Численные методы решения уравнений

Курс по выбору «Численные методы решения уравнений»
Пояснительная записка
Данный курс является межпредметным, так как объединяет в себе знания основ
вычислительной математики и информатики. Однако данный курс рассматривается нами
как пробный, нацеленный на создание условий для учащихся приближенных к преподаванию предмета на профильном уровне в старшей школе.
Основной целью курса является организация предметных проб для учащихся по
данному профилю (информационно-математический). Данные пробы способствуют
утверждению в правильности выбора профиля успешных учеников и «исключению» тех,
кто не справляется с ними.
Содержание курса представляет собой основы вычислительной математики, а конкретно – численные методы решений алгебраических и трансцендентных уравнений от
одной переменной. В качестве доступных для данного возраста учащихся, рассматриваются метод перебора при поиске корней и метод половинного деления при уточнении
корней. Для практической реализации алгоритмов этих методов используется среда MS
Excel.
Курс «Численные методы решения уравнений» предназначен для учащихся 9-х классов в рамках предпрофильной подготовки и рассчитан на 10 часов.
Основной формой работы учащихся является самостоятельная практическая деятельность по реализации алгоритмов методов решения конкретных индивидуальных
уравнений. Изложение содержание курса ориентировано на использование элективного
мультимедиа-курса «Вычислительная математика и программирование, 10 -11 кл.», представленного на двух CD-дисках компании «1С: школа», 2004. Результатом курса является
индивидуальная зачетная практическая работа, представляющая собой решения 10 (5 алгебраических, 5 трансцендентных) уравнений методами перебора и половинного деления,
представленная в MS Excel. Учащимся, не справившиеся с выполнением данной практической работы будет рекомендовано выбрать другой профиль для дальнейшего обучения в
старшей школе.
Программа курса
«Численные методы решения уравнений»
Название темы
1. Уравнение одной переменной
2. Понятие численных методов
3. Численные методы решения уравнений
с одним неизвестным
4. Индивидуальная работа над проектом
Всего
1
1
6
Количество часов
Теория
Практика
1
1
3
3
2
-
2
Планирование занятий курса
№
занятия
1
Тема
Уравнения с одной переменной
Содержание занятий/формы организации
деятельности учащихся
Определение уравнения. Индивидуальная работа
Алгебраические
и учащихся с электронным
трансцендентные урав- курсом «Вычислительная
нения. Корни уравне- математика».
Изучение
ния. Аналитические и теории вопроса и выполграфические
методы нение интерактивных зарешения
некоторых даний курса.
уравнений.
Примеры
различных видов урав-
64
Прогнозируемый
результат
Четкое представление учащихся о
видах уравнений и
сложности их аналитического решения.
Сформированное умение различать алгебраические уравнения от
нений.
2
Что такое численные методы.
3
Метод перебора
при поиске корней
4
трансцендентных.
Проблема поиска корней некоторых уравнений
аналитическими
методами. Понятия численных методов.
Отделение корней. Погрешности вычислений.
Принципиальная схема
решения
уравнений
численными методами.
Суть метода. Основные
условия и критерии использования
данного
метода. Алгоритм реализации данного метода.
Индивидуальная работа
учащихся с электронным
курсом «Вычислительная
математика».
Изучение
теории вопроса и выполнение интерактивных заданий курса.
Четкое представление о том, когда
используются численные
методы
решения уравнений
и с какими трудностями они сопряжены.
Индивидуальная работа
учащихся с электронным
курсом «Вычислительная
математика».
Изучение
теории вопроса и выполнение интерактивных заданий курса.
Знание сути метода
перебора при поиске корней уравнения.
Решение одного из
уравнений данным
методом, проделывая необходимые
вычисления вручную.
Решение уравнений
Реализация алгоритма
данного метода в среде
MS Excel. Выполнение
расчетов решений уравнений методом перебора.
Каждый учащийся получает
индивидуальную
практическую работу по
численному
решению
уравнений методом перебора.
5
Метод половинного деления при
уточнении
корней.
Суть метода. Основные
условия и критерии использования
данного
метода. Алгоритм реализации данного метода.
Индивидуальная работа
учащихся с электронным
курсом «Вычислительная
математика».
Изучение
теории вопроса и выполнение интерактивных заданий курса.
Готовность
учащихся
решать
трансцендентные и
алгебраические
уравнения методом
перебора в среде
Excel.
Знание сути метода
половинного деления при уточнении
корней уравнения.
Решение одного из
уравнений данным
методом, проделывая необходимые
вычисления вручную.
6
Решение уравнений.
Реализация алгоритма
данного метода в среде
MS Excel. Выполнение
расчетов решений уравнений методом половинного деления.
Каждый учащийся получает
индивидуальную
практическую работу по
численному
решению
уравнений методом половинного деления.
7
Метод
простой
итерации.
Суть метода. Основные
условия и критерии использования
данного
метода. Алгоритм реализации данного метода. Оценка погрешностей метода итерации.
Индивидуальная работа
учащихся с электронным
курсом «Вычислительная
математика».
Изучение
теории вопроса и выполнение интерактивных заданий курса.
8
Анализ
численных методов решения уравнений.
Сравнение изученных
методов. Основные характеристики каждого
из них. Условия и критерии реализации данных методов.
Индивидуальная и групповая работа по выявлению схожих и различных
черт данных методов.
65
Готовность
учащихся
решать
трансцендентные и
алгебраические
уравнения методом
перебора в среде
Excel.
Знание сути метода
половинного деления при уточнении
корней уравнения.
Решение одного из
уравнений данным
методом, проделывая необходимые
вычисления вручную.
Четкое представление о положительных и отрицательных характеристиках данных методов. Практическое
9
Выполнение индивидуальной
зачетной практической работы.
Практическая работа в
среде MS Excel по решению 5 алгебраических уравнений численными методами.
Индивидуальная практическая работа по решению
индивидуальной зачетной
работы.
10
Выполнение индивидуальной
зачетной практической работы.
Практическая работа в
среде MS Excel по решению 5 трансцендентных уравнений численными методами.
Индивидуальная практическая работа по решению
индивидуальной зачетной
работы.
применение то или
иного метода при
численном решении
конкретного
вида уравнения.
Оптимальный выбор
численного
метода для решения данных уравнений. Представленные в среде MS
Excel решения 5
уравнений индивидуальной зачетной
работы.
Оптимальный выбор
численного
метода для решения данных уравнений. Представленные в среде MS
Excel решения 5
уравнений индивидуальной зачетной
работы.
Реальное соотнесение собственных
возможностей
с
собственными интересами и желаниями по выбору
профиля обучения.
Литература для учащихся по данному курсу
1. Башмаков М. И. Уравнения и неравенства. – М.: Наука, 1976
2. Болтянский В. Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной
математике. – М.: Наука, 1977
3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика Справочные материалы. – М.: Просвещение, 2002
4. Вычислительная математика и программирование 10-11 классы [Электронный ресурс.]; 1С: Школа.  электрон. Прог. М.: 1С: Школа, 2004.  2 электрон. Опт. Диска (CD-ROM).
Учебно-методическая литература для учителя
1. Заварыкин В. М., Житомирский В. Г., Лапчик М. П. Численные методы. – М.: Просвещение, 1991
2. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной математике. – М.:
Высшая школа, 1990
ПРИЛОЖЕНИЯ
Тезаурус
Уравнение с одной переменной – равенство с переменной f(x)=q(x)
Корень уравнения – всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и q(x)
принимают равные числовые значения.
66
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Равносильные уравнения – уравнения, имеющие одни и те же корни.
Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах=b, где а и bдействительные числа; а называют коэффициентом при переменной, b – свободным
членом.
Решить систему уравнений – найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными.
Примерный вариант зачетной работы
Решить уравнения численными методами, вычислив корни с точностью до 0,01:
1. x3 – 3x2 – 24x – 3 = 0;
2. 2x3 – 3x2 – 12x + 10 = 0;
3. x4 + 5x3 + 9x2 + 5x – 1 = 0;
4. x4 + 0,77x3 – 1,002x2 + 6,164x – 1,6 = 0;
5. x5 – 3x3 – 24x – 3 = 0;
6. 5 sin x = x – 1;
7. x2 – 10 sin x = 0;
8. 2x – 3x – 2 = 0;
9. 2 cos (x + π/3) = 0,5 x2 – 1;
10. tg2 x = x – 1.
67