1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью изучения данной дисциплины является реализация требований к
освоению соответствующих компонентов профессиональных компетенций ПК-5, ПК-6
(направление «Экономика»), на основе
формирования у студентов системных
теоретических знаний, умений и практических навыков при овладении основными
базовыми понятиями и методами оптимальных решений, применения изученных методов
к решению конкретных управленческих задач.
К целям курса "Методы оптимальных решений" относятся следующие:
усвоение студентами современных подходов к разработке и принятию
управленческих решений;
умения применять математический аппарат для исследования и решения
экономических и управленческих проблем;
овладение методологией разработки решений и способами их обоснования в
условиях определенности, риска и неопределенности;
формирование навыков по обработке полученных данных и результатов при
исследовании и решении экономических проблем;
усвоение студентами теоретических знаний и приобретение элементарных
практических навыков по формулированию прикладных экономико-математических
моделей;
овладение методами анализа и использованию полученных знаний и навыков для
разработки и принятия управленческих решений;
приобретение студентами навыков анализа проблемных ситуаций в деятельности
социально-экономических систем (предприятий, фирм, учреждений и др.);
Задачи освоения учебной дисциплины
ознакомить студентов с сущностью, познавательными возможностями и
практическим значением моделирования как одного из научных методов познания
реальности;
ознакомить студентов с наиболее распространёнными математическими методами,
используемыми в экономико-математическом моделировании;
сформировать навыки принятия управленческого решения с применением моделей
и использованием вычислительной техники;
научить студентов интерпретации результатов экономико-математического
моделирования и применять их для обоснования управленческих решений;
сформировать основу для дальнейшего самостоятельного изучения приложений
экономико-математического моделирования в процессе профессиональной деятельности.
В результате изучения дисциплины студент должен:
освоить и знать основные математические методы анализа принятия решения;
получить практические навыки разработки, выбора и обоснования рациональных
вариантов действий при решении практических задач;
получить практические навыки разработки, выбора и обоснования вариантов
эффективных хозяйственных решений в условиях неопределенности и риска;
получить практические навыки выбора и принятия оптимальных управленческих
решений с использованием экономико-математических моделей;
иметь представление о проблематике и перспективах развития теории принятия
решений
уметь самостоятельно находить и использовать дополнительную необходимую
информацию в данной предметной области.
уметь систематизировать и обобщать информацию, необходимую для принятия
управленческих решений;
Программа курса «Методы оптимальных решений» должна ознакомить студента с
используемым понятийным аппаратом дисциплины, с процессом разработки, принятия и
оценки управленческих решений на базе системной концепции и экономикоматематических методов.
II. МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП
Учебная дисциплина «Методы оптимальных решений» относится к базовой
(обязательной) части математического цикла в структуре основной профессиональной
образовательной программы.
Для изучения учебной дисциплины необходимы следующие знания, умения и
навыки, формируемые предшествующими
дисциплинами:
«Математика»,
«Математический анализ», «Линейная алгебра», «Теории вероятности».
Теоретические знания, полученные при изучении данной дисциплины, будут
необходимы при последующем изучении таких дисциплин, как:
Методы принятия управленческих решений;
Исследования систем управления;
Эконометрика;
Статистика;
Финансы;
Маркетинг;
Финансовый менеджмент
Бизнес-планирование
III. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В совокупности с другими дисциплинами базовой части профессионального
цикла, дисциплина «Методы оптимальных решений» обеспечивает инструментарий
формирования следующих общекультурных и профессиональных компетенций бакалавраэкономиста:
Код
компетенции
ПК-5
ПК-6
Наименование компетенции
способен выбрать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей,
проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные
выводы
способен на основе описания экономических процессов и явлений
строить стандартные теоретические и эконометрические модели,
анализировать и содержательно интерпретировать полученные
результаты
Исходя из цели курса в результате изучения дисциплины студенты должны:
Знать:
2
основные понятия, определения, теоремы и их следствия и постановку задач
линейного программирования (ЛП), примеры экономических задач;
графический и симплексный методы решения задач ЛП;
понятие двойственности в ЛП, теоремы двойственности;
алгоритм решения транспортной задачи;
решение задач теории игр;
алгоритм решения задачи нелинейного программирования;
алгоритм решения задачи динамического программирования;
задачи планирования и оптимизации на графах.
основные принципы и типы математических моделей, используемых при описании
сложных систем, принятии и анализе решений;
сложившуюся, к настоящему времени, типизацию и классификацию таких
моделей, систем, задач, методов;
Уметь:
выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия
решений с использованием экономико-математических моделей
квалифицированно применять изученные методы при решении прикладных задач
управленческого и экономического содержания;
составлять математические модели экономических задач, приводящих к задачам
линейного программирования (ЛП), целочисленного, параметрического линейного,
нелинейного, динамического программирования;
решать задачи ЛП симплекс-методом, двойственным симплекс-методом;
решать транспортные задачи;
составлять платежные матрицы и решать задачи по теории игр графическим
методом, симплекс-методом;
решать задачи целочисленного программирования графическим методом и
методом Гомори;
решать задачи параметрического программирования (в том числе параметрическую
транспортную задачу);
решать задачу нелинейного программирования графическим способом;
решать задачу дробно-линейного программирования методом Лагранжа;
решать задачу динамического программирования с помощью уравнений Беллмана;
решать задачи оптимизации на графах: находить кратчайшие расстояния между
вершинами графа, минимальное остовное дерево, минимальный гамильтонов цикл;
строить сетевые графики, производить расчет временных характеристик.
Владеть:
представлением о проблематике и перспективах развития теории принятия
решений как одного из важнейших направлений, связанных с созданием и внедрением
новых информационных технологий
умением и навыками исследования, решения и применения задач линейного,
целочисленного и динамического программирования;
умением и навыками исследования, решения и применения задач теории
оптимального управления и массового обслуживания.
умением и навыками составления математической модели задачи линейного
программирования и перехода от одной формы записи задачи ЛП к другой;
умением
и
навыками
составления
двойственной
задачи
линейного
программирования;
умением и навыками решения транспортной задачи;
умением и навыками решения задачи целочисленного программирования;
умением и навыками решения задачи параметрического программирования;
решения парных игр с нулевой суммой;
умением и навыками решения задачи нелинейного программирования;
3
умением и навыками решения задачи динамического программирования;
умением и навыками использования теории графов при решении практических
задач.
IV.
ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицs. Вид
промежуточной аттестации – дифференцированный зачет.
Вид учебной работы
Всего
часов
72/22
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Вид промежуточной аттестации (диф.зачёт)
Общая трудоемкость/ час.
Зач.ед.
24/8
40/14
72/118
8/Диф. зачет
144
4
Примечание:
Распределение часов для очной и заочной форм обучения в тематическом плане
представлено чрез дробь.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ ПО ТЕМАМ И ВИДАМ
УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ
Общая трудоемкость учебной дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144
V.
чаcа.
Примерный тематический план курса для студентов очной формы обучения
Темы
Общее
кол-во
часов
Аудиторные часы
Всего
Лекци
Сем. и
и
пз. /КСР
Самост.
работа
Модуль 1
Тема 1.
Введение. Формализация проблем
управления в экономике
Тема 2.
Линейное программирование
Тема 3.
Транспортная задача линейного
10
6
2
4
4
11
6
2
4
5
15
10
4
6
5

Количество часов в примерном тематическом плане корректируется в соответствии с действующими
учебными планами
4
программирования
Модуль 2
Тема 4.
Целочисленное программирование и
дискретная оптимизация
Тема 5.
Нелинейные задачи оптимизации
Модуль 3
Тема 6.
Многокритериальная оптимизация
Тема 7.
Математическая теория
оптимального управления.
Динамическое программирование
Модуль 4
Тема 8.
Марковские процессы; задачи систем
массового обслуживания
Диф. зачет
ВСЕГО
20
10
2
6/2
10
16
6
2
4
10
17
10
2
6/2
7
19
12
4
6/2
7
15
8
2
4/2
28
144
72
24
40/8
72
Примерный тематический план курса для студентов заочной формы обучения
Темы
Общее
кол-во
часов
Аудиторные часы
Всего
Лекци
Сем. и
и
пз.
Самост.
работа
Модуль 1
Тема 1.
Введение. Формализация проблем
управления в экономике
Тема 2.
Линейное программирование
Тема 3.
Транспортная задача линейного
программирования
Модуль 2
Тема 4.
Целочисленное программирование и
дискретная оптимизация
Тема 5.
Нелинейные задачи оптимизации
Модуль 3
Тема 6.
Многокритериальная оптимизация
Тема 7.
Математическая теория
оптимального управления.
Динамическое программирование
Модуль 4
Тема 8.
15
1
1
17
3
1
2
14
18
3
1
2
15
18
3
1
2
15
18
3
1
2
15
18
3
1
2
15
18
3
1
2
15
18
3
1
2
15
5
14
Марковские процессы; задачи систем
массового обслуживания
Диф. зачет
ВСЕГО
144
22
8
14
118
VI. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
Тема 1. Введение. Формализация проблем управления в экономике
Предмет, история и перспективы развития методов оптимальных решений.
Математическое описание экономических объектов. Управляемые и прогнозные модели.
Управляемость и большая размерность. Основные разделы описания: материальный,
финансовый и социальный.
Описание внешней среды. Элементы экономики и элементы описания. Оператор
планирования и оператор функционирования. Однопродуктовая схема. Процедура
объединения элементов.
Тема 2. Линейное программирование
Общая задача оптимизации и линейное программирование (ЛП). Постановка и
формы записи задачи линейного программирования. Экономические приложения.
Геометрическая интерпретация задачи. Симплекс-метод: основная схема алгоритма.
Экономическая интерпретация итоговой симплекс-таблицы. Метод искусственного
базиса.
Тема 3. Транспортная задача линейного программирования
Общая постановка транспортной задачи. Открытая и закрытая ТЗ. Метод опорного
плана. Метод северо-западного угла. Метод наименьшей стоимости. Определение
первоначального распределения поставок в вырожденном случае. Проверка
оптимальности базисного распределения поставок. Улучшение неоптимального плана
перевозок. Алгоритм распределительного метода.
Методы построения первоначального базисного плана транспортной задачи.
Алгоритм метода потенциалов.
Тема 4. Целочисленное программирование и дискретная оптимизация
Целочисленные переменные в задачах экономического планирования. Общая
задача целочисленного программирования, общая задача целочисленного ЛП, задача
частично-целочисленного программирования.
Геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования.
Алгоритм Гомори. Метод ветвей и границ. Задача о назначениях.
Тема 5. Нелинейные задачи оптимизации
Общая постановка задач конечномерной оптимизации. Выпуклые множества и их
свойства. Экономическая и геометрическая интерпретации. Теорема Вейерштрасса и
следствие из неё. Метод множителей Лагранжа в гладких экстремальных задачах с
ограничениями типа равенств и неравенств. Задачи выпуклого программирования.
Теорема Куна-Таккера.
6
Схемы численных методов оптимизации: градиентный метод с постоянным шагом,
метод скорейшего спуска, метод Ньютона, метод проекции градиента.
Тема 6. Многокритериальная оптимизация
Постановка и методы решения задач многокритериальной оптимизации. Примеры
многокритериальных задач в экономике.
Тема 7. Математическая теория оптимального управления. Динамическое
программирование
Постановка задач оптимального управления. Принцип максимума для дискретных
линейных задач оптимального управления. Методы нелинейного программирования в
задачах оптимального управления.
Тема 8. Марковские процессы; задачи систем массового обслуживания
Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий. Уравнения
Колмогорова. Процессы «рождения-гибели». Экономико-математическая постановка
задач массового обслуживания. Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем
массового обслуживания
Модели систем массового обслуживания в коммерческой деятельности. СМО с
отказами. СМО с ожиданием (очередью).
VII. ТЕМАТИКА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ
(СЕМИНАРСКИХ) ЗАНЯТИЙ
Практическое занятие 1 по теме:
«Введение. Формализация проблем управления в экономике»
.
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и
приобретение
практических навыков освоения основных типов математических моделей, используемых
при описании сложных систем и при принятии решений, типизацию и классификацию'
таких моделей, систем, задач, методов.
Содержание занятия:
1. Вопросы к обсуждению:
1.
Виды математических моделей.
2.
Разделы и примеры описания
3.
Математическая классификация используемых моделей
4.
Способы реализации идеи обратной связи в экономике (алгоритмы,
стратегии управления)
5.
Одношаговые и многошаговые процедуры принятия решений
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на темы:

Непрерывность и дискретное время
7

решений

Одношаговые и многошаговые процедуры принятия управленческих
Априорная и текущая информация.
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.2, 9.1.3, 9.2
Практическое занятие 2 по теме:
«Линейное программирование»
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических
навыков в линейном программировании.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1.
Формулировки и экономические приложения
2.
Двойственные задачи ЛП (определения, пример).
3.
Теорема о существовании прямого и двойственного решений, теорема о
дополняющей нежёсткости.
4.
Симплекс метод: основная схема алгоритма.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему:
«Использование теорем двойственности для построения оптимального решения задачи
ЛП»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2
Практическое занятие 3 по теме:
«Транспортная задача линейного программирования»
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических
навыков постановки и решения транспортных задач.
Содержание занятия:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вопросы к обсуждению:
В чем специфика модели транспортной задачи как задачи линейного
программирования? Какие методы применяются для решения транспортной
задачи?
Что понимается под открытой и закрытой транспортными задачами? Как
выполняется сведение открытой транспортной задачи к закрытому типу? В чем
заключается условие баланса?
Для чего используются методы северо-западного угла и минимального элемента? В
чем их суть? Сравните эти методы по эффективности.
Дайте определения понятиям: допустимый план, опорный план, вырожденный
опорный план, оптимальный план, потенциал, псевдостоимость, цикл, перенос по
циклу, цена цикла.
Дайте экономическую интерпретацию метода потенциалов.
Решите транспортные задачи методом потенциалов.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Алгоритма
метода потенциалов для решения транспортной задачи (на произвольном примере)»
8
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Практическое занятие 4 по теме:
«Целочисленное программирование и дискретная оптимизация»
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и приобретение практических
навыков в области моделей и методов дискретного программирования
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Отличие области допустимых решений задач ЛП от области допустимых решений
задач дискретного ЛП.
2. Какой метод эффективнее: ветвей и границ для ЦЛП или простого перебора?
Почему?
3. Какие вершины называются прозондированными в методе ветвей и границ для
ЦЛП?
4. Постановка и формы записи задачи ЛП.
5. Геометрическая интерпретация задачи ЛП (постановка задачи, алгоритм решения).
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Метод
ветвей и границ для решения задачи ЦЛП»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Практическое занятие 5 по теме:
«Нелинейные задачи оптимизации»
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и
приобретение
практических навыков в области моделей нелинейного программирования.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Примеры математических моделей, в которых учитываются ограничения.
2. Какой вид имеет допустимая область при разных типах ограничений?
3. Учёт ограничения-равенства в методе прямой оптимизации.
4. Чем определяется количество множителей Лагранжа?
5. Почему при использовании штрафных функций решение лежит за границей
допустимой области?
6. Как должен выбираться шаг в методах скорейшего поиска с учетом ограничений?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Изменение
длины приведенного градиента по мере приближения к решению»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Практическое занятие 6 по теме:
«Многокритериальная оптимизация»
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и
приобретение
практических навыков
в области многокритериальной оптимизации как
математической модели принятия оптимальных решений по нескольким
критериям.
9
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Отличие эффективных решений многокритериальной задачи от слабоэффективных
решений?
2. В чем цель нормализации критериев? По какой схеме проводят нормализацию
критериев?
3. Отличие решения, полученного методом уступок от остальных решений из
множества Парето.
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Практическое занятие 7 по теме:
«Математическая теория оптимального управления. Динамическое
программирование»
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и
приобретение
практических навыков в области динамического программирования, как способа
решения сложных задач путём разбиения их на более простые.
1.
2.
3.
4.
5.
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
В чем заключается основная задача динамического программирования?
Опишите особенности процесса принятия решения в динамическом
программировании.
Какие операции называются многошаговыми?
Что понимается под термином «управляемые процессы»?
В чем состоит смысл принципа оптимальности?
Задания для самостоятельной работы: подготовить доклад на тему «Основа
вычислительных алгоритмов динамического программирования»
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
Практическое занятие 8 по теме
«Марковские процессы: задачи систем массового обслуживания»
Цель и задачи: углубление теоретических знаний и
приобретение
практических навыков по использованию моделей систем массового обслуживания .
Содержание занятия:
Вопросы к обсуждению:
1. Что такое одноканальная система?
2. Что такое однофазовая система?
3. Что такое очередь?
4. Что такое распределение времени обслуживания?
5. Что означает и как определяется среднее время в очереди?
6. Что означает и как определяется среднее время в системе?
10
7. Что означает и как определяется среднее число клиентов в очереди?
8. Что означает и как определяется среднее число клиентов в системе?
9. Что означает и как определяется средний темп поступления заявок?
10. Что означает и как определяется средняя длина очереди?
Задания для самостоятельной работы:
«Моделирование систем массового обслуживания»
подготовить
доклад
на
тему
Номер задания по практикуму: разделы 9.1.1, 9.1.2, 9.1.3, 9.2, 9.3
VIII. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Состав образовательных технологий
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО реализация компетентностного
подхода предусматривает использование в учебном процессе традиционных, активных и
интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой
студентов.
Основные виды образовательных технологий, используемые при реализации
рабочей программы дисциплины:
- информационные технологии - обучение в электронной образовательной среде с
целью расширения доступа к образовательным ресурсам (теоретически к
неограниченному объему и скорости доступа), подготовка презентаций учебного
материала для совместного обсуждения, увеличения контактного взаимодействия с
преподавателем и объективного контроля и мониторинга знаний студентов;
- работа в команде (малой группе) - совместная деятельность студентов в группе
под руководством лидера, направленная на решение общей задачи путем творческого
сложения результатов индивидуальной работы членов команды с делением полномочий и
ответственности. Может использовать при работе в аудитории, проведения исследования
на заданную темы вне аудитории;
- творческие задания - учебные задания, которые требуют от студентов не
простого воспроизводства информации, а сообразительности и творчества, поскольку
задания содержат больший или меньший элемент неизвестности и имеют, как правило,
несколько подходов к решению;
- разрешение проблем – учебные задания, которые требуют от студентов умения
мыслить, творчески усваивать знания и развивать навыки их практического применения.
Предполагает совместное последовательное движение студенческой аудитории к
выстраиванию пути или путей разрешения возникшей проблемы («Дерево решений»,
«Мозговой штурм» и др.);
- дискуссия – обсуждение какого-либо спорного вопроса в рамках изучаемого
контекста учебного материала. Формирует у студентов навыки аргументированного и
организованного ведения спора, так как каждая сторона, оппонируя мнению собеседника,
должна аргументировать свою позицию.
- сase-study - анализ реальных проблемных ситуаций, имевших место в
соответствующей области профессиональной деятельности, и поиск вариантов лучших
решений;
- обучающая игра - ролевая имитация студентами реальной профессиональной
деятельности с выполнением функций специалистов на различных рабочих местах;
- проблемное обучение - стимулирование студентов к самостоятельному
приобретению знаний, необходимых для решения конкретной проблемы;
- контекстное обучение - мотивация студентов к усвоению знаний путем
выявления связей между конкретным знанием и его применением;
11
- обучение на основе опыта - активизация познавательной деятельности студента
за счет ассоциации и собственного опыта с предметом изучения;
- интеллектуальная разминка – активизация учебной деятельности студентов
(как правило, в начале практического занятия) с выяснения степени усвоения учебного
материала на уровне знания;
-изучение и закрепление нового материала – «ученик в роли учителя»,
подготовка вопросов для обсуждения и т.п.
- индивидуальное обучение - выстраивание студентом собственной
образовательной траектории на основе формирования индивидуальной образовательной
программы с учетом интересов студента;
- междисциплинарное обучение - использование знаний, умений и способностей в
практической деятельности из разных областей, их группировка и концентрация в
контексте решаемой задачи.
Методические рекомендации по реализации образовательных технологий
изложены в соответствующих разделах настоящего УМК.
Принципы отбора содержания и реализации образовательных технологий
Концепция изучения курса строится на следующих положениях:
-комплексный подход к рассмотрению изучаемых процессов и событий;
-сочетание анализа современного состояния рыночной экономики с историей ее
предыдущего развития;
-рассмотрение, как общих закономерностей…,
так и особенностей их
проявления в конкретно-исторических и социально-политических условиях.
Программа изучения дисциплины предусматривает:
Курс построен на сочетании глубокой теоретической подготовки с конкретным
анализом реальных ситуаций по принципу «практика — теория — новые стратегические и
практические решения», организован по модульному принципу, суть которого —
сочетание аудиторных занятий с самостоятельной проработкой тем. При этом
используются активные и интерактивные формы проведения лекционных и практических
занятий.
Лекционные занятия и самостоятельное изучение курса по настоящей
программе проходят с использованием рекомендуемой литературы и источников.
Лекционный материал посвящается рассмотрению основных концептуальных
вопросов: основным экономическим понятиям и категориям, подходам, а также вопросам,
трактовка которых имеет особое значение для понимания сути учебной дисциплины и
раскрывает компетентностный подход к ее изучению.
В учебном процессе наряду с традиционными формами обучения
предусматривается использование различных активных и интерактивных форм и методов
обучения (дискуссии, круглые столы, деловые игры, разбор практических ситуаций,
тренинги, практикумы и др.). Для более эффективного усвоения студентами данной
дисциплины предлагается необходимая учебная и методическая литература.
Самостоятельная работа предполагает изучение теории и практики и
рекомендованных литературных источников, изучение по рекомендации преподавателя
наиболее интересных, проблемных вопросов, а также решение тестовых и практических
заданий, выполнение контрольной работы, подготовку сообщений и т.д.
Кафедра осуществляет содержательно-методическое обеспечение самостоятельной
работы: преподаватели проводят индивидуальные и групповые консультации со
студентами с целью оказания им помощи в усвоении основных тем, раскрывающих
компоненты компетенций, изучаемых по данной дисциплине.
Проведение семинарских и практических занятий. Такая форма занятий
предполагает активную, целенаправленную работу студентов.
12
Цель семинарского занятия - усвоение важнейших вопросов курса и выступление
каждого студента на каждом семинаре. На семинаре студенты должны уметь объяснить
понимание ими вопросов темы. Для этого при подготовке к семинару студент должен
внимательно изучить рекомендованную литературу и методические рекомендации,
подготовиться и ответить на любой вопрос темы семинара, продолжить выступление
предыдущего выступающего. Студент должен иметь на семинаре основные нормативные
акты и может пользоваться конспектом изученной литературы. Каждый студент должен
по указанию преподавателя отрецензировать сообщение, сделанное предыдущим
выступающим.
Практические занятия, проводимые в активной и интерактивной формах,
позволяют вовлекать всех студентов в обсуждение того или иного вопроса, проблемы,
разбор конкретной ситуации, решение практических и тестовых заданий и практикумов.
Активное обучение студентов по данной дисциплине обеспечивается диалоговым
взаимодействием
преподавателя
и
студентов,
предусматривает
проблемную
(дискуссионную) постановку вопросов с целью закрепления и углубления полученных
знаний, формирования умений и практических навыков в соответствии с компонентами
компетенций.
Текущая аттестация работы студентов осуществляется в процессе проведения
семинарских и практических занятий на протяжении семестра путем оценки устных
ответов, а также выполнения контрольных работ, решения тестовых, практических
заданий и задач.
Если студент не выполнил ни одного задания, а также не проявил активности
на занятиях, то его работа в течение семестра оценивается как неудовлетворительная.
Если студент пропускает занятия по уважительной причине (по болезни, график
свободного посещения), то он выполняет задания самостоятельно, во внеаудиторное
время, знакомя преподавателя с полученными результатами. При этом тесты могут быть
заменены разбором проблемных ситуаций по названным темам.
Итоговая аттестация по курсу проводится в форме дифференцированного
зачета, который проводится устно по билетам. При выставлении итоговой оценки
оцениваются ответы на вопросы экзаменационного билета, дополнительные вопросы и
учитывается оценка за работу в течение семестров, включая все элементы рубежного
контроля
IX. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Мероприятия, создающие предпосылки и условия для реализации СРС,
предусматривают обеспечение каждого студента:

методом выполнения теоретических (расчетных, графических и т.п.) и
практических (лабораторных, учебно-исследовательских и др.) работ;

информационными ресурсами (справочники, учебные пособия, банки
индивидуальных заданий, обучающие программы, пакеты прикладных программ и т.д.);

методическими материалами (указания, руководства, практикумы и т.п.);

контролирующими материалами (тесты);

материальными ресурсами (ПЭВМ, измерительное и технологическое
оборудование и др.);

временными ресурсами;

консультациями (преподаватели);

возможностью публичного обсуждения теоретических и/или практических
результатов, полученных студентом самостоятельно (конференции, конкурсы).
Повышение роли самостоятельной работы студентов при проведении
различных видов учебных занятий также предполагает:
13
оптимизацию методов обучения, внедрение в учебный процесс новых
технологий обучения, повышающих производительность труда преподавателя, активное
использование информационных технологий, позволяющих студенту в удобное для него
время осваивать учебный материал;

широкое внедрение компьютеризированного тестирования;

совершенствование
методики
проведения
практик
и
научноисследовательской работы студентов, поскольку именно эти виды учебной работы,
студентов в первую очередь готовят их к самостоятельному выполнению
профессиональных задач;

модернизацию системы курсового и дипломного проектирования, которая
должна повышать роль студента в подборе материала, поиске путей решения задач.
Отчетность и контроль СРС
Виды отчетности:
- доработанные конспекты лекций;
- выполненные письменные работы, протоколы выполнения тестовых заданий,
решенные практические задачи;
- картотека по результатам поисковых заданий;
- тезисы выступления;
- отчет о результатах анализа;
- участие в деловой игре и т.п.
Требования к контролю:

Контроль за СРС должен быть индивидуальным.

Контроль осуществляется преподавателем в течение всего семестра с
выставлением оценки в журнале учебных занятий.

Контроль завершается перед аттестацией учебной работы студента по
дисциплине (перед зачетом или экзаменом).
Способы контроля:
-выборочный устный опрос перед началом ПЗ/СЗ;
-выборочная проверка конспектов, тезисов, рефератов и докладов;
-проверка контрольных работ;
-проверка выполнения задач и тестов.
Итоговая оценка СРС выставляется в журнал учебных занятий и учитывается
преподавателем при аттестации студентов в период зачетно-экзаменационной сессии
(сокращение числа экзаменационных вопросов при оценке СРС не ниже «хорошо»,
предоставление права выбора экзаменационных вопросов студенту из предложенных
преподавателем, выставление оценки «зачет» по результатам СРС).

Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 1
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения,
самостоятельное изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
14
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 2
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения,
самостоятельное изучение материала.
Содержание:
конспектирование, изучение рекомендуемой
литературы,
подготовка письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы
(разделы 9.1.2 и 9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 3
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения,
самостоятельное изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 4
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения,
самостоятельное изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
15
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 5
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения,
самостоятельное изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 6
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения,
самостоятельное изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 7
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения,
самостоятельное изучение материала.
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Задания
на самостоятельную работу студентов по теме 8
Цель задания: углубление и расширение полученных знаний по применению
математических методов при выборе оптимального управленческого решения,
самостоятельное изучение материала.
16
Содержание: конспектирование, изучение рекомендуемой литературы, подготовка
письменного сообщения по двум выбранным студентом вопросам темы (разделы 9.1.2 и
9.1.3..Практикума).
Срок выполнения: в соответствии с календарным графиком учебного процесса
Ориентировочный объем сообщения: не менее двух страниц.
Практикум: разделы 9.1.1, 9.2, 9.3
Отчетность: подготовленное сообщение.
Метод оценки: пятибалльная.
Примерная тематика письменных (контрольных) работ
1. Что такое математическая модель и математическое моделирование?
2. Основные понятия, связанные с математическим моделированием (операция,
управление операцией, решение, показатель качества, критерий оптимальности).
3. Допустимые решения, оптимизация, оптимальное решение.
4. Классификация математических моделей.
5. Линейная балансовая модель. Смысл коэффициентов прямых материальных затрат.
6. Балансовые уравнения в стоимостном выражении.
7. Уравнения баланса цен.
8. Табличное описание межотраслевых связей.
9. Решение линейных балансовых уравнений методами линейной алгебры.
10. Характеристика коэффициентов совокупного потребления.
11. Разрешимость уравнений балансовой модели.
12. Балансовые уравнения с учетом различных способов производства.
13. Определение показателей занятости, затрат ресурсов и других характеристик
балансовой модели.
14. Постановка задачи линейного программирования (на примерах).
15. Графическое решение задачи линейного программирования с двумя переменными.
16. Переход от исходной к основной задаче линейного программирования и обратно.
17. Допустимые и оптимальные решения. Область допустимых решений.
18. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух
свободных переменных.
19. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
20. Двойственная задача линейного программирования. Соотношения между
решениями исходной и двойственной задач.
21. Экономическая интерпретация двойственной задачи и ее решения.
22. Параметрическая задача линейного программирования. Чувствительность
оптимального значения целевой функции по отношению к ограничениям на
ресурсы. Лимитирующие и нелимитирующие ресурсы.
23. Транспортная задача с правильным балансом по критерию стоимости перевозок.
24. Допустимый, опорный и оптимальный планы транспортной задачи. Транспортная
таблица.
25. Решение транспортной задачи распределительным методом.
26. Метод потенциалов решения транспортной задачи.
27. Транспортная задача с неправильным балансом.
28. Задача на безусловный экстремум. Необходимые условия оптимальности.
29. Типы стационарных точек функции двух переменных.
30. Достаточные условия экстремума функции n переменных.
31. Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум с ограничениями в форме
равенств.
32. Достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа в случае n=2, m=1.
Экономический смысл множителя Лагранжа.
17
33. Динамическая балансовая модель.
34. Динамическое программирование
35. Задачи целочисленного программирования.
36.
IX. ПРАКТИКУМ
Общие вопросы
1. Что такое оптимальное решение?
2. Дайте определение экстремальной задачи.
3. Приведите примеры экстремальных задач.
4. Дайте определение математической модели.
5. Что представляют собой ограничения экстремальной задачи?
6. Как связаны между собой ограничения задачи и математическая модель задачи?
7. Дайте определение целевой функции экстремальной задачи.
8. Что называется решением экстремальной задачи?
9. Приведите примеры математических моделей экстремальных задач.
10. Приведите примеры целевых функций экстремальных задач.
11. Как влияет на целевую функцию приведенная стоимость?
12. Что показывает множитель Лагранжа?
13. Как влияет на целевую функцию теневая (условная) цена ресурса?
14. Объясните понятие «детерминированные задачи». Приведите примеры.
15. В чём особенность принятия решения в детерминированных задачах.
16. Какие задачи называют задачами оптимизации?
17. Объясните, что такое «целевая функция» в детерминированных задачах
принятия решений?
18. Изложите алгоритм решения детерминированной задачи принятия решений.
19. Объясните, в чём трудность решения детерминированных задач принятия
решений?
20. Изложите смысл методов численной оптимизации.
21. Сформулируйте задачу принятия решения при многих критериях.
22. Сформулируйте принцип доминирования решения по Парето.
23. Дайте определение Парето оптимального множества решений. Приведите
геометрическую интерпретацию.
24. Сформулируйте характеристическое свойство Парето – оптимального
множества решений.
25. Сформулируйте основные варианты преодоления неопределённости выбора
решений из Парето – оптимального множества.
26. Объясните смысл процедуры сужения Парето – оптимального множества,
основанной на задании границ критериев выбора.
27. Объясните смысл процедуры субоптимизации для сужения Парето –
оптимального множества.
28. Объясните смысл процедуры лексикографической оптимизации для сужения
Парето – оптимального множества.
29. Сформулируйте основные правила построения обобщённого критерия при
многокритериальной оптимизации.
30. Дайте определение обобщённого критерия оптимизации.
31. Сформулируйте задачу алгебраического определения обобщённого критерия по
частным критериям. Приведите примеры.
32. Сформулируйте задачу эвристического определения обобщённого критерия по
частным критериям. Приведите примеры.
Темы рефератов
18
1. Анализ проблем. Построение дерева (графа) проблем.
2. Целевой анализ. Построение дерева целей.
3. Применение метода анализа иерархий для решения задач выбора.
4. Применение метода «Дельфи» для решения управленческих задач.
5. Применение метода когнитивного моделирования для построения прогнозных
сценариев развития ситуации.
6. Разработка управленческого решения методом мозгового штурма.
7. Использование сценарного подхода при принятии управленческого решения.
8. Использование симплекс-метода при нахождении и анализе оптимального
решения.
9. Использование метода потенциалов для оптимизации транспортных перевозок
однородного продукта.
10. Разработка решения о назначении сотрудников для выполнения работ
венгерским методом.
11. Решение задачи оптимального распределения ресурсов между предприятиями
отрасли методом динамического программирования.
12. Применение метода количественного анализа эффективности работы системы
массового обслуживания.
13. Оценка вариантов работы системы массового обслуживания при различных
условиях ее функционирования.
14. Определение оптимальной структуры СМО при различных вариантах
обслуживания клиентов.
15. Применение метода дерева решений для достижения целей организации
16. Методы принятия коллективных решений.
17. Методы контроля выполнения решений.
18. Оценка эффективности управленческих решений.
19. Принятие решений в сфере управления запасами и поставками сырья и
материалов на предприятии.
20. Оптимизация процесса управления запасами готовой продукции на
предприятии…
21. Оптимизация управления финансовыми ресурсами на примере бюджета
муниципального образования (региона, государства).
Задания, варианты и задачи для контрольных работ
Задание № 1
Предприятие выпускает два наименования товаров - А и В, для производства
которых используется сырье трех видов. Известны нормы затрат сырья (по видам) на
производство единицы каждого наименования, общее количество сырья каждого вида,
которым обеспечено производство, размер запланированной прибыли от реализации
единицы товара каждого вида (см. соответствующую таблицу). Необходимо составить
план производства изделий А и В, обеспечивающий наибольшую прибыль от их
реализации. Порядок выполнения. 1. Построить математическую модель задачи
(симметричного вида). 2. Решить задачу графическим методом. 3. Осуществить переход к
каноническому виду задачи. 4. Решить задачу симплекс-методом. 5. Построить модель
двойственной задачи и определить ее решение.
Задание №2
На трех базах находится однородный груз в известных количествах. Его
необходимо привезти в пять магазинов, потребности которых в данном грузе известны.
Нужно спланировать перевозки так, чтобы весь имеющийся груз был распределен, заказы
всех магазинов были выполнены, общая стоимость перевозок при заданных тарифах была
19
минимальной. Порядок выполнения. 1. Построить математическую модель задачи. 2.
Найти первоначальное распределение перевозок методом минимального тарифа (1-7, 9-10
варианты) или методом северо-западного угла (8 вариант). 3. Оптимизировать полученное
опорное решение методом потенциалов. (Числовые данные для выполнения решения
задачи - запасы, потребности, тарифы – смотреть в соответствующей таблице).
Задание №3
Предприниматель планирует закупку трех партий новых товаров (1П, 2П, 3П) в
условиях неясной рыночной конъюнктуры, относительно которой известны возможные
состояния (1Р, 2Р, 3Р), а также объемы товарооборота по каждому варианту и их
условные вероятности. Определить предпочтительный план закупки товаров. (Решение
игры провести с использованием критериев Вальда, Гурвица с параметром k=0,4, Лапласа
(1-5 варианты); Вальда, Сэвиджа, Байеса (6-10 варианты)).
Задание №4
Дана таблица структурно-временных параметров комплекса работ и сетевой граф,
отражающий порядок и взаимосвязь данных работ. Необходимо рассчитать основные
параметры сетевого план-графика (ранние сроки наступления событий, ранние сроки
окончания работ, поздние сроки наступления событий, поздние сроки начала работ,
полный и свободный резервы времени) и построить критические пути.
Задание №5 1-5 варианты:
На оптовую базу прибывают автомобили с промышленными товарами, причем за
единицу времени рузку осуществляют n бригад грузчиков, каждая из
которых на разгрузку одной машины в среднем затрачивает время, равное обсt.
Территория базы позволяет разместить m машин, ожидающих разгрузки. Для данной
СМО необходимо: а) указать все возможные состояния; б) построить размеченный граф
состояний; в) определить основные параметры, характеризующие ее работу; г) сделать
экономический анализ эффективности работы данной СМО и возможности ее повышения.
Задание №5 6-10 варианты:
В магазине установлены n расчетных касс, каждая из которых обслуживает в
данной СМО. Для данной СМО необходимо: а) указать все возможные состояния; б)
построить размеченный граф состояний; в) определить основные параметры,
характеризующие ее работу; г) сделать экономический анализ эффективности работы
данной СМО и возможности ее повышения.
Вариант №1
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
2
5
432
II
3
4
424
III
5
3
528
Прибыль
34
50
Задание №2
Базы
В1
Потребители
В2 В3 В4
В5
Запасы
ai
20
А1
7
9
15
4
18
А2
13 25
8
15
5
А3
5 11
6
20 12
Потребности bj 80 260 100 140 120
200
250
250
700
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
9,2
6
4
П2
8,3
3,7
7,1
П3
5
5,6
8
Вероятности pj
0,6
0,3
0,1
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
6
10
16
12
4
2
10
2
2
Задание №5
Параметры СМО n
Значения
Вариант №2
I
t m
(авт/час)
2
8
10 1
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
4
1
240
II
2
3
180
III
1
5
251
Прибыль
40
30
Задание №2
Базы
В1
Потребители
В2 В3 В4
В5
Запасы
ai
21
А1
19 8
14 5
9
А2
6 10
5 25
11
А3
7 13
8 12
14
Потребности bj 60 140 100 60 12110
150
200
150
500
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
6,1
7,5
5
П2
7,2
5
8,1
П3
5
3,2
6
Вероятности pj
0,7
0,1
0,2
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
7
3
6
10
1
2
16
11
5
Задание №5
Параметры СМО n
Значения
Вариант №3
I
t m
(авт/час)
4
6
20 3
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
2
7
560
II
3
3
300
III
5
1
332
Прибыль
55
35
Задание №2
Базы
А1
А2
В1
3
7
Потребители
В2 В3 В4
10
6
13
5
11 16
В5
8
4
Запасы
ai
200
300
22
А3
12 15 18
9
10
Потребности bj 220 160 160 100 200
200
800
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
2,2
3,8
0,5
П2
2,6
2,4
2,8
П3
3
3
3,1
Вероятности pj
0,4
0,1
0,5
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
4
10
3
6
4
7
6
5
2
Задание №5
Параметры СМО n
Значения
Вариант №4
I
t m
(авт/час)
3
5
30 4
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
1
3
300
II
3
4
477
III
4
1
441
Прибыль
52
39
Задание №2
Базы
А1
А2
А3
В1
15
4
6
Потребители
В2 В3 В4
8
9 11
10 7
5
3
4 15
В5
12
8
20
Запасы
ai
100
150
250
23
Потребности bj 100 40 140 60 160
500
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
2,4
0,9
1,7
П2
1,4
1,8
1,3
П3
1,2
2
1,8
Вероятности pj
0,5
0,2
0,3
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
8
10
7
5
3
6
10
5
2
Задание №5
Параметры СМО n
Значения
Вариант №5
I
t
(авт/час)
4
2
20
m
3
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
2
3
298
II
6
2
600
III
1
5
401
Прибыль
22
40
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
25
9
12
6
18
300
А2
4
7
5
11 19
200
А3
10 15 18 13
8
200
Потребности bj 120 180 100 140 160
700
24
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
2,2
3,1
2,7
П2
2,5
2,3
2,6
П3
2,7
2,6
2,9
Вероятности pj
0,3
0,3
0,4
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
7
8
5
4
7
8
9
10
9
Задание №5
Параметры СМО n
m
Значения
Вариант №6
4
I
t
(авт/час)
3
1
30
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
3
1
330
II
2
8
800
III
5
6
745
Прибыль
33
24
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
15
8
5 21 15
150
А2
4
12 7
8
10
200
А3
11 20 13 4
56
200
Потребности bj 100 180 40 120 110
550
25
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
8,2
5
3
П2
7,3
4,7
6,1
П3
4
4,6
7
Вероятности pj
0,6
0,3
0,1
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
5
6
6
7
4
6
6
5
3
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
3 2 1
Вариант №7
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
3
4
600
II
3
1
357
III
1
5
600
Прибыль
42
26
Задание №2
Базы
В1
А1
20
А2
5
А3
30
Потребности bj 40
Потребители
В2 В3 В4
22 9
6
13 7
4
18 15 12
120 60 100
В5
13
10
8
80
Запасы
ai
100
180
120
400
26
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
5,1
6,5
4
П2
6,2
4
7,1
П3
4
2,2
5
Вероятности pj
0,7
0,1
0,2
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
5
11
4
10
6
6
12
16
10
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
4 4 2
Вариант №8
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
5
4
810
II
4
2
980
III
2
6
786
Прибыль
34
36
Задание №2
Базы
Потребители
В1 В2 В3 В4
А1
16 7
10 9
А2
11 5
3
8
А3
9 20 15 11
Потребности bj 80 140 200 60
В5
220
180
200
600
Запасы
ai
Задание №3
27
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
3,2
4,8
3,8
П2
3,6
3,4
4,1
П3
4
3
2,8
Вероятности pj
0,4
0,1
0,5
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
3
8
2
10
8
8
5
7
10
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
5 5 2
Вариант №9
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
2
4
580
II
4
4
680
III
3
2
438
Прибыль
30
44
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
5
8 15 20
9
240
А2
8
7
6
12 14
160
А3
16 11 19 10
5
200
Потребности bj 180 40 160 120 100
600
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
28
П1
П2
П3
Вероятности pj
Р1
3,4
2,4
2,2
0,5
Р2
1,9
2,8
3
0,2
Р3
2,7
2,3
2,8
0,3
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
2
3
2
3
8
1
7
5
4
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
3 3 3
Вариант №10
Задание №1
Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы
А
В
I
5
2
750
II
4
5
807
III
1
7
840
Прибыль
30
49
Задание №2
Базы
Потребители
Запасы
ai
В1 В2 В3 В4 В5
А1
7
6
4
3
6
100
А2
8
5 15 9 10
200
А3
4
6
3
5
2
300
Потребности bj 100 200 80 60 160
600
Задание №3
Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)
Р1
Р2
Р3
П1
2,2
3,1
2,7
П2
2,5
2,3
2,6
29
П3
Вероятности pj
2,7
0,3
2,6
0,3
2,9
0,4
Задание №4
Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)
tij
11
8
6
11
10
5
1
11
10
Задание №5
Параметры СМО n i m
Значения
5 2 1
Задача 1. На производство поступила достаточно большая партия стержней
длиной 250 и 190 см. Нужно получить 470 заготовок длиной 120 см. и 450 заготовок
длиной 80. Отходы должны быть минимизированы. Построить математическую модель
данной задачи.
Задача 2. Найти максимум функции F = x 1+x2 при условиях: 2x1+4x2 ≤ 16, -4x1+2x2
≤ 8, x1+3x2 ≥ 9, x1,x2 ≥0. Обосновать.
Задача 3. Найти максимум функции F = 2x1+x2-x3+x4 -x5 при условиях x1+x2+x5=5,
2x1+x2+x4= 9, x1+2x2+x5=7, x1,x2,x3,x4 ,x5≥0. Указание: использовать симплекс метод.
Задача 4. Для производства продукции трёх видов A, B, C используются три
различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в объёме не
большем, чем 180, 210 и 236 кг. соответственно. Нормы затрат каждого из видов сырья на
1 кг. продукции данного вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в
таблице:
Вид сырья
Нормы затрат сырья на единицу продукции
Изделие A
Изделие B
Изделие C
I
4
2
1
II
3
1
3
III
1
2
5
10
14
12
Цена
1
кг.
30
продукции (т.р.)
Потратив 50 т.р. фирма может открыть производство 4-го вида продукции, нормы
затрат сырья на единицу которого составляют 2, 4 и 3 кг. соответственно, а цена 1 кг.
равна 18 т.р. При этом функциональность старых линий производства не нарушается.
Определить, окупится ли открытие новой линии производства при таких
предположениях.
Задача 5. Дана задача линейного программирования f(x) = ‹c,x›→max, c = (c1,...,cn),
Ax=b, b=(b1,...,bm). Доказать, что если эта задача имеет решение (f* < +∞), то f(x)=const
для любых допустимых x.
Решение открытой транспортной задачи методом потенциалов
Задача На оптовых складах А1, А2, А3, А4 имеются запасы некоторого продукта в
известных количествах, который необходимо доставить в магазины В1, В2, В3, В4, В5.
Известны также тарифы на перевозку единицы продукта из каждого склада в каждый
магазин.
Найти такой вариант прикрепления магазинов к складам, при котором сумма затрат
на перевозку была бы минимальной.
Задача
1.3
Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и
улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных
удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений.
Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг
фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный –
4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить
эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые
комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет,
если решать задачу на максимум, и почему?
Задача
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы
сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции
приведены в таблице.
Требуется:
31
1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от
реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью
теорем двойственности.
3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска
при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении
на 5 единиц запасов сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на
изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Задача
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов,
при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции
одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида,
второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего
вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на
внутренне потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним
потребителям, является конечным продуктом).
Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij (i=1,
2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норма расхода, коэффициентов
прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(aij) (матрицы
коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции
предприятий холдинга.
Задача
В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на
кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен
ниже в таблице.
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
32
2. Построить линейную модель (t) = a0 +a1t, параметры которой оценить МНК ( (t))
— расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3.
Оценить
адекватность
построенных
моделей,
используя
свойства
независимости
остаточной
компоненты,
случайности
и
соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять
табулированные границы 2,7—3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной
ошибки аппроксимации.
5. По двум построенным моделям осуществить прогноз
спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при
доверительной вероятности p = 70%).
6.
Фактические
значения
показателя, результаты
моделирования и
прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные
результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера
представить соответствующие листинги с комментариями).
Задача Характеристики ОЕ с одним входом и одним выходом заданы таблицей:
О
1
2
3
4
x
3
5
8
9
y
3
6
4
8
Е
5
6
7
1
1
1
1
3
1
0
4
7
1
1
8
3
2

представить МПВ графически;

выделить эффективные и неэффективные ОЕ;

рассчитать графическим методом эффективность по входу и выходу для
одной неэффективной ОЕ
Задача .
Найти максимум функции f(x,y)=xy при ограничениях (x-2)2+(y-3)2≤ 1.
Задача
Дана функция f(x,y) = x2-xy+y2+x-y и начальная точка x0=0, y0 = 0. Сделать два
шага по методу градиентного спуска при том, что α0=½.
Задача
Свести задачу о сетевом планировании (в которой требуется найти минимальное
время, за которое может быть реализован проект), заданную в виде графа работ, к общему
виду транспортной задачи (транспортная сеть с промежуточными пунктами).
Задача
Пусть X – некоторое выпуклое множество в конечномерном пространстве Rn, а f(x)
– выпуклая непрерывно-дифференцируемая функция, определённая на всём Rn. Доказать,
что выполнение для некоторого x0 из X и любых x из X неравенства ‹f'(x0), x-x0›≥0 является
необходимым и достаточным условием того, что в x0 достигается глобальный минимум
функции f(x) на множестве X.
1. Рассмотрим ситуацию, возникающую при слиянии двух фирм А и В. Их оценки
относительно обсуждающихся в ходе переговоров вопросов показаны в таблице.
33
Пункты переговоров
Фирма
А
10
30
10
20
30
Название фирмы
Местонахождение штаб-квартиры
Назначение президента
Назначение исполнительного директора
Увольнение персонала
В
20
30
20
10
20
Постройте справедливое решение, используя процедуру «подстраивающийся
победитель».
Задача
Постройте мажоритарный граф при следующих предпочтениях участников на



x
,x
,x
,x
,x
1,2,3,4относительно кандидатов из множества A
множестве N
:
1
2
3
4
5
P
:x

x

x

x

x
;
1
5
1
4
3
2
P
:x

x

x

x

x
;
2
1
5
3
4
2
P
:x

x

x

x

x
;
3
4
1
2
5
3
P
:x

x

x

x

x
.
4
5
1
3
4
2
Есть ли здесь победитель Кондорсе? Проанализируйте полученный результат.
Задача
,
G(X
Y,Г),
X
a
,b
,c,d,e
Y
v,w
,x,y,z
Пусть
где
и


Г

av
,
ax
,
bv
,
bz
,
cw
,
cy
,
cz
,
dy
,
dz
,
ez
. Найдите максимальное паросочетание в G, пользуясь
алгоритмом его построения.
Задача
Совет директоров банка состоит из пяти человек P, A, B, C, D. Президент банка Р
имеет три голоса, остальные члены совета директоров – по одному. Правило принятия
решения – минимум пять голосов «за». Известно, что Р и вице-президенты А и В в силу
определенных причин никогда не голосуют все вместе за одно решение. Найдите индексы
влияния Банцафа для каждого члена совета директоров.
Задача
Доказать, что стабильное паросочетание, получаемое в задаче о марьяжах (с
линейными предпочтениями) результате алгоритма отложенного принятия с
предлагающими мужчинами для каждого из мужчин не хуже чем любое другое
стабильное паросочетание.
9.2. Задачи и задания по курсу
Задача по использованию сырья
Виды сырья
Запасы сырья
S1
S2
S3
S4
b1
b2
b3
b4
Виды продукции
П1
a11
a21
a31
a41
П2
a12
a22
a32
a42
Стоимость 1 ед. продукции
С1
С2
a ij – количество единиц сырья вида Si, расходуемого на производство одной единицы
продукции вида Пj i  1,4, j  1,2.
34
x1ед  П1 , х2 ед  П2
F ( x)  c1 x1  c2 x2  max
при условиях
a11 x1  a12 x 2  b1 
a 21 x1  a 22 x 2  b2 

a 31 x1  a 32 x 2  b3 
a 41 x1  a 42 x 2  b4 
x1  0, x2  0
Задача о диете
Питательные
вещества
В1
Кол-во единиц питательных веществ, содержащихся в
единице продукции вида
В2
Вn
…
Количество
питательного
вещества в
диете
N1
a11
a12
…
a1n
b1
N2
a21
a22
….
a2n
b2
…
am1
…
am2
…
…
…
amn
…
bm
С1
С2
….
cn
…
Nn
Стоимость
единицы
продукта
a ij - количество единицы питательного вещества вида N i , содержащегося в одной
единице продукта вида В j .
x1ед  B1 ;
x 2 ед  B2 ;

x n ед  Bn
F x   c1 x1    cn xn  min
при ограничениях
a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 , 
a 21 x1  a 22 x 2    a 2 n x n  b2 , 



a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm .
Общая задача линейного программирования.
Каноническая (основная)
форма
Уравнения
Стандартная
(симметрическая) форма
1) ограничения
Неравенства
35
Общая форма
Уравнения неравенства
n
 ai j x j  bi ,i  1, m
j 1
Все переменные
x j  0, j  1, n
n
a
j 1
ij
 
 
a i j x j  bi ,i  1, m

j 1
 
 
x j  ( 0)bi ,i  1, m
n
2) условия неотрицательности
Все переменные
Часть переменных
x j  0, j  1, n
x j  0, j  1, s s  n
n
max или min F(x)
3) цель задачи (
 (max F(x))
 (min F(x))
F ( x )   ci j x j
j 1
)
ьфч или ьшт А(ч)
Задание 1
На трех хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 90 т муки. Эта мука
потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны
соответственно 80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомбинатов к
каждому из хлебозаводов задаются матрицей:
Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является
минимальной.
Задание 2
В трех хранилищах горючего ежедневно хранится 175, 125 и 140 т бензина. Этот
бензин ежедневно получают четыре заправочных станции в количествах, равных
соответственно 180, 110,60 и 40 т. Тарифы перевозок 1 т бензина с хранилищ к
заправочным станциям задаются матрицей:
Составить такой план перевозок бензина, при котором общая стоимость перевозок
является минимальной.
Задание 3
Имеется три участка земли, на которых могут быть засеяны кукуруза, пшеница,
ячмень и просо. Площадь каждого из участков соответственно равна 600, 180 и 220 га. С
учетом наличия семян кукурузой, пшеницей, ячменем и просом следует соответственно
засеять 290, 180, 110 и 420 га. Урожайность каждой из культур для каждого из участков
различна и задается матрицей:
36
Определить, сколько гектаров каждой культуры на каждом из участков следует засеять
так, чтобы общий сбор зерна был максимальным.
Задание 4
Мясокомбинат имеет в своем составе четыре завода, на каждом из которых может
изготовляться три вида колбасных изделий. Мощности каждого из заводов соответственно
равны 320, 280, 270 и 350 т/сут. Ежедневные потребности в колбасных изделиях каждого
вида также известны и соответвенно равны 450,370 и 400 т. Зная себестоимость 1 т
каждого вида колбасных изделий на каждом заводе, которая определяется матрицей
,
найти такое распределение выпуска колбасных изделий между заводами, при котором
себестоимость изготовляемой продукции является минимальной.
Задание 5
Для строительства четырех дорог используется гравий из трех карьеров. Запасы
гравия в каждом из карьеров соответственно равны 120, 280 и 160 усл. ед. Потребности в
гравии для строительства каждой из дорог соответственно равны 130, 220, 60 и 70 усл. ед.
Известны также тарифы перевозок 1 усл. ед. гравия из каждого карьера к каждой из
строящихся дорог, которые задаются матрицей
Составить такой план перевозок гравия, при котором потребности в нем каждой из
строящихся дорог были бы удовлетворены при наименьшей общей стоимости перевозок.
Задание 6
Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую
однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 ед. Эта
продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно
равных 110, 90, 120, 80 и 150 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой
единицы продукции, задаются матрицей
Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие
затраты являются минимальными.
Задание 7
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые
ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации
одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в
следующей таблице :
Ресурсы
Нормы затрат ресурсов на одноОбщее
изделие
количество
стол
шкаф
ресурсов
37
Древесина (м3):
0,2
0,1
40
I вида
0,1
0,3
60
II вида
1,2
1,5
371,4
Трудоемкость
(человеко-часов)
Прибыль от
60
80
реализации одного
изделия (руб.)
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их
реализации была максимальной.
Задание 8
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать
заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист
фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых
заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина
отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.
Вид заготовки
Количество заготовок (шт.) при раскрое по
способу
1
2
I
2
6
II
5
4
III
2
3
Величина отходов (см2)
12
16
Определить, частоту использования способов раскроя фанеры так, чтобы было
получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.
Тестовые задания по курсу
1. Точки, не являющиеся выпуклой линейной комбинацией двух произвольных
точек выпуклого множества, называются
+угловыми
крайними
граничными
выколотыми
2. Если существует шар радиуса конечной кончной длины с центром в любой
точке множества, который полностью содержит в себе данное множество, то
это множество называется
+ограниченным
замкнутым
компактным
непрерывным
3. Точка А называется выпуклой линейной комбинацией точек A1,A2,…, An, если
+
, где
и
, где
и
38
, где
и
, где
и
4. Опорной прямой называется прямая, имеющая с выпуклым
многоугольником,расположенным по одну сторону от нее
+хотя бы одну общую точку
одну общую точку
более одной общей точки
не более одной общей точки
5. Пересечение любого числа выпуклых множеств - есть множество
+выпуклое
ограниченное
замкнутое
компактное
6. Общий вид линейного неравенства с двумя переменными
+
7. Из представленных условий, выделите условия, удовлетворяющие
канонической форме записи задачи линейного программирования
задача на max или min
задача на max или min
задача на max или min
+
задача на max или min
8. План, доставляющий линейной форме максимальное или минимальное
значение называется
опорным планом
невырожденным планом
+оптимальным планом
решением
9. S:Максимальное значение целевой функции
39
при ограничениях
равно…
+:26
-:28
-:18
-:22
10.Дана задача линейного программирования:
f ( X )  c1 x1  c2 x2  min;
 x1  2 x2  12,
3x1  2 x2  36,
 x  x  2,
 1 2
 x1 , x2  0.
Верно утверждение:
+ X  (6, 6) является допустимым планом данной задачи.
X  (8, 6) является опорным (базисным) планом данной задачи.
X  (4, 8) не является допустимым планом данной задачи.
X  (6, 4) не может быть оптимальным ни при каком выборе значений c1 , c2 .
11.S:Максимальное значение целевой функции
при ограничениях
равно…
+:18
-:20
-:12
-:6
1
 5 2 4

2 2 1 некоторой антагонистической игры.
12.Дана платёжная матрица 0


 6 4 5 2 


Верно утверждение:
Нижняя цена данной игры равна 1 .
Стратегия с номером 3 первого игрока доминирует стратегию с номером 1.
+Стратегия с номером 3 второго игрока доминирует стратегию с номером 2.
Если p  (1 6,1 3,1 2) и q  (0,1 6,1 3,1 2) смешанные стратегии первого и
второго игроков соответственно, то математическое ожидание выигрыша первого
игрока равно 17 12 .
13.
40
S:Среди данных транспортных задач 1.
2.
3.
закрытыми являются …
+:1 и 3
-:1 и 2
-:2 и 3
-:3
X. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАНЯТИЕ
Итоговая аттестация по учебной дисциплине «Экономика труда» предусмотрены в
форме дифференцированного зачета, который проводятся в виде устного собеседования
по контрольным билетам. Контрольный билет содержит два теоретических вопроса.
Важнейшими критериями оценки знаний обучаемых являются:
степень усвоения учебной программы;
содержание ответа на контрольные вопросы: логичность и доказательность
изложения;
степень творчества и самостоятельности в раскрытии поставленных вопросов;
умение применить теоретические знания в анализе конкретных деловых ситуаций.
Оценка студенту на экзамене выставляется:
«Отлично» – студент показывает глубокое и всестороннее знание предмета, имеет
целостное представление о системе управления в условиях конкурентного рынка,
показывает умение творчески применять полученные знания при выполнении
профессиональных обязанностей менеджера организации, аргументировано излагает
материал, безупречно выполнял практические задания в течение курса обучения, имеет
положительные оценки по результатам самостоятельной работы.
41
«Хорошо» – студент твердо знает предмет, имеет целостное представление о
системе управления в условиях конкурентного рынка, логично излагает материал, умеет
применять конкретные методы оценки эффективности управленческой деятельности,
успешно выполнял практические задания в течение курса обучения
«Удовлетворительно» – студент в основном знает предмет, имеет определенное
представление о системе управления предприятием, умеет применять теоретические
знания для анализа конкретных деловых ситуаций, с ошибками и замечаниями, но
выполнял практические задания в течение курса обучения
«Неудовлетворительно» – студент не усвоил содержания учебной дисциплины.
Общая оценка знаний студента на экзамене выводится по частным оценкам за
выполнение теоретического и практического заданий билета. Оценка выставляется
комиссией (преподавателем) и объявляется после ответа на все контрольные вопросы.
Принимающий экзамен несет личную ответственность за правильность выставления
оценки. Положительная оценка «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» заносится в
экзаменационную ведомость, журнал учебной группы и зачетную книжку студента.
Оценка «неудовлетворительно» проставляется только в экзаменационную ведомость и
журнал учебной группы.
8.2.5. Экзамен
Экзамен предназначен для оценки работы студента в течение всего срока
обучения и призван выявить уровень, прочность и систематичность полученных им
теоретических и практических знаний, приобретения навыков самостоятельной работы,
развития творческого мышления, умение синтезировать полученные знания и применять
их в решении практических задач. По итогам экзамена выставляется оценка по шкале:
«отлично», «хорошо»,«удовлетворительно», «неудовлетворительно».
Экзаменационные билеты включают в себя два вопроса. Критерии оценки знаний
Оценка определяется следующими составляющими:
- результатами ответа на 1-й вопрос;
- результатами ответа на 2-й вопрос;
- результатами ответов на дополнительные вопросы.
При этом учитывается текущая успеваемость, посещаемость занятий, участие в
семинарских и практических занятиях и выполнение заданий на самостоятельную работу.
Результаты экзамена оцениваются:
«отлично» - при наличии у студента глубоких, исчерпывающих знаний, грамотном
и логически стройном построении ответа по основным вопросам дисциплины.
«хорошо» - при наличии твердых и достаточно полных знаний, логически
стройном построении ответа при незначительных ошибках
по направлениям,
перечисленным при оценке «отлично».
«удовлетворительно» - при наличии твердых знаний, изложении ответа с
ошибками, уверенно исправленными после наводящих вопросов по изложенным выше
вопросам.
«неудовлетворительно» - при наличии грубых ошибок в ответе, непонимании
сущности излагаемого вопроса, неуверенности и неточности ответов после наводящих
вопросов по вопросам изучаемой дисциплины.
Оценка выставляется в экзаменационной ведомости.
Перечень вопросов к экзамену
1.
2.
3.
4.
5.
Важнейшие математические понятия
Векторное пространство
Множества векторного пространства
Функции нескольких переменных
Дифференцируемые функции нескольких переменных
42
6. Теоретические основы оптимизации
7. Постановка задачи оптимизации
8. Выпуклые и вогнутые функции
9. Разновидности задач оптимизации
10. Теорема Вейерштрасса
11. Условия экстремума
12. Общие сведения
13. Условия безусловного экстремума первого порядка
14. Условия безусловного экстремума второго порядка
15. Необходимые и достаточные условия экстремума в задаче с ограничениями в
форме равенств
16. Необходимые и достаточные условия экстремума в задаче с ограничениями в
форме неравенств
17. Условия экстремума в седловой форме
18. Задачи линейного программирования и их свойства
19. Общая задача линейного программирования
20. Геометрия задачи линейного программирования
21. Каноническая задача линейного программирования
22. Симплекс-метод
23. Идея симплекс-метода
24. Алгоритм симплекс-метода
25. Пример применения алгоритма симплекс-метода
26. Двухфазный симплекс-метод
27. Метод искусственных переменных
28. Прикладные задачи линейного программирования
29. Задача о производстве продукции при ограниченных запасах сырья
30. Задача об оптимальном распределении деталей по станкам
31. Транспортная задача
32. Методы оптимизации функций одной переменной
33. Метод локализации экстремума
34. Метод золотого сечения
35. Метод Фибоначчи
36. Метод равномерного перебора
37. Методы безусловной оптимизации
38. Общая схема методов подъема
XI. ЛИТЕРАТУРА
Список основной учебной литературы:
1.
Новиков А.И. Теория принятия решений и управление рисками в
финансовой и налоговой сферах: Учебное пособие / А.И.Новиков, Т.И. Солодкая. – М.:
Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2012. – 288 с.
2.
Когденко, Вера Геннадьевна. Экономический анализ: учеб. пособие для
студентов вузов/ В.Г. Когденко. – 2е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА., 2009.
392с. (Гриф).
3.
Селиванов С.Н. Теория принятия решений. – М.: УРАО. 1998.
Список дополнительной учебной литературы:
43
4.
Новиков А.И. Теория принятия решений и управление рисками в
финансовой и налоговой сферах: Учебное пособие / А.И.Новиков, Т.И. Солодкая. – М.:
Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2012. – 288 с.
5.
Когденко, Вера Геннадьевна. Экономический анализ: учеб. пособие для
студентов вузов / В.Г. Когденко. – 2е изд.,перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА., 2009.
392с. (Гриф).
6.
Селиванов С.Н. Теория принятия решений. - М.: УРАО. 1998.
XII. ГЛОССАРИЙ
Аксиома инвариантности относительно линейного преобразования
Если платежные матрицы двух игр с одинаковым числом ходов для каждого игрока
инвариантны относительно линейного преобразования, то и соответствующие
арбитражные решения инвариантны относительно линейного преобразования с теми же
коэффициентами инвариантности.
Аксиома независимости несвязанных альтернатив
Если к игре добавить новые ходы игроков с добавлением новых элементов
платежных матриц таким образом, что точка status quo не меняется, то либо арбитражное
решение также не меняется, либо оно совпадает содной из добавленных сделок.
Аксиома оптимальности по Парето
Арбитражное решение должно быть элементом переговорного множества.
Аксиома симметрии в теории игр
Если игроки находятся в одинаковой ситуации, то и арбитражное решение должно
быть одинаковым.
Алгоритм двойственного симплекс-метода
- алгоритм последовательного улучшения плана, применимого к задаче
минимизации целевой функции, при этом допустимая область определяется следующим
образом: компоненты произведения матрицы ограничений и вектора переменных должны
быть больше либо равны соответствующих компонент вектора ограничений. Условие
неотрицательности переменных не накладывается.
Алгоритм метода ветвей и границ
- алгоритм одного из комбинаторных методов дискретного программирования, при
котором гиперплоскость, определяемая целевой функцией задачи, вдавливается внутрь
многогранника планов соответствующей задачи линейного программирования до встречи
с ближайшей целочисленной точкой этого многогранника.
Алгоритм метода Гомори
- один из алгоритмов нахождения решения задачи целочисленного
программирования группы методов отсекающих плоскостей.
Алгоритм симплекс-метода
- алгоритм последовательного улучшения плана, позволяющий осуществлять
переход от одного допустимого базисного решения к другому таким образом, что
значение целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится
оптимальное решение.
Алгоритм улучшения плана транспортной задачи
- алгоритм перехода к новому опорному плану транспортной задачи, дающему
меньшее значение функции потерь, до обнаружения оптимального плана.
Антагонистические игры
- игры, в которых интересы игроков строго противоположны, т. е. выигрыш одного
игрока - проигрыш другого.
Арбитраж
- нахождение совместной стратегии с помощью незаинтересованного лица.
44
Булевское программирование
- раздел математического программирования, занимающийся разработкой методов
решения специфических задач целочисленного программировыания, когда переменные
могут принимать значения 1 или 0.
Выпуклое программирование
- раздел математического программирования, где целевая функция и функции,
определяющие допустимую область, являются выпуклыми.
Вырожденный опорный план
- опорный план, число ненулевых компонент которого меньше числа ограничений.
Геометрическое программирование.
Под задачами геометрического программирования понимают задачи наиболее
плотного расположения некоторых объектов в заданной двумерной или трехмерной
области. Такие задачи встречаются в задачах раскроя материала для производства какихто изделий и т.п. Это - еще недостаточно разработанная область математического
программирования и имеющиеся здесь алгоритмы в основном ориентированы на
сокращение перебора вариантов с поиском локальных минимумов.
Задача математического программирования
В общей постановке задачи этого раздела выглядят следующим образом. Имеются
какие-то переменные
и функция этих переменных
,
которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум
или минимум) целевой функции
при условии, что переменные x принадлежат
некоторой области G.
Задача о диете
возникает при составлении наиболее экономного (т.е. наиболее дешевого) рациона
питания животных, удовлетворяющего определенным медицинским требованиям.
Игра с нулевой суммой
- игры, в которых сумма выигрыша игроков после каждой партии составляет ноль.
Игры S-эквивалентные
- Это две игры n-лиц с характеристическими функциями
и
, определённые
на одном и том же множестве игроков и связанные соотношением
Исследование операций
- наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов
наиболее оптимального управления организационными системами
Игра
- математическая модель конфликтной ситуации, стороны, участвующие в
конфликте, называются игроками, а исход конфликта - выигрышем.
Канонической форма задачи ЛП
- является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F, ее
система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные
задачи х1, х2 , ..., хn являются неотрицательными.
Квадратичное программирование
- раздел математического программирования, в котором рассматриваются задачи
следующего вида (в матричных обозначениях)
где
. Задачи линейного
и получаются при =0.
45
Классификация обслуживающих систем по составу:
Одноканальные системы;
Многоканальные системы (много приборов обслуживания).
Классификация обслуживающих систем по времени пребывания требований в
системе до начала обслуживания:
Системы с неограниченным временем ожидания;
Системы с отказами (вновь поступившее требование, застав все приборы занятыми,
покидает систему);
Системы смешанного типа (поступившее требование становится в очередь, но, в
отличие от (1), оно в очереди может находиться ограниченное время, после чего, не
дождавшись обслуживания, покидает систему.
Классификация задач исследования операций
Задачи можно разделить на три уровня:
Детерминированый уровень; Стохастический уровень; Неопределенный
уровень.
Классификация игр:
По выигрышу: антагонистические игры и игры с нулевой суммой.
Математическая модель
- любой задачи линейного программирования включает в себя:

максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);

систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;

требование неотрицательности переменных.

Математические моделирование
– наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов
наиболее оптимального управления организационными системами.
Матричные игры
- это игры, математические модели которых можно представить в виде матриц.
Модель
– материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе
исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает
новые знания об объекте-оригинале.
Моделировaние
– это изучение объектa путем построения и исследования его модели,
осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом
экспериментом нa модели.
Метод аппроксимации Фогеля
- один из группы методов определения первоначального опорного плана
транспортной задачи. Данный метод состоит в следующем:
1.
на каждой итерации находят разности между двумя наименьшими тарифами
во всех строках и столбцах, записывая их в дополнительные столбец и строку таблицы;
2.
находят max Δcij и заполняют клетку с минимальной стоимостью в строке
(столбце), которой соответствует данная разность.
Метод двойного предпочтения
- один из группы методов определения первоначального опорного плана
транспортной задачи.
Нелинейное программирование.
Целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями.
Игра с нулевой суммой (антагонистическая),
если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.
Обслуживающие системы
46
- системы массового обслуживания, характеризующиеся входящим потоком
требований, приборами обслуживания, Очередью требований, выходящим потоком
требований.
Оптимальный план ЗЛП
- решение задачи линейного программирования, т. е. такой план, который входит в
допустимую область и доставляет экстремум целевой функции.
- заключается в том, что все состояния природы считаются равновероятными.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока.
Подграф графа
- это граф, являющийся подмоделью исходного графа, т. е. подграф содержит
некоторые вершины исходного графа и некоторые ребра (только те, оба конца которых
входят в подграф).
Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.
Платежная матрица игры
- матрица размерности m на n, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m, (i,j)-ый элемент которой
значение выигрыша (пригрыша) игроков в случае i-го хода первого игрока и j-го хода
второго игрока.
Предмет теории игр
- принятие решений в условиях неопределенности, в условиях столкновения,
конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок), располагает
информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в
действительности находится, о множестве решений, которые он может принять, и о
количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной
ситуации данную стратегию.
Принцип оптимальности динамического программирования
- каково бы ни было состояние системы в результате какого-либо числа шагов, на
ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с
оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному
выигрышу на всех оставшихся шагах, включая выигрыш на данном шаге. Простая цепь маршрут, в котором все вершины попарно различны.
Простой граф
- это граф без кратных ребер и петель.
Простой цикл
- цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, попарно различны.
Пустым называется граф без ребер.
Путь в ориентированном графе
- это последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной
от последней, является начальной вершиной следующей.
Решение задачи линейного программирования
это план, доставляющий экстремальное значение целевой функции.
Решение игры
- уравновешенная пара.
Решение игры n лиц
- определяется как любое множество A. такое, что
1.
если и y - предпосылки, входящие в A, то ни одна из них не доминирует над
другой;
2.
если z - предпосылка, не входящая в A, то найдётся по крайней мере одна
предпосылка принадлежит A, которая доминирует над z.
Решение – всякий определенный набор зависящих параметров.
47
Сбалансированная транспортная задача
транспортная
задача,
в
которой
выполняется
условие
баланса.
Сговор в игре
- совместные действия игроков с целью получения максимального выигрыша.
Седловой точкой
действительной функции
для
всех
, определённой
называется
точка
где
, если
,
,
выполнены следующие условия:
1.
;
2.
.
Семейный спор
- игры, которые имеют платёжную матрицу
и которая получила название “семейный спор”. Название возникло из-за
следующей её интерпретации. Муж (игрок 1) и жена (игрок 2) могут выбирать одно из
двух вечерних развлечений - футбол (i=1, j=1) или театр (i=2, j=2). Согласно обычному
стандарту, мужчина предпочитает футбол, а женщина - театр. Однако им гораздо важнее
идти вместе, чем смотреть своё предпочтительное зрелище. И если они поругаются и
пойдут в разные стороны (i=1, j=2 или i=2, j=1), то оба проиграют, получая (-1,-1).
Симплекс-метод
- последовательное улучшение плана задачи линейного программирования,
позволяющее осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому,
причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число
шагов находится оптимальное решение.
Смешанные стратегии
- стратегия случайного выбора хода игрока.
Стохастическое программирование
- раздел математического программирования, задачами которого является решение
экстремальных задач, в которых некоторые коэффициенты целевой функции и элементы
матрицы ограничений являются случайными числами.
Граф называется связным, если любая пара его вершин связана.
Симплекс метод
- алгоритм последовательного улучшения плана, позволяющий осуществлять
переход от одного допустимого базисного решения к другому таким образом, что
значение целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится
оптимальное решение.
Теория игр
- теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности,
в условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект
(игрок), располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из
которых он в действительности находится,о множестве решений, которые он может
48
принять, и о количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в
данной ситуации данную стратегию.
Точка Status quo
- точка, координатами которой являются максимальные выигрыши первого и
второго игроков соответственно.
Транспортная задача
Пусть имеется однородный продукт, распределенный в определенных количествах
(не обязательно одинаковых) в m складах. Этот продукт необходимо доставить в n
пунктов потребления, причем в каждый пункт установленное количество. Запасы и
потребности сбалансированы. Стоимость перевозки из конкретного склада в конкретный
пункт индивидуальна. Товар должен быть вывезен из всех складов и доставлен в
требуемом количестве в каждый пункт. Задача заключается в минимизации транспортных
расходов.
Теорема об активных стратегиях.
Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то
выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за
пределы своих активных стратегий.
Теория графов.
С помощью теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с
минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д.
Теория игр
пытается математически объяснить явления возникающие в конфликтных
ситуациях, в условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются психологией,
политологией, социологией, экономикой.
Транспортная задача
- в общем виде состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого
однородного груза из m пунктов отправления A1, A2 , ..., Am в n пунктов назначения B1, B2 ,
..., Bn .
Уравновешенная пара
- решение игры.
Фиктивные цены
переменные в двойственной задаче, о характеристиках которых вы можете узнать
при переходе по ссылке
Ход игрока
- выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий.
Целевая функция
- функция в математическом программировании, для которой требуется найти
экстремум.
Целочисленная задача
Экстремальная задача линейного программирования, в которой на решение
налагается
целочисленность
компонент,
является
задачей
целочисленного
программирования и называется целочисленной задачей.
Целочисленное программирование
- раздел математического программирования, занимающийся разработкой методов
решения частного случая задач дискретного программирования, когда на переменные
наложено условие целочисленности.
49