М.С. Губатенко (аспирант) РАСЧЕТ ГЛУБИНЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АМПЛИТУДЫ КОЛЕБАНИЙ ВИБРОСНАРЯДА В ГРУНТЕ г. Балаково, Балаковский институт техники, технологии и управления (филиал) ГОУ ВПО СГТУ Виброснаряд вовлекает в колебания прилегающий к нему грунт в перпендикулярном направлении относительно оси проходки. Энергия колебаний, передаваемая грунту виброснарядом, снижает силы трения и сцепления между частицами грунта, в результате чего уменьшаются предельные напряжения на поверхности уплотняющих сегментов, необходимые для вытеснения частиц грунта в зону уплотнения, а следовательно снижает усилие протяжки виброснаряда по скважине. В основу теоретических исследований по взаимодействию вибрационного снаряда с грунтом была положена идея Рейнольдса о единстве процесса переноса тепловой и механической энергии. К грунту, на который воздействует виброснаряд, энергия подводится периодическими импульсами с частотой равной частоте колебаний вибрационного снаряда [1]. Подводимая энергия, в соответствии с законом её сохранения, не исчезает бесследно, а передаётся от одних частиц грунта к другим через точки их соприкосновения (контакты), расходуясь на изменение структуры грунта. В связи с этим процесса распространения колебаний в грунте можно уподобить процессу теплопередачи. 1 При этом процесс взаимодействия вибрационного снаряда с грунтом зависит от очень большого числа факторов. К ним относятся: режим колебаний (амплитуда, частота), направление колебаний, режим работы виброснаряда, тип грунта и его физико-механические свойства, геологическое давление и другие факторы. Учесть все эти факторы не представляется возможным, поэтому при рассмотрении поставленной задачи исследуются лишь основные факторы, оказывающие наибольшее воздействие на процесс взаимодействия виброснаряда с грунтом. Силы внутреннего трения и сцепления между частицами грунта являются одним из главных механических свойств грунта влияющих на удельное сопротивление протяжке виброснаряда. Интенсивность изменения этих сил на расстоянии от поверхности виброснаряда неодинакова. Разность в значениях этих сил в статике и при вибрации можно принять за показатель, характеризующий изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта при вибрации. Задача теоретических исследований заключаться в определении сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта в отдельных точках, удаленных от поверхности вибрационного снаряда, в любой момент времени t. С математической точки зрения эта задача сводится к нахождению изменения в грунте сил внутреннего трения и сцепления между частицами в виде функции: FВ f x, y, z , t (1) где: FB – изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта, Н; x,y,z – координаты в трехмерном пространстве, м; t время, с. Определим указанную зависимость (1) в виде дифференциального уравнения. Для этого выделим в грунте элементарный объем в форме 2 параллелепипеда (рис. 1). Оси координат x,y,z расположим по ребрам параллелепипеда в направлении распространения колебаний. Тогда объем выделенного параллелепипеда определится: dV dx dy dz z (2) dx dz x y dy Рис. 1. Элементарный объем грунта в виде параллелепипеда Количество энергии, передаваемой за время dt через три смежные грани параллелепипеда (рис. 1), может быть представлено системой уравнений (3): dU x U X dy dz dt dU y U Y dx dz dt dU z U Z dx dy dt (3) где: U x , U y ,U z – удельные потоки энергии через грань вдоль соответствующих осей координат, H2 м . м с Рис. 2. Схема передачи энергии Величина удельных потоков энергии может быть выражена через изменение сил трения и сцепления в элементарном объеме грунта: Ux K dFВ ; dx Uy K dFВ ; dy Uz K dFВ dz (4) 3 где: К – коэффициент, характеризующий свойство грунта передавать энергию, представляющий собой площадь контактов отдельных частиц грунта, м2; – поправочный коэффициент, 1 м 2 с . Полагая, что удельные потоки энергии при распространении колебаний от одной грани параллелепипеда до противоположной, изменяются линейно можно определить количество энергии уходящей из противоположных граней параллелепипеда: dU x dV dt dx dU y dU y dy dU y dV dt dy dU z dU z dz dU z dV dt dz dU xdx dU x Разность между количеством энергии, (5) поступающей в выделенный элементарный объем грунта и количество энергии, ушедшей из него, будет затрачена на уменьшение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта. Затрату энергии на изменение сил внутреннего трения и сцепления в элементарном объеме грунта за отрезок времени dt можно представить в виде: dU FВ S где: S dFB dx dy dz dt dt (6) 1 – коэффициент разобщенности грунта, 1 / м 2 . K Величина dU F может быть представлена через уравнение баланса В энергии в элементарном объеме: dU FВ dU x dU xdx dU y dU y dy dU z dU z dz Учитывая зависимости (5) и (6), уравнение (7) (7) можно преобразовать к следующему виду: 4 S dFB dU x dU y dU z dt dx dy dz (8) Подставляя вместо U x , U y , U z их значения из формулы (4) получим: S dFB d dF d dF K B K B dt dx dx dy dy d dF K B dz dz (9) Принимая грунт за однородную среду, тогда коэффициент К не зависит от направления колебаний и уравнение (9) можно записать в виде: dFB К d 2 FB d 2 FB d 2 FB dt S dx 2 dy 2 dz 2 Так как величины S и K (10) обратно пропорциональны, имеем: d 2 FB d 2 FB d 2 FB dFB K 2 2 2 2 dt dx dy dz (11) Множитель K 2 представляет собой площадь контактов между отдельными частицами грунта в единицу времени. Множитель d 2 FB d 2 FB d 2 FB dx 2 dy 2 dz 2 является оператором Лапласа [2], который характеризует изменение сил внутреннего трения и сцепления в направлениях смежных граней выделенного бесконечно малого параллелепипеда. Обозначив, оператор Лапласа через dq , дифференциальное уравнение (11) может быть записано в виде: dFB К 2 dq dt (12) где dq – изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта при вибрации в выделенном бесконечно малом объеме, выраженное через переданную энергию колебаний. Для случая кольцевого распространения колебаний выражение (11) примет вид: d 2 FB dFB K 2 2 dt d ( r r ) 0 (13) 5 где: r – расстояние распространения кольцевых колебаний по радиусу; r0 – радиус источника колебаний. Как следует из приведенного уравнения, при отсутствии площади контактов между частицами ( К 0 ). Левая часть уравнения так же будет равна нулю ( dFB 0 ), то есть изменение сил внутреннего трения и dt сцепления в выделенном объеме остается неизменным во времени. Чем больше площадь точек контакта между частицами, тем больше изменяется сила трения и сцепления между частицами грунта. Для достижения одинакового эффекта при вибрировании величина изменения сил внутреннего трения и сцепления для грунтов с большой контактной площадью (глина) должна быть большей, чем для грунтов с меньшей контактной площадью (песок). В соответствии с этим затраты энергии для обработки грунтов с большей контактной площадью (глин) будет большей чем для грунтов с малой площадью контакта (песок). Для нахождения изменения сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта определим начальные и граничные условия. За начальное значение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта принимаем значение, соответствующее статическому состоянию грунта, при этом плотность грунта и его физико-механические свойства одинаковы во всех направлениях, величина контактной площади К постоянна в единице объема. Для нахождения изменений сил трения и сцепления в различных точках грунта, в качестве граничного условия можно применить известное значение сил внутреннего трения и сцепления на поверхности участка грунта, и потому знать подводимую энергию колебаний, а так же задаваться величиной сил внутреннего трения и сцепления на поверхности в месте подведения механической энергии. 6 Рассмотрим случай колебаний при кольцевом распространении энергии (для случая расширения вертикальных скважин виброснарядом). При этом величина сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта будет зависеть от трех координат, изменяться кольцевыми волнами по радиусу от источника колебаний, а уравнение имеет вид: dFB d 2 FB 2 K 2 dt d (r r0 ) (14) где: r – расстояние распространения кольцевых колебаний по радиусу; r0 – радиус источника колебаний. В результате математических преобразований, решение дифференциального уравнения (14) имеет вид: FВ D e i( r r0 ) e K 2 2 t (15) Произведем преобразование полученного равенства. Так как выбор величины 2 условиями неограничен, предположим что: 2 K 2 i (16) где – угловая частота колебаний виброснаряда. Тогда Поскольку i i i K (17) 1 i , можно записать: 2 i 1 i K 2 (18) Подставляя данное значение в формулу (16) получим: FВ D e 1 i ( r r0 ) K 2 e it De 1 K 2 e 1 i t ( r r0 ) K 2 (19) В соответствии с известной формулой Эйлера [2]: ei cos i sin (20) 7 Выбрав в формуле (19) знак минус, так как с увеличением расстояния от вибрационного снаряда разность значений между статической и динамической удельной силой сопротивления проколу грунта уменьшается, запишем значение F В в окончательном виде: FB D e 1 ( r r0 ) K 2 1 cos t K 1 (r r0 ) i sin t 2 K (r r0 ) 2 (21) Отбросим мнимую часть, как не удовлетворяющую граничному условию FB D e 1 ( r r0 ) K 2 1 cos t K (r r0 ) 2 (22) где: D – произвольная постоянная, которая определяется из граничных условий; (r r0 ) – радиус кольцевого распространения колебаний от источника колебаний, м; – поправочный коэффициент, 1 м с 2 ; t – время колебаний, с. При r r0 , FB FBMAX уравнение (22) примет вид: FB FBMAX cos t Поскольку сообщаемые (23) грунту колебания являются периодическими по своей природе, то и изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта так же будет следовать периодическому закону. Длительность периода изменения этой энергии будет определяться частотой импульсных воздействий вибрационного снаряда, а величина изменений будет зависеть от режима колебаний вибрационного снаряда и, следовательно, от величины подводимой механической энергии. Чем больше интенсивность колебаний виброснаряда, тем больше становится изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта. 8 Количество подводимой к грунту энергии в единицу времени при одинаковой частоте колебаний вибрационного снаряда находится в прямой зависимости от амплитуды его колебаний. Определим гармонических закономерность колебаниях в изменения зависимости амплитуды от при расстояния до вибрирующей поверхности, для этого составим дифференциальное уравнение [3]. На расстоянии x r r0 от вибрирующей поверхности (рис. 3) выделим слой с амплитудой AX . Уменьшение амплитуды в слое, находящемся на расстоянии dx выше предыдущего, равно dAX . Полагая, что изменение амплитуды в бесконечно малом слое прямо пропорционально амплитуды ее затухающих величине, дифференциальное колебаний можно уравнение представить в виде равенства: где a dAX AX dx (24) – коэффициент затухания амплитуды вибрации зависящий от физико-механических свойств материала и частоты вибрации, 1/м. а – параметр, зависящий от физико-механических свойств грунта, имеющий размерность, м 2/с, представляющий собой площадь контакта частиц грунта в единицу времени (для супеси а=6,5 м 2/с, для глины а=12,56 м 2/с) Разделив перемещение и интегрируя, получим: ln AX x c При x0 амплитуда вибрации (25) грунта равна амплитуде вибрирующей поверхности, т.е. AX A . Тогда амплитуда вибрации грунта на расстоянии x от вибрирующей поверхности будет иметь вид: 9 AX A e x Ввиду гармоничности колебаний, (26) амплитуду вибрации поверхности в любой момент времени t можно представить следующей зависимостью: A AO cost 0 где (27) – угловая частота колебаний вибрационного снаряда, рад/с; t – время, с; 0 – фазовый угол, соответствующий начальной фазе колебаний. Рис. 3. Схема распространения амплитуды вибрации в материале Подставляя выражение (27) в выражение (26), получим: AX AO e x cost 0 (28) Так как амплитуда на вибрирующей поверхности принимает максимальное значение, то AO AMAX , то выражение (28) примет вид: AX AMAX e x cost 0 (29) Анализируя уравнение (29) можно сделать вывод, что изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта подчиняется тому же закону, что и затухание амплитуды колебаний в грунте. 10 Так как грунт оказывает сопротивление, распространению колебаний, поглощая подводимую механическую энергию, то и величина амплитуды A и величина FB с удалением от рабочего наконечника будет иметь затухающий характер. Для аналогичной кривой затухающего колебания изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта можно записать в виде: FBx FBMAX e x cost 0 (30) Учитывая, что x r r0 , выражения (29) и (30) примут вид: A( r r0 ) AMAX e ( r r0 ) cost 0 (31) FB( r r0 ) FBMAX e ( r r0 ) cost 0 (32) Анализируя полученные зависимости можно сделать вывод, что при выборе режима колебаний вибрационного наконечника необходимо учитывать характер и величину затухания колебаний, так как это напрямую влияет на изменение сил внутреннего трения и сцепления между частицами грунта. Другими словами, каждому типу грунта соответствует свой режим колебаний, который характеризуется амплитудой и частотой колебаний, что определяет эффективность работы вибрационного снаряда. Список литературы. 1. Бауман В.А. Вибрационные машины и процессы в строительстве / В.А.Бауман, И.И.Быховский. – М.: Высшая школа, 1977. - 255с. 2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С.Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2001. – Т.2. - 544 с. 3. Ромакин Н.Е. Исследование истечения некоторых плохосыпучих сельскохозяйственных материалов из бункера с вибрирующим днищем: дис. … канд. техн. наук./ Ромакин Н.Е.; Сарат. ин-т. мех.с./х. им. Калинина. – Саратов, 1970.-315с. 11