РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра программного обеспечения
Виноградова А.А.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направления 010200.62 «Математика и компьютерные науки», профили
подготовки: «Математическое и компьютерное моделирование»,
«Математический анализ и приложения»,
«Вычислительные, программные, информационные системы и
компьютерные технологии», «Алгебра и дискретная математика»
Тюменский государственный университет
2011
Виноградова А.А. Численные методы. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направления 010200.62 «Математика и компьютерные науки», профили
подготовки:
«Математическое
и
компьютерное
моделирование»,
«Математический анализ и приложения», «Вычислительные, программные,
информационные системы и компьютерные технологии», «Алгебра и
дискретная математика». Тюмень. 2011, 19 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Численные
методы
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Захарова И.Г., д.п.н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Виноградова А.А., 2011.
2
1. Пояснительная записка:
1.1.Цели и задачи дисциплины.
Целью преподавания дисциплины «Численные методы» является изучение
теоретических основ численных методов, основных приемов и методик разработки и
применение на практике методов решения на ЭВМ задач вычислительной математики с
использованием современных языков программирования.
Практические занятия должны включать рассмотрение конкретных приемов по
построению численных методов и сопровождаться практикумом на ЭВМ (где студенты
обязаны решить определенное количество задач на ЭВМ, используя известные методы).
В результате выпускник должен уметь решать на ЭВМ определенный набор задач с
использованием изученных методов и понимать, какие численные методы лежат в основе
программ широко используемых пакетов (например, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и
т.п.)
Задачи дисциплины:
 обучить студентов основным методам решения задач вычислительной
математики;
 привить студентам устойчивые навыки математического моделирования с
использованием ЭВМ;
 дать опыт проведения вычислительных экспериментов.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина
«Численные
методы» входит
в
базовую
часть
цикла
естественнонаучных дисциплин Федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению
«Математика и компьютерные науки». Для изучения и освоения дисциплины нужны
первоначальные знания из курсов математического анализа, линейной алгебры,
обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики. Знания
и умения, практические навыки, приобретенные студентами в результате изучения
дисциплины, будут использоваться при изучении курсов математического моделирования,
вычислительного практикума, при выполнении курсовых и дипломных работ, связанных с
математическим моделированием и обработкой наборов данных, решением конкретных
задач и т.п.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины “Численные методы” цикла естественнонаучных
дисциплин базовой части по направлению подготовки 010200.62 «Математика и
3
компьютерные науки» с квалификацией (степенью) “бакалавр” в соответствии с целями
основной образовательной программы и задачами профессиональной деятельности,
указанными в ФГОС ВПО, выпускник должен обладать следующими компетенциями:
Общекультурными компетенциями:
 способностью применять в научно-исследовательской и профессиональной
деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и
естественных наук (ОК-6);
 способностью и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания,
быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8);


умением быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать
научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к
проблемно-задачной форме (ОК-10);
значительными
навыками
самостоятельной
работы
с
компьютером,
программирования, использования методов обработки информации и численных
методов решения базовых задач (ОК 12).

Профессиональными компетенциями:
умением понять поставленную задачу (ПК-2);

умением формулировать результат (ПК-3);

умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);

умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);

знанием корректных постановок классических задач (ПК-9).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные численные методы и алгоритмы решения математических задач из
разделов: элементы теории погрешностей, приближение функций и их производных,
численное дифференцирование и интегрирование функций, численные методы
решения систем линейных алгебраических уравнений, вычисление собственных
значений и собственных векторов матриц, методы решения нелинейных уравнений и
систем нелинейных уравнений, численные методы решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений, методы решения краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений, методы решения краевых задач для уравнений
в частных производных

Уметь: разрабатывать численные методы и алгоритмы, реализовывать эти алгоритмы
на языке программирования высокого уровня; Уметь: использовать основные понятия
и методы вычислительной математики, практически решать типичные задачи
вычислительной математики, требующие выполнения небольшого объема
вычислений; решать достаточно сложные в вычислительном отношении задачи,
требующих программирования их и численной реализации на ЭВМ.
4

Владеть: методами и технологиями разработки численных методов для задач из
указанных разделов.
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Таблица 1.
Вид учебной работы
Всего
часов
144
72
72
108
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость 252 час., 7 зач. ед.
3.
Семестры
7
72
72
36
36
36
36
36
72
зачет
экзамен
6
Тематический план.
Таблица 2.
Тематический план
Модуль 1
1. Погрешность результата
численного решения задачи
2. Задачи линейной алгебры.
Прямые и итерационные
методы решения систем
линейных алгебраических
уравнений.
Всего
Модуль 2
1. Проблема собственных
значений. Вычисление
Итого
количест
во
баллов
8
9
Самостоятельн
ая работа*
2
Из них
в
интера
ктивно
й
форме
Практические
занятия*
1
Итого
часов по
теме
Лекции*
Тема
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
недели семестра
№
3
4
5
6
7
1
2
2
6
10
2-5
8
8
6
22
10
0-20
10
10
12
32
10
0-30
6
6
4
16
5
0-10
6-7
5
0-10
2.
1.
2.
3.
1.
2.
1.
2.
1.
2.
3.
собственных значений и
собственных векторов матрицы
Методы решения нелинейных
уравнений и систем
нелинейных уравнений
Всего
Модуль 3
Приближение функций и их
производных.
Численное дифференцирование
Численное интегрирование
Всего
Итого (часов, баллов) за
семестр:
Из них в интерактивной форме
Модуль 4
Численные методы решения
задачи Коши для
обыкновенных
дифференциальных уравнений
Численные методы решения
краевых задач для
обыкновенных
дифференциальных уравнений
Всего
Модуль 5
Элементы теории разностных
схем.
Спектральный признак
устойчивости разностных схем
Всего
Модуль 6
Разностные схемы для
уравнений параболического
типа
Разностные схемы для
уравнений эллиптического типа
Разностные схемы для решения
уравнений гиперболического
типа
Всего
Итого (часов, баллов) за
8-10
6
6
8
20
8
0-20
12
12
12
36
13
0-30
11-13
8
8
4
20
6
0-20
14-15
16-18
2
4
14
36
2
4
14
36
4
4
12
36
8
12
40
108
3
4
13
0-10
0-10
0-40
0 – 100
36
1-3
6
6
12
24
6
0-15
4-6
4
4
12
20
4
0-15
10
10
24
44
10
0-30
7-8
6
6
12
24
0-15
9-10
4
4
12
20
0-15
10
10
24
44
0-30
11-13
5
5
8
18
5
0-15
14-15
5
5
8
18
5
0-10
16-18
6
6
8
20
6
0-15
16
36
16
36
24
72
56
144
16
0-40
0 – 100
6
семестр:
Итого в интерактивной форме
Итого часов
72
72
108
252
26
62
Таблица 3.
Т1
Т2
Всего
0-2
0-60-8
0-6
0-6
Т1
Т2
Всего
0-4
0-4
0-8
0-3
0-3
0-6
Т1
Т2
Т3
Всего
Итого за 6
семестр
0-6
0-4
0-4
0-14
0-30
0-4
0-2
0-2
0-8
20
Т1
Т2
Всего
0-5
0-50-10
0-4
0-4
0-8
Т1
Т2
Всего
0-5
0-5
0-10
0-4
0-4
0-8
Т1
0-5
0-4
Модуль 1
0-4
0-40-8
Модуль 2
0-4
0-4
0-8
Модуль 3
0-6
0-2
0-2
0-12
28
Модуль 4
0-3
0-30-6
Модуль 5
0-3
0-3
0-6
Модуль 6
0-3
7
Информационные
системы и
технологии
электронные
практикум
Технические
формы контроля
программы
компьютерного
тестирования
контрольная
работа
Письменные работы
Практические
занятия
№ темы
Итого количество баллов
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
0-4
0-4
0-8
0-10
0-20
0-30
0-4
0-4
0-8
0-15
0-15
0-30
0-4
0-2
0-2
0-6
22
0-20
0-10
0-10
40
0 – 100
0-3
0-3
0-6
0-15
0-15
0-30
0-3
0-3
0-6
0-15
0-15
0-30
0-3
0-15
Т2
Т3
Всего
Итого за 7
семестр
0-3
0-5
0-13
0-33
0-3
0-4
0-11
27
0-2
0-3
0-8
20
0-2
0-3
0-8
20
0-10
0-15
40
0 – 100
Таблица 4.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и
темы
Модуль 1
1.1 Т1.
Погрешнос
ть
результата
численного
решения
задачи
1.2 Т2.Задачи
линейной
алгебры.
Виды СРС
обязательные
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ. Выполнение тестовых и
контрольных работ
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Т1. Проблема
Конспектирование материала
собственных
на лекционных занятиях
значений.
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
2.2
Т2. Методы
решения
нелинейных
уравнений и
систем
нелинейных
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
8
дополнител
ьные
Неде
ля
семес
тра
Объ Колем
во
часо балло
в
в
1
6
0-10
2-5
6
0-20
12
0-30
6-7
4
0-10
8-10
8
0-20
Работа с
учебной
литературой
Написание
программы
Работа с
учебной
литературой
Написание
программы
уравнений
контрольных работ
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Т1.
Конспектирование материала
Приближение
на лекционных занятиях
функций и их
Выполнение заданий
производных.
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
3.2
3.3
Т2. Численное
дифференциро
вание
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Т3. Численное
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
интегрирование
Всего по модулю 3:
ИТОГО за 6 семестр:
Модуль 4
4.1 Т1. Численные
методы
Конспектирование материала на
решения задачи
лекционных занятиях
Коши для
Выполнение заданий
обыкновенных
лабораторных работ. Выполнение
дифференциаль
тестовых и контрольных работ
ных уравнений
4.2 Т2. Численные
Конспектирование материала на
методы
лекционных занятиях
решения
Выполнение заданий
краевых задач
лабораторных работ
для
Выполнение тестовых и
обыкновенных
контрольных работ
дифференциаль
ных уравнений
Всего по модулю 4:
Модуль 5
9
12
0-30
11-13
4
0-20
14-15
4
0-10
16-18
4
0-10
12
36
0-40
0-100
1-3
12
0-15
4-6
12
0-15
24
0-30
Написание
программы
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литератур
ой
Написани
е
программ
ы
5.1
5.2
Т1. Элементы
теории
разностных
схем
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Т2.
Спектральный
признак
устойчивости
разностных
схем
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 5:
Модуль 6
6.1 Т1. Разностные
Конспектирование материала на
схемы для
лекционных занятиях
уравнений
Выполнение заданий
параболическог
лабораторных работ
о типа
Выполнение тестовых и
контрольных работ
6.2
6.3
Т2. Разностные
схемы для
уравнений
эллиптического
типа
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Т3. Разностные
схемы для
решения
уравнений
гиперболическ
ого типа
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 6:
ИТОГО за 7 семестр:
ИТОГО:
7-8
12
0-15
9-10
12
0-15
24
0-30
11-13
8
0-10
14-15
8
0-10
16-18
8
0-20
24
72
108
0-40
0-100
Работа с
учебной
литератур
ой
Работа с
учебной
литератур
ой
Работа с
учебной
литератур
ой
Работа с
учебной
литератур
ой
Работа с
учебной
литератур
ой
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
10
№
п/
п
1.
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
Наименование
обеспечиваемых 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 5.2 6.1 6.2 6.3
(последующих)
дисциплин
Пространства
+
+
+
+
+
непрерывных
функций
2.
Методы
оптимизации
3.
Теория
интерполирования
и приближения
функций
5.
Содержание дисциплины.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Модуль 1.
Тема 1.1. Погрешность результата численного решения задачи.
Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности.
Формы записи данных. Вычислительная погрешность. Погрешность функции.
Тема 1.2. Задачи линейной алгебры.
Методы последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса - схема
единственного деления). Метод оптимального исключения. Понятие числа
обусловленности матриц. Применения метода Гаусса для расчета определителя и
обратной матрицы. Метод пpостой итеpации. Достаточные условия сходимости процесса
итераций. Оценка погрешности приближений процесса итераций. Метод Зейделя. Случай
нормальной системы. Необходимое и достаточное условие сходимости процесса Зейделя.
Модуль 2.
Тема 2.1. Проблема собственных значений.
Вычисление собственных значений и собственных векторов по методу Крылова.
Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и собственного
вектора.
Тема 2.2. Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных
уравнений.
Метод бисекций. Метод хорд (метод секущих). Метод Ньютона (касательных).
Квадратичная сходимость метода Ньютона. Метод итераций. Сходимость и оценка
погрешности метода итераций. Метод Ньютона для системы двух уравнений.
11
Модифицированный метод Ньютона. Метод итераций для систем уравнений. Понятие о
сжимающем отображении. Достаточное условие сходимости процесса итераций
Модуль 3.
Тема 3.1. Приближение функций и их производных.
Постановка задачи интерполирования функций. Интерполяционная формула Лагранжа.
Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа. Интерполяционная
схема Эйткена. Конечные разности различных порядков. Таблица разностей. Первая
интерполяционная схема Ньютона. Вторая интерполяционная схема Ньютона. Сплайнинтерполяция. Интерполирование на основе кубического сплайна. Построение полинома
наилучшего приближения к функции. Метод наименьших квадратов. Полиномы
Чебышева, ортогональные на равномерной сетке. Оптимальный выбор узлов расчетной
сетки.
Тема 3.2. Численное дифференцирование.
Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена Лагранжа
(многочлена Ньютона). Метод неопределенных коэффициентов. Правило Рунге
практической оценки погрешности.
Тема 3.3. Численное интегрирование.
Простейшие
квадратурные
формулы
(формулы
левых,
правых,
средних
прямоугольников). Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (формулы прямоугольников,
формула трапеций, формула Симпсона). Оценка погрешности квадратуры.
Модуль 4.
Тема 4.1. Численные
методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Разностная схема
задачи. Порядок аппроксимации разностной схемы. Метод Эйлера. Модификации метода Эйлера.
Метод Эйлера на полуцелой сетке. Метод Рунге-Кутта. Методы решения дифференциальных
уравнений высших порядков. О проблемах численной устойчивости.
Тема 4.2. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Разностная схема линейной краевой задачи. Метод прогонки. Исследование устойчивости
прогонки. Метод стрельбы для решения краевой задачи. Приближенное решение краевых задач
для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Модуль 5.
Тема 5.1. Элементы теории разностных схем
Понятие аппроксимации, сходимости разностной схемы, определение устойчивости разностной
схемы. Теорема Лакса о сходимости решения разностной задачи. Каноническая запись разностной
схемы. Дифференциальное приближение разностной схемы
Тема 5.2. Спектральный признак устойчивости разностных схем.
12
Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода. Необходимый
спектральный признак устойчивости. Примеры применения спектрального признака для
исследования устойчивости разностных схем.
Модуль 6.
Тема 6.1. Разностные схемы для уравнений параболического типа
Постановка дифференциальной задачи. Переход к разностной схеме. Реализация разностных схем.
Разностные схемы для уравнений с постоянными коэффициентами: явная схема, неявная схема,
метод Кpанка-Николсона, схема Ричардсона, схема Дюфорта-Франкела, схема с весами.
Тема 6.2. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа
Постановка дифференциальной задачи. Переход к разностной схеме. Реализация разностных схем.
Пятиточечная схема. Девятиточечная схема. Метод последовательной веpхней pелаксации.
Тема 6.3. Разностные схемы для решения уравнений гиперболического типа
Постановка дифференциальной задачи. Переход к разностной схеме. Реализация разностных схем.
Разностные схемы для уравнения второго порядка: явная схема, неявная схема. Разностные схемы
для уравнения переноса: явные методы Эйлеpа, разности против потока, схема Лакса. Неявный
метод Эйлера. Метод с пеpешагиваним. Метод Лакса-Вендpоффа (одношаговый, двухшаговый).
Метод Мак-Коpмака. Центpиpованная по времени неявная схема.
6.
Планы семинарских занятий.
Не планируется.
7.
Темы практических занятий (Практикум).
Задания практических занятий могут выполняться с использованием систем
программирования (например, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и т.пр.).
Тема 1.1. Погрешность результата численного решения задачи. Решение прямой и обратной
задач теории погрешностей. Вычисление погрешности функций при заданной погрешности
аргументов. Определение допустимой погрешности аргументов при допустимой погрешности
функций
Тема 1.2. Задачи линейной алгебры Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
(схема единственного деления). Расчет определителя матрицы и обратной матрицы при помощи
метода Гаусса. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с выбором главного
элемента. Оценка числа обусловленности матриц. Решение системы линейных уравнений методом
простых итераций, Решение системы линейных уравнений методом Зейделя
Тема 2.1. Проблема собственных значений. Вычисление собственных значений и
собственных векторов степенным методом, методом скалярных произведений.
Тема 2.2. Приближенное решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам.
Приближенное решение нелинейных уравнений методом простых итераций. Приближенное
13
решение нелинейных уравнений методом хорд. Приближенное решение нелинейных уравнений
методом Ньютона. Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом простых
итераций. Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
Тема 3.1. Интерполяция функций с помощью многочлена Лагранжа. Интерполяция функций
с помощью многочлена Ньютона. Интерполяция функций с помощью кубического сплайна.
Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Построение многочлена наилучшего
приближения на системе ортогональных функций (многочлены Чебышева).
Тема 3.2. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена.
Тема 3.3. Приближенное вычисление интеграла по квадратурным формулам НьютонаКотеса (формулы прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона).
Тема 4.1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Приближенное решение задачи Коши методом Эйлера, методом Хойна, методом
Эйлера-Коши на полуцелой сетке. Приближенное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта 4-го
порядка.
Тема 4.2. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения
второго порядка методом прогонки. Численное решение краевой задачи для линейного
дифференциального уравнения второго порядка методом стрельбы.
Тема 5.1. Элементы теории разностных
Дифференциальное приближение разностной схемы.
схем
Аппроксимация
производных.
Тема 5.2 Спектральный признак устойчивости разностных схем Исследование устойчивости
разностных схем спектральным признаком.
Тема 6.1. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Решение начальнокраевой задачи для уравнения параболического типа методом сеток.
Тема 6.2. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Решение задачи Дирихле
для уравнения Лапласа методом сеток.
Тема 6.3. Разностные схемы для решения уравнений гиперболического типа. Решение
начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток.
8.
Примерная тематика курсовых работ
Не планируются.
14
9.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Контроль качества подготовки осуществляется путем проверки теоретических
знаний и практических навыков с использованием
a) Текущей аттестации:
проверка промежуточных контрольных работ и прием практических
заданий,
b) Промежуточной аттестации:
тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины.
Зачет в конце 6 семестра, экзамен в конце 7 семестра (к зачету, экзамену
допускаются студенты после сдачи всех практических заданий, решения
всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы).
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
Пример практического задания в 6 семестре
Преобразовать систему
1.
Ax  b
(см. Таблица 3.1) к виду
Проверить выполнение достаточного условия сходимости
x  x   .
  1.
Составить программу для вычисления решения системы линейных
2.
уравнений для различных значений
  10 3 ,   10 5 ,   10 8 :
a) методом простых итераций;
b) методом Зейделя.
k.
3.
Сравнить результаты решения по числу итераций
4.
Принимая решение, полученное с помощью метода Гаусса за точное, найти
величину абсолютной и относительной погрешности решения (использовать нормы

,
2
1
,
).
Пример практического задания в 7 семестре
Дано дифференциальное уравнение и начальное условие (задача Коши):
 y  f ( x , y )

 y( x0 )  y0
15
1). Взять функцию
f ( x , y ) из числа элементарных функций, задать начальное
условие на выбранном отрезке [ a, b] и найти точное решение задачи Коши).
2). Найти приближенное решение задачи Коши

методом Эйлера;

методом Эйлера-Коши;

методом Эйлера-Коши на полуцелой сетке;

методом Рунге – Кутта четвертого порядка;
Результаты представить в виде таблицы
xi
y( xi )-
y( xi )-
y( xi )-
y( xi )-
y( xi )-
точное
метод
метод Эйлер-
мето Эйлер-
метод
Эйлера
Коши
Коши с
Рунге-Кутта
h/ 2
Вопросы к экзамену
1. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная
погрешности. Формы записи данных. Вычислительная погрешность. Погрешность
функции.
2. Методы последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
3. Метод Гаусса с выбором главного элемента.
4. Применения метода Гаусса для расчета определителей и обратных матриц.
5. Матричный метод Гаусса
6. Погрешность приближенного решения систем уравнений и обусловленность
матриц.
7. Метод простой итерации. Достаточные условия сходимости процесса итераций.
Оценка погрешности приближений процесса итераций.
8. Метод Зейделя. Случай нормальной системы.
9. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения
матрицы и
собственного вектора. Степенной метод. Метод скалярных произведений.
10. Метод бисекций, метод хорд, метод касательных, метод итераций (достаточное
условие сходимости метода простых итераций).
11. Метод Ньютона. Квадратичная сходимость метода Ньютона. Модифицированный
метод Ньютона.
12. Метод итераций для систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона для систем
нелинейных уравнений.
16
13. Постановка задачи интерполяции и аппроксимации.
14. Многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена многочлена Лагранжа
15. Конечные разности различных порядков. Таблица разностей. Первая
интерполяционная схема Ньютона
16. Вторая интерполяционная схема Ньютона. Оценка остаточного члена.
17. Интерполирование на основе кубического сплайна.
18. Квадратичное аппроксимирование функций. Метод наименьших квадратов.
19. Построение полинома наилучшего приближения на системе ортогональных
функций. Коэффициенты Фурье.
20. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек.
Наилучший выбор сетки.
21. Дифференцирование на основе многочленов Лагранжа и Ньютона.
22. Метод неопределенных коэффициентов.
23. Правило Рунге практической оценки погрешности.
24. Простейшие квадратурные формулы.
25. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
26. Оценка погрешности квадратуры.
27. Метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для ОДУ.
28. Метод Эйлера и его модификации.
29. Методы Рунге - Кутта.
30. Численное решение линейного уравнения 2-го порядка (метод прогонки, метод
стрельбы)
31. Понятие конечно - разностной сетки. Аппроксимация производных на конечноразностной сетке.
32. Конечно - разностные аппроксимации производных, использующие больше трех
узлов разностной сетки.
33. Понятие сходимости разностной схемы, проверка сходимости разностной схемы.
34. Определение аппроксимации разностной схемы.
35. Определение устойчивости разностной схемы.
36. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости (теорема Лакса).
37. Дифференциальное приближение разностной схемы.
38. Каноническая запись разностной схемы.
39. Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода.
40. Необходимый спектральный признак устойчивости. Алгоритм применения
признака.
41. Устойчивость по начальным данным, примеры исследования устойчивости по
начальным данным
42. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа. Явные методы Эйлеpа.
Разности против потока. Схема Лакса. Неявный метод Эйлера. Метод с
пеpешагиванием. Метод Лакса-Вендpоффа (одношаговый, двухшаговый). Метод
Мак-Коpмака. Центpиpованная по времени неявная схема.
43. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Пятиточечная схема.
Девятиточечная схема. Метод последовательной веpхней pелаксации.
17
44. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Разностные схемы для
уравнения теплопроводности. Явная схема. Неявная схема. Метод КpанкаНиколсона. Схема Ричардсона. Схема Дюфорта-Франкела. Схема с весами.
10.
Образовательные технологии.
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций,
компьютерных лабораторных работ и проведение контрольных мероприятий
(контрольных работ, промежуточного тестирования, экзамена).
аудиторные занятия:
лекционные и компьютерные практические занятия; на практических занятиях контроль
осуществляется при сдаче практического задания в виде программы (на одном из
используемых языков программирования) и пояснительной записки к задаче. В течение
семестров студенты выполняют задачи, указанные преподавателем к каждому занятию.
активные и интерактивные формы
компьютерное моделирование и анализ результатов при выполнении практических
заданий
внеаудиторные занятия:
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности при выполнении
практических работ, подготовка к аудиторным занятиям, изучение отдельных тем и
вопросов учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом,
составлении конспектов. Подготовка индивидуальных заданий:
выполнение
самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных
испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации;
индивидуальные консультации.
11.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
11.1
Основная литература:
1.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - Спб.:
Лань, 2009 - 672 с.
2.
Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Спб.: Лань, 2008 - 400с.
3.
Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. М.,
Физматлит, 2003-364 с.
4.
Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные
уравнения): Учебное пособие для вузов. М.: Высшая Школа, 2000 - 153 с.
5.
Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебное пособие для вузов. М.:
Высшая Школа, 2001 - 381 с.
6.
Пирумов У.Г. Численные методы. Учебное пособие для вузов. М.: Дрофа,
2003 - 221 с.
11.2. Дополнительная литература:
18
1. Костомаров Д. П. Вводные лекции по численным методам. Москва: Логос, 2006 .184 с.
2. Волков Е. А. Численные методы. - Санкт-Петербург: Лань, 2007 .-256 с.
3. Исаков В. Н.Элементы численных методов : -Москва: Академия, 2003 .-192 с
4. Н.С.Бахвалов, А.А.Корнев, Е.В.Чижонков. Численные методы. Решения задач и
упражнения. М., Дрофа, 2009.
5. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе Mathcad. Спб.: Лань, 2008 –
352 с.
6. Численные методы : сб. задач под ред. У. Г. Пирумов. -Москва: Дрофа, 2007 .144 с.
7. Гаврилова Н.М. Вычислительная математика, часть 1. Тюмень: изд.ТюмГУ, 2008
– 161 с.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ http://num-anal.srcc.msu.ru/
12.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием, для выполнения практических
работ необходимы классы персональных компьютеров с набором базового программного
обеспечения разработчика - системы программирования на языках Borland Delphi, С/С++,
системы MATLAB, MATHCAD, MAPLE.
19