Численные методы линейной алгебры Задание 1 Векторное пространство, операции с векторами 1. Линейные операции, нормы векторов В трехмерном линейном вектором пространстве R3 в качестве базисных векторов взяты ортонормированные векторы i , j , k… Векторы х и у заданы в форме линейной комбинации единичных орт i , j , k: х=х1i + х2j + х3к , у=у1i + у2i +у3к, где коэффициенты х1,х2,х3 и у1, у2, у3 даны по вариантам. 1.1. Найти вектора z=x +у и d= х – у. 1.2. Вычислить скалярное произведение векторов х и у. 1.3. Определить, с какой плоcкостью [i, j] [i, k] или [j, k] совпадают подпространства R2, содержащие векторы х и у соответственно. 1.4. Для векторов х и у вычислить нормы: - норму, евклидову норму, С-норму. 2. Расстояния, углы между векторами В инерциальной системе координат заданы геоцентрический радиусвектор спутника r(х,у,z) и геоцентрический радиус вектор «наблюдателя» R (Х,У,Z) (по вариантам). 2.1. Определить топоцентрический радиус-радиус вектор спутника как разность векторов r и R. 2.2. Определить топоцентрическое расстояние до спутника как расстояние между векторами r и R, а также как евклидову норму вектора . 2.3. Определить угол между векторами r и R, дать его географическую интерпретацию. Исходные данные к п.1 задания 1 Вариант х1 х2 х3 у1 у2 у3 1 0 2 8 4 0 20 2 3 4 0 0 0 5 11 7 2 3 4 7 15 20 0 0 0 18 16 14 5 6 0 13 6 0 12 4 11 0 0 8 12 10 7 8 10 7 0 0 3 7 0 0 9 10 8 6 9 10 20 18 0 0 10 8 0 0 11 12 4 2 11 2 7 0 1 13 0 12 10 4 0 2 14 0 13 8 3 0 3 15 0 14 15 16 24 18 0 16 10 3 0 0 8 4 5 0 10 8 24 0 0 11 17 0 4 9 0 23 12 18 19 20 0 0 0 5 6 7 10 11 12 0 0 0 22 21 20 13 14 15 Исходные данные к п.2 задания 1 Вариант вектор спутника r (x, y,z) (метры) вектор «наблюдения» R (X, У, Z) (м) 1 х -17 263 786 у 4 742 087 z 19 923 005 X 459 431 У 3 644 015 Z 5 197 087 2 3 4 -7 344 199 -16 648 851 15 194 565 -14 080 330 20 584 406 -4 638 169 21 464 265 -351 837 21 005 451 459 431 459 431 459 431 3 644 015 3 644 015 3 644 015 5 197 087 5 197 087 5 197 087 5 6 16 336 372 -18 822 637 15 997 346 -6 009 044 19 235 593 17 438 038 459 431 459 431 3 644 015 3 644 015 5 197 087 5 197 087 7 8 -7 909 697 -17 167 581 24 918 755 4 491 366 -701 169 20 062 054 459 431 459 431 3 644 015 3 644 015 5 197 087 5 197 087 9 -7 058 765 -14 132 021 21 529 306 459 431 3 644 015 5 197 087 10 -16 625 557 20 606 828 8 066 459 431 3 644 015 5 197 087 11 12 15 373 419 16 290 058 - 4 404 986 15 791 835 20 921 618 14 491 684 459 431 459 431 3 644 015 3 644 015 5 197 087 5 197 087 13 -18 943 255 -6 221 304 17 232 603 459 431 3 644 015 5 197 087 14 15 16 -7 921 426 -17 072 254 -6 772 875 24 923 500 4 238 329 -14 185 638 -324 468 20 196 247 21 589 089 459 431 459 431 459 431 3 644 015 3 644 015 3 644 015 5 197 087 5 197 087 5 197 087 17 -16 599 456 20 625 756 335 054 459 431 3 644 015 5 197 087 18 19 20 15 552 972 16 243 823 -19 063 556 -4 173 778 15 602 811 -6 430 474 20 832 458 14 744 322 17 022 792 459 431 459 431 459 431 3 644 015 3 644 015 3 644 015 5 197 087 5 197 087 5 197 087 Профессор, к.т.н. В.А. Ащеулов Численные методы линейной алгебры Задание 2 ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ 1. Привести примеры квадратных матриц размером 3 3: диагональной, единичной, верхней треугольной, нижней треугольной, симметричной, кососимметричной. 2. Вычислить определитель квадратной матрицы А3,3 (по вариантам). Определить след матрицы А. 3. Для заданных (по вариантам) матриц А3, 2 , В3 ,2 , С2, 4 и числа N (номер варианта) выполнить следующие операции: 3.1. Умножение матрицы на число D = NA 3.2. Сложение матриц D = A+B 3.3. Транспонирование матриц D = CТ D = (A + B)Т 3.4. Перемножение матриц D = AC D = CT BT D = (A + B)C 4. Для заданной (по вариантам) матрицы А4, 3 определить нормы матрицы: L-норму, С-норму, евклидову норму, m-норму, М-норму. 5. Даны две блочные матрицы А2, 2 и В2, 2 (по вариантам). Выполнить следующие операции с блочными матрицами: сложение D=A+B умножение D =AB Исходные данные к заданию 2 А3, 3 = 2. А3, 2 = 3. 1 N 40 N 3 N 2 N 25 N 5 N 3 N 4 N 4 N 5 N 4 N 1 N 3 N 1 N 5 N 3 N 11 N В3, 2 = 3 N 15 N 3 N 1 N С2, 4= 4 N 9 N 2 N 1 N 3 1 N 5 N 1 N N N 4. А4, 3 = 1 А2, 2 = 1 N 2 N 2 N 2 N 3 3 N 3 N 4 N N 5 N 5 N 16 N 1 N 3 N 1 N 11 N 1 N N 4 N 4 N 15 N 1 N 4 14 2 N 3 N 4 N 11 N N 3 N 4 N N 4 N 3 N N 22 N 2 N 9 N 8 N 5 N 3 N N 7 В2, 2 = N N 1 5. 1 N N Численные методы линейной алгебры Задание 3 Вычисление обратной, псевдообратной матрицы 3. Вычислить обратную матрицу для квадратной матрицы А3,3 (по вариантам). Определить ранг матрицы. Выполнить контроль правильности вычисления обратной матрицы. 4. Вычислить псевдообратную матрицу для прямоугольной матрицы В4, 2 (по вариантам). Определить ранг матрицы. Исходные данные к заданию 3 2 N 5 N 8 N Для пункта 1 задания 3 А3, 3 = 3 N 6 N 9 N , 4 N 7 N N Для пункта 2 задания 3 В4,2= 4 N 1 N 5 N 2 N 6 N 3 7 N N N , где N – номер варианта. Профессор к.т.н. В.А. Ащеулов Численные методы линейной алгебры Задание 4 Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы Для заданной квадратной матрицы А2, 2 (по вариантам) определить: 1. Собственные значения матрицы А путем решения векового уравнения. 2. Найти след матрицы А и определитель матрицы А непосредственно и с использованием найденных собственных значений. 3. Найти собственные векторы матрицы А. Исходные данные к заданию 4: 3 N 2 N А= , 4 N 1 N где N – номер варианта. Профессор к.т.н. В.А. Ащеулов Численные методы линейной алгебры Задание 5 Решение СЛАУ с использованием программы SVD сингулярного разложения матриц Содержание задания: 1. Загрузить программу SVD MNK. 2. Открыть файл входных и выходных данных программы SVD MNK. 3. Ввести исходные данные к программе: - массив логических переменных KEY (1-4), определяющих перечень вывода на печать промежуточных результатов счета; - число уравнений m (целое число), число неизвестных n (целое число) и относительную точность вычислений в виде десятичной дроби; - расширенную матрицу коэффициентов уравнений. 4. Вычисление по программе SVD. EXE выполнить минимум два раза – изменяя точность вычислений получить результат с полным рангом СЛАУ r = n и r < n. 5. Проанализировать результаты счета: таблицу решения системы линейных уравнений, параметры решения, промежуточные результаты счета (по выбору студента). Профессор кафедры астрономии и гравиметрии, к.т.н. В.А. Ащеулов