Document 849353

УДК 519.21
Кирилюк В.С., д.ф.-м.н., в.н.с.
ИК НАНУ (Киев, Украина)
ПОЛИЭДРАЛЬНЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ МЕРЫ РИСКА И РОБАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ В
ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ1
В условиях риска и неопределенности решения, как правило, принимаются при сравнении
потенциальных выигрышей и потерь (рисков) соответствующих альтернатив. Если потенциальные
выигрыши обычно описываются средней прибыльностью, ожидаемой полезностью и прочими
прозрачными критериями, то адекватный выбор меры для оценки рисков остается нетривиальной
проблемой. Ее неудачный выбор может привести к противоречивым и неэффективным решениям.
Для оценивания риска предлагается использовать класс полиэдральных когерентных мер риска
(ПКМР), который вводился в [1] для дискретно распределенных случайных величин. Он обладает
рядом несомненных достоинств. С одной стороны, это подмножество из класса когерентных мер
риска [2], обладающих теоретически привлекательными свойствами. С другой стороны, его
применение позволяет свести задачи оптимизации портфеля к проблемам линейного
программирования (ПЛП) [1]. Это относится как к задаче минимизации меры риска портфеля при его
гарантированной средней доходности, так и задаче максимизации средней доходности при
ограничениях на меру риска. Это обстоятельство позволяет решать подобные проблемы
стандартными средствами и при очень значительных размерностях задач.
Класс ПКМР содержит ряд известных мер риска. Одной из наиболее известных таких мер является
Conditional Value-at-Risk (CVaR) [3], которая в последние годы рассматривается как удачная замена
для Value-at-Risk (VaR). VaR достаточно долго и широко использовалась в области финансов и
страхования, однако уже десяток лет подвергается серьезной критике в качестве меры риска. CVaR
же лишена недостатков, свойственных VaR.
Класс ПКМР не только содержит известные меры риска, но допускает над ними ряд операций, не
выводящих из класса. Следовательно, он является достаточно широким.
Развитый для ПКМР математический аппарат [4] позволяет конструировать подобные меры риска
не только в условиях риска, когда известны распределения соответствующих случайных величин, но
в условиях частичной неопределенности [5], т.е. при неполной информации о таких распределениях.
Например, о вероятностях сценариев будущих событий известно лишь то, что они принадлежат
некоторому множеству. Сюда естественным образом вписывается случай неточных вероятностей,
когда для них известны только нижние и верхние границы. В таких случаях мера риска строится с
учетом исходной меры и соответствующего множества неопределенности.
Постановки задач оптимизации портфеля в условиях частичной неопределенности
соответствующим образом модифицируются. Они также могут быть сведены к ПЛП, хотя и
несколько больших размерностей по сравнению с условиями риска. Подобное обстоятельство, как и
ранее, гарантирует их эффективное решение.
Мера риска тесно связана с понятием робастного решения. Его смысл заключается в том, что не
стоит искать оптимальные решения для каждого из возможных сценариев развития будущих
событий. Важно найти решение, которое является хорошим по сравнению с альтернативами на
широком диапазоне вероятных сценариев [6]. Понятно, что нет смысла сначала искать эффективное
решение, которое затем тестировать на устойчивость (робастность). Нужно искать эффективные
решения среди робастных. Для этого необходима некая мера, описывающая свойство робастности
решений на всем множестве вероятных сценариев.
В случае, когда решения принимаются в условиях риска и неопределенности, в этом качестве
может адекватно выступать мера риска. Закладывая в выбранную меру риска все потенциальные
неопределенности и решая оптимизационные задачи с участием такой меры, мы можем
гарантировать робастность получаемых оптимальных решений относительно исходных
неопределенностей.
Для разнообразных финансовых приложений основным индикатором риска является
потенциальный ущерб, при этом доходность (убыточность) финансового портфеля линейно зависит
от доходности его компонент. Для таких проблем применение предлагаемого математического
аппарата представляется вполне адекватным.
Работа выполнена при частичной поддержке Государственного фонда фундаментальных
исследований Украины в рамках совместного российско-украинского проекта Ф40.1/016 (2011-2012)
1
В экономических приложениях, когда в качестве критериев служат некоторые функции
полезности (эффективности), меры риска следует строить по таким функциям. Как показано в [7], в
случае, когда функция полезности представляется в кусочно-линейном виде, а мерой риска является
ПКМР, соответствующие задачи оптимизации портфеля могут быть сведены к ПЛП.
ЛИТЕРАТУРА
[1]. Кирилюк B.C. О классе полиэдральных когерентных мер риска // Кибернетика и системный
анализ. – 2004. – № 4. – С. 155–167.
[2]. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath. D. Coherent Measures of Risk // Mathematical Finance. –
1999. – 9/3. – P. 203–228.
[3] Rockafellar R.T., Uryasev S., Optimization of Conditional Value-at-Risk // Journal of Risk. – 2000. –
2(3). – P. 21–41.
[4] Кирилюк В.С. Полиэдральные когерентные меры риска и оптимизация инвестиционного
портфеля // Кибернетика и системный анализ. – 2008. – № 2. – С. 120–133.
[5]. Knight F.H. Risk, Uncertainty and Profit. – Houghton Miffin: Boston, 1921. – 381 p.
[6] Marti K., Ermoliev Yu., Makowski M. Coping with Uncertainty. Robust Solutions. – Berlin: Springer,
2010. – 277 p.
[7]. Кирилюк В.С. Некоторые робастные решения в условиях риска и неопределенности // Теорія
оптимальних рішень. – 9/2010. – C. 54–61.