МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И. Менделеева» Физико-математический факультет Кафедра информатики, теории и методики обучения информатике УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе ____________________________ Клюсова В.В. “ 05 ” сентября Учебно-методический комплекс дисциплины «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ» Код и направление подготовки 050100.62 – «Педагогическое образование» Профиль подготовки «Информатика» Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Тобольск 2013 2013 г. Содержание Рабочая программа дисциплины ……………………………………………………...……... Руководство по организации обучения дисциплине …………………………………….… Приложения ……………………………………………………………………………………... Приложение 1. Лекционные материалы ………………………………………………………... Приложение 2. Практические занятия ………………………………………………………….. 2.1. Планы практических занятий …………………………………………………… 2.2. Методические указания к практическим занятиям ……………………………. Приложение 3. Лабораторный практикум ……………………………………….…………….. 3.1. Задания к лабораторному практикуму ……………………………..…………… 3.2. Методические указания к лабораторному практикуму ………..………………. Приложение 4. Задания для самостоятельной работы и методические указания к выполнению самостоятельной работы …………………………………………………..……... Приложение 5. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине 5.1. Технологическая карта дисциплины ……………………………………………. 5.2. Задания для текущего контроля знаний по дисциплине …………... 5.3. Контрольная работа для итогового контроля знаний по дисциплине .……….. 5.4. Вопросы к экзамену …………………………………………………………..….. 5.5. Контрольная работа ……………………………………………………………… 2 3 26 27 27 31 31 34 35 35 37 38 44 44 46 49 50 52 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И. Менделеева» Физико-математический факультет Кафедра информатики, теории и методики обучения информатике УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе ____________________________ Клюсова В.В. “ 05 ” сентября Рабочая программа учебной дисциплины «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ» Код и направление подготовки 050100.62 – «Педагогическое образование» Профиль подготовки «Информатика» Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения Дневное Программу составил: канд. пед. наук, доцент О.С. Зайцева Тобольск 2013 3 2013 г. Содержание 1 2 3 4 4.1 4.2 5 6 7 7.1 7.2 7.3 8 9 10 11 стр. Цели и задачи освоения дисциплины…………………………………………………...... 5 Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......……………………………..................... 5 Требования к результатам освоения содержания дисциплины....................................... 5 Содержание и структура дисциплины (модуля)....…………………………..................... 6 Структура дисциплины......................................................................................................... 6 Содержание разделов дисциплины ..................................................................................... 7 Образовательные технологии.............................................................................................. 8 Самостоятельная работ студентов ……………………………………………………….. 10 Компетентностно-ориентированные оценочные средства .....................………………. 11 Оценочные средства диагностирующего контроля …….................................................. 11 Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология 11 оценивания работы студентов ………………………………………………..................... Оценочные средства промежуточной аттестации ………………………………………. 18 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………… 22 Материально-техническое обеспечение дисциплины……………………...................... 22 Паспорт рабочей программа дисциплины ………………………………………………. 23 Аннотация рабочей программы дисциплины …………………………………………… 24 1. Цели и задачи освоения дисциплины Цели освоения дисциплины: формирование систематических знаний в области численных методов решения задач математического анализа, алгебры и математической физики на ЭВМ; формирование готовности к использованию полученных в результате изучения дисциплины знаний и умений в профессиональной деятельности. Задачи: В области в области педагогической деятельности: − организация обучения и воспитания в сфере образования с использованием технологий, соответствующих возрастным особенностям обучающихся и отражающих специфику предметной области; − использование возможностей образовательной среды для обеспечения качества образования, в том числе с применением информационных технологий; в области культурно-просветительской деятельности:  популяризация профессиональной области знаний общества. 2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Дисциплина «Численные методы» относится к вариативной части Профессионального цикла (Б3.В.6). Для освоения дисциплины «Численные методы» студенты используют знания, умения, навыки, способы деятельности и установки, полученные и сформированные в ходе изучения следующих дисциплин: «Информационные технологии», «Математика», «Практикум по решению задач на ЭВМ», «Программирование». Изучение дисциплины является базой для дальнейшего освоения студентами дисциплины «Компьютерное моделирование», при выполнении курсовых и дипломных работ, связанных с математическим моделированием и обработкой наборов данных, решением конкретных задач из механики, физики и т.п. 3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины 3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины а) общекультурных (ОК):  способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);            3.2.В результате изучения дисциплины студент должен знать: основы теории погрешностей и теории приближений; основные численные методы алгебры; методы построения элементов наилучшего приближения; методы построения интерполяционных многочленов; методы численного дифференцирования и интегрирования; методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений; методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных; методы численного решения интегральных уравнений. уметь: численно решать алгебраические и трансцендентные уравнения, применяя для этого следствия из теоремы о сжимающих отображениях; численно решать системы линейных уравнений методом простой интеграции, методом Зейделя; численно решать системы нелинейных уравнений методом Ньютона; 5  использовать основные понятия теории среднеквадратичных приближений для построения элемента наилучшего приближения (в интегральном и дискретном вариантах);  интерполировать и оценивать возникающую при этом погрешность;  применять формулы численного дифференцирования и интегрирования;  применять методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;  применять численные методы при решении задач математической физики;  использовать функциональные возможности пакетов прикладных программ при решение задач численными методами. владеть:  технологиями применения вычислительных методов для решения конкретных задач из различных областей математики и ее приложений;  навыками практической оценки точности результатов, полученных в ходе решения тех или иных вычислительных задач, на основе теории приближений;  основными приемами использования вычислительных методов при решении различных задач профессиональной деятельности. 4. Содержание и структура дисциплины Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц (216 часов) Таблица 1 Объем дисциплины и виды учебной работы Вид учебной работы Общая трудоемкость Всего часов 216 Семестры 5 84 84 32 16 32 4 32 16 32 4 105 105 24 61 20 24 61 20 27 экзамен Аудиторные занятия В том числе:  Лекции  Практические занятия  Лабораторные работы  КСР Самостоятельная работа В том числе:  Изучение литературы  Выполнение домашних заданий  Подготовка к контрольным, самостоятельным работам Вид отчетности по дисциплине 4.1. Структура дисциплины Таблица 2 Виды учебной работы (в академических часах) № 1 2 3 4 Наименование раздела дисциплины Семестр Точность вычислительного эксперимента. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Численные методы решения систем уравнений. Аппроксимация функций. 6 аудиторные занятия СР ЛК ПЗ ЛБ 5 2 2 – 10 5 6 4 8 26 5 4 2 4 16 5 6 2 6 18 5 6 7 8 Численное интегрирование и дифференцирование Численные методы решения дифференциальных уравнений. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Интегральные уравнения Подготовка к экзамену КСР 5 6 4 6 15 5 4 2 4 8 5 2 – 2 6 5 5 5 2 – – – – – 2 – – 6 27 4 32 16 32 136 Итого: 4.2. Содержание разделов дисциплины Таблица 3 № 1 2 3 Наименование раздела дисциплины Точность вычислительного эксперимента. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Численные методы решения систем уравнений. 4 Аппроксимация функций. 5 Численное интегрирование и дифференцирование 6 Численные методы решения дифференциальных уравнений. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Интегральные уравнения 7 8 Содержание раздела (дидактические единицы) Приближенные числа. Погрешности вычислений. Устойчивость. Корректность. Сходимость. Отделение корней уравнений. Методы уточнения корней: половинного деления, хорд, касательных, комбинированный. Метод простой итераций. Основные понятия. Прямые методы: метод Гаусса, метод прогонки. Итерационные методы: метод итераций, метод Зейделя. Решение систем нелинейных уравнений. Эмпирические формулы. Метод наименьших квадратов. Линейная и квадратичная интерполяция. Многочлен Лагранжа, многочлены Ньютона. Обратное интерполирование. Экстраполирование и субтабулирование. Сплайны. Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Ньютона. Оценка погрешности численного дифференцирования. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. Формула трапеций. Формула Симпсона. Формулы прямоугольников: левых, правых, средних. Оценка погрешности. Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного пересчета. Вычисление интегралов по формуле Гаусса. Задача Коши. Метод последовательных приближений (Пикара). Метод Эйлера. Модифицированные методы Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Классификация уравнений с частными производными. Метод сеток на примере уравнения Лапласа. Постановка 7 задач. Метод последовательных приближений. Сингулярные уравнения 5. Образовательные технологии № занятия 1 № раздела 1 2 1 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 11 2 12 3 13 3 14 3 15 3 16 3 17 4 18 4 Тема занятия Точность вычислительного эксперимента. Точность вычислительного эксперимента. Методы решения алгебраических уравнений Методы решения алгебраических уравнений Графический и аналитический способы решения уравнений Методы решения алгебраических уравнений Решение уравнений методом половинного деления Решение уравнений методами хорд, касательных Решение уравнений методом простой итераций Решение уравнений методом простой итераций Решение уравнений методом простой итераций Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений Решение систем линейных алгебраических уравнений точными методами Решение систем линейных алгебраических уравнений точными методами Приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений Решение систем линейных алгебраических уравнений приближенными методами Методы наилучших приближений. Метод наименьших квадратов Метод наименьших квадратов 8 Виды образовательных технологий лекция-визуализация Таблица 4 Кол-во часов 2 практическое занятие 2 информационная лекция 2 практическое занятие 2 лабораторная работа 2 информационная лекция 2 лабораторная работа 2 информационный проект 2 информационная лекция 2 практическое занятие 2 лабораторная работа 2 информационная лекция 2 практическое занятие 2 информационный проект 2 информационная лекция 2 практическое занятие 2 лекция-визуализация 2 информационный проект 2 19 4 20 4 21 4 22 4 23 4 24 5 25 5 26 5 27 5 28 5 29 5 30 5 31 5 32 6 33 6 34 6 Интерполяционный многочлен Лагранжа. Обратное интерполирование. Интерполирование функций. Многочлен Лагранжа Интерполирование функций Интерполяционные многочлены Ньютона. Экстраполирование и субтабулирование. Интерполирование функций. Многочлены Ньютона Численное дифференцирование. Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа Численное дифференцирование на основе интерполяционных формул Ньютона Приближенное вычисление определенных интегралов. Формулы трапеций, Симпсона Численное интегрирование. Формулы трапеций, Симпсона. Формулы трапеций, Симпсона. Формулы прямоугольников, Гаусса. Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного пересчета. Приближенное интегрирование Задача Коши. Метод последовательных приближений (Пикара). Метод Эйлера. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Решение 9 информационная лекция 2 практическое занятие 2 лабораторная работа 2 информационная лекция 2 информационный проект 2 информационная лекция 2 практикум 2 лабораторная работа 2 информационная лекция 2 практикум 2 лабораторная работа 2 информационная лекция 2 информационный проект 2 информационная лекция 2 практикум 2 лабораторная работа 2 35 6 36 6 37 7 38 8 39 40 9 9 дифференциальных уравнений методом Эйлера. Модифицированные методы Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера-Коши, Рунге-Кутта Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Метод сеток решения дифференциальных уравнений в частных производных. Интегральные уравнения Интегральные уравнения информационная лекция 2 информационный проект 2 информационная лекция 2 лабораторная работа 2 информационная лекция лабораторная работа 2 2 6. Самостоятельная работа студентов № 1 2 3 4 Наименование раздела дисциплины Вид самостоятельной работы Точность вычислительного эксперимента. Подготовиться к устному опросу Выполнить домашнюю лабораторную работу «Округление приближенных чисел. Вычисления с учетом погрешностей». Численные методы Изучить специальную учебную решения алгебраических и литературу. трансцендентных Подготовиться к письменным опросам, уравнений. тесту. Выполнить задания из лабораторной работы «Методы решения нелинейных уравнений». Численные методы Выполнить задание 1 из лабораторной решения систем работы «Методы решения систем уравнений. линейных алгебраических уравнений». Изучить специальную учебную литературу. Выполнить задание 2 из ЛР «Методы решения систем нелинейных уравнений». Аппроксимация функций. Изучить специальную литературу. Выполнить задание 2 из лабораторной работы «Приближение табличных функций методом наименьших квадратов». Подготовиться к письменному опросу. 10 Таблица 5 Трудоемкость (в академических часах) 4 6 8 8 10 6 4 6 4 4 4 5 6 7 8 Численное интегрирование и дифференцирование Численные методы решения дифференциальных уравнений. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Интегральные уравнения Все разделы КСР Выполнить задания 1, 4, 5 из лабораторной работы «Интерполирование функций». Изучить специальную литературу. Подготовиться к письменным опросам. Выполнить задание 2 из лабораторной работы «Численное дифференцирование». Выполнить задания 2, 3 из лабораторной работы «Приближенное вычисление определенных интегралов». Изучить специальную литературу. Выполнить задания из лабораторной работы «Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений». Изучить специальную литературу 6 2 4 4 5 2 6 2 Выполнить домашнее задание. 4 Изучить специальную литературу Выполнить домашнее задание. Подготовка к экзамену 2 4 27 4 7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства 7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля контрольные задачи 1) В математическом пакете MathCad решите систему уравнений методом Крамера: 3 x1  3 x 2  15  4 x1  x 2  x3  15  4 x  16 x  16 x  1 2 3 4 2) С помощью электронной таблицы постройте график функции y  2 cos x на отрезке [7; 10]. 2 3) Составить программу на любом языке программирования нахождения значения функции  х, x  2 y  х , х  2 7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов 7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ Таблица 6 Виды работ Модуль 1 Максимальное количество баллов Модуль 2 Модуль 3 11 Итого Аудиторные занятия Лекции Практические занятия Лабораторные занятия Самостоятельная работа Итого за работу в семестре Обобщающий контроль Итого 10 2 3 5 15 25 15 1 4 10 10 25 15 1 4 10 15 30 25 25 30 4 11 25 40 80 20 100 7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов Таблица 7 № 1 2 3 4 5 6 7 8 Наименование раздела дисциплины Формы оцениваемой работы Работа на лекциях Точность вычислительного Ответы на вопросы, эксперимента. Численные методы участие в дискуссиях решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Численные методы решения Ответы на вопросы, систем уравнений. участие в дискуссиях Аппроксимация функций. Численное интегрирование и Ответы на вопросы, дифференцирование. Численные участие в дискуссиях методы решения дифференциальных уравнений. Работа на практических занятиях Точность вычислительного Решение задач у доски эксперимента. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Численные методы решения Решение задач у доски систем уравнений. Аппроксимация функций. Численное интегрирование и Решение задач у доски дифференцирование. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Работа на лабораторных занятиях Численные методы решения Выполнение алгебраических и лабораторной работы трансцендентных уравнений. «Метод простой итерации решения нелинейных уравнений» Численные методы решения Выполнение систем уравнений. лабораторной работы «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» 12 Максимальное Модуль количество (аттестация) баллов 2 1 1 2 1 3 3 1 4 2 4 3 5 1 5 2 9 Аппроксимация функций. 10 Численное интегрирование и дифференцирование 11 Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Выполнение информационного проекта «Приближение табличных функций методом наименьших квадратов». Выполнение лабораторной работы «Численное дифференцирование» Выполнение ЛР проекта «Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений» 5 2 5 3 5 3 7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов Таблица 8 № Наименование раздела (темы) дисциплины 1 Точность вычислительного эксперимента. 2 Точность вычислительного эксперимента. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Аппроксимация функций 3 4 5 6 7 8 Численное интегрирование и дифференцирование Численное Максимально е количество баллов Модуль (аттестация) Выполнение домашней работы «Округление приближенных чисел. Вычисления с учетом погрешностей» Устный опрос 5 1 2 1 Письменный опрос по теме «Решение нелинейных уравнений с одной переменной» Выполнение домашнего задания «Методы решения нелинейных уравнений» 4 1 4 1 ЛР «Методы решения систем нелинейных уравнений». 5 2 Тест по теме «Метод наименьших квадратов. Интерполирование» Письменный опрос по теме «Численное интегрирование» 5 2 5 3 Выполнение ЛР 6 3 Формы оцениваемой работы 13 9 10 интегрирование и дифференцирование Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Интегральные уравнения «Приближенное вычисление определенных интегралов» Выполнение домашнего задания Выполнение домашнего задания 2 3 2 3 7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости Письменный опрос по теме «Решение нелинейных уравнений с одной переменной» На занятии преподаватель раздает карточки по вариантам, включающие два вопроса: теоретический и практический. Время проведения опроса – 20 минут. Вариант 1 1. Вывод формулы метода касательных при x0=a. 2. Существует ли на [0; 1] корень уравнения y=1/(3x2-1)? Вариант 2 1. Вывод формулы метода касательных при x0=b. 2. Какой из корней уравнения f(x)=0 будет найден в результате применения алгоритма деления отрезка пополам на [0; 8], e<1 (см. рис.)? 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 Вариант 3 Вариант 4 1. Вывод формулы метода хорд при x0=a. 1. Постановка задачи численного нахождения 2. Является ли значение 2 корнем уравнения корней уравнения. Теорема о 3 2 существовании и единственности корня. x +x -3=0, если =1? 2. Найти графически все корни уравнения cos2x-3x2-1=0 Вариант 5 Вариант 6 1. Графический способ отделения корней. 1. Аналитический способ отделения корней. 2. Решая уравнение x4+cos(x)-2=0 на [0; 2] 2. Имеет ли уравнение 2x-cos(x)=0 на [0; /2] методом хорд, за начальное приближение один корень? нужно брать 0 или 2? Тест по теме «Метод наименьших квадратов. Интерполирование» 1. Дана табличная зависимость: x y 0,5 2,14 0,8 2,24 0,9 2,27 1,2 2,36 Приближающая функция в виде линейной равна: g=_, _ _ _ x + _,_ _ _. 14 2. Для табличной зависимости y=f(x) установлены эмпирические функции: g1(x)= -x+1,8 и g2(x)= -0,9x+2. x y 0 2 0,5 1,5 1 1 1,5 0,5 Для функции g1(x) среднеквадратичное уклонение 1= … . Для функции g2(x) среднеквадратичное уклонение 2= … . Наилучшей эмпирической функцией является: а) g1(x) б) g2(x) 3. Вычислить конечные разности. i xi 0 1 1 2 2 3 3 4  yi yi 1 3 8 18 2 yi 3 yi 4. Приведена формула Лагранжа. Вставьте пропущенную букву. n ( x  x0 )...( x  xi 1 )( x  xi 1 )...( x  x n ) Ln ( x)   __ i ( xi  x0 )...( xi  xi 1 )( xi  xi 1 )...( xi  x n ) i 0 5. Для интерполирования в конце отрезка целесообразно применять формулу Ньютона … . a) первую b) вторую 6. Известна функциональная зависимость: x y=f(x) 1 1,25 1,2 1,74 1,4 2,31 1,6 2,96 Используя первую интерполяционную формулу Ньютона, вычислили значение f(1,15)  _, _ _ . 7. Известна функциональная зависимость: x 0,5 0,6 0,7 0,8 y=f(x) 0,479 0,565 0,644 0,717 Используя вторую интерполяционную формулу Ньютона, вычислили значение первой производной f’(1,15)  _, _ _ _. 8. При заданном значении n шаг интерполирования вычисляется по формуле: а) h=yi+1-yi б) h=(b-a)/n в) h=(yn-1-y0)/n 15 г) h=(xn-xn)/n Письменный опрос по теме “Численное интегрирование” Вариант 1 1. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла. 2. Напишите, какой метод интегрирования демонстрирует приведенный рисунок. Вариант 2 1. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. 2. Напишите, какой метод интегрирования демонстрирует приведенный рисунок. Вариант 3 1. Формула трапеций (постановка задачи, формула). 2. Какой из приведенных методов является наиболее точным: средних прямоугольников, парабол, трапеций? Вариант 4 1. Формула Симпсона (парабол) (постановка задачи, формула). 2. Известны нижний и верхний пределы интегрирования: 0,1 и 0,8, а также количество отрезков разбиения – 7. Определите расстояние между xi. Вариант 5 1. Формула левых прямоугольников: постановка задачи, вывод формулы. 2. Известны значения шага интегрирования: h=0,25 и h= 0,3. При каком h ответ будет наиболее точным? Итоговая контрольная работа Вариант 1 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, используя табличный процессор Excel. 0,78 x1  0,02 x2  0,12 x3  0,56  0,12 x1  0,44 x2  0,72 x3  1,01 0,02 x  0,86 x  0,04 x  0,77 1 2 3  2. Используя интерполяционную формулу Ньютона вычислить значения функции, заданной таблично, в точке x=1,4161. При решении задачи использовать табличный процессор Excel. x 1,415 1,420 1,425 1,430 y 0,888551 0,889599 0,890637 0,891667 3. Вычислить интеграл по формуле трапеций при n=9 16 1,1  ( x  1) cos x dx 2 0,2 Вариант 2 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, используя табличный процессор Excel. 10 x1  7 x2  7   3x1  2 x2  6 x3  4 5 x  2 x  5 x  6 2 3  1 2. Используя интерполяционную формулу Лагранжа вычислить значения функции, заданной таблично, в точке x=1,15. При решении задачи использовать табличный процессор Excel. x 1,00 1,20 y 2,0000 2,0792 3. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=10 1,50 2,1760 2,00 2,3010 1  ( x  1,9) sin( x / 3)dx 2 Вариант 3 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, используя табличный процессор Excel. 3,21x1  4,25 x2  2,13x3  5,06  7,09 x1  1,17 x2  2,23x3  4,75 0,43x  1,4 x  0,62 x  1,05 1 2 3  2. Используя интерполяционную формулу Ньютона вычислить значения функции, заданной таблично, в точке x=1,410. При решении задачи использовать табличный процессор Excel. x 1,415 1,420 1,425 1,430 y 0,888551 0,889599 0,890637 0,891667 3. Вычислить интеграл по формуле трапеций при n=11 2,1 x (2 x  0,6) cos dx 2 1  Вариант 4 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, используя табличный процессор Excel. 3x1  0,2 x2  1  0,1x1  0,4 x2  x3  1 0,5 x  2 x  0,9 x  1 1 2 3  2. Уплотнить заданную функцию по схеме Ньютона на [1,15; 1,25] с шагом h=0,001. При решении задачи использовать табличный процессор Excel. x 1,1 1,6 2,1 2,6 y 0,835 1,215 1,595 1,974 3. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=12 1, 2  0,37e sin x dx 0 17 7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации 7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов Вид аттестации Допуск к аттестации Зачёт экзамен (рейтинговая система) 40 баллов 61 балл Таблица 9 Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и академических оценок) Удовл. Хорошо Отлично 61-72 баллов 73-86 баллов 87-100 баллов 7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации Вопросы к экзамену по дисциплине Теоретическая часть 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Погрешность. Виды погрешностей. Правила записи приближенных чисел. Методы отделения корней: графический, аналитический. Метод половинного деления Методы уточнения корней: хорд, касательных, комбинированный. Решения уравнения методом простой итераций. Оценка погрешности. Метод итераций решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Зейделя. Метод наименьших квадратов. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Конечные разности. Интерполяционные многочлены Ньютона. Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена Лагранжа. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Котеса. Формула трапеций. Вычисление интегралов. Формула Ньютона-Котеса. Формула Симпсона (парабол). Формулы прямоугольников. Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного пересчета. Вычисление интегралов по формуле Гаусса. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Пикара. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, Эйлера-Коши. Практическая часть 1. Отделить корни уравнения аналитическим способом используя табличный процессор MS Excel. 2. Отделить корни уравнения аналитическим способом, составив программу на языке программирования. 3. Уточнить корни уравнения методом половинного деления используя табличный процессор MS Excel. 4. Уточнить корни уравнения методом половинного деления, составив программу на языке программирования ТурбоПаскаль. 5. Уточнить корни уравнения методом хорд (по выбору студента или в MS Excel, или в среде TurboPascal, или в среде Delphi). 6. Уточнить корни уравнения методом касательных (по выбору студента или в MS Excel, или в среде TurboPascal, или в среде Delphi). 7. Отделить графически один из корней уравнения и уточнить методом простой итерации (по выбору студента или в MS Excel, или в среде TurboPascal, или в среде Delphi). 8. Найти значение функции в точке, используя интерполяционный многочлен Лагранжа (в среде MS Excel). 18 9. Найти значение функции в точке, используя интерполяционный многочлен Ньютона (в среде MS Excel). 10. Уплотнить таблицу на заданном отрезке, используя первый интерполяционный многочлен Ньютона (в среде MS Excel). 11. Для данных, заданных в таблице, установить линейную и квадратичную зависимость: y=ax+b, y=ax2+bx+c (в среде MS Excel). 12. Вычислить первую производную функции, заданной таблично, используя интерполяционный многочлен Лагранжа. 13. Вычислить первую производную функции, заданной таблично, используя интерполяционный многочлен Ньютона. 14. Вычислить интеграл по формуле трапеций, составив программу на языке программирования Паскаль. Оценить погрешность по формуле строгой оценки погрешностей. 15. Вычислить интеграл по формуле трапеций (в среде MS Excel). Оценить погрешность по формуле строгой оценки погрешностей. 16. Вычислить интеграл по формуле парабол (в среде MS Excel). 17. Вычислить интеграл по формулам левых, правых, средних прямоугольников (в среде TurboPascal или в среде Delphi). Оценить погрешность результата методом двойного пересчета. 18. Вычислить интеграл по формулам левых, правых, средних прямоугольников (в среде MS Excel). Оценить погрешность результата методом двойного пересчета. 19. Решить дифференциальное уравнение методом Эйлера на [a,b] (по выбору студента или в MS Excel, или в среде TurboPascal, или в среде Delphi). Контрольная работа Задание 1. 1) Вычислить интеграл по указанной формуле с тремя десятичными знаками, составив программу на любом из языков программирования. 2) Вычислить интеграл по формуле Гаусса при n=4, составив программу на любом из языков программирования 3) Проанализировать полученные результаты по критериям: а) какой метод (методы) является более точным, менее точным; б) какой метод (методы) является более трудоемким, менее трудоемким. Интегралы по вариантам № варианта 1 Интеграл 3,2 2 1,6 0,66 3 0,32 1,6 4 0,8 3,1  x  x 2  lg dx 2  2     2,3 Формула трапеций парабол dx x 2  2,3 левых, правых прямоугольников lg( x 2  1) dx x 1 средних прямоугольников dx x2  4 19 5 2,8 6 1,2 1,35 7 0,15 1,2    2x 2  1,6 cos( x) 8 2,6 9 1,4 0,72  10 0,6 2,1 11 1,3 1, 2 12 0, 4 2,1   13 14 0,8 1,0 dx средних прямоугольников 1,5 x 2  0,7 трапеций  x  1 tg 2 xdx парабол dx 3x 2  0,4 левых, правых прямоугольников tg ( x 2 ) dx x 1 sin( x 2  1) 2 x средних прямоугольников dx  2x 2  0,3  ( x  1) cos x 15 16 1,2 1,2 17 0,8 2,5 18 1,3 0,63 левых, правых прямоугольников средних прямоугольников sin( x 2  0,4) dx x2  0,15 1,4  dx 0,5 x 2  1,5  0,6 парабол 2 dx   трапеций dx 0,2 2,0 19 левых, правых прямоугольников dx   парабол dx x2 1 0,8 1,3 1,6 трапеций x x    1 sin dx 2 2  трапеций dx 0,2 x 2  1 парабол x  1 lg( x  3)dx левых, правых прямоугольников dx 1,2 x 2  0,5 20 20 2,8  1,2 средних прямоугольников lg( 1  x 2 ) dx 2x 1 Задание 2. 1) С помощью интерполяционной формулы Ньютона найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично. Задание выполняется в среде MS Excel. 2) С помощью указанной интерполяционной формулы найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично. Задание выполняется в среде MS Excel. 3) Проанализировать полученные результаты: № варианта (n) 1, 3, 5 7, 9, 11 13, 15 17, 19 № варианта (n) 2, 4, 6 8, 10, 12 14, 16 18, 20 Таблица x Формула Таблица 10 Таблица 10 Таблица 10 Таблица 10 x=2,4+0,05n x=3,12+0,03n x=4,5-0,06n x=4,04-0,04n Гаусса Стирлинга Бесселя Гаусса Таблица x Формула Таблица 11 Таблица 11 Таблица 11 Таблица 11 x=1,6+0,08n x=3,27+0,11n x=6,3-0,12n x=5,85-0,09n Гаусса Стирлинга Бесселя Бесселя Таблица 10 x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 f(x) 3,526 3,782 3,945 4,043 4,104 4,155 x 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 f(x) 4,222 4,331 4,507 4,775 5,159 5,683 Таблица 11 x f(x) x 1,5 10,517 4,5 2,0 10,193 5,0 2,5 9,807 5,5 3,0 9,387 6,0 3,5 8,977 6,5 4,0 8,637 7,0 8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература: 21 f(x) 8,442 8,482 8,862 9,701 11,132 13,302 1. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика.– М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с. 2. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике : учеб. пособие / И. Б. Петров, А. И. Лобанов. - М. : ИНТУИТ, 2006. - 523с. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. б) дополнительная литература: Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632с. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002.-256 с. Вербжицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов / В.М.Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2002. – 840 с. Волков Е.А. Численные методы. – Спб.: Издательство «Лань», 2008. – 256 с. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 192 с. Каганов В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и Mathcad. – М.: Горячая линия – Телеком, 2003. – 328 с. Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб пособие. – М.: Высш. шк., 2006. – 480 с. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах: Учеб. пособие. – Спб.: Изд-во «Лань», 2009. – 368 с. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. пособ. для студ. втузов.- М.: Дрофа, 2003. – 224 с. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 400 с. в) периодические издания: Журналы: Информатика и образование, Компьютер пресс, Мир ПК, Прикладная информатика. г) Интернет-ресурсы: 1. Колмакова А. Г., Зайцева О.С. Основы теории погрешностей . – http:// http://www.tgspa.ru /info /education/faculties/ffi/ito/programm/osn_pogr/home.htm. 2. Кузнецова О.А., Зайцева О.С. Основы численных методов. – http:// http://www.tgspa.ru/ info/education/faculties/ffi/ito/programm/osn_chm/. 3. Образовательный математический сайт. – http://www.exponenta.ru/. 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины а) компьютерное и мультимедийное оборудование; 1. Сетевой компьютерный класс с выходом в Интернет. 2. Мультимедийная лекционная аудитория с выходом в Интернет. 3. Учебный сервер кафедры. 4. Внутренняя учебная сеть Вуза. б) программное обеспечение Среды программирования Turbo Pascal, Delphi; табличный процессор Microsoft Excel; математический пакет MathCAD; программа для построения графиков функций Advanced Grapher. 10. Паспорт рабочей программы дисциплины Разработчик(и) : _Зайцева О.С., к.п.н., доцент 22 Программа одобрена на заседании кафедры информатики, ТиМОИ от « 5 » сентября Согласовано: Зав. кафедрой ______________________ Малышева Е.Н. «___» _______________2013г. Согласовано: Специалист по УМР _________________ О.Н. Липневич «___» _______________2013 г. 23 2013 г., протокол № 1 Аннотация рабочей программы дисциплины Численные методы 1. Цель дисциплины: формирование систематических знаний в области численных методов решения задач математического анализа, алгебры и математической физики на ЭВМ; формирование готовности к использованию полученных в результате изучения дисциплины знаний и умений в профессиональной деятельности. 2. Место дисциплины в структуре ООП: Дисциплина «Численные методы» относится к вариативной части Профессионального цикла (Б3.В.6). 3. Требования к результатам освоения дисциплины. Процесс изучения дисциплины направлен на формирование и развитие: ОК-4. В результате изучения дисциплины студент должен знать:  основы теории погрешностей и теории приближений;  основные численные методы алгебры;  методы построения элементов наилучшего приближения;  методы построения интерполяционных многочленов;  методы численного дифференцирования и интегрирования;  методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;  методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных;  методы численного решения интегральных уравнений; уметь:  численно решать алгебраические и трансцендентные уравнения, применяя для этого следствия из теоремы о сжимающих отображениях;  численно решать системы линейных уравнений методом простой интеграции, методом Зейделя;  численно решать системы нелинейных уравнений методом Ньютона;  использовать основные понятия теории среднеквадратичных приближений для построения элемента наилучшего приближения (в интегральном и дискретном вариантах);  интерполировать и оценивать возникающую при этом погрешность;  применять формулы численного дифференцирования и интегрирования;  применять методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;  применять численные методы при решении задач математической физики;  использовать функциональные возможности пакетов прикладных программ при решение задач численными методами; владеть:  технологиями применения вычислительных методов для решения конкретных задач из различных областей математики и ее приложений;  навыками практической оценки точности результатов, полученных в ходе решения тех или иных вычислительных задач, на основе теории приближений;  основными приемами использования вычислительных методов при решении различных задач профессиональной деятельности. 4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетных единиц (216 часов). 5. Семестры: 5 6. Основные разделы дисциплины: 1. Точность вычислительного эксперимента 24 2. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. 3. Численные методы решения систем уравнений. 4. Аппроксимация функций 5. Численное интегрирование и дифференцирование 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений. 7. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. 8. Интегральные уравнения 7. Разработчики: О.С. Зайцева, к.п.н., доцент 25 РУКОВОДСТВО ПО ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЕ Дисциплина «Численные методы» относится к вариативной части Профессионального цикла. Изучается в пятом семестре. Предусмотрен экзамен в 5 семестре. По учебному плану на изучение дисциплины отводится 6 зачетных единиц (216 часов), из которых 84 часа аудиторных. Дисциплина базируется на материале, излагаемом в курсах «Информационные технологии», «Математика», «Практикум по решению задач на ЭВМ», «Программирование». Теория приближенных методов является разветвленной наукой и имеет применение всюду, где приходится встречаться с числами или рассматривать явления и процессы, подчиняющиеся количественным законам. Изучение данной дисциплины должно способствовать развитию практических навыков использования ЭВМ при решении научнопрактических задач, воспитывать общую информационную культуру, необходимую будущему учителю информатики, помочь осознанию прикладного характера информатики. Данная дисциплина не только расширяет кругозор учащихся по теории вычислительных методов, но и является базовой основой для изучения дисциплины «Компьютерное моделирование», закрепляет навыки и умения программирования. Материал курса имеет также непосредственное отношение к школьному курсу информатики. Курс «Численные методы» обеспечивает общую подготовку будущих учителей информатики, получение теоретических знаний и практических навыков работы с аппаратом численных методов при решении научно-практических задач. На лекционных занятиях рассматривается теоретический материал. На практических занятиях закрепляется теоретический материал и приобретаются навыки решения задач. Практические занятия должны проводиться в компьютерном классе с проектором. Соотношение рабочих мест к количеству учащихся не более 1:2. Занятия строятся следующим образом. Преподаватель выдает перечень заданий. Один учащийся у доски или за центральным компьютером, к которому подключен проектор, решает задачу. Все остальные студенты решают эту же задачу за своими рабочими местами. Преподаватель контролирует правильность решения у доски или за центральным компьютером, помогает отстающим. Если студент выполнил задание вперед всего класса, он показывает его преподавателю и самостоятельно начинает выполнять следующее упражнение. На лабораторных занятиях закрепляются знания, умения и навыки, приобретенные на лекциях, практических занятиях и самостоятельно. Формы работ: письменные и устные опросы, групповое решение задач, выполнение лабораторных работ. Сроки сдачи лабораторных работ преподавателем четко оговариваются. Примерная тематика выпускных квалификационных работ по проблемам исследования: «Методика преподавание темы “Численные методы” в классах информационнотехнологического профиля», «Использование методов аппроксимации функций при решении практических задач», «Использование методов численного интегрирования при решении практических задач». Преподаватель определяет содержание самостоятельной работы, график ее выполнения; создает сетевую информационную и коммуникационную среду для организации самостоятельной работы. Для изучения лекционного материала применяются аудиовизуальные технологии, которые не отрицают традиционных, проверенных временем методов, но поднимают на качественно новый уровень роль преподавателя в процессе обучения. Применение мультимедийного комплекса повышает наглядность, информативность, экономить время занятий. 26 Приложение 1 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. ЛЕКЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ Тема 1. Теория погрешностей Этапы решения задачи: постановка проблемы; построение математической модели; выбор метода решения задачи; программирование и алгоритмизация; исполнение программы; анализ полученных результатов. Структура полной погрешности. Источники погрешности. Погрешность, абсолютная и относительная погрешности. Значащая цифра. Верная значащая цифра в узком и широком смысле. Правила записи погрешности. Правила записи приближенных чисел. Правило округления и погрешность округления. Оценка погрешностей арифметических действий. Устойчивость. Корректность. Сходимость. Тема 2. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений Постановка задачи. Определение корня уравнения. Что значит решить уравнение. Этапы приближенного решения уравнения: отделение корней, уточнение корней. Понятие отрезка изоляции. Условия окончания процесса решения задачи. Суть аналитического метода, геометрическая интерпретация. Теорема о существование и единственности корня на отрезке. 1) Если непрерывная на отрезке [a,b] функция F(x) принимает на его концах значения разных знаков, т.е. F(a)*F(b)<0, то уравнение имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень. 2) Если функция F(x) строго монотонна, то корень на [a,b] единственный (F’(a)*F’(b)>0). Суть метода половинного деления, геометрическая интерпретация. Суть метода хорд, геометрическая интерпретация. Вывод формулы хорд для случая x0=b. Формула хорд для случая x0=a. F ( xn )( a  xn ) xn  1  x n  , F(a)*F''(a)>0, x0=b. F (a )  F ( xn ) F ( xn )(b  xn ) xn  1  xn  , F(b)*F''(b)>0, x0=a. F (b)  F ( xn ) Суть метода касательных (Ньютона), геометрическая интерпретация, формула. Вывод формулы хорд для случая x0=a. F ( xn ) xn  1  xn  . Если F(a)*F''(a)>0 то x0=a, иначе x0=b. F ' ( xn ) Условия прекращения итерационных процессов. Комбинированный метод, геометрическая интерпретация. Суть метода итераций решения уравнений. Построение итерационной последовательности. Геометрический смысл для случаев: сходящаяся последовательность, расходящая последовательность. Утверждение. Если итерационная последовательность сходится, а функция (x) непрерывна, то предел итерационной последовательности является корнем уравнения x=(x). Доказательство утверждения. Теорема Лагранжа о средних приращениях. Основная теорема метода итераций. Пусть уравнение x = (x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия: 1) (x) – определена и дифференцируемая на [a,b];2) (x)[a, b] для всех x[a,b];3)  qR, что '(x) q < 1 для всех x[a,b], –тогда итерационная последовательность xn=(xn-1) сходится при любом начальном приближении x0. Доказательство теоремы. Особенность метода итераций – самоисправляющийся метод. 27 Приложение 1 Скорость сходимости итерационного процесса. Зависимость сходимости итерационной последовательности от значения q. Порядок сходимости. Условие окончание итерационного процесса. Преобразования уравнения к итерационному виду. 1) M  max F ' ( x) [ a ,b]  ( x)  x  F ( x) , k k M , 2 где , sign(k)=sign(F’(x)) на [a, b]. 2) (x)=x-mF(x), где mF’(x)<1. Блок-схема метода итераций. Тема 3. Численные методы решения систем уравнений Постановка задачи. Точные и приближенные методы. Понятия: решение системы, совместная система линейных уравнений, невырожденная матрица. Суть метода Гаусса. Прямой, обратный ход. Схема единственного деления. Невязка. Решение системы линейных алгебраических уравнений в MS Excel. Столбцы контрольной суммы, строчной. Вычисления определителя, используя метод Гаусса. Метод прогонки. Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Пусть отображение F является сжимающим на полном метрическом пространстве с коэффициентом сжатия 0≤q<1. Тогда: 1) на X существует одно и только одно решение x* уравнения x=F(x) (единственная неподвижная точка отображения F); 2) решение x* равно пределу итерационной последовательности {xn}, определяемой рекуррентно формулой xn+1=F(xn) (n=0, 1, …), x0 – произвольная точка множества X ; 3) справедливо неравенство qn  ( xn , x* )   ( x1 , x0 ) . 1 q Суть метода итераций решения систем линейных алгебраических уравнений. Построение итерационной последовательности. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Схема решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций. Практическая схема преобразования исходной системы, гарантирующая сходимость итерационного процесса. Условие окончания итерационного процесса. Оценка погрешности. Суть метода Зейделя. Построение итерационной последовательности методом Зейделя. Отличия метода Зейделя от метода итераций. Особенности решения систем нелинейных уравнений. Суть метода итераций. Приведение уравнения к итерационному виду. Условия, при выполнении которых итерационная последовательность сходится. Недостатки метода итераций. Суть метода Ньютона решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Матрица Якоби. Решение системы 2x2 методом Ньютона. Условие окончания итерационного процесса. Тема 4. Аппроксимация функций Постановка задачи. Понятие о приближении функции. Эмпирическая функция, формула. Узлы интерполирования. Приемы нахождения эмпирической функции. В качестве меры близости берут метрику и наилучшей функцией считается та, для которой метрика будет наименьшей. Определения: уклонение измеряемых значений от вычисленных; среднеквадратичное уклонение. В качестве эмпирической функции рассматривают многочлен Gk(x)=akxk+…+a1x+a0. Возьмем функцию (a0 ,..., ak )  n  (G(a0 ,..., ak )  yi ) 2 . i 0 Нужно найти точек минимума, для этого найдем все частные производные функции Ф и приравняем их к нулю. Получим систему (1) из k-уравнений с k-неизвестными. Решая данную систему найдем значения a0,…, ak и тем самым вид эмпирической формулы. 28 Приложение 1 Нахождение приближающей функции в виде линейной: g(x)=a1x+a0. Значения a1 и a0 находят решая систему (1) из 2-х уравнений с двумя неизвестными. Нахождение приближающей функции в виде квадратичной: g(x)=a2x2+a1x+a0. Значения a2, a1 и a0 находят решая систему (1) из 3-х уравнений с тремя неизвестными. Нахождение приближающей функции в виде функции: показательной, степенной, дробно-линейной, логарифмической, гиперболической. В данных случаях функции преобразуют к линейному виду. Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Постановка задачи аппроксимации функций. Параболитическое интерполирование. Геометрическая интерпретация. Определитель Вандермонда. Существование и единственность интерполяционного многочлена. Многочлен Лагранжа, вывод формулы. Вывод формулы Лагранжа для равноотстоящих узлов. Организация ручных вычислений по формуле Лагранжа. Конечные разности. Вывод первой интерполяционной формулы Ньютона. Вторая интерполяционная формула Ньютона. Оценка погрешности. Решение задач методами интерполирования на ЭВМ. Уплотнение таблиц функций (субтабулирование) на основе формулы Ньютона. Экстраполирование на основе формулы Ньютона. Постановка и решение задачи обратного интерполирования. Решение задач на ЭВМ. Определение интерполяционного сплайна порядка m для функции f(x). Тема 5. Численное интегрирование и дифференцирование Постановка задачи численного дифференцирования. Некорректность задачи численного дифференцирования. Вывод формулы нахождение первой производной на основе многочлена Лагранжа. Вывод формул нахождения первой и второй производных на основе многочлена Ньютона. Общий случай вычисления производной произвольного порядка. Оценка погрешности численного дифференцирования. Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Левосторонняя и правостороння аппроксимация. Постановка задачи численного интегрирования. Случаи, когда формулу Ньютона – Лейбница использовать невозможно: первообразная функция F(x) не выражается через элементарные функции; аналитическое выражение функции f(x) настолько сложно, что применение формулы Ньютона– Лейбница затруднительно; аналитическое выражение функции f(x) не известно, а её значения заданы таблицей или графиком. Квадратурные формулы. Заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа для равноотстоящих узлов получим формулу Ньютона – Котеса: n  i [n 1] b n t 1 n (1) dt . t n 1  t (t  1)(t  2)  (t  n) .  f ( x)dx  (b  a)  yi H i , где H i  n  i0 0 i!(n  i )!(t  i ) a Вывод формула трапеций при n=1. На отрезке [x0, x1] интеграл равен: x1 h  f ( x)dx  ( y 0  y1 ) . Подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом 2 x0 Лагранжа первой степени, т.е. линейной функцией. Геометрический смысл формулы трапеции заключается в том, что площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции. Вывод общей формулы трапеций: b y0  y n h h h   y1  ...  y n 1 )  f ( x)dx   ( y 0  y1 )  ( y1  y 2 )  ...  ( y n 1  y n )  h( 2 2 2 2   a Оценка погрешности формулы трапеций. 29 Приложение 1 Вывод формула парабол (Симпсона) при n=2 на отрезках [x0, x2], [x0, x2m]. b 2h  y 0  y 2m   (2 y1  y 2 )  (2 y3  y 4 )    (2 y 2m 1  y m ) . 2   f ( x)dx  3   a Оценка остаточного члена формулы парабол. Геометрический смысл метода парабол заключается в том, что исходную функцию f(x) заменяют интерполяционным многочленом 2-й степени, т.е. параболой, проходящей через точки M0(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2). Вывод формул левых, правых, средних прямоугольников. Геометрическая интерпретация. Оценка погрешности. Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода двойного пересчета (метода Рунге-Кутта). Общая формула двойного пересчета. Частные случаи – оценка остаточного члена для формул трапеций, парабол, прямоугольников. Алгоритм Ромберга. Общий вид линейной квадратурной формулы. Вывод формулы Гаусса. Многочлен Лежандра. Вывод формулы Гаусса для n=3. Формула Чебышева. Узлы и весы квадратурной формулы Гаусса, Чебышева. Тема 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Постановка задачи. Классификация методов решения дифференциальных уравнений: приближенно-аналитические, графические, численные. Определение решения уравнения y’=f(x,y). Общее и частное решение дифференциального уравнения. Задача Коши. Геометрический смысл задачи Коши. Теорема Пикара. Метод последовательных приближений Пикара. Условия сходимости итерационного процесса по методу Пикара. Метод Эйлера. Вывод формулы Эйлера на основе геометрической интерпретации. Вывод формулы Эйлера на основе формулы Тейлора. Оценка погрешности. Сравнительная характеристика метода Пикара и Эйлера. Метод Эйлера-Коши: вывод формулы, геометрическая интерпретация. Обратный метод Эйлера. Характеристика семейства методов Рунге-Кутта. Вывод формулы первого порядка q=1 (формула Эйлера). Формулы второго и четвертого порядка. Оценка погрешности. Тема 7. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных Понятие о численных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных. Классификация уравнений в частных производных. Уравнения Лапласа, Пуассона, Фурье (теплопроводности). Метод сеток. Задача Дирихле. Этапы решения: 1) Область G с границей Г заменяется приближенной сеточной областью Gh с границей Гh. 2) Уравнение Лапласа заменяется разностными схемами. 3) Решение системы сеточных уравнений. Реализация методов с помощью ЭВМ. Тема 8. Интегральные уравнения Постановка задач. Метод последовательных приближений. Сингулярные уравнения 30 Приложение 2 Приложение 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНТЯИЯ 2.1. ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Тема 1. Точность вычислительного эксперимента. Примерные задачи, решаемые на занятии. Задача 1. Оценить погрешность округления числа e=2,7182818… до 3-х значащих цифр. Задача 2. Укажите границы, в которых находится точное число D, если его приближенное значение d=42,36 найдено с точностью а) 0,7; б) 0,01. Задача 3. Округлите до верных значащих цифр: а)72,3530,026; б) 1,3450,001. Задача 4. Известно, что все цифры чисел верные в узком смысле. Определите абсолютную погрешность чисел: а)3,2; б) 3,20. Задача 5. Округлите заданные числа до верных значащих цифр а) в узком смысле; б) в широком смысле. Задача 6. Дано выражение z=sin(x)+y2. Числа x и y приближенные числа с верными в строгом смысле значащими цифрами: x=2,03; y=0,504. Найти значение z, её абсолютную и относительную погрешность. Тема 2. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad, среда программирование TurboPascal или Delphi. Примерные задачи, решаемые на занятии. 1 Задача 1. Решить уравнение arctgx   0 на [-0,8;-0,7] в Mathcad, используя функцию root. 3x 2 Точность e=0,001. root( f(х1, x2, …), х1, a, b ) – возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр. Задача 2. Реализовать метод половинного деления в Mathcad. Задача 3. Составить программу на языке программирования, реализующий метод половинного деления. 1 Задача 4. Уточнить корень уравнения arctgx   0 на [-0,8;-0,7] методом хорд в MS Excel с 3x 2 точностью e=0,0001. Задача 5. Уточнить корень уравнения комбинированным методом в MS Excel. Задача 6. Имеется колода из 32 карт и 2 игрока. Первый игрок должен определить, какую карту загадал второй игрок, задавая ему наименьшее возможной число вопросов, на которые второй игрок должен ответить “да” или “нет”. Задача 7. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций. а) x-sin(x)=0,25 б) x3+2x2+7x+3=0 Тема 3. Численные методы решения систем уравнений. Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad. Примерные задачи. Задача 1. Решить систему уравнений методом Гаусса в MS Excel. Задача 2. Решить систему уравнений методом Крамера в MathCad. 31 Приложение 2 0,14 x1  0,24 x 2  0,84 x3  1,11  1,07 x1  0,83x 2  0,56 x3  0,48 0,64 x  0,43x  0,38 x  0,83 1 2 3  Задача 3. Решить систему уравнений методом итераций с точностью e=0,0001. Задача 4. Решить систему уравнений методом Зейделя с точностью e=0,0001. 0,14 x1  0,24 x 2  0,84 x3  1,11  1,07 x1  0,83x 2  0,56 x3  0,48 0,64 x  0,43x  0,38 x  0,83 1 2 3  Задача 5. Решить систему нелинейных уравнений методом итераций с точностью e=0,001 в MS Excel. sin( x  1)  y  1,2  2 x  cos( y )  2 Задача 6. Решить систему нелинейных уравнений из задачи 1 методом итераций, составив программу на языке программирования. Задача 7. Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона с точностью e=0,001 в MS Excel. y3  x2  1    yx 3  x  4 Задача 8. Решить систему нелинейных уравнений из задачи 3 методом Ньютона с точностью e=0,001, составив программу на языке программирования. Тема 4. Аппроксимация функций. Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad, среда программирование TurboPascal или Delphi. Примерные задачи. Задача 1. Функция задано таблично. Установить линейную зависимость. Задача выполняется в среде MathCad. Задача 2. Для функции заданной таблично в MS Excel установить линейную аппроксимацию. Задача 3. Для функции заданной таблично в MS Excel установить квадратичную аппроксимацию. Задача 4. Функция задано таблично. Установить квадратичную зависимость. Задача выполняется в среде MathCad. Задача 5. Функция задана таблично. Найти значение функции в указанной точке, построив интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценить погрешность интерполирования. Задача выполняется в среде MS Excel. Задача 6. Функция задана таблично, расстояние между узлами постоянно. Найти значения функции в указанных точках, используя первый и второй интерполяционные многочлены Ньютона. Оценить погрешность интерполирования. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. Задача 7. Функция задана таблично, расстояние между узлами постоянно. Уплотнить на указанном отрезке функцию с заданным шагом. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. Задача 8. Функция задана таблично. Используя обратное интерполирование найти значение x, если известно значение y. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. 32 Приложение 2 Тема 5. Численное интегрирование и дифференцирование. Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математический пакет MathCad, среда программирование TurboPascal или Delphi. Примерные задачи. Задача 1. Функция задана таблично, расстояние между узлами постоянно. Найти значение первой и второй производной в указанной точке, используя интерполяционный многочлен Лагранжа. Задача выполняется в MathCad. Задача 2. Функция задана таблично, расстояние между узлами постоянно. Найти значение первой и второй производной в указанных точках, используя интерполяционные многочлены Ньютона. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. 0,8 1 Задача 3. Вычислить интеграл  dx при n=4 по формуле трапеций. Оценить 3 0 1 x погрешность интегрирования методом двойного пересчета. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. 0,8 1 Задача 2. Вычислить интеграл  dx при n=4 по формуле Симпсона. 3 1  x 0 а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. Оценить погрешность интегрирования по формуле строгой оценки погрешности в среде MathCad. 0,8 1 Задача 4. Вычислить интеграл  dx методом Монте-Карло при n=10 и n=20. 3 0 1 x Задача 5. Используя приближенное интегрирование найти приближенное значение числа . Для этого вычислить площадь четверти единичного круга, а затем увеличить ее в четыре раза. Число разбиений n=50. Задача 6. Вычислить интеграл по формулам левых, средних и правых прямоугольников в среде MS Excel. Оценить погрешность интегрирования по формулам строгой оценки погрешности. Задача 7.Составить программу, реализующую алгоритмы вычислить интегралов по формулам левых, средних и правых прямоугольников. Оценить погрешности методом двойного пересчета. Задача 8. Дана функция f(x)=sin(x)+cos(5,6x), a=0, b=7, n=60. Используя приближенное интегрирование найти на [a,b] такую точку c, чтобы “промежуточная” криволинейная трапеция имела наибольшую площадь. 0,8 dx Задача 9. Вычислить интеграл  по формуле Гаусса при n=4. 3 0 1 x а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. 0,8 dx Задача 10. Вычислить интеграл  по формуле Чебышева при n=4. 3 0 1 x а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. 33 Приложение 2 Тема 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений Оборудование. Табличный процессор MS Excel, среда программирование TurboPascal или Delphi. Задача 1. Методом последовательных приближений Пикара решить уравнение y’=x2+3y, y(0)=2, x0=0, y0=2. Задача 2. Решить методом Эйлера уравнение y’=cos(y)+3x на [0,1] c шагом h=0,2. Начальное условие y(0)=1,3. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. Задача 3. Решить методом Эйлера-Коши уравнение y’=2x2+2y на [0,1] c шагом h=0,1. Начальное условие y(x0)=1. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. Задача 4. Решить методом Рунге-Кутта уравнение y’=2x2+2y на [0,1] c шагом h=0,2. Начальное условие y(0)=1. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. Задача 5. Используя метод Адамса решить уравнение y’=1+0,2ysin(x)-y2, y(0)=0. Начальный отрезок определить методом Рунге-Кутта. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. Задача 6. Используя метод Милна решить уравнение y’=x+y2 на [0;1], y(0)=0,5 Начальный отрезок определить методом Рунге-Кутта. а) Используя MS Excel. б) Составив программу на языке программирования. 2.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ На практических занятиях закрепляется теоретический материал и приобретаются навыки решения задач. Практические занятия должны проводиться в компьютерном классе с проектором. Целесообразно с учащимися на занятиях рассматривать кроме традиционных задач по численным методам и практико-ориентированные задачи, решаемые с помощью приближенных методов. При подготовке к практическим занятиям студенты должны ознакомиться с теоретическим материалом по теме. Необходимые теоретические сведения приведены в соответствующих лабораторных работах, которые под документ можно взять на кафедре. 34 Приложение 3 Приложение 3. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ 3.1. ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМУ Тема 2. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений (8 ч). Оборудование. Редактор построения графиков Advanced Grapher, табличный процессор MS Excel, среда программирование TurboPascal или Delphi. Примерный план занятий. 1. Изучение функциональных возможностей Advanced Grapher на примере решения задачи 1. 2. Решение задачи 2 в среде MS Excel. 3. Устный опрос по теме “Теория погрешностей” (примерные вопросы приведены в Приложении 2). 4. Решение задачи 3 в среде MS Excel. 5. Письменный опрос по теме “Методы решения нелинейных уравнений”. 6. Выполнение ЛР “Методы решения нелинейных уравнений”, задания 1, 2б, 2в, 3б, 3в. 1 Задача 1. Отделить графически корни уравнения arctgx   0 . Доказать существование и 2 3x единственность корней на полученных отрезках. 1 Задача 2. Отделить корни уравнения arctgx  2  0 на [-1;-0,1] аналитическим способом с 3x h=0,1. 1 Задача 3. Уточнить корень уравнения arctgx   0 на [-0,8;-0,7] методом половинного 2 3x деления с e=0,000001. 7. Письменный опрос по теме “Решение нелинейных уравнений методом простой итерации”. 8. Выполнение ЛР “Решения нелинейных уравнений методом простой итерации”. Задание 1. Отделить графически один из корней уравнения. Доказать существование и единственность корня на полученном отрезке . Задание 2. Уточнить корень уравнения методом простой итерации с точностью =0,000001: а) используя табличный процессор MS Excel; б) составив программу на языке программирования. Тема 3. Численные методы решения систем уравнений. (4 ч). Оборудование. Табличный процессор MS Excel. Примерные задачи. Задание 1. Решить систему уравнений методом Гаусса Задание 2. Решить систему уравнений методом итераций с точностью до 0,001 Задание 3. Решить систему уравнений методом Зейделя с точностью до 0,001 Задача 4. Методом Ньютона приближенно найти положительное решение системы уравнений исходя из начального приближения x0 = y0 = z0 =0,5.  f x, y, z   x 2  y 2  z 2  1,  1 2 2  f 2  x, y , z   2 x  y  4 z ,  f  x, y , z   3 x 2  4 y  z 2 .  3 Задача 5. Приближенно найти положительные решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона. 35 Приложение 3  f ( x , x )  x  3 lg x  x 2  0, 1 1  1 1 2 2  2  f 2 ( x1 , x 2 )  2 x1  x1 x 2  5 x1  1  0. Задача 6. Преобразовать нелинейные уравнения системы к виду f1(x) = y и f2 (y)= x. Построить их графики и определить начальное приближение решения. а) с помощью функции Minerr б) методом Ньютона. sin y  x  0,4, sin x  2 y  2,  cos y  1  x  0,7.  2 y  cosx  1  0. Задача 7. Символьно решить системы уравнений: 3x  4y  a,   2 x  y  b. 2 y  z  a,   z  z  b,  3 y  x  c.  Тема 4. Аппроксимация функций. (6 ч). Оборудование. Математический пакет MathCad, среда программирования Turbo Pascal или Delphi. Задание 1. Для исходных данных, установить линейную зависимость: y=ax+b. Задание 2. Для данных, установить квадратичную зависимость: y=ax2+bx+c. Задание 3. Построить точечный график исходной функции (заданной таблично) и графики найденных приближенных функций. Задание 4. Для найденных приближенных функций найти уклонения и среднеквадратичные уклонения. Определить, какая приближенная функция из двух найденных является наилучшей. Задание 5. Используя формулу Лагранжа найти приближенное значение функции в точке М: а) применяя табличный процессор MS Excel; б) составив программу на языке программирования. Оценить погрешность интерполирования. Задание 6. Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона вычислить приближенное значение функции в точке М: а) применяя табличный процессор MS Excel; б) составив программу на языке программирования. Оценить погрешность интерполирования. Тема 5. Численное интегрирование и дифференцирование (6 ч). Оборудование. Табличный процессор MS Excel, математические пакет MathCad, среда программирования Turbo Pascal или Delphi. Примерный план занятий. 1. Письменный опрос по теме “Численное дифференцирование”. 2. Выполнение задания из ЛР “Численное дифференцирование” Задание. Найти значение первой производной, используя интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстающих узлов. Задание выполняется в среде MathCad. Примерный план занятий. 1. Письменный опрос по теме “Вычисление интегралов”. 2. Выполнение заданий из ЛР “Приближенное вычисление определенных интегралов”. Задание. Вычислить интеграл по формуле трапеций при n=8: а) используя табличный процессор MS Excel; 36 Приложение 3 б) составив программу на языке программирования. Оценить погрешность результата по формуле строгой оценки погрешностей. Задание. Вычислить интеграл по формуле Гаусса при n=4 и n=8, используя табличный процессор MS Excel. Оценить погрешность результата J8 методом двойного пересчета. Тема 7. Численные методы решения дифференциальных уравнений (2 ч). Оборудование. Табличный процессор MS Excel, среда программирования Turbo Pascal или Delphi. Примерный план занятий. dy  x 2 , y0  1,3 методом Эйлера. Задача 1. Решить дифференциальное уравнение dx dy  x 2 , y0  1,3 методом Рунге-Кутта Задача 2. Решить дифференциальное уравнение dx четвертого порядка. Тема 7. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (2 ч). Оборудование. Математический пакет MathCad. Примерные задачи. Задача 1. Решить задачу Дирихле уравнения Лапласа u xx  u yy  0 , где u x,0  0 , u1, y   g 2  y  , u x,1  0 , u0, y   g 4  y  . Задача 2. Решить краевую задачу уравнения теплопроводности. Начальные и граничные условия: t=0..29, x=1..49, f0,x=0, f0,0=0, f0,50=0, f0,25=1. Тема 8. Интегральные уравнения (2 ч). Оборудование. Математический пакет MathCad. Примерные задачи. Задача . Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение. 1 1 y ( x)  sin x   y (t )dt . 20 3.2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОМУ ПРАКТИКУМУ На лабораторных занятиях закрепляются знания, умения и навыки приобретенные на лекциях, практических занятиях и самостоятельно. Формы работ: письменные и устные опросы, выполнение лабораторных работ. Сроки сдачи лабораторных работ преподавателем четко оговариваются. Лабораторные занятия проводятся в учебном классе персональных компьютеров, объединенных в локальную сеть. 37 Приложение 4 Приложение 4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Под самостоятельной работой будем понимать способ учебной деятельности, когда учащемуся даются задания и руководство для их выполнения; работа проводится без участия, но под руководством учителя и ее выполнение требует от учащегося умственного напряжения. Тема 1. Точность вычислительного эксперимента. Задание. Подготовится к устному опросу по теме «Теория погрешностей». Примерные вопросы. Абсолютная погрешность приближенных чисел. Относительная погрешность приближенных чисел. Правила записи приближенных чисел. Правила округления. Значащие цифры приближенного числа. Верные значащие цифры в узком смысле. Верные значащие цифры в широком смысле. Правила записи приближенных чисел. Нахождение абсолютной погрешности по значащим цифрам. Оценка погрешностей арифметических действий. Методические указания. Для того чтобы ответить на вопросы преподавателя студенты должны изучить лекционный материал, выполненный ими конспект «Основы теории погрешности». Кроме этого, можно воспользоваться следующей литературой. Литература. 1. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 632с. 2. Исаков В.Н. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 192 с. 3. Лапчик М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; Под ред. М.П. Лапчика. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с. 4. Колмакова А. Г., Зайцева О.С. Основы теории погрешностей . – http:// http://www.tgspa.ru /info /education/faculties/ffi/ito/programm/osn_pogr/home.htm. 5. Образовательный математический сайт. – http://www.exponenta.ru/. Задание. Выполнить лабораторную работу (ЛР) «Округление приближенных чисел. Вычисления с учетом погрешностей». Лабораторная работа ОКРУГЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ. ВЫЧИСЛЕНИЯ С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ Цель лабораторной работы: закрепление теоретических знаний основ теории погрешностей; овладение практическими навыками выполнения действий над приближенными числами с учетом погрешностей. Необходимые сведения из теории: абсолютная и относительная погрешности приближенных чисел и правила их записи; правила округления; значащие цифры приближенного числа; верные значащие цифры в узком и широком смысле; правила записи приближенных чисел; нахождение абсолютной погрешности по значащим цифрам; оценка погрешностей арифметических действий. Задание 1. Округлите приближенные числа, оставив верные знаки а) в узком смысле; б) в широком смысле (таблица 1). 38 Приложение 4 Данные по вариантам Таблица 1 № варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Данные а) 0,57849  0,0016 б) - 0,475  0,002 а) 11,7434  0,0032 б) 7,255  0,01 а) 0,47139  0,00029 б) 0,857  0,2 а) 3,2586  0,0018 б) 7,945  0,01 а) -11,6758  0,0064 б) 2,3312  0,004 а) 4,38633  0,00031 б) 2,565  0,07 а) 0,37525  0,00211 б) 2,565  0,003 а) 1,75244  0,00223 б) - 0,0065  0,013 а) 0,77385  0,00041 б) 5,735  0,007 а) 5,66325  0,00011 б) 14,13835  0,008 а) 13,6396  0,0036 б) 1,115  0,01 а) 1,97352  0,00034 б) 3,1151  0,01 а) 0,4945  0,0004 б) 1,642  0,2 а) 1,7841  0,0052 б) 23,74  0,02 а) 35,5374  0,0008 б) 0,39  0,007 № варианта 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Данные а) 12,551  0,012 б) 8,1851  0,003 а) -1,42681  0,0002 б) 3,605  0,01 а) 0,53678  0,0004 б) 5,195  0,001 а) 4,535  0,0014 б) 17,36  0,05 а) 1,4542  0,008 б) 93,705  0,002 а) 1,7483  0,0032 б) - 2,951  0,013 а) 0,3557  0,00031 б) 0,65  0,1 а) 0,5757  0,00014 б) 0,095  0,009 а) - 1,86471  0,00003 б) 11,950  0,002 а) 5,6485  0,00017 б) 3,2403  0,001 а) 14,77445  0,00053 б) 31,720  0,006 а) 0,39647  0,0008 б) 0,285  0,003 а) 1,3265  0,0047 б) 4,195  0,01 а) 0, 13256  0,00061 б) 1,3400  0,00011 а) 42,34445  0,00033 б) 1,2485  0,001 Задание 2. Пусть b, c, A – приближенные числа с верными в строгом смысле цифрами (таблица 2). Вычислите S, оценив абсолютную и относительную погрешности. bc sin A S 2 Данные по вариантам Таблица 2 № № b c A b c A варианта варианта 1 2,30 4,134 0,87 16 7,420 12,05 2,254 2 0,785 3,4 1,68 17 3,123 4,003 1,07 3 14,76 9,141 2,001 18 87,006 98,12 2,573 4 3,09 7,111 2,243 19 14,6 25,113 2,17 5 3,02 8,465 1,756 20 0,95 2,241 2,51 6 71,050 42,41 2,306 21 3,260 1,05 1,11 39 Приложение 4 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 2. 3. 4. 11,290 10,23 17,003 1,507 54,690 5,745 28,75 13,029 31,06 6,52 16,012 24,7 3,03 47,32 6,03 16,008 9,20 73,001 2,603 0,92 2,64 2,412 2,06 2,672 0,97 2,38 1,03 22 23 24 25 26 27 28 29 30 7,057 9,60 2,23 11,020 3,652 6,123 96,060 72,263 3,008 5,411 11,063 4,571 15,07 4,01 1,004 101,23 69,70 4,01 2,27 1,81 2,43 2,089 1,054 2,71 2,341 2,723 1,974 Порядок выполнения работы Заполните таблицу 3, определив абсолютную и относительную погрешности исходных данных по известным верным значащим цифрам. Оцените погрешности z1. Затем найдите верные значащие цифры z1 и запишите ответ с одной сомнительной цифрой (таблица 4). Аналогичным образом вычислите z2, z3. Вычислите S, округлив приближенное число до верных значащих цифр в узком смысле. Таблица 3 b c A Δb Δc ΔA δb δc δA Таблица 4 z1=bc Δz1 δz1 z2=sinA Δz2 δz2 z3=z1z2 Δz3 δz3 S=z3 /2 ΔS δS Тема 2. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Задание. Изучить литературу по теме. Для того чтобы успешно выполнить лабораторную работу, подготовиться к устному опросу, нужно изучить учебную литературу по теме. Необходимые сведения из теории приведены в лабораторной работе «Решение нелинейных уравнений» Необходимые сведения из теории. Графический способ отделения корней. Теорема о существовании и единственности корня на отрезке. Аналитический способ отделения корней. Метод половинного деления. Алгоритмы решения уравнения аналитическим способом и методом половинного деления. Метод хорд. Метод касательных. Комбинированный метод хорд и касательных. Правила выбора начальных приближений в методах хорд и касательных. Условия окончания процесса решения уравнения при заданной погрешности. Задание. Подготовится к письменному опросу по теме «Решение нелинейных уравнений с одной переменной». Примерные вопросы приведены в Приложении данного УМК. Методические указания. Для того чтобы ответить на вопросы преподавателя студенты должны изучить лекционный материал, учебную литературу по данной теме. На занятии преподаватель раздает карточки по вариантам, включающие два вопроса: теоретический и практический. Время проведения опроса – 20 минут. Задание. Выполнить задачи 2а, 3а, 4, 5 из лабораторной работы №2 «Методы решения нелинейных уравнений». Задача 2 а). Отделить корни уравнения аналитическим способом вручную (без использования ЭВМ) с шагом 0.5. 40 Приложение 4 Задача 3 а). Уточнить корни уравнения методом половинного деления вручную с точностью до 0.01. Задача 4. Уточнить корни уравнения методом хорд для вариантов с четными номерами, методом касательных - с нечетными: а) вручную с точностью до 0.01; б) используя табличный процессор MS Excel с точностью до 0.000001; в) составив программу на языке программирования с точностью до 0.000001. Задача 5. Составив программу на языке программирования уточнить корни уравнения комбинированным методом хорд и касательных с точностью до 0.000001. Полученные результаты сравнить с ответами заданий 3, 4 и 5. Задание. Подготовиться к письменному опросу по теме «Метод простой итерации решения нелинейных уравнений». Методические указания. Для того чтобы ответить на вопросы преподавателя студенты должны изучить лекционный материал, учебную литературу по данной теме. Необходимые сведения из теории приведены в ЛР. На занятии преподаватель раздает карточки по вариантам, включающие два вопроса: теоретический и практический. Время проведения опроса – 20 минут. Необходимые сведения из теории. Построение итерационной последовательности. Графическая интерпретация метода итераций. Теорема о сходимости итерационной последовательности. Условие окончания итерационного процесса при заданной погрешности. Способы приведения уравнения y=F(x) к итерационному виду: x=(x). Алгоритм решения уравнения на ЭВМ методом итераций. Задание. Подготовиться к тесту. Методические указания. Контрольная работа проводиться в виде теста. Тест включает задания открытого типа и закрытого. Чтобы подготовиться к опросу, нужно повторить необходимые сведения из теории, указанные в лабораторных работах. Тема 3. Численные методы решения систем уравнений. Задание. Выполнить задачу 1 из лабораторной работы «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений». Задача 1. Решить систему уравнений методом Гаусса. Задание. Изучить специальную учебную литературу. Методические указания. Для того чтобы успешно выполнить лабораторную работу, подготовиться к экзамену, нужно изучить учебную литературу по теме. Необходимые сведения. Метод Гаусса. Понятие сжимающего отображения. Теорема Банаха. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Условие окончания итерационного процесса. Приемы преобразования исходной системы к приведенной системе. Отличия метода Зейделя от метода итераций. Решение систем уравнений с помощью инструментальных средств: табличного процессора Ms Excel, математического макета MathCad; среды Turbo Pascal или Delphi. Задание. Выполнить задание 2 из ЛР «Методы решения систем нелинейных уравнений». Задание 2. Решить систему уравнений методом Ньютона с точностью до 0,001. Тема 4. Аппроксимация функций. Задание. Изучить специальную учебную литературу. Методические указания. Для успешного выполнения лабораторной работы, сдачи экзамена, нужно изучить учебную литературу по теме. 41 Приложение 4 Необходимые сведения из теории. Постановка задачи метода наилучшего приближения табличных функций. Задача приближения по методу наименьших квадратов. Алгоритм построения приближающей функции в виде линейной. Алгоритм построения приближающей функции в виде квадратичной. Уклонение, среднеквадратичное уклонение. Постановка задачи метода интерполирования. Параболитическое интерполирование. Интерполяционный многочлен Ньютона. Первый интерполяционный многочлен Ньютона. Второй интерполяционный многочлен Ньютона. Оценка погрешности методов интерполирования. Обратное интерполирование. Экстраполирование. Уплотнение таблиц функций (субтабулирование). Задание. Выполнить задание 2 из ЛР «Приближение табличных функций методом наименьших квадратов». Задание 2. Для данных, заданных таблично, установить квадратичную зависимость y=ax2+bx+c. Задача выполняется в среде MS Excel и математическом пакете MathCad. Задание. Подготовиться к письменному опросу. Методические указания. Для того чтобы успешно ответить на вопросы студентам нужно изучить лекционный материал, учебную литературу по данной теме. Примерные вопросы приведены в Приложении данного УМК. Задание. Выполнить задания 1, 4, 5 из ЛР «Интерполирование функций». Задание 1. По данным, заданным в таблице, составить интерполяционный многочлен Лагранжа (инструментальные программные средства не использовать). Найти значение функции в точке М. Построить график функции и отметить на нем узловые точки (xi,yi). Задание 4. Используя первую или вторую интерполяционную формулу Ньютона уплотнить заданную таблицу: а) применяя табличный процессор MS Excel; б) составив программу на языке программирования. Исходные данные представлены в таблицах. Задание 5. Используя любую среду программирования создать шаблон решения заданий 1-4. Необходимо предусмотреть выбор метода решения. Тема 5. Численное интегрирование и дифференцирование. Задание. Изучить специальную литературу. Методические указания. Для успешного выполнения лабораторной работы, сдачи экзамена, письменного опроса нужно изучить учебную литературу по теме. Необходимые сведения из теории. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла Квадратурная формула Ньютона-Котеса. Формула трапеций. Формула Симпсона (парабол). Формулы прямоугольников: левых, правых, средних. Строгая оценка погрешностей квадратурных формул. Учет погрешностей методом двойного пересчета (формула Рунге). Вычисление интегралов по формуле Гаусса. Задание. Подготовиться к письменным опросам. Методические указания. В ЛР «Численное дифференцирование» приведены необходимые сведения из теории. В соответствии с этим материалом составляются вопросы. Необходимые сведения из теории. Постановка задачи численного дифференцирования. Вывод интерполяционного многочлена Лагранжа для равноотстающих узлов. Нахождение производной на основе интерполяционного многочлена Лагранжа. Нахождение производной на основе интерполяционных многочленов Ньютона. Задание. Выполнить задание 2 из лабораторной работы «Численное дифференцирование». Задача 2. Найти значение первой и второй производной, используя интерполяционные многочлены Ньютона. Задача выполняется в среде MS Excel. 42 Приложение 4 Задание. Выполнить задачи 2, 3 из лабораторной работы «Приближенное вычисление определенных интегралов». Задача 2. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=4 и n=8, составив программу на языке программирования. Оценить погрешность результата J8 методом двойного пересчета. Задача 3. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников (левых, правых, средних) при e=0,0001: а) используя табличный процессор MS Excel; б) составив программу на языке программирования. Тема 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Задание. Изучить специальную литературу. Методические указания. Для успешного выполнения лабораторной работы, сдачи экзамена, нужно изучить учебную литературу по теме. Необходимые сведения из теории. Общее и частное решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. Интегральные кривые. Задача Коши. Теорема Пикара. Метод Эйлера-Коши, его геометрический смысл. Оценка погрешности численного решения методом двойного пересчета. Задание. Выполнить задания 2б, 3а из лабораторной работы «Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений». Задача 2б. Решить дифференциальное уравнение методом Эйлера-Коши на [a,b] с шагом h и шагом 2h, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 составив программу на языке программирования. Задача 3а. Решить дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутта на [a,b] с шагом h и шагом 2h используя табличный процессор MS Excel. Тема 7. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Задание. Изучить специальную литературу. Методические указания. Для успешного выполнения лабораторной работы, сдачи экзамена, нужно изучить учебную литературу по теме. Задание. Выполнить домашнее задание. Задание. Решить волновое уравнение u0, x  sin   x , u0, x  0 , 0  x  1 , N=60. Тема 8. Интегральные уравнения Задание. Изучить специальную литературу. Методические указания. Для успешного выполнения лабораторной работы, сдачи экзамена, нужно изучить учебную литературу по теме. Задание. Выполнить домашнее задание. Задание. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение. 1 1 y ( x)   e x t y (t )dt  e x . 20 43 Приложение 5 Приложение 5. КОНТРОЛИРУЮЩИЕ И ОЦЕНОЧНОДИАГНОСТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ 5.1. ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ Семестр 5 федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И. Менделеева» Физико-математический факультет ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА Ф.И.О. _______________________________________________________________________ Наименование образовательной программы, профиля: Направление 050100.62 – «Педагогическое образование», профиль подготовки «Информатика» Год обучения, группа: ________ Семестр: 5 Наименование дисциплины: Численные методы Количество часов на дисциплину: 216 Количество аудиторных часов на дисциплину: 80 Ф.И.О. преподавателя: к.п.н., доцент Зайцева Ольга Сергеевна Утверждено на заседании кафедры _________ протокол № ___ Аудиторные занятия Лекции Максимальное количество баллов Модуль (аттестация) Ответы на вопросы, участие в дискуссиях 2 1 Ответы на вопросы, участие в дискуссиях Ответы на вопросы, участие в дискуссиях 1 2 1 3 № Тема лекционного занятия Формы работы 1 Точность вычислительного эксперимента. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Численные методы решения систем уравнений. Аппроксимация функций. Численное интегрирование и дифференцирование. Численные методы решения дифференциальных уравнений. 2 3 № Тема практического занятия 1 2 3 Точность вычислительного эксперимента. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Численные методы решения систем уравнений. Аппроксимация функций. Численное интегрирование и дифференцирование. Практические занятия Максимальное Формы работы количество баллов Модуль (аттестация) Решение задач у доски 3 1 Решение задач у доски 4 2 Решение задач у доски 4 3 44 Отметка о выполнении Отметка о выполнении Приложение 5 Численные методы решения дифференциальных уравнений. № Тема лабораторного занятия 1 Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. 2 Численные методы решения систем уравнений. 3 Аппроксимация функций. 4 Численное интегрирование и дифференцирование 5 Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. № Тема 1 Точность вычислительного эксперимента. 2 Точность вычислительного Лабораторные занятия Максимальное Формы работы количество баллов Выполнение лабораторной работы «Метод простой итерации решения нелинейных уравнений» Выполнение лабораторной работы «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений» Выполнение информационного проекта «Приближение табличных функций методом наименьших квадратов». Выполнение лабораторной работы «Численное дифференцировани е» Выполнение ЛР проекта «Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений» 5 1 5 2 5 2 5 3 5 3 Самостоятельная работа Максимальное Форма работы количество баллов Выполнение домашней работы «Округление приближенных чисел. Вычисления с учетом погрешностей» Устный опрос 45 Модуль (аттестация) Модуль (аттестация) 5 1 2 1 Отметка о выполнении Отметка о выполнении Приложение 5 3 эксперимента. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. 4 Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. 5 Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. 6 Аппроксимация функций 7 Численное интегрирование и дифференцирование 8 Численное интегрирование и дифференцирование Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. 10 Интегральные уравнения 9 Письменный опрос по теме «Решение нелинейных уравнений с одной переменной» Выполнение домашнего задания «Методы решения нелинейных уравнений» ЛР «Методы решения систем нелинейных уравнений». Тест по теме «Метод наименьших квадратов. Интерполирование» Письменный опрос по теме «Численное интегрирование» Выполнение ЛР «Приближенное вычисление определенных интегралов» Выполнение домашнего задания 4 1 4 1 5 2 5 2 5 3 6 3 2 3 Выполнение домашнего задания 2 3 5.2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Письменный опрос по теме «Решение нелинейных уравнений с одной переменной» На занятии преподаватель раздает карточки по вариантам, включающие два вопроса: теоретический и практический. Время проведения опроса – 20 минут. 46 Приложение 5 Вариант 1 1. Вывод формулы метода касательных при x0=a. 2. Существует ли на [0; 1] корень уравнения y=1/(3x2-1)? Вариант 2 1. Вывод формулы метода касательных при x0=b. 2. Какой из корней уравнения f(x)=0 будет найден в результате применения алгоритма деления отрезка пополам на [0; 8], e<1 (см. рис.)? 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 Вариант 3 Вариант 4 1. Вывод формулы метода хорд при x0=a. 1. Постановка задачи численного нахождения 2. Является ли значение 2 корнем уравнения корней уравнения. Теорема о 3 2 существовании и единственности корня. x +x -3=0, если =1? 2. Найти графически все корни уравнения cos2x-3x2-1=0 Вариант 5 Вариант 6 1. Графический способ отделения корней. 1. Аналитический способ отделения корней. 2. Решая уравнение x4+cos(x)-2=0 на [0; 2] 2. Имеет ли уравнение 2x-cos(x)=0 на [0; /2] методом хорд, за начальное приближение один корень? нужно брать 0 или 2? Тест по теме «Метод наименьших квадратов. Интерполирование» 1. Дана табличная зависимость: x y 0,5 2,14 0,8 2,24 0,9 2,27 1,2 2,36 Приближающая функция в виде линейной равна: g=_, _ _ _ x + _,_ _ _. 2. Для табличной зависимости y=f(x) установлены эмпирические функции: g1(x)= -x+1,8 и g2(x)= -0,9x+2. x y 0 2 0,5 1,5 1 1 1,5 0,5 Для функции g1(x) среднеквадратичное уклонение 1= … . Для функции g2(x) среднеквадратичное уклонение 2= … . Наилучшей эмпирической функцией является: а) g1(x) б) g2(x) 47 Приложение 5 3. Вычислить конечные разности. i xi 0 1 1 2 2 3 3 4  yi yi 1 3 8 18 2 yi 3 yi 4. Приведена формула Лагранжа. Вставьте пропущенную букву. n ( x  x0 )...( x  xi 1 )( x  xi 1 )...( x  x n ) Ln ( x)   __ i ( xi  x0 )...( xi  xi 1 )( xi  xi 1 )...( xi  x n ) i 0 5. Для интерполирования в конце отрезка целесообразно применять формулу Ньютона … . a) первую b) вторую 6. Известна функциональная зависимость: x y=f(x) 1 1,25 1,2 1,74 1,4 2,31 1,6 2,96 Используя первую интерполяционную формулу Ньютона, вычислили значение f(1,15)  _, _ _ . 7. Известна функциональная зависимость: x 0,5 0,6 0,7 0,8 y=f(x) 0,479 0,565 0,644 0,717 Используя вторую интерполяционную формулу Ньютона, вычислили значение первой производной f’(1,15)  _, _ _ _. 8. При заданном значении n шаг интерполирования вычисляется по формуле: а) h=yi+1-yi б) h=(b-a)/n в) h=(yn-1-y0)/n г) h=(xn-xn)/n Письменный опрос по теме «Численное интегрирование» Вариант 1 1. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла. 2. Напишите, какой метод интегрирования демонстрирует приведенный рисунок. 48 Приложение 5 Вариант 2 1. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. 2. Напишите, какой метод интегрирования демонстрирует приведенный рисунок. Вариант 3 1. Формула трапеций (постановка задачи, формула). 2. Какой из приведенных методов является наиболее точным: средних прямоугольников, парабол, трапеций? Вариант 4 1. Формула Симпсона (парабол) (постановка задачи, формула). 2. Известны нижний и верхний пределы интегрирования: 0,1 и 0,8, а также количество отрезков разбиения – 7. Определите расстояние между xi. Вариант 5 1. Формула левых прямоугольников: постановка задачи, вывод формулы. 2. Известны значения шага интегрирования: h=0,25 и h= 0,3. При каком h ответ будет наиболее точным? 5.3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ДЛЯ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Вариант 1 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, используя табличный процессор Excel. 0,78 x1  0,02 x2  0,12 x3  0,56  0,12 x1  0,44 x2  0,72 x3  1,01 0,02 x  0,86 x  0,04 x  0,77 1 2 3  2. Используя интерполяционную формулу Ньютона вычислить значения функции, заданной таблично, в точке x=1,4161. При решении задачи использовать табличный процессор Excel. x 1,415 1,420 1,425 1,430 y 0,888551 0,889599 0,890637 0,891667 3. Вычислить интеграл по формуле трапеций при n=9 1,1  ( x  1) cos x dx 2 0,2 Вариант 2 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, используя табличный процессор Excel. 10 x1  7 x2  7   3x1  2 x2  6 x3  4 5 x  2 x  5 x  6 2 3  1 49 Приложение 5 2. Используя интерполяционную формулу Лагранжа вычислить значения функции, заданной таблично, в точке x=1,15. При решении задачи использовать табличный процессор Excel. x 1,00 1,20 y 2,0000 2,0792 3. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=10 1,50 2,1760 2,00 2,3010 1  ( x  1,9) sin( x / 3)dx 2 Вариант 3 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, используя табличный процессор Excel. 3,21x1  4,25 x2  2,13x3  5,06  7,09 x1  1,17 x2  2,23x3  4,75 0,43x  1,4 x  0,62 x  1,05 1 2 3  2. Используя интерполяционную формулу Ньютона вычислить значения функции, заданной таблично, в точке x=1,410. При решении задачи использовать табличный процессор Excel. x 1,415 1,420 1,425 1,430 y 0,888551 0,889599 0,890637 0,891667 3. Вычислить интеграл по формуле трапеций при n=11 2,1 x (2 x  0,6) cos dx 2 1  Вариант 4 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, используя табличный процессор Excel. 3x1  0,2 x2  1  0,1x1  0,4 x2  x3  1 0,5 x  2 x  0,9 x  1 1 2 3  2. Уплотнить заданную функцию по схеме Ньютона на [1,15; 1,25] с шагом h=0,001. При решении задачи использовать табличный процессор Excel. x 1,1 1,6 2,1 2,6 y 0,835 1,215 1,595 1,974 3. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=12 1, 2  0,37e sin x dx 0 5.4. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Теоретическая часть Погрешность. Виды погрешностей. Правила записи приближенных чисел. Методы отделения корней: графический, аналитический. Метод половинного деления Методы уточнения корней: хорд, касательных, комбинированный. Решения уравнения методом простой итераций. Оценка погрешности. Метод итераций решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Зейделя. Метод наименьших квадратов. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции. 7. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 8. Конечные разности. Интерполяционные многочлены Ньютона. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 50 Приложение 5 9. Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена Лагранжа. 10. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Котеса. Формула трапеций. 11. Вычисление интегралов. Формула Ньютона-Котеса. Формула Симпсона (парабол). 12. Формулы прямоугольников. Учет погрешностей квадратурных формул методом двойного пересчета. 13. Вычисление интегралов по формуле Гаусса. 14. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Пикара. 15. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, Эйлера-Коши. Практическая часть 1. Отделить корни уравнения аналитическим способом используя табличный процессор MS Excel. 2. Отделить корни уравнения аналитическим способом, составив программу на языке программирования. 3. Уточнить корни уравнения методом половинного деления используя табличный процессор MS Excel. 4. Уточнить корни уравнения методом половинного деления, составив программу на языке программирования ТурбоПаскаль. 5. Уточнить корни уравнения методом хорд (по выбору студента или в MS Excel, или в среде TurboPascal, или в среде Delphi). 6. Уточнить корни уравнения методом касательных (по выбору студента или в MS Excel, или в среде TurboPascal, или в среде Delphi). 7. Отделить графически один из корней уравнения и уточнить методом простой итерации (по выбору студента или в MS Excel, или в среде TurboPascal, или в среде Delphi). 8. Найти значение функции в точке, используя интерполяционный многочлен Лагранжа (в среде MS Excel). 9. Найти значение функции в точке, используя интерполяционный многочлен Ньютона (в среде MS Excel). 10. Уплотнить таблицу на заданном отрезке, используя первый интерполяционный многочлен Ньютона (в среде MS Excel). 11. Для данных, заданных в таблице, установить линейную и квадратичную зависимость: y=ax+b, y=ax2+bx+c (в среде MS Excel). 12. Вычислить первую производную функции, заданной таблично, используя интерполяционный многочлен Лагранжа. 13. Вычислить первую производную функции, заданной таблично, используя интерполяционный многочлен Ньютона. 14. Вычислить интеграл по формуле трапеций, составив программу на языке программирования Паскаль. Оценить погрешность по формуле строгой оценки погрешностей. 15. Вычислить интеграл по формуле трапеций (в среде MS Excel). Оценить погрешность по формуле строгой оценки погрешностей. 16. Вычислить интеграл по формуле парабол (в среде MS Excel). 17. Вычислить интеграл по формулам левых, правых, средних прямоугольников (в среде TurboPascal или в среде Delphi). Оценить погрешность результата методом двойного пересчета. 18. Вычислить интеграл по формулам левых, правых, средних прямоугольников (в среде MS Excel). Оценить погрешность результата методом двойного пересчета. 19. Решить дифференциальное уравнение методом Эйлера на [a,b] (по выбору студента или в MS Excel, или в среде TurboPascal, или в среде Delphi). 51 Приложение 5 5.5. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Контрольная работа состоит из двух практических заданий и выполняется по вариантам. Контрольная работа представляется в печатном и электронном (на диске) виде, оформленная в соответствии с нижеприведенными требованиями. Основные требования к оформлению и выполнению контрольной работы 1. Решения задач в программных продуктах сохраняются на диске под номером соответствующего задания (например, решение задание 1 сохраняется в файле с именем Задание1.xls). 2. Контрольная работа оформляется в текстовом редакторе Microsoft Word. 3. Параметры страницы документа:  Ориентация книжная;  Верхнее и нижнее поля: 1,5 см;  Левое поле: 2,0 см;  Правое поля: 1,5 см. 4. Параметры форматирования основного текста  Шрифт: Times New Roman;  Размер шрифта: 14 пт;  Выравнивание абзаца: по ширине;  Первая строка абзаца: отступ 1,25 см;  Междустрочный интервал: полуторный. 5. В верхнем колонтитуле документа должен содержаться текст: Контрольная работа, в нижнем – Фамилия, Имя, Отчество и номер группы студента. Колонтитулы титульного листа должны быть пустые. 6. Содержание работы должно находиться на второй странице работы. 7. Страницы документа должны быть пронумерованы, кроме титульного листа. 8. Образец оформления титульного листа смотри в приложении. 9. Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи. Указываются формулы, необходимые для решения задачи. Также приводится ответ решения и скриншоты выполнения приложения. После сдачи контрольной работы происходит защита в виде ответов на вопросы по материалу контрольной. Задание 1. 1) Вычислить интеграл по указанной формуле с тремя десятичными знаками, составив программу на любом из языков программирования. 2) Вычислить интеграл по формуле Гаусса при n=4, составив программу на любом из языков программирования 3) Проанализировать полученные результаты по критериям: а) какой метод (методы) является более точным, менее точным; б) какой метод (методы) является более трудоемким, менее трудоемким. 52 Приложение 5 Интегралы по вариантам № варианта 1 Интеграл 3,2 2 1,6 0,66 3 0,32 1,6 4 0,8 3,1 5 2,3 2,8 6 1,2 1,35 7 0,15 1,2 x  x 2  lg dx 2  2    x 2  2,3 2x 2  1,6 cos( x) 8 2,6 9 1,4 0,72  10 0,6 2,1 11 1,3 1, 2 12 0, 4 2,1    левых, правых прямоугольников dx средних прямоугольников dx   парабол dx x2 1 0,8 14 трапеций x x    1 sin dx 2 2   0,8 1,0 средних прямоугольников x2  4  13 левых, правых прямоугольников dx  1,3 1,6 парабол dx lg( x 2  1) dx x 1   Формула трапеций 1,5 x 2  0,7 трапеций  x  1 tg 2 xdx парабол dx 3x 2  0,4 левых, правых прямоугольников tg ( x 2 ) dx x 1 sin( x 2  1) 2 x средних прямоугольников dx трапеций dx 2x 2  0,3  ( x  1) cos x парабол 2 dx 0,2 53 Приложение 5 15 2,0 16 1,2 1,2 17 0,8 2,5 18 1,3 0,63   0,5 x 2  1,5 0,2 x 2  1 парабол x  1 lg( x  3)dx 19 0,15 1,4 20 0,6 2,8  трапеций dx  1,2 средних прямоугольников sin( x 2  0,4) dx x2   левых, правых прямоугольников dx левых, правых прямоугольников dx 1,2 x 2  0,5 средних прямоугольников lg( 1  x 2 ) dx 2x 1 Задание 2. 1) С помощью интерполяционной формулы Ньютона найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично. Задание выполняется в среде MS Excel. 2) С помощью указанной интерполяционной формулы найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично. Задание выполняется в среде MS Excel. 3) Проанализировать полученные результаты: № варианта (n) 1, 3, 5 7, 9, 11 13, 15 17, 19 № варианта (n) 2, 4, 6 8, 10, 12 14, 16 18, 20 Таблица x Формула Таблица 1 Таблица 1 Таблица 1 Таблица 1 x=2,4+0,05n x=3,12+0,03n x=4,5-0,06n x=4,04-0,04n Гаусса Стирлинга Бесселя Гаусса Таблица x Формула Таблица 2 Таблица 2 Таблица 2 Таблица 2 x=1,6+0,08n x=3,27+0,11n x=6,3-0,12n x=5,85-0,09n Гаусса Стирлинга Бесселя Бесселя 54 Приложение 5 Таблица 1 x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 f(x) 3,526 3,782 3,945 4,043 4,104 4,155 x 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 f(x) 4,222 4,331 4,507 4,775 5,159 5,683 Таблица 2 x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 f(x) 10,517 10,193 9,807 9,387 8,977 8,637 x 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 55 f(x) 8,442 8,482 8,862 9,701 11,132 13,302

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Products

Support

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib