section{Угол между прямыми в пространстве}

Угол между прямыми в пространстве
План урока
1. Использование скалярного произведения для нахождения угла между векторами
2. Нахождение угла между лучами с общим началом
3. Пример нахождения угла между скрещивающимися прямыми
4. Общая формула для вычисления косинуса угла между прямыми
5*. Пример решения задачи с использованием условия перпендикулярности прямых
3.1. Использование скалярного произведения для нахождения угла между векторами
Благодаря важному геометрическому смыслу скалярное произведение оказывается
полезным при решении задач.
¶
Пусть a  AB и b  AC - два ненулевых вектора, связанных с точкой A. Угол
между такими векторами определяется как угол между лучами AC и AB. Тогда, как это
было доказано,
(1)
a  b  a  b cos 
В общем случае угол между двумя ненулевыми векторами a и b определяется
как угол между равными им векторами, связанными с одной точкой. При этом также
сохраняется равенство (1).
Из равенства (1) косинус угла между ненулевыми векторами можно выразить
через скалярное произведение и длины этих векторов:
a b
(2)
cos  
ab
В прямоугольной системе координат равенство (2) позволяет вычислить угол
между любыми двумя заданными ненулевыми векторами.
Вопрос. Какие углы образует вектор a = (3;4;5) с единичными векторами e1 =(1;0;0) ,
e2 =(0;1;0) , e3 =(0;0;1) координатных осей?
3.2. Нахождение угла между лучами с общим началом
Пусть два луча в пространстве определяются координатами их общего начала A и точек B
и C на этих лучах. Равенства (1) и (2) из предыдущего пункта позволяют вычислить
косинус угла между лучами и тем самым определить угол между ними.
Пример 1. Пусть A(-1;2;0), B(3;1;5), C(2;-1;-2). Найти угол  между лучами AB и AC.
Решение. Сначала найдем координаты вектора a  AB и вектора b  AC :
a = (3;1;5) - (-1;2;0) = (4;-1;5) ; b = (2;-1;-2) -(-1;2;0) = (3;-3;-2) .
Далее вычисляем:
2
a  a 2  42  (1)2  52  42; b  b 2  32  (3)2  (2)2  22;
2
a  b  4  3  (1)  (3)  5  (2)  5.
После этого получаем a  b  a  b cos  или 5  42  22 cos  . Отсюда cos  
5
.
2 231
5
.
2 231
Вопрос. Как с помощью скалярного произведения определить перпендикулярность
ненулевых векторов?
Следовательно,   arccos
3.3. Пример нахождения угла между скрещивающимися прямыми
Напомним, что угол между скрещивающимися прямыми m и n определяется как угол
между пересекающимися прямыми m1 и n1, которые соответственно параллельны прямым
m и n.
Пусть на прямой m заданы различные точки A и B, а на прямой n - различные точки C и D.
Обозначим направляющий вектор AB прямой m через a и направляющий вектор CD
прямой n через b (рисунок 1). Выбрав некоторую точку O, мы можем построить векторы
OM  a и ON  b (рисунок 2). Так как прямая OM параллельна прямой AB, а прямая ON
параллельна прямой CD, то угол между прямыми m и n можно вычислять как угол между
прямыми OM и ON . Если координаты точек A, B, C, D известны, то можно вычислить
координаты векторов OM и ON и найти угол  между этими векторами. Если  не
больше 90, то угол между прямыми OM и ON равен  , а если  больше 90, то угол
между прямыми OM и ON pавен углу, смежному с углом MON, и его величина равна 180.
Пример 2. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M середина ребра CD. Найти угол между
прямыми B1D и AM.
Решение. Обозначим ребро куба a. Введем прямоугольную систему координат с началом
a
B и осями BA, BC и BB1 (рисунок 3). Тогда A(a;0;0), D(a;a;0), B1(0;0;a), M ( ; a;0) . Введем
2
a
векторы m  AM  ( ; a;0), n  DB1  (a; a; a) , и обозначим через  угол между
2
m и n . Далее находим:
a2
5a 2
2
; n  n 2  a 2  a 2  a 2  3a 2 ;
 a2 
4
4
a
a2
m  n  ( )  (a)  a  (a)  0  a  
2
2
2
a
a 5
1
 a 3 cos  , cos   
Отсюда m  n  m  n cos  ,  
.
2
2
15
Так как cos  < 0, то угол между векторами m и n тупой. Поэтому угол  между
1
прямыми AM и B1D равен 180-  . Тогда cos   cos(180   )   cos  
 cos  .
15
1
Ответ:   arccos
.
15
m  m2 
2
Вопрос. Как определяется угол между пересекающимися прямыми?
3.4. Общая формула для вычисления косинуса угла между прямыми
Выведем общую формулу для вычисления косинуса угла между прямыми.
Пусть a - направляющий вектор прямой m, b - направляющий вектор прямой n,  - угол

между векторами a и b ,  - угол между прямыми m и n. Если 0    , то cos   0,
2

 =  , а поэтому cos   cos   cos  . Если   , то cos  < 0,  =  -  , а поэтому
2
cos   cos(   )   cos   cos  . Как в первом, так и во втором случае, приходим к
равенству cos   cos  .
Таким образом, получаем общее правило.
Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между
направляющими векторами этих прямых
Вопрос. Чему равна величина угла между параллельными прямыми?
3.5*. Пример решения задачи с использованием условия перпендикулярности
прямых
В этом пункте pазберем следующую задачу.
Пример 3. В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит
равносторонний треугольник ABC со стороной a. Найти боковые ребра призмы, если
известно, что прямые AB1 и CA1 перпендикулярны.
Решение. Обозначим AA1 = BB1 = CC1 = h. Введем прямоугольную систему координат с
началом A, ось Oy направим вдоль AB, ось Oz направим вдоль AA1, ось Ox направим в
плоскости основания так, как на рисунке 4. Найдем координаты вершин призмы: A(0;0;0),
a 3 a
a 3 a
; ;h ) .
B(0;a;0), C(
; ;0), A1(0;0;h), B1(0;a;h), C1(
2 2
2 2
a 3 a
; ; h) . Из условия следует, что m  n . Поэтому
Отсюда m  AB1  (0; a; h), n  CA1  (
2 2
a 3 a
a2
m  n  (0; a; h)  (
;  ; h)  h 2 
 0.
2
2
2
a
Так как h > 0, то h =
.
2
a
Ответ:
.
2
Вопрос. Как изменится решение этой задачи, если ввести систему координат с началом в
середине H ребра AB и осями HC, HB, HH1 , где H1 - середина ребра A1B1?
Проверь себя.
Задание 1.Выбрать из предложенных ответов правильные. Правильных ответов
может быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Выбрать пары перпендикулярных скрещивающиеся прямых:
1. АС и В1D1
2. АС1 и ВD1
3. AA1 и В1D1
4. AB1 и CD1
Ответ: 1, 3, 4.
Угол между векторами может быть равен
1. -45

2. 30 2

3. 180

4. 300 2

Ответ: 2, 3.
Среди косинусов углов, которые образует с координатными осями вектор a = (2;-1;-2)
имеются следующие:
1
1.
3
1
2. 
3
2
3.
3
2
4. 
3
Ответ: 2, 3, 4.
При каких а угол между векторами n (1, 2, 2) и m(2a,1,  a ) более 60?
1. 0
1
2.
7
1
3.
6
1
4.
5
Ответ: 3, 4.
Задание 2.
Выбрать правильные ответы
Чему равен косинус угла между векторами a и b , если a  2 b , а векторы 2a  b и
a  3b перпендикулярны?
1. 0
1
2.
2
1
3.
2
4. 1
Ответ: 3.
Два ненулевых вектора a и b таковы, что a  b  a  b . Чему равен косинус угла между
векторами a и b ?
1. 0
1
2.
2
1
3.
2
4. 1
Ответ: 1.
Вектор a  3b перпендикулярен вектору a  5b , а вектор a  4b перпендикулярен вектору
a  3b . Чему равен косинус угла между векторами a и b ?
1. 0
1
2.
13
1
3. 
13
1
4.
2
Ответ: 3.
Чему равна сумма векторов AB и CD , если A(1;5;2), B(-1;7;1), C(3;3;4), D(4;0;5)?
1. (0, 1, 0)
2. (1, 1, 1)
3. (-1, -1, -1)
4. (-1, -1, 0)
Ответ: 4.
Домашнее задание
1. Найдите координаты середины M отрезка AB, если A(1;2;4), B(3;0;2).
2. Даны точки A(1;0;6), B(5;4;0), C(5;0;3). Hайдите угол при вершине C треугольника ABC.
3. В основании правильной треугольной пирамиды SABC лежит равносторонний
треугольник ABC со стороной 2. Найдите боковые ребра пирамиды, если известно, что
перпендикулярны прямые CP и AQ, где P, Q - середины ребер SA и SB соответственно.
4. В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со
стороной 6. Точка P - середина ребра SB. Найдите высоту пирамиды, если известно, что
прямые AP и SC перпендикулярны.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD все ребра равны.
Найдите угол между медианами SK и DL граней ASB и CSD соответственно.
6. В пирамиде ABCD ребро AC перпендикулярно ребрам AB и CD. Найдите угол между
прямыми AB и CD, если известно, что AB = CD = 1, AC = 3, BD = 2 3 .
7. В пирамиде ABCD точки P и Q лежат на ребрах AD и BC так, что
AP : PD = BQ : QC = 1:2. Найдите угол между прямыми AB и DC, если известно, что
AB = DC = 2PQ.
8. В пирамиде ABCD точка P - середина ребра CD. Ребро AD перпендикулярно ребрам CD
и AB. Найдите угол между прямыми AB и CD, если известно, что AD = 3a, CD = 4a,
AB = BP = 5a.
9. В пирамиде ABCD точки M и N лежат на ребрах AC и BD так, что
AM : MC = BN : ND = 1:3. Найдите угол между прямыми AB и CD, если известно, что
AB = 3a, MN = 4a, CD = 9a.
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1 —
Рисунок 2 —
Рисунок 3 —
Рисунок 4 —
11-01.eps
11-02.eps
11-03.eps
11-04.eps