Лаба5x

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
________________________________________________________________
Институт
Кафедра
-
кибернетики
ИПС
Лабораторная работа №5
Методы последовательной оптимизации
по дисциплине «Теория принятия решений»
Вариант №14
Выполнил:
Студент
группы 8в83
_______________________
Мин И.В.
Проверил:
_______________________
Синюкова Е.А.
Томск 2012
Цель
В данной лабораторной работе студент должен научиться использовать
методы последовательной оптимизации (метод последовательных уступок и
метод главного критерия) для решения задач векторной оптимизации.
Задание
D={ x12  x22  4 }
F1 ( x1 , x2 )  ( x1  2) 2  ( x2  1) 2  1;
F2 ( x1 , x2 )  ( x1  1) 2  x2 2  1;
F3 ( x1 , x2 )  ( x1  2) 2  ( x2  1) 2  10.
Ход работы
1. Определим весовые коэффициенты
для
ранжирования
частных
критериев (формальный метод):
Находим экстремумы для частных критериев:
2
2
F1 ( x1 x2)  ( x1  2)  ( x2  1)  1
2
2
F2 ( x1 x2)  ( x1  1)  x2  1
2
2
F3 ( x1 x2)  ( x1  2)  ( x2  1)  10
x11  1
x22  1
Для критерия F1:
2
Given
2
2
x11  x22  4
 1.788 

 0.896 
F1max  Maximize ( F1 x11 x22)  
Given
2
2
x11  x22  4
 1.789 

 0.894 
F1min  Minimize ( F1 x11 x22)  
maxF1  F1  F1max0 F1max1  18.944
minF1  F1  F1min0 F1min1  1.056
Для критерия F2:
Given
2
2
x11  x22  4



3
 7.917  10 
F2max  Maximize ( F2 x11 x22)  
Given
2
2
2
x11  x22  4
1

0
F2min  Minimize ( F2 x11 x22)  
maxF2  F2  F2max0 F2max1  10
minF2  F2  F2min0 F2min1  1
Для критерия F3:
3
Given
2
2
x11  x22  4
 1.788 

 0.896 
F3max  Maximize ( F3 x11 x22)  
Given
2
2
x11  x22  4
 1.789 

 0.894 
F3min  Minimize ( F3 x11 x22)  
maxF3  F3  F3max0 F3max1  7.944
minF3  F3  F3min0 F3min1  9.944
Определяем коэффициент относительного разброса по формуле:
Fi  Fi
i 
1
Fi
Fi
Fi
,
где Fi  min Fi ( X ), Fi  max Fi ( X ) , который определяет максимально
X D
X D
возможное отклонение по i -му частному критерию.
1
 1 
minF1
 0.944
maxF1
2
 1 
minF2
 0.9
maxF2
3
 1 
minF3
 2.252
maxF3
Весовые коэффициенты λi получают наибольшее значение для тех критериев,
относительный разброс которых в области оценок наиболее значителен
i 
i
(i 1,...,m) .
m
 k
k 1
1

1
1
 2  3
 0.231
2

2
1
 2  3
 0.22
3

3
1
 2  3
 0.55
Таким образом, получили, что критерий F3 является наиболее важным, а
наименее важным критерием является F2.
4
 Метод последовательных уступок
1) Найдем оптимальное решение, используя метод последовательных
уступок:
Для этого минимизируем первый по важности критерий F3 и определим
его наименьшее значение F3min:
Given
2
2
x11  x22  4
 1.789 

 0.894 
F3min  Minimize ( F3 x11 x22)  
minF3  F3  F3min0 F3min1  9.944
Обозначим величину уступки для критерия F3:
3
 minF3 0.1  0.994
Найдем наименьшее значение критерия F1 при условии, что значение
F3 должно быть не больше, чем F3min+3:
Given
2
2
x11  x22  4
F3 ( x11 x22)  minF3  3
 1.789 

 0.894 
F1min  Minimize ( F1 x11 x22)  
minF1  F1  F1min0 F1min1  1.056
Обозначим величину уступки для критерия F1:
1
 minF1 0.1  0.106
Найдем наименьшее значение критерия F2 при условии, что значение
F3 должно быть не больше, чем F3min+3, F1 должно быть не больше,
чем F1min+1:
5
Given
2
2
x11  x22  4
F3 ( x11 x22)  minF3  3
F1 ( x11 x22)  minF1  1
 1.716 

 0.716 
F2min  Minimize ( F2 x11 x22)  
minF2  F2  F2min0 F2min1  2.025
 1.789 
 0.894 



Таким образом, мы определили
оптимальное
решение:
1
0




X 
Y 
minF2

F2
F2min

F2min



 1.789 
0  0.894
1  2.025
  1.789
 
  0.894
 
1.716
0.716



 X1opt, X2opt, X3opt, Xopt:  
Построим области точки
minF2 
1 F2
10  2.025
  F2min0YF2min
X  
 
 1.789

 0.894

 1.789
 0.894
  1 
1.716


X 
 1.789 


 1.716 
Ограничение
F3 ( x11 x22)  minF3  3
X22 ( X1)  1  1  ( X1  2)
Ограничение
  0 
0.716


Y 
 0.894 


 0.716 
2
:
X23 ( X1)  1  1  ( X1  2)
F1 ( x11 x22)  minF1  1
2
:
 1.716 
2 x11 x22)  
2
F2min  Minimize ( F2
X11 ( X1)  1  0.162  ( X1  2)
X12 ( X1) 
1  0.162  ( X1  2)
0.716
Given
Область определения
2
2
x11  x22  4
2
X2 ( X1)  4  X1
:
2
X3 ( X1)   4  X1
6
 Метод главного критерия
В первом пункте мы выяснили, что наиболее важным критерием
является F3. Найдем оптимальное решение, используя главный
критерий и установленные ограничения на критерии F1 и F2:
1
 minF1 0.5  0.528
2
 minF2 0.5  0.5
Установим начальное приближение:
x11  1
x22  1
Минимизируем главный критерий F3:
7
Given
2
2
x11  x22  4
F1 ( x11 x22)  minF1  1
F2 ( x11 x22)  minF2  2
 1.5 

 0.5 
F3min  Minimize ( F3 x11 x22)  
minF3  F3  F3min0 F3min1  9.5
То есть оптимальное решение равно -9.5.
Построим оптимальную точку:
X  1.5
Y  0.5
Область определения D:
2
X2 ( X1)  4  X1
Ограничение
F1 ( x11 x22)  minF1  1
2
X21 ( X1)  1  1  ( X1  2)  0.416
Ограничение
2
X3 ( X1)   4  X1
2
X22 ( X1)  1  1  ( X1  2)  0.416
F2 ( x11 x22)  minF2  2
X33 ( X1)  0.5  ( X1  1)
2
:
:
X32 ( X1)   0.5  ( X1  1)
2
8
Вывод
В данной лабораторной работе мы освоили два метода
последовательной оптимизации: метод последовательных уступок и
метод главного критерия. Метод главного критерия является наиболее
часто применяемым, его идея заключается в том, что частные критерии
обычно неравнозначны между собой (одни из них более важны, чем
другие) и это позволяет выделить главный критерий, а остальные
рассматривать как дополнительные, сопутствующие.
Метод последовательных уступок целесообразно применять для
решения тех инженерных задач, в которых все частные критерии
упорядочены по степени важности, и разница в важности критериев не
слишком велика.
Недостатком метода являются трудности с назначением и
согласованием величин уступок.
9