Document 835268
advertisement
ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Методические указания разработаны докт. техн. наук, профессором Г.И. Гребенюком, канд. техн. наук, доцентом И.В. Кучеренко Изложена методика подготовки к Интернет-тестированию по дисциплине «Сопротивление материалов». Приведены перечень и содержание основных дидактических единиц дисциплины, а также рекомендации по рациональному порядку прохождения теста. Подобран и систематически изложен обширный справочный материал, необходимый для подготовки к выполнению теста. Даны основные понятия и определения, приведены необходимые пояснения, а также примеры решения типовых задач, относящихся к различным дидактическим единицам. Методические указания соответствуют рабочим программам курсов «Сопротивление материалов», «Техническая механика» для бакалавров и специалитета по всем направлениям и профилям подготовки. Утверждены методической комиссией строительного факультета 14 января 2013 г. Рецензенты: - В.В. Адищев, д-р техн. наук, профессор, декан строительного факультета НГАСУ (Сибстрин) - В.А. Шутов, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой общетехнических дисциплин НГАХА ©Гребенюк Г.И., Кучеренко И.В., 2013 ©Новосибирский государственный архитектурностроительный университет (Сибстрин), 2013 Содержание Введение .................................................................................. 2 1. Общая структура интернет-теста по сопротивлению материалов, система его оценки и особенности выполнения .............................................................................. 2 2. Методика подготовки к интернет-тестам по сопротивлению материалов ................................................... 5 3. Справочные материалы для подготовки к интернеттестам по сопротивлению материалов ................................. 7 3.1. Введение в курс ............................................................ 7 3.2. Растяжение и сжатие.................................................... 8 3.3. Сдвиг. Кручение ......................................................... 11 3.4. Напряженное и деформированное состояние материала в точке .............................................................. 14 3.5. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня ................................................................ 18 3.6. Плоский прямой изгиб............................................... 23 3.7. Сложное сопротивление ............................................ 26 3.8. Статически неопределимые системы ....................... 31 3.9. Устойчивость сжатых стержней ............................... 35 3.10. Сопротивление динамическим и периодически меняющимся во времени нагрузкам ............................... 38 Литература ............................................................................. 44 Приложения ........................................................................... 45 1 ВВЕДЕНИЕ Тестирование, как форма контроля знаний, получило широкое распространение в деятельности высшей школы. В последние годы, в связи широким проникновением Интернеттехнологий во все сферы профессиональной деятельности, стало возможным с незначительными затратами проводить внешний контроль знаний студентов. В настоящее время такой контроль осуществляется с помощью Федерального интернет-экзамена в сфере профессионального образования (ФЭПО), который проводится Национальным аккредитационным агенством и является общим для всех высших учебных заведений РФ. Цель ФЭПО – помочь вузам в самообследовании для объективной оценки степени соответствия подготовки студентов требованиям ГОС. Кроме того, именно эта форма контроля используется экс- пертной комиссией при проведении аккредитации высшего учебного заведения. Тестовые задания, составленные в целом по всему объему учебной дисциплины, дают возможность быстро получить обобщенный срез знаний по всем аспектам и темам изученного курса. Достоверность полученных результатов обеспечивается достаточно большим количеством вопросов. Для успешного выполнения теста необходимы устойчивые знания по предмету, умение концентрироваться, быстро вникать в сущность вопроса, правильно выполнять математические операции. 1. ОБЩАЯ СТРУКТУРА ИНТЕРНЕТ-ТЕСТА ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ, СИСТЕМА ЕГО ОЦЕНКИ И ОСОБЕННОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ Интернет-тест по сопротивлению материалов содержит сорок вопросов по десяти дидактическим единицам (темам) и имеет структуру, представленную в таблице 1. 2 Таблица 1. № Наименование ДЕ дидактической единицы ГОС № задания 1 1 Введение в курс 2 3 4 5 2 Растяжение и сжатие 6 7 8 9 3 Сдвиг. Кручение 10 11 12 13 Напряженное и деформированное 4 состояние материала в точке 14 15 16 5 Геометрические характеристики 17 Тема задания Основные понятия, определения, допущения и принципы Модели прочностной надежности Внутренние силы и напряжения Перемещения и деформации Продольная сила. Напряжения и деформации Испытания конструкционных материалов на растяжение и сжатие Механические свойства материалов Расчеты стержней на прочность и жесткость Чистый сдвиг. Расчет на сдвиг (срез) Крутящий момент. Деформации и напряжения Расчет на прочность при кручении Расчет на жесткость при кручении Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения Виды напряженного состояния Оценка прочности материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности Деформированное состояние материала в точке. Связь между деформациями и напряжениями Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры 3 поперечных сечений стержня 18 19 20 21 6 Плоский прямой изгиб 22 23 24 25 26 7 Сложное сопротивление 27 28 29 Статически 8 неопределимые системы 30 31 32 33 9 Устойчивость сжатых стержней 34 Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей Главные оси и главные моменты инерции Моменты инерции простых и сложных сечений Поперечная сила и изгибающий момент и их эпюры Напряжения в поперечном сечении балки Расчет балок на прочность Перемещения при изгибе. Расчет балок на жесткость Виды нагружения стержня Пространственный и косой изгиб Изгиб с растяжением, сжатием и кручением Внецентренное растяжение-сжатие стержня Определение перемещений с помощью интегралов Мора. Правило Верещагина Статическая неопределимость. Степень статической неопределимости Метод сил Расчет простейших статически неопределимых систем Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие. Критическая сила. Критическое напряжение. Гибкость стержня Формула Эйлера для критической силы сжатого стержня и пределы ее применимости 4 35 36 37 Сопротивление динамическим и 10 периодически меняющимся во времени нагрузкам 38 39 40 Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы Устойчивость за пределом пропорциональности. Расчет сжатых стержней на устойчивость Расчет на прочность с учетом сил инерции Прочность при ударных нагрузках Основные понятия и определения при расчетах на выносливость Расчет на прочность при напряжениях, периодически меняющихся во времени Время, отведенное на выполнение заданий, ограничено. В каждом задании предлагается четыре варианта ответа, из которых необходимо выбрать один правильный. Задания теста выдаются в случайном порядке, без названия темы. На вопросы можно отвечать также в случайном порядке, до завершения теста к вопросу можно вернуться и исправить ответ. Подготовка студента считается соответствующей требованиям стандарта, если он освоил все контролируемые ДЕ ГОС. ДЕ считается освоенной, если даны правильные ответы на 50% и более заданий. Таким образом, в тесте по сопротивлению материалов необходимо дать не менее двух правильных ответов по каждой теме, в противном случае оценка за тест будет неудовлетворительной. 2. МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ К ИНТЕРНЕТ-ТЕСТАМ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Тестирование является особой формой контроля знаний и требует быстрого ответа на достаточно большое количество вопросов. Поэтому овладение методикой тестирования требует 5 дополнительной работы студентов, направленной на формирование умений отвечать на тест. Для успешного прохождения тестирования важно умение концентрироваться, выделять главное в вопросе. При подготовке к тестированию необходимо сочетать традиционные методы (учебную литературу по курсу, конспекты лекций и практических занятий) и специализированные интернет-программы. В настоящее время можно использовать программу Тест-тренажер http://www.i-exam.ru/, разработанную НИИ мониторинга качества образования, и программу, разработанную в НГАСУ (Сибстрин) http://test.sibstrin.ru/. Тест-тренажер содержит тесты по всем основным дисциплинам высшей школы, в том числе и по сопротивлению материалов. Тест-тренажер ориентирован, прежде всего, на самостоятельную работу студента. Для этого в программе предусмотрены режимы «Обучение» и «Самоконтроль». В режиме «Обучение» проверка правильности выполнения задания происходит сразу после ответа; в случае выбора неправильного ответа выводится подсказка; нет ограничения по времени и можно вывести правильное решение. Режим «Самоконтроль» дает возможность проверить знание дисциплины в условиях, максимально приближенных к реальному контрольному тестированию. При этом результат выполнения теста выводится только после его завершения. Систематичность и многократность использования тренажера способствует усвоению учебного материала и формированию навыков быстрого решения задач. Для доступа к указанным режимам необходим ключ, который нужно узнать у своего преподавателя. В тест-тренажере есть режим «Контрольное тестирование», который организуется преподавателем. При этом назначается день тестирования, каждому студенту преподаватель создает логин и пароль. Тестирование возможно в учебной аудитории с преподавателем, а также самостоятельно, с любого компьютера, имеющего доступ в Интернет. 6 3. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ИНТЕРНЕТ-ТЕСТАМ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ 3.1. ВВЕДЕНИЕ В КУРС 1. Прочность Способность материалов воспринимать дополнительные силы внутреннего взаимодействия между частицами, вызванные деформированием материалов при нагружении материалов и конструкций Стержень (брус) Тело, один размер которого значительно больше двух других Упругость Свойство материала тела восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки Гипотезы о Материал считается сплошным, однородным, свойствах мате- изотропным и идеально-упругим риала Изотропный ма- Материал, у которого механические свойства териал одинаковы во всех направлениях Деформация Изменение первоначальной формы и размеров тела Внутренние си- Проекции главного вектора и главного моловые факторы мента сил внутреннего взаимодействия в се(усилия) чении на координатные оси x, y, z, одна из которых перпендикулярна к плоскости сечения, а две другие лежат в этой плоскости (начало координат располагается в центре тяжести сечения) Принцип Сен- Напряжения и перемещения в сечениях, удаВенана ленных от места приложения внешней нагрузки, зависят от ее статического эквивалента и не зависят от способа ее приложения Вектор полного Вектор, имеющий начало в точке недефорперемещения мированного тела, а конец в той же точке 7 точки деформи- деформированного тела руемого тела Полное напря- Внутренняя сила, отнесенная к единице жение площади в данной точке рассматриваемого сечения Нормальное Ортогональная проекция вектора полного напряжение напряжения на нормаль к плоскости сечения Касательное Ортогональная проекция вектора полного напряжение напряжения на плоскость сечения Связь между N dA , Q dA , y y внутренними A A силовыми факторами и напря- M y zdA , Qz z dA , M z ydA , A A A жениями M x ( y z z y)dA A 3.2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Продольная сила N Сумма проекций всех внутренних сил, действующих в сечении, на нормаль к сечению Нормальное напряжение σ Закон Гука при растяжении-сжатии Упругая деформация Остаточная деформация Пластичный материал Хрупкий материал , Е – модуль упругости материала, - линейная деформация Деформация, исчезающая после снятия нагрузки Деформация, оставшаяся в нагружаемом теле после снятия нагрузки Если остаточная деформация при разрушении образца больше 5 % Если растягиваемый образец разрушается при остаточной деформации, меньшей 5% 8 Диаграмма пластичного растяжения Точка А соответствует пределу материала пропорциональности; ВС – площадка текучести; CD – зона упрочнения DE – участок образования шейки; точка D - соответствует пределу прочности. Диаграмма растяжения- Точки B и D соответствуют предесжатия хрупкого материа- лам прочности при растяжении и ла сжатии соответственно. B D Условие прочности для пластичного материала R s k max R *1), , s - предел текучести, k 1 - коэффициент запаса прочности Условия прочности для хрупкого материала (индекс t соответствует растяжению, индекс с сжатию) *1) t max Rt , c Rt ut k , Rc uc k max Rc , , u - времен- ное сопротивление, k 1 - коэф- Вместо R часто используется [] – допускаемое напряжение. 9 фициент запаса прочности Абсолютная деформация при растяжении-сжатии l l 0 Условия жесткости N ( x)dx E ( x) A( x) или Nl l ( N соnst , EA const ) EA l l или u ( x) max u , u(x) – продольное перемещение произвольного сечения. Жесткость стержня при Произведение E A растяжении-сжатии ПРИМЕРЫ 1. Стальной стержень шириной b=200 мм с четырьмя отверстиями d=20 мм растягивается силами F=250 кН. Расчетное сопротивление R=160 МПа. Определить минимальную толщину листа t по условию прочности (концентрацию напряжений не учитывать). Решение t Опасное сечение в стержне будет в сеb F чении, ослабленном отверстиями, площадь которого A b t 2 d t 160t мм 2 . Продольная сила в стержне N= d d F 250 кН. Подставляем в условие прочности max том размерности: N R с учеA 250 160 10 3 , получаем t=9,76 6 160 t 10 мм=0, 97 см. Ответ: t=0, 97 см. 10 2. Абсолютно жесткий элемент (заштрихованный) поддерживается упругим стержнем 1. Сила F, длина L, диаметр d и модуль упругости материала стержня Е известны. Определить линейную деформацию стержня 1. Решение Составим уравнение равновесия моментов в точке О: О M O F L N1 L 0 ( N1 2 растягивающая сила в стержне 1). Тогда N 1 2 F . Линейная деформация N1 EA Ответ: 2F E d 2 8F Ed 2 . 4 8F Ed 2 . 3.3. СДВИГ. КРУЧЕНИЕ Закон Гука G , где G – модуль сдвига материала при чистом сдвиге Условие прочF max Rs *2) ности болта на A срез Крутящий мо- Сумма моментов всех внешних сил, приломент женных к отсеченной части стержня, относительно его продольной оси *2) Вместо Rs (расчетное сопротивление на сдвиг) часто используется [ ] - допускаемое напряжение на сдвиг. 11 Касательные напряжения при кручении круглого стержня Условие прочности круглого вала Полярный момент сопротивления сплошного вала Полярный момент сопротивления трубчатого вала Относительный угол закручивания Абсолютный угол закручивания стержня длиной l Mt I W W d 3 16 d 3 16 (1 4 ), d int d ext Mt GI M l Mt dx 0 GI l Условия жесткости Жесткость стержня при кручении (x) max , (x) max Произведение GI ПРИМЕРЫ 12 r 1. Определить диаметр заклепки из расчета на срез. Расчетное сопротивление на срез Rs задано. Решение Полагая распределение касательных напряжений среза в поперечных сечениях заклепки равномерным, получим следующее F условие прочности: R s . Отсюда диаметр заклепки d2 2 4 2F равен: d . Rs Ответ: d 2F . Rs 2. Определить величину касательного напряжения в точке С вала. Решение Крутящий момент в сечении M t M , расстояние от центра d сечения до точки С . То6 Mt 32 M d 16 M гда касательное напряжение равно . I d 4 6 3d 3 13 Ответ: 16 M . 3d 3 3.4. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА В ТОЧКЕ y x zy yz z y xy yx xz z z zx dy y x dz x dx Рис. 3.4.1. Рис. 3.4.2. Напряженное состояние Совокупность напряжений на множестве в точке площадок, проходящих через данную точку (рис. 3.4.1) Правила знаков Растягивающие нормальные напряжения считаются положительными, сжимающие - отрицательными; Главные площадки Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю Главные напряжения Нормальные напряжения на главных площадках Обозначение главных 1 2 3 напряжений Линейное напряженное Частный случай напряженного состояния, состояние (ЛНС) когда два из трех главных напряжений не равны нулю Плоское напряженное Частный случай напряженного состояния, 14 состояние (ПНС) Объемное напряженное состояние Определение главных напряжений Напряжения на площадках, повернутых на угол α (рис.3.4.2) Закон парности касательных напряжений когда только одно из трех главных напряжений равно нулю Все три главных напряжения не равны нулю x y 1 σmax x y 2 4 xy2 2 2 min y x y x cos 2 yx sin 2 ; 2 2 x y sin 2 yx cos 2 ; 2 xy yx , zy yz , xz zx (в частном случае ПНС: xy yx ) Определение макси 3 мальных касательных max 1 2 напряжений Чистый сдвиг Напряженное состояние, при котором на гранях элементарного объема действуют только касательные напряжения Эквивалентное напря- Напряжение одноосного напряженного жение экв (зависит от состояния, при котором заданное напряиспользуемой теории- женное состояние и одноосное равноопасны прочности) Коэффициент запаса Число, показывающее, во сколько раз следля данного напряжен- дует увеличить все компоненты напряного состояния женного состояния, чтобы оно стало предельным Первая теория прочнодля пластичного материала: max R ; сти (используется при для хрупкого материала: линейном напряженном 1 Rt , 3 Rc , ( 1 0, 3 0) состоянии) Вторая теория прочно экв 1 ( 2 3 ) R сти 15 Третья теория прочности Четвертая (энергетическая) теория прочности (используется для пластичных материалов) Теория прочности Кулона-Мора (используется для хрупких материалов) экв 1 3 R. экв 1 2 ( 1 - 2 ) 2 ( 1 - 3 ) 2 ( 2 - 3 ) 2 R экв 1 Rt 3 Rt , где Rc Rt , Rc - расчетные сопротивления матери- ала при растяжении и сжатии со- Совокупность линейных и угловых деформаций по множеству направлений в точке Обобщенный закон Гу 1 xy xy , x x ( y z ) , ка G E (определение линейных и угловых деформаций) y 1 y ( x z ) , yz yz , G E 1 xz xz z z ( x y ) , G E Механические характе- Е (МПа) – модуль упругости; ристики материала и их G - (МПа) – модуль сдвига; размерности (безразмерный) – коэффициент Пуассона, 0 0,5 Связь между механичеE G скими характеристика2(1 ) ми Относительное измене1 2 V 1 2 3 ние объема при дефорE мировании материала Деформированное стояние в точке ПРИМЕРЫ Коэффициент Пуассона иногда обозначается 16 1. Объемный элемент находится под действием норz мальных напряжений, показанных на рисунке. Модуль упругости материала x=50 МПа 5 E 2 10 МПа, коэффициент Пуассона 0, 25 . Опредеx лить напряжение z , при коу=50 МПа тором z 0 . y Решение Учитывая направление показанных напряжений, имеем: x 50 МПа, y 50 МПа. Для z определения деформации z используем обобщенный закон Гука: 1 z ( x y ) E 1 z 0, 25(50 50) 0 2 105 z z zx =0,5 МПа Отсюда z 0 . Ответ: z 0 . x 2. На рисунке показано у=1 МПа напряженное состояние y Rt=1,5 МПа элементарного объема из материала, у которого предел прочности на растяжение в два раза меньше предела прочности на сжатие. Определите величину эквивалентного напряжения и оцените прочность материала, используя теорию прочности О. Мора. Решение Одно из главных напряжений задано и равно y 1 МПа. Два других главных напряжениия определяются из рассмотрения чистого сдвига и равны 0,5 МПа и -0,5 МПа. Таким образом, 1 1 МПа, 2 0,5 МПа, 3 0,5 МПа. Эквивалентное 17 напряжение и условие прочности по теории О. Мора запишутся в виде: экв 1 Rt (0,5) 1,5 . 2 Rt Отсюда экв 1,25 МПа Rt 1,5 МПа. Ответ: экв 1,25 МПа, условие прочности выполняется. 3.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ 3.5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Площадь сечения A dA y A Статические моменты площади сечения относительно осей z, y Осевой момент инерции (относительно оси z) Центробежный момент инерции (относительно осей z, y) Полярный момент инерции Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей при переходе от центральных осей к нецентральным (рис. 3.5.1) S z ydA dA A z S y zdA A A I z y dA 2 О I zy yzdA A I 2 dA A I z I z b2 A , 1 I y I y a2 A , 1 I z y I zy abA , 18 y z A 1 1 Зависимость между моментами инерции при повороте осей на угол (рис. 3.5.2) Главные оси сечения Определение координат центра тяжести сечения C Центральные оси сечения I z I z cos 2 I y sin 2 I zy sin 2 , 1 I y I z sin 2 I y cos 2 I zy sin 2 , Iz Iy Iz y sin 2 I zy cos 2 . 2 Взаимно-перпендикулярные оси, относительно которых I zy 0 1 1 1 zC y1 iz Wz Iz y max Iz A расстояние от главной центральной оси z до наиболее удаленной точки поперечного сечения Iz+Iy=Iz1+Iy1 y1 z y dA z y b Iz A , y max - максимальное dA С A Sz iy y z1 O , yC A A Все оси, проходящие через центр тяжести сечения. Относительно центральных осей статические моменты сечения равны нулю Радиусы инерции сечения Момент сопротивления сечения (относительно оси z) Sy z z1 y y1 z1 y1 z1 C z A a С – центр тяжести сечения Рис.3.5.1. Рис. 3.5.2. 19 3.5.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Форма и положение главных центральных осей сечения Моменты инерции: осевые I z , I y , центробежный I zy , Примечание полярный I Квадрат y1 y I z I y I z1 I y1 z1 a I zy I z1 y1 0 z a4 12 Все центральные оси являются главными Квадрат с квадратным вырезом y1 y a Iz I y z1 a 4 b4 I z1 I y1 12 I zy I z1 y1 0 z Все центральные оси являются главными b Квадрат с повернутым квадратным вырезом y1 a y Iz I y z1 a 4 b4 I z1 I y1 12 z I zy I z1 y1 0 b 20 Все центральные оси являются главными Прямоугольник y Iz h z bh 3 hb 3 Iy 12 , 12 , I zy 0 b Круг y1 Iz Iy y z Кольцо y 64 r 4 I zy I z1 y1 0 z1 d y1 d 4 z1 D z d I 2I z d 4 4 , r 4 Все центральные оси являются главными 32 2 d r 2 (D 4 d 4 ) Iz Iy 64 D 4 d Все цен (1 4 ), , 64 D тральные оси являютI zy I z1 y1 0 , ся главными D 4 I 2I z (1 4 ) 32 Круг с квадратным вырезом y1 y Iz Iy z1 d 4 64 b4 , 12 I zy I z1 y1 0 d z b 21 Все центральные оси являются главными Полукруг 2d 3 y z d 4 I z 0,11r 4 I y 128 , , I zy 0 d=2r Треугольник равнобедренный y h 3 Iz h bh 3 hb 3 Iy 36 , 48 , I zy 0 z В равностороннем треугольнике все центральные оси являются главными b ПРИМЕРЫ 1. Определить момент инерции круглого сечения I z1 . Решение Осевой момент инерции круга r 4 . С использованием форIz 4 d мулы параллельного переноса осей z имеем: z1 22 Iz Iz r2A 1 r 4 4 r 2 r 2 5r 5d 4 64 4 5d Ответ: 64 2. Определить главные центральные моменты инерции правильного шестиугольника со стороной a. Решение В правильном шестиугольнике любая ось, проходящая через a 3 центр тяжести, будет главной a 3 2 центральной. Найдем осевой z момент инерции относительно оси z. Для этого разобьем фигуру на прямоугольник со сторо0,5a a нами а и a 3 и два равнобед 4 4 ренных треугольника с основанием a 3 и высотой 0,5а. Тогда момент инерции всей фигуры: a (a 3 ) 3 0,5a (a 3 ) 3 5a 4 3 . I z I zпр 2 I zтр 2 12 48 16 5a 4 3 Ответ: . 16 3.6. ПЛОСКИЙ ПРЯМОЙ ИЗГИБ Плоский изгиб прямой Сопротивление прямого стержня действию нагрузок, перпендикулярных продольной оси стержня и располагающихся в одной главной центральной плоскости инерции стержня Изгибающий мо- Сумма моментов внешних поперечных нагрузок, приложенных к отсеченной части стержня, отномент сительно центра тяжести сечения 23 Поперечная сила Сумма проекций внешних поперечных нагрузок, приложенных к отсеченной части стержня, на поперечную ось сечения y Графики, показывающие величины (а для попеЭпюры , речной силы и знаки) поперечных сил и изгибающих моментов Правила знаков Q>0 Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями при изгибе Кривизна нейтрального слоя при изгибе Нормальные напряжения σ Условие прочности по нормальным напряжениям Касательные напряжения τ (bширина сечения, отс S z ( y) - статический момент отсеченной части площади сечения относительно оси z) M>0 dM ( x) dQ( x) d 2 M ( x) q( x) ; Q( x ) ; q ( x) ; 2 dx dx dx q (x) - интенсивность распределенной поперечной нагрузки 1 Mz , где - радиус кривизны EI z max y С z y Q S zотс ( y) ( y) I z b( y ) 24 С max z Условие прочности по касательным напряжениям Главные напряжения при изгибе Перемещения при изгибе: v(x) – функция прогибов сечений; (x) функция углов поворота сечений Приближенное дифференциальное уравнение оси изогнутой балки при изгибе 1,3 2 1 2 4 2 2 (x) y x v (x) M ( x) , EI z где EI z - жесткость балки при изгибе в плоскости yOx v ( x) ПРИМЕР 1. Поперечное сечение левой части балки – квадрат с размерами b b , правой –прямоугольное сечение b 2b . Определить максимальное нормальное напряжение в балке без учета концентрации напряжений. Решение 25 Выберем начало координат на левом конце балки. Тогда изгибающие M (2l ) моменты q(2l ) 2 2 ql 2 2 будут равны: M (l ) ql 2 2 , (растянуты верхние волокна). Моменты сопротивления: левой части балки W лев b3 , 6 b(2b)2 2b3 . Тогда максимальные нормаль 6 3 ные напряжения будут равны: для левой части M 3ql 2 M 2ql 2 3ql 2 3 . Та 3 , для правой - Wпр 2b 3 b3 Wлев b ким образом, сечения в середине балки и в заделке равноопасны. правой - Wпр Ответ: 3ql 2 b3 . 3.7. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Сложное тивление сопро- Различные комбинации простых видов деформаций (растяжения, сжатия, кручения, изгиба). В общем случае в поперечных сечениях возникают все внутренние усилия Основные виды Косой изгиб; внецентренное растяжениесложного сопро- сжатие; изгиб с кручением; общий случай тивления сложного сопротивления Косой изгиб Возникает, если все внешние силовые перпендикулярны продольной оси, но не располагаются только в одной главной центральной плоскости инерции стержня 26 Нормальные напряжения при косом изгибе Уравнение нейтральной линии при косом изгибе Внецентренное растяжение-сжатие (изгиб с растяжением-сжатием) Нормальные напряжения при внецентренном растяжении-сжатии y My Mz y z Iz Iy M y Iz z , нейтральная линия проходит Mz Iy через центр тяжести сечения Возникает при внешних нагрузках, действующих параллельно продольной оси стержня, но не проходящих через центр тяжести поперечного сечения My N M z y z или A Iz Iy y y z z F 1 F2 F2 A iz i y Уравнение i y2 yF y zF z iz2 или , a , a 1 0 нейтральной линии z y 2 2 z y i i F F z y при внецентренном-растяжениигде ( z F , y F ) - координаты точки приложесжатии ния силы F; i z2 , i y2 - квадраты радиусов инерции поперечного сечения стержня; a z , a y отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях z, y Опасные точки се- Точки сечения, наиболее удаленные от чения при косом нейтральной линии в областях растяжения и изгибе и внецен- сжатия тренном растяжении-сжатии Условия прочности Записываются в опасных точках: при косом изгибе и для пластичного материала max R ; внецентренном растяжении-сжатии для хрупкого материала: 27 t max Rt , c Rc max Ядро сечения Изгиб с кручением Выпуклая область вокруг центра тяжести сечения, обладающая свойством: если сила F приложена в области ядра сечения, то во всем сечении напряжения имеют один знак Сочетание деформаций изгиба и кручения. Усилия в поперечных сечениях: M y , M z изгибающие моменты; Q y , Qz - поперечные силы; M t M x крутящий момент. Изгибающие моменты суммируются к общему изгибающему моменту M и M z2 M y2 Напряженное со- В опасных точках - плоское напряженное состояние при изгибе стояние: с кручением My M M x z y0 z 0 , t , где Iz Iy Wt ( z 0 , y 0 ) - координаты опасной точки, Wt момент сопротивления сечения при кручении Расчет на проч- Проводится с использованием третьей теоность при изгибе с рии прочности: кручением 2 4 2 R экв Расчет на прочность при изгибе с кручением для круглых и кольцевых сечений x x Mu M M , t t , где W W 2W W - осевой момент сопротивления, W 2W - полярный момент сопротивления. Условие прочности 2 2 Mu M 4 t W 2W Расчет на проч- Условия прочности: ность при изгибе с - в точках 1 и 3 экв 28 M u2 M t2 W R кручением для 2 2 6M y 3Q y Mt прямоугольного R экв 2 4 2 сечения b h hb 2bh hb y - в точках 2 и 4 2 2 2 Mt 3Q 6M экв 2z 4 z R 2 h z hb 2bh hb 1 3 , - коэффициенты Сен-Венана 4 b ПРИМЕРЫ 1. Стержень прямоугольного сечения длиной l=40см, b=2 см, h=3 см нагружен внешними силами. Расчетное сопротивление материала R=160 МПа. Определить из условия прочности значение силы F y н.л. B z A y Решение Данный стержень испытывает косой изгиб. Опасное сечение в заделке, при этом bh 3 M z Fl , M y 2Fl , I z 4,5см 4 , 12 hb3 Iy 2см 4 . Тогда уравнение 12 нейтральной линии M y Iz z 4,5 z , положение показано на рисунке. ОпасMz Iy ными точками в сечении будут точки А и В (равноопасны). Из условия прочности в точке В(1 см; 1,5 см): 29 , B F 40см 1,5см 4,5см 4 F 0,3 кН=300Н. Ответ: F=300 кН. 2 F 40см 2см 4 1см 160 10 3 кH 10 4 cм 2 получим 2. Определить максимальное нормальное напряжение в стержне Решение Данный стержень испытывает совместное действие растягивающей силы N 3F b и изгибающего момента M z F (от силы, приложенной в 2 точке В). Опасное сечение в заделке, опасные точки находятся на нижней грани стержня, их координата y 0,5b . Тогда нормальное напряжение в опасной точке: 3F F 0,5b 0,5b 6 F 2 2 b b 4 12 b . 6F Ответ: 2 . b 3. Определить по третьей теории прочности значение параметра внешней нагрузки М для стержня диаметром d. Расчетное сопротивление материала R. Решение Данный стержень находится в условиях чистого изгиба с кручением. При изгибе опасными будут точки, наиболее удаленные от оси z. Нормальные напряжения в этих точках 30 2M 2M 32 . При кручении максимальные касательные Wz d 3 напряжения возникают в точках внешнего контура, их величина M M 16 . Тогда по третьей теории прочности W d 3 (64 M ) 2 4(16 M ) 2 2 экв x2 4 xy M d 3R 32 5 Ответ: M d 3 32 M 5 d3 R , откуда . d 3R 32 5 . 3.8. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ l M M l N N l Определение QQ i F i F dx dx k i F dx iF перемещений EI GA 0 0 EA 0 iF по форму iF - перемещение по направлению «i» в заданном ле Мора (для плоских си- («грузовом») состоянии “F”; M i , N i , Q i - усилия в сечениях во вспомогательном стем) единичном состоянии (в направлении «i» приложен единичный силовой фактор); M F , N F , QF - усилия в сечениях в «грузовом» состоянии «F»; k - коэффициент формы сечения. Суммирование проводится по всем грузовым участкам. Единичный 1) При определении линейного перемещения силовой фак- сечения – единичная сосредоточенная сила F=1, тор для опре- приложенная к центру тяжести сечения по направделения пере- лению искомого перемещения; мещений 2) При определении угла поворота сечения– единичный сосредоточенный момент m=1, прило- 31 женный в центре тяжести сечения и располагающийся в плоскости изгиба; 3) При определении линейного взаимного перемещения двух сечений – две противоположно направленные сосредоточенные силы F=1, приложенные в центре тяжести сечения и параллельные направлению взаимного перемещения; 4) При определении взаимного угла поворота двух сечений – два противоположно направленных сосредоточенных момента m=1, приложенных к центрам тяжести сечений и располагающихся в плоскости изгиба; 5) При определении угла поворота сечения – единичный момент m=1 в плоскости сечения; 6) При определении угла взаимного закручивания сечений – два единичных момента m=1, расположенных в плоскостях сечений и противоположных по направлению l MiM F EI dx 0 Вычисление интегралов Мора по фор l l l муле Симпсо M i (0) M F (0) 4 M i M F M i (l ) M F (l ) на 6 EI 2 2 l Вычисление MiM F EI dx F y c , интегралов 0 Мора по прагде l – длина участка интегрирования, F - пловилу Верещащадь эпюры M F , y c - ордината линейной эпюры гина M i , соответствующая центру тяжести эпюры M F Статически Система, в которой для определения реакций в свянеопределимая зях недостаточно уравнений равновесия система 32 Степень статической неопределимости n st Формулы для определения степени статической неопределимости Разность между числом неизвестных реакций в связях системы и числом уравнений равновесия, которые можно составить для определения этих реакций n st C 0 2 H 3D , C 0 - число связей с «землей», H - число простых шарниров системы (без учета опорных), D - число незамкнутых дисков (стержней) системы; n st 3K H , K - число замкнутых контуров системы, H - число простых шарниров (включая опорные) Шарнир, соединяющий два диска (стержня) Простой шарнир Сложный Шарнир, соединяющий k дисков (k>2). Эквиваленшарнир тен (k-1) простым шарнирам Метод сил Метод решения статически неопределимых задач, в котором за основные неизвестные принимаются реакции удаленных связей Основная си- Геометрически неизменяемая статически опредестема метода лимая система, полученная из заданной отбрасывасил (ОСМС) нием лишних связей, которые заменяются реакциями этих связей Система кано 11 X 1 12 X 2 ... 1n X n 1F 0 нических уравнений ме.... X X ... X 0 тода сил (СКУ n2 2 nn n nF n1 1 МС) Физический ik - перемещение в ОСМС по направлению i-й смысл коэф- удаленной связи от единичной реакции удаленной фициентов связи X k 1 ; СКУ МС iF - перемещение в ОСМС по направлению i-й удаленной связи от заданного силового воздействия Физический Перемещения по направлению всех удаленных свя- 33 смысл СКУ зей от действия заданных нагрузок и реакций удаМС в целом ленных связей равны нулю Определение усилий в заданной систеM M 1 X 1 M 2 X 2 ... M n X n M F ме после решения СКУ МС ПРИМЕР Определить методом Мора перемещение сечения С. Жесткость сечения принять равной GI . M m=M/a C a a 2a Решение При кручении перемещение (угол закручивания) определяется по формуле: l M M Mt C C t t dx , k 0 GI 2M где M t - эпюра крутя3M 3M щих моментов в заданном состоянии, M t Mt эпюра крутящих момен1 1 тов в единичном состоянии (в сечении С приложен единичный крутящий момент), k – число грузовых участков. Эпюры показаны на рисунке. Вычисляя интегралы по праk 34 вилу Верещагина, получим: 1 1 7 Ma (рад). C 3Ma 1 2Ma 1 2 M 2a 1 GI 2 GI 7 Ma Ответ: . GI 3.9. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Устойчивое упру- Упругое равновесие сжатого стержня счигое равновесие тается устойчивым, если малым возмущающим факторам соответствуют малые отклонения от исходной формы равновесия, и при снятии возмущающих факторов система возвращается в исходное состояние. Критическая сила Величина продольной сжимающей силы Fcr Fcr , при которой происходит потеря устойчивости сжатого стержня Критическое Абсолютная величина нормального напряжение cr напряжения сжатия cr , при достижении которой стержень теряет устойчивость: F cr cr , Abr - площадь поперечного сеAbr чения стержня без учета ослаблений Гибкость стержня l Величина , l – длина стержня, i min i min - минимальный радиус инерции поперечного сечения, - коэффициент приведения длины 35 Коэффициент приведения длины (зависит от условий закрепления стержня) 2 1 0,7 0,5 Формула Эйлера E для определения cr 2 , E – модуль упругости материкритических ала стержня напряжений Формула Эйлера 2 EI min , I min - минимальный моF cr для определения ( l ) 2 критической силы мент инерции поперечного сечения Пределы примени- Формула Эйлера выведена в предположемости формулы нии линейной упругой работы материала Эйлера (выполняется закон Гука), т.е. 2 cr 2E pr , тогда 2 0 2E . pr Для стали Ст3 pr 200 МПа, 0 100 Формула Ясинско- cr a b , где a, b - эмпирические кого (для стержней эффициенты. средней гибкости) Для стали Ст3 a 310 МПа, b 1,14 МПа Условия устойчиF F F cr Fadm . R , где вости k st Abr k st 1 - коэффициент запаса при расчете на устойчивость; Abr - площадь поперечного сечения стержня без учета ослаблений; - коэффициент продольного изгиба (определяется по таблицам) 36 ПРИМЕР 1. Стержень прямоугольного сечения с размерами b 2 см, h 6 см, длиной l=2 м нагружен силой F. Модуль упругости материала E 2 10 5 МПа, предел пропорциональности pr 240 МПа. Определить значение критической силы. Решение Определим гибкость стержня. Минимальный момент инерции hb 3 сечения I min 4см 4 . Минимальный радиус инерции сече12 I 4 1 ния i min min см. Учитывая, что 0,7 , гиб A 24 2 l кость 0,7 200 2 140 2 198 . imin Чтобы убедиться, что данный стержень является стержнем большой гибкости, определим 0 2E 3,14 2 2 10 5 90,6 . pr 240 Найденная гибкость 198 90,6 , следовательно, критическая сила определяется по формуле Эйлера (все величины в СИ): 2 EI min 3,14 2 2 10 8 4 10 8 Fcr 40,2 кН. ( l ) 2 (0,7 2) 2 Ответ: 40,2 кН. 37 3.10. СОПРОТИВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМ И ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИМСЯ ВО ВРЕМЕНИ НАГРУЗКАМ Силы инерции Силы инерции порождаются движением масс с ускорением a i . Для массы m i , движущейся с ускорением a i сила инерции I i mi a i Расчет на проч- Силы инерции добавляются к статическим ность с учетом нагрузкам; далее расчет проводится аналосил инерции (ква- гично статическому зистатический подход) Динамический a k d 1 , N d k d N st , коэффициент при g подъеме груза с g – ускорение свободного падения ускорением а Динамический a k d 1 , N d k d N st , коэффициент при g спуске груза с g – ускорение свободного падения ускорением Ударная нагрузка Нагрузка называется ударной, если она прикладывается к телу в течение очень короткого промежутка времени (практически мгновенно) Основные поло- Ударяющее тело считается абсолютно нежения техниче- упругим, ударяемое – абсолютно упругим; ской теории удара деформации мгновенно распространяются на весь объем ударяемого тела и подобны статическим; потерями энергии при ударе можно пренебречь Динамические Pd k d Pst - нагрузки; нагрузки, усилия, S k S - усилия; d d st напряжения, пе d k d st - напряжения; ремещения при 38 ударе Динамический коэффициент (без учета массы ударяемого тела) Динамический коэффициент при мгновенном приложении нагрузки Циклические нагрузки Синусоидальные циклы нагружения Нормальные напряжения для произвольного синусоидального цикла d k d st - перемещения kd 1 1 2h st , h- высота падения груза Р, st - перемещение от статического приложения нагрузки Р h=0, следовательно kd 2 Динамические нагрузки, периодически изменяющие величину во времени Циклические нагрузки, меняющиеся во времени по закону синуса или косинуса a max m min Период T и частота цикла t - время Период T - время, в течение которого происходит полное повторение циклически ме1 няющегося фактора; n - частота цикла T Коэффициент асимметрии цикла min max max min r Амплитуда цикла a Среднее напряжение цикла m 39 2 max min 2 Характеристика цикла 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 a 1 r , k m 1 r Знакопостоянные циклы Частный случай, когда r=0 или r=-, называется пульсационным циклом Знакопеременные циклы 17 15 13 9 0<r<1 11 7 5 3 1 Симметричный цикл k t min max m 0 a max r 1 r=0 t r=- r r>1 m m r< Усталость материалов Предел выносливости (усталости) r Явление снижения прочностных свойств материалов при циклическом нагружении Максимальное напряжение, при котором материал способен выдержать, не разрушаясь, практически неограниченное число циклов нагружения 40 Кривая выносливости (Велера) для материала, имеющего теоретический предел выносливости r max n max m a 1 2 r N1 N2 N N – число циклов Факторы, влияю- 1) Степень асимметрии цикла (при асимщие на величину метричном цикле предел выносливости выпредела выносли- ше, чем при симметричном; вости 2) Чистота обработки поверхности (учитывается с помощью коэффициента n 1 ); 3) Масштабный фактор (учитывается с помощью коэффициента M 1 ); 4) Наличие концентраторов напряжений (учитывается с помощью коэффициента кэ 1 ) Общий поправоч (или ) n M кэ ный коэффициент Действительный rд r предел выносли вости ПРИМЕРЫ 1. Груз весом Q=20 кН поднимается тросом длиной l 20 м с ускорением a 10 м / сек 2 . Подобрать диаметр d троса из условия прочности. Собственный вес троса 78кН / м 3 , расчетное сопротивление материала троса R 500 МПа , ускорение свободного падения g 9,81м / сек 2 . 41 Решение Динамическая продольная сила N d k d N st 1 a 1 Al Q N d g Условие прочности: R. A A a 1 Q 2 g d A P=10 кH 4 a R l 1 g 10 A 20 1 9 , 81 4м 0,813 10 4 10 500 10 3 78 20 1 9,81 Х Тогда d N d x q A Отсюда 50 cм A=400 cм2 E=107 кПа 4 0,813 10 4 3,14 1,02 10 2 м 1,02см . Ответ: d 1,02 см. A a g 2. Проверить прочность стерж- l ня при ударе, расчетное сопротивление R=20 МПа. a y Q a Al Q . g Q a g Решение Определим перемещение при статическом приложении нагрузки Р: N l 10 4 st st 7 10 4 м. EA 10 0,04 42 Динамический коэффициент: 2h 2 0,5 kd 1 1 1 1 4 101 . Динамические напряже st 10 10 ния d st k d 101 25250 кН / м 2 R 20 10 3 . 0,04 Ответ: d 25, 25 МПа, прочность не обеспечена. 43 ЛИТЕРАТУРА 1. Александров, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. М. : Высш. шк., 1995. 559 с. 2. Ахметзянов, М. Х. Сопротивление материалов / М. Х. Ахметзянов, П. В. Грес, И. Б. Лазарев. М. : Высш. шк., 2007. 559 с. 3. Писаренко, Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев. Киев: Наукова думка, 1988. 736 с. 4. Гребенюк, Г. И. Сопротивление материалов Ч. 1/ Г. И. Гребенюк, И. В. Кучеренко. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2010, 148 с. 5. Гребенюк, Г. И. Сопротивление материалов. Основы теории и примеры решения задач. Ч. 2/ Г. И. Гребенюк, Ф.С. Валиев. Новосибирск: НГАСУ, 2006, 140 с. 44 ПРИЛОЖЕНИЯ h Двутавры стальные горячекатаные по ГОСТ 8239-89 Y h – высота двутавра; b – ширина полки; s –толщина стенки; t – средняя толщина полки s А – площадь поперечного сечения; X I – момент инерции t W – момент сопротивления; S – статический момент полусечения; b i – радиус инерции; Но- Мас Размеры, мер са мм дву1 м, тавра кг h b s t A, Ix, Wx, ix, Sx, Iy, Wy, iy, см см см см см3 см4 cм3 см 2 4 3 10 9,46 100 55 4,5 7,2 12 198 39,7 4,06 12 11,5 120 64 4,8 7,3 14,7 350 58,4 4,88 33,7 27,9 8,72 1,38 14 13,7 140 73 4,9 7,5 17,4 572 81,7 5,73 46,8 41,9 11,5 1,55 16 15,9 160 81 5 7,8 20,2 873 109 6,57 62,3 58,6 14,5 1,7 18 18,4 180 90 5,1 8,1 23,4 1290 143 7,42 81,4 82,6 18,4 1,88 20 21,0 200 100 5,2 8,4 26,8 1840 184 8,28 104 115 23,1 2,07 22 24,0 220 110 5,4 8,7 30,6 2550 232 9,13 131 157 28,6 2,27 24 27,3 240 115 5,6 9,5 34,8 3460 289 9,97 163 198 34,5 2,37 27 31,5 270 125 40,2 5010 371 11,2 210 260 41,5 2,54 30 36,5 300 135 6,5 10,2 46,5 7080 472 12,3 268 337 49,9 2,69 33 42,2 330 140 9840 597 13,5 339 419 59,9 2,79 36 48,6 360 145 7,5 12,3 61,9 13380 743 14,7 423 516 71,1 2,89 40 57,0 400 155 8,3 13 72,6 19062 953 16,2 545 667 86,1 3,03 45 66,5 450 160 9 14,2 84,7 27696 1231 18,1 708 808 101 3,09 50 78,5 500 170 10 15,2 100 39727 1589 19,9 919 1043 123 3,23 55 92,6 550 180 11 16,5 118 55962 2035 21,8 1181 1356 151 3,39 138 76806 2560 23,6 1491 1725 182 3,54 6 9,8 7 11,2 53,8 60 108,0 600 190 12 17 45 23 17,9 6,49 1,22 Швеллеры стальные горячекатаные по ГОСТ 8240-89 Y zo h – высота швеллера; b – ширина полки; s – толщина стенки; t – средняя толщина полки; A – площадь поперечного сечения; s S – статический момент полусечения; h X I – момент инерции; i – радиус инерции; W – момент сопротивления; t z0 – расстояние от оси Y до наружной грани стенки. b Но- МасРазмеры, A, Ix, Wx, ix, Sx, Iy, Wy, iy, zo, мер са швемм см2 см4 см3 см см3 см4 см3 см см лле- 1 м, ра кг h b s t 5 6,5 4,84 50 32 4,4 7,0 6,16 22,8 9,1 1,92 5,59 5,61 2,75 0,95 1,16 5,9 36 4,4 7,2 7,51 48,6 15 65 2,54 9,0 8,7 3,68 1,08 1,24 8 7,05 80 10 8,59 100 46 4,5 7,6 10,9 174 34,8 3,99 20,4 20,4 6,64 1,37 1,44 12 10,4 120 52 4,8 7,8 13,3 304 50,6 4,78 29,6 31,2 8,52 1,53 1,54 14 12,3 140 58 4,9 8,1 15,6 491 70,2 5,6 1,7 1,67 16 14,2 160 64 5,0 8,4 18,1 747 93,4 6,42 54,1 63,3 13,8 1,87 1,8 16а 15,3 160 68 5,0 9,0 19,5 823 103 6,49 59,4 78,8 16,4 2,01 2,0 18 40 4,5 7,4 8,98 89,4 22,4 3,16 13,3 12,8 4,75 1,19 1,31 40,8 45,4 11,0 16,3 180 70 5,1 8,7 20,7 1090 121 7,24 69,8 86 17,0 2,04 1,94 18а 17,4 180 74 5,1 9,3 22,2 1190 132 7,32 76,1 105 20,0 2,18 2,13 20 18,4 200 76 5,2 9,0 23,4 1520 152 8,07 87,8 113 20,5 2,2 2,07 22 21 220 82 5,4 9,5 26,7 2110 192 8,89 110 151 25,1 2,37 2,21 24 24 240 90 5,6 10,0 30,6 2900 242 9,73 139 208 31,6 2,6 2,42 27 27,7 270 95 6 10,5 35,2 4160 308 10,9 178 262 37,3 2,73 2,47 30 31,8 300 100 6,5 11,0 40,5 5810 387 12,0 224 327 43,6 2,84 2,52 33 36,5 330 105 7 11,7 46,5 7980 484 13,1 281 410 51,8 2,97 2,59 36 41,9 360 110 7,5 12,6 53,4 10820 601 14,2 350 513 61,7 40 48,3 400 115 8 13,5 61,5 15220 761 15,7 444 642 73,4 3,23 2,75 46 3,1 2,68 КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРОДОЛЬНОГО ИЗГИБА (по СНиП 11-23-81 – для сталей) λ – гибкость Материал 200 240 280 320 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 0,988 0,967 0,939 0,906 0,869 0,827 0,782 0,734 0,665 0,599 0,537 0,479 0,425 0,376 0,328 0,290 0,259 0,233 0,210 0,191 0,174 0,160 0,987 0,962 0,931 0,894 0,852 0,805 0,754 0,696 0,612 0,542 0,478 0,419 0,364 0,315 0,276 0,244 0,218 0,196 0,177 0,161 0,147 0,135 0,985 0,959 0,924 0,883 0,836 0,785 0,724 0,641 0,565 0,493 0,427 0,366 0,313 0,272 0,239 0,212 0,189 0,170 0,154 0,140 0,128 0,118 0,984 0,955 0,917 0,873 0,822 0,766 0,687 0,602 0,522 0,448 0,381 0,321 0,276 0,240 0,211 0,187 0,167 0,150 0,136 0,124 0,113 0,104 Сталь с расчетным сопротивлением Ry, МПа ДереСерый Алюм. Тяже- Желево чугун сплав лый зобе(сосна, СЧ АМг бетон тон ель) 0,97 0,97 1,0 1,0 0,99 0,91 0,94 0,96 1,0 0,97 0,81 0,92 0,90 1,0 0,93 0,69 0,87 0,84 1,0 0,87 0,57 0,77 0,76 1,0 0,80 0,44 0,68 0,70 0,83 0,71 0,34 0,60 0,63 0,73 0,61 0,26 0,53 0,57 0,64 0,49 0,20 0,46 0,51 0,57 0,38 0,16 0,42 0,45 0,52 0,31 – 0,36 – – 0,25 – 0,33 – – 0,22 – 0,30 – – 0,18 – 0,26 – – 0,16 – 0,24 – – 0,14 – – – – 0,12 – – – – 0,11 – – – – 0,10 – – – – 0,09 – – – – 0,08 – – – – – – – – – – 47 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ, ПРЕВЫШАЮЩИХ ПРЕДЕЛ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ (формулы Ф.С. Ясинского) Для чугуна σcr = a – bλ + cλ2. Для других материалов σcr = a – bλ. Ncr = cr Abr. ЗНАЧЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ А, B И С ДЛЯ НЕКОТОРЫХ МАТЕРИАЛОВ (Писаренко Г. С. Сопротивление материалов. – Киев, 1973) Материал λпред Ст2, Ст3 Ст5 Сталь 40 Сталь кремнистая Дерево (сосна) Чугун 100 100 90 100 110 80 а, МПа 310 464 321 589 29,3 776 b, МПа 1,16 2,64 1,16 3,82 0,194 12,0 с, МПа – – – – – 0,053 КОЭФФИЦИЕНТЫ СЕН-ВЕНАНА (при расчете брусьев прямоугольного сечения на кручение) h/b α β γ 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0 0,208 0,231 0,239 0,246 0,256 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 1,0 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,743 48
