УДК 539.3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ

УДК 539.3
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ
КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ДЕФЕКТАМИ СТРУКТУРЫ
С.М. Верещака, канд. техн. наук, доц.; Д.А. Жигилий, асп.
Сумский государственный университет
Проведены экспериментальные исследования напряжённого состояния образцов из стеклопластика в
форме круглых пластин с дефектами. На основе дискретно – структурной теории тонких пластин и
оболочек рассматривается три варианта расчетной модели многослойной анизотропной оболочки,
которая состоит из нескольких жестких анизотропных слоев. Считается, что напряжения поперечного
сдвига и обжатия на границе контакта равны между собой. При этом допускается упругое
проскальзывание по поверхности контакта смежных слоев. Теоретические результаты сравниваются с
экспериментальными данными, отмечается их удовлетворительное соответствие.
Спектр изделий из композиционных материалов достаточно разнообразный: трубы различных диаметров,
оболочки покрытий зданий и сооружений, сосуды высокого давления и резервуары. Это далеко не полный
перечень. Конструкции и изделия могут быть спроектированы с высокой степенью точности. Однако время
их изготовления в значительной мере зависит от уровня технологии и физико-механических характеристик
составляющих композит компонент.
Из армирующих материалов наиболее экономичным по стоимости является стекловолокно. Прочность
моноволокна находится в пределах от 3,4ГПа до 4,5ГПа. Стандартное отклонение составляет примерно +
10%. Основной причиной такого широкого разброса является наличие дефектов в волокнах и влияние на
них атмосферной влаги.
Результаты испытаний на растяжение пучков или стренг волокна примерно на 20% ниже, чем средние
значения для моноволокна. Это объясняется тем, что после разрыва отдельных волокон в пучке происходит
существенный перегруз остальных волокон. Одним из недостатков, который ограничивает применение
ровингов из стекловолокна, является небольшое значение модуля упругости. Максимальное значение
модуля упругости однонаправленных композитов находится в пределах 41,0 – 55,2ГПа. Величина модуля
упругости стали равна соответственно 210ГПа.
В качестве связующего применяются, как правило, эпоксидные смолы марки ЭД-20. Находят применение
и другие типы эпоксидных смол: бромированные – с повышенным сопротивлением возгоранию; эластичные
эпоксидные смолы с повышенным коэффициентом ударной вязкости и пластичности. В составе композиций
с эпоксидной смолой дополнительно применяются различного рода отвердители и пластификаторы.
Наиболее широко применяемый отвердитель — метилнадикангидрид и триэтаноламин. В качестве
пластификатора можно применять дибутилфталат. Прочность на разрыв отливок из эпоксидной смолы
находится в пределах 55 – 130МПа, модуль упругости при растяжении — 2,8 – 4,2ГПа, предел прочности
при изгибе — 120МПа.
Механические свойства большей части композитов, как и для целого ряда других слоистых материалов,
определяются структурой монослоев. Монослой состоит из волокон, ориентированных под углом + или
однонаправленных. С позиций макромеханики свойства монослоя определяются экспериментальным путем,
а анализ структуры проводится путем перехода от одного слоя к другому. Микромеханический подход,
наоборот, заключается в исследовании составных частей материала, т.е. распределения напряжений и
деформаций между армирующими волокнами и матрицей.
Для уменьшения напряжения в матрице и обеспечения максимальной реализации свойств волокон слои
должны быть ориентированы, как минимум, в трех направлениях: 0, +45, -45. В большинстве
конструкций используется ориентация слоев во всех четырех направлениях. Это позволяет минимизировать
напряжения в матрице и создать условия оптимальной работы композита. Тем не менее, следует отметить,
основную трудность при проектировании оптимальной структуры стеклопластиков – относительно низкая
сопротивляемость межслойному сдвигу (xz=25-50МПа, Gxz=2000-2500МПа) и поперечному отрыву (σz = 2055МПа).
Потеря несущей способности стеклопластиковых оболочек при действии сжимающей нагрузки из-за
слабого сопротивления поперечному отрыву и межслойному сдвигу происходит задолго до достижения
напряжениями предельных значений. Поэтому представляется актуальным проведение дополнительных
исследований этой проблемы.
Основное допущение, которое традиционно используется и постоянно уточняется в теории многослойных
пластинок и оболочек, это предположение о непрерывности векторов перемещений и напряжений при
переходе через поверхность сопряжения, прилегающих друг к другу слоев, т.е. считается, что при переходе
от слоя к слою на межфазных границах выполняются условия идеального контакта. Как будет показано
ниже, такая традиционная постановка не позволяет с приемлемой точностью получить результаты решения
целого ряда практически важных задач. В первую очередь, можно выделить класс задач, в которых
необходимо учесть работу клеевого соединения по поверхности контакта прилегающих слоев. Кроме того,
для слоистых армированных пластиков ввиду особенностей технологического характера и их физикомеханических свойств при действии нагрузки на границах контакта сопряженных слоев происходит
образование тонких неоднородных межфазных прослоек, различного рода несовершенств, например,
участков отслоения или непроклея. В этом случае предположение о непрерывности перемещений и
напряжений при переходе через границу контакта может оказаться существенно нарушенным.
Таким образом, возникает необходимость в разработке моделей слоистых конструкций с учетом
неоднородности клеевых прослоек, с участками непроклея, расслоений, зон проскальзывания и т. д. Для
моделирования участков ослабленного контакта на границах раздела сопряженных слоев, как правило,
применяются два подхода. Первый – феноменологический, когда на границе контакта сопряженных
поверхностей постулируется наличие скачков перемещений и напряжений. Второй – физический, связан с
учетом определенных физико-механических свойств ослабленных межфазных адгезионных слоев.
Постановка контактной задачи механики многослойных пластинок и оболочек дан а в [1-5], где на
основе дискретного подхода построены функционалы и получены системы уравне ний для решения
таких задач при условии неидеального контакта слоев. Метод решения нелинейных задач о контакте
между двумя оболочками разной формы и эквидистантными слоями предложен в книге [6]. Подробный
анализ последних результатов и направлений развития дискретно-структурной теории слоистых
пластин и оболочек можно найти в обзоре [7].
В данной работе на основе дискретно – структурной теории тонких пластин и оболочек рассматривается
три варианта расчетной модели многослойной анизотропной оболочки, которая состоит из нескольких
жестких анизотропных слоев. Согласно первой модели контакт жестких слоев осуществляется при помощи
клеевой прослойки ненулевой толщины. Допускается, что на некотором локальном участке оболочки
клеевая прослойка отсутствует, поэтому в этой области учитывается односторонний контакт между
жесткими слоями.
Для второй модели характерно выполнение статических условий контакта по поверхности сопряжения
отдельных слоев. Считается, что напряжения поперечного сдвига и обжатия на границе контакта равны
между собой. При этом допускается упругое проскальзывание по поверхности контакта смежных слоев.
Третья модель хорошо известна и часто используется при расчете слоистых структур, если выполняется
допущение об идеальном жестком контакте смежных слоев, когда компоненты вектора перемещений
остаются непрерывными по толщине.
На основе геометрически нелинейной дискретно-структурной теории многослойных пластин и оболочек
исследуется напряженно-деформированное состояние анизотропных элементов с дефектами структуры
материала. При выводе уравнений равновесия и геометрических соотношения учитывается влияние
деформаций поперечного сдвига и обжатия. Результаты теоретических исследований сравниваются с
экспериментальными данными.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В соответствии с дискретно-структурной теорией математическая модель рассматриваемой здесь
многослойной оболочки состоит из n тонких анизотропных слоев. Объем n жестких слоев равен V 
n
 Vi .
i 1
Каждый слой недеформированной оболочки отнесен к ортогональной криволинейной системе координат  i
(i=1,2), z(k) . Координата z(k) направлена по общей нормали m(k) к срединной поверхности S(k) и
эквидистантой поверхности Sz(k) k-го слоя. Индекс “z” при введении других символов означает, что
соответствующие величины относятся к точке ( 1,  2, z(k) ) эквидистантой поверхности Sz(k) .
Вектор полного перемещения uz(k) точки k-го жесткого слоя согласно уточненной теории оболочек
Тимошенко можно представить в виде
uz(k)  u (k)  z(k) (k)   (k) z (k),
(1)
где u(k)  вектор перемещения точек срединной поверхности S(k);  (k)  вектор-функция углов поворота и
обжатия волокон по направлению нормали к недеформированной срединной поверхности S(k) в процессе
деформации;  (k) z  нелинейная непрерывная функция распределения тангенциальных перемещений по
толщине k-го слоя, анализ и аппроксимация которой приведены в [8];  (k) (1(k), 2(k) )
сдвига. Ковариантные компоненты векторов
выражений:
u(k),  (k), (k)
u(k)  r (k)i ui(k)  m(k)w(k),
 вектор функция
записываются при помощи следующих
 (k)  r (k)i  i(k)  m(k) (k),
 (k)  r (k)i i(k).
(2)
Компоненты тензора конечных деформаций в точке (  1,  2, z(k) ) определяются как полуразности
соотетствующих компонент метрических тензоров до и после деформации:
2 ij(k)z  gij(k)*  gij(k),
2i(3k)z  gi(3k)*  gi(3k),
(k ) z
(k)*
233
 g33
 1.
(3)
Вывод уравнений равновесия и граничных условий для решения контактных задач слоистых оболочек,
как правило, осуществляется на основе вариационного принципа Рейсснера. Считая, что в направлении
нормали к срединным поверхностям отдельно взятых слоев оболочки осевые линии общей и локальных
систем координат совмещаются и также совмещаются локальные координатные поверхности со
срединными поверхностями слоев, вариационное уравнение принципа Рейсснера для многослойной
оболочки запишется
R 
n

 Rk 
k 1
n

 ARk 
        F   
n
k
k 1 V k 
k 1
k
k
(,   1, 2, 3) . (4)
dV  0
Нумерация слоев начинается со стороны отрицательных значений координаты z от 1 до n. При этом F (k)
(k )

 компоненты тензора напряжений и
- удельная дополнительная работа деформации k –го слоя,  (
k) ,
тензора деформаций.
Если считать, что по сопряженным лицевым поверхностям k-го слоя выполняются условия идеального
контакта:
u
k, k 1
 u
k 1, k 
,
X k,k 1  X k 1,k ,
(5)
(i  1,2),
(6)
или в векторной форме:

X     ,

/ 2  X    
k
uzk i , h(k) / 2  uzk 1 (i(k 1), h(k 1) / 2),
k
k
h(k)
i
k 1
k 1

, h(k 1) / 2
i
вариацию элементарной работы внешних сил  АR можно представить в виде
АR 
n

 ARk  
k 1
  X   u  M
n
k
k
i
(k )
(k)
(k)ri 
(k ) z
 B(ik)ri (k) (k)  M (3k)33
)dS 
k 1 S
(k )


  Ф   u   G     L
n
k
S
k
k
S
k
s
(k )
)dl
(k)

k 1 l k 
1
n
  Ф  u   G     L     u   u    Ф  
k
k
k 1 l k 

2
k
k

k
k
S
k
k


k
k
  k   S   Gk   k   S   Lk
 dl
k
.
(7)
k
Здесь Sk  -срединная поверхность k-го слоя; l1 ,
k
l2  - части контура l k  . Векторы внешних усилий
Х k  , моментов M k и дополнительных моментов Bk , которые входят в уравнение (7), определяются
равенствами:
h k 
X k   X k   X k  
h k 
k dz , M k  
X k   X k  
2
2


hk 
h k 
2
 
2
h k 
Pk  z k dz ,
2
h k 
2
 h k   
k

Bk    k  
Pk    (z)dz ,
 X k   X k  
2


h k 

 
(8)
2
где векторы X k,
 (ik3),
 (ik3)
X k включают контравариантные компоненты тензора контактных напряжений
(i  1, 2, 3) :
k*
k*
 k *
 k *
Х k    (ik3) i    (33
, Х k    (ik3) i    (33
k) m
k) m
(i  1, 2) .
(9)
Индексы «+» и «–» указывают на верхнюю и нижнюю лицевые поверхности k-го слоя. Аналогичную


, q(1)
запись имеют векторы внешней нагрузки q(n)
:
n*
 n *
i 3  1*
33  1*
qn   q(in3) i   q(33
, q1  q(1)
i  q(1)
m
n) m
i
 1, 2 .
(10)
Вектор P(k) учитывает влияние собственного веса. Контравариантные компоненты M ik, M 3k вектор–
k*
момента M k относительно базисных векторов ri   и m k * находятся согласно равенству
k*
M k   M ik ri    m k * M 3k  .
(11)
Кроме этого, элементарная работа (7) k –го слоя оболочки характеризуется главным вектором Sk  ,
главным моментом GSk , дополнительным главным моментом LSk , которые возникают от действия
k
заданных внешних контурных сил на l1  , а также главным вектором k  , главным моментом Gk ,
k
дополнительным главным моментом Lk , связанных с напряжениями в точках контура l2  из-за заданного
смещения точек контура u S  .
Второе слагаемое уравнения (4) следует представить в виде
k
 R 

n
  
1kR  2kR 
n
k 1 V k
k 1
k 
 

dV 
k
  F
n
k 1 V k 
(k)

 

/  (
k)    k  dV ,
k
(12)
где
1kR 
     dV     
k 

V k 
k
V k 
ij
k
  W dV   F
2kR  

V k
f
k
(k)
V k


 ik3  F (k) /  (33
 33
k)  33
k
k z
k  z
ij

 
 2 ik3 i3    33
k  33 dV ,
k z
k z


/  (ijk)  ij   ijk  F (k) /  (ik3)  2 i3 
k z
 dV
k z

(i, j  1,2) .
Тогда, подставляя геометрические соотношения (3) в (4), (7), (12) и варьируя независимыми между собой
перемещениями и напряжениями, можно получить для каждого отдельно взятого слоя оболочки систему
уравнений равновесия, физические соотношения, статические и кинематические граничные условия.
Применение обобщенного закона Гука, нелинейной теории среднего изгиба оболочки [9] значительно
упрощает вывод уравнений равновесия и граничных условий. Переход к физическим компонентам
используемых в данной работе тензоров, вывод уравнений равновесия и граничных условий можно найти в
работе [10].
Для оболочки вращения, которая включает в себя n слоев с соосными поверхностями вращения,
разрешающая система уравнений в частных производных имеет вид

k 
k 
Ak1
k
 Dokk  D1 


k 
k 
Bk2
k
 D2 
2
k
k2
B2k2 
k
k (k)
(k)
(k) k (k) k
где k  T11
, T12 , Q1 , M 11
, М 12
, L11, L12, u1 ,
 f k,
k  1, 2...n ,
(13)
 , f    f  , f  ,..., f  ,
k
k
k
k
k
u2 , wk, 1 ,  2 ,1 , 2 
T
k
k
1
k
2
k
14
D0 , D1 , D2  - квадратные матрицы 14-го порядка. В качестве основных неизвестных функций
принимаются величины, которые определяют граничные условия на боковом контуре k- го слоя оболочки.
Из-за ограниченного объема статьи показать разрешающую систему уравнений, физические и
геометрические соотношения в развернутой форме не представляется возможным.
Используя кинематические условия идеального контакта (5) лицевых поверхностей k-го слоя и
сопряженных
с
ними
поверхностей
k+1-го
и
k-1-го слоя, можно выразить перемещения срединной поверхности k-го слоя. На основе метода штрафных
k
k
k
функций [11] нетрудно получить полную систему уравнений решения контактной задачи дискретноконтинуальной теории многослойных оболочек.
Если между k-м и k+1-м слоями оболочки допустить отсутствие кинематических связей, то на
поверхности сопряжения этих слоев Sz(k,k 1) могут возникать неизвестные векторы усилий q(k), q(k 1)
контактного взаимодействия. Согласно 3-му закону Ньютона имеет место зависимость q(k)  q(k 1). Для
учета влияния усилий контактного взаимодействия слоев в вариационное уравнение принципа Рейсснера (4)
необходимо ввести слагаемое, учитывающее работу силы контактного взаимодействия на векторе
перемещения каждого слоя участка сопряженной поверхности:
q 
k 1
 
q(m)uz(m)dS.
(14)
m k S(k,k 1)
z
Усилия контактного взаимодействия q(k)  q(ik)ri (k)  q(3k)m (k) возникают при выполнении условия
(uz(k)  uz(k 1) )  0
(15)
в зонах сопряжения жестких слоев. В случае, когда неравенство (17) не выполняется при перемещении
точек области Sz(k,k 1) в процессе деформации, контактное давление q(k) в уравнениях (13) принимает
значение q(k)  0 . Решая систему уравнений (13), несложно с заданной точностью найти значение
контактного давления на основе итерационного метода, предложенного в [6].
ПРИМЕР РАСЧЕТА И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
Для тестовых примеров исследовались пластины круглой формы в плане диаметром 0,17 м регулярной
структуры из стеклопластика. Пять пластин 1-го типа изготавливали из 16 слоев рулонного стеклопластика
РСТ – 250 –Х(107) ТУ 6-48-87-92 методом укладки, предварительно пропитывали эпоксидной смолой ЭД-20
и выдерживали в термошкафу при температуре 100°С не менее трех часов. Четыре пластины 2-го типа
изготавливали из 16 слоев конструкционной стеклоткани Т-13(100) ГОСТ 19170 – 73 и также пропитывали
эпоксидной смолой ЭД – 20. Пять пластин 3 – го типа были выполнены из 4 слоев стеклоткани
TG 430 – C (100) (производитель – Латвия). В качестве связующего использовалась полиэстерная
ортофталевая смола с пониженной эмиссией стирола Cristic 2 – 446 PA (производитель – Великобритания).
Две пластины 4 – го типа отличаются от пластин 3 – го типа начальным дефектом в виде участка непроклея
круглой формы диаметром 0,15 м по центру пластины, который находился между вторым и третьим слоями
пластинки. Участки непроклея создавались предварительно во время изготовления образцов при помощи
тонкой полиэтиленовой пленки.
Физико-механические характеристики пластинок из стеклопластика определялись в следующей
последовательности. Вначале согласно ГОСТу 25.601 – 80 определяются модуль упругости и коэффициент
Пуассона при растяжении образцов из стеклопластика. Проведенные механические испытания позволяют
утверждать, что материал рассматриваемых пластинок можно классифицировать как трансверсально
изотропный (E11=E22=1,5·104 МПа, 12=21=0,12). Остальные физико-механические характеристики
стеклопластика определялись интегрально для всего пакета слоев пластинки на основе зависимостей
работы [8], когда модули упругости 1-го рода, коэффициенты Пуассона волокон и матрицы соответственно
равны: ЕВ=7,0·104 МПа, ЕМ= 3,5·103 МПа, νВ=0,22, νм=0,35.
Для проведения экспериментальных исследования была разработана и изготовлена испытательная
установка, схема которой показана на рис.1. Прогибы пластинки измерялись при помощи индикаторов
часового типа с точностью до 0,01 мм. Для измерения деформаций использовались тензорезисторы КФ4П13-200. Наклейка тензорезисторов осуществлялась согласно инструкции по наклейке АЖВ2.782.001 ТО. Для
измерения выходных сигналов тензорезисторов и представления отчетов в цифровом виде использовалась
измерительная система СИИТ-3.
7
8
3
4
1
9
5
10
2
6
Рисунок 1 - Испытательная установка для экспериментальных исследований изгиба пластин из композиционных
материалов при действии равномерно распределенной нагрузки: 1 - крышка, 2 – подставка, 3 - манометр, 4 – переходной кран,
5фланцы,
6
опорный
столик,
7соединительный
шланг,
8
баллон,
9 - эластичная прокладка, 10- исследуемая пластинка
В качестве математической модели расчета использовалась двухслойная модель пластины. Пластина
составлена из двух жестких транстропных слоев толщиной h(1)=h(2)=1,010-3 м и соединенных тонкой клеевой
прослойкой толщиной h[0]=0,110-3 м (первая модель) и без клеевой прослойки (вторая модель). Задача
решалась на основе метода ортогональной прогонки С.К. Годунова в геометрически нелинейной постановке.
Для проверки предлагаемых вариантов модели расчёт пластины проведен в пространственной
осесимметричной постановке на основе метода конечных элементов (комплекс МКЭ ANSYS 8.0). Модель
представлена 3400 прямоугольными 8-узловыми элементами. Дефект моделировался локальным участком
непроклея с учётом контакта жёстких слоёв (первая модель). Использован двухмерный 8-узловой элемент
PLANE 183.
Свойства материала жёсткого слоя из ортотропного стеклопластика соответственно равны: Ex=1,5·104
МПа;
Ey=4,188·103
МПа;
Ez=1,5·104 МПа; νxy=0,242; νyz=0,12; νxz=0,12; Gxy=1,715·103 МПа; Gyz=1,715·103 МПа; Gxz=6,039·103 МПа.
Клей считался изотропным материалом: Ex=3,5·103 МПа; νxy=0,35.
Результаты исследований 4 типа пластинок с непроклеем круглой формы и радиусом rН=7,5·10-2 м,
расположенным по центру пластинки между 3 и 4 слоями, представлены на рисунке 2.
r , Ì
Ï à

30
1




3

5
10
6
-10



4
2


-30

0
2
4
6
8
r · 102, ì
Рисунок 2 - Радиальные напряжения на лицевых поверхностях пластинок 4 – го типа при жестком закреплении контура
и давлении q=0,025 МПа (1, 2 – двухслойная пластина с клеевой прослойкой(первая модель); 5, 6 – двухслойная пластина с
клеевой прослойкой (результаты расчета в трехмерной постановке на основе программы ANSYS); 3,4 - двухслойная
пластина без клеевой прослойки (вторая модель);  – результаты эксперимента)
Относительная погрешность теоретического значения прогиба в центре пластины (вторая модель) при
сравнении с экспериментальными данными составила менее 3%: wз=0,2·10-2 м – для жёстко защемлённого
контура; wс=0,45·10-2 м – для свободно опёртого контура.
ВЫВОДЫ
Кинематические и статические условия контакта лицевых поверхностей сопряжённых жёстких слоев
анизотропных элементов конструкций вносят существенные изменения в характер распределения
деформаций и напряжений поперечного сдвига и обжатия. Когда кинематические связи на каком-нибудь
участке сопряженных лицевых поверхностей отсутствуют, т.е. имеют место участки непроклея, расслоений
и т.д., предлагаемый вариант модели слоистых элементов конструкций адекватно отражает их работу и
позволяет определить зону контакта, величину контактного давления, изменение характера напряженного
состояния на границе контакта.
SUMMARY
The experimental research of glass-epoxy circular laminated plate with defects stress has been made. Three variants of the multi-layer
anisotropic shell computational model according to the discreet-structural lamina theory are considered in this paper. This model consists of
several stiff anisotropic layers. It is considered, that transversal shear and thickness reduction stresses are equal on the contact boundary. At the
same time, the elastic sliding between adjacent layers contact boundaries are permitted. Theoretic results are compared with experimental one’s
and found satisfy matched.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРИ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Лазько В.А. Вариационный принцип теории упругих слоистых анизотропных систем при наличии зон неидеального контакта//
Механика композитных материалов. - 1981. -№5.- С. 832-836.
Лазько В.А. Напряженно-деформированное состояние слоистых анизотропных оболочек при наличии зон неидеального контакта
слоев. 11. Обобщенные уравнения ортотропных слоистых оболочек при разрывных перемещениях на границе раздела // Механика
композитных материалов. -1982. - №1.- С. 77-84.
Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. - К.: Наукова думка, 1982. 296 с.
Паймушин В.И. Обобщенный вариационный принцип Рейсснера в нелинейной механике пространственных составных тел с
приложениями
к
теории
многослойных
оболочек
// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1987. - №2. – С. 171-180.
Паймушин В.Н. Нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с дефектами в виде участков непроклея// Прикладная
механика. -1987. - Т.23. -№11. – С. 32-38.
Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения / Отв. ред. А.Н.Подгорный; АН УССР. Ин-т пробл.
машиностроения. - Киев: Наук. думка, 1990. - 136 с.
Пискунов
В.Г.,
Рассказов
А.О.
Развитие
теории
слоистых
пластин
и
оболочек
// Прикладная механика. - 2002. – Т.38, №2. – С. 22-56.
8. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. - М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.
9. Галимов К.З. Уравнения равновесия и движения тонких оболочек по нелинейной теории типа Тимошенко // Теория оболочек с
учетом поперечного сдвига / Под ред. К.З.Галимова. – Издательство Казанского университета, 1977. - С. 36 – 95.
10. Верещака С.М. К дискретно-структурной теории многослойных оболочек с дефектами структуры // Вестник НТУ “ХПИ”. Сборник
научных трудов. Тематичный выпуск: Динамика и прочность машин. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2004. - № 31. – С.39 – 46.
11. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1981. – 400 с.
7.
Поступила в редакцию 10
октября 2005 г.