Министерство образования и науки Уральский государственный лесотехнический университет

Министерство образования и науки
Уральский государственный лесотехнический университет
Кафедра «Сопротивление материалов и теоретическая
механика»
С.А. Душинина
Л.Т. Раевская
А.М. Морозов
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
С РЕШЕНИЯМИ
ЧАСТЬ I
Методические указания для студентов очной и заочной форм
обучения.
Направления: 150400 – Технологические машины и оборудование
190500 – Эксплуатация транспортных средств
190600 – Эксплуатация наземного транспорта и транспортного
оборудования
270200 – Транспортное строительство
250300 – Технология и оборудование лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств
Дисциплина – Сопротивление материалов
Екатеринбург
2010
Печатается по рекомендации методической комиссии лесоинженерного
факультета. Протокол № от
2010 г.
Рецензент, доктор технических наук,
Профессор кафедры
«Техническая механика» УГГУ
Д.Т.Анкудинов
Редактор РИО
Компьютерная верстка
Подписано в печать
Формат 60х84 1/16
Поз.
Плоская печать
Печ. л.
Тираж
Экз.
Заказ
Редакционно-издательский отдел УГЛТУ
Отдел оперативной полиграфии УГЛТУ
Цена
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................... 4
1.1. Основные понятия, определения, допущения и принципы ............ 4
1.2. Модели прочностной надежности ......................................................... 6
1.3. Внутренние силы и напряжения ............................................................ 8
1.4. Перемещения и деформации............................................................... 10
2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ...................................................................... 12
2.1 Продольная сила. Напряжения и деформации ................................ 12
2.2. Испытание конструкционных материалов на растяжение и
сжатие ................................................................................................................ 14
2.3. Механические свойства материалов ................................................. 17
2.4. Расчеты стержней на прочность и жесткость .................................. 19
3. СДВИГ. КРУЧЕНИЕ .................................................................................... 22
3.1. Чистый сдвиг. Расчет на сдвиг (срез) ................................................ 22
3.2. Крутящий момент. Деформации и напряжения............................... 25
3.3. Расчет на прочность при кручении ..................................................... 27
3.4. Расчет на жесткость при кручении ...................................................... 30
4. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В
ТОЧКЕ ............................................................................................................... .33
4.1. Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения .............................................................................................. 33
4.2. Виды напряженного состояния ............................................................ 36
4.3. Оценка прочности материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности .......................................................................... 39
4.4. Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями ............................................................................ 41
5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ
СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ ................................................................................... .44
5.1. Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры ............... 44
5.2. Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами
инерции при параллельном переносе осей ............................................ 46
5.3. Главные оси и главные моменты инерции ....................................... 49
5.4. Моменты инерции простых и сложных сечений .............................. 52
3
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Основные понятия, определения, допущения и
принципы
Задание 1.1.1: Утверждение, что напряжения и перемещения в сечениях, удаленных от места приложения внешних сил, не зависят от способа
приложения нагрузки, называется…
Варианты ответов:
1) принципом независимости действия сил;
2) гипотезой плоских сечений;
3) принципом начальных размеров; 4) принципом Сен-Венана.
Решение: Верный ответ – 4). Нагрузим стержень прямоугольного поперечного сечения, изготовленного из резины, силами F, приложенными в
центре тяжести сечения. На поверхность стержня предварительно нанесена
равномерная сетка из вертикальных линий. Стержень будет деформироваться, как показано на рисунке.
Сечения, примыкающие к месту приложения сил, искривляются тем
больше, чем ближе они расположены к силе F. Неравномерная картина
деформирования вертикальных линий имеет место в ограниченной области. По мере удаления сечений от места приложения сил вертикальные линии не искривляются. Поэтому заключаем, что особенности приложения
внешних сил к стержню проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня.
Задание 1.1.2: Сопротивление материалов – это наука о методах расчета элементов инженерных конструкций на…
Варианты ответов:
1) жесткость; 2) прочность; 3) устойчивость;
4) прочность, жесткость и устойчивость.
Решение: Верный ответ – 4). В процессе эксплуатации материал инженерных конструкций не должен разрушаться; перемещения отдельных
точек конструкции не должны превосходить определенных, наперед заданных величин; форма конструкции не должна существенно изменяться.
Если эти требования не выполняются, конструкция перестает нормально
функционировать.
Задание 1.1.3: Способность конструкции, элементов конструкции сопротивляться внешним нагрузкам в отношении изменения формы и размеров называется…
4
Варианты ответов:
1) упругостью; 2) устойчивостью; 3) твердостью; 4) жесткостью.
Решение: Верный ответ – 4). Твердые тела в той или иной мере способны до определенного предела воспринимать воздействие внешних сил
без разрушения и без существенного изменения первоначальных геометрических размеров.
Задание 1.1.4: Свойство материала тела восстанавливать свои первоначальные размеры после снятия внешних сил называется…
Варианты ответов:
1) твердостью; 2) однородностью; 3) упругостью; 4) изотропностью.
Решение: Верный ответ – 3). Под действием внешних сил реальное
тело меняет геометрические размеры. После снятия внешних сил размеры
тела полностью или частично восстанавливаются.
Задание 1.1.5: В соответствии с принципом независимости действия
сил (принцип суперпозиции) …
1) механические характеристики материала в окрестности заданной
точки не зависят от угловой ориентации выделенного из тела образца;
2) результат действия системы сил равен сумме результатов действий
каждой силы в отдельности;
3) при снятии нагрузки форма и размеры тела полностью восстанавливаются;
4) большинство расчетов в сопротивлении материалов производится
по недеформированной схеме.
Решение: Верный ответ – 2). Рассмотрим пример. Один и то же упругий стержень нагружается системой сил F1, F2, а затем поочередно силами
F1 и F2.
Прогиб δ – результат действия системы сил F1 и F2, прогиб δ1 – результат действия силы F1, прогиб δ2 – результат действия силы F2.
Если перемещения малы, то можно записать δ = δ1 + δ2. Принцип независимости действия сил применим для большинства задач, решаемых в
курсе сопротивление материалов. Он позволяет сложную задачу разделить
на ряд простых, решить их по отдельности, а результаты решений сложить
и таким образом получить решение исходной сложной задачи.
5
Задание 1.1.6: Механическое свойство, характеризующее способность
материала сопротивляться его разрушению под действием внешних сил,
называется…
1) твердостью; 2) упругостью; 3) изотропностью; 4) прочностью.
Решение: Верный ответ – 4). Элементы конструкции должны проектироваться и создаваться таким образом, чтобы они были прочными, т.е.
могли воспринимать все силовые воздействия, не разрушаясь в течение
времени эксплуатации конструкции.
1.2. Модели прочностной надежности
Задание 1.2.1: Если свойства материала образца, выделенного из тела,
не зависят от его угловой ориентации, то такой материал называется…
Варианты ответов:
1) однородным; 2) изотропным; 3) идеально – упругим;
4) анизотропным.
Решение: Верный ответ – 2). Элементы конструкций изготавливаются
из различных материалов. Их структура и физические свойства могут быть
весьма разнообразны. Например, металлы имеют поликристаллическую
структуру и состоят из множества кристаллов расположенных в объеме тела случайным образом. Отдельно взятый кристалл металла анизотропен.
Но если в объеме содержатся весьма большое количество хаотически ориентированных кристаллов, то материал можно рассматривать как изотропный, т.е. предполагать, что свойства материала тела, выделенного из данного объема, во всех направлениях одинаковы.
Задание 1.2.2: В сопротивлении материалов относительно структуры
и свойств материала принимаются гипотезы…
Варианты ответов:
1) устойчивости и жесткости;
2) сплошности, однородности, изотропности и идеальной упругости
материала;
3) изотропности и идеальной упругости;
4) сплошности и однородности материала.
Решение: Верный ответ – 2). Строго говоря, любой материал нельзя
рассматривать как сплошную, однородную среду. Отдельно взятый кристалл металла анизотропен. Все реальные тела обнаруживают отступление
от свойств идеальной упругости. Решение задач с учетом всех свойств реального материала невозможно в силу их очевидной неисчерпаемости.
Гипотезы сплошности, однородности, изотропности и идеальной упругости позволяют упростить задачи, решаемые в курсе «Сопротивления материалов», и довести их до числового результата.
6
Задание 1.2.3: Разделение тела на части под действием внешних
нагрузок называется…
Варианты ответов:
1) разрушением; 2) пластичностью; 3) прочностью;
4) идеальной упругостью.
Решение: Верный ответ – 1). Разделение тела на части под действием
внешних нагрузок называется разрушением.
Задание 1.2.4: Объект, освобожденный от особенностей, несущественных при решении данной задачи, называется…
Варианты ответов:
1) реальной конструкцией; 2) расчетной схемой;
3) абсолютно твердым телом; 4) математической моделью.
Решение: Верный ответ – 2). Решение задачи с учетом всех свойств и
особенностей реального объекта невозможно в силу их очевидной неисчерпаемости. Для того чтобы решить задачу и довести ее до числового результата, от реального объекта переходят к расчетной схеме.
Задание 1.2.5: Положение, согласно которому материал полностью
заполняет весь объем тела, называется …
1) гипотезой изотропности; 2) гипотезой сплошности;
3) гипотезой однородности; 4) принципом Сен-Венана.
Решение: Верный ответ – 2). Данное положение называется гипотезой
сплошности. В реальных условиях в материале всегда имеются различные
дефекты (инородные включения, газовые пузыри, микротрещины), которые невозможно учесть в расчетах. Гипотеза сплошности позволяет построить теорию без учета этих дефектов и использовать в сопротивлении
материалов аппарат высшей математики с его понятиями о бесконечно малых величинах и непрерывности функций.
Задание 1.2.6: Тело, один размер которого намного превышает два
других, называется…
1) стержнем; 2) массивом; 3) пластиной; 4) оболочкой.
Решение: Верный ответ -1). На рисунках показаны тела, называемые
стержнями.
7
1.3. Внутренние силы и напряжения
Задание 1.3.1: Векторная величина, которая характеризует интенсивность распределения внутренних сил по сечению тела, называется…
Варианты ответов:
1) касательным напряжением; 2) напряженным состоянием в точке;
3) полным напряжением в точке; 4) нормальным напряжением.
Решение: Верный ответ – 3). Числовой мерой внутренних сил, действующих по сечению тела, является напряжение. Рассмотрим произвольное сечение тела. В окрестности точки выделим элементарную площадку
∆A, в пределах которой внутреннюю силу обозначим ∆F. За среднее
F
напряжение на площадке ∆A принимаем отношение
 pср . Будем
A
уменьшать размеры площадки ∆A, стягивая ее в точку. На основании
предположения, что среда сплошная, возможен предельный переход при
F
 p.
∆A →0. В пределе получаем
lim
A  0 A
Векторная величина р называется полным напряжением в точке.
Задание 1.3.2: Полное напряжение в точке сечения, в общем случае,
раскладывается на…
Варианты ответов:
1) нормальное напряжение; 2) среднее напряжение;
3) касательное напряжение; 4) нормальное и касательное напряжения.
Решение: Верный ответ – 4). Полное напряжение в точке сечения, в
общем случае, раскладывается на нормальное и касательное напряжения.
Задание 1.3.3: Для определения внутренних силовых факторов, действующих в сечении тела, используется…
Варианты ответов:
1) метод сил; 2) принцип независимости действия сил;
3) гипотеза плоских сечений; 4) метод сечений.
Решение: Верный ответ – 4). Внутренние силовые факторы (три силы
и три момента) уравновешивают внешние силы, приложенные к отсеченной части, и определяются из уравнений равновесия статики.
8
Задание 1.3.4: Проекции главного вектора и главного момента всех
внутренних сил в данном сечении на три взаимно перпендикулярные оси,
расположенные в этом же сечении по определенному правилу, называются…
Варианты ответов:
1) поперечными силами и изгибающими моментами;
2) сосредоточенными силами и моментами;
3) компонентами напряженного состояния;
4) внутренними силовыми факторами.
Решение: Верный ответ – 4). В каждой точке поперечного сечения тела возникает внутренняя сила, которая имеет свое направление и значение.
Поэтому определить характер распределения внутренних сил по сечению
тела нельзя. Можно определить, используя правила статики, только их
равнодействующие, приведенные к центру тяжести сечения, т.е. главный
вектор и главный момент системы внутренних сил. Проектируя главный
вектор и главный момент на три взаимно перпендикулярные оси, получаем
три силы и три момента. Эти составляющие - внутренние силовые факторы.
Задание 1.3.5: В системе СИ напряжение измеряется в …
1) Н/м3, кН/м3, МН/м3; 2) Па, кПа, МПа; 3) Н, кН; 4) Н·м, кН·м, МН·м.
Решение: Верный ответ – 2). Напряжение можно рассматривать как
силу, приходящуюся на единицу площади сечения тела. В системе СИ сила
измеряется в Н, кН, МН; площадь измеряется в м2; следовательно,
Н
.
1Па  1
2
м
Задание 1.3.6: Силы взаимодействия между частями рассматриваемого тела называются…
1) внешними; 2) объемными; 3) внутренними; 4) поверхностными.
Решение: Верный ответ – 3). Рассмотрим тело, имеющее, например,
форму стержня. Пусть к нему приложена система внешних сил, под действием которой оно находится в равновесии. Мысленно рассекаем тело на
две части. Связи между частями тела устранены. Действие правой части на
левую или левой на правую необходимо заменить системой внутренних
сил.
9
1.4. Перемещения и деформации
Задание 1.4.1: Упрощение, на основании которого при составлении
уравнений равновесия тело, после нагружения внешними силами рассматривают как недеформированное, называется…
Варианты ответов:
1) принципом независимости действия сил;
2) принципом начальных размеров;
3) условием неразрывности деформаций; 4) твердостью.
Решение: Верный ответ – 2). Все твердые тела под действием внешних сил деформируются, то есть меняют свои размеры. Для подавляющего
большинства тел перемещения точек являются малыми по сравнению с
геометрическими размерами тела. На основании малости перемещений в
методику анализа внутренних сил в теле вводят следующее упрощение.
При составлении уравнений равновесия тело рассматривают как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, какие оно имело до
нагружения.
Задание 1.4.2: Первоначальная длина стержня равна l. После приложения растягивающей силы длина стержня стала l1. Величина
l l1l называется…
Варианты ответов:
1) абсолютным удлинением; 2) средним удлинением; 3) напряжением;
4) абсолютным укорочением в направлении оси x ;
Решение: Верный ответ – 1). Первоначальная длина стержня равна l.
После приложения растягивающей силы длина стержня стала l1. Величина
l l1l называется абсолютным удлинением
Задание 1.4.3: Угловым перемещением сечения является величина…
Варианты ответов:
1) ∆; 2)φ; 3) F; 4) L.
10
Решение: Верный ответ – 2). При плоском изгибе поперечное сечение
стержня, в общем случае, имеет два перемещения: линейное (прогиб ∆) и
угловое (угол поворота φ). Угловым перемещением является величина φ.
Задание 1.4.4: Количественная мера изменения геометрических размеров в окрестности точки называется…
Варианты ответов:
1) полным перемещением точки; 2) абсолютным удлинением стержня;
3) линейной деформацией; 4) деформированным состоянием в точке.
Решение: Верный ответ – 3). Рассмотрим точки В и С в недеформированном теле, которые расположены на расстоянии S друг от друга. После
нагружения тела внешними силами они займут новое положение В́ и С́, а
расстояние между ними изменится на величину ∆S. Отношение приращения длины отрезка ∆S к начальной длине S называется средним удлинениS
ем на данном отрезке
  ср .
S
Будем уменьшать длину отрезка ВС, приближая точку С к точке В. В
S
пределе получим lim
  BC . Величина  BC является количественной
S
s0
мерой изменения геометрических размеров в окрестности точки В по
направлению ВС и называется линейной деформацией.
Задание 1.4.5: В результате действия внешних сил на деформируемое
тело точка К заняла новое положение К1. Вектор K K называется…
1
1) полным перемещением; 2) угловой деформацией;
3) проекцией вектора перемещения; 4) линейной деформацией.
Решение: Верный ответ – 1). В результате действия внешних сил на
деформируемое тело точка К заняла новое положение К1. Вектор K K
1
называется полным перемещением точки.
11
2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
2.1. Продольная сила. Напряжения и деформации
Задание 2.1.1: Для стержня, схема которого изображена на рисунке,
продольная сила N в сечении 2-2 будет…
Варианты ответов:
1) равной нулю; 2) равномерно распределенной по сечению;
3) растягивающей; 4) сжимающей.
Решение: Верный ответ – 2). Для определения продольной силы следует рассмотреть равновесие отсеченной правой части стержня
 Fkz   N  2 F  F  0 , откуда N  F .
Задание 2.1.2: Сплошной однородный стержень круглого поперечного
сечения диаметром d нагружен так, как показано на рисунке. Нормальные
напряжения в сечении 1-1 равны…
Варианты ответов:
F
4F
1) 2 ; 2) 0; 3)
; 4) F.
d
d 2
Решение: Верный ответ – 2). Нормальные напряжения при растяжеN
нии − сжатии определяются по формуле   . Продольная сила N опреA
деляется из условия равновесия для отсеченной части стержня
0
 Fkz  0 ;  F  F  N  0 . Откуда N=0. В результате    0 .
A
12
Задание 2.1.3: Из гипотезы плоских сечений следует, что вдали от
мест нагружения, резкого изменения формы и размеров поперечного сечения нормальные напряжения при растяжении − сжатии прямолинейных
стержней распределяются по площади поперечного сечения …
Варианты ответов:
1) по закону квадратной параболы, достигая максимума на нейтральной линии;
2) по линейному закону, достигая минимума на нейтральной линии;
3) неравномерно, в зависимости от формы поперечного сечения;
4) равномерно.
Решение: Верный ответ – 4). Гипотеза плоских сечений (Я. Бернули,
1654 − 1705) гласит: поперечные сечения стержня, плоские и нормальные
до деформации к его оси, остаются плоскими и нормальными к оси и после
деформации.
Задание 2.1.4: Распределение нормальных напряжений при растяжении − сжатии вдали от мест нагружения, резкого изменения формы и размеров поперечного сечения существенно зависит от…
Варианты ответов:
1) величины и способа приложения внешних сил;
2) величины приложенных внешних сил;
3) способа приложения внешних сил;
4) от формы поперечного сечения
Решение: Верный ответ – 2). Согласно принципу Сен-Венана, если
тело нагружается статически эквивалентными системами сил и размеры
области их приложения невелики (по сравнению с размерами тела), то в
сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, величина
напряжений весьма мало зависит от способа нагружения. Т.е. на достаточном удалении от места нагружения распределение напряжений зависит
только от статического эквивалента приложенных внешних сил. От способа приложения внешних сил распределение напряжений зависит существенно лишь вблизи места нагружения. Кроме того, вблизи мест резкого
изменения формы, перепадов размеров поперечного сечения наблюдается
распределение напряжений, существенно отличающееся от характерного
для данного вида нагружения. Явление возникновения значительных местных напряжений называется концентрацией напряжений, а причина, вызвавшая концентрацию, − концентратором напряжений.
Задание 2.1.5: Для стержня круглого поперечного сечения, схема которого изображена на рисунке, абсолютное удлинение ∆L равно…
13
Варианты ответов:
FL
FL
F
1)  4
; 2) 
; 3) 4
; 4) 0
2
Ed
Ed
Ed 2
Решение: Верный ответ – 1).
L
N ( z )dz NL
.

EA
(
z
)
EA
0
В нашем случае  Fkz  0 ,  N  F  0 , N   F . Площадь сечения
Удлинение стержня L  
A
d 2
4
. Окончательно L  
4 FL
Ed 2
.
Задание 2.1.6: Стержень нагружен системой сил. Модуль упругости
материала Е, площадь поперечного сечения А, размер а, значение силы F
заданы. Продольная деформация на участке СК равна …
2F
EA
F
4F
; 2)
; 3)
; 4)
.
EA
EA
EA
2F
Решение: Верный ответ – 1). Сделаем произвольное поперечное сечение на участке СК и рассмотрим равновесие правой отсеченной части.
1)
 Fix
 2 F  N  0 . Откуда N  2 F .
N 2F
Далее определяем нормальное напряжение:   
. Из закона Гука
A
A
  E вычислим значение продольной деформации:
 2F
.
 
E EA
Второй способ определения величины  . Сначала определяем абсоNL 2F  2a
лютное удлинение участка СК: L 
, а затем продольную ли
EA
EA
L 2 F  2a 2 F
нейную деформацию на этом участке:  
.


L EA  2a EA
Уравнение равновесия имеет вид:
2.2. Испытание конструкционных материалов на растяжение и сжатие
Задание 2.2.1: При испытании на растяжение нормального образца
(диаметр d0 =10мм, длина расчетной части до разрыва l0 =100мм) относи14
тельное остаточное удлинение составило =25%. Длина расчетной части
образца после разрыва составляет…
Варианты ответов:
1) 50 мм; 2) 25 мм; 3) 100,25 мм; 4) 125 мм.
Решение: Верный ответ – 4). Относительное остаточное удлинение
l l
при разрыве равно   1 0  100 %  25% . Отсюда находим искомую
l0
длину расчетной части l1  l 0 (  100 ) / 100%  1,25  100  125 мм.
Задание 2.2.2: Для образца из некоторого материала получили диаграмму растяжения и определили все основные механические характеристики. Деталь из этого материала будет работать при статической нагрузке
как на растяжение, так и на сжатие. В этом случае…
Варианты ответов:
1) необходимо провести испытания на сдвиг и сжатие;
2) необходимо провести испытания на сжатие;
3) необходимо провести испытания на кручение;
4) дополнительные испытания не требуются.
Решение: Верный ответ – 4). Согласно диаграмме материал является
пластичным. Пластичные материалы одинаково работают как на растяжение, так и на сжатие вплоть до предела текучести, поэтому никаких дополнительных испытаний проводить не требуется.
Задание 2.2.3: Образец из хрупкого материала испытали на сжатие.
Вид образца после испытания (сплошная линия) изображен на рисунке…
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Решение: Верный ответ – 3). Хрупкие материалы (чугун, бетон, камень, кирпич и т.п.) разрушаются при сжатии с образованием трещин по
наклонным или продольным плоскостям.
15
Задание 2.2.4: Диаграммой растяжения образца является диаграмма…
Варианты ответов:
1)
2)
3)
4)
Решение: Верный ответ – 1). Диаграмма растяжения – это график, автоматически вычерчиваемый испытательной машиной, на котором по оси
абсцисс откладывается удлинение образца, а по оси ординат – сила.
Задание 2.2.5: Материал является хрупким, если образец из него …
Варианты ответов:
1) разрушается при достаточно небольшой нагрузке;
2) разрушается только при достаточно большой нагрузке;
3) разрушается при очень малых остаточных деформациях (до 5%);
4) разрушается при больших остаточных деформациях (свыше 5%).
Решение: Верный ответ – 3). Хрупкие материалы (чугун, бетон, камень, кирпич и т.п.) разрушаются при сравнительно малых деформациях. В
зависимости от величины относительного остаточного удлинения при разрыве  различают хрупкие (δ<5%) и пластичные (δ>5%) материалы.
Задание 2.2.6: Стальной образец, предназначенный для испытания на
растяжение при статическом нагружении, имеет вид …
1)
;
2)
3)
; 4)
16
.
Решение: Верный ответ – 2). На рисунке показан вид стального образца, предназначенного для испытания на растяжение при статическом
нагружении. Утолщения по концам служат для помещения их в захваты
испытательной машины. Для испытания листовых материалов изготавливаются плоские образцы.
2.3. Механические свойства материалов
Задание 2.3.1: При испытании на растяжение и сжатие образца из
данного материала получены следующие механические характеристики:
предел пропорциональности пц=250 МПа, предел текучести на растяжение и сжатие тр=тс=310 МПа, предел прочности на растяжение и сжатие
ппр= ппс=510 МПа, относительное остаточное удлинение =21%. При
значении нормативного коэффициента запаса прочности [n] = 2, допускаемое напряжение [] для материала будет равно…
Варианты ответов:
1) 255 МПа; 2) 510 МПа; 3) 155 МПа; 4) 125 МПа;
Решение: Верный ответ – 3). Допускаемое напряжение материала
    пред /n. В качестве предельного напряжения пред принимается:
- для пластичных материалов предел текучести т;
- для хрупких материалов предел прочности ппр.
Поскольку относительное остаточное удлинение =21%>5%, данный
материал является пластичным. Поэтому пред=т=310 МПа. Следовательно,     пред /n  310 / 2  155МПа .
Задание 2.3.2: На представленной диаграмме зависимости напряжения
от деформации для конструкционной стали точка D соответствует пределу…
Варианты ответов:
1) упругости; 2) прочности; 3) текучести; 4) пропорциональности.
Решение: Верный ответ – 2). Точка D соответствует пределу прочности (или временному сопротивлению) – отношению максимальной силы,
которую способен выдержать образец, к начальной площади его поперечного сечения.
17
Задание 2.3.3: Пусть l0 и А0, l1 и А1 – соответственно начальная длина
и площадь поперечного сечения, конечная длина и площадь поперечного
сечения образца по результатам испытаний на разрыв; Fmax – максимальная
сила, которую способен выдержать образец. Конструкционные материалы
делятся на хрупкие и пластичные в зависимости от величины…
Варианты ответов:
F
1) предела прочности  ппр  max при разрыве;
A0
2)
относительного
остаточного
удлинения
при
разрыве
l l
  1 0  100 % ;
l0
3) удлинения стержня l  l1  l 0 при разрыве;
4) предела пропорциональности  пц при разрыве.
Решение: Верный ответ – 2). Способность материала сохранить некоторую часть деформации после снятия нагрузки называется пластичностью. Если разрушению материала предшествуют большие пластические
деформации, то материал классифицируют как пластичный. Хрупкий материал разрушается при сравнительно малых пластических деформациях.
В зависимости от величины относительного остаточного удлинения при
разрыве  различают хрупкие (δ<5%) и пластичные (δ>5%) материалы.
Задание 2.3.4: Коэффициентом Пуассона называется…
Варианты ответов:
1) отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к начальной площади его поперечного сечения;
2) отношение нормального напряжения к величине относительной деформации в законе Гука;
3) отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации, взятое по абсолютной величине;
 A  A1

 100 % , где А0 и А1 –
4) остаточное сужение при разрыве  0
 A0

начальная и конечная площади поперечного сечения образца
Решение: Верный ответ – 3). Коэффициент Пуассона – это абсолютная величина отношения относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации. Для изотропных материалов он изменяется от 0 до 0,5. Для металлов – в пределах от 0,25 до 0,35.
Задача 2.3.5: Наклеп (нагартовка) – это…
Варианты ответов:
1) изменения напряжений и деформаций в нагруженной детали;
18
2) соединение материала клепками или заклепками;
3) повышение упругих свойств материала в результате предварительного пластического деформирования;
4) уменьшение удлинения при разрыве и незначительное возрастание
предела прочности при длительном пребывании в нагретом состоянии.
Решение: Верный ответ – 3). Если образец нагрузить до напряжений,
больших предела пропорциональности пц, но меньших предела прочности
ппр, то после разгрузки деформация образца уменьшится, но полностью не
исчезнет. После промежуточной разгрузки появился как бы новый материал с более высоким пределом пропорциональности, но меньшей пластичностью.
Задание 2.3.6: Образец диаметром d=10мм испытывают на растяжение. Диаграмма растяжения имеет вид, показанный на рисунке. Масштаб
нагрузки, 1 деление – 0,008 МН. Предел прочности материала равен __
МПа.
1) 408; 2) 611; 3) 306; 4) 153.
Решение: Верный ответ – 2). Предел прочности материала – это
напряжение, соответствующее максимальной нагрузке. Поэтому
F
0,008  6  4
 вр  max 
 611 МПа.
A
3,14  0,012
2.4. Расчеты стержней на прочность и жесткость
Задание 2.4.1: Допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Диаметры
круглых поперечных сечений стержней d1 и d2 в мм будут равны …
Варианты ответов:
1) 18,08 и 19,37; 2) 10,17 и 10,93; 3) 11,74 и 16,60; 4) 20,4 и 21,85.
19
Решение: Верный ответ – 4). Усилия в стержнях определяются методом сечений путем вырезания узла А.
Из уравнений проекций всех сил на оси у, х получим:
 y  0;  F  N 2  sin  ; N 2   F / sin   3  10 4 / 0,5  6  10 4 H ;
 x  0;
 N 1  N 2  cos  ; N 1   N 2 / cos   6  10 4  3 / 2  5,23  10 4 H .
N
Диаметры стрежней определяются из условий прочности:  i  i    .
Ai
Площади поперечных сечений A i    d i2 / 4 .
4 N1
Тогда d1 
  
d2 
4N 2
  


4  5,23  10 4
  160  10 6
4  6  10 4
  160  10 6
 0,0204 м=20,4мм;
 0,02185 м=21,85мм.
Задание 2.4.2: Допускаемое напряжение материала листа [] = 160
МПа, толщина t = 10мм, ширина b=200 мм. Значение допускаемой нагрузки для растягиваемого стального листа, ослабленного двумя отверстиями
диаметром d=20 мм, равно …
Варианты ответов:
1) 288 МПа; 2) 219,5 МПа; 3) 320 кН; 4) 256 кН.
Решение: Верный ответ – 4). Допускаемую нагрузку определяем из
расчета на прочность по сечению, ослабленному отверстиями, так как
здесь прежде всего может произойти разрушение. Полная площадь сечения
листа А=20см2. Ослабление двумя отверстиями А=4см2.
Рабочая площадь сечения Араб =АА=16см2=1610-4м2.
Допустимая нагрузка F   A раб    16  10 4  160  10 6  256 кН .
Задание 2.4.3: Стержень с квадратным поперечным сечением нагружен силой F=1000 кН. Модуль упругости материала Е=200 ГПа. Допуска20
емое напряжение [σ]=100 МПа. Допустимое минимальное перемещение
верхнего сечения [δ]=0,0001 L. Допустимый размер поперечного сечения
стержня из условия жесткости равен…
Варианты ответов:
1) 22,36 см; 2) 22 см; 3) 5 см; 4) 10 см.
Решение: Верный ответ – 2).
FL
FL
По условию жесткости l 

    0,0001L .
EA Ea 2
Отсюда a min 
FL
1000  10 3  10 4

 22,36см
E   
200  10 9
Задание 2.4.4: Допускаемое напряжение на растяжение − сжатие для
материала стержня равно 150 МПа. Для стержня круглого поперечного сечения наименьший размер D из условия прочности равен…
Варианты ответов:
1) 10 см; 2) 8,9 см; 3) 8,34 см; 4) 13.
Решение: Верный ответ – 1). Наибольшее значение продольной силы
по модулю равно N max  1,18 MH . Из условия прочности стержня на растяжение − сжатие N max / A    находим искомый размер
D
4 N max
  

4  1,18
 0,1м  10см .
  150
Задание 2.4.5: К стержню квадратного поперечного сечения приложены одинаковые растягивающие силы. Если одновременно увеличить в 2
раза длину стержня и размер стороны, абсолютное удлинение стержня…
Варианты ответов:
1) увеличится на 0,25l; 2) уменьшится в 2 раза;
3) увеличится в 2 раза; 4) уменьшится на 0,25l.
Решение: Верный ответ – 2). Абсолютное удлинение стрежня при
Fl
Fl

растяжении равно l 
. При увеличении длины и размера стоEA Ea 2
21
роны в 2 раза числитель увеличивается в 2 раза, а знаменатель – в 4 раза.
Следовательно, удлинение уменьшится в 2 раза.
Задание 2.4.6: Прямой стержень изготовлен из хрупкого материала и
нагружен осевыми силами. Условие(-я) прочности имеет(-ют) вид …
c
c
p
p
  c ; 4)  max
  c .
1)  max
   p ; 2)  max    ; 3)  max
   p ,  max
Решение: Верный ответ – 3). За опасное (предельное) напряжение для
хрупкого материала принимается предел прочности. Предел прочности на
сжатие хрупкого материла значительно больше предела прочности на растяжение. Таким образом, хрупкий материал по-разному работает на растяжение и сжатие, поэтому условия прочности для стержня из хрупкого маc
p
p
  c , где  max
териала состоят из двух выражений:  max
,
   p ,  max
c
 max
– максимальные растягивающее и сжимающее напряжения в
стержне;   p ,  c – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.
определяемые по формулам   p   вр / nв ,  с   вс / n в , где  вр ,  вс –
пределы прочности на растяжение и сжатие, n в – коэффициент запаса
прочности.
3. СДВИГ. КРУЧЕНИЕ
3.1. Чистый сдвиг. Расчет на сдвиг (срез)
Задание 3.1.1: Правило, согласно которому на взаимно перпендикулярных площадках элемента, выделенного из тела, касательные напряжения равны по величине и направлены к общему ребру (или от него), называют…
Варианты ответов:
1) масштабным эффектом;
2) законом парности касательных напряжений;
3) законом Гука при сдвиге; 4) условием неразрывности деформаций.
Решение: Верный ответ – 2). Выделим из тела бесконечно малый элемент с размерами dx, dy, dz. Предположим, что на двух гранях элемента
возникают только касательные напряжения. Покажем данное напряженное
состояние через плоский элемент.
22
Касательные напряжения, действующие по нижней и верхней грани
элемента, образуют пару сил, которая вызывает вращение элемента. Поэтому на боковых гранях элемента возникают такие касательные напряжения, которые должны создавать пару сил противоположного направления.
Задание 3.1.2: При расчете заклепки на срез величина площади среза
равна…
Варианты ответов:
 d 2 
d 2
 ; 4) 2  d .
1)   d ; 2)
; 3) 2

4
4


Решение: Верный ответ – 3). Площадь среза заклепки (в двух сечени d 2 
.
ях, перпендикулярных оси) Aср  2

4


Задание 3.1.3: Закон Гука при сдвиге выражается зависимостью…
Варианты ответов:
E
Nl
1) G 
; 2)   G   ; 3) l 
; 4)   E .
2(1   )
EA
Решение: Верный ответ – 2). Опытные данные показывают, что при
небольших напряжениях зависимость между  и  линейная.
Задание 3.1.4: Из расчета на срез минимальная высота головки болта
при заданных значениях d и  ср равна…
 
Варианты ответов:
23
2F
F
4
; 3)
; 4)
dh
d  cр
d 2
d  cр
Решение: Верный ответ – 3). При малой высоте головки болта происходит ее срез по цилиндрической поверхности диаметром d. Примем, что
касательные напряжения  постоянны по высоте h головки
F
F
.

  cp , тогда h 
dh
d  cр
1)
4F
2
; 2)
Задание 3.1.5: Напряженное состояние, когда на гранях выделенного
элемента возникают только касательные напряжения, называют…
Варианты ответов:
1) линейным; 2) объемным;
3) двухосным растяжением; 4) чистым сдвигом.
Решение: Верный ответ – 4). В зависимости от ориентации секущих
площадок на гранях элемента, выделенного из тела, возникают как нормальные, так и касательные напряжения. В частном случае на гранях элемента могут быть только касательные напряжения.
Задание 3.1.6: Труба скручивается внешними моментами. Квадрат
abcd, выделенный на поверхности трубы двумя поперечными и двумя продольными осевыми сечениями, трансформируется в ромб abc d . Углом
сдвига при этом является угол …
dab 
; 3) da b  или cdc  ; 4) ab c  .
2
Решение: Верный ответ – 3).
1) da b  ;
2)
При деформации кручения на гранях элементарного объема действуют
только касательные напряжения (напряженное состояние – чистый сдвиг).
24
Если условно закрепить грань ad, то перемещение точки b (отрезок bb  )
является абсолютным сдвигом. Отношение bb  / L  tg   называется углом сдвига или угловой деформацией.
3.2. Крутящий момент. Деформации и напряжения
Задание 3.2.1: Угол закручивания стержня круглого поперечного сечения определяется по формуле…
Варианты ответов:
M l
M 
Ml
Nl
1) k ; 2)
; 3)
; 4) k .
GJ p
GJ p
EJ
EA
Решение: Верный ответ – 1). Угол закручивания стержня круглого
поперечного сечения при постоянном крутящем момента определяется по
M l
формуле:   k , где G  J p – жесткость сечения при кручении.
GJ p
Задание 3.2.2: При кручении угол взаимного поворота двух сечений,
отнесенный к расстоянию между ними, называется…
Варианты ответов:
1) углом сдвига; 2) угловым перемещением;
3) относительным углом закручивания;
4) депланацией поперечного сечения.
Решение: Верный ответ – 3). Выделим из стержня круглого сечения
элемент длиной dz. Предположим, что под действием крутящего момента
правое сечение повернется на угол  относительно левого.
d 
d

обозначается обычно через    
 и называется
dz 
dz

относительным углом закручивания. Это угол взаимного поворота двух
сечений, отнесенный к расстоянию между ними.
Величина
Задание 3.2.3: Напряжение в точке С поперечного сечения определяется по формуле…
Варианты ответов:
25
M
2M
M
; 3)
; 4)
 2 .
Wp
Wp
Jp
Решение: Верный ответ – 2). Для определения максимального касаM
M
тельного напряжения используем выражение   k   max  k , где
Jp
Wp
W p – полярный момент сопротивления круглого сечения при кручении,
1) 0; 2)
Wp 
Jp
 max
.
Задание 3.2.4: Деформацию стержня, при которой в поперечных сечениях возникает только крутящий момент, называют…
Варианты ответов:
1) чистым изгибом; 2) поперечным изгибом;
3) кручением; 4) чистым сдвигом.
Решение: Верный ответ – 3). Система внутренних сил в поперечном
сечении стержня, на основании положений статики, приводится к центру
тяжести сечения. В результате получается главный вектор и главный момент всех внутренних сил. Спроектировав главный вектор и главный момент на оси прямоугольной системы координат, расположенные определенным образом (одна ось направлена по нормали к сечению, а другие,
расположены в плоскости сечения), получим шесть составляющих: три силы и три момента. Эти составляющие называются внутренними силовыми
факторами и имеют определенные наименования. Момент всех внутренних
сил относительно оси, перпендикулярной плоскости сечения, называется
крутящим моментом.
Задание 3.2.5: При увеличении момента M 1  M в два раза наибольшие касательные напряжения…
Варианты ответов:
1) уменьшатся в два раза; 2) не изменятся;
3) увеличатся в четыре раза; 4) увеличатся в два раза.
Решение: Верный ответ – 2). При увеличении момента M 1 в два раза
величина максимального крутящего момента M kmax не изменяется, поэтому  max не изменятся.
26
Задание 3.2.6: Труба испытывает деформацию кручение. Эпюра распределения касательных напряжений в поперечном сечении трубы имеет
вид …
1)
; 2)
; 3)
; 4)
Решение: Верный ответ – 1). Касательные напряжения в круглом и
M 
кольцевом сечениях определяются по формуле   k , где  – расстояJp
ние от центра тяжести поперечного сечения до точки, в которой определяется касательное напряжение. Зависимость  от  – линейная. Для кольцевого сечения область изменения  лежит в пределах rв    rн , где rв и
rн – внутренний и наружный радиусы поперечного сечения трубы.
3.3. Расчет на прочность при кручении
Задание 3.3.1: Стержень круглого поперечного сечения диаметром d
работает на кручение. Касательное напряжение в точке, которая расположена на расстоянии d/4 от оси стержня, равно  . Наибольшее касательное
напряжение в данном поперечном сечении стержня равно…
Варианты ответов:
1)  ; 2) 2 ; 3) 4 ; 4) 8 .
Решение: Верный ответ – 2). Эпюра распределения касательных
напряжений в поперечном сечении круглого стержня имеет вид, показанный
на
рисунке.
Закон изменения – линейный. Следовательно,  max  2 . При решении задачи также можно воспользоваться формулой для определения касательного напряжения в произвольной точке круглого поперечного сечеMk
d 4
ния 
, где M k − крутящий момент в данном сечении; J p 
Jp
32
− полярный момент инерции сечения;  − расстояние от оси стержня до
точки, в которой определяется касательное напряжение.
27
На расстоянии d/4 имеем  
Mk d
 , а на расстоянии d/2
Jp 4
Mk d
M d
  2  k   2 .
Jp 2
Jp 4
Задание 3.3.2: Условие прочности при кручении стержня круглого
поперечного сечения с неизменным по длине диаметром имеет вид…
Варианты ответов:
M kmax
M
N
M
1)
 y   ; 4)
   ; 3)
    .
   ; 2)
Jx
Wp
Jp
A
Решение: Верный ответ – 2).

Вдоль любого радиуса касательные напряжения изменяются по линейному закону, достигая максимальных значений в точках у поверхности.
Поэтому условие прочности при кручении стержня круглого поперечного
сечения с неизменным по длине диаметром имеет вид
Jp
M kmax
d
,  max  , d – диаметр стержня.
 max 
   , где W p 
Wp
 max
2
Задание 3.3.3: Из условия прочности, при заданном значении  ,
наименьший допускаемый диаметр вала равен… Принять W p  0,2d 3 .
Варианты ответов:
2M
20 M
1) 3
; 2) 3
;
 
 
3)
3
10 M
 
; 4)
3
4M
 
.
Решение: Верный ответ – 3). Так как вал постоянного диаметра, услоM max
вие прочности имеет вид  max  k   , где W p  0,2d 3 . Тогда
Wp
M kmax
2M
10 M
.
d 3
3
3
 
0,2 
0,2 
28
Задание 3.3.4: При кручении максимальное касательное напряжение
возникает в точке…
Варианты ответов:
1) В; 2) Д; 3) А; 4) С.
Решение: Верный ответ – 2). Для определения максимального касаM 
d
тельного напряжения используем выражение   k max ,  max  . ТочJp
2
ка Д – самая удаленная от центра, поэтому именно в этой точке действует
максимальное касательное напряжение.
Задание 3.3.5: Ступенчатый стержень скручивается моментами М.
Наибольшее касательное напряжение на участке диаметром d равно  .
Значение наибольшего касательного напряжения на участке с диаметром
2d равно…
Варианты ответов:




1) ; 2) ; 3) ; 4)
.
8
4
2
16
Решение: Верный ответ – 3). При определении максимального касательного напряжения в поперечном сечении круглого стержня диаметром
M
d воспользуемся формулой  max  k где M k − крутящий момент в данWp
ном сечении; W p − полярный момент сопротивления, который определяется по формуле W p 
d 3
16
. На обоих участках крутящие моменты одинако-
вы и равны М. На участке диаметром d имеем  max 
диаметром 2d получим  max 
1 16 M 
 
 .
8 d 3 8
 ( 2d )
16 M
3
29
16 M
d 3
. На участке
Задание 3.3.6: Труба испытывает деформацию кручение. Касательное
напряжение в точке С поперечного сечения трубы равно 20 МПа. Предел
текучести материала трубы при чистом сдвиге  T  120 МПа. Коэффициент запаса прочности n T равен …
1) 0,33; 2) 12; 3) 6; 4) 3.
Решение: Верный ответ – 4). Максимальное касательное напряжение
возникает в точках у внешней поверхности трубы и его значение в два раза
больше напряжения в точке С. Поэтому коэффициент запаса прочности

120
nT  T 
 3.
 max 40
3.4. Расчет на жесткость при кручении
Задание 3.4.1: Жесткостью поперечного сечения круглого стержня
при кручении называется выражение…
Варианты ответов:
1) EA; 2) GJP; 3) GA; 4) EJ
Решение: Верный ответ – 2).
Относительный угол закручивания стержня круглого поперечного сечения
M
определяется по формуле   k . Чем меньше  , тем больше жесткость
GJ p
стержня. Поэтому произведение GJP называется жесткостью поперечного
сечения стержня на кручение.
Задание 3.4.2: Стержень круглого сечения диаметром d нагружен, как
показано на рисунке. Максимальное значение относительного угла закручивания равно…
30
Модуль сдвига материала G, значение момента М, длина l заданы.
Варианты ответов:
3M
6Ml
2M
M
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
GJ p
GJ p
GJ p
GJ p
Решение: Верный ответ – 1). Построим эпюру крутящих моментов.
При решении задачи воспользуемся формулой для определения
относительного угла закручивания стержня с круглым поперечным сечеM
3M
нием   k , в нашем случае получим  
.
GJ p
GJ p
Задание 3.4.3: Из условия жесткости при заданных значениях  и
G, наименьший допускаемый диаметр вала равен… Принять J p  0,1d 4 .
Варианты ответов:
20 M
30 M
40 M
10 M
1) 4
; 2) 4
; 3) 4
; 4) 4
.
G
G
G
G
Решение: Верный ответ – 1). Так как вал постоянного диаметра, услоM kmax
вие жесткости имеет вид  max 
  , где J p  0,1d 4 . Тогда
GJ p
M kmax
2M
20 M
.
d 4
4
4
0,1G
0,1G
G
31
Задание 3.4.4: Стержень круглого сечения диаметром d нагружен, как
показано на рисунке. Модуль сдвига материала G, длина l, значение момента М заданы. Взаимный угол поворота крайних сечений равен…
Варианты ответов:
2Ml
4Ml
Ml
1)
; 2)
; 3) нулю;
4)
.
GJ p
GJ p
GJ p
Решение: Верный ответ – 3). Обозначим сечения, где приложены
внешние пары сил B, C, D соответственно, и построим эпюру крутящих
моментов. Угол поворота сечения D относительно сечения B может быть
выражен как алгебраическая сумма взаимных углов поворота сечения С
относительно сечения B и сечения D относительно сечения С, т.е.
 DB   CB   DC .
Взаимный угол поворота двух сечений для стержня с круглым сечением
M l
определяется по формуле   k . Применительно к данной задаче имеем
GJ p
 DB  
Ml
Ml

 0.
GJ p GJ p
Задание 3.4.5: Условие жесткости при кручении стержня круглого поперечного сечения, с неизменным по длине диаметром имеет вид…
Варианты ответов:
Mkl
Mk
M kmax
M
   ; 3)
 ; 4)
1)
 y   ; 2)
  .
GJ p
Wp
Jx
GJ p
Решение: Верный ответ – 4). Валы машин и механизмов должны быть
не только прочными, но и достаточно жесткими. В расчетах на жесткость
32
ограничивается величина максимального относительного угла закручива M k L 1 M k
ния, которая определяется по формуле  
. Поэтому

 
L
GJ p L GJ p
условие жесткости для вала (стержня, испытывающего деформацию круM kmax
чения) с неизменным диаметром по длине имеет вид  max 
  ,
GJ p
где  – допускаемый относительный угол закручивания.
Задание 3.4.6: Схема нагружения стержня показана на рисунке. Длина
L, жесткость поперечного сечения стержня на кручение GJ p ,  C – допускаемый угол поворота сечения С заданы. Из расчета на жесткость максимально допустимое значение параметра внешней нагрузки М равно …
1)
 C GJ p
; 2)
 C GJ p
; 3)
 C GJ p
; 4)
 C GJ p
.
5L
3L
7L
L
Решение: Верный ответ – 2). Условие жесткости в данном случае
имеет вид  C   C , где  C – действительный угол поворота поперечного
сечения С. Строим эпюру крутящего момента.
Определяем
действительный
угол
поворота
сечения
С.
2ML 3ML 5ML
. Подставляем выражение действительного угла
C 


GJ p GJ p GJ p
поворота в условие жесткости
 C GJ p
5ML
.
  C , откуда M 
5L
GJ p
4. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В
ТОЧКЕ
4.1. Напряженное состояние в точке. Главные площадки и
главные напряжения
33
Задание 4.1.1: Совокупность напряжений, возникающих на множестве
площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называют …
1) напряженным состоянием в точке; 2) полным напряжением;
3) нормальным напряжением; 4) касательным напряжением.
Решение: Верный ответ – 1). Напряженное состояние в точке полностью определяется шестью компонентами тензора напряжений: σx, σy, σz,
τxy, τyz, τzx. Зная эти компоненты, можно определить напряжения на любой
площадке, проходящей через данную точку. Совокупность напряжений,
действующих по множеству площадок (сечений), проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.
Задание 4.1.2: Площадки в исследуемой точке напряженного тела, на
которых касательные напряжения равны нулю, называют …
1) ориентированными; 2) главными площадками;
3) октаэдрическими; 4) секущими.
Решение: Верный ответ – 2).
При повороте элементарного объема 1 можно отыскать такую его пространственную ориентацию 2, при которой касательные напряжения на его
гранях исчезнут и останутся только нормальные напряжения (некоторые
из них могут быть равными нулю).
Задание 4.1.3: Главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рисунке, равны… (Значения напряжений указаны в МПа).
34
1)σ1=150 МПа, σ2=50 МПа; 2) σ1=0 МПа, σ2=50 МПа, σ3=150 МПа;
3) σ1=150 МПа, σ2=50 МПа, σ3=0 МПа; 4) σ1=100 МПа, σ2=100 МПа.
Решение: Верный ответ – 3). Одна грань элемента свободна от касательных напряжений. Поэтому это главная площадка, а нормальное
напряжение (главное напряжение) на этой площадке также равно нулю.
Для определения двух других значений главных напряжений воспользуемx  y 1
max
 x   y 2  4 xy2 , где положительные
ся формулой  min


2
2
направления напряжений показаны на рисунке.
Для приведенного примера имеем  x  100 MПа ,  y  100 MПа ,
 max  150 MПа ,
После
преобразований
найдем
 xy  50MПа .
 min  50 MПа . В соответствии с правилом нумерации главных напряжений имеем σ1=150 МПа, σ2=50 МПа, σ3=0 МПа, т.е. плоское напряженное
состояние.
Задание 4.1.4: В исследуемой точке напряженного тела на трех главных площадках определены значения нормальных напряжений: 50МПа,
150МПа, -100МПа. Главные напряжения в этом случае равны...
1)σ1=150 МПа, σ2=50 МПа, σ3=-100 МПа;
2) σ1=150 МПа, σ2=-100 МПа, σ3=50 МПа;
3) σ1=50 МПа, σ2=-100 МПа, σ3=150 МПа;
4) σ1=-100 МПа, σ2=50 МПа, σ3=150 МПа;
Решение: Верный ответ – 1). Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие  1   2   3 .
Задание 4.1.5: На гранях элементарного объема (см. рисунок) определены значения напряжений в МПа. Угол между положительным направлением оси x и внешней нормалью к главной площадке, на которой действует минимальное главное напряжение, равен …
35
1)  13 017  ; 2) 00; 3)  22 0 30  ; 4) 22 0 30  .
Решение: Верный ответ – 3).  x  80 МПа  y  0МПа  xy  40МПа
Угол  0 определяется по формуле tg 2 0 
2 xy
 x  y
.
Подставляя
числовые
значения
напряжений,
получаем
2  40
tg 2 0 
 1,2 0  45 0 ,  0  22 0 30  . Отрицательный угол от 80  0
кладываем по часовой стрелке.
Задание 4.1.6: Значения главных напряжений определяют из решения
кубического уравнения  3  J 1 2  J 2 2  J 3  0 . Коэффициенты J1, J2,
J3 называют…
1) инвариантами напряженного состояния; 2) упругими постоянными;
3) направляющими косинусами нормали;
4) коэффициентами пропорциональности.
Решение: Верный ответ – 1). Корни уравнения – главные напряжения
− определяются характером напряженного состояния в точке и не зависят
от выбора исходной системы координат. Следовательно, при повороте системы
осей
координат
коэффициенты
J1   x   y   z ,
2
2
2
,
J 2   x y   y  z   z  x xy
  yz
  zx
 x  xy  xz
J 3   yx  y  yz
 zx  zy  z
оставаться неизменными.
4.2. Виды напряженного состояния
36
должны
Задание 4.2.1: Стержень круглого сечения диаметром d испытывает
деформации чистого изгиба и кручения. Напряженное состояние в точке В
показано на рисунке…
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
Решение: Верный ответ – 3). Секущими плоскостями, ориентированными вдоль и поперек оси стержня, выделим объемный элемент. В сечении стержня у заделки действуют изгибающий момент М и крутящий момент 2М. От изгибающего момента М в точке В возникает нормальное рас32 M
тягивающее напряжение  B 
. Крутящий момент 2М, действующий
d 3
в плоскости, перпендикулярной оси стержня, вызывает касательное
32 M
напряжение  B 
. Направление касательного напряжения должно
d 3
быть согласовано с направлением крутящего момента. Поэтому напряженное состояние элемента на рисунке 4 соответствует напряженному состоянию в точке В.
Задание 4.2.2: Стержень испытывает деформации растяжения и чистого изгиба. Напряженное состояние в опасной точке называется…
1) плоским; 2) объемным; 3) линейным; 4) чистым сдвигом.
Решение: Верный ответ – 3). Опасные точки расположены бесконечно
близко к верхней грани элемента. В них возникают только растягивающие
нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента.
Эпюры распределения напряжений от каждого внутреннего силового фактора и результирующая эпюра показаны на рисунке.
37
Следовательно, в опасной точке будет линейное напряженное состояние.
Задание 4.2.3: Напряженное состояние «чистый сдвиг» показано на
рисунке…
1)
; 2)
Решение: Верный ответ – 3).
; 3)
; 4)
.
Чистый сдвиг – напряженное состояние, когда на гранях выделенного
элементарного объема действуют только касательные напряжения. Если
элементарный объем повернуть на угол, равный 450, то касательные
напряжения на его гранях (площадках) будут равны нулю, но появятся
нормальные (главные) напряжения  1   и  3   . Чистый сдвиг может
быть реализован растяжением и сжатием в двух взаимно перпендикулярных направлениях напряжениями, равными по абсолютной величине.
Задание 4.2.4: Тип напряженного состояния, показанного на рисунке,
называется…
1) линейным; 2) плоским; 3) объемным; 4) чистым сдвигом.
Решение: Верный ответ – 1). Тип напряженного состояния определяется в зависимости от значений главных напряжений. В примере одна
грань свободна от касательных напряжений – это главная площадка. Нормальное напряжение, действующее на главной площадке, называют главным напряжением. В данном случае оно равно нулю. Используя формулу
x  y 1
max
 x   y 2  4 xy2 , найдем два других главных
 min


2
2
напряжения. После преобразований получим  max  2 ,  min  2 ,
 min  0 . В соответствии с принятыми обозначениями имеем  1  2 ,
 2   3  0 . Два главных напряжения равны нулю, следовательно, на рисунке показано линейное напряженное состояние.
38
Задание 4.2.5: Напряженное состояние при значениях σ1=0 МПа,
σ2=-20 МПа, σ3=-50 МПа называют…
1) объемным; 2) чистым сдвигом; 3) плоским; 4) линейным.
Решение: Верный ответ – 3). Тип напряженного состояния определяется значениями главных напряжений. В случае, когда все три главных
напряжения отличны от нуля, имеем объемное напряженное состояние.
Если одно главное напряжение равно нулю - плоское напряженное состояние, а когда два равны нулю – линейное.
Задание 4.2.6: На гранях элементарного объема (см. рисунок) действуют напряжения заданные в МПа. Напряженное состояние в точке …
1) линейное; 2) плоское (чистый сдвиг); 3) плоское; 4) объемное.
Решение: Верный ответ – 3). Передняя грань элементарного объема
свободна от касательных напряжений. Это означает, что она является
главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50 МПа).
Два других главных напряжения определим по формуле
x  y 1
max
 x   y 2  4 xy2 .
 min


2
2
Поставляя
числовые
значения,
получаем
 50  50 1
max
 max  0 ,
 50  502  4  50 2  50  50 ,
 min


2
2
 min  100 MПа . Присваивая главным напряжениям индексы, имеем: σ1=0
МПа, σ2=-50 МПа, σ3=-100 МПа.
4.3. Оценка прочности материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности
Задание 4.3.1: Напряженное состояние в точке показано рисунке. Значение эквивалентного напряжения по критерию удельной потенциальной
энергии формоизменения (четвертая теория прочности) равно...
1)  экв   ; 2)  экв  3 ; 3)  экв  2 / 2 ; 4)  экв  2 .
39
Решение: Верный ответ – 2). Эквивалентное напряжение по четвертой
теории прочности определяется по формуле
1
 1   2 2   2   3 2   3   1 2 .
 экв 
2
Для заданного напряженного состояния значения главных напряжений
равны σ1=σ, σ2=0, σ3=-σ. После преобразований найдем  экв  3 .
Задание 4.3.2: Число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния, чтобы оно стало предельным, называется…
1) коэффициентом запаса для данного напряженного состояния;
2) теоретическим коэффициентом концентрации напряжений;
3) эффективным коэффициентом концентрации напряжений;
4) коэффициентом динамичности системы.
Решение: Верный ответ – 1). Предположим, что при заданном напряженном состоянии в точке материал находится в упругом состоянии. При
пропорциональном увеличении всех компонентов этого напряженного состояния в данной точке материала, возникнут либо пластические деформации, либо начнется разрушение.
Задание 4.3.3: Напряжение, которое следует создать в растянутом
стержне, чтобы его состояние было равноопасно с заданным напряженным
состоянием, называют …
1) главным напряжением; 2) наибольшим касательным напряжением;
3) октаэдрическим напряжением; 4) эквивалентным напряжением.
Решение: Верный ответ – 4). Понятие «эквивалентное напряжение»
содержит предположение, что для количественной оценки перехода материала из одного состояния в другое достаточно знать числовое значение
эквивалентного напряжения.
Задание 4.3.4: Состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала, переход от одного механического состояния к
другому, называется…
1) хрупкостью; 2) пластичностью;
3) предельным напряженным состоянием; 4) разрушением.
Решение: Верный ответ – 3). Напряженное состояние в точке является
главной причиной изменения механических свойств материала. В зависимости от условий нагружения материал конструкции может находиться в
различных механических состояниях. При незначительных внешних силах
материал находится в упругом состоянии. При больших значениях внеш40
них нагрузок материал переходит или в пластическое состояние, или в состояние разрушения.
Задание 4.3.5: Изотропный материал на растяжение и сжатие работает
неодинаково. Для оценки прочности материала при сложном напряженном
состоянии используется теория…
1) О. Мора; 2) наибольших удлинений (вторая теория прочности);
3) наибольших касательных напряжений (третья теория прочности);
4) удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая теория прочности);
Решение: Верный ответ – 1). При оценке прочности материала, неодинаково работающего на растяжение и сжатие, используют теорию
прочности О. Мора. Эквивалентное напряжение по данной теории определяют по формуле  экв   1  k 3 Коэффициент «k» для пластичного материала равен отношению предела текучести при растяжении к пределу теk   TP /  TC . Для хрупкого материала
кучести при сжатии,
k   BP /  BC где  BP – предел прочности материала при растяжении,
 BC – предел прочности материала при сжатии.
Задание 4.3.6: Согласно теории наибольших касательных напряжений
(третья теория прочности), самое опасное напряженное состояние показано
на рисунке …
1) А; 2) Б; 3) все три напряженных состояния равноопасны; 4) В.
Решение: Верный ответ – 2). Эквивалентное напряжение по теории
наибольших касательных напряжений (третья теория прочности) определяется по формуле  экв   1   3 . Для состояния А: σ1=σ, σ2=σ, σ3=0. Для
состояния Б: σ1=σ, σ2=0, σ3= -σ. Для состояния В: σ1=0, σ2= -σ, σ3= -σ.
Наибольшая величина эквивалентного напряжения получается для напряженного состояния, показанного на рисунке Б ( экв  2 ) , поэтому данное
напряженное состояние является самым опасным.
4.4. Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями
41
Задание 4.4.1: Зависимость между компонентами напряженного и деформированного состояния в пределах малых упругих деформаций носит
название…
1) принципа Сен-Венана; 2) закона Гука при сдвиге;
3) теоремы Кастилиано; 4) обобщенного закона Гука.
Решение:
Верный ответ – 4). Напряженное и деформированное состояния в точке тела связаны друг с другом через свойства материала. В пределах малых
упругих деформаций эта зависимость является линейной и носит название
обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму этот закон принимает
для изотропного материала.
Задание 4.4.2: Совокупность линейных и угловых деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку тела, называют…
1) депланацией; 2) перемещением точки;
3) деформированным состоянием в точке; 4) объемной деформацией.
Решение: Верный ответ – 3).
В общем случае элементарный объем испытывает три линейные деформации и три угловые. Деформированное состояние в точке полностью
определяется, если заданы шесть компонентов тензора деформаций (  x ,
 y ,  z ,  xy / 2 ,  yz / 2 ,  zx / 2 ). Зная эти компоненты, можно определить
линейную и угловую деформации в любом направлении и в любой плоскости, проходящей через данную точку.
Задание 4.4.3: Три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых
отсутствуют угловые деформации, называют…
1) главными осями деформированного состояния;
2) главными осями; 3) центральными осями; 4) осями симметрии.
Решение: Верный ответ – 1). Среди множества осей, проходящих через точку, в которой исследуется деформированное состояние, существуют
три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации равны нулю. Эти оси называются главными осями деформированного
42
состояния, а линейные деформации в этой системе – главными деформациями.
Задание 4.4.4: Модуль упругости материала Е и коэффициент Пуассона μ заданы. Относительное изменение объема равно …
1  2
1  2
3 ; 2) 
 ; 3) 0; 4)  (1  2 ) .
E
E
Решение: Верный ответ – 2). Для определения относительного изме1  2
нения объема используем формулу  
( x   y   z ) . Подставим
E
вместо
их
значения,
тогда
 x , y , z
1)

1  2
1  2
( x   y   z )  

E
E
Задание 4.4.5: На рисунке показано напряженное состояние в точке
изотропного тела. Модуль упругости материала E  2  10 5 МПа , коэффициент Пуассона   0,25 . Линейная деформация в направлении х равна…
1)  x  6,25  10 4 ; 2)  x  2,5  10 4 ; 3)  x  0 ; 4)  x  2,5  10 4 .
Решение: Верный ответ – 3). Воспользуемся уравнением обобщенного
1
закона Гука  x   x   ( y   z ) . В данном примере  x  0 ,
E



100 МПа . После вычислений найдем  x  0 .
 y  100 MПа , z


Задание 4.4.6: Объемный элемент находится под действием нормальных напряжений, показанных на рисунке:  x  50 МПа ,  y  50 MПа ,
 z   . Модуль упругости материала Е  2  10 5 МПа , коэффициент Пуас43
сона   0,25 . Линейная деформация в направлении оси z будет равна нулю, когда σ принимает значение…
1) 25 МПа; 2) 100 МПа; 3) -25 МПа; 4) 50МПа.
Решение: Верный ответ – 1). На основании обобщенного закона Гука,
составим выражение для определения линейной деформации в направле1
нии оси z:  z   z   ( y   z ) . Подставим в формулу числовые знаE
1 
1

чения  z 
  (50  50)  0 , тогда   25МПа .
5 
4
2  10 



5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ
СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ
5.1. Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры
Задание 5.1.1: Статический момент относительно оси x равен…
1) 48а3; 2) 96а3; 3) 144а3; 4) 72а3.
Решение: Верный ответ – 4). Статический момент площади сечения
относительно оси x S x   ydA .
A
В данном случае S x  A  y цт  4а  6а  3а  72а 3 , где А – площадь сечения, y цт – ордината центра тяжести сечения.
Задание 5.1.2: Ось, относительно которой статический момент площади сечения равен нулю, называется…
1) осью симметрии; 2) центральной;
3) средней линией контура; 4) нейтральной линией.
44
Решение: Верный ответ – 2). Рассмотрим некоторое поперечное сечение стержня. Свяжем его с системой координат x, y и составим два интеграла.
Индекс А у знака интеграла указывает на то, что интегрирование проводится по всей площади сечения стержня. Первый интеграл называется
статическим моментом площади сечения относительно оси x, второй – относительно оси y. В зависимости от выбранной системы координат статические моменты могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Задание 5.1.3: Статический момент площади сечения относительно
оси x равен…
1) 78a 3 ; 2) 0; 3) 54a 3 ; 4) 66a 3 .
Решение: Верный ответ – 4). Статический момент сечения относительно оси x S x   ydA . В данном случае S x   Ai  y цт i , где Аi – площаA
ди составных фигур, y цт – ординаты центров тяжести составных фигур.
i
S x  6a  4a  3a  0,5  4a  3a  1a  66a 3 .
Задание 5.1.4: Статический момент площади фигуры относительно
оси x определяется интегралом …
1)  ydA ; 2)  xdA ; 3)  xydA ; 4)  y 2 dA .
A
A
A
A
Решение: Верный ответ – 1).
45
Разделим площадь А плоской фигуры на элементарные площади dA
прямоугольной координатной сеткой (x и y – координаты центра тяжести
элементарной площадки). Если каждую элементарную площадь умножить
на координату у и сложить эти произведения, то получим статический момент площади относительно оси x. Чем мельче координатная сетка, тем
точнее результат расчета. Заменяя операцию сложения интегрированием
по площади А, получим выражение статического момента площади относительно оси x: S x   ydA .
A
Задание 5.1.5: Статический момент относительно оси x равен…
bh
bh 2
bh 2
; 2) нулю; 3)
; 4)
.
6
3
2
Решение: Верный ответ – 2). Центр тяжести треугольника расположен
на расстоянии h/3 от основания. Следовательно, ось x проходит через
центр тяжести фигуры и является центральной. Относительно центральной
оси статический момент площади сечения равен нулю.
1)
5.2. Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
Задание 5.2.1: Осевой момент инерции площади сечения относительно оси y равен…
46
1)
d 4
32
; 2)
d 4
64
; 3)
d 4
128
; 4)
d 4
12
.
Решение: Верный ответ – 3). Для круга J y 
для полукруга J y 
d 4 1
64

2

d 4
128
d 4
64
. В данном случае
.
Задание 5.2.2: Осевой момент инерции площади фигуры относительно
оси y определяется интегралом …
1)  y 2 dA ; 2)  ydA ; 3)  x 2 dA ; 4)  xdA .
A
A
A
A
Решение: Верный ответ – 3).
Разделим площадь А плоской фигуры на элементарные площадки dA
прямоугольной координатной сеткой (x и y – координаты центра тяжести
элементарной площадки). Если каждую элементарную площадку умножить на х2 и сложить эти произведения, то получим осевой момент площади относительно оси y. Чем мельче координатная сетка, тем точнее результат расчета. Заменяя операцию сложения интегрированием по площади А,
получим выражение для осевого момента площади относительно оси y:
J y   x 2 dA .
A
Задание 5.2.3: На рисунке размеры поперечного сечения заданы в см.
Осевой момент инерции сечения относительно центральной оси x равен…
1) 512 см4; 2) 1792 см4; 3) 576 см4; 4) 448 см4.
Решение: Верный ответ – 4). Дополним поперечное сечение до прямоугольника, который обозначим 1. Прямоугольнику с отрицательной
площадью присвоим цифру 2. Ось х является центральной для прямоугольников 1 и 2.
47
Осевой момент инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси, параллельной основанию, определяется по формуле
bh 3
. При определении осевого момента инерции сечения необходимо
Jx 
12
из момента инерции прямоугольника 1 вычесть два момента инерции пря4  12 3
1,5  8 3
моугольника 2, то есть J x  J 1x  2 J x2 
2
 448 см3.
12
12
Задание 5.2.4: Если h=3b, то значение осевого момента инерции площади относительно оси x1 равно…
3b 4
9b 4
27b 4
3b 4
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
36
4
4
4
Решение: Верный ответ – 4). Для вычисления J X1 используем формулу перехода от центральной оси к любой, параллельной ей:
bh 3
27b 4
2
2 1
.
J x1  J x  a A 
 (2b)   b  3b 
36
2
4
Задание 5.2.5: Осевой момент инерции относительно оси x1 равен…
17d 4
5d 4
d 4
3d 4
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
64
64
64
32
Решение: Верный ответ – 2). Для круглого сечения диаметром
d осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х опре48
деляется по формуле J x 
d 4
. Ось х1 расположена параллельно цен64
тральной. Воспользуемся формулой для определения осевого момента
инерции сечения при переходе от центральной оси к нецентральной, расположенной параллельно центральной J x1  J x  b 2 A , где b – расстояние
между осями х1 и х, А – площадь поперечного сечения. Тогда
2
d 4 d 4  d 
5
J x1 

    d 4 .
64
4 2
64
Задание 5.2.6: Осевой момент инерции относительно оси y равен…
4 4
2
b4
b4
1) b ; 2)
; 3)
; 4) b 4 .
3
3
6
12
Решение: Верный ответ – 3). Для прямоугольника момент инерции
площади относительно центральной оси, перпендикулярной основанию
2b  b 3 b 4
hb3
равен J у 
. В данном случае J у 
.

12
6
12
5.3. Главные оси и главные моменты инерции
Задание 5.3.1: Для сечения известны осевые моменты инерции сечения относительно осей х1, у1, х2: J Х1  3000 см 4 , J Y1  1000 см 4 ,
J Х 2  1500 см 4 . Осевой момент инерции относительно оси у2 равен…
1) 1000 см4; 2) 2000 см4; 3) 2500 см4; 4) 3000 см4.
Решение: Верный ответ – 3). Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей
49
на некоторый угол остается постоянной, то есть J X1  J Y1  J X 2  J Y2 .
После подстановки заданных значений получим J Y2  2500 см 4 .
Задание 5.3.2: Из указанных центральных осей сечения равнополочного уголка главными являются…
1) х3; 2) все; 3) х1; 4) х2.
Решение: Верный ответ – 4). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.
Задание 5.3.3: Главные оси инерции …
1) можно провести только через точки, лежащие на оси симметрии;
2) можно провести только через центр тяжести плоской фигуры;
3) это оси, относительно которых моменты инерции плоской фигуры
равны нулю;
4) можно провести через любую точку плоской фигуры.
Решение: Верный ответ – 4). На рисунке показана произвольная плоская фигура. Через точку С проведены две взаимно перпендикулярные оси
U и V.
В курсе сопротивления материалов доказывается, что если эти оси поворачивать, то можно определить такое их положение, при котором центробежный момент инерции площади обращается в ноль, а моменты инерции относительно этих осей принимают экстремальные значения. Такие
оси называются главными осями.
Задание 5.3.4: Из указанных центральных осей главными осями сечения являются…
50
1) все; 2) х1 и х3; 3) х2 и х3; 4) х2 и х4.
Решение: Верный ответ – 1). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.
Задание 5.3.5: Оси, относительно которых центробежный момент
инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются…
1) центральными осями; 2) осями симметрии;
3) главными центральными осями; 4) главными осями.
Решение: Верный ответ – 4). При повороте осей координат на угол α
моменты инерции сечения меняются.
Пусть заданы моменты инерции сечения относительно координатных
осей x, y. Тогда моменты инерции сечения в системе координатных осей u,
v, повернутых на некоторый угол относительно осей x, y, равны
J u  J x cos2   J y sin 2   J xy sin 2 ,
J v  J x sin 2   J y cos2   J xy sin 2 ,
J uv  J xy cos 2 
Jx  Jy
sin 2 .
2
При некотором значении угла  центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения. Данные оси называются главными осями.
Задание 5.3.6: Момент инерции сечения относительно главной центральной оси хС равен…
51
1) 34a 4 ; 2) 37a 4 ; 3) 63a 4 ; 4) 52a 4 .
Решение: Верный ответ – 2)
Для вычисления J X C используем формулу
J X C   J XI C  J XIIC  ( J x1  a12 A1 )  ( J x2  a 22 A2 )
J XC
 4 a  (6 a ) 3
  4a  (3a) 3

1
2

 (0,7a)  6a  4a   
 (2,7a) 2   4a  3a   37 a 4
36
2
 12
 

5.4. Моменты инерции простых и сложных сечений
Задание 5.4.1: Осевой момент инерции относительно оси x равен…
38a 4
10a 4
29 a 4
18a 4
1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
12
12
12
12
Решение: Верный ответ – 3).
Осевой момент инерции J x   J xi . В данном случае
52
J x  J xI  J xII  J xIII
a(3a) 3
a  a 3 29a 4
.

2

12
12
12
Задание 5.4.2: Поперечное сечение балки составлено из вертикального
листа и четырех неравнополочных уголков 80  50  5 . Характеристики
уголка заданы. Размеры на рисунке даны в мм. Моменты инерции сечения
J x и J y соответственно равны…
1) 4551 см4, 516 см4; 2) 9445 см4, 496 см4;
3) 9445 см4, 516 см4; 4) 9445 см4, 186 см4.
Решение: Верный ответ – 3). При решении задачи воспользуемся
формулами
перехода
к
параллельным
осям:
J x2  J x1  b 2 A ,
J y2  J y1  a 2 A , учитывая, что первоначальные оси х1 и у1 – центральные.
Разбиваем составное сечение на четыре неравнобоких уголка и прямоугольник, которые обозначим индексами 1 и 2 соответственно.
Осевой момент инерции относительно оси x определяется по формуле
J x  4 J x(1)  J x( 2)  4 12,7  6,36(15  1,13) 2  (2  30 3 ) / 12  9445 cм 4 .
Аналогично определяем осевой момент инерции относительно оси y
J y  4 J y(1)  J y( 2)  4 41,6  6,36(1  2,6) 2  (30  2 3 ) / 12  516cм 4




Задание 5.4.3: Момент инерции площади фигуры, состоящей из двух
кругов, относительно оси x равен…
17 4
5
1)
d ; 2)
d 4 ;
32
64
5
3)
d 4 ;
32
53
4)
d 4
32
.
Решение: Верный ответ – 3). При вычислении задачи используем
формулу перехода к параллельным осям J x2  J x1  b 2 A , где J x1 – осевой
момент инерции фигуры относительно своей центральной оси х1; b – расстояние между осями х2 и х1; А – площадь фигуры. Применительно к данd 4 d 4  d  2  5
4
ной задаче имеем J x  2

    d .
4  2   32
 64
Задание 5.4.4: Момент инерции площади фигуры относительно оси x,
проходящей через центр тяжести фигуры, равен …
1) 19,15t4; 2) 2,25t3-0,785t4; 3) 5,18t4; 4) 5,965t4 .
Решение: Верный ответ – 4). Разбиваем фигуру на квадрат 1 и круг 2.
Момент инерции всей фигуры равен разности моментов инерции квадрата
bh 3 d 4 3t (3t ) 3  (2t ) 4
(1)
( 2)
и круга: J x  J x  J x 



 5,965t 4
12
64
12
64
Задание 5.4.5: Поперечное сечение балки составлено из двух швеллеров №20 и листов, прикрепленных с помощью сварки. Характеристики
швеллера приведены. Размеры на рисунке даны в мм. Осевой момент
инерции сечения относительно главной центральной оси x равен…
1) 17560 см4; 2) 8800 см4; 3) 3080 см4; 4) 17600 см4.
Решение: Верный ответ – 4). Разбиваем сложное сечение на ряд простых фигур: два швеллера и два прямоугольника, которые обозначены индексами 1 и 2 соответственно. Ось x является главной центральной осью
сечения. Осевые моменты инерции простых фигур относительно своих
54
главных центральных осей, расположенных параллельно оси x, равны
J x( 2)  (30  2 3 ) / 12  20см 4 , J x(1)  1520см 4 .Ось швеллера совпадает с осью
x. Ось листа удалена от оси x на расстоянии 11 см. Поэтому при определении момента инерции второй фигуры относительно оси x надо воспользоваться формулой перехода к параллельным осям. Окончательно имеем
J x  2 J x(1)  2 J x( 2)  2  1520  2(20  60  112 )  17600 cм 4 .
Задание 5.4.6: Момент инерции сечения относительно оси х равен…
1) 254a 4 ; 2) 230a 4 ; 3) 210a 4 ;
Решение: Верный ответ – 4).
4) 284a 4 .
Для вычисления J x используем формулу
J x   ( J x ) i  J xI  J xII  ( J x1  a12 A1 )  ( J x2  a 22 A2 ) ,
2
 4a  (6a ) 3
    ( 2a ) 4
2
2  ( 2a )



Jx 
 (3a)  6a  4a   
a 
12
64
4

 
55

  284 a 4 .

