениями с
покупателями, влияние
информационных технологий на
менеджмент
Владеть:
1. Методами оценки
адаптированных
информационных систем
(моделей) для решения
конкретных управленческих
задач
2. Оптимальными методами
решения задач линейного
программирования
12
Лекции по темам
№№ 1-8 для всех
форм обучения
О-ПЗ №№1-8
ОЗ-ПЗ №1-8
З-ПЗ№1-6
+
+
+
+
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
1
Лекции по темам
№№ 1-8 для всех
форм обучения
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
О-ПЗ №№1-8
ОЗ-ПЗ №1-8
З-ПЗ№1-6
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
+
+
Компетенция ПК-10
(направление «Экономика»)
Знать:
 Возможности
современных технических
средств сбора, передачи и
обработки информации
 Методы оптимизации
экономических задач
Уметь:
 Использовать для
решения аналитических и
исследовательских задач
современные технические
средства и информационные
технологии
 Осуществлять поиск
информации, сбор, анализ
данных, необходимых для
решения аналитических и
исследовательских задач
 Пользоваться методами
оптимизации и нахождения
экстремумов
Владеть:
 Методикой
использования для решения
аналитических и
исследовательских задач
современных технических
средств и информационных
технологий
 Современными методами
обработки данных в
13
Лекции по темам
№№ 1-8 для всех
форм обучения
Лекции по темам
№№ 1-8 для всех
форм обучения
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
О-ПЗ №№1-8
ОЗ-ПЗ №1-8
З-ПЗ№1-6
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
О-ПЗ №№1-8
ОЗ-ПЗ №1-8
З-ПЗ№1-6
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
+
+
+
+
аналитической и
исследовательской работе
Компетенция ПК-13
(направление «Экономика»)
Знать:
 методики оценки
вариантов управленческих
решений
Уметь:
 Выявлять проблемы
экономического характера при
анализе конкретных ситуаций,
предлагать способы их решения с
учетом критериев социальноэкономической эффективности,
оценки рисков и возможных
социально-экономических
последствий
 Выявлять проблемы
экономического характера при
анализе конкретных варианты
управленческих решений,
предлагать способы их решения
14
Лекции по темам
№№ 1-8 для всех
форм обучения
Лекции по темам
№№ 1-8 для всех
форм обучения
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
О-ПЗ №№1-8
ОЗ-ПЗ №1-8
З-ПЗ№1-6
Задания на СРС по
темам №№1-8 для
всех форм обучения
+
+
+
+
Владеть:
 Инструментами
О-ПЗ №№1-5
обоснования предложений по
ОЗ-ПЗ №1-5
Задания на СРС по
+
+
совершенствованию
З-ПЗ№1-3
темам №№1-8 для
управленческих решений с
всех форм обучения
учетом критериев социальноэкономической эффективности,
рисков и возможных социальноэкономических последствий
Примечания к таблице 3:
1. Знаком «+» обозначен виды учебной работы по освоению соответствующего компонента компетенции. В ячейках текст
обозначает форму обучения и номера лекций, практических занятий и тем СРС.
2. Содержание подготовки курсовой работы, подготовки к экзамену приведены в соответствующих разделах настоящего УМК и
являются едиными для всех форм обучения.
15
2.3. Состав, содержание и методика реализации активных и интерактивных
образовательных технологий, применяемых при изучении дисциплины
Состав, содержание и сроки реализации активных и интерактивных образовательных
технологий по формам обучения приведены в планах семинарских и практических занятий.
2.3.1. Методика реализации активных и интерактивных
образовательных технологий
Активное обучение студентов по данной дисциплине обеспечивается диалоговым
взаимодействием преподавателя и студентов с целью формирования практических навыков
освоения дисциплины.
Задачи и методика реализации активного и интерактивного обучения по дисциплине
изложены в планах практических занятий. Тематические тренинги построены на задачах,
ситуациях, вопросах, обсуждениях проблем.
Методика проведения тренинга предусматривает наличие общей программы тренинга,
подготовленной преподавателем, рабочего сценария тренинга, набора заданий и задач для
отработки, набора раздаточных материалов. Вводная часть тренинга составляет не более 10 минут
от всего времени занятия и предназначена для определения и разъяснения преподавателем
конкретных условий модели тренинга.
Цель и содержание практических занятий в активной форме изложены в планах проведения
практических занятий (раздел №7 настоящего УМК).
План тренинга включает:
1.
Подготовленные преподавателем варианты задания по каждой теме практического
занятия с четко определенной предметной областью работы и практической направленностью.
2.
Отчетность студентов по выполнению задания.
3.
Обзор проведенного тренинга.
4.
Зачет по результатам тренинга.
Все практические занятия предусматривают вводные установки преподавателя по теме
(или нескольким темам) занятия в течение до 10 минут с целью определения и разъяснения
основных задач практического занятия, однозначности интерпретации содержания финансовоучетных категорий и методологических
основ бухгалтерского финансового учета и анализа
применительно к теме практического занятия.
РАЗДЕЛ 3. ОЦЕНКА УРОВНЯ ОСВОЕНИЯ КОМПЕТЕНЦИЙ. ТЕКУЩИЙ И
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ. ФОНДЫ
ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
3.1. Оценочные средства и сроки их реализации
Основной задачей оценочных средств является контроль и управление процессом
приобретения студентами необходимых знаний, умений и навыков, определенных стандартом.
Оценочные средства для контроля знаний, умений и навыков, формируемых дисциплиной ,
оцениваемые компоненты компетенций и сроки проведения оценочных процедур отражены в
таблице 4..
Текущий контроль по дисциплине включает в себя оценку знаний на практических и
семинарских занятиях, оценку выполнения тестовых заданий, а также оценку самостоятельной
работы студентов.
Промежуточный контроль проводится в форме экзамена.
Таблица 3.
Технология оценки уровня освоения компетенций по формам обучения
Оценочные средства, технология и сроки их реализации
Условные обозначения форм и видов обучения:
О-очная форма обучения; ОЗ-очно-заочная форма обучения; З-заочная форма обучения
ПЗ – практическое занятие
Оцениваемые
компоненты компетенций
Контрольная
работа
О - на ПЗ
№3,4,6,8
ОЗ -на ПЗ
№3,4;6
З - на ПЗ
№2,4
(см.раздел
№.3.2.2 УМК)
Оценка
самостоятельной
работы студентов
(На всех ПЗ
для всех
форм
обучения)
Тест по темам
№1 - 4
О-на ПЗ №2,5,7
ОЗ-на ПЗ №5,7
З-на ПЗ №3,5
(см.раздел 3.2.4
УМК)
(см. раздел
№3.2.3 УМК)
Защита
курсовой
работы
Зачет
О-по
расписанию
ОЗ-на последнем ПЗ
З-на последнем ПЗ
Экзамен по
дисциплине
для всех форм
обучения
(согласно
расписанию)
(см.раздел
3.2.5
УМК)
Компетенция ПК-32
(направление «Менеджмент»)
Знать:
1. Количественные и качественные методы
анализа
2. Методы оптимального управления по
Беллману
Уметь:
1. Анализировать обоснованность УР с
использованием количественных и
качественных методов
Владеть:
1. Приёмами выбора наилучшего УР
+
+
+
+
+
+
+
+
Знать:
1. Обеспечение информационными системами
текущих операций и процессов принятия УР
2. Основные методы построения экономикоматематических моделей организационных
систем
Уметь:
1. Использовать, путём адаптации,
информационные системы (модели) для
решения конкретных управленческих задач:
планирование ресурсов компании и управление
взаимоотношениями с покупателями, влияние
информационных технологий на менеджмент
Владеть:
1. Методами оценки адаптированных
информационных систем (моделей) для
решения конкретных управленческих задач
2. Оптимальными методами решения задач
линейного программирования
Знать:
 Возможности современных технических
средств сбора, передачи и обработки
информации
 Методы оптимизации экономических
задач
Уметь:
 Использовать для решения
аналитических и исследовательских задач
современные технические средства и
информационные технологии
18
Компетенция ПК-32
(направление «Менеджмент»)
+
+
+
+
+
+
+
Компетенция ПК-10
(направление «Экономика»)
+
+
+
+
+
+
 Осуществлять поиск информации, сбор,
анализ данных, необходимых для решения
аналитических и исследовательских задач
 Пользоваться методами оптимизации и
нахождения экстремумов
Владеть:
 Методикой использования для решения
аналитических и исследовательских задач
современных технических средств и
информационных технологий
 Современными методами обработки
данных в аналитической и исследовательской
работе
Знать:
 методики оценки вариантов
управленческих решений
+
Компетенция ПК-13
(направление «Экономика»)
+
+
+
+
Уметь:
 Выявлять проблемы экономического
характера при анализе конкретных ситуаций,
предлагать способы их решения с учетом
критериев социально-экономической
эффективности, оценки рисков и возможных
социально-экономических последствий
 Выявлять проблемы экономического
характера при анализе конкретных варианты
управленческих решений, предлагать способы
их решения
+
+
Владеть:
 Инструментами обоснования
предложений по совершенствованию
+
+
19
управленческих решений с учетом критериев
социально-экономической эффективности,
рисков и возможных социально-экономических
последствий
Примечания к табл. 3:
1. Знаком «+» обозначен соответствующий компонент компетенции, оцениваемый указанным в таблице оценочным средством.
Уровень освоения студентами компонентов компетенций оценивается отметкой в журнале Учета занятий студентов «зачтено» или
«незачтено».
2. Текущий контроль знаний, умений и навыков студентов по дисциплине, предусмотренный планом семинарских и практических
занятий, осуществляется на всех аудиторных семинарских и практических занятиях, независимо от проведения оценочных
процедур.
20
3.2. Описание образовательных и оценочных технологий и методические рекомендации
преподавателям по их реализации
3.2.1.Оценка знаний, умений и навыков студентов на семинарских и практических
занятиях.
Текущий контроль представляет собой регулярно осуществляемую проверку усвоения
учебного материала.
Данная оценка предполагает систематичность, непосредственно
коррелирующуюся с требованием постоянного и непрерывного мониторинга качества обучения, а
также необходимость балльной оценки успеваемости студента.
Семинарские и практические занятия , как правило, должны проводиться в активном и
интерактивном режиме. Оценка
знаний, умений и навыков осуществляется на всех
семинарских и практических занятиях по всем
формам обучения в соответствии с целями и
задачами занятия. Контроль может проводиться в начале, в ходе отработки основной части и в
заключительной части занятия.
Контроль, проводимый в начале занятия, имеет целью проверку качества самостоятельной
работы студентов по соответствующей теме практического занятия, а также усвоения основных
положений ранее пройденного учебного материала, необходимых для усвоения вопросов данного
занятия.
Контроль, проводимый в ходе основной части занятия, должен обеспечить проверку не
только хода и качества усвоения учебного материала, но и развитие у студентов творческого
мышления.
Контроль, проводимый в заключительной части занятия, осуществляется в случаях, когда
оценку качества усвоения материала можно дать после его полного изложения.
Планы семинарских и практических занятий предусматривают перечни вопросов к
обсуждению, подготовку докладов и сообщений студентов по темам занятий, решение
практических задач и тренинги.
Текущий контроль знаний, умений и навыков осуществляется преподавателем по
пятибалльной шкале с выставлением оценки в журнале учета занятий.
3.2.2.Оценка выполнения студентами письменных (контрольных) работ.
Контрольная работа проводится после изучения программы дисциплине для студентов
всех форм обучения. Контрольная работа является индивидуальной для каждого студента,
состоит из вопроса по приведенной ниже примерной тематике, которая может быть дополнена
преподавателем. Контрольная работа проводится на практическом занятии в течение 20 минут с
выставлением оценки в журнале «зачтено» или «не зачтено».
Примерная тематика письменных (контрольных) работ
1. Что такое математическая модель и математическое моделирование?
2. Основные понятия, связанные с математическим моделированием (операция, управление
операцией, решение, показатель качества, критерий оптимальности).
3. Допустимые решения, оптимизация, оптимальное решение.
4. Классификация математических моделей.
5. Линейная балансовая модель. Смысл коэффициентов прямых материальных затрат.
6. Балансовые уравнения в стоимостном выражении.
7. Уравнения баланса цен.
8. Табличное описание межотраслевых связей.
9. Решение линейных балансовых уравнений методами линейной алгебры.
10. Характеристика коэффициентов совокупного потребления.
11. Разрешимость уравнений балансовой модели.
12. Балансовые уравнения с учетом различных способов производства.
13. Определение показателей занятости, затрат ресурсов и других характеристик балансовой
модели.
14. Постановка задачи линейного программирования (на примерах).
15. Графическое решение задачи линейного программирования с двумя переменными.
16. Переход от исходной к основной задаче линейного программирования и обратно.
17. Допустимые и оптимальные решения. Область допустимых решений.
18. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух
свободных переменных.
19. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
20. Двойственная задача линейного программирования. Соотношения между решениями
исходной и двойственной задач.
21. Экономическая интерпретация двойственной задачи и ее решения.
22. Параметрическая задача линейного программирования. Чувствительность оптимального
значения целевой функции по отношению к ограничениям на ресурсы. Лимитирующие и
нелимитирующие ресурсы.
23. Транспортная задача с правильным балансом по критерию стоимости перевозок.
24. Допустимый, опорный и оптимальный планы транспортной задачи. Транспортная таблица.
25. Решение транспортной задачи распределительным методом.
26. Метод потенциалов решения транспортной задачи.
27. Транспортная задача с неправильным балансом.
28. Задача на безусловный экстремум. Необходимые условия оптимальности.
29. Типы стационарных точек функции двух переменных.
30. Достаточные условия экстремума функции n переменных.
31. Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум с ограничениями в форме
равенств.
32. Достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа в случае n=2, m=1. Экономический
смысл множителя Лагранжа.
33. Динамическая балансовая модель.
34. Динамическое программирование
35. Задачи целочисленного программирования.
36.
3.2.3.Оценка самостоятельной работы студентов (СРС).
Самостоятельная работа студентов предусмотрена программой для всех форм обучения и
организуется в соответствии с разделом 8 УМК. Контроль выполнения заданий на СРС
осуществляется преподавателем на каждом семинарском и практическом занятии (кроме
студентов заочной формы обучения, для которых контроль СРС организуется перед зачетно экзаменационной сессией. Итоговая оценка СРС по пятибалльной системе выставляется в
журнале учебных занятий и учитывается при аттестации студентов по дисциплине в период
зачетно - экзаменационной сессии.
3.2.4. Тестирование по результатам изучения тем № 1-8 дисциплины
Данное тестирование ставит целью оценить уровень освоения студентами изученных тем, а
также знаний и умений, предусмотренных компетенциями .Тестирование проводится для
студентов всех форм обучения в письменной форме на бумажных носителях в течение 20 минут .
22
В качестве оценочных фондов для тестирования используются тесты, приведенные в
разделе «Практикум» настоящего УМК. Преподаватель вправе дополнить перечень указанных
тестов.
Каждый студент получает бланк с тестовыми материалами (5-10 тестовых заданий ) и
письменно готовит ответы на поставленные задания (путем подчеркивания выбранного ответа).
По истечении 20 минут преподаватель анализирует и оценивает выполненные студентами задания.
По результатам тестирования преподавателем в журнале учета занятий каждому студенту
выставляется оценка «зачтено» или «не зачтено».
3.2.5.Экзамен
Экзамен служит для оценки работы студента в течение всего срока обучения и призван
выявить уровень, прочность и систематичность полученных им теоретических и практических
знаний, приобретения навыков самостоятельной работы, развития творческого мышления, умение
синтезировать полученные знания и применять их в решении практических задач. По итогам
экзамена выставляется оценка по шкале: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно»,
«неудовлетворительно».
Экзаменационные билеты включают в себя два вопроса. Перечень вопросов к экзамену
изложен ниже, а варианты экзаменационных задач – в разделе «Практикум» УМК
Критерии оценки знаний
Оценка определяется следующими четырьмя составляющими:
- результатами ответа на 1-й вопрос;
- результатами ответа на 2-й вопрос;
- результатами ответов на дополнительные вопросы.
При этом учитывается текущая успеваемость, посещаемость занятий и выполнение
заданий на самостоятельную работу.
Результаты экзамена оцениваются:
«отлично» - при наличии у студента глубоких, исчерпывающих знаний, грамотном и
логически стройном построении ответа по направлениям дисциплины:
«хорошо» - при наличии твердых и достаточно полных знаний, логически стройном
построении ответа при незначительных ошибках.
«удовлетворительно» - при наличии твердых знаний, изложении ответа с ошибками,
уверенно исправленными после наводящих вопросов по изложенным выше вопросам.
«неудовлетворительно» - при наличии грубых ошибок в ответе, непонимании сущности
излагаемого вопроса, неуверенности и неточности ответов после наводящих вопросов по вопросам
изучаемой дисциплины.
Оценка выставляется в экзаменационной ведомости
3.3 Перечень вопросов к экзамену
1. Важнейшие математические понятия
2. Векторное пространство
3. Множества векторного пространства
4. Функции нескольких переменных
5. Дифференцируемые функции нескольких переменных
6. Теоретические основы оптимизации
7. Постановка задачи оптимизации
8. Выпуклые и вогнутые функции
9. Разновидности задач оптимизации
10. Теорема Вейерштрасса
11. Условия экстремума
12. Общие сведения
23
13. Условия безусловного экстремума первого порядка
14. Условия безусловного экстремума второго порядка
15. Необходимые и достаточные условия экстремума в задаче с ограничениями в форме
равенств
16. Необходимые и достаточные условия экстремума в задаче с ограничениями в форме
неравенств
17. Условия экстремума в седловой форме
18. Задачи линейного программирования и их свойства
19. Общая задача линейного программирования
20. Геометрия задачи линейного программирования
21. Каноническая задача линейного программирования
22. Симплекс-метод
23. Идея симплекс-метода
24. Алгоритм симплекс-метода
25. Пример применения алгоритма симплекс-метода
26. Двухфазный симплекс-метод
27. Метод искусственных переменных
28. Прикладные задачи линейного программирования
29. Задача о производстве продукции при ограниченных запасах сырья
30. Задача об оптимальном распределении деталей по станкам
31. Транспортная задача
32. Методы оптимизации функций одной переменной
33. Метод локализации экстремума
34. Метод золотого сечения
35. Метод Фибоначчи
36. Метод равномерного перебора
37. Методы безусловной оптимизации
38. Общая схема методов подъема
39. Метод покоординатного подъема
40. Метод многогранника
41. Градиентные методы
42. Метод Ньютона
43. Методы условной оптимизации
44. Метод покоординатного подъема
45. Метод условного градиента
46. Метод штрафных функций
47. Метод барьерных функций
48. Дискретные управляемые системы
49. Общие сведения об управляемых системах
50. Задача оптимального управления. Принцип оптимальности
51. Постановка задачи оптимального управления
52. Принцип оптимальности Р. Беллмана
53. Схема применения принципа оптимальности
54. Пример применения принципа оптимальности
3.4. Порядок ликвидации задолженности
Студенты, которые не могли сдать экзамены в установленные сроки по неуважительной
причине, считаются имеющими академическую задолженность. Порядок ликвидации такой
задолженности устанавливается институтом.
Студенты, которые не получили «зачет» при оценке контрольной работы,
самостоятельной работы и тестировании , считаются имеющими задолженность по этим
24
оценочным средствам. Порядок и сроки ликвидации такой задолженности устанавливаются
преподавателем
РАЗДЕЛ 4. ОРГАНИЗАЦИЯ ВХОДНОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И
НАВЫКОВ СТУДЕНТОВ
4.1. Технология входного контроля
Для успешного овладения новой дисциплиной перед началом ее изучения может
проводиться входной контроль знаний, умений и навыков, приобретённых на предшествующем
этапе обучения . Решение о проведении входного контроля принимает зав.кафедрой. Методику,
технологию и состав оценочных средств определяет преподаватель по согласованию с
зав.кафедрой.
Результаты оценки входного контроля используются для корректировки методики
преподавания дисциплины и для уточнения содержания аудиторной и самостоятельной работы
студентов по дисциплине и её форм контроля (в рамках требований настоящего УМК).
Входной контроль проводит преподаватель со всеми студентами перед изучением
дисциплины на первом лекционном занятии в форме контрольной работы (на бумажных
носителях) в течение 15 минут. Контрольная работа, подготовленная преподавателем для каждого
студента, состоит из двух частей: первая часть - два-три кратких учебных задания, вторая
часть - три-четыре теста. Фонды оценочных средств, для формирования контрольных работ
приведены в разделе 2.2 настоящего УМК.
Для проведения входного контроля используются Листы входного контроля, которые
содержат поля для ответов (пример формы Листа входного контроля приведен в таблице №5
данного раздела).
Каждый студент получает индивидуальный Лист входного контроля и письменно готовит
ответы на поставленные задания. По истечении 15 минут заполненные студентами листы
передаются преподавателю, на проверку контрольной работы.
С участием студентов в интерактивном режиме обсуждаются варианты решений и
допущенные ошибки. По результатам входного контроля преподавателем в журнале учета
занятий делается соответствующая запись и выставляется каждому студенту оценка по
пятибалльной шкале.
4.2 Примерный перечень вопросов оценки знаний при входном контроле
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
25
Что такое Базис, корректный?
Что такое Базис, обращенный?
Что такое Базис, обращенный, обновление?
Что такое Базис, текущий?
Что такое Вектор?
Что такое Вектор ограничений?
Что такое Вершина?
Что такое Гаусса-Жордана, исключение?
Что такое Градиент?
Что такое Задача линейного программирования, вырожденная?
Что такое Задача линейного программирования, каноническая форма для базиса?
Что такое Задача линейного программирования, стандартная?
Что такое Множество, вершина множества?
Что такое Множество, выпуклое?
Что такое Множество, допустимое, решений ?
Что такое Оболочка, выпуклая?
Что такое Ограничение, добавление к решенной стандартной ЛП-задаче?
18.
Что такое Ограничение, типа равенства добавление к ЛП-задаче?
19.
Что такое Особый случай, вырожденная ЛП-задача?
20.
Что такое Особый случай, вырожденный базис?
21.
Что такое Особый случай, зацикливание?
22.
Что такое Особый случай, зацикливание, причина?
23.
Что такое Особый случай, неединственность оптимальных решений
24.
Что такое Особый случай, неограниченная допустимая область?
25.
Что такое Особый случай, не существует БДР?
26.
Что такое Особый случай, несуществующее допустимое множество?
27.
Что такое Особый случай, несовместные ограничения?
28.
Что такое Отрезок?
29.
Что такое Переменная, базисная?
30.
Что такое Переменная, базисная и небазисная?
31.
Что такое Переменная, ведущая?
32.
Что такое Переменная, входящая?
33.
Что такое Переменная, выходяща?
34.
Что такое Переменная, добавочная и искусственная, различие?
35.
Что такое Переменная, добавочная, принцип введения?
36.
Что такое Переменная, искусственная, принцип введения?
37.
Что такое Решение, базисное
38.
Что такое Решение, базисное допустимое?
39.
Что такое Решение, базисное базисное допустимое, вырожденное?
40.
Что такое Решение, базисное допустимое, ЛП-задачи?
41.
Что такое Симплекс?
42.
Что такое Симплекс-метод, обычный?
43.
Что такое Симплекс-метод, обычный, добавление ограничения?
44.
Что такое Симплекс-метод, обычный, геометрическая интерпретация?
45.
Что такое Симплекс-метод, обычный, организация вычислений без порождения
начального БДР?
1. Что такое Симплекс-метод, обычный, организация вычислений в общем случае
ограничений, с порождением начального БДР?
46.
Что такое Симплекс-метод, обычный, организация вычислений при известном
начальном БДР?
47.
Что такое Симплекс-метод, обычный, организация вычислений без порождения
начального БДР?
48.
Что такое Симплекс-метод, обычный, очевидное начальное БДР?
49.
Что такое Симплекс-метод, обычный, с порождением начального БДР?
50.
Что такое Симплекс-метод, обычный, стандартный алгоритм?
51.
Что такое Симплекс-метод, двойственный?
52.
Что такое Симплекс-метод, двойственный, алгоритм без корректного вида базиса?
55.
Что такое Симплекс-метод, двойственный, алгоритм с корректным видом базиса?
56.
Что такое Симплекс-метод, двойственный, с искусственными переменными?
57.
Что такое Симплекс-метод, двойственный, условие для запуска?
58.
Что такое Симплекс-метод, модифицированный?
59.
Что такое Симплекс-метод, модифицированный, алгоритм?
60.
Что такое Симплекс-метод, модифицированный, двойственный, алгоритм?
61.
Что такое Симплекс-метод, модифицированный, двойственный, с искусственными
переменными?
62.
Что такое Симплекс-метод, модифицированный, с искусственными переменными ?
63.
Что такое Симплекс-множители?
64.
Что такое Симплекс-множители, обновление?
65.
Что такое Симплекс-таблица?
26
66.
Что такое Столбец, ведущий?
67.
Что такое Строка, ведущая?
68.
Что такое Функция, линия уровня?
69.
Что такое Функция, целевая?
70.
Что такое Функция, целевая, искусственная, принцип введения?
71.
Что такое Элемент, ведущий?
72.
Как строить математическую модель задачи по ее вербальной формулировке?
73.
Как изображать графически линейные ограничения и линии уровня целевой
функции?
74.
Как находить графически точку (отрезок) оптимального решения?
75.
Что такое каноническая форма ЛП-задачи для базиса?
76.
Как работает алгоритм симплекс-метод (каков состав действий на каждом шаге)?
77.
Какова роль искусственных переменных в отличие от добавочных переменных в
алгоритме симплекс-метода?
78.
Как организован этап минимизации искусственной целевой функции?
79.
Каков критерий окончания этого вспомогательного этапа и перехода к основному
этапу в методе искусственных переменных?
80.
Что такое «корректный вид» базиса?
81.
Что нужно для реализации двойственного симплекс-метода в компьютере?
82.
Чем отличается ДСМ от обычного симплекс-метода?
83.
Какова геометрическая интерпретация ДСМ?
84.
Каков экономический смысл двойственной задачи?
85.
Как связаны между собой прямая и двойственная задачи ЛП?
2. Как применить двойственную задачу для контроля правильности решения прямой
задачи?
86.
Что такое Критерий крайнего пессимизма?
87.
Что такое Критерий крайнего оптимизма?
88.
Что такое Критерий нейтральной позиции?
89.
Что такое Критерий относительного пессимизма (правило Сэвиджа)?
90.
Что такое Взвешенная позиция пессимизма-оптимизма (правило Гурвица)?
91.
Как формулируется многокритериальная задача принятия решения?
92.
Что такое множество Парето?
93.
Как находить компромиссные решения?
94.
Как влияет выбор критерия на принимаемое решение?
95.
Что такое Метод анализа иерархий (МАИ)?
96.
Как построить иерархическую структуру решаемой задачи?
97.
Как построить матрицу сравнений?
98.
Что такое «индекс согласованности»? Как практически определять этот индекс?
99.
Что такое шкала относительной важности?
100. Как приоритеты могут влиять на принимаемое решение в МАИ?
27
Таблица 5
Лист входного контроля
Ф.И.О студента______________________________________________________________
Группа_____________________________________________________________________
Учебная дисциплина – «
»
Дата проведения контроля «
Контрольное задание
« _______________20____ г.
Краткое содержание ответа
1.
2.
3
Тестовые задания (необходимо подчеркнуть правильные ответы)
Тест 1.
Тест
2.
Тест 3.
Студент: ______________________________________________________________________________________
Ф.И.О.
группа: ______________________________________________________________________________________
__________________________________
(подпись)
28
РАЗДЕЛ 5. ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ КУРСА
5.1.Тематический план курса для студентов очной формы обучения
направление подготовки: «Менеджмент» (бакалавриат),
направление подготовки: «Экономика» (бакалавриат),
Темы
Тема 1.
Введение. Формализация проблем
управления в экономике.
Тема 2.
Линейное программирование
Тема 3.
Транспортная задача линейного
программирования
Тема 4.
Целочисленное программирование и
дискретная оптимизация
Тема 5.
Нелинейные задачи оптимизации
Тема 6.
Многокритериальная оптимизация
Тема 7.
Математическая теория оптимального
управления. Динамическое
программирование
Тема 8.
Марковские процессы; задачи систем
массового обслуживания
Экзамен
ВСЕГО
29
Общее
кол-во
часов
12
Аудиторные часы
Всего
Лекци
Сем. и
и
пз.
6
2
4/2*
Самост.
работа
6
12
6
2
4/2*
6
13
6
2
4/2*
7
13
6
2
4/2*
7
13
6
2
4/2*
7
15
8
2
6/3*
7
15
8
2
6/3*
7
15
8
4
4/4*
7
36/20*
36
54
36
144
54
18
5.2. Тематический план курса для студентов очно-заочной формы обучения
направление подготовки: «Менеджмент» (бакалавриат),
Темы
Тема 1.
Введение. Формализация проблем
управления в экономике.
Тема 2.
Линейное программирование
Тема 3.
Транспортная задача линейного
программирования
Тема 4.
Целочисленное программирование и
дискретная оптимизация
Тема 5.
Нелинейные задачи оптимизации
Тема 6.
Многокритериальная оптимизация
Тема 7.
Математическая теория оптимального
управления. Динамическое
программирование
Тема 8.
Марковские процессы; задачи систем
массового обслуживания
Экзамен
ВСЕГО
Общее
кол-во
часов
13
Аудиторные часы
Всего Лекци Сем. и пз.
и
4
2
2/1*
Самос
т.
работа
9
13
4
2
2/1*
9
13
4
2
2/1*
9
13
4
2
2/1*
9
14
4
2
2/2*
10
14
4
2
2/2*
10
14
4
2
2/2*
10
14
4
2
2/2*
10
36
144
32
16
16/12*
76
5.3. Тематический план курса для студентов очно-заочной формы обучения
направление подготовки: «Экономика» (бакалавриат),
Темы
Тема 1.
Введение. Формализация проблем
управления в экономике.
Тема 2.
Линейное программирование
Тема 3.
Транспортная задача линейного
программирования
Тема 4.
Целочисленное программирование и
дискретная оптимизация
30
Общее
кол-во
часов
13
Аудиторные часы
Всего
Лекци Сем. и
и
пз.
2
1
1
Самост.
работа
11
13
2
1
1
11
13
2
1
1
11
13
2
1
1
11
Тема 5.
Нелинейные задачи оптимизации
Тема 6.
Многокритериальная оптимизация
Тема 7.
Математическая теория оптимального
управления. Динамическое
программирование
Тема 8.
Марковские процессы; задачи систем
массового обслуживания
Экзамен
ВСЕГО
14
2
2/2*
12
14
2
2/2*
12
14
4
2
2/2*
10
14
4
2
2/2*
10
36
144
20
8
12/8*
88
5.4.Тематический план курса для студентов заочной формы обучения
направление подготовки: «Менеджмент» (бакалавриат),
направление подготовки: «Экономика» (бакалавриат)
Темы
Общее
Аудиторные часы
кол-во
Всего
Лекци
Сем. и
часов
и
пз.
Тема 1.
15
Введение. Формализация проблем
управления в экономике.
Тема 2.
15
Линейное программирование
Тема 3.
17
1
1
Транспортная задача линейного
программирования
Тема 4.
17
1
1
Целочисленное программирование и
дискретная оптимизация
Тема 5.
17
2
1
1/1*
Нелинейные задачи оптимизации
Тема 6.
18
2
1
1/1*
Многокритериальная оптимизация
Тема 7.
18
2
1
1/1*
Математическая теория оптимального
управления. Динамическое
программирование
Тема 8.
18
2
1
1/1*
Марковские процессы; задачи систем
массового обслуживания
9
Экзамен
Всего
144
10
4
6/4*
31
Самост.
работа
15
15
16
16
15
16
16
16
125
РАЗДЕЛ 6. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Тема 1.
Введение. Формализация проблем управления в экономике.
Предмет, история и перспективы развития методов оптимальных решений. Математическое
описание экономических объектов. Управляемые и прогнозные модели. Управляемость и большая
размерность. Основные разделы описания: материальный, финансовый и социальный.
Описание внешней среды. Элементы экономики и элементы описания. Оператор
планирования и оператор функционирования. Однопродуктовая схема. Процедура объединения
элементов.
Основные схемы и этапы принятия оптимальных решений. Общая постановка и
классификация задач оптимизации. Стандартная форма описания схем экономического
управления. Планирование и оперативное управление. Примеры формализации (задача о штатах
организации и кредите).
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,12,13,14,15
Тема 2.
Линейное программирование
Общая задача оптимизации и линейное программирование (ЛП). Постановка и формы
записи задачи линейного программирования. Экономические приложения. Геометрическая
интерпретация задачи. Симплекс-метод: основная схема алгоритма. Экономическая
интерпретация итоговой симплекс-таблицы. Метод искусственного базиса.
Двойственные задачи линейного программирования. Основное неравенство теории
двойственности. Теорема о существовании прямого и двойственного решений, теорема о
дополняющей нежесткости. Примеры использования теорем двойственности для построения
оптимального решения задачи ЛП. Анализ модели на чувствительность. Экономическая
интерпретация двойственной задачи. Третья теорема двойственности (об оценках). Пример
использования объективно обусловленных оценок для принятия оптимальных решений.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,8,9,10,11.,15
Тема 3.
Транспортная задача линейного программирования
Общая постановка транспортной задачи. Открытая и закрытая ТЗ. Метод опорного плана.
Метод северо-западного угла. Метод наименьшей стоимости. Определение первоначального
распределения поставок в вырожденном случае. Проверка оптимальности базисного
распределения поставок. Улучшение неоптимального плана перевозок. Алгоритм
распределительного метода.
Методы построения первоначального базисного плана транспортной задачи. Алгоритм
метода потенциалов.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,14,15
32
Тема 4.
Целочисленное программирование и дискретная оптимизация
Целочисленные переменные в задачах экономического планирования. Общая задача
целочисленного программирования, общая задача целочисленного ЛП, задача частичноцелочисленного программирования.
Геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования. Алгоритм
Гомори. Метод ветвей и границ. Задача о назначениях.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные:10,11.12,13,14,15
Тема 5.
Нелинейные задачи оптимизации
Общая постановка задач конечномерной оптимизации. Выпуклые множества и их свойства.
Экономическая и геометрическая интерпретации. Теорема Вейерштрасса и следствие из неё.
Метод множителей Лагранжа в гладких экстремальных задачах с ограничениями типа равенств и
неравенств. Задачи выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.
Схемы численных методов оптимизации: градиентный метод с постоянным шагом, метод
скорейшего спуска, метод Ньютона, метод проекции градиента.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.14,15
Тема 6.
Многокритериальная оптимизация
Постановка и методы решения задач многокритериальной оптимизации. Примеры
многокритериальных задач в экономике.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 10,11.12,13,14,15
Тема 7.
Математическая теория оптимального управления. Динамическое программирование
Постановка задач оптимального управления. Принцип максимума для дискретных
линейных задач оптимального управления. Методы нелинейного программирования в задачах
оптимального управления.
Динамическое программирование. Математическая теория оптимального управления.
Принцип оптимальности Р. Беллмана. Рекуррентные соотношения Беллмана. Численные методы
расчета оптимальных программ. Схемы динамического программирования в задачах
оптимального управления.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,10,11.12,13,14
33
Тема 8.
Марковские процессы; задачи систем массового обслуживания
Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий. Уравнения Колмогорова.
Процессы «рождения-гибели». Экономико-математическая постановка задач массового
обслуживания. Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания
Модели систем массового обслуживания в коммерческой деятельности. СМО с отказами.
СМО с ожиданием (очередью).
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.12
РАЗДЕЛ 7. ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Цель, содержание и методика реализации на практических занятиях с использованием
активных – интерактивных форм обучения изложены в разделе 2.3 настоящего УМК.
7.1.Семинарские и практические занятия для студентов очной формы обучения
Практическое занятие 1 по теме:
«Введение. Формализация проблем управления в экономике»
Время семинара – 4 (в т.ч. 2*) часа
(для всех направлений подготовки)
.
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических
навыков освоения основных типов математических моделей, используемых при описании сложных
систем и при принятии решений, типизацию и классификацию' таких моделей, систем, задач,
методов.
Содержание занятия:
1.Вопросы к обсуждению:
1.
Виды математических моделей.
2.
Разделы и примеры описания
3.
Математическая классификация используемых моделей
4.
Способы реализации идеи обратной связи в экономике (алгоритмы, стратегии
управления)
5.
Одношаговые и многошаговые процедуры принятия решений
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на темы:

Непрерывность и дискретное время

Одношаговые и многошаговые процедуры принятия управленческих решений

Априорная и текущая информация.
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.2, 9.1.3, 9.2
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,12,13,14,15
34
Практическое занятие 2 по теме:
«Линейное программирование»
Время семинара –4 (в т.ч. 2*) часа
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в
линейном программировании.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Формулировки и экономические приложения
2. Двойственные задачи ЛП (определения, пример).
3.
Теорема о существовании прямого и двойственного решений, теорема о
дополняющей нежёсткости.
4.
Симплекс метод: основная схема алгоритма.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему: «Использование
теорем двойственности для построения оптимального решения задачи ЛП»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,8,9,10,11.,15
Практическое занятие 3 по теме:
«Транспортная задача линейного программирования»
Время семинара – 4 (в т.ч.2*) часа
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
постановки и решения транспортных задач.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. В чем специфика модели транспортной задачи как задачи линейного программирования?
Какие методы применяются для решения транспортной задачи?
2. Что понимается под открытой и закрытой транспортными задачами? Как выполняется
сведение открытой транспортной задачи к закрытому типу? В чем заключается условие
баланса?
3. Для чего используются методы северо-западного угла и минимального элемента? В чем их
суть? Сравните эти методы по эффективности.
4. Дайте определения понятиям: допустимый план, опорный план, вырожденный опорный
план, оптимальный план, потенциал, псевдостоимость, цикл, перенос по циклу, цена цикла.
5. Дайте экономическую интерпретацию метода потенциалов.
6. Решите транспортные задачи методом потенциалов.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Алгоритма метода
потенциалов для решения транспортной задачи (на произвольном примере)»
35
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,14,15
Практическое занятие 4 по теме:
«Целочисленное программирование и дискретная оптимизация»
Время семинара – 4 (в т.ч. 2*) часа
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в
области моделей и методов дискретного программирования
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Отличие области допустимых решений задач ЛП от области допустимых решений задач
дискретного ЛП.
2. Какой метод эффективнее: ветвей и границ для ЦЛП или простого перебора? Почему?
3. Какие вершины называются прозондированными в методе ветвей и границ для ЦЛП?
4. Постановка и формы записи задачи ЛП.
5. Геометрическая интерпретация задачи ЛП (постановка задачи, алгоритм решения).
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Метод ветвей и
границ для решения задачи ЦЛП»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные:10,11.12,13,14,15
Практическое занятие 5 по теме:
«Нелинейные задачи оптимизации»
Время семинара –4 (в т.ч. 2*) часа
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
в области моделей нелинейного программирования.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Примеры математических моделей, в которых учитываются ограничения.
2. Какой вид имеет допустимая область при разных типах ограничений?
3. Учёт ограничения-равенства в методе прямой оптимизации.
4. Чем определяется количество множителей Лагранжа?
5. Почему при использовании штрафных функций решение лежит за границей допустимой
области?
6. Как должен выбираться шаг в методах скорейшего поиска с учетом ограничений?
36
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Изменение длины
приведенного градиента по мере приближения к решению»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.14,15
Практическое занятие 6 по теме;
«Многокритериальная оптимизация»
Время семинара – 6 (в т.ч. 3*) часа
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
в области многокритериальной оптимизации как математической модели принятия оптимальных
решений по нескольким критериям.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Отличие эффективных решений многокритериальной задачи от слабоэффективных
решений?
2. В чем цель нормализации критериев? По какой схеме проводят нормализацию критериев?
3. Отличие решения, полученного методом уступок от остальных решений из множества
Парето.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 10,11.12,13,14,15
Практическое занятие 7 по теме:
«Математическая теория оптимального управления. Динамическое
программирование»
Время семинара – 6 (в т.ч. 3*) часа
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
в области динамического программирования, как способа решения сложных задач путём
разбиения их на более простые.
1.
2.
3.
4.
5.
37
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
В чем заключается основная задача динамического программирования?
Опишите особенности процесса принятия решения в динамическом программировании.
Какие операции называются многошаговыми?
Что понимается под термином «управляемые процессы»?
В чем состоит смысл принципа оптимальности?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Основа
вычислительных алгоритмов динамического программирования»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,10,11.12,13,14
Практическое занятие 8 по теме
«Марковские процессы: задачи систем массового обслуживания»
Время семинара – 4 (в т.ч. 4*) часа
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
по использованию моделей систем массового обслуживания .
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Что такое одноканальная система?
2. Что такое однофазовая система?
3. Что такое очередь?
4. Что такое распределение времени обслуживания?
5. Что означает и как определяется среднее время в очереди?
6. Что означает и как определяется среднее время в системе?
7. Что означает и как определяется среднее число клиентов в очереди?
8. Что означает и как определяется среднее число клиентов в системе?
9. Что означает и как определяется средний темп поступления заявок?
10. Что означает и как определяется средняя длина очереди?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Моделирование
систем массового обслуживания»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.12
7.2. Семинарские и практические занятия для студентов очно-заочной формы обучения
Практическое занятие 1 по теме:
«Введение. Формализация проблем управления в экономике»
Направление подготовки: «Менеджмент» -время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Направление подготовки: «Экономика» - время семинара – 1 час
.
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических
навыков освоения основных типов математических моделей, используемых при описании сложных
38
систем и при принятии решений, типизацию и классификацию' таких моделей, систем, задач,
методов.
Содержание занятия:
1.Вопросы к обсуждению:
6.
Виды математических моделей.
7.
Разделы и примеры описания
8.
Математическая классификация используемых моделей
9.
Способы реализации идеи обратной связи в экономике (алгоритмы, стратегии
управления)
10.
Одношаговые и многошаговые процедуры принятия решений
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на темы:

Непрерывность и дискретное время

Одношаговые и многошаговые процедуры принятия управленческих решений

Априорная и текущая информация.
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.2, 9.1.3, 9.2
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,12,13,14,15
Практическое занятие 2 по теме:
«Линейное программирование»
Направление подготовки: «Менеджмент» -время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Направление подготовки: «Экономика» - время семинара – 1 час
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в
линейном программировании.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
5. Формулировки и экономические приложения
6. Двойственные задачи ЛП (определения, пример).
7.
Теорема о существовании прямого и двойственного решений, теорема о
дополняющей нежёсткости.
8.
Симплекс метод: основная схема алгоритма.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему: «Использование
теорем двойственности для построения оптимального решения задачи ЛП»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,8,9,10,11.,15
39
Практическое занятие 3 по теме:
«Транспортная задача линейного программирования»
Направление подготовки: «Менеджмент» -время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Направление подготовки: «Экономика» - время семинара – 1 час
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
постановки и решения транспортных задач.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
7. В чем специфика модели транспортной задачи как задачи линейного программирования?
Какие методы применяются для решения транспортной задачи?
8. Что понимается под открытой и закрытой транспортными задачами? Как выполняется
сведение открытой транспортной задачи к закрытому типу? В чем заключается условие
баланса?
9. Для чего используются методы северо-западного угла и минимального элемента? В чем их
суть? Сравните эти методы по эффективности.
10. Дайте определения понятиям: допустимый план, опорный план, вырожденный опорный
план, оптимальный план, потенциал, псевдостоимость, цикл, перенос по циклу, цена цикла.
11. Дайте экономическую интерпретацию метода потенциалов.
12. Решите транспортные задачи методом потенциалов.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Алгоритма метода
потенциалов для решения транспортной задачи (на произвольном примере)»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,14,15
Практическое занятие 4 по теме:
«Целочисленное программирование и дискретная оптимизация»
Направление подготовки: «Менеджмент» -время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Направление подготовки: «Экономика» - время семинара – 1 час
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в
области моделей и методов дискретного программирования
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
6. Отличие области допустимых решений задач ЛП от области допустимых решений задач
дискретного ЛП.
7. Какой метод эффективнее: ветвей и границ для ЦЛП или простого перебора? Почему?
8. Какие вершины называются прозондированными в методе ветвей и границ для ЦЛП?
9. Постановка и формы записи задачи ЛП.
40
10. Геометрическая интерпретация задачи ЛП (постановка задачи, алгоритм решения).
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Метод ветвей и
границ для решения задачи ЦЛП»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные:10,11.12,13,14,15
Практическое занятие 5 по теме:
«Нелинейные задачи оптимизации»
Направление подготовки: «Менеджмент» -время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Направление подготовки: «Экономика» - время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
в области моделей нелинейного программирования.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
7. Примеры математических моделей, в которых учитываются ограничения.
8. Какой вид имеет допустимая область при разных типах ограничений?
9. Учёт ограничения-равенства в методе прямой оптимизации.
10. Чем определяется количество множителей Лагранжа?
11. Почему при использовании штрафных функций решение лежит за границей допустимой
области?
12. Как должен выбираться шаг в методах скорейшего поиска с учетом ограничений?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Изменение длины
приведенного градиента по мере приближения к решению»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.14,15
Практическое занятие 6 по теме;
«Многокритериальная оптимизация»
Направление подготовки: «Менеджмент» -время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Направление подготовки: «Экономика» - время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
41
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
в области многокритериальной оптимизации как математической модели принятия оптимальных
решений по нескольким критериям.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
4. Отличие эффективных решений многокритериальной задачи от слабоэффективных
решений?
5. В чем цель нормализации критериев? По какой схеме проводят нормализацию критериев?
6. Отличие решения, полученного методом уступок от остальных решений из множества
Парето.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 10,11.12,13,14,15
Практическое занятие 7 по теме:
«Математическая теория оптимального управления. Динамическое
программирование»
Направление подготовки: «Менеджмент» -время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Направление подготовки: «Экономика» - время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
в области динамического программирования, как способа решения сложных задач путём
разбиения их на более простые.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
6. В чем заключается основная задача динамического программирования?
7. Опишите особенности процесса принятия решения в динамическом программировании.
8. Какие операции называются многошаговыми?
9. Что понимается под термином «управляемые процессы»?
10. В чем состоит смысл принципа оптимальности?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Основа
вычислительных алгоритмов динамического программирования»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,10,11.12,13,14
42
Практическое занятие 8 по теме
«Марковские процессы: задачи систем массового обслуживания»
Направление подготовки: «Менеджмент» -время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Направление подготовки: «Экономика» - время семинара – 2 (в т.ч. 1*) часа
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
по использованию моделей систем массового обслуживания .
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Что такое одноканальная система?
2. Что такое однофазовая система?
3. Что такое очередь?
4. Что такое распределение времени обслуживания?
5. Что означает и как определяется среднее время в очереди?
6. Что означает и как определяется среднее время в системе?
7. Что означает и как определяется среднее число клиентов в очереди?
8. Что означает и как определяется среднее число клиентов в системе?
9. Что означает и как определяется средний темп поступления заявок?
10. Что означает и как определяется средняя длина очереди?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Моделирование
систем массового обслуживания»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.12
7.3. Семинарские и практические занятия для студентов заочной формы обучения
Практическое занятие 1 по теме:
«Транспортная задача линейного программирования»
Время семинара – 1 час
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
постановки и решения транспортных задач.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
13. В чем специфика модели транспортной задачи как задачи линейного программирования?
Какие методы применяются для решения транспортной задачи?
14. Что понимается под открытой и закрытой транспортными задачами? Как выполняется
сведение открытой транспортной задачи к закрытому типу? В чем заключается условие
баланса?
15. Для чего используются методы северо-западного угла и минимального элемента? В чем их
суть? Сравните эти методы по эффективности.
43
16. Дайте определения понятиям: допустимый план, опорный план, вырожденный опорный
план, оптимальный план, потенциал, псевдостоимость, цикл, перенос по циклу, цена цикла.
17. Дайте экономическую интерпретацию метода потенциалов.
18. Решите транспортные задачи методом потенциалов.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Алгоритма метода
потенциалов для решения транспортной задачи (на произвольном примере)»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,14,15
Практическое занятие 2 по теме:
«Целочисленное программирование и дискретная оптимизация»
Время семинара – 1 час
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков в
области моделей и методов дискретного программирования
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
11. Отличие области допустимых решений задач ЛП от области допустимых решений задач
дискретного ЛП.
12. Какой метод эффективнее: ветвей и границ для ЦЛП или простого перебора? Почему?
13. Какие вершины называются прозондированными в методе ветвей и границ для ЦЛП?
14. Постановка и формы записи задачи ЛП.
15. Геометрическая интерпретация задачи ЛП (постановка задачи, алгоритм решения).
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Метод ветвей и
границ для решения задачи ЦЛП»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные:10,11.12,13,14,15
Практическое занятие 3 по теме:
«Нелинейные задачи оптимизации»
Время семинара – 1* час
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
в области моделей нелинейного программирования.
Содержание занятия:
44
Вопросы к обсуждению:
13. Примеры математических моделей, в которых учитываются ограничения.
14. Какой вид имеет допустимая область при разных типах ограничений?
15. Учёт ограничения-равенства в методе прямой оптимизации.
16. Чем определяется количество множителей Лагранжа?
17. Почему при использовании штрафных функций решение лежит за границей допустимой
области?
18. Как должен выбираться шаг в методах скорейшего поиска с учетом ограничений?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Изменение длины
приведенного градиента по мере приближения к решению»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.14,15
Практическое занятие 4 по теме;
«Многокритериальная оптимизация»
Время семинара – 1* час
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
в области многокритериальной оптимизации как математической модели принятия оптимальных
решений по нескольким критериям.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
7. Отличие эффективных решений многокритериальной задачи от слабоэффективных
решений?
8. В чем цель нормализации критериев? По какой схеме проводят нормализацию критериев?
9. Отличие решения, полученного методом уступок от остальных решений из множества
Парето.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 10,11.12,13,14,15
Практическое занятие 5 по теме:
«Математическая теория оптимального управления. Динамическое
программирование»
Время семинара – 1* час
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
в области динамического программирования, как способа решения сложных задач путём
разбиения их на более простые.
45
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
11. В чем заключается основная задача динамического программирования?
12. Опишите особенности процесса принятия решения в динамическом программировании.
13. Какие операции называются многошаговыми?
14. Что понимается под термином «управляемые процессы»?
15. В чем состоит смысл принципа оптимальности?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Основа
вычислительных алгоритмов динамического программирования»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,10,11.12,13,14
Практическое занятие 6 по теме:
«Марковские процессы: задачи систем массового обслуживания»
Время семинара – 1* час
(для всех направлений подготовки)
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических навыков
по использованию моделей систем массового обслуживания .
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Что такое одноканальная система?
2. Что такое однофазовая система?
3. Что такое очередь?
4. Что такое распределение времени обслуживания?
5. Что означает и как определяется среднее время в очереди?
6. Что означает и как определяется среднее время в системе?
7. Что означает и как определяется среднее число клиентов в очереди?
8. Что означает и как определяется среднее число клиентов в системе?
9. Что означает и как определяется средний темп поступления заявок?
10. Что означает и как определяется средняя длина очереди?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Моделирование
систем массового обслуживания»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.12
46
47
1
1
1
1
1
1
1
1
6
2
2
2
2
3
3
3
3
6
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2
2
2
2
2
2
2
2
6
1
1
1
1
1
1
1
1
6
6
6
1
1
1
1
1
1
1
1
6
1
1
1
1
1
1
1
1
6
Подготовка
докладов,
сообщений
Выполнение
письменной
работы
1
1
1
1
1
1
1
1
6
Изучение
рекомендуемо
й литературы
Выполнение
тестовых
заданий
1
1
1
1
1
1
1
1
6
Подготовка
докладов,
сообщений
Изучение
рекомендуемо
й литературы
Анализ
позиций по
проблемам
учебного
материала
Решение
практических
задач
1
1
2
2
2
2
2
2
6
Анализ
позиций по
проблемам
учебного
материала
Выполнение
письменной
работы
9
9
9
9
10
10
10
10
36
76
Выполнение
тестовых
заданий
1
2
3
4
5
6
7
8
Экзамен
Всего
Конспектиров
ание учебной и
другой
литературы
Время на СРС (по
тематическому
плану)
6
6
7
7
7
7
7
7
36
54
Решение
практических
задач
Время на СРС (по
тематическому
плану)
Номера тем (по
тематическому
плану)
1
2
3
4
5
6
7
8
Экзамен
Всего
Конспектиров
ание учебной и
другой
литературы
Номера тем (по
тематическому
плану)
РАЗДЕЛ 8. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
(CРC)
8.1. Таблица распределения времени, выделенного на самостоятельную работу
Очная форма обучения (для всех направлений подготовки)
в том числе:
1
1
1
1
1
1
1
1
Очно-заочная форма обучения Направление – «Менеджмент»
в том числе:
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2
2
2
2
2
1
1
1
6
2
1
2
2
1
1
1
1
6
1
2
6
Подготовка
докладов,
сообщений
2
2
2
2
2
2
2
2
6
Изучение
рекомендуемо
й литературы
Выполнение
письменной
работы
2
2
2
2
3
3
3
3
6
Анализ
позиций по
проблемам
учебного
материала
Выполнение
тестовых
заданий
11
11
11
11
12
12
10
10
36
88
Решение
практических
задач
Время на СРС (по
тематическому
плану)
1
2
3
4
5
6
7
8
Экзамен
Всего
в том числе:
Конспектиров
ание учебной и
другой
литературы
Номера тем (по
тематическому
плану)
Очно-заочная форма обучения Направление – «Экономика»
1
2
1
1
1
1
1
1
Заочная форма обучения (для всех направлений подготовки)
Номера тем (по
тематическому
плану)
Время на СРС (по
тематическому
плану)
Конспектиров
ание учебной и
другой
литературы
Решение
практических
задач
Выполнение
тестовых
заданий
Выполнение
письменной
работы
Анализ
позиций по
проблемам
учебного
материала
Изучение
рекомендуемо
й литературы
Подготовка
докладов,
сообщений
в том числе:
1
2
3
4
5
6
7
8
15
15
16
16
15
16
16
16
4
4
4
4
4
5
5
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
Экзамен
Всего
9
125
2
2
2
1
2
8.2.Задания на самостоятельную работу
Примечание: в указанных заданиях на самостоятельную работу студентов срок
выполнения указан для студентов очной и очно-заочной форм обучения.
Для студентов заочной формы обучения сроком выполнения задания является
предстоящая экзаменационная сессия.
48
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 1
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения, самостоятельное
изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,12,13,14,15
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 2
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения, самостоятельное
изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы
(разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,8,9,10,11.,15
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 3
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения, самостоятельное
изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
49
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,14,15
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 4
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения, самостоятельное
изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные:10,11.12,13,14,15
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 5
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения, самостоятельное
изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.14,15
50
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 6
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения, самостоятельное
изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 10,11.12,13,14,15
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 7
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения, самостоятельное
изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,10,11.12,13,14
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 8
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения, самостоятельное
изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
51
Источники:
- обязательные: 1,2,3,4
- дополнительные: 5,6,7,8,9,10,11.12
РАЗДЕЛ 9. ПРАКТИКУМ
9.1. Задания
9.1.1. Общие вопросы
1.
Что такое оптимальное решение?
2.
Дайте определение экстремальной задачи.
3.
Приведите примеры экстремальных задач.
4.
Дайте определение математической модели.
5.
Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
6.
Как связаны между собой ограничения задачи и математическая модель задачи?
7.
Дайте определение целевой функции экстремальной задачи.
8.
Что называется решением экстремальной задачи?
9.
Приведите примеры математических моделей экстремальных задач.
10.
Приведите примеры целевых функций экстремальных задач.
11.
Как влияет на целевую функцию приведенная стоимость?
12.
Что показывает множитель Лагранжа?
13.
Как влияет на целевую функцию теневая (условная) цена ресурса?
14.
Объясните понятие «детерминированные задачи». Приведите примеры.
15.
В чём особенность принятия решения в детерминированных задачах.
16.
Какие задачи называют задачами оптимизации?
17.
Объясните, что такое «целевая функция» в детерминированных задачах принятия
решений?
18.
Изложите алгоритм решения детерминированной задачи принятия решений.
19.
Объясните, в чём трудность решения детерминированных задач принятия решений?
20.
Изложите смысл методов численной оптимизации.
21.
Сформулируйте задачу принятия решения при многих критериях.
22.
Сформулируйте принцип доминирования решения по Парето.
23.
Дайте определение Парето оптимального множества решений. Приведите
геометрическую интерпретацию.
24.
Сформулируйте характеристическое свойство Парето – оптимального множества
решений.
25.
Сформулируйте основные варианты преодоления неопределённости выбора
решений из Парето – оптимального множества.
26.
Объясните смысл процедуры сужения Парето – оптимального множества,
основанной на задании границ критериев выбора.
27.
Объясните смысл процедуры субоптимизации для сужения Парето – оптимального
множества.
28.
Объясните смысл процедуры лексикографической оптимизации для сужения Парето
– оптимального множества.
29.
Сформулируйте основные правила построения обобщённого критерия при
многокритериальной оптимизации.
30.
Дайте определение обобщённого критерия оптимизации.
31.
Сформулируйте задачу алгебраического определения обобщённого критерия по
частным критериям. Приведите примеры.
32.
Сформулируйте задачу эвристического определения обобщённого критерия по
частным критериям. Приведите примеры.
52
33.
Сформулируйте необходимое требование при построении обобщённого критерия.
34.
Объясните смысл многошаговой задачи принятия решений.
35.
Объясните, что такое математическое программирование?
36.
Сформулируйте задачу линейного программирования. Приведите пример.
37.
Сформулируйте задачу динамического программирования. Приведите пример.
38.
Сформулируйте принцип оптимальности Беллмана.
39.
Какие задачи относятся к задачам математического программирования?
40.
Особенности задач нелинейного программирования?
41.
Чем отличаются методы нулевого и первого порядка?
42.
Почему генерируемые на ЭВМ числа называют псевдослучайными?
43.
Как меняется вероятность выбора возможного направления в методе случайного
поиска по мере приближения к решению?
44.
Какие типы деформаций используются в алгоритме деформируемого
многогранника?
45.
Как определяются составляющие градиента целевой функции?
46.
Какую роль играет пробный шаг в методах скорейшего поиска?
9.1.2. Темы рефератов
1.
Анализ проблем. Построение дерева (графа) проблем.
2.
Целевой анализ. Построение дерева целей.
3.
Применение метода анализа иерархий для решения задач выбора.
4.
Применение метода «Дельфи» для решения управленческих задач.
5.
Применение метода когнитивного моделирования для построения прогнозных
сценариев развития ситуации.
6.
Разработка управленческого решения методом мозгового штурма.
7.
Использование сценарного подхода при принятии управленческого решения.
8.
Использование симплекс-метода при нахождении и анализе оптимального решения.
9.
Использование метода потенциалов для оптимизации транспортных перевозок
однородного продукта.
10.
Разработка решения о назначении сотрудников для выполнения работ венгерским
методом.
11.
Решение задачи оптимального распределения ресурсов между предприятиями
отрасли методом динамического программирования.
12.
Применение метода количественного анализа эффективности работы системы
массового обслуживания.
13.
Оценка вариантов работы системы массового обслуживания при различных
условиях ее функционирования.
14.
Определение оптимальной структуры СМО при различных вариантах обслуживания
клиентов.
15.
Применение метода дерева решений для достижения целей организации
16.
Методы принятия коллективных решений.
17.
Методы контроля выполнения решений.
18.
Оценка эффективности управленческих решений.
19.
Принятие решений в сфере управления запасами и поставками сырья и материалов
на предприятии.
20.
Оптимизация процесса управления запасами готовой продукции на предприятии…
21.
Оптимизация управления финансовыми ресурсами на примере бюджета
муниципального образования (региона, государства).
22.
Разработка оптимальной производственной программы на предприятии…
23.
Распределение
подвижного
состава
пассажирского
автопредприятия,
оптимизирующее транспортные пассажирские перевозки в городе… (регионе…).
53
24.
Разработка оптимального пассажирского маршрута (грузового маршрута) в городе
(регионе…).
25.
Распределение обязанностей между сотрудниками организационного подразделения
администрации… района (города) при выполнении мероприятий, связанных с подготовкой
проведения… (подготовкой проекта закона, постановления, распоряжения…).
26.
Разработка оптимального плана мероприятий (последовательности операций) в
условиях ограничения использования материальных и трудовых ресурсов.
27.
Оптимальное управление инвестиционным портфелем компании в условиях риска.
28.
Оптимальное управления бюджетными расходами муниципального образования
(региона) в условиях риска (полной неопределенности).
29.
Разработка оптимальной стратегии ведения боевых действий…
30.
Разработка оптимальной стратегии поведения фирмы… на рынке в условиях
жесткой конкуренции (олигополии, монополии).
31.
Разработка оптимальной стратегии поведения политической партии… при
проведении выборов (в представительном органе власти…)
32.
Оптимизация процесса проведения выборов в… регионе (муниципальном округе).
33.
Разработка оптимальных критериев управления персоналом организации на стадии
отбора (продвижения по службе, увольнения).
34.
Разработка оптимальной стратегии управления карьерным ростом.
9.1.3. Задания, варианты и задачи для контрольных работ
Задание № 1
Предприятие выпускает два наименования товаров - А и В, для производства которых
используется сырье трех видов. Известны нормы затрат сырья (по видам) на производство
единицы каждого наименования, общее количество сырья каждого вида, которым обеспечено
производство, размер запланированной прибыли от реализации единицы товара каждого вида (см.
соответствующую таблицу). Необходимо составить план производства изделий А и В,
обеспечивающий наибольшую прибыль от их реализации. Порядок выполнения. 1. Построить
математическую модель задачи (симметричного вида). 2. Решить задачу графическим методом. 3.
Осуществить переход к каноническому виду задачи. 4. Решить задачу симплекс-методом. 5.
Построить модель двойственной задачи и определить ее решение.
Задание №2
На трех базах находится однородный груз в известных количествах. Его необходимо
привезти в пять магазинов, потребности которых в данном грузе известны. Нужно спланировать
перевозки так, чтобы весь имеющийся груз был распределен, заказы всех магазинов были
выполнены, общая стоимость перевозок при заданных тарифах была минимальной. Порядок
выполнения. 1. Построить математическую модель задачи. 2. Найти первоначальное
распределение перевозок методом минимального тарифа (1-7, 9-10 варианты) или методом северозападного угла (8 вариант). 3. Оптимизировать полученное опорное решение методом
потенциалов. (Числовые данные для выполнения решения задачи - запасы, потребности, тарифы –
смотреть в соответствующей таблице).
Задание №3
Предприниматель планирует закупку трех партий новых товаров (1П, 2П, 3П) в условиях
неясной рыночной конъюнктуры, относительно которой известны возможные состояния (1Р, 2Р,
3Р), а также объемы товарооборота по каждому варианту и их условные вероятности. Определить
предпочтительный план закупки товаров. (Решение игры провести с использованием критериев
Вальда, Гурвица с параметром k=0,4, Лапласа (1-5 варианты); Вальда, Сэвиджа, Байеса (6-10
варианты)).
54
Задание №4
Дана таблица структурно-временных параметров комплекса работ и сетевой граф,
отражающий порядок и взаимосвязь данных работ. Необходимо рассчитать основные параметры
сетевого план-графика (ранние сроки наступления событий, ранние сроки окончания работ,
поздние сроки наступления событий, поздние сроки начала работ, полный и свободный резервы
времени) и построить критические пути.
Задание №5 1-5 варианты:
На оптовую базу прибывают автомобили с промышленными товарами, причем за единицу
времени n бригад грузчиков, каждая из которых на
разгрузку одной машины в среднем затрачивает время, равное обсt. Территория базы позволяет
разместить m машин, ожидающих разгрузки. Для данной СМО необходимо: а) указать все
возможные состояния; б) построить размеченный граф состояний; в) определить основные
параметры, характеризующие ее работу; г) сделать экономический анализ эффективности работы
данной СМО и возможности ее повышения.
Задание №5 6-10 варианты:
В магазине установлены n расчетных касс, каждая из которых обслуживает в среднем
вные характеристики данной СМО.
Для данной СМО необходимо: а) указать все возможные состояния; б) построить размеченный
граф состояний; в) определить основные параметры, характеризующие ее работу; г) сделать
экономический анализ эффективности работы данной СМО и возможности ее повышения.
Вариант №1
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
2
5
432
II
3
4
424
III
5
3
528
Прибыль
34
50
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
7
9
15
4
18
200
А2
13 25
8
15
5
250
А3
5 11
6
20 12
250
Потребности bj 80 260 100 140 120
700
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
9,2
6
4
П2
8,3
3,7
7,1
П3
5
5,6
8
Вероятности pj
0,6
0,3
0,1
Задание №4
55
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
6
10
16
12
4
2
10
2
2
Задание №5
Параметры СМО n
Значения
I
t m
(авт/час)
2
8
10 1
Вариант №2
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
4
1
240
II
2
3
180
III
1
5
251
Прибыль
40
30
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4
В5
А1
19 8
14 5
9
150
А2
6 10
5 25
11
200
А3
7 13
8 12
14
150
Потребности bj 60 140 100 60 12110
500
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
6,1
7,5
5
П2
7,2
5
8,1
П3
5
3,2
6
Вероятности pj
0,7
0,1
0,2
56
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
7
3
6
10
1
2
16
11
5
Задание №5
Параметры СМО n
Значения
I
t m
(авт/час)
4
6
20 3
Вариант №3
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
2
7
560
II
3
3
300
III
5
1
332
Прибыль
55
35
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
3
10
6
13
8
200
А2
7
5
11 16
4
300
А3
12 15 18
9
10
200
Потребности bj 220 160 160 100 200
800
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
2,2
3,8
0,5
П2
2,6
2,4
2,8
П3
3
3
3,1
Вероятности pj
0,4
0,1
0,5
57
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
4
10
3
6
4
7
6
5
2
Задание №5
Параметры СМО n
Значения
I
t m
(авт/час)
3
5
30 4
Вариант №4
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
1
3
300
II
3
4
477
III
4
1
441
Прибыль
52
39
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
15 8
9 11 12
100
А2
4 10 7
5
8
150
А3
6
3
4 15 20
250
Потребности bj 100 40 140 60 160
500
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
2,4
0,9
1,7
П2
1,4
1,8
1,3
П3
1,2
2
1,8
Вероятности pj
0,5
0,2
0,3
Задание №4
58
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
8
10
7
5
3
6
10
5
2
Задание №5
Параметры СМО n
Значения
I
t
(авт/час)
4
2
20
m
3
Вариант №5
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
2
3
298
II
6
2
600
III
1
5
401
Прибыль
22
40
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
25
9
12
6
18
300
А2
4
7
5
11 19
200
А3
10 15 18 13
8
200
Потребности bj 120 180 100 140 160
700
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
2,2
3,1
2,7
П2
2,5
2,3
2,6
П3
2,7
2,6
2,9
Вероятности pj
0,3
0,3
0,4
59
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
7
8
5
4
7
8
9
10
9
Задание №5
Параметры СМО n
Значения
I
t
(авт/час)
3
1
30
m
4
Вариант №6
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
3
1
330
II
2
8
800
III
5
6
745
Прибыль
33
24
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
15
8
5 21 15
150
А2
4
12 7
8
10
200
А3
11 20 13 4
56
200
Потребности bj 100 180 40 120 110
550
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
8,2
5
3
П2
7,3
4,7
6,1
П3
4
4,6
7
Вероятности pj
0,6
0,3
0,1
60
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
5
6
6
7
4
6
6
5
3
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
3 2 1
Вариант №7
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
3
4
600
II
3
1
357
III
1
5
600
Прибыль
42
26
Задание №2
Базы
В1
А1
20
А2
5
А3
30
Потребности bj 40
Потребители
В2 В3 В4
22 9
6
13 7
4
18 15 12
120 60 100
В5
13
10
8
80
Запасы
ai
100
180
120
400
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
5,1
6,5
4
П2
6,2
4
7,1
П3
4
2,2
5
Вероятности pj
0,7
0,1
0,2
61
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
5
11
4
10
6
6
12
16
10
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
4 4 2
Вариант №8
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
5
4
810
II
4
2
980
III
2
6
786
Прибыль
34
36
Задание №2
Базы
В1
А1
16
А2
11
А3
9
Потребности bj 80
Потребители
В2 В3 В4
7
10 9
5
3
8
20 15 11
140 200 60
В5
220
180
200
600
Запасы
ai
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
3,2
4,8
3,8
П2
3,6
3,4
4,1
П3
4
3
2,8
Вероятности pj
0,4
0,1
0,5
62
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
3
8
2
10
8
8
5
7
10
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
5 5 2
Вариант №9
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
2
4
580
II
4
4
680
III
3
2
438
Прибыль
30
44
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
5
8 15 20
9
240
А2
8
7
6
12 14
160
А3
16 11 19 10
5
200
Потребности bj 180 40 160 120 100
600
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
3,4
1,9
2,7
П2
2,4
2,8
2,3
П3
2,2
3
2,8
Вероятности pj
0,5
0,2
0,3
63
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
2
3
2
3
8
1
7
5
4
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
3 3 3
Вариант №10
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
5
2
750
II
4
5
807
III
1
7
840
Прибыль
30
49
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
7
6
4
3
6
100
А2
8
5 15 9 10
200
А3
4
6
3
5
2
300
Потребности bj 100 200 80 60 160
600
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
2,2
3,1
2,7
П2
2,5
2,3
2,6
П3
2,7
2,6
2,9
Вероятности pj
0,3
0,3
0,4
Задание №4
64
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
11
8
6
11
10
5
1
11
10
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
5 2 1
Задача 1. На производство поступила достаточно большая партия стержней длиной 250 и
190 см. Нужно получить 470 заготовок длиной 120 см. и 450 заготовок длиной 80. Отходы должны
быть минимизированы. Построить математическую модель данной задачи.
Задача 2. Найти максимум функции F = x 1+x2 при условиях: 2x1+4x2 ≤ 16, -4x1+2x2 ≤ 8,
x1+3x2 ≥ 9, x1,x2 ≥0. Обосновать.
Задача 3. Найти максимум функции F = 2x1+x2-x3+x4 -x5 при условиях x1+x2+x5=5,
2x1+x2+x4= 9, x1+2x2+x5=7, x1,x2,x3,x4 ,x5≥0. Указание: использовать симплекс метод.
Задача 4. Для производства продукции трёх видов A, B, C используются три различных
вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в объёме не большем, чем 180, 210 и
236 кг. соответственно. Нормы затрат каждого из видов сырья на 1 кг. продукции данного вида и
цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице:
Вид сырья
Нормы затрат сырья на единицу продукции
Изделие A
Изделие B
Изделие C
I
4
2
1
II
3
1
3
III
1
2
5
10
14
12
Цена 1
продукции (т.р.)
кг.
Потратив 50 т.р. фирма может открыть производство 4-го вида продукции, нормы затрат
сырья на единицу которого составляют 2, 4 и 3 кг. соответственно, а цена 1 кг. равна 18 т.р. При
этом функциональность старых линий производства не нарушается. Определить, окупится ли
открытие новой линии производства при таких предположениях.
65
Задача 5. Дана задача линейного программирования f(x) = ‹c,x›→max, c = (c1,...,cn), Ax=b,
b=(b1,...,bm). Доказать, что если эта задача имеет решение (f* < +∞), то f(x)=const для любых
допустимых x.
Решение открытой транспортной задачи методом потенциалов
Задача На оптовых складах А1, А2, А3, А4 имеются запасы некоторого продукта в
известных количествах, который необходимо доставить в магазины В1, В2, В3, В4, В5. Известны
также тарифы на перевозку единицы продукта из каждого склада в каждый магазин.
Найти такой вариант прикрепления магазинов к складам, при котором сумма затрат на
перевозку была бы минимальной.
Задача
1.3
Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В
обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный
– 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона
требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений.
Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений
нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее
элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на
максимум, и почему?
Задача
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья,
нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется:
1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации
готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем
двойственности.
3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при
увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц
запасов сырья III вида;
66
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление
которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Задача
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом
каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое
предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие –
продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой
продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальная
часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).
Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij (i=1, 2, 3; j=1,
2, 3) элементов технологической матрицы А (норма расхода, коэффициентов прямых
материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(aij) (матрицы коэффициентов
прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции
предприятий холдинга.
Задача
В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на
кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в
таблице.
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель (t) = a0 +a1t, параметры которой оценить МНК ( (t)) —
расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3.
Оценить
адекватность
построенных
моделей,
используя
свойства
независимости
остаточной
компоненты,
случайности
и
соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять
табулированные границы 2,7—3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки
аппроксимации.
5. По двум построенным моделям осуществить прогноз
спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при
доверительной вероятности p = 70%).
67
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования
представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные
результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить
соответствующие листинги с комментариями).
Задача Характеристики ОЕ с одним входом и одним выходом заданы таблицей:
О
1
2
3
4
x
3
5
8
9
y
3
6
4
8
Е
5
6
7
1
1
1
1
3
1
0
4
7
1
1
8
3
2

представить МПВ графически;

выделить эффективные и неэффективные ОЕ;

рассчитать графическим методом эффективность по входу и выходу для одной
неэффективной ОЕ
Задача .
Найти максимум функции f(x,y)=xy при ограничениях (x-2)2+(y-3)2≤ 1.
Задача
Дана функция f(x,y) = x2-xy+y2+x-y и начальная точка x0=0, y0 = 0. Сделать два шага по
методу градиентного спуска при том, что α0=½.
Задача
Свести задачу о сетевом планировании (в которой требуется найти минимальное время, за
которое может быть реализован проект), заданную в виде графа работ, к общему виду
транспортной задачи (транспортная сеть с промежуточными пунктами).
Задача
Пусть X – некоторое выпуклое множество в конечномерном пространстве Rn, а f(x) –
выпуклая непрерывно-дифференцируемая функция, определённая на всём Rn. Доказать, что
выполнение для некоторого x0 из X и любых x из X неравенства ‹f'(x0), x-x0›≥0 является
необходимым и достаточным условием того, что в x0 достигается глобальный минимум функции
f(x) на множестве X.
1. Рассмотрим ситуацию, возникающую при слиянии двух фирм А и В. Их оценки
относительно обсуждающихся в ходе переговоров вопросов показаны в таблице.
Пункты переговоров
Название фирмы
Местонахождение штаб-квартиры
Назначение президента
Назначение исполнительного директора
Увольнение персонала
Фирма
А
10
30
10
20
30
В
20
30
20
10
20
Постройте справедливое решение, используя процедуру «подстраивающийся победитель».
Задача
68
Постройте мажоритарный граф при следующих предпочтениях участников на множестве



x
,x
,x
,x
,x
N
1,2,3,4относительно кандидатов из множества A
:
1
2
3
4
5
P
:x

x

x

x

x
;
1
5
1
4
3
2
P
:x

x

x

x

x
;
2
1
5
3
4
2
P
:x

x

x

x

x
;
3
4
1
2
5
3
P
:x

x

x

x

x
.
4
5
1
3
4
2
Есть ли здесь победитель Кондорсе? Проанализируйте полученный результат.
Задача
,
G(X
Y,Г),
X
a
,b
,c,d,e
Y
v,w
,x,y,z
Пусть
где
и


Г

av
,
ax
,
bv
,
bz
,
cw
,
cy
,
cz
,
dy
,
dz
,
ez
. Найдите максимальное паросочетание в G, пользуясь
алгоритмом его построения.
Задача
Совет директоров банка состоит из пяти человек P, A, B, C, D. Президент банка Р имеет три
голоса, остальные члены совета директоров – по одному. Правило принятия решения – минимум
пять голосов «за». Известно, что Р и вице-президенты А и В в силу определенных причин никогда
не голосуют все вместе за одно решение. Найдите индексы влияния Банцафа для каждого члена
совета директоров.
Задача
Доказать, что стабильное паросочетание, получаемое в задаче о марьяжах (с линейными
предпочтениями) результате алгоритма отложенного принятия с предлагающими мужчинами для
каждого из мужчин не хуже чем любое другое стабильное паросочетание.
9.2. Задачи и задания по курсу
Задача по использованию сырья
Виды сырья
Запасы сырья
S1
S2
S3
S4
b1
b2
b3
b4
Виды продукции
П1
a11
a21
a31
a41
П2
a12
a22
a32
a42
Стоимость 1 ед. продукции
С1
С2
a ij – количество единиц сырья вида Si, расходуемого на производство одной единицы продукции
вида Пj i  1,4, j  1,2.
x1ед  П1 , х2 ед  П2
F ( x)  c1 x1  c2 x2  max
при условиях
a11 x1  a12 x 2  b1 
a 21 x1  a 22 x 2  b2 

a 31 x1  a 32 x 2  b3 
a 41 x1  a 42 x 2  b4 
x1  0, x2  0
Задача о диете
69
Питательные
вещества
В1
Кол-во единиц питательных веществ, содержащихся в
единице продукции вида
В2
Вn
…
Количество
питательного
вещества в
диете
N1
a11
a12
…
a1n
b1
N2
a21
a22
….
a2n
b2
…
am1
…
am2
…
…
…
amn
…
bm
С1
С2
….
cn
…
Nn
Стоимость
единицы
продукта
a ij - количество единицы питательного вещества вида N i , содержащегося в одной единице
продукта вида В j .
x1ед  B1 ;
x 2 ед  B2 ;

x n ед  Bn
F x   c1 x1    cn xn  min
при ограничениях
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 , 
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2 , 



a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm .
Общая задача линейного программирования.
Каноническая (основная)
форма
Уравнения
n
a
j 1
ij
x j  bi ,i  1, m
Все переменные
x j  0, j  1, n
Стандартная
(симметрическая) форма
1) ограничения
Неравенства
n
a
j 1
ij
Общая форма
Уравнения неравенства
 
n
 
a i j x j  bi ,i  1, m

j 1
 
 
x j  ( 0)bi ,i  1, m
2) условия неотрицательности
Все переменные
Часть переменных
x j  0, j  1, n
x j  0, j  1, s s  n
n
max или min F(x)
70
3) цель задачи (
 (max F(x))
 (min F(x))
F ( x )   ci j x j
j 1
)
ьфч или ьшт А(ч)
Задание 1
На трех хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 90 т муки. Эта мука
потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны соответственно
80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомбинатов к каждому из хлебозаводов
задаются матрицей:
Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является
минимальной.
Задание 2
В трех хранилищах горючего ежедневно хранится 175, 125 и 140 т бензина. Этот бензин
ежедневно получают четыре заправочных станции в количествах, равных соответственно 180,
110,60 и 40 т. Тарифы перевозок 1 т бензина с хранилищ к заправочным станциям задаются
матрицей:
Составить такой план перевозок бензина, при котором общая стоимость перевозок является
минимальной.
Задание 3
Имеется три участка земли, на которых могут быть засеяны кукуруза, пшеница, ячмень и
просо. Площадь каждого из участков соответственно равна 600, 180 и 220 га. С учетом наличия
семян кукурузой, пшеницей, ячменем и просом следует соответственно засеять 290, 180, 110 и 420
га. Урожайность каждой из культур для каждого из участков различна и задается матрицей:
Определить, сколько гектаров каждой культуры на каждом из участков следует засеять так, чтобы
общий сбор зерна был максимальным.
Задание 4
Мясокомбинат имеет в своем составе четыре завода, на каждом из которых может
изготовляться три вида колбасных изделий. Мощности каждого из заводов соответственно равны
320, 280, 270 и 350 т/сут. Ежедневные потребности в колбасных изделиях каждого вида также
известны и соответвенно равны 450,370 и 400 т. Зная себестоимость 1 т каждого вида колбасных
изделий на каждом заводе, которая определяется матрицей
,
71
найти такое распределение выпуска колбасных изделий между заводами, при котором
себестоимость изготовляемой продукции является минимальной.
Задание 5
Для строительства четырех дорог используется гравий из трех карьеров. Запасы гравия в
каждом из карьеров соответственно равны 120, 280 и 160 усл. ед. Потребности в гравии для
строительства каждой из дорог соответственно равны 130, 220, 60 и 70 усл. ед. Известны также
тарифы перевозок 1 усл. ед. гравия из каждого карьера к каждой из строящихся дорог, которые
задаются матрицей
Составить такой план перевозок гравия, при котором потребности в нем каждой из
строящихся дорог были бы удовлетворены при наименьшей общей стоимости перевозок.
Задание 6
Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую
однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 ед. Эта продукция
должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных 110, 90, 120, 80
и 150 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются
матрицей
Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие затраты
являются минимальными.
Задание 7
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы.
Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и
общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в следующей таблице :
Ресурсы
Нормы затрат ресурсов на одно Общее
изделие
количество
стол
шкаф
ресурсов
Древесина (м3):
0,2
0,1
40
I вида
0,1
0,3
60
II вида
1,2
1,5
371,4
Трудоемкость
(человеко-часов)
Прибыль от
60
80
реализации одного
изделия (руб.)
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их
реализации была максимальной.
Задание 8
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех
видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть
72
разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе
раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при
данном способе раскроя одного листа фанеры.
Вид заготовки
Количество заготовок (шт.) при раскрое по
способу
1
2
I
2
6
II
5
4
III
2
3
Величина отходов (см2)
12
16
Определить, частоту использования способов раскроя фанеры так, чтобы было получено не
меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.
Задание 9
На ткацкой фабрике для изготовления трех артикулов ткани используются ткацкие станки
двух типов, пряжа и красители. В таблице указаны производительность станков каждого типа,
нормы расхода пряжи и красителей, прибыль от реализации 1 м ткани данного артикула, а также
общий фонд рабочего времени станков каждого типа, имеющиеся в распоряжении фабрики запасы
пряжи и красителей и ограничения на возможный выпуск тканей данного артикула.
Ресурсы
Нормы затрат на 1 м ткани
Общее
артикула
количество
ресурсов
Производительность 0,02
0
0,04
200
станков (станко0,04
0,03
0,01
500
часов):
1,0
1,5
2,0
15000
I типа
0,03
0,02
0,025
450
II типа
Пряжа (кг)
Красители (кг)
Прибыль от
5
8
8
реализации
1 м ткани (руб.)
Выпуск ткани (м):
1000
2000
2500
минимальный
2000
9000
4000
максимальный
Составить такой план изготовления тканей, согласно которому будет произведено
возможное количество тканей каждого артикула , а прибыль от реализации максимальна.
Задание 10
Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо
потреблять не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество
питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых продуктов, а также цена 1
кг каждого из этих продуктов приведены в следующей таблице:
Содержание (г) питательных веществ в 1 кг
продуктов
Питательные
вещества
мясо рыба молоко масло сыр крупа картофель
Белки
180 190
30
10
260
130
21
Жиры
20
3
40
865
310
30
2
73
Углеводы
0
0
50
6
20
650
200
Минеральные
соли
9
10
7
12
60
20
10
Цена 1 кг продуктов (руб).
18
10
2,8
34
29
5
1
Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы
потребности человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей стоимости
потребляемых продуктов.
Задание 11
Для производства трех видов продукции предприятие использует два типа
технологического оборудования и два вида сырья. Нормы затрат сырья и времени на изготовление
одного изделия каждого вида приведены в таблице. В ней же указаны общий фонд рабочего
времени каждой из групп технологического оборудования, объемы имеющихся запасов сырья
каждого вида, прибыль от реализации изделия каждого вида и ограничения на возможный выпуск
каждого из изделий.
Ресурсы
Нормы затрат на
Общее количество ресурсов
одно изделие вида
1
2
3
4
Производительность
оборудования
(нормо-часов):
I типа
2
0
4
200
II типа
4
3
1
500
Сырье(кг):
15
10
20
1495
1-го вида
2-го вида
30
20
25
4500
Прибыль от
10
15
20
реализации одного
изделия (руб.)
Выпуск (шт.):
минимальный
10
20
25
максимальный
20
40
100
Составить такой план производства продукции, согласно которому будет изготовлено
необходимое количество изделий каждого вида, а прибыль от реализации изготовляемой
продукции максимальна.
Задание 12
Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А,В, и С использует три вида
основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида
на производство 1 т карамели данного вида приведены в таблице.
В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано
фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели данного вида.
Вид сырья
Нормы расхода сырья (т) на 1 т
карамели
А
74
В
С
Общее
количество
сырья (т)
Сахарный песок
0,5
0,3
0,6
8
Патока
0,2
0,6
0,2
6
Фруктовое пюре
0,3
0,1
0,2
3
Прибыль от
120
112
126
реализации 1 т
продукции (руб.)
Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее
реализации.
Задача о рюкзаке
Контейнер оборудован m отсеками вместимостью
продукции
для перевозки n видов
. Виды продукции характеризуются свойством неделимости, т.е. их можно
брать в количестве 0, 1, 2, ... единиц. Пусть
продукции. Обозначим через
- расход i-го отсека для перевозки единицы j-ой
полезность единицы j-ой продукции. Требуется найти план
перевозки, при котором максимизируется общая полезность рейса. Модель задачи
примет вид:
при ограничениях на вместимости отсеков
условии неотрицательности
условии целочисленности
- целые
.
Когда для перевозки имеется один отсек и каждый вид продукции может быть взят или нет, то
модель задачи принимает вид:
.
Задача о назначении
Имеет n исполнителей, которые могут выполнять n различных работ. Известна полезность
, связанная с выполнением i-м исполнителем j-й работы
. Необходимо назначить
исполнителей на работы так, чтобы добиться максимальной полезности, при условии, что каждый
исполнитель может быть назначен только на одну работу и за каждой работой должен быть
закреплен только один исполнитель. Математическая модель задачи примет вид:
75
Каждый исполнитель назначается только на одну работу:
На каждую работу назначается только один исполнитель:
Условия неотрицательности и целочисленности
,
.
Задача коммивояжера
Коммивояжер должен посетить один, и только один, раз каждый из n городов и вернуться в
исходный пункт. Его маршрут должен минимизировать суммарную длину пройденного пути.
Математическая модель задачи:
Условия неотрицательности и целочисленности
,
.
Добавляется условие прохождение маршрута через все города, т.е. так называемое условие
цикличности. Иначе, маршрут должен представлять собой замкнутую ломаную, без пересечений в
городах-точках.
Найти экстремум функции градиентным методом:
5
f ( x1, x2 )  x12  x2 2  x1x2  7  min , x(0)  (3;1) .
2
2. Решить задачу о рациональном распределении ресурсов методом динамического
программирования:
Номер
варианта
1
2
3
4
5
Предприятие 1
C1
R1
0
0
2
5
3
7
4
8
-
Предприятие 2
C2
R2
0
0
2
6
4
8
-
Предприятие 3
C3
R3
0
0
2
5
3
6
4
7
5
9
Общая сумма капитальных вложений 8 млн. у.е.
9.3. Тестовые задания по курсу
1. Точки, не являющиеся выпуклой линейной комбинацией двух произвольных точек
выпуклого множества, называются
+угловыми
76
крайними
граничными
выколотыми
2. Если существует шар радиуса конечной кончной длины с центром в любой точке
множества, который полностью содержит в себе данное множество, то это множество
называется
+ограниченным
замкнутым
компактным
непрерывным
3. Точка А называется выпуклой линейной комбинацией точек A1,A2,…, An, если
, где
+
и
, где
и
, где
и
, где
и
4. Опорной прямой называется прямая, имеющая с выпуклым
многоугольником,расположенным по одну сторону от нее
+хотя бы одну общую точку
одну общую точку
более одной общей точки
не более одной общей точки
5. Пересечение любого числа выпуклых множеств - есть множество
+выпуклое
ограниченное
замкнутое
компактное
6. Общий вид линейного неравенства с двумя переменными
+
7. Из представленных условий, выделите условия, удовлетворяющие канонической
форме записи задачи линейного программирования
задача на max или min
задача на max или min
77
задача на max или min
+
задача на max или min
8. План, доставляющий линейной форме максимальное или минимальное значение
называется
опорным планом
невырожденным планом
+оптимальным планом
решением
9. S:Максимальное значение целевой функции
при ограничениях
равно…
+:26
-:28
-:18
-:22
10.Дана задача линейного программирования:
f ( X )  c1 x1  c2 x2  min;
 x1  2 x2  12,
3x1  2 x2  36,
 x  x  2,
 1 2
 x1 , x2  0.
Верно утверждение:
+ X  (6, 6) является допустимым планом данной задачи.
X  (8, 6) является опорным (базисным) планом данной задачи.
X  (4, 8) не является допустимым планом данной задачи.
X  (6, 4) не может быть оптимальным ни при каком выборе значений c1 , c2 .
11.S:Максимальное значение целевой функции
+:18
-:20
-:12
-:6
78
при ограничениях
равно…
1
 5 2 4

2 2 1 некоторой антагонистической игры.
12.Дана платёжная матрица 0


 6 4 5 2 


Верно утверждение:
Нижняя цена данной игры равна 1 .
Стратегия с номером 3 первого игрока доминирует стратегию с номером 1.
+Стратегия с номером 3 второго игрока доминирует стратегию с номером 2.
Если p  (1 6,1 3,1 2) и q  (0,1 6,1 3,1 2) смешанные стратегии первого и второго
игроков соответственно, то математическое ожидание выигрыша первого игрока равно 17
13.
S:Среди данных транспортных задач 1.
2.
3.
закрытыми являются …
+:1 и 3
-:1 и 2
-:2 и 3
-:3
14.
S:Ближайшим сроком завершения комплекса работ, представленного сетевой моделью
79
12 .
является T= …
+:9
-:8
-:7
-:6
15.Может ли неопределённая система быть несовместной:
а) да
б) нет
+в) в отдельных случаях
г) нет правильного ответа.
16. Рангом матрицы называется:
+а) наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля
б) наименьший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля
в) наибольший порядок минора матрицы, равного нулю
г) наименьший порядок минора матрицы, равного нулю.
17.Условие совместности системы линейных уравнений:
а) r(A) < r(A1)
б) r(A) > r(A1)
А – матрица системы,
+в) r(A) = r(A1) А1 – расширенная матрица системы
г) нет правильного ответа.
18.Дана функция полезности
. Тогда кривая безразличия задается уравнением…
+:
-:
-:
-:
19.Областью решений линейного неравенства является:
а) неограниченная выпуклая фигура
+б) полуплоскость
в) выпуклый многоугольник
г) пустая область.
80
РАЗДЕЛ 10. ИСТОЧНИКИ
10.1. Обязательная литература
1.А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.1. Общие положения.
Математическое программирование. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2.А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.2. Многокритериальность.
Динамика. Неопределенность. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
3.Ф.Т. Алескеров, Э.Л. Хабина, Д.А. Шварц. Бинарные отношения, графы и коллективные
решения. М: Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2006
4.Ф.П. Васильев, А.Ю. Иваницкий. Линейное программирование. М. Факториал Пресс,
2008.
10.2 Дополнительная литература
5.М. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.:
Изд. Айрис-Пресс, 2002.
6.Х. А. Таха. Введение в исследование операций. М.: Издательский дом «Вильямс», 2005.
7.Ф.П. Васильев. Методы оптимизации. М. Факториал Пресс, 2005.
8.Л.В. Канторович, А.Б. Горстко. Математическое оптимальное программирование в
экономике. М.: Знание, 1968.
9.Исследование операций в экономике. Под ред. Кремера Н.Ш. М.: ЮНИТИ, 2005.
10.
Е.С. Вентцель. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: ВШ,
2001.
11.
В.В. Подиновский Введение в теорию важности критериев в многокритериальных
задачах принятия решений. М.: Физматлит, 2007.
12.
В.Д. Ногин. Методы оптимальных решений. СПб.: СПб филиал ГУ – ВШЭ. 2006.
13.
В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. Парето-оптимальные решения многокритериальных
задач. М.: Физматлит. 2007.
14.
А.А. Петров, И. Г. Поспелов, А.А. Шананин. Опыт математического моделирования
экономики. М.: Энергоатомиздат. 1996.
15.
Методы оптимальных решений для экономистов: Электронный учебнометодический ресурс/ Зайчикова Н.А.; Самарский институт (филиал) РГТЭУ. 2011. 72 стр.
10.4. Интернет-ресурсы
Поисковые системы: http://www.rambler.ru, http://yandex.ru, http://www.google.com ИПС
«Консультант +», ИПС «Гарант» http://www.intuit.ru
http://www.informika.ru
http://www.allmath.ru
http://www.exponenta.ru.
http://www.upreshenia.ru/ Эффективные управленческие решения.
РАЗДЕЛ 11. ГЛОССАРИЙ (СЛОВАРЬ)
Аксиома инвариантности относительно линейного преобразования
81
Если платежные матрицы двух игр с одинаковым числом ходов для каждого игрока
инвариантны относительно линейного преобразования, то и соответствующие арбитражные
решения инвариантны относительно линейного преобразования с теми же коэффициентами
инвариантности.
Аксиома независимости несвязанных альтернатив
Если к игре добавить новые ходы игроков с добавлением новых элементов платежных
матриц таким образом, что точка status quo не меняется, то либо арбитражное решение также не
меняется, либо оно совпадает содной из добавленных сделок.
Аксиома оптимальности по Парето
Арбитражное решение должно быть элементом переговорного множества.
Аксиома симметрии в теории игр
Если игроки находятся в одинаковой ситуации, то и арбитражное решение должно быть
одинаковым.
Алгоритм двойственного симплекс-метода
- алгоритм последовательного улучшения плана, применимого к задаче минимизации
целевой функции, при этом допустимая область определяется следующим образом: компоненты
произведения матрицы ограничений и вектора переменных должны быть больше либо равны
соответствующих компонент вектора ограничений. Условие неотрицательности переменных не
накладывается.
Алгоритм метода ветвей и границ
- алгоритм одного из комбинаторных методов дискретного программирования, при котором
гиперплоскость, определяемая целевой функцией задачи, вдавливается внутрь многогранника
планов соответствующей задачи линейного программирования до встречи с ближайшей
целочисленной точкой этого многогранника.
Алгоритм метода Гомори
- один из алгоритмов нахождения решения задачи целочисленного программирования
группы методов отсекающих плоскостей.
Алгоритм симплекс-метода
- алгоритм последовательного улучшения плана, позволяющий осуществлять переход от
одного допустимого базисного решения к другому таким образом, что значение целевой функции
непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится оптимальное решение.
Алгоритм улучшения плана транспортной задачи
- алгоритм перехода к новому опорному плану транспортной задачи, дающему меньшее
значение функции потерь, до обнаружения оптимального плана.
Антагонистические игры
- игры, в которых интересы игроков строго противоположны, т. е. выигрыш одного игрока проигрыш другого.
Арбитраж
- нахождение совместной стратегии с помощью незаинтересованного лица.
Булевское программирование
- раздел математического программирования, занимающийся разработкой методов решения
специфических задач целочисленного программировыания, когда переменные могут принимать
значения 1 или 0.
Игра называется бесконечной, если у каждого игрока имеется бесконечное число
стратегий.
Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными.
Вырожденный опорный план
- опорный план, число ненулевых компонент которого меньше числа ограничений.- вектор,
компонентами которого являются коэффициенты целевой функции задачи линейного
82
программирования.
Вектор ограничений
- вектор, компонентами которого являются ограничения выражений, определяющих
допустимую область задачи линейного программирования.
Вершина выпуклого многогранника
- это любая точка выпуклого многогранника, которая не является внутренней никакого
отрезка целиком принадлежащего этому многограннику.
Вторая стандартная форма задачи линейного программирования
- форма задачи линейного программирования, в которой целевая функция требует
нахождения минимума, переменные неотрицательны, а компоненты произведения матрицы
ограничений и вектора переменных больше либо равны соответствующих компонент вектора
ограничений.
Второй метод Гомори
- один из группы методов отсекающих плоскостей для нахождения решения частично
целочисленной задачи.
Выбор решений при неопределенности
- игры, где одним из определяющих факторов является внешняя среда или природа, которая
может находится в одном из состояний, которые неизвестны лицу, принимающему решение.
Выпуклая комбинация точек
- точка, компоненты которой представлены суммой произведений неотрицательных
коэффициентов не больших единицы и соответствующих компонент данных точек, при этом
сумма всех коэффициентов равен единице.
Выпуклая оболочка
- это выпуклый многоугольник, вершинами которого являются несколько данных точек
Выпуклое множество
- множество, которое вместе с двумя принадлежащими ему точками обязательно содержит
отрезок, соединяющий эти точки.
Выпуклое программирование
- раздел математического программирования, где целевая функция и функции,
определяющие допустимую область, являются выпуклыми.
Вырожденный опорный план
- опорный план, число ненулевых компонент которого меньше числа ограничений.
Геометрическое программирование.
Под задачами геометрического программирования понимают задачи наиболее плотного
расположения некоторых объектов в заданной двумерной или трехмерной области. Такие задачи
встречаются в задачах раскроя материала для производства каких-то изделий и т.п. Это - еще
недостаточно разработанная область математического программирования и имеющиеся здесь
алгоритмы в основном ориентированы на сокращение перебора вариантов с поиском локальных
минимумов.
Геометрическое решение игры
- нахождение решения игры посредством представления данных задачи в виде
геометрических фигур на координатной плоскости.
Граф
- это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между
собой все или часть этих точек.
Двойственные задачи линейного программирования
- задачи линейного программирования, которые могут быть составлены из исходных задач
линейного программирования согласно соответствующим правилам, о которых вы можете узнать
при переходе по ссылке.
Дельта-метод
- один из методов проверки опорного плана транспортной задачи на оптимальность.
Динамическое программирование
83
- вычислительный метод решения экстремальных задач определенной структуры,
представляющий собой направленный последовательный перебор вариантов, который обязательно
приводит к глобальному максимуму.
Дискретное программирование
- раздел математического программирования, в котором на экстремальные задачи
налагается условие дискретности переменных при конечной области допустимых значений.
Допустимая область задачи линейного программирования
- множество опорных планов задачи линейного программирования.
Дерево
это связный граф без циклов.
Динамическое программирование.
Для отыскания оптимального решения планируемая операция разбивается на ряд шагов
(этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода
решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом.
Задача коммивояжера
Коммивояжер должен посетить один, и только один, раз каждый из n городов и вернуться в
исходный пункт. Его маршрут должен минимизировать суммарную длину пройденного пути.
Задача линейного программирования
- характеризуется тем, что целевая функция является линейной функцией переменных,а
область допустимых значений определяется системой линейных равенств или неравенств.
Задача математического программирования
В общей постановке задачи этого раздела выглядят следующим образом. Имеются какие-то
переменные
и функция этих переменных
, которая носит
название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой
функции
при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G.
Задача о диете
возникает при составлении наиболее экономного (т.е. наиболее дешевого) рациона питания
животных, удовлетворяющего определенным медицинским требованиям.
Задача о назначении
Имеем n исполнителей, которые могут выполнять n различных работ. Известна полезность
, связанная с выполнением i-м исполнителем j-й работы
. Необходимо назначить
исполнителей на работы так, чтобы добиться максимальной полезности, при условии, что каждый
исполнитель может быть назначен только на одну работу и за каждой работой должен быть
закреплен только один исполнитель.
Задача о рюкзаке
Контейнер оборудован m отсеками вместимостью
продукции
. Виды продукции характеризуются свойством неделимости, т.е. их можно
брать в количестве 0, 1, 2, ... единиц. Пусть
продукции. Обозначим через
перевозки,
при
- расход i-го отсека для перевозки единицы j-ой
полезность единицы j-ой продукции. Требуется найти план
котором
максимизируется
Задача о составлении плана производства
84
для перевозки n видов
общая
полезность
рейса.
- возникает при неоходимости максимизации дохода от реализации продукции,
производимой некоторой организацией, при этом производство ограничено имеющимися
сырьевыми ресурсами.
Задачами теории массового обслуживания
- является анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания. Одна из
основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые
обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания,
минимум средней длины очереди.
Игра n лиц с постоянной суммой
- игры, в которых принимает участие n игроков, существует n множеств стратегий и n
действительных платежных функций от n переменных, каждая из которых является элементом
соответствующего множества стратегий. Каждый игрок знает всю структуру игры и в своем
поведении неизменно руководствуется желанием получить максимальный средний выигрыш.
Игра двух лиц с ненулевой суммой
- игры, в которых сумма выигрышей двух игроков после каждой партии не равна нулю.
Игра двух лиц с нулевой суммой
- игры, в которых интересы двух игроков строго противоположны, т.е. выигрыш одного
есть проигрыш другого.
Игра против природы
- игры, где одним из определяющих факторов является внешняя среда или природа, которая
может находится в одном из состояний, которые неизвестны лицу, принимающему решение.
Игра с нулевой суммой
- игры, в которых сумма выигрыша игроков после каждой партии составляет ноль.
Игры S-эквивалентные
- Это две игры n-лиц с характеристическими функциями
и
, определённые на
одном и том же множестве игроков и связанные соотношением
Исследование операций
- наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее
оптимального управления организационными системами
Игра
- математическая модель конфликтной ситуации, стороны, участвующие в конфликте,
называются игроками, а исход конфликта - выигрышем.
Канонической форма задачи ЛП
- является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F, ее система
ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х1, х2 , ..., хn
являются неотрицательными.
Квадратичное программирование
- раздел математического программирования, в котором рассматриваются задачи
следующего вида (в матричных обозначениях)
где
. Задачи линейного программирования
=0.
Классификация обслуживающих систем по составу:
85
Одноканальные системы;
Многоканальные системы (много приборов обслуживания).
Классификация обслуживающих систем по времени пребывания требований в
системе до начала обслуживания:
Системы с неограниченным временем ожидания;
Системы с отказами (вновь поступившее требование, застав все приборы занятыми,
покидает систему);
Системы смешанного типа (поступившее требование становится в очередь, но, в отличие от
(1), оно в очереди может находиться ограниченное время, после чего, не дождавшись
обслуживания, покидает систему.
Классификация задач исследования операций
Задачи можно разделить на три уровня:
Детерминированый уровень; Стохастический уровень; Неопределенный уровень.
Классификация игр:
По выигрышу: антагонистические игры и игры с нулевой суммой.
По характеру получения информации: игры в нормальной форме (игроки получают всю
информацию до начала игры) и динамические игры (информация поступает в процессе игры).
По количеству стратегий: конечные игры; бесконечные игры.
По составу игроков: бескоалиционные игры; коалиционные игры.
Классификация игр ненулевой суммой
Игры с ненулевой суммой делятся
на
кооперативные
и
некооперативные.
Коалиции игроков
- объединение m игроков в игре n лиц (m меньше n) с целью получения максимального
выигрыша
и
выработке
соответствующих
стратегий.
Кооперативная игра двух лиц
-игра двух лиц, в которой
игроки
имеют
возможность
договариваться
Критерий минимаксного сожаления
Пусть
состоянии Природы.
Перейдём
величин
, то есть
от
это максимум того, что может получить игрок при j-м
к величинам
,
которые можно трактовать как “сожаление”, то есть недополученная выгода от того, что
при j-м состоянии Природы игрок сделал неправильный ход. Тогда в качестве критерия для
выбора хода предлагается следующий, то есть минимизация максимального “сожаления”.
Критерий оптимизма-пессимизма Гурвица
86
Пусть
,
, то есть
и
есть минимум и максимум того, что может
получить игрок, выбирая ход номер i. Свяжем с каждым ходом величину
и будем выбирать свой ход из условия
.
Коэффициент носит название показателя пессимизма игрока. При =1 мы имеем крайне
пессимистичного человека, и этот критерий переходит в критерий максимина. При =0 перед
нами убеждённый оптимист.
Компьютерная модель
— это модель, реализованная средствами программной среды.
Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий.
Граф без цикла называется лесом.
Линейное программирование
- состоит в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных
при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные.
Вершины степени 1 в дереве называются листьями.
Личный ход
— это сознательный выбор игроком одного из возможных действий.
Максиминная стратегия
- стратегия игрока, при которой он стремится сделать минимальный выигрыш
максимальным, т. е. получить наилучшую выгоду в наихудших условиях.
Математическая модель
- любой задачи линейного программирования включает в себя:

максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);

систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;

требование неотрицательности переменных.

Математические моделирование
– наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее
оптимального управления организационными системами.
Матричные игры
- это игры, математические модели которых можно представить в виде матриц.
Модель
– материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования
замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объектеоригинале.
Моделировaние
– это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с
определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом экспериментом нa модели.
87
Метод аппроксимации Фогеля
- один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной
задачи. Данный метод состоит в следующем:
1.
на каждой итерации находят разности между двумя наименьшими тарифами во всех
строках и столбцах, записывая их в дополнительные столбец и строку таблицы;
2.
находят max Δcij и заполняют клетку с минимальной стоимостью в строке (столбце),
которой соответствует данная разность.
Метод двойного предпочтения
- один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной
задачи.
Метод минимальной стоимости
- один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной
задачи. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и
в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai , или bj.
Метод потенциалов
- один из методов проверки опорного плана транспортной задачи на оптимальность.
Метод северо-западного угла
- один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной
задачи.
Минимаксная стратегия
- стратегия игрока, при которой он стремится сделать максимальный проигрыш
минимальным.
Игра называется множественной, если число игроков больше двух.
Невырожденный опорный план
- план, соответствующий вершине допустимой области, который имеет m отличных от нуля
компонент, где m есть количество ограничений задачи линейного программирования.
Некооперативная игра двух лиц
- игра двух лиц, в которой игроки не имеют возможности общаться друг с другом,
возможность же сговора появляется в ходе многократного повторения игры.
Нормализация характеристической функции
- приведение характеристической функции к нормальной форме.
Нулевая подстановка
- один из приемов снятия вырождения при решении транспортной задачи.
Нелинейное программирование.
Целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями.
Игра с нулевой суммой (антагонистическая),
если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.
Обслуживающие системы
88
- системы массового обслуживания, характеризующиеся входящим потоком требований,
приборами обслуживания, Очередью требований, выходящим потоком требований.
Оптимальный план ЗЛП
- решение задачи линейного программирования, т. е. такой план, который входит в
допустимую область и доставляет экстремум целевой функции.
Основная теорема линейного программирования
- Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимой
области, то она принимает это же значение в крайней точке допустимой области. Если целевая
функция принимает максимальное значение более, чем в одной крайней точке, то она принимает
это же значение в любой их выпуклой комбинации.
Открытая транспортная задача
- несбалансированная транспортная задача.
Отрезок
- множество точек, которые могут быть представлены в виде выпуклой комбинации данных
двух точек.
Оптимальный план ЗЛП
- решение задачи линейного программирования, т. е. такой план, который входит в
допустимую область и доставляет экстремум целевой функции.
Остовной подграф
- это граф, множество вершин которого совпадает с множеством вершин самого графа.
Открытая ТЗ
- если общее количество груза в пунктах отправления и общая потребность в пунктах
назначения не совпадают (
)
Партия игры
- совокупность действий игроков, определенная правилами игры и состоящая из ходов,
после
которых
игрокам
выплачиваются
выигрыши.
Первая стандартная форма ЗЛП
- форма задачи линейного программирования, в которой целевая функция требует
нахождения максимума, переменные неотрицательны, а компоненты произведения матрицы
ограничений и вектора переменных должны быть меньше либо равны соответствующих
компонент
вектора
ограничений.
Переговорное множество
- множество точек из R, которые не подчинены никаким другим точкам и для которых
выполняется условие
.
План
- набор чисел, удовлетворяющий ограничениям задачи линейного программирования.
Платежная матрица игры
89
- матрица размерности m на n, i=1,...,n j=1,...,m (i,j)-ый элемент которой значение выигрыша
(проигрыша) игроков в случае i-го хода первого игрока и j-го хода второго игрока.
Подчиненная точка
- Точка
называется подчинённой точке
причем хотя бы одно из этих неравенств строгое.
если одновременно
и
,
Позиционные игры
- описание игры как последовательности ходов.
Потенциалы
- переменные,
транспортной задачи.
соответствующие
переменным
двойственной
задачи
для
данной
Правильное отсечение
- отсечение, которое удовлетворяет следующим требованиям: линейно; отсекает часть
области, не содержащей допустимых решений целочисленной задачи; не отсекает ни одного
целочисленного оптимального плана.
Предмет исследования операций
- системы организационного управления, которые состоят из
взаимодействующих
подразделений,
не
всегда
согласующихся
большого числа
между
собой.
Предмет теории игр
- принятие решений в условиях неопределенности, в условиях столкновения, конфликтных
ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок), располагает информацией лишь о
множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится,о
множестве решений, которые он может принять, и о количественной мере того выигрыша,
который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию.
Предпосылки в играх
- это вектора, компонентами которых является среднее значение дохода соответствующих
игроков, которые объединились в коалицию, приэтом доходы должны быть не меньше доходов,
получаемых игроками вне коалиции, а весь доход коалиции должен быть распределен между
игроками. Это характерно для игры с постоянной суммой.
Признак вершины допустимой области
Если система из k ненулевых векторов-столбцов, образованных соответствующими
столбцами матрицы ограничений является линейно независимой и ненулевые координаты точки
X, удовлетворяют ограничениям, то эта точка является вершиной допустимой области.
Признак целочисленности плана транспортной задачи
Если все запасы и потребности целые числа, то оптимальный план перевозок
целочисленный.
Принцип недостаточного основания
- заключается в том, что все состояния природы считаются равновероятными.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока.
Подграф графа
90
- это граф, являющийся подмоделью исходного графа, т. е. подграф содержит некоторые
вершины исходного графа и некоторые ребра (только те, оба конца которых входят в подграф).
Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.
Платежная матрица игры
- матрица размерности m на n, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m, (i,j)-ый элемент которой значение
выигрыша (пригрыша) игроков в случае i-го хода первого игрока и j-го хода второго игрока.
Предмет теории игр
- принятие решений в условиях неопределенности, в условиях столкновения, конфликтных
ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок), располагает информацией лишь о
множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится, о
множестве решений, которые он может принять, и о количественной мере того выигрыша,
который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию.
Принцип оптимальности динамического программирования
- каково бы ни было состояние системы в результате какого-либо числа шагов, на
ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным
управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех
оставшихся шагах, включая выигрыш на данном шаге. Простая цепь - маршрут, в котором все
вершины попарно различны.
Простой граф
- это граф без кратных ребер и петель.
Простой цикл
- цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, попарно различны.
Пустым называется граф без ребер.
Путь в ориентированном графе
- это последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от
последней, является начальной вершиной следующей.
Решение задачи линейного программирования
это план, доставляющий экстремальное значение целевой функции.
Решение игры
- уравновешенная пара.
Решение игры n лиц
- определяется как любое множество A. такое, что
1.
если и y - предпосылки, входящие в A, то ни одна из них не доминирует над другой;
2.
если z - предпосылка, не входящая в A, то найдётся по крайней мере одна
предпосылка принадлежит A, которая доминирует над z.
Решение – всякий определенный набор зависящих параметров.
Сбалансированная транспортная задача
- транспортная задача, в которой выполняется условие баланса.
91
Сговор в игре
- совместные действия игроков с целью получения максимального выигрыша.
Седловой точкой
действительной функции
для
всех
, определённой
называется
точка
,
,
выполнены следующие условия:
1.
где
, если
;
2.
.
Семейный спор
- игры, которые имеют платёжную матрицу
и которая получила название “семейный спор”. Название возникло из-за следующей её
интерпретации. Муж (игрок 1) и жена (игрок 2) могут выбирать одно из двух вечерних
развлечений - футбол (i=1, j=1) или театр (i=2, j=2). Согласно обычному стандарту, мужчина
предпочитает футбол, а женщина - театр. Однако им гораздо важнее идти вместе, чем смотреть
своё предпочтительное зрелище. И если они поругаются и пойдут в разные стороны (i=1, j=2 или
i=2, j=1), то оба проиграют, получая (-1,-1).
Симплекс-метод
- последовательное улучшение плана задачи линейного программирования, позволяющее
осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что
значения целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится
оптимальное решение.
Смешанные стратегии
- стратегия случайного выбора хода игрока.
Стохастическое программирование
- раздел математического программирования, задачами которого является решение
экстремальных задач, в которых некоторые коэффициенты целевой функции и элементы матрицы
ограничений являются случайными числами.
Граф называется связным, если любая пара его вершин связана.
Симплекс метод
- алгоритм последовательного улучшения плана, позволяющий осуществлять переход от
одного допустимого базисного решения к другому таким образом, что значение целевой функции
непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится оптимальное решение.
Седловой точкой
- действительной функции f (x,y), определённой для всех x € A, y € B, называется точка (x0 ,
y0 ), где x € A, y € B, если выполнены следующие условия:
1.
x € A, f (x , y0x,y0) f (x0 , y0),
92
2.
x € В, f (x0 , y0) f (x0 , y).
Случайный ход
— это случайно выбранное действие игроком.
Стандартная форма задачи линейного программирования
- является задачей на максимум (минимум) линейной целевой функции. Система
ограничений ее состоит из одних линейных неравенств типа «≤» или «≥». Все переменные задачи
неотрицательны.
Стационарная точка
- точка X* , в которой все частные производные функции Z = f (Х) равны 0.
Степень вершины
- это удвоенное количество петель, находящихся у этой вершины плюс количество
остальных прилегающих к ней ребер.
Стохастическое линейное программирование.
Бывает много практических ситуаций, когда коэффициенты ci целевой функции,
коэффициенты aij в матрице коэффициентов, коэффициенты ограничений bi - являются
случайными величинами. В этом случае сама целевая функция становится случайной величиной, и
ограничения типа неравенств могут выполняться лишь с некоторой вероятностью. Приходится
менять постановку самих задач с учётом этих эффектов и разрабатывать совершенно новые
методы их решения. Соответствующий раздел получил название стохастического
программирования.
Стратегией игрока
называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном
ходе в зависимости от сложившейся ситуации.
Теорема двойственности
( В формулировке для несимметричной двойственной задачи)
Если i-ая компонента оптимального плана исходной задачи строго положительна, то i-ое
ограничение двойственной задачи при подстановке в нее оптимального плана превращается в
строгое равенство
.
Если i-ая компонента
оптимального плана исходной задачи равна нулю, то i-ое
ограничение двойственной задачи при подстановке в нее оптимального плана имеет вид
.
(В формулировке для симметричной двойственной задачи).
Если i-ая компонента оптимального плана какой-то задачи положительна, то i-ое
ограничение двойственной ей задачи, при подстановке в не оптимального плана, превращается в
строгое
равенство.
Наоборот, если i-ое ограничение какой-то задачи, при подстановке в него оптимального плана,
превращается в строгое неравенство, то i-ая компонента оптимального плана двойственной ей
задачи равна нулю.
Теорема о выпуклом множестве и выпуклой комбинации этого множества
93
Пусть G - выпуклое множество. Тогда любая выпуклая комбинация точек, принадлежащих
этому
множеству,
также
принадлежит
этому
множеству.
Теорема о выпуклости допустимого множества ЗЛП
. Допустимая область задачи линейного программирования
множеством.
является
выпуклым
Теорема о выпуклости оптимальных планов ЗЛП
. Множество оптимальных планов задачи линейного программирования выпукло (если оно
не пусто).
Теорема о конечности первого алгоритма Гомори
Пусть множество оптимальных планов
и выполняются следующие условия:
задачи
ограничено
1) - целые коэффициенты целевой функции F, строка целевой функции в симплексной
таблице учитывается при выборе строки для построения правильного отсечения;
2) справедливо одно из двух утверждений: либо целевая функция ограничена снизу на
либо
,
-задача имеет хотя бы один план.
Тогда первый алгоритм Гомори требует конечного числа больших итераций.
Теорема о существовании решения ЗЛП и ограниченности целевой функции
Для того, чтобы задача линейного программирования имела решение, необходимо и
достаточно, чтобы целевая функция на допустимом множестве была ограничена сверху (при
решении задачи на максимум) или снизу (при решении задачи на минимум).
Теорема о том, что любая точка выпуклого многогранника является выпуклой
комбинацией вершин
Любая точка выпуклого многогранника является выпуклой комбинацией его вершин.
Теория игр
- теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, в
условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок),
располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в
действительности находится,о множестве решений, которые он может принять, и о
количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации
данную
стратегию.
Точка Status quo
- точка, координатами которой являются максимальные выигрыши первого и второго
игроков соответственно.
Транспортная задача
Пусть имеется однородный продукт, распределенный в определенных количествах (не
обязательно одинаковых) в m складах. Этот продукт необходимо доставить в n пунктов
потребления, причем в каждый пункт установленное количество. Запасы и потребности
сбалансированы. Стоимость перевозки из конкретного склада в конкретный пункт индивидуальна.
Товар должен быть вывезен из всех складов и доставлен в требуемом количестве в каждый пункт.
Задача заключается в минимизации транспортных расходов.
94
Теорема об активных стратегиях.
Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то
выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы
своих активных стратегий.
Теория графов.
С помощью теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальным
протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д.
Теория игр
пытается математически объяснить явления возникающие в конфликтных ситуациях, в
условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются психологией, политологией,
социологией, экономикой.
Транспортная задача
- в общем виде состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого
однородного груза из m пунктов отправления A1, A2 , ..., Am в n пунктов назначения B1, B2 , ..., Bn .
Уравновешенная пара
- решение игры.
Фиктивные цены
переменные в двойственной задаче, о характеристиках которых вы можете узнать при
переходе по ссылке
Ход игрока
- выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий.
Целевая функция
- функция в математическом программировании, для которой требуется найти экстремум.
Целочисленная задача
Экстремальная задача линейного программирования, в которой на решение налагается
целочисленность компонент, является задачей целочисленного программирования и называется
целочисленной задачей.
Целочисленное программирование
- раздел математического программирования, занимающийся разработкой методов решения
частного случая задач дискретного программирования, когда на переменные наложено условие
целочисленности.
Цена игры
- величина выигрыша игрока.
Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v.
Цепь
маршрут, в котором все ребра попарно различны.
Циклом
95
называют замкнутую ломаную линию, все вершины которой лежат в занятых ячейках,
кроме одной, расположенной в свободной клетке, подлежащей заполнению, а звенья параллельны
строкам и столбцам, причем в каждой строке (столбце) лежит не более 2-х вершин.
Частично целочисленная задача
Экстремальная задача линейного программирования, в которой на решение налагается
целочисленность нескольких компонент, является задачей целочисленного программирования и
называется частично целочисленной задачей.
Чистые стратегии
- возможные ходы в распоряжении игроков.
Эпсилон-прием
- один из приемов снятия вырожденности при решении транспортной задачи.
Элементы решения
– параметры, совокупность которых образует решение
РАЗДЕЛ 12. НАБОР ИЛЛЮСТРАЦИЙ, ГРАФИКОВ, СХЕМ, ФОТОГРАФИЙ
Краткие теоретические материалы
При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать
математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами
на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом
решении. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется постановкой
оптимальной задачи, а также используемой математической моделью объекта оптимизации.
В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие
методы:

методы исследования функций классического анализа;

методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа;

вариационное исчисление;

динамическое программирование;

принцип максимума;

линейное программирование;

нелинейное программирование.
В последнее время разработан и успешно применяется для решения определенного класса
задач метод геометрического программирования.
Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать
для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом
отношении являются более общими, другие – менее общими. Наконец, целую группу методов
(методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, методы
нелинейного программирования) на определенных этапах решения оптимальной задачи можно
применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием или
принципом максимума.
Отметим также, что некоторые методы специально разработаны или наилучшим образом
подходят для решения оптимальных задач с математическими моделями определенного вида. Так,
математический аппарат линейного программирования, специально создан для решения задач с
линейными критериями оптимальности и линейными ограничениями на переменные и позволяет
решать большинство задач, сформулированных в такой постановке. Так же и геометрическое
96
программирование предназначено для решения оптимальных задач, в которых критерий
оптимальности и ограничения представляются специального вида функциями позиномами.
Динамическое программирование хорошо приспособлено для решения задач оптимизации
многостадийных процессов, особенно тех, в которых состояние каждой стадии характеризуется
относительно небольшим числом переменных состояния. Однако при наличии значительного
числа этих переменных, т. Е. при высокой размерности каждой стадии, применение метода
динамического программирования затруднительно вследствие ограниченных быстродействия и
объема памяти вычислительных машин.
Пожалуй, наилучшим путем при выборе метода оптимизации, наиболее пригодного для
решения соответствующей задачи, следует признать исследование возможностей и опыта
применения различных методов оптимизации. Ниже приводится краткий обзор математических
методов решения оптимальных задач и примеры их использования. Здесь же дана лишь краткая
характеристика указанных методов и областей их применения, что до некоторой степени может
облегчить выбор того или иного метода для решения конкретной оптимальной задачи.
Методы исследования функций классического анализа представляют собой наиболее
известные методы решения несложных оптимальных задач, с которыми известны из курса
математического анализа. Обычной областью использования данных методов являются задачи с
известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень
сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю
производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне
редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как, правило, применяют вычислительные
машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего
приходится
использовать
численные
методы,
аналогичные
методам
нелинейного
программирования.
Дополнительные трудности при решении оптимальной задачи методами исследования
функций классического анализа возникают вследствие того, что система уравнений, получаемая в
результате их применения, обеспечивает лишь необходимые условия оптимальности. Поэтому все
решения данной системы (а их может быть и несколько) должны быть проверены на
достаточность. В результате такой проверки сначала отбрасывают решения, которые не
определяют экстремальные значения критерия оптимальности, а затем среди остающихся
экстремальных решений выбирают решение, удовлетворяющее условиям оптимальной задачи, т.
Е. наибольшему или наименьшему значению критерия оптимальности в зависимости от
постановки задачи.
Методы исследования при наличии ограничений на область изменения независимых
переменных можно использовать только для отыскания экстремальных значений внутри
указанной области. В особенности это относится к задачам с большим числом независимых
переменных (практически больше двух), в которых анализ значений критерия оптимальности на
границе допустимой области изменения переменных становится весьма сложным.
Метод множителей Лагранжа применяют для решения задач такого же класса сложности,
как и при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений
типа равенств на независимые переменные. К требованию возможности получения аналитических
выражений для производных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное
требование относительно аналитического вида уравнений ограничений.
В основном при использовании метода множителей Лагранжа приходится решать те же
задачи, что и без ограничений. Некоторое усложнение в данном случае возникает лишь от
введения дополнительных неопределенных множителей, вследствие чего порядок системы
уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, соответственно
повышается на число ограничений. В остальном, процедура поиска решений и проверки их на
оптимальность отвечает процедуре решения задач без ограничений.
Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов на
основе уравнений с частными производными и задач динамической оптимизации. При этом
97
вместо решения системы конечных уравнений для отыскания оптимума необходимо
интегрировать систему дифференциальных уравнений.
Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве
вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с
ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом
программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе
динамического программирования, где с их помощью иногда удается снизить размерность
решаемой задачи.
Методы вариационного исчисления обычно используют для решения задач, в которых
критерии оптимальности представляются в виде функционалов и решениями которых служат
неизвестные функции. Такие задачи возникают обычно при статической оптимизации процессов с
распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации.
Вариационные методы позволяют в этом случае свести решение оптимальной задачи к
интегрированию системы дифференциальных ' уравнений Эйлера, каждое из которых является
нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с граничными условиями,
заданными на обоих концах интервала интегрирования. Число уравнений указанной системы при
этом равно числу неизвестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи.
Каждую функцию находят в результате интегрирования получаемой системы.
Уравнения Эйлера выводятся как необходимые условия экстремума функционала. Поэтому
полученные интегрированием системы дифференциальных уравнений функции должны быть
проверены на экстремум функционала.
При наличии ограничений типа равенств, имеющих вид функционалов, применяют
множители Лагранжа, что дает возможность перейти от условной задачи к безусловной. Наиболее
значительные трудности при использовании вариационных методов возникают в случае решения
задач с ограничениями типа неравенств.
Заслуживают внимания прямые методы решения задач оптимизации функционалов,
обычно позволяющие свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного
программирования, решить которую иногда проще, чем краевую задачу для уравнений Эйлера.
Динамическое программирование служит эффективным методом решения задач
оптимизации дискретных многостадийных процессов, для которых критерий оптимальности
задается как аддитивная функция критериев оптимальности отдельных стадий. Без особых
затруднений указанный метод можно распространить и на случай, когда критерий оптимальности
задан в другой форме, однако при этом обычно увеличивается размерность отдельных стадий.
По существу метод динамического программирования представляет собой алгоритм
определения оптимальной стратегии управления на всех стадиях процесса. При этом закон
управления на каждой стадии находят путем решения частных задач оптимизации
последовательно для всех стадий процесса с помощью методов исследования функций
классического анализа или методов нелинейного программирования. Результаты решения обычно
не могут быть выражены в аналитической форме, а получаются в виде таблиц.
Ограничения на переменные задачи не оказывают влияния на общий алгоритм решения, а
учитываются при решении частных задач оптимизации на каждой стадии процесса. При наличии
ограничений типа равенств иногда даже удается снизить размерность этих частных задач за счет
использования множителей Лагранжа. Применение метода динамического программирования для
оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической
оптимизации приводит к решению дифференциальных уравнений в частных производных. Вместо
решения таких уравнений зачастую значительно проще представить непрерывный процесс как
дискретный с достаточно большим числом стадий. Подобный прием оправдан особенно в тех
случаях, когда имеются ограничения на переменные задачи и прямое решение дифференциальных
уравнений осложняется необходимостью учета указанных ограничений.
При решении задач методом динамического программирования, как правило, используют
вычислительные машины, обладающие достаточным объемом памяти для хранения
промежуточных результатов решения, которые обычно получаются в табличной форме.
98
Принцип максимума применяют для решения задач оптимизации процессов,
описываемых системами дифференциальных уравнений. Достоинством математического аппарата
принципа максимума является то, что решение может определяться в виде разрывных функций;
это свойственно многим задачам оптимизации, например задачам оптимального управления
объектами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями.
Нахождение оптимального решения при использовании принципа максимума сводится к
задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса и сопряженной системы
для вспомогательных функций при граничных условиях, заданных на обоих концах интервала
интегрирования, т. Е. к решению краевой задачи. На область изменения переменных могут быть
наложены ограничения. Систему дифференциальных уравнений интегрируют, применяя обычные
программы на цифровых вычислительных машинах.
Принцип максимума для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, при
некоторых предположениях является достаточным условием оптимальности. Поэтому
дополнительной проверки на оптимум получаемых решений обычно не требуется.
Для дискретных процессов принцип максимума в той же формулировке, что и для
непрерывных, вообще говоря, несправедлив. Однако условия оптимальности, получаемые при его
применении для многостадийных процессов, позволяют найти достаточно удобные алгоритмы
оптимизации.
Линейное
программирование
представляет
собой
математический
аппарат,
разработанный для решения оптимальных задач с линейными выражениями для критерия
оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Такие задачи
обычно встречаются при решении вопросов оптимального планирования производства с
ограниченным количеством ресурсов, при определении оптимального плана перевозок
(транспортные задачи) и т. Д.
Для решения большого круга задач линейного программирования имеется практически
универсальный алгоритм – симплексный метод, позволяющий за конечное число итераций
находить оптимальное решение подавляющего большинства задач. Тип используемых
ограничений (равенства или неравенства) не сказывается на возможности применения указанного
алгоритма. Дополнительной проверки на оптимальность для получаемых решений не требуется.
Как правило, практические задачи линейного программирования отличаются весьма
значительным числом независимых переменных. Поэтому для их решения обычно используют
вычислительные машины, необходимая мощность которых определяется размерностью решаемой
задачи.
Методы нелинейного программирования применяют для решения оптимальных задач с
нелинейными функциями цели. На независимые переменные могут быть наложены ограничения
также в виде нелинейных соотношений, имеющих вид равенств или неравенств. По существу
методы нелинейного программирования используют, если ни один из перечисленных выше
методов не позволяет сколько-нибудь продвинуться в решении оптимальной задачи. Поэтому
указанные методы иногда называют также прямыми методами решения оптимальных задач.
Для получения численных результатов важное место отводится нелинейному
программированию и в решении оптимальных задач такими методами, как динамическое
программирование, принцип максимума и т. П. на определенных этапах их применения.
Названием “методы нелинейного программирования” объединяется большая группа
численных методов, многие из которых приспособлены для решения оптимальных задач
соответствующего класса. Выбор того или иного метода обусловлен сложностью вычисления
критерия оптимальности и сложностью ограничивающих условий, необходимой точностью
решения, мощностью имеющейся вычислительной машины и т.д. Ряд методов нелинейного
программирования практически постоянно используется в сочетании с другими методами
оптимизации, как, например, метод сканирования в динамическом программировании. Кроме
того, эти методы служат основой построения систем автоматической оптимизации –
оптимизаторов, непосредственно применяющихся для управления производственными
процессами.
99
Геометрическое программирование есть метод решения одного специального класса
задач нелинейного программирования, в которых критерий оптимальности и ограничения
задаются в виде позиномов – выражений, представляющих собой сумму произведений степенных
функций от независимых переменных. С подобными задачами иногда приходится сталкиваться в
проектировании. Кроме того, некоторые задачи нелинейного программирования иногда можно
свести к указанному представлению, используя аппроксимационное представление для целевых
функций и ограничений.
Специфической особенностью методов решения оптимальных задач (за исключением
методов нелинейного программирования) является то, что до некоторого этапа оптимальную
задачу решают аналитически, т. Е. находят определенные аналитические выражения, например,
системы конечных или дифференциальных уравнений, откуда уже отыскивают оптимальное
решение. В отличие от указанных методов при использовании методов нелинейного
программирования, которые, как уже отмечалось выше, могут быть названы прямыми, применяют
информацию, получаемую при вычислении критерия оптимальности, изменение которого служит
оценкой эффективности того или иного действия.
Важной характеристикой любой оптимальной задачи является ее размерность п, равная
числу переменных, задание значений которых необходимо для однозначного определения
состояния оптимизируемого объекта. Как правило, решение задач высокой размерности связано с
необходимостью выполнения большого объема вычислений. Ряд методов (например,
динамическое программирование и дискретный принцип максимума) специально предназначен
для решения задач оптимизации процессов высокой размерности, которые могут быть
представлены как многостадийные процессы с относительно невысокой размерностью каждой
стадии.
В таблице 1.1 [2] дана характеристика областей применения различных методов
оптимизации, при этом за основу положена сравнительная оценка эффективности использования
каждого метода для решения различных типов оптимальных задач. Классификация задач
проведена по следующим признакам:

вид математического описания процесса;

тип ограничений на переменные процесса

число переменных.
Предполагается, что решение оптимальной задачи для процессов, описываемых системами
конечных уравнений, определяется как конечный набор значений управляющих воздействий
(статическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами), а для процессов,
описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, управляющие
воздействия характеризуются функциями времени (динамическая оптимизация процессов с
сосредоточенными параметрами) или пространственных переменных (статическая оптимизация
процессов с распределенными параметрами).
Классификация задач по группам с числом независимых переменных, большим и меньшим
трех или равным трем как характеристика размерности задач с большим и малым числом
переменных, разумеется, весьма условна и в данном случае выбрана скорее из соображений
наглядности графического изображения пространства изменения переменных задачи – фазового
пространства (при числе переменных большем трех графическое изображение фазового
пространства обычными приемами отсутствует). Тем не менее, такая классификация до некоторой
степени все же отражает действительные трудности, возникающие при решении задач с
размерностью выше трех.
100
ТАБЛИЦА 1.1. Области применения методов оптимизации
Вид
процесса
описания
Тип ограничений
Нет
на переменные
Равенства
Неравенст
ва
Нет
?
3
>
3
?
3
>
3
?
3
>
3
Методы
классического
анализа
1
2
4
4
4
Множители
Лагранжа
-
-
1
2
Вариационное
исчисление
-
-
-
-
;5
1
;5
3
;5;7
;5
2
;5
Линейное
программирован
ие
Методы
нелинейного
программирован
ия
Число переменных
п
тип метода
3
Динамическое
программирован
ие
Принцип
максимума
Геометрическое
программирован
ие
101
Дифференциальные
уравнения
Конечные уравнения
;8
Равенства
Неравенст
ва
?
3
>
3
?
3
>
3
?
3
4
3
4
4
4
4
-
-
-
-
2
3
-
-
-
2
3
;7
2
;7
3
1
3
; 5; 7 ; 5
1
;5
3
2
3
3
3
3
1
;5
2
;5
2
;5
2
;5
2
1
1
2
2
2
-
-
;6
2
;6
2
;6
1
-
-
-
-
-
2
1
2
1
2
1
4
4
4
4
4
2
;8
2
2
;8
2
-
-
-
-
-
-
.
;8
-
Схемы
102
Разработка параллельного алгоритма нахождения оптимального решения транспортной
задачи на кластере
103
Лист переутверждения учебно-методического комплекса
Учебно-методический комплекс:
одобрен на 2011/2012 учебный год. Протокол № 11 заседания кафедры
от “21”августа 2011 г.
Зав. кафедрой В.Н.Махалин
одобрен на 2012/2013 учебный год. Протокол № 11 заседания кафедры
21 августа 2012
Зав. кафедрой В.Н.Махалин
одобрен на 2013/2014 учебный год. Протокол № 5 заседания кафедры
16 января 2013
104