Задания к контрольной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЭКОНОМЕТРИКА
И
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Методические указания и контрольные задания для студентов
экономических специальностей заочной формы обучения
Витебск
2012
УДК 658.012
Эконометрика и экономико-математические методы и модели: методические
указания и контрольные задания для студентов экономических специальностей
заочной формы обучения.
Витебск: Министерство образования Республики Беларусь, УО «ВГТУ», 2012.
Составители: асс. Бизюк А.Н.,
асс. Мандрик О.Г.
Методические указания составлены в соответствии с типовой
программой курса «Эконометрика и экономико-математические методы и
модели». Данные указания содержат задания по выполнению контрольной
работы студентами экономических специальностей заочной формы обучения.
Подробно рассмотрены типовые примеры по каждому заданию. Приводится
необходимый теоретический материал.
Могут быть использованы всеми категориями студентов, магистрантов,
аспирантов, преподавателей и сотрудников.
Одобрено кафедрой информатики УО «ВГТУ» 2 сентября 2011 г., протокол № 1.
Рецензент: к.т.н., доцент Казаков В.Е.
Редактор: к.т.н., доцент Терентьев В.П.
Рекомендовано к опубликованию редакционно-издательским советом
УО «ВГТУ»
«
2011 г.,
»
протокол №
Ответственный за выпуск: Соколов И.В.
Учреждение образования
университет»
«Витебский
Подписано к печати
Печать ризографическая.
государственный
Формат
Тираж
технологический
Уч.-изд. лист.
экз. Заказ №
Отпечатано
на
ризографе
учреждения
государственный технологический университет".
Лицензия 02330/0494384 от 16 марта 2009 г.
210035, Витебск, Московский пр., 72.
2
образования
Цена
"Витебский
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………….
4
1 СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ……
5
1.1 Назначение и область применения………………………………………...
5
1.2 Сетевая модель и ее основные элементы………………………………….
5
1.3 Правила построения сетевых графиков……………………………………
7
1.4 Временные параметры сетевого графика и методика их расчета………..
9
1.5 Методика расчета временных параметров событий и работ…………….. 10
1.6 Пример построения сетевого графика (пример выполнения задания №
1)……………………………………………………………………………... 12
2 ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ.
КОРРЕЛЯЦИОННОРЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ……………………............................................ 18
2.1 Роль
корреляционно-регрессионного
анализа
в
обработке
экономических данных……………………………………………………... 18
2.2 Корреляционно-регрессионный анализ: понятие, его возможности,
предпосылки………………………………………………………………… 20
2.3 Пример проведения корреляционно-регрессионного анализа (пример
выполнения задания 2)……………………………………………………... 24
3 ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ
МОДЕЛИ.
ЛИНЕЙНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ……………………………………………………… 32
3.1 Общая постановка задач линейного программирования………………… 32
3.2 Пример построения и решения оптимизационной модели (пример
выполнения задания 3)……………………………………………………... 34
4 ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ………….. 41
ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………………
44
ПРИЛОЖЕНИЯ……………………………………………………………………..
45
3
ВВЕДЕНИЕ
По курсу «Эконометрика и экономико-математические методы и
модели» предусмотрено выполнение контрольной работы. Целью контрольной
работы является освоение студентами правил экономико-математического
моделирования хозяйственных и экономических задач, связанных с
планированием и управлением производства, решения этих задач
математическими методами.
В связи с отсутствием стабильных учебников и учебных пособий по
данному курсу задачи контрольной работы снабжены методическими
указаниями по их решению. Кроме того, приведены типовые примеры решения
этих задач.
Для определения номера варианта необходимо разделить число,
состоящее из двух последних цифр вашего шифра, на 20. Номер варианта
совпадает с остатком, полученным от деления. В случае отсутствия остатка
номер варианта будет 0.
Контрольная работа должна включать следующие обязательные
структурные части:
 титульный лист;
 содержание (созданное с использованием стилевого форматирования);
 основную часть (каждое задание должно начинаться с указания
номера варианта и располагаться с новой страницы);
 список использованных источников, приложение.
Контрольная работа включает три задания:
Задание 1. Сетевые модели. Сетевое планирование и управление.
Задание 2. Эконометрические модели. Корреляционно-регрессионный
анализ.
Задание 3. Оптимизационные модели. Линейное программирование.
На титульном листе контрольной работы указываются название кафедры
(кафедра информатики), наименование дисциплины («Эконометрика и
экономико-математические методы и модели»), название факультета, номер
курса, шифр группы, номер зачетной книжки, фамилия (если фамилия была
изменена, то обязательно необходимо указать старую фамилию), имя, отчество
(см. приложение 1).
4
1 СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ.
СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ
1.1 Назначение и область применения
Сетевое планирование – это комплекс графических и расчетных
методов организационных мероприятий, обеспечивающих моделирование,
анализ и динамическую перестройку плана выполнения сложных проектов и
разработок, например, таких как:
 строительство и реконструкция каких-либо объектов;
 выполнение научно-исследовательских и конструкторских работ;
 подготовка производства к выпуску продукции;
 перевооружение армии.
Характерной особенностью таких проектов является то, что они состоят
из ряда отдельных, элементарных работ. Они обуславливают друг друга так,
что выполнение некоторых работ не может быть начато раньше, чем будут
завершены некоторые другие.
1.2 Сетевая модель и ее основные элементы
Основными понятиями сетевых моделей являются следующие: события,
работы и пути. Построение сетевой модели (структурное планирование)
начинается с разбиения проекта на четко определенные работы, для которых
определяется продолжительность.
Работа – это некоторый процесс, приводящий к достижению
определенного результата, требующий затрат каких-либо ресурсов и имеющий
протяженность во времени. Работа в сетевом графике изображается стрелкой.
По своей физической природе работы можно рассматривать как:
 действие – это процесс, требующий затрат времени и ресурсов
(заливка фундамента бетоном, составление заявки на материалы,
изучение конъюнктуры рынка);
 процесс (старение отливок, выдерживание вина, травление плат);
 ожидание – это процесс, который требует только затрат времени и
не нуждается в использовании ресурсов (ожидание поставки
комплектующих, пролеживание детали в очереди к станку).
По количеству затрачиваемого времени работа может быть:
 действительной, т. е. требующей затрат времени;
 фиктивной, т. е. формально не требующей затрат времени и
представляющей связь между какими-либо работами (передача
измененных чертежей от конструкторов к технологам, сдача отчета о
технико-экономических показателях работы цеха вышестоящему
подразделению).
Фиктивная работа может реально существовать, например, «передача
документов от одного отдела к другому». Если продолжительность такой
5
работы несоизмеримо мала по сравнению с продолжительностью других работ
проекта, то формально ее принимают равной 0. Существуют фиктивные
работы, которым в реальности не соответствуют никакие действия. Такие
фиктивные работы только представляют связь между другими работами
сетевой модели. Работы связаны друг с другом таким образом, что выполнение
одних работ может быть начато только после завершения некоторых других.
Событие – это момент времени, когда завершаются одни работы и
начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ
и в отличие от работ не имеет протяженности во времени. Например,
фундамент залит бетоном, старение отливок завершено, комплектующие
поставлены, отчеты сданы и т. д. Событие обозначается кружком. Номер
события проставляется внутри кружка. Использование понятия «событие» в
качестве важнейшего элемента плана существенно отличает сетевой график от
других методов планирования.
Таким образом, начало и окончание любой работы описываются парой
событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому
для идентификации конкретной работы используют код работы (ij), состоящий
из номеров начального (i-гo) и конечного (j-гo) событий, например 2-4; 3-8;
9-10 (рис. 1.1).
работа ij
i
j
Рисунок 1.1 – Кодирование работы
На этапе структурного планирования взаимосвязь работ и событий
изображается с помощью сетевого графика, где работы изображаются
стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Около
каждой стрелки ставится среднее время выполнения соответствующей работы.
Любое событие может считаться наступившим только тогда, когда закончатся
все входящие в него работы. Поэтому работы, выходящие из некоторого
события не могут начаться, пока не будут завершены все операции, входящие в
это событие (рис. 1.2).
и
к
и
…
к
и
и
…
к
к
Рисунок 1.2
6
Номер исходного события равен единице. Номера остальных событий
соответствуют последней цифре кода предшествующей данному событию
работы (или работ).
Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т. е. с которого
начинается проект, называют исходным событием. Событие, которое не имеет
последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется
завершающим событием. Событие, характеризующее собой факт окончания
всех предшествующих работ и начало всех последующих работ, называется
промежуточным или просто событием (рис. 1.3).
И
З
Рисунок 1.3
Важное значение для анализа сетевых моделей имеет понятие пути.
Путь – это любая непрерывная последовательность работ в сетевом
графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной
работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Путь
определяется по направлению стрелок, причем ни один путь не должен дважды
проходить через одно и то же событие. Длина пути рассчитывается как сумма
продолжительности составляющих его работ. Продолжительность выполнения
отдельных работ определяется различными методами: нормативным, методом
средних оценок, методом экспертных оценок и др. Трудоемкость выполнения
работ проставляется над линией – стрелкой, которая обозначает данную работу.
Различают следующие виды путей:
 Полный путь – это путь от исходного до завершающего события.
 Критический путь – максимальный по продолжительности полный
путь.
 Подкритический путь – полный путь, ближайший по длительности
к критическому пути.
Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими.
Каждый путь характеризуется своей продолжительностью (длительностью),
которая равна сумме продолжительностей составляющих его работ.
1.3 Правила построения сетевых графиков
При построении сетевого графика необходимо следовать следующим
правилам:
7
 длина стрелки не зависит от времени выполнения работы;
 стрелка не обязательно должна представлять прямолинейный
отрезок;
 для действительных работ используются сплошные стрелки, а для
фиктивных – пунктирные стрелки;
 каждая операция должна быть представлена только одной стрелкой;
 не должно быть параллельных работ между одними и теми же
событиями, для избежания такой ситуации используют фиктивные
работы;
 следует избегать пересечения стрелок;
 не должно быть стрелок, направленных справа налево;
 номер начального события должен быть меньше номера конечного
события;
 не должно быть висячих событий (т. е. не имеющих
предшествующих событий), кроме исходного события;
 не должно быть тупиковых событий (т. е. не имеющих последующих
событий), кроме завершающего события;
 не должно быть циклов (рис. 1.4).
Рисунок 1.4 – Недопустимость циклов
Поскольку работы, входящие в проект, могут быть логически связаны
друг с другом, то необходимо всегда перед построением сетевого графика дать
ответы на следующие вопросы:
 Какие работы необходимо завершить непосредственно перед
началом рассматриваемой работы?
 Какие работы должны непосредственно следовать после завершения
данной работы?
 Какие
операции
могут
выполняться
одновременно
с
рассматриваемой работой?
Исходные данные для построения сетевой модели могут задаваться
различными способами, например:
 описанием предполагаемого проекта. В этом случае необходимо
самостоятельно разбить его на отдельные работы и установить их
взаимные связи;
8
 списком работ проекта. В этом случае необходимо
проанализировать содержание работ и установить существующие
между ними связи;
 списком работ проекта с указанием их упорядочения. В этом
случае необходимо только отобразить работы на сетевом графике.
Построение сетевого графика необходимо начинать с выявления
исходных работ модели. Если, согласно условию, некоторая работа может
выполняться, не ожидая окончания каких-либо других работ, то такая работа
является исходной в сетевой модели, и ее начальным событием является
исходное событие. Если исходных работ несколько, то их стрелки выходят все
из одного исходного события.
Если, согласно условию, после окончания некоторой работы не должны
выполняться никакие другие работы, то такая работа является завершающей
работой в сетевой модели, и ее конечным событием является завершающее
событие. Если завершающих исходных работ несколько, то их стрелки заходят
все в одно завершающее событие.
Если, согласно условию, несколько работ имеют общее начальное и
общее конечное события, то они являются параллельными, имеют
одинаковый код, что недопустимо. Для устранения параллельности работ
вводят дополнительное событие и фиктивную работу (которой в реальности не
соответствует никакое действие) таким образом, чтобы конечные события
работ различались (рис. 1.5).
К
К
L
L
Рисунок 1.5 – Устранение параллельных работ
1.4 Временные параметры сетевых графиков и методика их
расчета
Применение методов сетевого планирования и управления в конечном
счете должно обеспечить получение календарного плана, определяющего сроки
начала и окончания каждой операции. Построение сети является лишь первым
шагом на пути к достижению этой цели. Вторым шагом является расчет сетевой
модели, который выполняют прямо на сетевом графике, пользуясь простыми
правилами.
К временным параметрам событий относятся:
Р
 ранний срок наступления события i – Т i ;
9
П
 поздний срок наступления события i – Т i ;
 резерв времени наступления события i – Ri .
Р
Ранний срок наступления события Т i – это время, необходимое для
выполнения всех работ, предшествующих данному событию i. Оно равно
наибольшей из продолжительности путей, предшествующих данному событию.
П
Поздний срок наступления события Т i
– это такое время
наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку
наступления завершающего события сети. Поздний срок наступления любого
события i равен разности между продолжительностью критического пути и
наибольшей из продолжительностей путей, следующих за событием i.
Резерв времени наступления события Ri – это такой промежуток
времени, на который может быть отсрочено наступление этого события без
нарушения сроков завершения разработки в целом. Начальные и конечные
события критических работ имеют нулевые резервы событий.
Рассчитанные
численные
значения
временных
параметров
записываются прямо в вершины на сетевом графике следующим образом (рис.
1.6):
Резерв времени
события, Ri
Ранний срок
наступления
события,
Поздний срок
наступления
П
события, Т i
Номер
события i
Рисунок 1.6 – Отображение временных параметров событий
в вершинах сетевого графика
1.5 Методика расчета временных параметров событий
Путем последовательного перехода от исходного события, ранний срок
свершения которого равен нулю, к завершающему событию рассчитываются
ранние сроки его свершения. Ранний срок наступления события представляет
собой минимальный из возможных моментов наступления данного события при
заданной продолжительности работ и начальном моменте. Ранний срок
наступления j-го события Т Рj вычисляется по формуле


Т Рj  max ТiР  tij , i  1, ..., k ,
где Т Рj – ранний срок наступления j-го события;
10
(1.1)
Т iР – ранний срок наступления i-го события;
tij – средняя продолжительность работы ij;
k – число работ, непосредственно предшествующих j-му событию
(все эти работы на сетевом графике обозначаются стрелками,
входящими в кружок, обозначающий j-e событие).
Ранние сроки определяются величиной наиболее длительного отрезка
пути от исходного до рассматриваемого события. При определении их около
кружков карандашом проставляют длительность всех путей, ведущих от
исходного события, и в левый сектор вносят максимальный из путей.
Путем последовательного перехода от завершающего события, поздний
срок свершения которого равен величине критического пути, рассчитывают
поздний срок его свершения. Этот срок Т iП определяется разностью
продолжительности критического пути и максимальным из путей, следующим
за этим событием


ТiП  min ТПj  tij , j  1, ..., L ,
(1.2)
где Т iП – поздний срок наступления i-гo события;
Т Пj – поздний срок наступления j-гo события;
L – число работ, непосредственно следующих за i-м событием (все
эти работы на сетевом графике обозначаются стрелками,
выходящими из кружка, обозначающего i-e событие).
При определении поздних сроков свершения события около кружков
записывают все возможные значения такой разности и в правый сектор
вписывают минимальную величину разности. Поздний срок наступления
завершающего события принимается равным раннему сроку наступления этого
же события.
Разность между поздним и ранним сроками свершения событий есть
резерв времени этого события. Резерв времени i-гo события Ri вычисляется по
формуле
Ri  Т iП  Т iР .
(1.3)
Полный резерв времени работы определяется как разность между
поздним сроком свершения события, завершающего работу, и ранним сроком
свершения, предшествующего работе события, минус продолжительность
самой работы
rij  Т Пj  ТiР  tij .
(1.4)
После вычисления резервов времени определяется критический путь
TКР , то есть полный путь, имеющий наибольшую продолжительность
11
Т КР 
t
ijТ КР
ij
.
(1.5)
Для него является характерным, что все события, принадлежащие ему,
не имеют резервов времени (они равны нулю). При поиске критических путей
следует помнить, что признаком критической работы являются нулевые
значения резервов времени. Это означает, что каждая последующая
критическая работа будет начинаться строго в момент окончания предыдущей
критической работы.
Вследствие этого сдвиг любой из работ критического пути обязательно
приведет к увеличению первоначальной длительности проекта (ТКР). Кроме
того, следует учесть, что критический путь является полным, т. е. соединяет
исходное и завершающее события сети.
Поэтому первая из работ критического пути всегда начинается в
исходном событии сети с нулевого (начального) момента времени, а последняя
из работ критического пути всегда завершается позже всех остальных работ
сети в завершающем событии.
1.6 Пример построения сетевого графика
На предприятии осуществляется реконструкция цеха. Известна средняя
продолжительность выполнения отдельных работ (см. таблицу 1.1).
Среднеквадратическое отклонение продолжительности выполнения работ n
(где n – номер работы) по всем работам комплекса равно одному дню.
Необходимо:
1. Построить сетевой график выполнения работ по реконструкции цеха
и определить значения его параметров (ранние и поздние сроки событий,
начала и окончания работ, резервы времени по отдельным событиям, полные
резервы времени по отдельным работам).
2. Определить на сетевом графике критический путь и среднее время
выполнения работ по реконструкции цеха. Критический путь выделить
отдельной линией и отдельно дать перечень работ, принадлежащих
критическому пути и его длительность.
РЕШЕНИЕ:
12
Резерв времени
Поздний срок наступления события
Номер события
Ранний срок наступления события
Таблица 1.1. – Исходные данные для решения задания 1
Код работ
Продолжительность работы (дни)
1–2
5
2–3
6
2–4
4
2–5
3
3–7
6
4–5
1
4–6
4
4–9
7
5–8
9
5 – 10
3
6–9
1
6 – 11
5
7 – 10
7
8 – 10
4
9 – 10
3
10 – 11
8
1. Определяем ранние сроки наступления события
Используя формулу (1.1) рассчитаем ранние сроки свершения события


T jP  max Ti P  tij ,
i = 1, 2, …, k,
где ТPj – ранний срок наступления j-го события;
ТPi – ранний срок наступления i-го события;
tij – срок средней продолжительности работы ij;
k – число работ, предшествующих i-му событию (все эти работы на
сетевом графике обозначаются стрелками, входящими в кружок,
обозначающий j-e событие).
T1P  0 ;
T2P  T1P  t1 2  0  5  5 ;
13
T3P  T2P  t 23  5  6  11 ;
T4P  Т 2Р  t 24  5  4  9 ;


T5P  max T2P  t 25 ; T4P  t 45  max 5  3; 9  1  max 8;10  10 ;
T6P  Т 4Р  t 46  9  4  13 ;
T7P  Т 3Р  t 37  11  6  17 ;
T8P  Т 5Р  t 58  10  9  19 ;


T9P  max T4P  t 49 ; T6P  t 69  max 9  7; 13  1  max 16;14  16 ;


T10P  max T5P  t 510 ; T7P  t 7 10 ; Т 8P  t 810 ; Т 9P  t 910  max 10  3;17  7;19  4;16  3  max 13; 24; 23;19  24


T11P  max T6P  t 6 11 ; T10P  t1011  max 13  5; 24  8  max 18; 32  32 .
2. Определяем поздние сроки наступления события
Используя формулу (1.2) рассчитаем поздние сроки свершения события


Ti П  min TjП  tij ,
j = 1, 2, …, L,
где ТПi – поздний срок наступления i-го события;
ТПj – поздний срок наступления j-го события;
tij – срок средней продолжительности работы ij;
L – число работ, непосредственно следующих за i-м событием (все
эти работы на сетевом графике обозначаются стрелками,
выходящими из кружка, обозначающего i-ое событие).
T11П  T11P  32 ;
T10П  T11П  t1011  32  8  24 ;
T9П  T10П  t 910  24  3  21 ;
T8П  T10П  t 810  24  4  20 ;
T7П  T10П  t 7 10  24  7  17 ;

 min T
 min T

 min 24  3; 20  9  min 21;11  11 ;
; Т  t  min 21  7; 20  4;11  1  min 14;16;10  10
T6П  min T11П  t 611 ; T9П  t 69  min 32  5; 21  1  min 27; 20  20 ;
T5П
T4П
П
10
П
9
 t 510 ; T8П  t 58
 t 49 ; T6П  t 46
П
5
4 5
T3П  T7П  t 37  17  6  11 ;
14


T2П  min T5П  t 25 ; T4П  t 2 4 ; Т 3П  t 23  min 11  3;10  4;11  6  min 8; 6; 5  5 ;
T1П  Т 2П  t12  5  5  0 .
3. Определяем резервы времени
Используя формулу (1.3) рассчитаем резервы времени по отдельным
событиям
Ri  Ti П  Ti Р .
Критический путь проходит через события, где полный резерв времени
равен 0.
R1  T1П  Т1Р  0  0  0 ; *
R2  Т 2П  Т 2Р  5  5  0 ; *
R3  Т 3П  Т 3Р  11  11  0 ;
*
R4  Т 4П  Т 4Р  10  9  1 ;
R5  Т 5П  Т 5Р  11  10  1 ;
R6  Т 6П  Т 6Р  20  13  7 ;
R7  Т 7П  Т 7Р  17  17  0 ;
*
R8  Т 8П  Т 8Р  20  19  1 ;
R9  Т 9П  Т 9Р  21  16  5 ;
Р
R10  Т 10П  Т 10
 24  24  0 ; *
П
Р
R11  Т 11
 Т 11
 32  32  0 . *
Таким образом, критический путь проходит через события:
1) 1-2-3-7-10-11.
4. Определяем полный резерв времени
Используя формулу (1.4) рассчитаем полные резервы времени по
отдельным работам
rij  TjП  Ti P  tij .
Критический путь проходит через работы, где полный резерв времени
равен 0.
r12  T2П  T1P  t12  5  0  5  0 ; *
15
r23  T3П  T2P  t 23  11  5  6  0 ;
*
r24  T4П  T2P  t 24  10  5  4  1;
r25  T5П  T2P  t 25  11  5  3  3 ;
r37  T7П  T3P  t 37  17  11  6  0 ;
*
r4 5  T5П  T4P  t 4 5  11  9  1  1 ;
r46  T6П  T4P  t 46  20  9  4  7 ;
r49  T9П  T4P  t 49  21  9  7  5 ;
r58  T8П  T5P  t 58  20  10  9  1 ;
r510  T10П  T5P  t 510  24  10  3  11 ;
r69  T9П  T6P  t 69  21  13  1  7 ;
r611  T11П  T6P  t 611  32  13  5  14 ;
r7 10  T10П  T7P  t 7 10  24  17  7  0 ;
*
r810  T10П  T8P  t 810  24  19  4  1 ;
r910  T10П  T9P  t 910  24  16  3  5 ;
r1011  T11П  T10P  t1011  32  24  8  0 . *
5. Найдем длину критического пути.
Используя формулу (1.5) рассчитаем длительность критического пути
Т КР 
t
ijТ КР
ij
,
Т КР  t12  t 23  t 37  t 710  t1011  5  6  6  7  8  32 дн.
ВЫВОД: Таким образом, критическим путем является путь,
проходящий через события 1-2-3-7-10-11 и его продолжительность
(длительность) составляет 32 дня.
16
0
0
0
5
0
5
1
1
4
5
9
2
10
13
4
20
7
6
1
0
1
1
11
10
3
5
6
3
11
7
4
5
11
16
5
21
9
0
9
32
11
6
3
1
19
20
0
8
17
32
17
4
7
0
3
24
24
10
7
ТКР – критический
путь
17
8
2 ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.
КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
2.1 Роль корреляционно-регрессионного анализа в обработке
экономических данных
Обработка статистических данных уже давно применяется в самых
разнообразных видах человеческой деятельности. Вообще говоря, трудно
назвать ту сферу, в которой она бы не использовалась. Но, пожалуй, ни в одной
области знаний и практической деятельности обработка статистических данных
не играет такой исключительно большой роли, как в экономике, имеющей дело
с обработкой и анализом огромных массивов информации о социальноэкономических явлениях и процессах. Всесторонний и глубокий анализ этой
информации, так называемых статистических данных, предполагает
использование различных специальных методов, важное место среди которых
занимает корреляционный и регрессионный анализы обработки статистических
данных.
В экономических исследованиях часто решают задачу выявления
факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса. Такая
задача чаще всего решается методами корреляционного и регрессионного
анализа. Для достоверного отображения объективно существующих в
экономике процессов необходимо выявить существенные взаимосвязи и не
только выявить, но и дать им количественную оценку. Этот подход требует
вскрытия причинных зависимостей. Под причинной зависимостью
понимается такая связь между процессами, когда изменение одного из них
является следствием изменения другого.
Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы
связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной
связи. Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются
случайными величинами, поэтому при анализе экономических явлений обычно
рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие
связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их
изучающий, называется регрессионным анализом.
Использование возможностей современной вычислительной техники,
оснащенной пакетами программ машинной обработки статистической
информации на ЭВМ, делает практически осуществимым оперативное решение
задач изучения взаимосвязи показателей методами корреляционнорегрессионного анализа.
При машинной обработке исходной информации на ЭВМ, оснащенных
пакетами стандартных программ ведения анализов, вычисление параметров,
применяемых математических функций, является быстро выполняемой счетной
операцией.
Корреляционный анализ и регрессионный анализ являются смежными
разделами математической статистики и предназначаются для изучения по
18
выборочным данным статистической зависимости ряда величин; некоторые из
которых являются случайными. При статистической зависимости величины не
связаны функционально, но как случайные величины заданы совместным
распределением вероятностей. Исследование взаимосвязи случайных величин
показателей приводит к теории корреляции, как разделу теории вероятностей, и
корреляционному анализу, как разделу математической статистики.
Исследование зависимости случайных величин приводит к моделям регрессии
и регрессионному анализу на базе выборочных данных. Теория вероятностей и
математическая статистика представляют лишь инструмент для изучения
статистической зависимости, но не ставят своей целью установление
причинной связи. Представления и гипотезы о причинной связи должны быть
привнесены из некоторой другой теории, которая позволяет содержательно
объяснить изучаемое явление.
Экономические данные почти всегда представлены в виде таблиц.
Числовые данные, содержащиеся в таблицах, обычно имеют между собой
явные (известные, или же связи первого типа) или неявные (скрытые, или же
связи второго типа) связи.
Явно связаны показатели, которые получены методами прямого счета, т.
е. вычислены по заранее известным формулам. Например, проценты
выполнения плана, уровни, удельные веса, отклонения в сумме, отклонения в
процентах, темпы роста, темпы прироста, индексы и т. д.
Связи же второго типа (неявные) заранее неизвестны. Однако
необходимо уметь объяснять и предсказывать (прогнозировать) сложные
явления для того, чтобы управлять ими. Поэтому специалисты с помощью
наблюдений стремятся выявить скрытые зависимости и выразить их в виде
формул, т. е. математически смоделировать явления или процессы. Одну из
таких возможностей предоставляет корреляционно-регрессионный анализ.
Математические модели строятся и используются для трех обобщенных
целей:
 для объяснения;
 для предсказания;
 для управления.
Представление экономических и других данных в электронных
таблицах в наши дни стало простым и естественным. Оснащение же
электронных таблиц средствами корреляционно-регрессионного анализа
способствует тому, что из группы сложных, глубоко научных и потому редко
используемых, почти экзотических методов, корреляционно-регрессионный
анализ превращается для специалиста в повседневный, эффективный и
оперативный аналитический инструмент. Однако, в силу его сложности,
освоение его требует значительно больших знаний и усилий, чем освоение
простых электронных таблиц.
Пользуясь методами корреляционно-регрессионного анализа, аналитики
измеряют тесноту связей показателей с помощью коэффициента корреляции.
При этом обнаруживаются связи, различные по силе (сильные, слабые,
19
умеренные и др.) и различные по направлению (прямые, обратные). Если связи
окажутся существенными, то целесообразно будет найти их математическое
выражение в виде регрессионной модели и оценить статистическую значимость
модели. В экономике значимое уравнение используется, как правило, для
прогнозирования изучаемого явления или показателя.
Регрессионный анализ называют основным методом современной
математической статистики для выявления неявных и завуалированных связей
между данными наблюдений. Электронные таблицы делают такой анализ легко
доступным. Таким образом, регрессионные вычисления и подбор хороших
уравнений – это ценный, универсальный исследовательский инструмент в
самых разнообразных отраслях деловой и научной деятельности (экономика,
маркетинг, торговля, медицина и т. д.). Усвоив технологию использования
этого инструмента, можно применять его по мере необходимости, получая
знание о скрытых связях, улучшая аналитическую поддержку принятия
решений и повышая их обоснованность.
Корреляционно-регрессионный анализ считается одним из главных
методов в экономике, наряду с оптимизационными расчетами, а также
математическим и графическим моделированием трендов (тенденций). Широко
применяются как однофакторные, так и множественные регрессионные модели.
2.2 Корреляционно-регрессионный анализ: понятие, его
возможности, предпосылки
Корреляционный анализ является одним из методов статистического
анализа взаимосвязи нескольких признаков.
Он определяется как метод, применяемый тогда, когда данные
наблюдения можно считать случайными и выбранными из генеральной
совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.
Основная задача корреляционного анализа (являющаяся основной и в
регрессионном анализе) состоит в оценке уравнения регрессии.
Корреляция – это статистическая зависимость между случайными
величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой
изменение одной из случайных величин приводит к изменению
математического ожидания другой.
1. Парная корреляция – связь между двумя признаками
(результативным и факторным или двумя факторными).
2. Частная корреляция – зависимость между результативным и одним
факторным признаками при фиксированном значении других факторных
признаков.
3. Множественная корреляция – зависимость результативного и двух
или более факторных признаков, включенных в исследование.
Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное
определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и
20
между результативным признаком и множеством факторных признаков (при
многофакторной связи).
Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов
корреляции. Коэффициенты корреляции, представляя количественную
характеристику тесноты связи между признаками, дают возможность
определить «полезность» факторных признаков при построении уравнений
множественной регрессии. Величина коэффициентов корреляции служит также
оценкой соответствия уравнению регрессии выявленным причинноследственным связям.
Первоначально исследования корреляции проводились в биологии, а
позднее распространились и на другие области, в том числе на социальноэкономическую. Одновременно с корреляцией начала использоваться и
регрессия. Корреляция и регрессия тесно связаны между собой: первая
оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует ее форму. И
корреляция, и регрессия служат для установления соотношений между
явлениями и для определения наличия или отсутствия связи между ними.
Для решения задач экономического анализа и прогнозирования очень
часто используются статистические, отчетные или наблюдаемые данные. При
этом полагают, что эти данные являются значениями случайной величины.
Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости
от случая принимает различные значения с некоторой вероятностью. Закон
распределения случайной величины показывает частоту ее тех или иных
значений в общей их совокупности.
При исследовании взаимосвязей между экономическими показателями
на основе статистических данных часто между ними наблюдается
стохастическая зависимость. Она проявляется в том, что изменение закона
распределения одной случайной величины происходит под влиянием
изменения другой. Взаимосвязь между величинами может быть полной
(функциональной) и неполной (искаженной другими факторами). Пример
функциональной зависимости – выпуск продукции и ее потребление в условиях
дефицита. Неполная зависимость наблюдается, например, между стажем
рабочих и их производительностью труда. Обычно рабочие с большим стажем
трудятся лучше молодых, но под влиянием дополнительных факторов –
образование, здоровье и т. д. эта зависимость может быть искажена.
Раздел
математической
статистики,
посвященный
изучению
взаимосвязей между случайными величинами, называется корреляционным
анализом (от лат. correlatio соотношение, соответствие). Основная задача
корреляционного анализа – это установление характера и тесноты связи между
результативными
(зависимыми)
и
факторными
(независимыми)
показателями (признаками) в данном явлении или процессе. Корреляционную
связь можно обнаружить только при массовом сопоставлении фактов. Характер
связи между показателями определяется по корреляционному полю. Если Y
зависимый признак, а Х независимый, то, отметив каждый случай Х(i) с
21
координатами Xi и Yi, получим корреляционное поле. По расположению точек
можно судить о характере связи (рис. 2.1).
а) переменные X и Y не коррелируют;
б) наблюдается сильная положительная корреляция;
в) наблюдается слабая отрицательная корреляция.
Рисунок 2.1 – Примеры корреляционных полей
Теснота связи определяется с помощью коэффициента корреляции,
который рассчитывается специальным образом и лежит в интервалах от минус
единицы до плюс единицы. Если значение коэффициента корреляции лежит в
интервале от 1 до 0,9 по модулю, то отмечается очень сильная корреляционная
зависимость. В случае, если значение коэффициента корреляции лежит в
интервале от 0,9 до 0,6, то говорят, что имеет место слабая корреляционная
зависимость. Наконец, если значение коэффициента корреляции находится в
интервале от -0,6 до 0,6, то говорят об очень слабой корреляционной
зависимости или полном ее отсутствии.
Таким образом, корреляционный анализ применяется для нахождения
характера и тесноты связи между случайными величинами.
Регрессионный анализ своей целью имеет вывод, определение
(идентификацию) уравнения регрессии, включая статистическую оценку его
параметров. Уравнение регрессии позволяет найти значение зависимой
переменной, если величина независимой или независимых переменных
известна. Практически, речь идет о том, чтобы, анализируя множество точек на
графике (т.е. множество статистических данных), найти линию, по
возможности точно отражающую заключенную в этом множестве
закономерность (тренд, тенденцию), линию регрессии.
По числу факторов различают одно-, двух- и многофакторные
уравнения регрессии.
По
характеру
связи
однофакторные
уравнения
регрессии
подразделяются на:
а) линейные:
22
y  a  b x ,
(2.1)
где х – экзогенная (независимая) переменная;
y – эндогенная (зависимая, результативная) переменная;
а, b – параметры.
б) степенные:
y  a  xb ;
(2.2)
y  abx ;
(2.3)
в) показательные:
г) прочие.
Перед рассмотрением предпосылок корреляционного и регрессионного
анализа, следует сказать, что общим условием, позволяющим получить более
стабильные результаты при построении корреляционных и регрессионных
моделей показателей, является требование однородности исходной
информации. Эта информация должна быть обработана на предмет
аномальных, т. е. резко выделяющихся из массива данных, наблюдений. Эта
процедура выполняется за счет количественной оценки однородности
совокупности по какому-либо одномерному или многомерному критерию (в
зависимости от исходной информации) и имеет цель тех объектов наблюдения,
у которых наилучшее (или наихудшее) условия функционирования по не
зависящим или слабо зависящим причинам.
После обработки данных на предмет «аномальности» следует провести
проверку, насколько оставшаяся информация удовлетворяет предпосылкам для
использования статического аппарата при построении моделей, так как даже
незначительные отступления от этих предпосылок часто сводят к нулю
получаемый эффект. Следует иметь ввиду, что вероятностное или
статистическое решение любой экономической задачи должно основываться на
подробном осмыслении исходных математических понятий и предпосылок,
корректности и объективности сбора исходной информации, в постоянном
сочетании с теснотой связи экономического и математико-статистического
анализа.
Для применения корреляционного анализа необходимо, чтобы все
рассматриваемые переменные были случайными и имели нормальный закон
распределения. Причем выполнение этих условий необходимо только при
вероятностной оценке выявленной тесноты связи.
Хотелось бы отметить, что наиболее сложным этапом, завершающим
регрессионный анализ, является интерпретация полученных результатов, т. е.
перевод их с языка статистики и математики на язык экономики.
Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той
отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явления. Всякая
23
интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в
целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков, т. е. с
изучения, как они влияют на величину результативного признака. Чем больше
величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака
на моделируемую обработку показателей. Особое значение при этом имеет знак
перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят о
характере влияния на результативный признак статистической обработки
показателей. Если факторный признак имеет плюс, то с увеличением данного
фактора результативный признак возрастает; если факторный признак со
знаком минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается.
Интерпретация этих знаков полностью определяется социально-экономическим
содержанием моделируемого признака. Если его величина изменяется в
сторону увеличения, то плюсовые знаки факторных признаков имеют
положительное влияние. При изменении результативного признака в сторону
снижения положительные значения имеют минусовые знаки факторных
признаков. Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак
должен иметь положительное значение, а он со знаком минус, то необходимо
проверить расчеты параметров уравнения регрессии.
Корреляционный и регрессионный анализ позволяет определить
зависимость между факторами, а также проследить влияние задействованных
факторов. Эти показатели имеют широкое применение в обработке
статистических данных для достижения наилучших показателей.
2.3 Пример проведения корреляционно-регрессионного анализа
Определить уравнение связи между производительностью труда и
рентабельностью предприятия. Вычислить коэффициенты корреляции между
производительностью труда и рентабельностью предприятия. Проверить
гипотезу о значимости отличия коэффициента корреляции от нуля. Считая
связь между производительностью труда и рентабельностью предприятия
линейной, построить уравнение связи между названными показателями,
используя метод наименьших квадратов. Проверить гипотезу об отличии от
нуля коэффициента регрессии. Дать экономическую интерпретацию
полученных результатов. Исходные данные приведены в таблице 2.1.
РЕШЕНИЕ:
Таблица 2.1 – Исходные данные для решения задания 2
Уровень
Производительность труда,
рентабельности,
тыс. руб. (X)
млн. руб. (Y)
9,0
127
9,1
129
9,2
130
9,0
131
24
9,2
9,5
9,3
9,5
9,8
9,6
133
139
145
149
150
158
I ЭТАП (решение задачи с помощью метода наименьших квадратов)
Исходные данные и промежуточные расчеты (результаты) удобно
свести в таблицу 2.2.
X
127
129
130
131
133
139
145
149
150
158
1391
Таблица 2.2 – Исходные данные и промежуточные результаты
Y
ХХ
Х  Х 2 Y  Y Y  Y 2 XY Y  Y  X  X 
9,0
-12,1
146,41
-0,32
0,1024
1143,0
3,872
9,1
-10,1
102,01
-0,22
0,0484
1173,9
2,222
9,2
-9,1
82,81
-0,12
0,0144
1196,0
1,092
9,0
-8,1
65,61
-0,32
0,1024
1179,0
2,592
9,2
-6,1
37,21
-0,12
0,0144
1223,6
0,732
9,5
-0,1
0,01
0,18
0,0324
1320,5
-0,018
9,3
5,9
34,81
-0,02
0,0004
1348,5
-0,118
9,5
9,9
98,01
0,18
0,0324
1415,5
1,782
9,8
10,9
118,81
0,48
0,2304
1470,0
5,232
9,6
18,9
357,21
0,28
0,0784
1516,8
5,292
93,2
0
1042,9
0
0,656
12986,8
22,68
Х 
Х
X 
n
Y 
Х Y 
Y
n
1391
 139,1 ;
10
Y 
93,2
 9,32 ;
10
 Х  Y  X  Y  12986,8  1298,68 .
n
10
(2.4)
(2.5)
(2.6)
1 Расчет коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции используется для проверки гипотезы о
наличии связи между исследуемыми показателями. Для вычисления
коэффициента корреляции используется формула
rxy 
X Y  X Y
,
 x  y
25
(2.7)
где X  Y – среднее значение произведения величин используемых
показателей;
X – среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве
независимой переменной;
Y – среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве
зависимой переменной;
х – среднеквадратическое отклонение величины Х;
y – среднеквадратическое отклонение величины Y.
Отобранная для анализа группа данных называется выборкой, а вся
совокупность данных, из которых выделяется выборка, генеральной
совокупностью.
Поскольку значения коэффициента корреляции определяются по
выборочным данным и, следовательно, будут различными при рассмотрении
различных выборок из одной и той же генеральной совокупности, значение
коэффициента корреляции следует рассматривать как случайную величину.
Таким образом, может возникнуть ситуация, при которой величина
коэффициента корреляции, рассчитанная по данным выборки, отлична от нуля,
а истинный коэффициент корреляции равен нулю.
1.1 Рассчитаем среднеквадратическое отклонение величины Х
 X
n
X 
i 1
i
X

2
,
n 1
(2.8)
где n – число переменных.
X 
1042,9

10  1
1042,9
 115,9  10,76 .
9
1.2 Рассчитаем среднеквадратическое отклонение величины Y
 Y
n
Y 
i 1
i
Y
n 1

2
,
где n – число переменных.
Y 
0,656

10  1
0,656
 0,07289  0,27 .
9
1.3 Рассчитаем коэффициент корреляции
26
(2.9)
rXY 
1298,68  139,1  9,32 1298,68  1296,41 2,27


 0,78 .
10,76  0,27
2,90
2,90
1.4 Вычислим ошибку коэффициента корреляции
2
1  rXY
Sr 
,
n 1
(2.10)
где Sr – среднеквадратическая ошибка выборочного коэффициента
корреляции;
n – число переменных.
Sr 
1  0,78 2
10  1

1  0,6084
9

0,3916
 0,13 .
3
1.5 Рассчитаем величину t-критерия
Для проверки значимости отличия коэффициента корреляции от нуля
используется критерий Стьюдента, определяемый по формуле
tr 
rXY
Sr .
(2.11)
Расчетная величина t-критерия сопоставляется с табличной величиной,
отыскиваемой в таблицах значений этого критерия при числе степеней
свободы, равном (n - 2) и заданной доверительной вероятности, которая обычно
выбирается равной Р = 0,95 или Р = 0,99. В некоторых случаях вместо
доверительной вероятности задается так называемый уровень значимости
  1  p . Если расчетная величина t-критерия окажется больше табличной, то
это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от
нуля, если же расчетное значение критерия меньше, чем табличное, то
коэффициент корреляции следует считать равным нулю.
tr 
0,78
6.
0,13
Табличное значение t-критерия (при восьми степенях свободы и 95 %
доверительной вероятности): tтаб = 2,306. Таким образом, tr > tтаб, и, значит,
коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.
27
0,78
Ошибка
коэффициента
корреляции,
Sr
Расчетное
значение
t-критерия,
tr
Табличное
значение
t-критерия,
tтаб
Y
Х
Среднеквадратическое
отклонение Y,
Среднеквадратическое
отклонение Х,
Коэффициент
корреляции,
rxy
Таблица 2.3 – Промежуточные результаты
10,76
0,27
0,13
6
2,306
2 Расчет уравнения регрессии
Для расчета коэффициента регрессии используем метод наименьших
квадратов, суть которого состоит в том, чтобы подобрать такое аналитическое
выражение зависимости между исследуемыми показателями, для которого
сумма квадратов отклонений значений зависимой переменной Y, вычисленных
по этому выражению от значений, определяемых по данным наблюдений, была
бы минимальной, т. е.
 Y
n
i 1
где
 Yi расч
факт
i

2
 min ,
(2.12)
Yi факт – значение переменной в i-ом наблюдении;
Yi расч – значение переменной, определенное расчетом при i-ом
значении переменной Х;
n – число наблюдений.
Связь линейная, т. е.
Y расч  а  b  х ,
(2.13)
то задача отыскания уравнения связи состоит в расчете таких значений
коэффициентов а и b, при которых сумма квадратов отклонений расчетных
значений Y от фактических была бы минимальной.
 Y
n
b
i 1
i

Y  X i  X
 X
n
i 1
i
X

2
28

,
(2.14)
b
22,68
 0,0217 ,
1042,9
a  Y b X ,
(2.15)
a  9,32  0,0217  139,1  9,32  3,02  6,3 .
Таким образом, уравнение связи между производительностью труда и
рентабельностью предприятия имеет вид
Y  6,3  0,0217  X .
(2.16)
Величина b называется коэффициентом регрессии. Так же как и
коэффициент корреляции, коэффициент регрессии является случайной
величиной, в связи с чем возникает необходимость проверки значимости его
отличия от нуля. Эта проверка, так же как и в случае с коэффициентом
корреляции, осуществляется с помощью t-критерия.
Проверим значимость коэффициента b.
Данные для расчета удобно свести в таблицу 2.4. Значения YРАСЧ
определим из уравнения (2.16).
Таблица 2.4 - Исходные данные и промежуточные результаты
X
YРАСЧ
YФАКТ
YФ - YР
(YФ - YР)2
(YФ - YР)2
127
129
130
9,06
9,1
9,12
9,0
9,1
9,2
-0,06
0
0,08
0,0036 0 0,0064
131
9,14
9,0
-0,14
0,0196
133
9,19
9,2
0,01
0,0001
139
145
9,32
9,45
9,5
9,3
0,18
-0,15
0,0324 0,0225
0,1607
YРАСЧ  6,3  0,0217 127  6,3  2,76  9,06 ;
YРАСЧ  6,3  0,0217 129  6,3  2,8  9,1 ;
YРАСЧ  6,3  0,0217 130  6,3  2,82  9,12 ;
YРАСЧ  6,3  0,0217 131  6,3  2,84  9,14 ;
YРАСЧ  6,3  0,0217 133  6,3  2,89  9,19 ;
YРАСЧ  6,3  0,0217 139  6,3  3,02  9,32 ;
YРАСЧ  6,3  0,0217 145  6,3  3,15  9,45 ;
YРАСЧ  6,3  0,0217 149  6,3  3,24  9,54 ;
YРАСЧ  6,3  0,0217 150  6,3  3,26  9,56 ;
YРАСЧ  6,3  0,0217 158  6,3  3,43  9,73 .
29
149
9,54
9,5
-0,04
0,0016
150
9,56
9,8
0,24
0,0576
158
9,73
9,6
-0,13
0,0169
Используя уравнение связи между производительностью труда и
рентабельностью предприятия ( Y  6,3  0,0217  X ) и расчетные значения Y,
можно построить график.
Уравнение регрессии Y=6,3+0,0217*Х
10,00
9,80
Значения Y
9,60
9,40
Yрасч.
Yфакт.
9,20
9,00
8,80
8,60
127
129
130
131
133
139
145
149
150
158
Значения Х
Рисунок 2.2 – Фактические (YФАКТ) и расчетные (YРАСЧ) значения Y
2.1 Вычислим ошибку коэффициента регрессии
n
Sb 
 Y
i 1
Ф
 YР 
2
n  2  X i  X 
n
2
,
(2.17)
i 1
0,1607

10  2  1042,9
Sb 
0,1607

8  1042,9
0,1607
 0,0000192  0,0044 .
8343,2
2.2 Вычислим остаточную сумму квадратов
 Y
 YР   0,1607 .
2
Ф
Отсюда: S b  0,0044 .
В остальном методика проверки значимости отличия коэффициента
регрессии от нуля аналогична проверке значимости коэффициента корреляции.
tb 
b
0,0217
 tb 
 4,96 .
Sb
0,0044
(2.18)
30
Коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется зависимая
переменная при изменении независимой переменной на единицу.
Для данного случая табличное значение t-критерия при восьми
степенях свободы и 95 % доверительности равно 2,106. Таким образом, tb > tтаб,
и, следовательно, коэффициент регрессии значимо отличен от нуля.
2.3 Рассчитаем коэффициент эластичности
Э  b
Х
Y
Э  0,0217 
,
(2.19)
139,1
 0,0217  14,925  0,325 .
9,32
Коэффициент эластичности показывает, на сколько % увеличится Y при
увеличении Х на 1 %.
Таблица 2.5 – Промежуточные результаты
Значение
коэффициента
а
Значение
коэффициента
b
6,3
0,0217
Ошибка
коэффициента
регрессии,
Sb
0,0044
Коэффициент
эластичности,
Э
4,96
ВЫВОД: Таким образом, произведенный анализ показывает, что
величина рентабельности предприятия связана с производительностью труда
(коэффициент корреляции 0,78). Из полученного уравнения регрессии
Y  6,3  0,0217  X следует, что увеличение производительности труда на 1 тыс.
руб. приведет к повышению рентабельности на 0,0217 тыс. руб. Изменение
производительности труда на 1 % приведет к увеличению рентабельности на
0,325 %.
II ЭТАП (решение задачи с помощью ТП MS Excel)
Решение задачи с помощью табличного процессора MS Excel
представлено в приложениях 2 и 3.
31
3 ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ.
ЛИНЕЙНЕОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
3.1 Общая постановка задач линейного программирования
Линейное программирование – это один из разделов математического
программирования, изучающий способы поиска (отыскания) максимума или
минимума линейной функции нескольких переменных при наличии линейных
ограничений, т. е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти
переменные.
К задачам оптимального планирования относится достаточно широкий
круг задач оптимизации.
Задача оптимизации – это задача выбора таких условий и зависящих
от них факторов, при которых критерий эффективности достигает
экстремального значения.
Под решением задач оптимизации понимается процесс выбора таких
значений переменных х, принадлежащих допустимой области D, которые
обеспечивают оптимальное значение некоторой функции F(x), называемой
целевой.
Если целевая функция линейна, а область допустимых значений
задается системой линейных уравнений или неравенств, то такая задача
является задачей линейного программирования.
Модель задачи линейного программирования должна иметь вполне
определенный вид: требуется найти максимум (минимум) значения целевой
функции L при переменных x1, x2, …, xn.
Общая
математическая
формулировка
задачи
линейного
программирования выглядит следующим образом:
L( x)  c1  x1  c2  x2  ...  cn  xn  max(min) ,
(3.1)
при соблюдении линейных ограничений
 a11  x1  a12  x2  ...  a1n  xn  b1 ;
 a  x  a  x  ...  a  x  b ;
 21 1
22
2
2n
n
2

... ... ... ...


a m1  x1  a m 2  x2  ...  a mn  xn  bm .
(3.2)
Каждая из переменных не может принимать отрицательного значения,
т. е.
x1  0, x2  0, ..., xn  0.
(3.3)
В выражениях (3.1) и (3.2) коэффициенты aij и cj при переменных и
величины bi – постоянные числа.
32
Решение системы уравнений (3.2) при выполнении условия (3.3)
называется допустимым решением задачи линейного программирования.
Оптимальное решение – это допустимое решение, удовлетворяющее
условию (3.1). Для нахождения оптимального решения следует иметь
множество допустимых решений. Если число уравнений m в системе (3.2)
равно числу переменных n, то такая система уравнений имеет только одно
решение. В задачах линейного программирования число уравнений должно
быть меньше числа переменных: m < n.
Все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть и в
целевой функции. Свободные члены b1, b2, …, bm в системе ограничений должны
быть положительными или равны нулю (>=0).
Достаточно часто ограничения (3.2) задаются в виде системы
неравенств.
Существует только одна переменная, и ищется только один экстремум.
Требуется найти такое неотрицательное решение системы (3.2), т. е.
x1  0, x2  0, ..., xn  0 (3.3), при котором функция L(x) достигает максимума или
минимума.
Функция (3.1) – целевая функция; уравнение (3.2) – ограничения данной
функции; неравенство (3.3) – условие не отрицательности.
В сокращенной записи задача линейного программирования заключается
в минимизации (максимизации) функции
n
L x    c j  x j ,
(3.4)
j 1
при условиях, что
n
a
j 1
ij
 x j  bi (i  1, m),
(3.5)
и
xj  0 .
(3.6)
К типовым оптимизационным задачам линейного программирования
можно отнести:
 оптимизация производственной программы;
 оптимизация раскроя материалов;
 оптимизация состава смеси;
 оптимизация перевозок;
 оптимизация финансовых показателей;
 оптимизация штатного расписания и т. п.
33
3.2 Пример построения и решения оптимизационной модели
Трикотажная фабрика предполагает предложить потребителям полотна
150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей,
позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся
оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить,
какие артикулы трикотажного полотна и в каких объемах нужно выпускать на
каждой из машин. Исходные данные приведены в таблицах 3.1, 3.2.
Таблица 3.1 – Исходные данные для решения задания 3
Величина прибыли в тыс. руб. при
Артикулы
выработке 1 т полотна на машине
полотна
текстима
кокетт
150
13,40
13,46
90
7,06
7,17
Фактическая производительность
в кг/час машины
текстима
кокетт
2,42
3,76
4,08
7,66
Таблица 3.2 – Исходные данные для определения максимального
ассортимента трикотажной фабрики
Машины
Текстима
Кокетт
Фонд машинного времени, в маш/час (план)
9305
6534
РЕШЕНИЕ:
I ЭТАП (решение задачи с помощью симплекс-метода)
Составим экономико-математическую модель задачи.
Введем следующие обозначения:
Х1 – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150
машине Текстима (т);
Х2 – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90
машине Текстима (т);
Х3 – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150
машине Кокетт (т);
Х4 – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90
машине Кокетт (т).
Составим целевую функцию, выражающую прибыль, получаемую
выпуска всей продукции
на
на
на
на
от
Lx   13,4 x1  7,06 x2  13,46 x3  7,17 x4  max .
Составим ограничения на фонд машинного времени имеющегося
оборудования
34
 1000 х1 1000 х 2

 9305;

4,08
Для машины Текстима  2,42
1000 х 3 1000 х 4
Для машины Кокетт 

 6534;
3
,
76
7
,
66

 х1 , х 2 , х 3 , х 4  0.


Для того чтобы решить задачу симплекс-методом, нужно ограничения
неравенств преобразовать в равенство.
В первое ограничение добавим положительную величину х5.
Во второе ограничение добавим положительную величину х6.
413,22 х1  245,09 х2  х5  9305;

265,96 х3  130,55 х 4  х6  6534;
 х , х , х , х , х , х  0.
1
2
3
4
5
6

Так как неизвестные х5 и х6 выражают неиспользуемое время работы
соответствующего оборудования и следовательно, не влияют на прибыль, то в
целевую функцию эти неизвестные входят с нулевыми коэффициентами
Lx   13,4 x1  7,06 x2  13,46 x3  7,17 x4  0 х5  0 х6  max .
В результате получим математическую модель, представляющую
общую задачу линейного программирования.
Решим задачу симплекс-методом.
Преобразуем целевую функцию:
алгоритм симплекс-метода
max L   min(  L) ;
 L  13,4 x1  7,06 x2  13,46 x3  7,17 x4 ;
 L  13,4 x1  7,06 x2  13,46 x3  7,17 x4  0 .
Этапы задачи оформлены в виде симплекс-таблицы (см. таблицу 3.3).
Таблица 3.3 – Симплекс-таблица
Базисные
Х1
Х2
Х3
неизвестные
413,22 245,09
0
Х5
0
0
265,96
Х6
13,4
7,06
13,46
-L
413,22 245,09
0
Х5
0
0
1
Х3
13,4
7,06
0
-L
1
0,59
0
Х1
0
0
1
Х3
35
Х4
Х5
Х6
0
130,55
7,17
0
0,49
0,57
0
0,49
1
0
0
1
0
0
0,002
0
0
1
0
0
0,004
-0,05
0
0,004
Свободный
член
9305
6534
0
9305
24,57
-330,71
22,52
24,57
-L
Х1
Х4
-L
0
1
0
0
-0,85
0,59
0
-0,85
0
0
2,04
-1,16
0,57
0
1
0
-0,027
0,002
0
-0,027
-0,05
0
0,008
-0,054
-632,48
22,52
50,14
-661,06
Чтобы получить первую строчку второй таблицы, переписываем первую
строчку первой таблицы. Для того чтобы получить вторую строчку второй
таблицы, делим вторую строчку первой таблицы на 265,96. Чтобы получить
третью строчку второй таблицы, нужно вторую строчку второй таблицы
умножить на 13,46 и вычесть из третьей строчки первой таблицы.
Чтобы получить первую строчку третьей таблицы, делим первую
строчку второй таблицы на 413,22. Чтобы получить вторую строчку третьей
таблицы, переписываем вторую строчку второй таблицы. Чтобы получить
третью строчку третьей таблицы, нужно первую строчку третьей таблицы
умножить на 13,4 и вычесть из третьей строчки второй таблицы.
Чтобы получить первую строчку четвертой таблицы, переписываем
первую строчку третьей таблицы. Чтобы получить вторую строчку четвертой
таблицы, делим вторую строчку третьей таблицы на 0,49. Чтобы получить
третью строчку четвертой таблицы, умножаем вторую строчку четвертой
таблицы на 0,57 и вычитаем из третьей строки третьей таблицы.
В результате в четвертой симплекс-таблице получили в строке –L все
коэффициенты  0. Значит план оптимальный и задача решена.
Х1 = 22,52 т – выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине
текстима;
Х2 = 0 т – выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине
текстима;
Х3 = 0 т – выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине
кокетт;
Х4 = 50,14 т – выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине
кокетт;
Х5 = 0 т – дополнительно вводимая положительная величина;
Х6 = 0 т– дополнительно вводимая положительная величина.
Lx  661,06 тыс. руб. – прибыль общая, получаемая от реализации
всех видов изделий.
max L   min(  L)  661,06 ,
т.е. для получения максимальной прибыли 661,06 тыс. руб. трикотажной
фабрике необходимо выпускать:
– трикотажного полотна артикула 150 на машине текстима в объеме
22,52 т;
– трикотажного полотна артикула 90 на машине текстима не выпускать;
– трикотажного полотна артикула 150 на машине кокетт не выпускать;
36
– трикотажного полотна артикула 90 на машине кокетт выпускать в
объеме 50,14 т.
Проведем анализ использования оборудования
Машина текстима используется для выпуска 22,52 т полотна артикула
150; полотно артикула 90 на машине не выпускается, следовательно, будет
затрачено
1000  22,52
 9306 маш / час ,
2,42
и фонд рабочего времени машины
сверхустановленного лимита, т. к.
текстима
будет
использоваться
9305  9306  1 маш / час – будет использоваться сверхустановленного
лимита.
Машина кокетт используется для выпуска 50,14 т полотна артикула 90,
а полотно артикула 150 на машине кокетт не выпускается, следовательно, будет
затрачено
1000  50,14
 6546 маш / час ,
7,66
и фонд рабочего времени машины
сверхустановленного лимита, т. к.
6534  6546  12 маш / час
кокетт
будет
использоваться
– будет использоваться сверхустановленного
лимита.
Ответ: Таким образом, для получения максимальной прибыли, равной
661,06 тыс. руб., трикотажной фабрике рекомендуется выпускать 22,52 т
трикотажного полотна артикула 150 на машине текстима и 50,14 т
трикотажного полотна артикула 90 на машине кокетт. Остальные виды
продукции не производить. При этом имеющийся фонд рабочего времени
машины текстима будет использоваться сверхустановленного лимита на 1
маш/час., а фонд рабочего времени машины кокетт будет использоваться
сверхустановленного лимита на 12 маш/час.
II ЭТАП (решение задачи с помощью утилиты «Поиск решения»)
Прикладной программный продукт ТП Excel фирмы Microsoft содержит
в своем составе достаточно мощное средство для решения задач оптимизации с
учетом ограничений. Это так называемая утилита «Поиск решения» (см.
рисунок 3.1). Прокомментируем некоторые аспекты работы с этой утилитой.
37
Рисунок 3.1 – Окно утилиты «Поиск решения»
Искомые переменные – ячейки рабочего листа Excel – называются
регулируемыми ячейками.
Целевая функция L(х1, х2, ..., хn), называемая иногда просто целью,
должна задаваться в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула
может содержать функции, определенные пользователем, и должна зависеть
(ссылаться) от регулируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется,
что делать с целевой функцией. Возможен выбор одного из вариантов:
– найти максимум целевой функции L(х1, х2, ..., хn);
– найти минимум целевой функции L(х1, х2, ..., хn);
– добиться того, чтобы целевая функция L(х1, х2, ..., хn) имела
фиксированное значение: L(х1, х2, ..., хn) = а.
Функции G(х1, х2, ..., хn) называются ограничениями. Их можно задать
как в виде равенств, так и неравенств.
На регулируемые ячейки (искомые параметры – х1, х2, ..., хn) можно
наложить
дополнительные
ограничения:
неотрицательности
и/или
целочисленности, тогда решение ищется в области положительных и/или целых
чисел.
Под эту постановку попадает самый широкий круг задач оптимизации, в
том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи
линейного и нелинейного программирования.
Управление диалоговым окном утилиты «Поиск решения» (см. рисунок
3.1) осуществляется следующим образом:
1. установить целевую ячейку – служит для указания целевой ячейки,
значение которой необходимо максимизировать, минимизировать или
установить равным заданному числу. Эта ячейка должна содержать формулу
для вычисления целевой функции;
2. равной – служит для выбора варианта оптимизации значения
целевой ячейки (максимизация, минимизация или подбор заданного числа).
Чтобы установить число, его необходимо ввести в поле;
3. изменяя ячейки – служит для указания ячеек, значения которых
изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены
наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в
38
поле «Установить целевую ячейку». В этих ячейках должны содержаться
переменные оптимизационной модели;
4. ограничения – служат для отображения списка граничных условий
поставленной задачи;
5. выполнить – служит для запуска поиска решения поставленной
задачи.
«Поиск решения» позволяет представить результаты в виде трех
отчетов: Результаты, Устойчивость и Пределы.
Для генерации одного или нескольких отчетов выделяются их названия
в окне диалога «Результаты» утилиты «Поиск решения».
Отчет по устойчивости содержит информацию о том, насколько
целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот
отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для
ограничений.
Отчет по результатам содержит три таблицы: в первой приведены
сведения о целевой функции до начала вычисления, во второй – значения
искомых переменных, полученные в результате решения задачи, в третьей –
результаты оптимального решения для ограничений. Кроме того, содержится
информация о параметрах каждого ограничения: статус и разница. Статус
может принимать три состояния: связанное, несвязанное или невыполненное.
Значение разницы – это разность между значением, выводимым в ячейке
ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части
формулы ограничения.
Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах
значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без
нарушения ограничений задачи.
Постановка задачи в терминах рабочего листа Excel для использования
утилиты «Поиск решения».
1. Разместим исходные данные на листе MS Excel.
2. В окне «Поиск решения» зададим целевую ячейку, изменяемые
ячейки и ограничения (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2 – Окно утилиты «Поиск решения» задачи
В приложениях 4, 5, 6, 7, 8 представлены результаты работы утилиты
«Поиск решения».
39
Таким образом, для получения максимальной прибыли, равной 660,60
тыс. руб., трикотажной фабрике рекомендуется выпускать 22,52 т трикотажного
полотна артикула 150 на машине текстима и 50,05 т трикотажного полотна
артикула 90 на машине кокетт. Остальные виды продукции не производить.
При этом имеющиеся фонды рабочего времени машин текстима и кокетт будут
использованы полностью.
40
4 ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
4.1 СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ.
СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ
На предприятии осуществляется реконструкция цеха. Известна средняя
продолжительность выполнения отдельных работ (см. таблицу 4.1).
Среднеквадратическое отклонение продолжительности выполнения работ n
(где n – номер работы) по всем работам комплекса равно одному дню.
Необходимо:
3. Построить сетевой график выполнения работ по реконструкции цеха
и определить значения его параметров (ранние и поздние сроки событий,
начала и окончания работ, резервы времени по отдельным событиям).
4. Определить на сетевом графике критический путь и среднее время
выполнения работ по реконструкции цеха. Критический путь выделить
отдельной линией и отдельно дать перечень работ, принадлежащих
критическому пути и его длительность.
Таблица 4.1 – Исходные данные для выполнения задания 1
Продолжительность работы, дни
Код
ВАРИАНТЫ
работы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
8
3
2
10
3
6
4
12
5
1–2
2
6
4
5
1
3
4
5
2
2–3
8
5
4
3
10
4
1
2
5
3–8
5
12
6
8
8
5
6
10
11
1–4
6
8
5
2
7
3
3
3
2
4–6
6
10
4
12
8
10
8
8
8
4–7
2
4
6
5
9
7
9
2
6
6–7
4
10
5
9
3
2
8
6
4
7–8
7
7
14
6
15
4
6
3
13
1–5
4
10
3
6
4
8
7
10
3
5–8
3
5
1
3
3
0
2
0
5
2–4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5–6
Продолжение таблицы 4.1
Продолжительность работы, дни
Код
ВАРИАНТЫ
работы
11
12
13
14
15
16
17
18
3
9
4
5
5
11
6
8
1–2
4
4
2
2
5
4
3
2
2–3
5
2
11
3
2
1
6
5
3–8
7
7
9
4
7
9
12
9
1–4
41
9
7
1
4
8
8
9
5
3
4
12
1
0
19
6
3
7
5
10
4
7
6
13
9
11
5
11
8
11
5
0
20
4
1
5
3
4–6
4–7
6–7
7–8
1–5
5–8
2–4
5–6
6
5
7
6
15
4
2
0
1
11
4
8
5
5
2
0
8
9
10
4
16
5
4
0
2
9
6
1
3
7
0
0
4
9
10
9
7
8
3
0
2
7
1
5
2
9
0
0
3
9
7
5
14
4
6
0
9
10
6
3
5
13
2
0
5
7
6
9
5
10
0
0
3
5
4
7
3
8
0
0
4.2 ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.
КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Определить уравнение связи между производительностью труда и
рентабельностью предприятия. Вычислить коэффициент корреляции между
производительностью труда и рентабельностью предприятия. Проверить
гипотезу о значимости отличия коэффициента корреляции от нуля. Считая
связь между производительностью труда и рентабельностью предприятия
линейной, построить уравнение связи между названными показателями,
используя метод наименьших квадратов. Проверить гипотезу об отличии от
нуля коэффициента регрессии. Дать экономическую интерпретацию
полученных результатов. Исходные данные приведены в таблице 4.2.
Таблица 4.2 – Исходные данные для выполнения задания 2
Уровень
Производительность труда, тыс. руб.
рентабель
ВАРИАНТЫ
ности,
0
1
2
3
4
5
6
7
8
млн. руб.
147 141 138 133 147 140 139 146 138
9,3
130 123 126 139 131 138 134 138 132
9,2
159 161 173 126 154 148 145 150 151
9,5
167 186 188 160 162 157 150 162 165
9,6
135 119 113 123 133 128 130 134 128
9,1
128 117 118 132 122 128 127 130 122
9,0
130 127 121 133 142 132 128 142 138
9,2
160 153 173 131 151 152 142 152 146
9,5
177 185 192 158 166 162 158 158 162
9,8
128 110 118 127 131 122 133 135 139
9,0
42
9
10
145
130
149
158
129
131
133
139
149
127
145
129
157
165
133
127
129
158
175
127
Продолжение таблицы 4.2
Уровень
Продолжительность работы, дни
рентабель
ВАРИАНТЫ
ности,
11
12
13
14
15
16
17
18
млн. руб.
140 189 135 145 142 141 144 140
9,3
128 139 141 130 140 136 136 135
9,2
175 149 128 153 150 147 148 152
9,5
190 168 162 160 160 152 160 168
9,6
115 189 125 131 130 132 132 130
9,1
120 127 134 120 130 129 128 124
9,0
123 135 135 140 135 130 140 140
9,2
175 159 133 149 155 145 150 148
9,5
195 159 160 164 165 160 155 164
9,8
120 131 129 129 125 135 132 132
9,0
19
20
147
132
151
160
131
135
137
141
152
130
143
125
163
188
121
118
129
155
188
112
4.3 ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ.
ЛИНЕЙНЕОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Трикотажная фабрика предполагает предложить потребителям полотна
150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей,
позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся
оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить
какие артикулы трикотажного полотна и в каких объемах нужно выпускать на
каждой из машин. Исходные данные приведены в таблицах 4.3, 4.4.
Таблица 4.3 – Исходные данные для решения задания 3
Величина прибыли в тыс. руб. при
Артикулы
выработке 1 т полотна на машине
полотна
текстима
кокетт
150
13,40
13,46
90
7,06
7,17
Фактическая производительность
в кг/час машины
текстима
кокетт
2,42
3,76
4,08
7,66
Таблица 4.4 – Исходные данные для решения задания 3
Машины
Текстима
Кокетт
Фонд машинного времени, маш/час
ВАРИАНТЫ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9305 8405 7405 8608 9806 9204 8235 8505 9204 8808
6534 5545 4505 5642 6845 6756 5835 5448 6608 5845
10
8000
6200
Продолжение таблицы 4.4
Машины
Текстима
Кокетт
Фонд машинного времени, маш/час
ВАРИАНТЫ
11
12
13
14
15
16
17
18
8350 7850 7500 8120 8240 8340
9000
9500
5850 5500 6500 6240 5600 5340
6600
6500
43
19
8400
6400
20
8208
5643
ЛИТЕРАТУРА
1. Балашевич, В. Н. Математические методы в управлении
производством / В. Н. Балашевич. – Минск, 1995. – 334 с.
2. Абчук, В. Н. Экономико-математическое моделирование / В. Н.
Абчук.– Санкт-Петербург, 1999. – 310 с.
3. Поттосина, С. А. Экономико-математические модели и методы: учеб.
пособие для студ. экон. спец. БГУИР всех форм обуч. / С. А.
Поттосина, В. А. Журавлев. – Минск : БГУИР, 2003. – 94 с.
4. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Н. И.
Холод [и др.] ; под. общ. ред. А. В. Кузнецова. – Минск : БГЭУ, 1999.
– 413 с.
5. Юферева, О. Д. Экономико-математические методы. / О. Д.
Юферева.– Минск : БГЭУ, 2002. – 56 с.
6. Мур, Дж. Экономическое моделирование в Microsoft Excel : пер. с
англ. / Дж. Мур, Л. Уэдерфорд. – 6-е изд. – Москва : Издательский
дом “Вильямс”, 2004. – 1024 с.
7. Орлов, А. И. Эконометрика / А. И. Орлов. – Москва : Экзамен, 2003.
– 576 с.
8. Похабов, В. И. Экономико-математические методы и модели :
практикум / В. И. Похабов. – Минск : БНТУ, 2003. – 130 с.
9. Экономико-математические методы и модели. Компьютерные
технологии решения : учеб. пособие / И. Л. Акулич [и др.]. – Минск :
БГЭУ, 2003. – 348с.
10.Миксюк, C. Ф. Экономико-математические методы и модели :
учебно-практическое пособие / С. Ф. Миксюк, В. Н. Комкова. –
Минск : БГЭУ, 2006. – 219 с.
44
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
кафедра информатики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
«Эконометрика и экономико-математические методы и модели»
Вариант № 0
Выполнил(а): студент(ка) 4 курса,
группы Э-26, шифр 062758,
заочной формы обучения,
Иванова (Сидорова)
Галина Ивановна
Проверил(а):
Витебск, 201_ г.
45
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
46
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
47
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
48
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
49
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
50
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
51
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
52