МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины (модуля)
Высшая математика: Алгебра и геометрия
Направление подготовки
010300 фундаментальная информатика и информационные технологии
Профиль подготовки
«Информатика и компьютерные науки»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов
2011
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Высшая математика: Алгебра и геометрия» являются:
- познакомить студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры и аналитической геометрии и их приложениями;
- сформировать правильный научный подход к решению различных задач;
- развить навыки абстрактного логического мышления;
- расширить научный кругозор и научить студентов свободно оперировать
современными математическими терминами.
Курс «Высшая математика: Алгебра и геометрия» позволяет студентам
овладеть фундаментальными понятиями и методами современной математики, без знания которых невозможна дальнейшая профессиональная подготовка и профессиональная деятельность. При освоении данного курса у студентов формируются навыки грамотной постановки научных задач, решения задач с применением математического аппарата, систематизации полученных
знаний.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и естественнонаучный цикл. Базовая часть» ФГОС-3 как часть модуля «Высшая
математика» и служит основой фундаментальных математических знаний.
«Высшая математика: Алгебра и геометрия» имеет тесную взаимосвязь с
остальными дисциплинами этого цикла. Она необходима для освоения таких
дисциплин цикла, как «Математический анализ», «Вычислительные методы», «Физика».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Алгебра и геометрия».
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
- способность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы
математического анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования (ОК-10);
- понимание концепций и абстракций, способность использовать на
практике базовые математические дисциплины (ПК-15), включая:
Математический анализ I;
Математический анализ II;
Кратные интегралы и ряды;
Алгебра и геометрия;
Теория функций комплексной переменной;
Функциональный анализ;
Математическая логика и теория алгоритмов;
Теория автоматов и формальных языков;
Дифференциальные и разностные уравнения;
Теория вероятностей и математическая статистика;
Вычислительные методы;
Методы оптимизации и исследование операций;
(Наименование компетенций в соответствии с ФГОС ВПО).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать:
- основные термины и понятия линейной алгебры,
- основные формулы аналитической геометрии,
- наиболее важные приложения алгебры и геометрии в различных областях
других естественнонаучных дисциплин.
•Уметь:
- производить основные операции над матрицами,
- вычислять определители,
- исследовать и решать системы линейных уравнений,
- проводить основные операции над векторами в координатах,
- применять формулы для вычисления расстояний, углов, площадей и объемов различных фигур,
- составлять уравнения фигур 1-го и 2-го порядка на плоскости и в пространстве.
•Владеть:
- методом приведения определителя к треугольному виду,
- методом Крамера и методом Гаусса для решения систем линейных уравнений,
- координатным методом изучения фигур на плоскости и в пространстве.
4. Структура и содержание дисциплины (модуля)
Общая трудоемкость дисциплины составляет 10 зачетных единиц или 360 часов. Из них 188 часа отводится на аудиторные занятия (104 ч. лекций, 88 ч.
практических занятий), 127 часов – на самостоятельное изучение дисциплины, 45 ч. экзамен.
№
п/п
1
Раздел дисциплины
Раздел 1. Необходимые сведения о
множеств
Семестр
1
Неделя
семест
ра
1
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу студентов и
трудоемкость (в часах)
всего
лек- Прак- Самоции тика. стоятельная.р.
6
-
2
4
Формы текущего
контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы промежуточной аттестации (по семестрам)
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка домашнего задания
2
Раздел 2. Элементы линейной алгебры
1
1-13
106
24
48
34
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка домашнего задания
12
22
22
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка домашнего задания
Контрольная работа
на 13 неделе
3
Раздел 3.
2
Векторная алгебра
Контрольная
на 18 неделе
5
6
8
работа
Промежуточная
1
аттестация
Итого за 1 се- 1
местр
Раздел 4.
2
Аналитическая
геометрия
Контрольная
на 8 неделе
Контрольная
на 16 неделе
14-18 56
Зачёт
1-16
147
36
72
60
32
48
67
работа
Форма текущего
контроля - опрос,
проверка домашнего задания
работа
2
Промежуточная
аттестация
Итого за 2 се- 2
местр
ВСЕГО
1
Экзамен
360
32
48
67
68
120
127
Экзамен
45
45
Раздел 1. Необходимые сведения о множествах.
Тема 1.1. Множества. Подмножества. Теоретико-множественные операции. Классификация отношений и отображений. Перестановки. Подстановки
как пример преобразований. Группа подстановок. Поле, пример поля по простому модулю. Линейное пространство.
Тема 1.2. Отношение эквивалентности. Теорема о разбиении множества
с заданным отношением эквивалентности. Свободный вектор в евклидовом
пространстве как класс эквивалентности в множестве связанных векторов.
Раздел 2. Элементы линейной алгебры
Тема 2.1. Линейное пространство матриц. Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения матриц и произведения матриц на число, их свойства. Транспонирование. Линейная комбинация матриц. Линейная зависимость. Признак линейной зависимости и следствия из него.
Тема 2.2.Определитель квадратной матрицы. Произведение матриц и
его свойства. Определители и их свойства. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).
Тема 2.3. Обратная матрица. Обратная матрица и её элементы. Признак
существования обратной матрицы. Матричные уравнения.
Тема 2.4. Ранг матрицы. Минор матрицы. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
Тема 2.5. Системы линейных уравнений. Понятие системы линейных
уравнений. Теорема Крамера о системе n линейных уравнений с n неизвестными. Критерий совместности произвольной системы линейных уравнений
(теорема Кронекера-Капелли). Метод Гаусса. Однородная система линейных
уравнений.
Раздел 3. Векторная алгебра
Тема 3.1. Пространство свободных векторов. Свободные векторы. Простейшие операции над ними и их свойства. Признаки коллинеарности и компланарности векторов.
Тема 3.2. Базис и координаты. Базисы на плоскости и в пространстве.
Теоремы о разложении вектора по базису (на плоскости и в пространстве).
Действия с векторами в координатах.
Тема 3.3. Скалярное произведение. Ортогональная проекция вектора. Координаты вектора в ортонормированном базисе. Скалярное произведение
векторов, его свойства и применение.
Тема 3.4. Векторное и смешанное произведение. Положительная и отрицательная ориентация базиса. Векторное произведение, его простейшие
свойства. Смешанное произведение, свойства, формула вычисления в координатах. Вычисление векторного произведения в координатах, его свойства.
Двойное векторное произведение. Применение векторного и смешанного
произведений.
Раздел 4. Аналитическая геометрия
Тема 4.1. Системы координат на плоскости и в пространстве. Примеры:
полярная, аффинная системы координат. Деление отрезка в данном отношении. Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между двумя
точками. Преобразование аффинной системы координат в пространстве. Переход от полярных координат к декартовым и обратно.
Тема 4.2. Уравнения алгебраических фигур. Уравнения фигур, примеры.
Конус, цилиндр, фигура вращения. Достаточные признаки конуса и цилиндра. Теорема об уравнении фигуры вращения.
Алгебраические фигуры. Теорема о сохранении степени алгебраического
уравнения при преобразовании системы координат. Порядок алгебраической
фигуры.
Тема 4.3. Прямая линия на плоскости. Основная теорема о прямой на
плоскости. Различные способы задания прямой. Условие параллельности
вектора и прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми.
Тема 4.4. Плоскости. Основная теорема о плоскости в пространстве. Различные способы задания плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями.
Тема 4.5. Прямая линия в пространстве. Различные способы задания
прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в простран-
стве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
Тема 4.6. Фигуры второго порядка на плоскости. Эллипс: определение,
каноническое уравнение, свойства. Гипербола: определение, каноническое
уравнение, свойства. Асимптоты гиперболы. Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства. Директориальное свойство для эллипса, гиперболы, параболы.
Тема 4.7. Фигуры второго прядка в пространстве. Классификация фигур
2-го порядка в пространстве. Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды.
Темы практических занятий
1 семестр.
Практическое занятие 1. Перестановки и подстановки.
Практическое занятие 2. Сложение матриц и произведения матриц на
число, их свойства.
Практическое занятие 3. Понятие линейного пространства, линейное
пространство матриц, координатное линейное пространство.
Практическое занятие 4. Базис линейного пространства, линейное
пространство матриц, координатное линейное пространство.
Практическое занятие 5. Определители второго и третьего порядка,
их приложения.
Практическое занятие 6. Методы вычисления определителей высших
порядков.
Практическое занятие 7. Метод Крамера решения систем линейных
уравнений.
Практическое занятие 8. Обратная матрица. Матричные уравнения.
Практическое занятие 9. Ранг матрицы.
Практическое занятие 10. Приведение матрицы к упрощенному виду
методом элементарных преобразований.
Практическое занятие 11. Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений.
Практическое занятие 12. Системы однородных линейных уравнений.
Практическое занятие 13. Операции на множестве свободных векторов.
Практическое занятие 14. Действия с векторами в координатах.
Практическое занятие 15. Скалярное произведение векторов, его
свойства и применение.
Практическое занятие 16. Векторное произведение и его применение.
Практическое занятие 17. Смешанное произведение. Основные формулы аналитической геометрии.
Практическое занятие 18. Контрольная работа №1.
2 семестр.
Практическое занятие 1. Составление уравнений фигур в различных
системах координат на плоскости и в пространстве.
Практическое занятие 2. Преобразования аффинной системы координат.
Практическое занятие 3. Основные формулы аналитической геометрии.
Практическое занятие 4. Прямая на плоскости.
Практическое занятие 5. Плоскость в пространстве.
Практическое занятие 6. Прямая в пространстве.
Практическое занятие 7. Плоскость и прямая в пространстве.
Практическое занятие 8. Уравнения основных конических сечений в
декартовой системе координат на плоскости.
Практическое занятие 9. Приведение уравнения алгебраической фигуры второго порядка к коническому виду.
Практическое занятие 10. Метод инвариантов для фигур второго порядка на плоскости.
Практическое занятие 11. Фокальные свойства фигур второго порядка на плоскости.
Практическое занятие 12. Директориальные свойства фигур второго
порядка на плоскости.
Практическое занятие 13.. Метод сечений при изучении фигур второго порядка в пространстве. Фигуры вращения.
Практическое занятие 14. Метод инвариантов для фигур второго порядка в пространстве.
Практическое занятие 15. Некоторые метрические задачи для линий и
поверхностей второго порядка.
Практическое занятие 16. Контрольная работа № 2
5. Образовательные технологии
В учебном процессе при реализации компетентностного подхода используются активные и интерактивные формы проведения занятий:
модельный метод обучения – моделирование в процессе обучения тех
или иных ситуаций;
кейс-стади – имитация в учебном процессе реального события для демонстрации того или иного изучаемого явления, студентам предлагается рассмотреть случай, который требует решения тех или иных задач текущей темы;
метод проектов – распределение заданий между учащимися, предполагающий сбор и анализ информации, а также представление полученных результатов в виде реферата;
метод Делфи – метод поиска быстрых решений в группе;
эвристические технологии генерирования идей: «мозговой штурм», синектика, ассоциации;
тренинг – активное овладение и развитие знаний, умений и навыков
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. Экземпляры всего: 27 ОХФ (2), ОУОЕН
(25)
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. Экземпляры всего: 2
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. Экземпляры всего: 20 ОХФ (1), ОХФ-ЧЗ-4 (2),
ОУОЕН (17)
2. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учеб.
пособие / Под ред. Д. В. Беклемишева — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. Экземпляры всего: 52, ОХФ (1), ОХФ-ЧЗ-4 (1), ОУОЕН (50)
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учеб.
пособие / Под ред. Д. В. Беклемишева — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. Экземпляры всего: 20, ОХФ (1), ОУОЕН (19)
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре : учеб.
пособие / Под ред. Д. В. Беклемишева — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. Экземпляры всего: 15 ,ОХФ (1), ОХФ-ЧЗ-4 (1), ОУОЕН (13)
б) дополнительная литература:
1. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. —
М.: Проспект, 2007.
2. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. — СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2003.
3. Поплавский В.Б. Линейная алгебра и геометрия: лекции, Ч. 1. — Саратов: Сигма-плюс, 2001.
4. Поплавский В.Б. Линейная алгебра и геометрия: лекции, Ч. 2. — Саратов: Сигма-плюс, 2001.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособ.
для студентов физ.-мат. спец. вузов. — М.; СПб.: Физматлит, 2001.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционные занятия проводятся в аудиториях на 60-80 посадочных мест,
практические занятия – на 20-30 посадочных мест. В отведенных для занятий
аудиториях имеются учебные доски (большого размера) для визуализации
информации.
Также в ходе лекционных и практических занятий применяются учебнодемонстрационные мультимедийные презентации, которые обеспечиваются
следующим техническим оснащением:
1. Компьютеры (в комплекте с колонками)
2. Мультимедийный проектор
3. Экран.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению 010300 фундаментальная информатика и информационные технологии и профилю подготовки «Информатика и компьютерные науки».
Автор
ст. преподаватель
___________ В. Е. Новиков
Программа одобрена на заседании кафедры геометрии от «15» февраля
2011 года, протокол № 9.
Заведующий кафедрой геометрии,
профессор
___________ В. В. Розен
Декан механико-математического факультета, доцент
___________ А. М. Захаров
Декан факультета КНиИТ,
доцент
___________ А. Г. Федорова