Белорукова_М_В_ФБ_2015_Метод_областейx
advertisement
Министерство образования и науки Российской Федерации Институт проблем информатики Российской Академии наук Федеральный институт развития образования Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования Автономная некоммерческая организация «Информационные технологии в образовании» V Международный конкурс педагогического мастерства по применению ИКТ в образовательном процессе «Формула будущего – 2015» Учебный дистанционный модуль «Метод областей» Методическая разработка Работу выполнила: учитель математики МБОУ СОШ № 8 Белорукова Марина Васильевна г. Архангельск, 2015 0 ВВЕДЕНИЕ Совершенствование методов, средств обучения и методической системы в целом является одной из актуальнейших задач современной педагогической науки и включает в себя разработку вопросов всесторонней активизации процесса обучения. В условиях постоянного развития и усложнения информационнокоммуникационных технологий возрастает значимость информатизации системы образования. Содержание и качество образования, его доступность, соответствие потребностям конкретной личности определяют состояние интеллектуального потенциала современного общества. Ориентация процесса обучения (содержания, методов, средств и организационных форм) на индивидуальные особенности и потребности учащихся становится более эффективной обучения, при активном использовании основанных на методически инновационных обоснованном технологий использовании информационно-коммуникационных технологий: от построения урока с использованием электронных образовательных ресурсов до реализации индивидуализированного рассматриваться как электронного самостоятельная обучения, форма, которое может альтернативная очному обучению, либо как интегрированная часть общей системы образования. Большое внимание сегодня уделяется тем возможностям, которые предоставляют дистанционные образовательные технологии (ДОТ). В развитии системы дистанционного обучения в России нуждаются многие группы населения, в том числе учащиеся средних школ, особенно в сельской местности, в поселках и маленьких городах. Удаленно проживающим учащимся дистанционная форма обучения открывает доступ к сотрудничеству с высококвалифицированными учителями, возможность получения качественного профильного образования. Значимость дистанционных образовательных технологий подтверждается отражением норм и правил их использования в новом Законе об образовании в РФ. В частности, там раскрывается само понятие ДОТ: «Под дистанционными образовательными технологиями понимаются образовательные технологии, 1 реализуемые в основном телекоммуникационных сетей с при применением информационно- опосредованном (на расстоянии) взаимодействии обучающихся и педагогических работников» [1]. Задачи с параметрами в школьной программе рассматриваются на этапе обобщения и систематизации знаний учащихся. Трудности при решении таких задач обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по известному алгоритму и определённым методом, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга. Решение задач с параметрами требует от учащихся не только знаний свойств функций и их графиков, методов решения уравнений и неравенств, умений выполнять алгебраические преобразования, но также высокой культуры мышления и умений проводить грамотное и тщательное исследование. Задачи с параметром являются одним из заданий части «С» ЕГЭ по математике не случайно. Они обладают диагностической и прогностической ценностью, так как с их помощью можно проверить знание основных разделов школьной математики, математического и методов логического и способов мышления, решения навыки задач, уровень исследовательской деятельности, перспективные возможности успешного овладения курсом математики в вузе. Цель: разработать дистанционный модуль «Метод областей» на платформе Sakai САФУ имени М.В. Ломоносова для подготовки учащихся по математике на профильном уровне. Поставленная цель требует решения следующих задач: 1. Изучение требований, предъявляемых к дистанционным курсам для учащихся профильных классов. 2. Анализ различных источников информации (учебников, научно-популярной литературы) с целью обобщения опыта обучения решению задач с параметром. 3. Разработка содержания дистанционного модуля «Метод областей». 4. Апробация эффективности обучения дистанционного модуля. 2 учащихся на основе ГЛАВА 1 ДИСТАНЦИОННАЯ ФОРМА ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ НА ПРОФИЛЬНОМ УРОВНЕ Дистанционное обучение (ДО) — тип обучения, основанный на образовательном взаимодействии удаленных друг от друга педагогов и учащихся, реализуемый с помощью компьютеров, телекоммуникационных технологий и ресурсов сети Интернет. Для дистанционного обучения характерны все присущие учебному процессу компоненты системы обучения: цели, содержание, организационные формы, средства обучения, система контроля и оценки результатов [3]. Курсы, ориентированные на использование дистанционных образовательных технологий, должны строиться с учетом следующих требований: 1. Обучающийся должен научиться самостоятельно «добывать» знания, пользуясь разнообразными источниками информации. 2. Обучающиеся должны быть вовлечены в активную познавательную деятельность. 3. Организация индивидуальной или групповой работы обучающегося в сети предполагает использование новейших педагогических технологий, соответствующих специфике ДОТ, способствующих раскрытию индивидуальных и социальных качеств каждого обучающегося. 4. ДОТ предусматривают активное взаимодействие, как с руководителем курса, так и с другими обучающимися, сотрудничество в процессе различной познавательной и творческой деятельности. 5. Контроль знаний должен носить систематический характер. Должна быть организована оперативная обратная связь, для своевременного обращения к преподавателю, в любое удобное для обучаемого время. Должна быть организована система тестирования. В большинстве случаев дистанционный курс имеет модульную и гипертекстовую структуру для установления связей модулей с другими 3 структурными элементами. Модульная структура предполагает, что основным элементом курса является модуль. Модуль — структурный элемент программы обучения, который оформляется в виде отдельного документа; включает ориентировочную часть — цель, информационные ресурсы, перечень учебных элементов; информационную часть — учебные элементы, глоссарий; диагностическую часть — тесты и практические задания [8]. ГЛАВА 2 УЧЕБНЫЙ ДИСТАНЦИОННЫЙ МОДУЛЬ «МЕТОД ОБЛАСТЕЙ» 2.1 Пояснительная записка Дистанционный модуль «Метод областей» является частью курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для обучающихся 10–11 классов, предназначенного для обучения математике учащихся профильных классов, проведения элективных курсов, подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ. Модуль «Метод областей» рассчитан на 16 часов. Цель модуля: создание базы математических знаний, умений и навыков, способствующих выбору рационального способа решения задачи с параметром, приобщение учащихся к исследовательской деятельности. Задачи модуля: 1) формирование умений и навыков по решению задач с параметром методом областей; 2) развитие логического мышления учащихся; 3) развитие математической культуры учащихся; 4) обучение анализу и обобщению результатов решения задач; 5) формирование навыков исследования для решения задач с параметрами. 6) подготовка к итоговой аттестации и продолжению образования. Предполагается, что дистанционный модуль будет способствовать: позитивным изменениям, происходящим с учениками; эмоциональному подъему участников образовательного процесса, 4 связанному с необычностью познавательной деятельности, проходящей в нетрадиционной форме с применением компьютерных телекоммуникаций; эффективности дистанционного сопровождения профильного и дополнительного обучения. Форма обучения: дистанционная и частично-дистанционная. Дистанционный материал. модуль Теоретическая включает часть теоретический содержит и упорядоченные практический сведения об уравнениях и неравенствах с параметром, решаемых методом областей, а практическая – задачи различных типов, разного уровня сложности, предназначенные для индивидуальной работы, тренажёры для отработки навыков решения задач. Особое внимание отводится исследовательской деятельности учащихся, направленной на открытие новых знаний с использованием ИГС GeoGebra. Для контроля знаний и умений учащихся используются: тесты входного контроля для проверки готовности обучающихся к восприятию темы; контрольные вопросы для проверки понимания теоретического материала; текущие тестовые задания; контрольные задания для мониторинга учебной деятельности обучающихся, проверяемые преподавателем. При разработке модуля учтена возможность включения разнообразного иллюстративного материала, интерактивных моделей для повышения наглядности курса и выполнения исследовательских работ с использованием возможностей ИГС GeoGebra. Таблица 1 Программа модуля Этапы 1. Входной контроль Цель Контроль Выявить уровень подготовки Тест №1 Решение неравенств методом 5 Количество часов Этапы Цель Контроль обучающихся к восприятию нового метода решения задач интервалов. Количество часов 2 Тест №2 Решение неравенств с двумя переменными и их систем. 2. Исследовательская работа «Знаки функции с двумя переменными» Исследование знаков Рабочий лист функции с двумя (самостоятельная работа переменными с № 1) использованием ИГС GeoGebra 2 3. Теоретический блок: Показать и сравнить Контрольные вопросы решение неравенства (самостоятельная работа методом интервалов № 2) и методом областей 1 4. Решение различных типов задач с параметром методом областей Научить решать различные типы задач с параметром методом областей Контрольные вопросы (самостоятельная работа № 3) 4 5. Тренажёр по решению различных типов задач с параметром методом областей Отработать навык решения различных типов задач с параметром методом областей Отметка о выполнении (самостоятельная работа № 4) 3 6. Решение задач по теме «Метод областей» Проверка умений решать задачи методом областей Самостоятельная работа №5 4 Решение неравенств с параметром методом областей на основе аналогии с методом интервалов 2.2 Основные материалы модуля и технологические особенности их разработки 2.2.1 Теоретические материалы Для размещения теоретических материалов на дистанционной платформе Sakai предусмотрен инструмент «Теория». Он позволяет преподавателям публиковать последовательно изложенный материал для изучения, создав его с помощью встроенного редактора или закачав на сайт файлы текстовых и презентационных форматов. 6 Теоретические материалы данного модуля размещены на сайте в виде текстовых файлов формата pdf, с необходимым количеством иллюстраций, выполненных в программе GeoGebra. После каждого теоретического блока размещены контрольные вопросы, на которые учащиеся должны ответить, используя инструмент «Задания». Приведём пример теории по теме «Решение неравенств с параметром методом областей на основе аналогии с методом интервалов». Одним из приемов решения неравенств с параметром является взгляд на параметр как на равноправную переменную. В литературе такой прием называют «методом областей». Суть метода заключается в следующем: Пусть имеется неравенство с параметром p(x, а) 0. Каждое частное его решение – это пара чисел (x, а), геометрически – точка. Множество частных решений изображаем на графике в виде некоторой фигуры. Для построения графиков используют координатную плоскость xOa вместо традиционной xОy. Полученный график пересекают прямыми, перпендикулярными параметрической оси или оси абсцисс (в зависимости от типа задачи); находят точки пересечения; «снимают» нужную информацию (выписывают ответ). Применение метода областей при решении неравенств с двумя переменными аналогично применению «метода интервалов» для решения неравенств с одной переменной [5]. Эта аналогия показана в таблице 2. Таблица 2 Аналогия методов интервалов и областей (переход с прямой на плоскость) Неравенство с одной переменной Метод интервалов 1 Введение функции 2 Нахождение области определения функции 3 Нахождение нулей функции 1 2 3 4 5 Нанесение области определения и нулей функции на координатную прямую Определение знаки на интервалах 6 Запись ответа 6 4 5 Неравенство с двумя переменными Метод областей Введение функции (функций) Нахождение области определения функции (функций) Определение вида функции и ее графика, особых точек Построение графика на координатной плоскости Нахождение знаков в полученных областях Ответ — рисунок Рассмотрим применение данных методов при решении задачи с параметром на конкретном примере. Пример 1. Для всех значений a решить неравенство 7 x 3a 1 0. x 2a 2 1) Решим данное неравенство методом интервалов. Введём функцию f(x) = х 3а 1 х 2а 2 Найдём область определения и нули функции. х 3а 1 0 х 3а 1 х 3а 1 0 х 2а 2 х 2а 2 0 х 2а 2 Отметим на оси x точки, в которых функция не определена и равна нулю. Случай 1. 3а+1 < 22а а 1 . Решением неравенства будет промежуток [3а+1; 22а). 5 1 Случай 2. 22а < 3а+1 а . Решением неравенства будет промежуток (22а; 3а+1]. 5 Случай 3. 22а = 3а+1 а 1 . Решением неравенства является множество, состоящее из 5 одной точки х = 1,6. 2) Решим данное неравенство методом областей. Решение. В подобных ситуациях принято на первом шаге изображать границы областей, то есть всё множество точек М (х; a), для которых левая часть неравенства равна нулю. Первый шаг. Построение границ. x 3a 1 0 x 2a 2 х 3а 1 0 𝑥 = 3𝑎 + 1 ,. 𝑥 ≠ 2 − 2𝑎 х 2а 2 0 Оба равенства в плоскости хОa задают прямую. Полученные прямые разбивают координатную плоскость хОa на четыре области. Для всех точек каждой области левая часть неравенства имеет фиксированный знак, который нам необходимо определить. Второй шаг. Определение знака в областях. Возьмём точку с координатами (2; 1) в первой области. Подставим значения a = 1; x = 2 в выражение x 3a 1 2 3 1 и определим его знак: f (2; 1) = . 222 x 2a 2 Аналогично определяются знаки в других трёх областях. 8 Рисунок 1 Определение знаков в областях к примеру 1 Ответ: если a 1 , то x 3a 1;2 2a ; если 5 a 1, 5 то x 2 2a;3a 1; если a 1 , то x 1.6 5 Контрольные вопросы 1. Как определили знаки на промежутках при решении неравенства методом интервалов? 2. Почему при решении неравенства методом интервалов в случае 3 решением неравенства является точка? 3. Какие точки достаточно взять для определения знаков левой части неравенства при его решении методом областей? 4. Докажите правильность определения знаков левой части неравенства при его решении методом областей. 2.2.2 Тесты входного и текущего контроля Метод областей тесно связан с темой «Метод интервалов», поэтому в начале у учащихся необходимо проверить умения решать неравенства методом интервалов. Перед изучением теоретического материала темы «Метод областей» учащимся предлагается выполнить задание 1. Задание 1. Пройдите тестирование по теме «Метод интервалов». Если вы не уверены в своих знаниях и умениях, изучите сначала теоретические материалы И.В. Яковлева «Метод интервалов» http://mathus.ru/math/metod-intervalov.pdf [14]. Фрагмент теста №1 «Решение неравенств методом интервалов» Решите неравенство методом интервалов и выберите правильный ответ из числа предложенных: 1. (1 – 2x)(x – 3) > 0 1 1 1 1 a) ; 3; ; b) ;3 ; c) ; 3;; d) ;3 2 2 2 2 9 2. (x + 9)(x – 3)(2x – 8) > 0 a) ; 9 3;4; b) 9;3 4;; c) 9;3 4;; d) ;9 3;4 3. 3х 2 7 х 4 1 9х 2 4х 5 a) 5 ;1 1; 4 ; b) 5 ;1 4 ; ; c) ; 3 5 ;1 1;; d) ; 3 5 ;1 1; 9 3 9 х 4 3х 5 х 2 5 10. х 67 2 х 92 3 2 9 2 9 6 0 a) ; 3 6; 0 2; b) 5 5 ; 6; ; 3 9 5 c) 6; 2; 2 3 ;0; d) 5 ; 6; 0 2 3 Инструмент «Тесты» позволяет создавать и проводить он-лайн опросы и тесты. Можно подготовить вопросы различных типов, например: выбор варианта ответа, короткий ответ, соответствие или заполнение пустого текстового поля. Этот инструмент обладает широким набором функций, таких как случайный порядок вопросов и ответов, создание банка вопросов и случайный выбор вопросов из него. Существует возможность вставки формул и рисунков. Так же существует возможность отзыва на ответ учащегося с формулировкой характера ошибки. Например: 10 Приведём фрагмент задания из текущего теста с использованием чертежей, выполненных в программе GeoGebra. Задание 2. Пройдите тестирование по теме «Решение неравенств с двумя переменными и их систем». Фрагмент теста №2 «Решение неравенств с двумя переменными и их систем» 4. Определите, на каком рисунке изображено множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: х у х у < 4 х 8 у 2 2 A. B. 2 C. D. 8. Установите соответствие между алгебраической записью задачи и её геометрической интерпретацией: х 2 8 х у 2 6 у 0 х 2 8 х у 2 6 у 0 1. у х 0 2. x2 8x y 2 6 y y x 0 3. у х 0 4. x2 8x y 2 6 y y x 0 A. B. C. D. 2.2.3 Задания на интерактивных чертежах и самостоятельные работы Возможность размещать материалы в формате html позволяет вставлять на страницы сайта интерактивные задания-чертежи, выполненные в виде javaапплетов с использованием ИГС GeoGebra. Приведём пример исследовательского задания «Знаки функции с двумя переменными». Исследовательское задание 1. Откройте файл Исследовательское задание 1.ggb (рис. 2). 1. С помощью инструмента перемещать разместите точку A в области I. Зафиксируйте знак функции. Двигайте точку А, не выходя из области и наблюдайте за знаком функции. Сделайте вывод о знаке функции в этой области. 2. Аналогично сделайте выводы о знаках функции в других трёх областях. 11 3. В графу «Ход исследования» занесите полученные результаты. 4. Рисунок 2 Исследовательское задание 1 5. Из полученных результатов сделайте вывод и запишите его в графу «Выводы из наблюдений». 6. Выполните исследовательские задания 25 по такой же схеме. 7. В общем выводе из проведённого исследования попытайтесь сравнить полученные результаты с методом интервалов и объяснить отличие полученных результатов в задании 4. Схема проведения исследования Задание Ход исследования Выводы из наблюдений x 5a 0 xa5 a x a x 2 0 2 a xax 1 0 a x 2 ax 1 0 x 2 a a2 x2 4 0 Общий вывод из проведённого исследования Данную таблицу учащимся предлагается отправить преподавателю на проверку. Для этого на дистанционной площадке Sakai имеется инструмент «Задания». Задания преподаватель может отправить учащимся на доработку, как с оценкой, так и без. Эту возможность можно использовать для просмотра и корректирования письменных работ, а также для работы над ошибками в уже выполненных заданиях. Учащиеся могут получить оценку за задание, комментарии преподавателя к их работе и образец выполнения задания. 12 Образец выполнения задания: Схема проведения исследования Задание x 5a 0 xa5 a x a x 2 0 Ход исследования I область (+) II область () III область (+) IV область () Выводы из наблюдений При переходе точки А из одной области в другую знак функции изменяется … 2 a xax 1 0 …. a x 2 ax 1 0 x 2 a a2 x2 4 0 … При переходе точки А через 1 границу а знак функции х меняется, а при переходе через границу а = –х не меняется … … Общий вывод из проведённого исследования Если множитель стоит в нечётной степени, то при переходе через границы областей знак меняется. Если множитель стоит в чётной степени, то знак при переходе через границу областей не меняется. Разработанный модуль содержит тренажёры, созданные на основе интерактивных моделей — java-апплетов. Интерактивность достигается за счёт добавления на чертёж инструмента «Ползунок». Учащиеся таким образом имеют возможность изменять параметр с помощью данного инструмента и наблюдать за изменением чертежа. Приведём пример тренажёра «Запись ответа при решении задач методом областей»: Найдите ответы на следующие вопросы, используя интерактивную модель (рис. 3): 1. Найдите все значения p, при каждом из которых множеством решений неравенства(р–х2)(р +х – 2) ≤ 0 является отрезок [–1; 1]. 2. Найдите все значения p, при каждом из которых множеством решений неравенства (р – х2)(р + х – 2) ≤ 0 является изолированная точка и интервал. 3. Найдите все значения p, при каждом из которых множеством решений неравенства (р – х2)(р + х – 2) ≤ 0 является луч. 13 4. Найдите все значения p, при каждом из которых неравенство (р – х2)(р + х – 2) ≤ 0 выполняется для всех x[2; 3]. 5. Найдите все значения p, при каждом из которых множеством решений неравенства (р – х2)(р + х – 2) ≤ 0 является интервал и отрезок длиной 1. 6. Для каждого отрицательного значения параметра р запишите решение неравенства (р – х2)(р + х – 2) ≤ 0. Рисунок 3 Интерактивная модель к тренажёру Заканчивается модуль выполнением самостоятельной работы, которая тоже выдаётся преподавателем и сдаётся учеником на проверку с помощью инструмента «Задания». Пример самостоятельной работы по теме «Решение неравенств с параметром методом областей». 1. Найдите все значения параметра a, при которых для всех x, удовлетворяющих условию 0 x 1 , справедливо неравенство х 2а 0. ха 2. При каких значениях a неравенство не имеет кор997ней x 2 6 x 14 a 0. a 2 sin x 1 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств 4 х 2 а 3 4 х имеет единственное решение. а 1 х 0 4. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых общие решения неравенства x 2 2 x a 1 и x 2 4 x 1 4а образуют на числовой оси отрезок длины 1. ax 1 0 5. При каких действительных значениях параметра a, система неравенств не x 4a имеет решений. 14 Критерии оценивания заданий самостоятельной работы Содержание критерия Баллы Верно найдены все значения параметра a 4 Верно найдены граничные значения параметра a Правильно определены знаки в областях 3 2 Верно построены границы и найдены области 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2.2.4 Скриншоты отдельных элементов курса 15 4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Учебный дистанционный модуль «Метод областей» размещён на дистанционной площадке Sakai САФУ имени М.В. Ломоносова (https://sakai.pomorsu.ru/portal/site/Solving_equations_and_inequalities_with_param eter) и был успешно апробирован в 2014–2015 учебном году на учащихся одиннадцатых классов МБОУ СОШ № 8 города Архангельска. За контрольную работу по теме «Задачи с параметрами» лишь 12 человек получили оценку «3», 24 человека получили оценку «4» и 8 человек — «5». При этом следует отметить, что на пробном ЕГЭ задание с параметром решал только один человек. Окончательные результаты будут получены после сдачи ЕГЭ в июне месяце. Положительные эффективности результаты дистанционного апробации сопровождения позволяют говорить профильного об обучения учащихся. В процессе обучения учащихся с использованием дистанционного курса повышается их мотивация: направленность на овладение новыми способами учебных действий; личная значимость деятельности в Сети; формирование навыков самоорганизации. Среди полученных результатов апробации следует отметить, что не смотря на то, что многие учащиеся имеют потребность в личностном росте, реализовывают её не все. Одна из причин — недостаточная подготовленность обучаемых к самостоятельной работе, отсутствие самодисциплины, неумение организовать себя, самостоятельно спланировать свою работу. Не смотря на это, разработанный дистанционный курс позволяет более эффективно подготовить выпускников школы к освоению профильной программы по математике и сдаче выпускных и вступительных экзаменов. Кроме того, презентация курса «Решение задач методом областей» на семинаре учителей-экспериментаторов М.В. Ломоносова обеспечила проекта распространение взаимодействия в школах Архангельской области. 16 MITE опыта в САФУ имени дистанционного СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Федеральный закон от 29.12.2012 № 273-ФЗ (ред. от 05.05.2014) "Об образовании в Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. в силу с 06.05.2014). Режим доступа: http://base.consultant.ru. 2. Высоцкий В.С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316 с. 3. Гавва Е.Д. Профильное обучение школьников в дистанционной форме: из опыта работы / Е.Д. Гавва, М.П. Вишневская, Е.Ю. Новикова, Е.В. Тяпкина // Информатика и образование. – 2013. – № 7. – С 24–25. 4. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре. 8–9 классы: пособие для учащихся общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2010. – 301 с. 5. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с. 6. Горштейн, П.И. Задачи с параметрами / П.И. Горштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – К.: РИА «Текст»; МП «ОКО», 1992. – 290 с. 7. Данелян С.А. Технология обучения решению задач с параметрами с использованием интерактивной среды программы GeoGebra / С.А. Данелян, О.Н. Колосова Материалы II международной научно-практической конференции. Пенза-Ереван-Шадринск: НИЦ «Социосфера», 2012. 388 с. 8. Дистанционные образовательные технологии: проектирование и реализация учебных курсов / Лебедева М.Б., Агапонов С.В., Горюнова М.А., Костиков А.Н. и др. / Под общ. ред. М.Б. Лебедевой. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — 336 с. 9. Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание С5 / С.О. Иванов, Е.А. Войта, Л.С. Ольховая; под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 48 с. 10. Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. – М.: Экзамен, 2009. – 286 с. 11. Моденов В.П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие. – М.: Экзамен, 2007. – 295 с. 12. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 9 класс: учебник для уч-ся общеобразоват. учрежд. (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2010. С. 66–71. 13. Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. – М.: МИЭТ, 2004. – 258 с. 14. Яковлев И.В. Материалы по математике: Метод интервалов. Режим доступа: http://mathus.ru/math/metod-intervalov.pdf (дата обращения: 06.03.2015). 17
