Стоимостные меры финансового риска: свойства и вычисления.

Стоимостные меры финансового риска: свойства и вычисления.
1. Меры риска и их свойства
Измерение риска и оптимизация риска – одна из важнейших задач для исследователей
финансового рынка. В данной работе речь пойдет о рыночном риске – риске потерь из-за
изменения цены активов. Мы рассмотрим различные меры риска и остановимся подробно
на двух из них – Value-at-Risk и Expected Shortfall.
По определению, мера риска- это функция случайной величины потерь за определенной
период. На практике функция распределения потерь не известна, поэтому мера риска
оценивается исходя из некоторых предположений, как правило,с использованием
исторических данных. Основная цель измерения рисков в финансовой индустрии это
понимание резервов, которые банк или другой игрок должен иметь, чтобы быть
застрахованным от рисков. Это накладывает на меру риска требование когерентности. По
определению, мера риска называется когерентной, если она удовлетворяет четырем
требованиям: монотонность, субаддитивность, положительная однородность и
трансляционная инвариантность. Наиболее сложным из этих свойств является
субаддитивность. Мера называется субаддитивной, если ее значение для портфеля
активов не превосходит суммы значений частей портфеля. Это требование отражает
диверсификацию рисков – инвестиции в различные активы снижает риски по сравнению с
инвестицией той же суммы в один актив.
За историю финансовых рынков меры риска значительно усложнялись. Одной из
наиболее простых мер является дисперсия потерь. Мера, наиболее часто используемая в
наши дни – Value-at-Risk (VaR). Она рассчитывается в зависимости от величины
доверительного интервала p равна (1-p)-квантили распределения потерь. Ее смысл в том,
что с вероятностью p потери не превысят значение VaR(p). Легко доказать, что VaR
удовлетворяет свойствам монотонности, положительная однородности и трансляционная
инвариантности. Однако, можно показать, что она не является субаддитивой. Например,
рассмотрев два независимых кредита, у которых вероятность дефолта 4%. Для каждого из
них VaR(95%) равна нулю. Однако, вероятность что хотя бы один из них разорится
больше 5%, поэтому для портфеля, составленного из двух кредитов VaR(95%)>0.
Несмотря на это, для большинства реальных портфелей VaR удовлетворяет свойству
суббатитивности, что объясняет ее повсеместное использование.
Мера риска, которую рассматривают как альтернативу VaR – Expected Shortfall (ES). По
определению, ES( p) это математическое ожидание потерь при условии, что величина
потерь больше VaR(p). Expected Shortfall интерпретируется как ожидаемые потери в (1-p)
процентах худших случаев. ES всегда превосходит VaR и позволяет учитывать «хвосты»
распределения. Кроме того, как доказано в [1], ES является когерентной мерой риска. К
недостаткам ES сложность вычисления и тестирования.
2. Вычисление Value-at-Risk и Expected Shortfall.
Мы рассмотрим и сравним различные способы вычисления VaR и ES. Как мы увидим в
дальнейшем, большинство методов вычисления ES предполагают вычисление VaR. Таким
образом, их можно рассматривать совместно. Zikovic и Randall в статье [2] провели
сравнение различных методов. Некоторые из них, а так же вычисление VaR и ES с
помощью порядковых статистик и некоторые его модификации, будут рассмотрены в
данной работе.
Мы разделили методы вычисления на группы в зависимости от того, какие
предположения используются при вычислении:
Для простоты будет считать, что меры риска вычисляются для дневных потерь. Будем
обозначать потери которые наблюдались за i дней до дня вычисления X i .
1. Параметрические методы.
При вычислении VaR и ES мы делаем предположение о виде распределения потерь.
Наиболее часто используется нормальное распределение и распределение Стьюдента. Для
вычисления VaR и ES необходимо оценить параметры распределения исходя из
исторических данных (например, методом максимального правдоподобия), затем меры
риска вычисляются аналитически.
Таким образом, параметрические методы просты и имеют незначительную ошибку
вычисления. Кроме того, величина VaR и ES, вычисленная таким образом, мало меняется
с течением времени. Однако предположение о том, что распределение потерь является
нормальным неверно во многих случая, что ограничивает область применения метода.
2. Непараметрические методы.
Простейший непараметрический метод предполагает, что дневные потери - независимые и
одинаково распределенные случайные величины. Поэтому для оценки VaR и ES может
использоваться вектор прибылей и убытков за некоторый период времени в прошлом.
Обозначим длину этого вектора N. Тогда VaR(p) можно оценить порядковой
статистикой номера [N(1-p)], где скобки обозначают целую часть.


VaR  X n ([ N (1 p )])  X k |   I ( X i  X k )  [ N (1  p)] 
 i

Где X i - потери в день i, X n (i ) -порядковая статистика вектора X i , I –индикаторная
функция.
ES вычисляется как среднее арифметическое наибольших [N(1-p)] потерь:
ES 
1
 X n  i X i I ( X i  VaR( p))
[ N (1  p)] i  N (1 p ) (i )
Число используемых исторических значений это важный параметр метода. При больших
N предположение о том, что значения потерь одинаково распределены не соответствует
действительности. При малых N велика ошибка, возникающая в силу дискретности ES и
VaR. В практических применениях используется N=520 или N=260.
В статье [5] описан метод, учитывающий недавние исторические данные больше чем
отдаленные, при этом используя большое число наблюдений. Для этого мы применяем
экспоненциальное взвешивание – при вычислении VaR и ES присваиваем недавним
потерям большую вероятность, чем давним, при этом с удалением от сегодняшнего дня
вероятность убывает экспоненциально.


VaR  arg min   (1   )i 1 I ( X i  X k )  N (1  p) 
Xk
 i

ES   (1   )i 1 X i I ( X i  VaR( p))
i
В данной работе предложено другое обобщение. При этом используется предположение,
что величина потерь зависит от некой переменной Y, причем значение этой переменной в
день, для которого мы вычисляем VaR или ES, известно и равно Y0 . Тогда при
вычислении мер риска целесообразно учитывать те дни, в которые значение Y близко к
значению в день вычисления. Для этого мы присваиваем историческим данным
вероятность, пропорциональную значении. керн-функции от разности Y0  Yi . Кернфункция (Kernel function) называется функция распределения любой случайной величины
с нулевым математическим ожиданием и нулевой дисперсией.


VaR  arg min   K (Y0  YN )I ( X i  X k )  N (1  p) 
Xk
 i

ES   K (Y0  YN ) X i I ( X i  VaR( p))
i
Метод, основанный на взвешенных порядковых статистиках может использоваться, в
частности для расчета VaR и ES во временных рядах с автокорреляцией. При этом
Yi  X i 1 .
3. Эмпирические результаты.
Для сравнения методов вычисления VaR мы используем Kupieс test, описаннsq, например
в [4]. По определении VaR потери должны превышать VaR в (1-p)% случаев. Для
сравнения различных методов мы рассчитаем VaR для 1040 последовательных дней
(каждый раз вектор потерь за предыдущие 520 дней). Предпочтение отдается методам, для
которых доля превышений близка к 1-p.
Для сравнения моделей вычисления ES используем модифицированную функцию BlancoIhle, рассмотренную, например, в [2].
( X  ES i )
S BI   i
I ( X i  VaRi )
ES i
i
По определению ES эта величина должна стремиться к нулю. Поэтому наиболее точный
способ вычисления ES дает наименьшее по абсолютной величине значение функции
Blanco-Ihle.
Мы применили описанные методы к индексу S&P 500 за 2006-2012 годы (S&P 500 это
фондовый индекс, в корзину которого включено 500 избранных акционерных
компаний США,). В докладе результаты вычислений будут представлены в виде таблиц и
графиков. При этом только экспоненциально взвешенный и взвешенный с помощью кернфункций методы демонстрируют значения статистик наиболее близких к теоретическим.
Но метод керн-функций дает более постоянное значение, что делает его привлекательным
для вычисления необходимых резервов.
Таким образом, мы рассмотрели 4 метода вычисления VaR и ES и определили, какие из
них дают лучшие результаты при измерении риска для портфеля, состоящего из акций.
Список литературы
1. J. Danielsson, B. N. Jorgensen, Gennady Samorodnitsky, M. Sarma, C. G. de Vries (2005)
Subadditivity Re–Examined: the Case for Value–at–Risk
http://legacy.orie.cornell.edu/gennady/techreports/VaRsubadd.pdf
2. Tasche D. , Acerbi C. (2003) ”Expected Shortfall: A Natural Coherent Alternative to Value at
Risk.” http://www.bis.org/bcbs/ca/acertasc.pdf
3. Žiković Saša,Randall K. “FilerHybrid Historical Simulation VaR and ES:Performance in
Developed and Emerging Markets”, CESIFO WORKING PAPER NO. 2820
4. Boudoukh, J.; Richardson, M., Whitelaw, R. (1998). "The Best of Both Worlds". Risk 11: 64–
67
5. Olli Nieppola (2009) “Backtesting Value-at-Risk Models”, Master’s Thesis in Economics,
http://epub.lib.aalto.fi/fi/ethesis/pdf/12049/hse_ethesis_12049.pdf