Математическая статистика. Курсовая работа (вариант 2)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
Кафедра 804 "Теория вероятности и математическая статистика"
КУРСОВАЯ РАБОТА
по курсу
"Математическая статистика"
Выполнил:
студент группы 08-304
Принял:
профессор каф. 804
Кан Ю. С.
Дата:
Оценка:
Подпись:
2003 г.
Задание 1.
 1
 1 

Дан случайный вектор    2  ~ N (0, K ) , где K   1
 2k
 3 
0

0 
2k

1  , k = 15.
1
2k 
1
1 
2k

2
2
2
Методом Монте-Карло найти вероятность P(1   2   3  4) .
1
Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в моделировании
требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом
вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область Q
определяется, исходя из соотношения:
P(Q) 
m
,
n
где n – объем выборки, m – количество реализаций случайной величины, попавших в
область Q.
Для того чтобы смоделировать нормальный случайный вектор с ковариационной
матрицей K, задается линейное преобразование, переводящее стандартный нормальный
случайный вектор в рассматриваемый случайный вектор с матрицей K.
~
 ~ N (0, I )   ~ N (0, K )
~
  
Чтобы найти матрицу преобразования  , приводим квадратичную форму x T Kx к сумме
квадратов:
x x
x x
xx
xx
x2
x2
1
x T Kx  x12  1 2  x22  2 3  x32  ( x12  1 2  22 )  ( 22  2 3  x32 )  (1  2 ) x22 
k
k
k
k
4k
4k
2k
2
x
x
2k  1 2
 ( x1  2 ) 2  ( 2  x3 ) 2  (
x2 )
2
k 
2
k  
2
k
2


y1
y  Ax , где
1
1
2k

2k 2  1

A  0
2k 2

1
0
2k
 1

  AT   1 2k
 0

y3
0

0 ,

1

0
2k 2  1
2k 2
0
y2
0 
1 .
2k 
1 
Таким образом, моделируя вектор из трех некоррелированных стандартных нормальных
случайных величин, с помощью преобразования  получаем гауссовский вектор с
ковариационной матрицей K.
Вектор моделируется с помощью датчика случайных чисел. Для каждой полученной
реализации случайного вектора выполняется проверка на попадание в заданный шар.
Итоговая вероятность рассчитывается как отношение количества реализаций, попавших в
шар, к объему выборки.
На рис. 1 показан результат статистического испытания при объеме выборки n = 100000,
k = 10. Полученная вероятность: P = 0,73924.
Рис. 1 (n = 100000, k = 10)
Задание 2.
Имеются 50 опытов наблюдения X и Y:
Y  aX  b   ,
где  ~ N (0,  ) .
Оценить параметры a и b методом наименьших квадратов.
Решение 1:
 
Для нахождения оценок a и b применим метод максимального правдоподобия.
Yk ~ N (aX k  b, ) ,
p( x, ) 
1
2

e
( x  aX k b ) 2
2
Составляем функцию правдоподобия:
n
Ln ( Z n , )   p(Yk , )  (2)

k 1
n
2
1 n
exp{  (Yk  aX k  b) 2 } ,
2 k 1
где n – объем выборки (n = 50).
Получаем логарифмическую функцию правдоподобия:
n
1 n
~
L n( )  ln( Ln( Z n , ))   ln( 2 ) 
 (Yk  aX k  b) 2 .
2
2 k 1
~
Задача максимизации L n( ) сводится к минимизации суммы квадратов:
n
 (Y
k
k 1
 aX k  b) 2  min

Распишем сумму квадратов:
n
n
k 1
k 1


 (Yk  aX k  b) 2   Yk2  2Yk (aX k  b)  (aX k  b) 2 

n

  Yk2  2 X k Yk a  2Yk b  X k2 a 2  2 X k ab  b 2 .
k 1
Введем новые обозначения:
n
   X k2
k 1
n
   Xk
k 1
n
   X k Yk
k 1
n
   Yk
k 1
n
   Yk2
k 1
С учетом новых обозначений получаем:
J(a,b) =  a2 + nb2 + 2 ab – 2 a – 2 b +   min
a,b
Берем частные производные:
J
 2 a + 2 b – 2,
a
J
 2nb + 2 a – 2.
b
Решаем систему:
  a +  b = ,

 nb +  a = .
Получаем:
 n  
a
,
n   2
   
b
.
n   2
Решение 2:
Оценки параметров можно получить, решая так называемую нормальную систему
уравнений:
b 
A   XY ,
a 
X1  1
где X   2   
X  X1
1
X2
1 
T
, Y  Y1 Y2 ... Yn  ,

... X n 
...

n
( X , X ) ( X , X ) 
A 2 1
 n
2
2 
( X , X ) ( X , X )    X k
 k 1
Получаем:
 n

Yk 


 n   b 
 
k 1
 
    a    n

    X Y   
k k


k 1
т.е. то же самое в виде системы:
 nb +  a = .

  a +  b = ,
1
1
1
2

 n  
k 1

n

2
  
Xk


k 1
n
X
k
Как видно, это та же система, что и в решении 1.
Таким образом, с учетом данных, полученных в опытах по наблюдению за X и Y,
получаем значения коэффициентов:
 = 46,5000961858679,
 = 46,1733376283488,
 = 147,911922402037,
 = 146,973081745395,
 = 471,011023261011.
Получив значения коэффициентов, получаем значения оценки параметров:
a = 3,15684427413119,
b = 0,0242209047163106.


На рис. 2 представлена прямая Y  aX  b .
Рис. 2. Результаты оценки параметров.
Задание 2а.
Построить доверительные интервалы уровня 0.95 для параметров a и b.
Основная МНК-теорема:
Пусть в условия предыдущей задачи
T
b  
b   
b  
S (  )   Y  X T     Y  X T    ,
a  
a   
a  

 T

b  
b   
b  
2
T
T
S (  )   Y  X      Y  X     .

 

a  
a   
a  
Тогда

b 
 b  2 1 
   ~ N   ;  A  ,
 a 

a 

2
S (b )
~  2 (n  2) .
2
2

Следствие:



 b  
 b   

c11 S     
c11S      
 a 
 a 


 

    1 ,
P b  t 
b b t 
1 , n  2
1 , n  2
n2
n2 

2
2







 b  
 b   

c 22 S     
c 22 S      
 a 
 a 

     a  a  t
    1 ,
P a  t 

1 , n  2
1

,
n

2
n2
n2 

2
2




где cii - (i, i)-й элемент матрицы A 1 , t

1 , n  2
2
- квантиль уровня 1 

2
для распределения
Стьюдента с n  2 степенями свободы.
С учетом условия задачи (   0.05 ) и всего вышесказанного, получаем следующее:
   
1
Матрица A 1 
,
2 
n 
n    
соответственно,

c11 
 0,240898564361575
n   2
n
c 22 
 0,259030178559918
n   2

n
 b  
 2

 0,718538058549758
S        Yk  aX k  b
 a 
k 1
 



t

1 , n  2
2
 2.011
Итого – доверительные интервалы уровня 0.95:
для a : ( 3,13736861423897 ; 3,17631993402341 )
для b : ( 0,00610850355088199 ; 0,0423333058817393 )
Задание 3.


Рассматривая ek  Yk  aX k  b как выборку, построить гистограмму (10 интервалов
одинаковой длины). Пользуясь критерием  2 и полученной гистограммой, проверить
гипотезу о нормальном законе распределения с уровнем значения 0.01 случайной
величины ek .
Минимальное и максимальное выборочные значения равны -0,2037977 и 0,2390410,
соответственно. Разобьем получившийся промежуток на 10 интервалов одинаковой
длины. В таблице 1 представлены характеристики получившегося разбиения.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Левый конец
-0,203797779795623
-0,159513896959864
-0,115230014124104
-0,070946131288345
-0,026662248452585
0,017621634383174
0,061905517218934
0,106189400054693
0,150473282890453
0,194757165726212
Таблица 1. Данные для гистограммы.
Рис. 3. Гистограмма.
Правый конец
-0,159513896959864
-0,115230014124104
-0,070946131288345
-0,026662248452585
0,017621634383174
0,061905517218934
0,106189400054693
0,150473282890453
0,194757165726212
0,239041048561972
Кол-во элементов
выборки, попавших в
интервал
6
1
6
2
7
16
6
4
0
2
Прежде чем проверять гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины
ek , оценим параметры закона распределения в предположении, что распределение
гауссовское. Из условия предыдущей задачи
  Y  aX  b ~ N (0, )
Значит, мат. ожидание равно нулю, а дисперсия оценивается выборочной дисперсией:

1 n

   2  Sn 2   (ek  0) 2
n k 1

Подставляя выборочные данные, получаем:  2  0,010326

Таким образом, выдвигаемая гипотеза: ek ~ N (0,  2 )
Для каждого интервала вычисляем вероятность, а также частоту попадания выборочных
точек. Полученные результаты представлены в таблице 2.
№ (k)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z
F ( z k )   ( k )
z
F ( z k 1 )   ( k1 )
0,0222
0,0375
0,1288
0,2427
0,3964
0,5688
0,7287
0,8519
0,9307
0,9723
0,0375
0,1288
0,2427
0,3964
0,5688
0,7287
0,8519
0,9307
0,9723
0,9907


Вероятность попадания
в k-интервал:
Pk  F ( z k 1 )  F ( z k )
0,0153
0,0913
0,1139
0,1537
0,1724
0,1599
0,1232
0,0788
0,0416
0,0184
Частота попадания
выборочных точек в kинтервал
Pk * 
mk
, k  1,...,10
n
0,12
0,02
0,12
0,04
0,14
0,32
0,12
0,08
0,00
0,04
Таблица 2. Вероятностные и частотные характеристики.
На основании полученных результатов вычисляем статистику:
10
( P  Pk *) 2
g n  n k
 54,5
Pk
k 1
Если гипотеза верна, то статистика g n ~  2 (9)
Используя закон распределения  2 (9) , находим критическое значение для заданного
уровня p = 0.01:
2
2
 crit
: P(  2 (9)   crit
)  1  p  0.99
2
 20.8
Из таблицы распределения  2 (9) получаем:  crit
2
g n  54.5  20.8   crit
, значит гипотеза отвергается.