Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и плоскостью
называется угол между прямой и ее прямоугольной проекцией на данную
плоскость.
Теорема. Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех
углов, которые данные прямая образует с прямыми, лежащими в данной
плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.
Доказательство. Пусть прямая а пересекает плоскость α в точке О, с –
проекция прямой а на плоскость α, b – произвольная прямая, лежащая в
плоскости α, проходящая через точку О и не совпадающая с прямой с.
Пусть φ – угол между прямыми а и b, ω – угол между прямыми а и с.
Если прямые а и b не перпендикулярны, то из точки М на прямой а
проведем перпендикуляры МА и МВ к прямым с и b соответственно.
Из прямоугольных треугольников МАО и МВО находим sinω=МА/МО,
sinφ= МВ/МО. Так как МA<MB, то sinω<sinφ (так как 0<ω90О, а функция sinx
на указанном промежутке является возрастающей).
Если аb, то ω=90о, а значит ω>φ.
Теорема доказана.
Угол между параллельными прямой и плоскостью считается равным нулю.
Примеры решения задач
Задача № 1. Концы отрезка АВ длиной 12 см принадлежат двум взаимно
перпендикулярным плоскостям. Расстояния от точек А и В до прямой
пересечения плоскостей равны 6 см. Вычислите углы, которые образует отрезок
АВ с этими плоскостями.
Дано: АВ=12 см, АК=6 см, ВТ=6 см.
Найти: BAT, ABK
Решение:
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой l, ВТl, AKl. тогда ВТα,
АКβ, ВТ=АК=3 см.
Так как ВТα, то в треугольнике АТВ (АТВ=90о) sinBAT=TB/AB=6/12=1/2,
BAT=30o.
Так как АКβ, то в треугольнике АКВ (АКВ=90о)
sinABK=AK/AB=6/12=1/2, ABK=30o.
Ответ: 30о, 30о
Задача № 2. Сторона АС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС)
лежит в плоскости α, а высота образует с этой плоскостью угол, равный 30 о.
Вычислите длину проекции стороны АВ на плоскость α, если АВ=5 см, АС=6
см.
Дано: АВ=ВС, АВ=5 см, АС=6 см,
BDT=30о
Найти: АТ
Решение:
Пусть точка Т – ортогональная проекция вершины В на плоскость α, тогда
отрезок DT есть ортогональная проекция высоты BD на плоскость α,
BDT=30о, отрезок АТ – ортогональная проекция стороны АВ на плоскость α.
В треугольнике АТВ (АТВ=90о) длина катета АТ= АВ2  ВТ 2 , АВ=5 см.
В треугольнике DTB (DTB=90o, BDT=30о) ВТ=DB/2.
В треугольнике ADB (ADB=90o, АВ=5 см, AD=3 см) длина катета DB=
АВ2  AD2 =4 см.
Таким образом, ВТ=DB/2, АТ= АВ2  ВТ 2 = см.
Ответ: 21 см.
Задача № 3. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, все ребра
которой равны между собой. Вычислите угол, который образует боковое ребро
пирамиды с плоскостью основания.
Дано: SABCD – правильная
четырехугольная пирамида
Найти: SAO
Решение:
Пусть точка О – точка пересечения диагоналей основания пирамиды. Тогда
SOAC и SOBD, следовательно, SO(ABC).
Таким образом, прямая АО – ортогональная проекция прямой AS на плоскость
основания.
Пусть АВ=а, SAO=α. В треугольнике SOA cosα=AO/AS=a 2 /2:a= 2 /2, т.е.
α=45о.
Ответ: 45о
Задача № 4. Точка F – средина стороны основания правильной
четырехугольной пирамиды SABCD. Вычислите косинус угла наклона прямой
SF к плоскости основания пирамиды, если АВ=4 см, SC=8 см.
Дано: SABCD – пирамида, АВ=4 см,
SC=8 см, DF=FC.
Найти: cosSFO
Решение:
Пусть О=BDAC. Тогда SO(ABC). Из треугольника SOF находим
cosSFO=OF/SF. OF=AD/2=2 см. В треугольнике SFC (SFC=90o, SC=8 см,
СF=2 см) длина катета SF= SC 2 SF 2 =2 15 см. Таким образом,
cosSFO=OF/SF=
15
.
15
Ответ:
15
15
Задача № 5. Через вершину прямого угла С треугольника АВС проведена
прямая l, перпендикулярная плоскости АВС. Плоскость, проходящая через АВ,
пересекает прямую l в точке D. Вычислите угол наклона высоты DF
треугольника ADB к плоскости АВС, если АВ=10 см, АС=6 см, а площадь
треугольника ADB равна 48 см2.
Дано: АВ=10 см, АС=6 см, SADB=48
см2.
Найти: CFD
Решение:
Так как CD(ABC), то отрезок CF – ортогональная проекция отрезка DF на
плоскость АВС, следовательно, угол CFD – искомый.
В треугольнике DCF (DCF=90o) cosCFD=CF/DF, CFD=arcos(CF/DF).
В треугольнике ADB (DFAB, AB=10 см, SADB=48 см2) DF=2SADB/AB=48/5 см.
В треугольнике АСВ (АСВ=90о, АВ-10 см, АС=6 см) ВС= AB2  AC 2 =8 см.
SABC=АСВС/2, SАСВ=АВCF/2, ACBC=ABCF, CF=(ACBC)/AB=24/5 см.
Таким образом, cosCFD=CF/DF=1/2. CFD=60о.
Ответ: 60о
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Угол между параллельными прямой и плоскостью равен…
1) 0о
2) 90о
3) 180о
2. КВ перпендикулярно ABCD. Укажите угол между KD и плоскостью ABCD…
1) KDB
2) KDC
3) KDA
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Чему равен угол между прямой АА1 и плоскостью ABCD…
1) 0о
2) 45о
3) 60о
4) 90о
4. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Чему равен угол между стороной основания
и прилежащей боковой гранью?
5. Угол между прямой АВ и плоскостью α составляет 60 о. Точки А и В лежат по одну
сторону от плоскости α (точка В удалена от плоскости дальше, чем точка А). Найдите
расстояние от точки А до плоскости, если расстояние от точки В до плоскости равно 4(2+ 3
) см, а расстояние между проекциями этих точек на плоскость α – 4 см.
6. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны 3
см и 4 см, если она образует с плоскостью основания угол 60о.
7. Отрезок АВ длиной 6 см упирается своими концами в две взаимно перпендикулярные
плоскости. Расстояние от точек А и В до линии пересечения плоскостей равно 3 см. Найти
углы, которые образует отрезок с этими плоскостями.
8. Высота SO правильной пирамиды SABC равна стороне ее основания. Найдите угол,
который образует прямая SC с плоскостью АВС.
9. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат. Боковая грань SAB перпендикулярна
плоскости основания и является правильным треугольником. На ребре SB взята точка М –
середина этого ребра. Найдите угол между прямой АС и плоскостью основания.
10. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро SB
перпендикулярно плоскости основания и SB:AB= 3 :1. На ребре SC взяты точки М1, М2 и
М3 такие, что СМ1=М1М2=М2М3=М3S. Найти угол, который образует с плоскостью грани
SBC прямая АМ1.
Вариант 2
1. Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью равен…
1) 0о
2) 90о
3) 180о
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите угол между диагональю В1D и гранью ABCD…
1) В1DА
2) В1DС
3) В1DВ
3. АВСА1В1С1 - правильная треугольная призма. Чему равен угол между прямой АВ и
плоскостью грани ВСС1В1…
1) 0о
2) 45о
3) 60о
4) 90о
4. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Чему равен угол между диагональю
основания и боковой гранью параллелепипеда?
5. Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости α. Угол между прямой АВ и
плоскостью составляет 45о. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если расстояние
от точки А до плоскости равно 3 см, а расстояние от проекции точки В на плоскость α в два
раза больше расстояния от проекции точки А на плоскость α.
6. Найти длину бокового ребра правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ
равна 7 2 см и составляет с боковой гранью угол 30о.
7. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом
30о. Найдите угол ее наклона к плоскости основания.
8. Диагональ А1С правильной призмы ABCDA1B1C1D1 образует с плоскостью основания
угол, равный 45о. Найдите угол между прямой А1С и плоскостью ADD1.
9. На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К – средина этого ребра. Найдите угол
между плоскостями BDK и АВ1С1.
10. В основании пирамиды лежит трапеция ABCD с прямым углом при вершине В и
отношением сторон АВ:ВС:AD=1:1:2. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости
основания и SB=AB. На ребре AD взята точка Р – середина этого ребра. Найдите угол,
который образует прямая SD с секущей плоскостью, проходящей через точку Р,
перпендикулярно прямой SC.
Вариант 3
1. Углом между прямой и плоскостью называется угол…
1) Между прямой и перпендикуляром к плоскости
2) Между прямой и любой прямой, лежащей в плоскости
3) Между прямой и ее проекцией на плоскость
2. Дана треугольная пирамида МВАР. Укажите угол между прямой МВ и плоскостью АВР…
1) МВР
2) MBD
3) MDB
3. ABCDFEA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма. Чему равен угол между
прямой АА1 и плоскостью основания…
1) 0о
2) 30о
3) 90о
4) 45о
4. ABCDA1B1C1D1 – куб. Чему равен угол между его диагональю и плоскостью основания?
5. Угол между прямой АВ и плоскостью α составляет 30 о. Точки А и В лежат по одну
сторону от плоскости α (точка В удалена от плоскости дальше, чем точка А). Найдите
расстояние от точки В до плоскости α, если расстояние от точки А до плоскости равно 3 см, а
расстояние между проекциями этих точек на плоскость α – 6 3 см.
6. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани
угол в 30о. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.
7. Диагональ правильной четырехугольной призмы составляет с боковой гранью угол в 30 о.
Вычислите длину бокового ребра призмы, если длина стороны основания равна
2 см.
8. Длина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АСВ равна 6 см. Через гипотенузу
проведена плоскость, образующая с катетами углы в 30о и 45о. Вычислите расстояние от
вершины прямого угла до этой плоскости.
9. На ребрах АВ, ВС и SB правильного тетраэдра SABC взяты соответственно точки М, D и
К – середины этих ребер. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью, проходящей
через прямую МК параллельно прямой SD.
10. Основанием пирамиды является правильный треугольник АВС, а ее вершина S
проектируется в точку О, симметричную точке С относительно прямой АВ. На ребре SC,
образующем с плоскостью основания угол, равный 45о, взята точка М – середина этого
ребра. Найдите угол между прямой АМ и плоскостью SOC.
Вариант 4
1. Угол между перпендикулярными прямыми равен…
1) 0о
2) 90о
3) 180о
2. Дана прямая треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите угол между прямой АС и
плоскостью грани ВСС1В1…
1) АСС1
2) АСВ
3) АСВ1
3. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Чему равен угол между прямой A1D1 и
гранью АВСD…
1) 0о
2) 30о
3) 45о
4) 90о
4. ABCDA1B1C1D1 – правильная четырехугольная призма. Чему равен угол между
плоскостью диагонального сечения и противолежащим ему боковым ребром?
5. Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости α. Угол между прямой АВ и
плоскостью составляет 60о. Найдите расстояние между проекциями точек А и В на плоскость
α, если расстояние между точками А и В равно 20 см, а точка пересечения отрезка АВ с
плоскостью делит отрезок пополам.
6. Точка Т находится на расстоянии 4 см от каждой из вершин квадрата ABCD. Найдите угол
между прямой ВТ и плоскостью квадрата, если AD=4 см.
7. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет
наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью
треугольника.
8. Из точки О к плоскости проведены три равные наклонные ОА=ОВ=ОС=10 см,
образующие между собой попарно равные углы. Вычислите длину отрезка АС, если
наклонная ОС образует с плоскостью угол 30о.
9. На ребрах куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q – середины этих ребер.
Найдите угол, который образует с диагональной плоскостью АА1С1С прямая C1D.
10. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро SB
перпендикулярно плоскости основания и SB:AB= 3 :1. На ребре SC взяты точки М1, М2 и
М3 такие, что СМ1=М1М2=М2М3=М3S. Найти угол, который образует с плоскостью грани
SBC прямая АМ2.
Вариант 5
1. Угол между параллельными прямыми равен…
1) 0о
2) 90о
3) 180о
2. Дана правильная четырехугольная пирамида TABCD. Укажите угол между прямой ТА и
плоскостью основания…
1) ТОА
2) TFO
3) TAO
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Чему равен угол между прямой BD и плоскостью ABCD…
1) 0о
2) 45о
3) 60о
4) 90о
4. АВСА1В1С1 – правильная треугольная призма. Чему равен угол между основанием призмы
и боковым ребром?
5. Угол между прямой АВ и плоскостью α составляет 45 о. Точки А и В лежат по одну
сторону от плоскости α (точка В удалена от плоскости дальше, чем точка А). Найдите
расстояние от точки В до плоскости, если расстояние от точки А до плоскости равно 7 см, а
расстояние между точками А и В - 4 2 см.
6. Дан равносторонний треугольник со стороной 4 см. Найдите площадь его проекции на
плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 30о.
7. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ
параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 о. Найдите боковое ребро
параллелепипеда.
8. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD наклонено к плоскости
основания под углом 60о, точка Р – середина ребра SA. Найдите угол между прямой PD и
плоскостью ASC, если АВ=2 см.
9. На ребрах ВВ1, DD1 и AD куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р, Q и R –
середины этих ребер. Найдите угол, который образует с секущей плоскостью, проходящей
через точки Р, Q и R прямая А1С.
10. В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и середину
противолежащего ребра проведена плоскость, образующая с плоскостью основания
двугранный угол 60о. Площадь сечения равна 8 3 см2. Вычислите площадь боковой
поверхности призмы.
Вариант 6
1. Угол между скрещивающимися прямыми равен…
1) Углу между пересекающимися параллельными им прямыми
2) Углу между их проекциями на плоскость
3) Углу между пересекающимися перпендикулярными им прямыми
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите угол между диагональю В1D и гранью ADD1A1…
1) B1DA1
2) B1DD1
3) B1DA
3. ABCDFEA1B1C1D1E1F1 – правильная шестиугольная призма. Чему равен угол между
прямой ВС и плоскостью грани АВВ1А1…
1) 0о
2) 30о
3) 90о
4) 60о
4. ABCDA1B1C1D1 – правильная усеченная пирамида. Чему равен угол между диагональю
верхнего основания и плоскостью нижнего основания?
5. Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости α. Угол между прямой АВ и
плоскостью составляет 30о. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если расстояние
от точки А до плоскости равно 4 см, длина отрезка АВ – 14 см.
6. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой
пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.
7. Из точки А, удаленной от плоскости на расстояние 4 см, проведены к этой плоскости
наклонные АВ и АС под углом 30о к плоскости. Их проекции на плоскость образуют угол в
120о. Найдите ВС.
8. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине пирамиды равен 60 о.
Вычислите угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.
9. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, боковые ребра которой наклонены к
плоскости основания под углом 60о. Найдите радиус окружности, описанной около
диагонального сечения пирамиды, если АВ= 6 см.
10. Найдите угол при ребре основания правильной четырехугольной пирамиды, если высота
пирамиды в два раза меньше стороны основания.
Вариант 7
1. Угол в 30о является…
1) Развернутым 2) Тупым 3) Острым
2. Дана треугольная пирамида МВАР. Укажите угол между прямой МC и плоскостью АВР…
1) МCР
2) MCB
3) MCA
3. АВСА1В1С1 - правильная треугольная призма. Чему равен угол между прямой СС 1 и
плоскостью грани ВСС1В1…
1) 0о
2) 45о
3) 60о
4) 90о
4. ABCDA1B1C1D1 – куб. Чему равен угол между диагональю боковой грани и плоскостью
основания?
5. Угол между прямой АВ и плоскостью α составляет 60 о. Точки А и В лежат по одну
сторону от плоскости α. Найдите расстояние между проекциями точек А и В на плоскость α,
если расстояние от точки А до плоскости равно 4 см, а расстояние от точки В – 4(1+ 3 ) см.
6. Две плоскости пересекаются под углом 30о. Точка А, лежащая в одной из плоскостей
отстоит от второй плоскости на расстоянии 4 см. Найдите расстояние от этой точки до
прямой пересечения плоскостей.
7. В равнобедренном треугольнике АВС АС=СВ=1 см, ВАС=30о. Отрезок ОС, длина
которого равна 2 см, перпендикулярен плоскости АВС. Найдите градусную меру угла
между прямой ОА и плоскостью ОВС.
8. Из точки С к плоскости проведены наклонные СА и СВ, перпендикулярные между собой и
образующие с плоскостью углы 30о и 45о. Определите градусную меру угла, образованного с
плоскостью перпендикуляром, проведенным из точки С к прямой АВ.
9. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под
углом 60о. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30о к плоскости
основания. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна 12 см.
10. В основании пирамиды МАВС лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания, и МВ:АВ= 3 :1. На ребре МС взяты точки Р1, Р2 и
Р3, такие, что СР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3М. Найдите угол, который образует с плоскостью грани МВС
прямая АР1.
Вариант 8
1. Тупым углом называется угол…
1) Больше 90о
2) Меньше 90о
3) Больше 180о
2. TABCD - правильная четырехугольная пирамида. Укажите угол между прямой ТO и
плоскостью грани TDC…
1) TFO; 2) TCF; 3) OTF
3. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Чему равен угол между прямой AD и
гранью АВВ1А1…
1) 0о
2) 30о
3) 45о
4) 90о
4. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны между собой.
Чему равен угол между плоскостью основания и боковым ребром пирамиды?
5. Точки А и В лежат по разные стороны от плоскости. Найдите расстояние между проекциями
точек на плоскость, если АВ=16 см, а расстояния от точек до плоскости - 4 3 см.
6. Точка А находится на расстоянии 3 см от плоскости α. Найдите угол между прямой АС и
плоскостью α, если точка С лежит в плоскости, а расстояние от точки С до основания
перпендикуляра из точки А равно 3 3 см.
7. Из точки проведены к плоскости две наклонные, образующие с ней углы 45о и 60о.
Вычислите длину меньшей наклонной, если расстояние между основаниями наклонных
равно 1 см, а градусная мера угла между их проекциями на плоскость равна 30о.
8. Высота МО правильной пирамиды МАВС равна стороне ее основания. Найдите угол,
который образует прямая МС с плоскостью АВС.
9. Основанием наклонной призмы ABCА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС,
АС=АВ=13 см, ВС=10 см. Проекцией вершины А является точка пересечения медиан
треугольника АВС. Найдите угол наклона бокового ребра призмы к основанию, если
площадь грани СС1В1В=80 2 см2.
10. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат
со стороной 8 см. Площадь сечения, проходящего через диагональ основания DB равна 24
6 см2. Найдите угол между сечением и прямой АС, если сечение является равнобокой
трапецией.
Вариант 9
1. Угол в 90о называется…
1) Развернутым
2) Прямым
3) Прямоугольным
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Укажите угол между диагональю В1D и гранью AA1B1B…
1) B1DA
2) B1DB
3) B1DA1
3. TABCD – правильная четырехугольная пирамида. Чему равен угол между прямой ТО и
плоскостью основания…
1) 0о
2) 45о
3) 60о
4) 90о
4. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, в основании которой лежит ромб. Чему равен угол
между большей диагональю ромба и плоскостью боковой грани призмы?
5. Угол между прямой АВ и плоскостью α составляет 30о. Точки А и В лежат по одну
сторону от плоскости α. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если расстояние от
точки В до плоскости равно 7 см, а расстояние между точками А и В – 8 см.
6. Угол между прямой АВ и плоскостью α равен 30о. Найдите расстояние от точки В до
плоскости, если расстояние от точки А до плоскости α равно 4 см, а длина проекции отрезка
АВ на плоскость равна 3 3 см.
7. Из точки О к плоскости проведены равные наклонные ОА и ОВ, угол между которыми
равен 60о, а угол между их проекциями на плоскость равен 90о. Найдите углы между
наклонными и плоскостью.
8. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат. Боковая грань МАВ перпендикулярна
плоскости основания и является правильным треугольником. На ребре MB взята точка Р середина этого ребра. Найдите угол, который образует с плоскостью основания пирамиды
прямая АР.
9. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите угол между диагональю
параллелепипеда D1B и плоскостью основания, если площадь диагонального сечения равна
25 3 см2, а площадь основания – 12 см2.
10. Найдите угол между боковым ребром правильной усеченной пирамиды и плоскостью
нижнего основания, если площадь диагонального сечения усеченной пирамиды равна 3 3
см2, а боковое ребро равно диагонали меньшего основания.
Вариант 10
1. Развернутым углом называется угол…
1) 0о
2) 90о
3) 180о
2. Прямая МА перпендикулярна плоскости АВС. Укажите угол между прямой МК и
плоскостью АВС…
1) МКА
2) МСА
3) МАК
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Чему равен угол между прямой А1В1 и плоскостью ABCD…
1) 0о
2) 45о
3) 60о
4) 90о
4. ABCDA1B1C1D1 – правильная четырехугольная призма. Чему равен угол между
диагональю ее боковой грани и плоскостью противолежащей боковой грани?
5. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 9 см. Прямая k пересекает
плоскости в точках А и В под углом в 30о. Найдите длину отрезка АВ.
6. SABCD – правильная четырехугольная призма. Найдите угол между ребром SA и
основанием призмы, если все ребра призмы равны.
7. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, равное 16 см. Боковая сторона
одного треугольника равна 17 см. а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите
угол между плоскостями треугольников, если расстояние между вершинами треугольников
равно 13 409 см.
8. На ребре AD куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Q - середина этого ребра. Найдите угол,
который образует с плоскостью BC1Q прямая CD1.
9. ABCDA1B1C1D1 - куб. Найдите угол, который образует с диагональной плоскостью
АА1С1С прямая C1D.
10. В основании пирамиды МАВС лежит правильный треугольник АВС, боковое ребро MB
перпендикулярно плоскости основания, и МВ:АВ= 3 :1. На ребре МС взяты точки Р1, Р2 и
Р3, такие, что СР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3М. Найдите угол, который образует с плоскостью грани МВС
прямая АР2.
Ответы
Вариант
1
Вариант
2
Вариант
3
Вариант
4
Вариант
5
Вариант
6
Вариант
7
Вариант
8
Вариант
9
Вариант
10
1
1
2
3
2
1
1
3
1
2
3
2
1
3
2
2
3
1
3
3
1
1
3
4
3
3
1
2
4
1
4
4
1
4
60
90
45
0
90
0
45
45
90
0
5
8
6
9
10
11
3
4
8
3
18
6
10
7
45
45
6
30
8
30
7
45
7
30
45
2
45
13
12
30
2
45
60
8
60
30
1
15
45
45
60
60
30
45
9
30
30
90
30
90
2
54
45
60
30
10
90
60
30
45
144
45
60
60
60
45
Скачать

Угол между прямой и плоскостью