Государственный университет Высшая школа экономики

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
Государственный университет
Высшая школа экономики
Факультет экономики
Программа дисциплины
Многомерные модели для волатильности и их приложения в
финансовых расчетах
для направления 080100.68 – Экономика
подготовки магистра
Автор программы А.С.Шведов
Рекомендовано секцией УМС
«Математические и
статистические методы в
экономике»
Одобрено на заседании кафедры
математической экономики и
эконометрики
Председатель А.С.Шведов
“___” ______________2008 г.
Зав. кафедрой Г.Г.Канторович
“___” ______________2008 г.
Утверждено УС факультета
экономики
Ученый секретарь
Т.А.Протасевич
“___” ______________2008 г.
Москва, 2008
Программа «Многомерные модели для волотильности и их приложения в
финансовых расчетах» предназначена для студентов 2 курса магистратуры
специализацииий «Математические методы анализа экономики» и «Управление
рисками и актуарные методы».
Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего
часов по
дисциплине
Аудиторные часы
Лекции
1
2
3
4
Модели со
стохастической
волатильностью
Обобщенные модели
авторегрессии –
условной
гетероскедастичности
GARCH(p,q)
Некоторые вопросы
стохастического анализа
Оценка и хеджирование
финансовых
инструментов
Итого
Самостоятельная
работа
12
4
Семинары
0
11
3
0
8
21
6
0
15
10
3
0
7
54
16
0
38
8
Базовые учебники
Шведов А.С. Математические основы и оценка параметров
эконометрических моделей состояние-наблюдение, М.: ГУ-ВШЭ, 2005.
Формы контроля
Письменный зачет (160 мин.)
Содержание программы
Тема 1. Модели со стохастической волатильностью. Модели в форме
состояние-наблюдение. Метод Смита оценки параметров модели в форме
состояние-наблюдение. Симуляционный метод моментов как частный случай
метода Смита, связь с обобщенным методом моментов. Оптимальный выбор
весовой матрицы. Асимптотические свойства оценок. Проверка гипотезы о
соответствии модели исходным данным. Проверка гипотез о равенстве нулю
нескольких параметров модели. Реализация подхода максимального
правдоподобия в рамках метода Смита. Вопросы численной реализации метода.
Основная литература
Ghysels E., Harvey A.C., Renault E. Stochastic Volatility // in: Maddala G.S.,
Rao C.R. (eds.) Handbook of Statistics, v. 14, Statistical Methods in Finance,
Amsterdam, Elsevier, 1996, 119 - 191.
Дополнительная литература
Alizadeh S., Brandt M.W., Diebold F.X. Range-Based Estimation of Stochastic
Volatility Models // J. of Finance, 2002, Vol. 57, Issue 3, P.1047 - 1090.
Andersen T.G., Sorensen B.E. GMM estimation of a stochastic volatility
model: A Monte Carlo study // J. of Economics and Business Statistics, 1996, 14 , 328 352.
Breidt F., Crato N., de Lima P. The detection and estimation of long memory in
stochastic volatility // J. of Econometrics, 1998, 83 , 325 - 348.
Campbell J.Y., Lo A.W., MacKinlay A.C. (1997) The Econometrics of Financial
Markets. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press.
Danielsson J. Stochastic volatility in asset prices. Estimation with simulated
maximum likelihood // J. of Econometrics, 1994, 64 , 375 - 400.
Fornari F., Mele A. Stochastic Volatility in Financial Markets: Crossing the
Bridge to Continuous Time (Dynamic Modelling and Econometrics in Economics
and Finance, v. 3), Kluwer, 2000.
Fouque J.P., Papanicolaou G., Sircar K.R. Mean-reverting stochastic volatility //
Int. J. Theor. Appl. Finance, 2000, 3(1), 101 - 142.
Fridman M., Harris L. A Maximum Likelihood Approach for Non-Gaussian
Stochastic Volatility Models // J. of Business and Economic Statistics, 1998, 16 (3), 284
- 291.
Gallant A.R., Hsieh D.A., Tauchen G.E. Estimation of stochastic volatility
models with diagnostics // J. of Econometrics, 1997, Vol. 81, 159 - 192.
Gourieroux C., Jasiak J. (2001) Financial Econometrics: Problems, Models and
Methods. Princeton: Princeton Univ. Press.
Harvey A.C. Long memory in stochastic volatility // in: Forecasting Volatility
in the Financial Markets, eds. J.L.Knight, S.E.Satchell, 307 - 320, Oxford: ButterworthHeineman, 1998.
Jacquier E., Polson N.G., Rossi P.E. Bayesian Analysis of Stochastic Volatility
Models (with discussion) // J. of Business and Economic Statistics, 1994, 12, 371 - 417.
Knight J.L., Satchell S.E., Yu J. Estimation of the stochastic volatility model by
the empirical characteristic function method // Aust. N.Z. J. Stat., 2002, 44(3), 319 335.
Liesenfeld R. Stochastic volatility models: conditional normality versus heavytailed distributions // J. of Applied Econometrics, 2000, 15 (2).
Mahieu R.J., Schotman P.C. An Empirical Application of Stochastic Volatility
Models // J. of Applied Econometics, 1998, 13 , 333 - 360.
Meyer R., Fournier D.A., Berg A. Stochastic volatility: Bayesian computation
using automatic differentiation and the extended Kalman filter // Econometrics J., 2003,
v.6, 408 - 420.
Monfardini C. Estimating stochastic volatility models through indirect
inference // Econometrics Journal, 1998, v. 1, 113 - 128.
Nielsen J.N., Vestergaard M., Madsen H. Estimation in continuous-time
stochastic volatility models using nonlinear filters // Int. J. of Theoretical and Applied
Finance, 2000, 3(2), 279 - 308.
Sandmann G., Koopman S.J Estimation of Stochastic Volatility Models via
Monte Carlo Maximum Likelihood // J. of Econometrics, 1998, 87 , 271 - 301.
Watanabe T. A non-linear filtering approach to stochastic volatility models
with an application to daily stock returns // J. of Applied Econometics, 1999, 14 (2), 101
- 121.
Zhu Y., Avellaneda M. A risk-neutral stochastic volatility model // Int. J. Theor.
Appl. Fin., 1998, 1(2), 289 - 310.
Тема 2. Обобщенные модели авторегрессии – условной
гетероскедастичности GARCH(p,q). Особенности моделей с наблюдаемой
волатильностью. Оценка параметров методом максимального правдоподобия.
Проверка гипотез. Сравнение моделей с наблюдаемой волатильностью и моделей
со стохастической волатильностью.
Основная литература
Palm F.C. GARCH Models of Volatility // in: Maddala G.S., Rao C.R. (eds.)
Handbook of Statistics, v. 14, Statistical Methods in Finance, Amsterdam, Elsevier,
1996, 209 - 240.
Дополнительная литература
Altay-Salih A., Pinar M.C., Leyffer S. Constrained Nonlinear Programming for
Volatility Estimation with GARCH Models // SIAM Review, 2003, v. 45(3), 485 - 503.
Cumby R., Figlewski S., Hasbrouck J. Forecasting volatility and correlations
with EGARCH models // J. of Derivatives, 1993, 1 , 51 - 63.
Engle R.F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the
Variance of U.K. Inflation // Econometrica, 1982, v. 50, p. 987 - 1007.
Gourieroux C. (1997) ARCH Models and Financial Applications. Berlin:
Springer,.
Kim S., Shephard N.G., Chib S. Stochastic volatility: Likelihood inference
and comparison with ARCH models // Review of Economic Studies, 1998, 65 , 361 394.
Ritchken P., Sankarasubramanian L. The importance of forward rate volatility
structures in pricing interest rate sensitive claims // J. of Deriv., 1995, 3, 25 - 40.
Shepard N. Statistical Aspects of ARCH and Stochastic Volatility // in: Cox
D.R., Hinkley D.V., Barndorff-Nielsen O.E. (eds.) Time Series Models in
Econometrics, Finance and Other Fields. London. Chapman and Hall, 1996, p. 1 - 67.
Тема 3. Некоторые вопросы стохастического анализа. Свойства
многомерных функций распределения и характеристических функций.
Сходимость случайных векторов по вероятности и по распределению, связь
между этими видами сходимости. Теорема Хелли – Брея. Теорема Хелли. Теорема
Дженнрича. Сходимость по вероятности равномерная по параметру. Теорема о
непрерывности предела сходящейся по вероятности равномерно по параметру
последовательности случайных векторов. Теорема о сходимости по вероятности
последовательности случайных векторов ˆn , доставляющих решение задачам
максимизации.
Основная литература
Шведов (2005), разделы 1, 2, 4.
Дополнительная литература
White H. (1984) Asymptotic Theory for Econometricians. N.Y.: Academic
Press.
Тема 4. Оценка и хеджирование финансовых инструментов. Оценка
финансовых инструментов с использованием моделей со стохастической
волатильностью и моделей с наблюдаемой волатильностью. Преимущества при
хеджировании моделей со стохастической волатильностью и моделей с
наблюдаемой волатильностью перед моделями с постоянной волатильностью.
Оценка и хеджирование процентных финансовых инструментов.
Основная литература
Шведов А.С. Процентные финансовые инструменты: оценка и
хеджирование. М., ГУ-ВШЭ, 2001, раздел 3.
Ritchken P., Trevor R. Pricing options under generalized GARCH and stochastic
volatility processes // J. of Finance, 1999, 54(1) , 377 - 402.
Дополнительная литература
Ball C., Roma A. Stochastic volatility option pricing // J. of Financial and
Quantitative Analysis, 1994, 29 , 589 - 607.
Biagini F. Mean-variance hedging for stochastic volatility models //
Mathematical Finance, 2000, 10 (2).
Chuang-Chang Chang, Hsin-Chang Fu A binomial option pricing model under
stochastic volatility and jump // Revue Canadienne des Sciences de l'Administration,
2001, v. 18(3), 192 -203.
Clarke N., Parrott K. Multigrid for American option pricing with stochastic
volatility // Appl. Math. Fin., 1999, v. 6(3) , 177 - 196.
Engle R.F., Kane A., Noh J. Index-option pricing with stochastic volatility and
the value of accurate variance forecasts // Review of Derivatives Research, 1997, 1, 139
- 157.
Garcia R., Renault E. A note on hedging in ARCH and stochastic volatility
option pricing models // Mathematical Finance, 1998, 8, 153 - 161.
Gondzio J., Kouwenberg R., Vorst T. Hedging options under transaction costs
and stochastic volatility // J. of Economic Dynamics and Control, 2003, 27, 1045 1068.
Grunbichler A., Longstaff F.A. Valuing futures and options on volatility // J.
of Banking and Finance, 1996, v. 20, 985 - 1001.
Heston S.L. A Closed-Form Solution for Options and Stochastic Volatility
with Application to Bond and Currency Options // Review of Financial Studies, 1993,
v.6(2), 327 - 343.
Hull J.C., White A. An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by
a Stochastic Volatility // Advances in Futures and Options Research, 1988, 3, 27 - 61.
Lien D., Wilson B.K. Multiperiod hedging in presence of stochastic volatility //
International Review of Financial Analysis, 2001, 10, 395 - 406.
Melino A., Turnbull S. The Pricing of Foreign Currency Options with Stochastic
Volatility // J.of Econometrics, 1990, v.45, p. 239 - 265.
Moraleda J.M., Vorst T.C.F. Pricing American interest rate claims with humped
volatility models // J. of Banking and Finance, 1997, 21(8), 1131 - 1157.
Nandi S. How important is the correlation between returns and volatility in a
stochastic volatility model? Empirical evidence from pricing and hedging in the S&P
500 index options market // J. of Banking and Finance, 1998, 22 , 589 - 610.
Rebonato R. (1999) Volatility and Correlation. Chichester, Wiley.
Scott L.O. Pricing stock options in a jump-diffusion model with stochastic
volatility and interest rates: Application of Fourier inversion methods // Mathematical
Finance, 1997, 7, 413 - 426.
Tompkins R.G. Stock index futures markets: stochastic volatility models and
smiles // J. of Futures Markets, 2001, 21(1).
Touzi N. Direct characterization of the value of super-replication under
stochastic volatility and portfolio constraints // Stochastic Processes and their
Applications, 2000, 88, 305 - 328.
Vetzal K.R. Stochastic volatility movements in short term interest rates, and
bond option values // J. of Banking and Finance, 1997, 21(2), 169 - 196.
Wiggins J.B. Option Values under Stochastic Volatility: Theory and
Empirical Estimates // J. of Financial Economics, 1987, v. 19, p. 351 - 372.
Wilmott P. (1998) Derivatives: The Theory and Practice of Financial
Engineering. Chichester: Wiley.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Примеры моделей в форме состояние-наблюдение.
2. Методы оценки параметров линейных моделей в форме состояниенаблюдение.
3. Модель со стохастической волатильностью как пример нелинейной
модели в форме состояние-наблюдение.
4. Оценка параметров нелинейных моделей в форме состояние-наблюдение
методом максимального правдоподобия.
5. Модели ARCH(m) и их модификации.
6.
Использование
моделей
GARCH(p,q)
для
прогнозирования
волатильности.
7. Определение многомерной функции распределения. Теорема о том, что
у монотонной функции нескольких переменных на любой прямой, все
координаты направляющего вектора которой положительны, находится не более
чем счетное множество точек разрыва. Теорема о том, что для любой
многомерной функции распределения существует случайный вектор, функция
распределения которого совпадает с данной функцией.
8. Сходимость случайных векторов по вероятности и по распределению.
Связь между этими видами сходимости. Теорема о том, что для сходящейся по
вероятности последовательности случайных векторов X n и для непрерывной
функции g последовательность случайных векторов g ( X n ) также сходится по
вероятности (с доказательством).
9. Теорема о том, что из совпадения характеристических функций
случайных векторов следует совпадение функций распределения этих случайных
векторов (с доказательством).
10. Теорема Хелли – Брея. Теорема об эквивалентности сходимости
последовательности случайных векторов по распределению и поточечной
сходимости последовательности характеристических функций. Теорема о том, что
для сходящейся по распределению последовательности случайных векторов X n и
для непрерывной функции g последовательность случайных векторов
g ( X n ) также сходится по распределению (с доказательством).
11. Теорема о сходимости по распределению суммы случайных векторов.
Теорема о сходимости по распределению произведения случайной матрицы и
случайного вектора (с доказательством леммы о сходимости по распределению
произведения неслучайной матрицы и случайного вектора).
12. Теорема Дженнрича (с доказательством).
13. Сходимость по вероятности равномерная по параметру. Теорема о
непрерывности предела сходящейся по вероятности равномерно по параметру
последовательности случайных векторов. Теорема о сходимости по вероятности
последовательности случайных векторов ˆn , доставляющих решение задачам
максимизации (с доказательством).
14. Метод Смита построения оценки для нелинейной динамической
модели состояние-наблюдение. Состоятельность оценки (с частичным
доказательством). Иллюстрация на примере симуляционного метода моментов.
15. Метод Смита построения оценки для нелинейной динамической
модели в форме состояние-наблюдение. Асимптотические свойства оценки,
оптимальный выбор весовой матрицы. Иллюстрация на примере симуляционного
метода моментов.
16. Модель со стохастической волатильностью как частный случай модели
состояние-наблюдение. Численное исследование точности метода построения
оценки параметров модели.
17. Оценка и хеджирование финансовых инструментов с использованием
моделей со стохастической волатильностью.
18. Оценка и хеджирование финансовых инструментов с использованием
моделей с наблюдаемой волатильностью.
Автор программы
А.С.Шведов