Развитие математических способностей учащихся начальных

Опыт работы учителя начальных классов МОАУ «СОШ № 15 г. Орска» Винниковой Л.А.
Развитие математических способностей учащихся начальных классов в процессе решения
текстовых задач.
Опыт работы учителя начальных классов МОАУ «СОШ № 15 г. Орска» Винниковой Л.А.
Составитель: Гринченко И. А., методист Орского филиала ИПКиППРО ОГПУ
Теоретическая база опыта:
 теории развивающего обучения (Л.В. Занков, Д.Б. Эльконин)
 психолого-педагогические теории Р. С. Немова, Б. М. Теплова, Л. С. Выготского, А. А.
Леонтьева, С.Л. Рубинштейна, Б. Г. Ананьева, Н. С. Лейтеса, Ю. Д. Бабаевой, В. С.
Юркевич о развитии математических способностей в процессе специальным образом
организованной учебной деятельности.
 Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М.: Издат.
Институт практической психологии; Воронеж: Изд-во НПО МОДЭК, 1998. 416 с.
 Развитие математических способностей учащихся последовательно и целенаправленно.
Все исследователи, занимавшиеся проблемой математических способностей (А. В. Брушлинский А. В. Белошистая, В. В. Давыдов, И. В. Дубровина, З. И Калмыкова, Н. А. Менчинская, А.
Н. Колмогоров, Ю. М. Колягин, В. А. Крутецкий, Д. Пойа, Б. М. Теплов, А.Я. Хинчин) при всей
разновидности мнений отмечают прежде всего специфические особенности психики математически способного ребёнка (а также профессионального математика), в частности гибкость,
глубину, целенаправленность мышления. А. Н. Колмогоров, И. В. Дубровина своими исследованиями доказали, что математические способности проявляются довольно рано и требуют непрерывного упражнения. В. А. Крутецкий в книге «Психология математических способностей
школьников» различает девять компонентов математических способностей, формирование и развитие которых происходит уже в начальных классах.
Использование материала учебника «Моя математика» Т.Е. Демидовой, С. А. Козловой, А.
П. Тонких позволяет выявить и развить математические и творческие способности учащихся,
сформировать устойчивый интерес к математике.
Актуальность:
В младшем школьном возрасте происходит бурное развитие интеллекта. Возможность развития способностей очень высока. Развитие математических способностей младших школьников
на сегодняшний день остаётся наименее разработанной методической проблемой. Многие педагоги и психологи высказывают мнение о том, что начальная школа является «зоной повышенного
риска», так как именно на этапе начального обучения в силу преимущественной ориентации
учителей на усвоение знаний, умений и навыков происходит блокирование развития способностей
у многих детей. Важно не упустить этот момент и найти эффективные пути развития способностей детей. Несмотря на постоянное совершенствование форм и методов работы, в развитии математических способностей в процессе решения задач есть существенные пробелы. Это можно
объяснить следующими причинами:
- излишняя стандартизация и алгоритмизация методов решения задач;
- недостаточное включение учащихся в творческий процесс решения задачи;
- несовершенство работы учителя по формированию умения учащихся проводить содержательный
анализ задачи, выдвигать гипотезы по планированию решения, рационально определяя шаги.
Актуальность исследования проблемы развития математических способностей младших
школьников объясняется:
- потребностью общества в творчески мыслящих людях;
- недостаточной степенью разработанности в практическом методическом плане;
- необходимостью обобщения и систематизации опыта прошлого и настоящего по развитию математических способностей в едином направлении.
В результате целенаправленной работы по развитию математических способностей у учащихся повышается уровень успеваемости и качества знаний, развивается интерес к предмету.
Основополагающие принципы педагогической системы.
Продвижение в изучении материала быстрыми темпами.
1
Ведущая роль теоретических знаний.
Обучение на высоком уровне трудности.
Работа над развитием всех учащихся.
Осознание школьниками процесса обучения.
Развитие способности и потребности самостоятельно находить решение не встречавшихся ранее учебных и внеучебных задач.
Условия возникновения и становления опыта:
- эрудиция, высокий интеллектуальный уровень учителя;
- творческий поиск методов, форм и приёмов, обеспечивающих повышение уровня математических способностей учащихся;
- умение прогнозировать положительное продвижение учащихся в процессе использования комплекса упражнений по развитию математических способностей;
- желание учащихся узнать новое в математике, участвовать в олимпиадах, конкурсах, интеллектуальных играх.
Сущностью опыта является деятельность учителя по созданию условий для активной, сознательной, творческой деятельности обучающихся; совершенствованию взаимодействия учителя и
учащихся в процессе решения текстовых задач; развитию математических способностей школьников и воспитанию у них трудолюбия, работоспособности, требовательности к себе. Выявляя
причины успехов и неудач учеников, учитель может определить, какие способности или
неспособности влияют на деятельность учащихся и в зависимости от этого целенаправленно
планировать дальнейшую работу.
Для осуществления качественной работы по развитию математических способностей применяются следующие инновационные педагогические продукты педагогической деятельности:
- факультативный курс «Нестандартные и занимательные задачи»;
- использование ИКТ технологий;
- комплекс упражнений для развития всех компонентов математических способностей, которые
можно сформировать в начальных классах;
- цикл занятий по развитию способности рассуждать.
Задачи, способствующие достижению данной цели:
- постоянное стимулирование и развитие познавательного интереса обучающегося к предмету;
- активизация творческой деятельности детей;
- развитие способности и стремления к самообразованию;
- сотрудничество учителя и обучающегося в процессе обучения.
Внеурочная работа создает дополнительный стимул для творчества обучающихся, развития их математических способностей.
Новизна опыта заключается в том, что:
 изучены специфические условия деятельности, способствующие интенсивному развитию
математических способностей учащихся, найдены резервы повышения уровня математических способностей для каждого ученика;
 учитываются индивидуальные способности каждого ребёнка в процессе обучения;
 выявлены и описаны в полном объёме наиболее эффективные формы, методы и приёмы,
направленные на развитие математических способностей учащихся в процессе решения
текстовых задач;
 предложен комплекс упражнений для развития компонентов математических способностей
учащихся начальных классов;
 разработаны требования к упражнениям, которые своим содержанием и формой стимулировали бы развитие математических способностей.
Это даёт возможность сделать доступным для учащихся усвоение новых видов задач при
меньшей затрате времени и большей эффективностью. Часть задач, упражнений, некоторые проверочные работы для определения продвижения детей в развитии математических способностей
разрабатывались по ходу работы с учётом индивидуальных особенностей учащихся.
Продуктивность.
Развитие математических способностей учащихся достигается при последовательной и
целенаправленной работе путём разработки методов, форм и приёмов, направленных на решение
2
текстовых задач. Такие формы работы обеспечивают повышение уровня математических способностей большинства учащихся, повышают продуктивность и творческое направление
деятельности. У большинства учащихся повышается уровень математических способностей, развиваются все компоненты математических способностей, которые можно сформировать в
начальных классах. Учащиеся показывают устойчивый интерес и положительное отношение к
предмету, высокий уровень знаний по математике, успешно выполняют задания олимпиадного и
творческого характера.
Трудоёмкость.
Трудоёмкость опыта определяется его переосмысливанием с позиции творческой самореализации личности ребенка в учебно-познавательной деятельности, отбором оптимальных методов
и приёмов, форм, средств организации учебного процесса с учетом индивидуально-творческих
возможностей учащихся.
Возможность внедрения.
Опыт решает как узко-методические, так и общепедагогические задачи. Опыт интересен
учителям начальных и старших классов, студентам ВУЗов, родителям и может использоваться в
любой деятельности, где требуется оригинальность, нешаблонность мышления.
Система работы учителя.
Система работы педагога состоит из следующих компонентов:
1. Диагностика исходного уровня развития математических способностей учащихся.
2. Прогнозирование положительных результатов деятельности учащихся.
3. Реализация комплекса упражнений по развитию математических способностей в учебном процессе в рамках программы « Школа 2100».
4. Создание условий для включения в деятельность каждого ученика.
5. Выполнение и составление учениками и учителем заданий олимпиадного и творческого характера.
Система работы, помогающая выявить детей, интересующихся математикой, научить их творчески мыслить и углублять полученные знания включает:
- предварительную диагностику по определению уровня математических способностей учащихся,
составление долгосрочных и краткосрочных прогнозов на весь курс обучения;
- систему уроков математики;
- многообразные формы внеклассной работы;
- индивидуальную работу со способными к математике школьниками;
- самостоятельную работу самого школьника;
- участие в олимпиадах, конкурсах, турнирах.
Результативность работы.
При 100 % успеваемости стабильно высокое качество знаний по математике. Положительная динамика уровня математических способностей учащихся. Высокая учебная мотивация и мотивация самореализации при выполнении научно-исследовательских работ по математике. Увеличение числа участников олимпиад и конкурсов различных уровней. Более глубокое осознание и
усвоение программного материала на уровне применения знаний, умений, навыков в новых условиях; повышение интереса к предмету. Повышение познавательной активности школьников в
урочной и внеурочной деятельности.
Ведущая педагогическая идея опыта заключается в совершенствовании процесса обучения
школьников в процессе урочной и внеклассной работы по математике для развития познавательного интереса, логического мышления, формирования творческой активности учащихся.
Перспективность опыта объясняется его практической значимостью для повышения творческой
самореализации детей в учебно-познавательной деятельности, для развития и реализации их потенциальных возможностей.
Технология опыта.
Математические способности проявляются в том, с какой скоростью, как глубоко и
насколько прочно люди усваивают математический материал. Эти характеристики легче всего обнаруживаются в ходе решения задач.
Технология включает сочетание групповых, индивидуальных и коллективных форм учебной деятельности учащихся в процессе решения задач и основана на использовании комплекса
3
упражнений для развития математических способностей учащихся. Способности развиваются в
деятельности. Процесс их развития может идти стихийно, но лучше, если они развиваются в
организованном процессе обучения. Создаются условия, наиболее благоприятные для
целенаправленного развития способностей.
На первом этапе развитие способностей
характеризуется в большей степени подражательностью (репродуктивностью). Постепенно
появляются элементы творчества, оригинальности и чем способнее человек, тем более ярко они
выражены.
Формирование и развитие компонентов математических способностей происходит уже в
начальных классах. Чем же характеризуется умственная деятельность способных к математике
школьников? Способные учащиеся, воспринимая математическую задачу, систематизируют
данные в задаче величины, отношения между ними. Создаётся ясный целостно-расчленённый
образ задачи. Иначе говоря, для способных учащихся характерно формализованное восприятие
математического материала (математических объектов, отношений и действий), связанное с
быстрым схватыванием в конкретной задаче их формальной структуры. Ученики со средними
способностями при восприятии задачи нового типа определяют, как правило, её отдельные
элементы. Некоторым учащимся очень трудно даётся осмысление связей между компонентами
задачи, они с трудом схватывают совокупность многообразных зависимостей, составляющих
существо задачи. Для развития способности к формализованному восприятию математического
материала учащимся предлагаются упражнения [Приложение 1. Серия I]:
1) Задачи с несформулированным вопросом;
2) Задачи с неполным составом условия;
3) Задачи с избыточным составом условия;
4) Работа по классификации задач;
5) Составление задач.
Мышление способных учеников в процессе математической деятельности характеризуется
быстрым и широким обобщением (каждая конкретная задача решается как типовая). У наиболее
способных учащихся такое обобщение наступает сразу, путём анализа одной отдельно взятой
задачи в ряду сходных. Способные ученики без затруднений переходят к решению задач в
буквенной форме.
Развитие способности к обобщению достигается путём предъявления специальных упражнений
[Приложение 1. Серия II.]:
1) Решение задач одного типа;
2) Решение задач разного типа;
3)Решение задач с постепенной трансфармацией из конкретного в абстрактный план;
4) Составление уравнения по условию задачи.
Мышление способных учеников характеризуется тенденцией мыслить свёрнутыми
умозаключениями. У таких учеников свёртывание процесса рассуждения наблюдается после
решения первой задачи и иногда после предъявления задачи сразу выдаётся результат. Время
решения задачи определяляется лишь временем, потраченным на вычисления. В основе свёрнутой
структуры всегда находится хорошо логически обоснованный процесс рассуждения. Средние
ученики обобщают материал после многократных упражнений, поэтому и свёртывание процесса
рассуждения у них наблюдается после решения нескольких однотипных задач. У малоспособных
учащихся свёртывание может начинаться лишь после большого числа упражнений. Мышление
способных учеников отличается большой подвижностью мыслительных процессов,
многообразием аспектов в подходе к решению задач, лёгким и свободным переключением от
одной умственной операции к другой, с прямого на обратный ход мысли. Для развития гибкости
мышления предлагаются упражнения [Приложение 1. Серия III.]
1) Задачи, имеющие несколько способов решения.
2) Решение и составление задач, обратных данной.
3) Решение задач обратным ходом.
4) Решение задач с альтернативным условием.
5) Решение задач с неопределёнными данными.
Для способных учащихся характерно стремлением к ясности, простоте, рациональности,
экономности (изяществу) решения.
4
Математическая память способных учащихся проявляется в запоминании типов задач,
способов их решения, конкретных данных. Способные ученики отличаются хорошо развитыми
пространственными представлениями. Однако при решении ряда задач они могут обходиться без
опоры на наглядные образы. В каком-то смысле логичность заменяет им «образность», они не
испытывают трудностей при оперировании абстрактными схемами. Выполняя учебные задания,
учащиеся вместе с тем развивают свою мыслительную деятельность. Так, решая математические
задачи, школьник учится анализу, синтезу, сравнению, абстрагированию и обобщению, которые
являются основными мыслительными операциями. Поэтому для формирования способностей в
учебной деятельности необходимо создавать определённые условия:
а) положительные мотивы учения;
б) интерес учащихся к предмету;
в) творческая активность;
г) положительный микроклимат в коллективе;
д) сильные эмоции;
е) предоставление свободы выбора действий, вариативность работы.
Учителю удобнее опираться на некоторые чисто процессуальные характеристики деятельности
способных детей. Большинству детей с математическими способностями свойственны:
 Повышенная склонность к умственным действиям и положительный эмоциональный
отклик на любую умственную нагрузку.
 Постоянная потребность в возобновлении и усложнении умственной нагрузки, что ведёт за
собой постоянное повышение уровня достижений.
 Стремление к самостоятельному выбору дел и планированию своей деятельности.
 Повышенная работоспособность. Длительные интеллектуальные нагрузки не утомляют
этого ребёнка, наоборот, он чувствует себя хорошо в ситуации наличия проблемы.
Развитие математических способностей учащихся, занимающихся по программе «Школа
2100» и учебникам «Моя математика» авторов: Т. Е. Демидовой, С. А. Козловой, А. П. Тонких
проходит на каждом уроке математики и во внеурочной деятельности. Эффективное развитие
способностей невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность,
задач-шуток, математических ребусов. Учащиеся учатся решать логические задачи с истинными и
ложными высказываниями, составлять алгоритмы к задачам на переливание, взвешивание,
использовать таблицы и графы для решения задач.
В поисках путей более эффективного использования структуры уроков для развития математических способностей особую значимость приобретает форма организации учебной деятельности учащихся на уроке. В своей практике мы используем фронтальную, индивидуальную и
групповую работу.
При фронтальной форме работы учащиеся выполняют общую для всех деятельность, всем
классом сравнивают и обобщают её результаты. В силу своих реальных возможностей ученики
могут делать обобщения и выводы на разном уровне глубины. Фронтальная форма организации
обучения реализовывается нами в виде проблемного, информационного и объяснительно–
иллюстративного изложения и сопровождается репродуктивными и творческими заданиями. Все
текстовые логические задачи, решение которых нужно найти с помощью цепочки рассуждений,
предложенные в учебнике 2 класса, в первом полугодии разбираются фронтально, так как их
самостоятельное решение доступно не всем детям этого возраста. Затем эти задачи предлагаются
для самостоятельного решения учащимся с высоким уровнем математических способностей. В
третьем классе логические задачи даются сначала для самостоятельного решения всем
учащимся, а потом анализируются предложенные варианты.
Применение полученных знаний в изменённых ситуациях лучше всего организовать с использованием индивидуальной работы. Каждый ученик получает для самостоятельного выполнения задание, специально для него подобранное в соответствии с подготовкой и способностями.
Существует два вида индивидуальных форм организации выполнения заданий: индивидуальная и
индивидуализированная. Первая характеризуется тем, что деятельность ученика по выполнению
общих для всего класса заданий осуществляется без контакта с другими школьниками, но в
едином для всех темпе, вторая позволяет с помощью дифференцированных индивидуальных заданий создать оптимальные условия для реализации способностей каждого ученика. В своей
5
работе мы используем дифференциацию учебных заданий по уровню творчества, трудности,
объёму. При дифференциации по уровню творчества работа организуется следующим образом:
учащимся с низким уровнем математических способностей (1 группа) предлагаются
репродуктивные задания (работа по образцу, выполнение тренировочных упражнений), а
ученикам со средним (2 группа) и высоким уровнем (3 группа) – творческие задания.
 (2 класс. Урок № 36. Задача № 7. В гонке парусных кораблей участвовало 36 яхт. Сколько
яхт дошло до финиша, если 2 яхты вернулись к старту из-за поломки, а 11 – из-за шторма?
Задание для 1-й группы. Решите задачу. Подумайте, можно ли её решить другим способом.
Задание для 2-й группы. Решите задачу двумя способами. Придумайте задачу с другим сюжетом,
чтобы решение при этом не изменилось.
Задание для 3-й группы. Решите задачу тремя способами. Составьте задачу обратную к данной и
решите её.
Можно предложить продуктивные задания всем ученикам, но при этом детям с низким
уровнем способностей даются задания с элементами творчества, в которых нужно применить
знания в изменённой ситуации, а остальным – творческие задания на применение знаний в новой
ситуации.
 (2 класс. Урок № 45. Задача № 5. В трёх клетках 75 волнистых попугайчиков. В первой
клетке 21 попугайчик, во второй – 32 попугайчика. Сколько попугайчиков в третьей
клетке?
Задание для 1-й группы. Решите задачу двумя способами.
Задание для 2-й группы. Решите задачу двумя способами. Придумайте задачу с другим сюжетом,
но чтобы её решение при этом не изменилось.
Задание для 3-й группы. Решите задачу тремя способами. Измените вопрос и условие задачи так,
чтобы данные об общем количестве попугайчиков стали лишними.
Дифференциация учебных заданий по уровню трудности (трудность задачи представляет
совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности, например,
таких как интеллектуальные возможности, математические способности, степень новизны и т. д.)
предполагает три типа задач:
1. Задачи, решение которых состоит в стереотипном воспроизведении заученных действий.
Степень трудности задач связана с тем, насколько сложным является навык воспроизведения
действий и насколько прочно он освоен.
2. Задачи, решение которых требует некоторой модификации заученных действий в изменившихся
условиях. Степень трудности связана с количеством и разнородностью элементов, которые надо
координировать наряду с описанными выше особенностями данных.
3. Задачи, решение которых требует поиска новых, ещё неизвестных способов действий. Задачи
требуют творческой активности, эвристического поиска новых, неизвестных схем действий или
необычной комбинации известных.
Дифференциация по объёму учебного материала предполагает, что всем учащимся даётся
некоторое количество однотипных задач. При этом определяется обязательный объём, а за каждое
дополнительно выполненное задание, к примеру, начисляются баллы. Могут быть предложены
задания творческого характера по составлению однотипных объектов и требуется составить
максимальное их количество за определённый период времени.
 Кто больше составит задач с различным содержанием, решением каждой из которых будет
числовое выражение: (54 + 18) : 2
В качестве дополнительных предлагаются творческие или более трудные задания, а также
задания, не связанные по содержанию с основным – задания на смекалку, нестандартные задачи,
упражнения игрового характера.
При самостоятельном решении задач индивидуальная работа тоже эффективна. Степень
самостоятельности такой работы разная. Сначала учащиеся выполняют задания с
предварительным и фронтальным разбором, подражая образцу, или по подробным
инструкционным карточкам. [Приложение 2]. По мере овладения учебными умениями степень
самостоятельности возрастает: ученики (особенно со средним и высоким уровнем математических
способностей) работают по общим, не детализированным заданиям, без непосредственного
вмешательства учителя. Для индивидуальной работы предлагаются разработанные нами листы
6
заданий по темам, сроки выполнения которых определяются в соответствии с желаниями и
возможностями ученика [Приложение 3]. Для учащихся с низким уровнем математических
способностей составляется система заданий, которая содержит: образцы решений и задачи,
подлежащие решению на основе изученного образца, различные алгоритмические предписания;
теоретические сведения, а также всевозможные требования
сравнивать, сопоставлять,
классифицировать, обобщать. [Приложение 4, фрагмент урока № 1] Такая организация учебной
работы даёт возможность каждому ученику в силу своих способностей углублять и закреплять
полученные знания. Индивидуальная форма работы несколько ограничивает общение учащихся,
стремление передавать знания другим, участие в коллективных достижениях, поэтому мы
используем групповую форму организации учебной деятельности. [Приложение 4. Фрагмент
урока № 2]. Задания в группе выполняются таким способом, при котором учитывается и
оценивается индивидуальный вклад каждого ребёнка. Величина групп от 2 до 4 человек. Состав
группы не постоянный. Он меняется от содержания и характера работы. В состав группы входят
учащиеся с разным уровнем математических способностей. Часто мы на внеклассных занятиях
готовим учеников с низким уровнем математических способностей к роли кон-сультантов на
уроке. Выполнение этой роли является достаточным, чтобы ребёнок почувствовал себя лучшим,
свою значимость. Групповая форма работы делает явными способности каждого ученика. В
сочетании с другими формами обучения – фронтальной и индивидуальной - групповая форма организации работы учащихся приносит положительные результаты.
На уроках математики и факультативных курсах широко используются компьютерные технологии. Они могут быть включены в любой этап занятия – во время индивидуальной работы, при
введении новых знаний, их обобщении, закреплении, для контроля ЗУНов. Например, при решении задач на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объёму сосуда, водоёма или источника с помощью двух пустых сосудов задавая различные объёмы сосудов, различные требуемые количества жидкости, можно получить большой набор задач разного
уровня сложности для их героя «Переливашки». Объём жидкости в условном сосуде А будет соответствовать объёму слитой жидкости, объёмы Б и В – заданным объёмам по условию задачи.
Действие, обозначенное одной буквой, например, Б, означает наполнение сосуда из источника.
Задача. Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления «Зелёный великан» требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда ёмкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного
крана?
Дети разными вариантами ищут решение задачи. Приходят к выводу, что задача решается за 4 хода.
№
Д
Б А
В
ействие
(9л)
(5л)
0
0
0
1
В
0
0
5
2
В
0
5
0
-Б
3
В
0
5
5
4
В
0
9
1
-Б
Для развития математических способностей нами используются широкие возможности
вспомогательных форм организации учебной работы. Это факультативные занятия по курсу «Нестандартные и занимательные задачи», домашняя самостоятельная работа, индивидуальные занятия по развитию математических способностей с учащимися низкого и высокого уровня их развития. На факультативных занятиях часть времени отводилась обучению решению логических задач
по методике А. З. Зака. Занятия проводились 1 раз в неделю, продолжительность занятия 20 минут
и способствовали повышению уровня такого компонента математических способностей, как способности к правильному логическому рассуждению.
На занятиях факультативного курса «Нестандартные и занимательные задачи» проводится
коллективное обсуждение решения задачи нового вида. Благодаря этому методу у детей формируется такое важное качество деятельности, как осознание собственных действий, самоконтроль,
7
возможность дать отчёт о выполняемых шагах при решении задач. Основное время на занятиях
занимает самостоятельное решение задач учащимися с последующей коллективной проверкой
решения. На занятиях учащиеся решают нестандартные задачи, которые разделены на серии.
Для учащихся с низким уровнем развития математических способностей проводится индивидуальная работа во внеурочное время. Работа ведётся в форме диалога, карточек-инструкций.
От учащихся при такой форме требуется проговаривание вслух всех способов решения, поисков
правильного ответа.
Для учащихся с высоким уровнем способностей во внеурочное время проводятся консультации для удовлетворения потребностей в углубленном изучении вопросов курса математики.
Занятия по своей форме организации носят характер собеседования, консультации или самостоятельного выполнения учениками заданий под руководством учителя.
Для развития математических способностей используются следующие формы внеурочной
работы: олимпиады, конкурсы, интеллектуальные игры, тематические месячники по математике.
Так во время тематического месячника «Юный математик», проводимого в начальной школе в ноябре 2008 года учащиеся класса участвовали в таких мероприятиях: выпуск математических газет;
конкурс «Занимательные задачи»; выставка творческих работ математической тематики; встреча с
доцентом кафедры СП и ППНО, защита проектов; олимпиада по математике.
Особую роль в развитии детей занимают математические олимпиады. Это состязание, которое позволяет способным учащимся почувствовать себя настоящими математиками. Именно в
этот период происходят первые самостоятельные открытия ребёнка.
Проводятся внеклассные мероприятия математической тематики: «КВН 2+3»,
Интеллектуальная игра «Выбор наследника», Интеллектуальный марафон», «Математический светофор», «Следопыты»
[Приложение 5], игра «Весёлый поезд» и
другие.
Математические способности можно выявить и оценить на основе того, как ребёнок решает определённые задачи. Само решение этих задач зависит не только от способностей, но и от мотивации,
от имеющихся знаний, умений и навыков. Составление прогноза результатов развития требует
знания именно способностей. Результаты наблюдений позволяют сделать вывод, что перспективы
развития способностей имеются у всех детей. Главное, на что должно быть обращено внимание
при улучшении способностей детей, - это создание оптимальных условий для их развития.
Отслеживание результатов исследовательской деятельности:
С целью практического обоснования выводов, полученных в ходе теоретического изучения
проблемы: каковы наиболее эффективные формы и методы, направленные на развитие
математических способностей школьников в процессе решения математических задач было
проведено исследование. В эксперименте приняли участие два класса: экспериментальный 2 (4)
«Б», контрольный – 2 (4) «В» общеобразовательной школы № 15. Работа велась с сентября 2006
года по январь 2009 года и предусматривала 4 этапа.
Этапы экспериментальной деятельности
I – Подготовительный ( сентябрь 2006 г.). Цель: определение уровня математических способностей по результатам наблюдений.
II – Констатирующая серия эксперимента (октябрь 2006 г.) Цель: определение уровня
сформированности математических способностей.
III – Формирующий эксперимент (ноябрь 2006 – декабрь 2008 г.) Цель: создание необходимых
условий для развития математических способностей.
8
IV – Контрольный эксперимент ( январь 2009 г.) Цель: определение эффективности форм и
методов, способствующих развитию математических способностей.
На подготовительном этапе проведены наблюдения за учащимися контрольного – 2 «Б» и
экспериментального 2 «В» классов. Наблюдения проводились как в процессе изучения нового
материала, так и при решении задач. Для наблюдений были выделены те признаки
математических способностей, которые наиболее ярко прявляются у младших школьников:
1) относительно быстрое и успешное овладение математическими знаниями, умениями и
навыками;
2) способность к последовательному правильному логическому рассуждению;
3) находчивость и сообразительность при изучении математики;
4) гибкость мышления;
5) способность к оперированию числовой и знаковой символикой;
6) пониженная утомляемость при занятиях математикой;
7) способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
8) способность переходить с прямого на обратный ход мысли;
9) развитость образно–геометрического мышления и пространственных представлений.
В октябре учителя заполнили таблицу математических способностей школьников, в
которой оценили в баллах каждое из перечисленных качеств (0-низкий уровень, 1-средний
уровень, 2-высокий уровень).
На втором этапе в экспериментальном и контрольном классах проведена диагностика
развития математических способностей.
Для этого использовался тест «Решение задач»:
1. Составь из данных простых задач составные. Реши одну составную задачу разными способами,
подчеркни рациональный.
Корова кота Матроскина в понедельник дала 12 литров Коля купил 3 ручки по 20 рублей
молока. Молоко разлили в трёхлитровые банки. Сколько каждая. Сколько денег он
банок получилось у кота Матроскина?
заплатил?
Коля купил 5 карандашей по Корова кота Матроскина во вторник дала 15 литров молока.
цене 20
рублей. Сколько Это молоко разлили в трёхлитровые банки. Сколько банок
стоят карандаши?
получилось у кота Матроскина?
2. Прочитай задачу. Прочитай вопросы и выражения. Соедини каждый вопрос с нужным выражением.
В классе 18 мальчиков и а девочек.
а + 18
Сколько всего учеников в классе?
На сколько мальчиков больше, чем девочек?
На сколько девочек меньше, чем мальчиков?
18 - а
а - 18
3. Реши задачу.
В своём письме родителям Дядя Фёдор написал, что его дом, дом почтальона Печкина и колодец находятся на одной стороне улицы. От дома Дяди Фёдора до дома почтальона Печкина 90
метров, а от колодца до дома Дяди Фёдора 20 метров. Какое расстояние от колодца до дома почтальона Печкина?
С помощью теста проверялись те же компоненты структуры математических способностей, что и
при наблюдении.
Цель: установить уровень математических способностей.
Оборудование: карточка ученика (лист).
9
Таблица 2
Тест проверяет умения и математические способности:
№
задачи
№1
Умения, необходимые для решения задачи.
Способности, проявляющиеся в
математической деятельности.
Умение отличать задачу от других текстов. Способность к формализации математического материала.
№ 1, 2, Умение записывать решение задачи, Способность
к
оперированию
3, 4
производить вычисления.
числовой и знаковой символикой.
№ 2, 3
Умение записывать решение задачи Гибкость мышления, способность
выражением. Умение решать задачу сокращать процесс рассуждения.
разными способами.
№4
Умение выполнять построение гео- Развитость
образно–геометриметрических фигур.
ческого
мышления
и
пространственных представлений.
На данном этапе изучены математические способности и определены следующие уровни:
- низкий уровень: математические способности проявляются в общей, всем присущей
потребности.
- средний уровень: способности появляются в сходных условиях (по образцу).
- высокий уровень: творческое проявление математических способностей в новых, неожиданных
ситуациях.
Качественный анализ теста показал основные причины затруднения выполнения теста. Среди них:
а) отсутствие конкретных знаний в решении задач (не могут определить, во сколько действий
решается задача, не могут записать решение задачи выражением (во 2 «Б» (экспериментальном)
классе 4 человека - 15%, во 2 «В» классе - 3 человека - 12%) б) недостаточное формирование
вычислительных навыков ( во 2 «Б» классе 7 человек – 27%, во 2 «В» классе 8 человек – 31%.
Развитие математических способностей учащихся обеспечивается, в первую очередь, развитием математического стиля мышления. Для определения различий в развитии у детей
способности рассуждать было проведено групповое занятие на материале диагностического задания «разное-одинаковое» по методике А.З. Зака. Выявлены следующие уровни способности к
рассуждению:
высокий уровень – решены задачи № 1-10 (содержат 3-5 персонажей)
средний уровень – решены задачи № 1-8 (содержат 3-4 персонажа)
низкий уровень – решены задачи № 1 - 4 (содержат 3 персонажа)
В эксперименте применялись такие методы работы: объяснительно-иллюстративный,
репродуктивный, эвристический, проблемного изложения, исследовательский метод. В настоящем
научном творчестве постановка проблемы идёт через проблемную ситуацию. Мы стремились к
тому, чтобы ученик самостоятельно научился видеть проблему, формулировать её, исследовать
возможности и способы её решения. Исследовательский метод характеризуется самым высоким
уровнем познавательной самостоятельности учащихся. На уроках мы организовывали самостоятельную работу учащихся, давая им проблемные познавательные задачи и задания, имеющие
практический характер.
ФРАГМЕНТ УРОКА.
Тема « Деление суммы на число» (3 класс, урок №17)
Цель: Формировать представления о возможности использования распределительного свойства деления
относительно сложения для рационализации вычислений при решении задач.
I. Актуализация знаний.
II. «Открытие нового знания». Совершается на основе побуждающего диалога, при одновременном
выдвижении гипотез.
Учащиеся читают текст задачи, рассматривают рисунки. Учитель задаёт вопросы:
- Что интересного заметили?
- Что вас удивило?
Дети осознают и формулируют проблему, предлагают возможности и способы её решения.
10
Учитель
Ученики
(использует побуждающий диалог)
(формулируют тему урока)
Сейчас вы разобьётесь на группы и будете ре- Разбиваются на группы, начинают работу.
шать задачу № 1.
Закончив работу, группы вывешивают
Способ решения запишите.
на доску и озвучивают гипотезы:
Подходит к каждой группе:
4 + 6 : 2 = 5 (ц.)- ошибочная гипотеза
- Какие ещё есть гипотезы? С чего
(4 + 6) : 3 = 5 (ц.) - решающие
нужно начать? (Побуждение к выдвижению ги4 : 2 + 6 : 2= 5 (ц.) гипотезы
потез).
На основе анализа рисунков и текста происходит « открытие алгоритма деления суммы на число.
Учащиеся объясняют свои решения и сравнивают их с решениями мальчиков. Очевидно, что решение Дениса свелось к тому, что он сначала собрал всех цыплят вместе (нашёл сумму заданных
величин), а затем рассадил их в две коробки (разделил поровну). Решение Костика свелось к тому,
что
он разделил цыплят таким образом, чтобы в каждую коробку попало поровну
чёрных и жёлтых цыплят (разделил цыплят по цвету).
Работа с текстом со знаком ?
Цель работы: первичная рефлексия по поводу обнаруженного свойства действий над числами;
первичное формулирование этого свойства.
Сравните свой вывод с правилом в учебнике.
Учащиеся предлагают заменить числа буквами и пользоваться для решения подобных задач формулой.
Подтверждение своих гипотез и окончательное формулирование алгоритма деления суммы на
число.
III. Первичное закрепление.
Фронтальная работа. 1. Задание № 2, с. 44 2. Задание № 3, с. 45.
Рассматриваем 3 способа решения: 12 : 3 + 9 : 3;
9 : 3 + 12 : 3; ( 12 + 9) : 3
IV. Самостоятельная работа в парах. Задание № 4, с. 45. После проверки решения обязательно
рассматриваются и сопоставляются все способы решения.
В ходе эксперимента мы определили наиболее эффективные формы работы, направленные на
развитие математических способностей:
 фронтальная, индивидуальная и групповая работа
 дифференциация учебных заданий по уровню творчества, трудности, объёму
Для развития математических способностей использованы широкие возможности вспомогательных форм учебной работы:
 факультативные занятия по курсу «Нестандартные и занимательные задачи»
 домашняя самостоятельная работа
 индивидуальные занятия
Были использованы следующие формы внеучебной работы:
 олимпиады
 конкурсы
 интеллектуальные игры
 тематические месячники по математике
 выпуск математических газет
 защита проектов
 встречи с известными математиками
 открытый чемпионат по решению задач
 заочная семейная олимпиада
Такие формы работы обеспечивают повышение уровня математических способностей большинства учащихся, повышают продуктивность и творческое направление деятельности.
11
Целесообразность таких занятий заключается в том, что они способствуют развитию всех
компонентов математических способностей, которые можно сформировать в начальных классах.
Анализ показателей развития математических способностей учащихся контрольного и
экспериментального класса:
Таблица 3
Этапы экспериКонстатирующий
Контрольный эксперимент
Уровень
мента
эксперимент
математичес2 «Б»
2 «В»
4 «Б»
4 «В»
ких способностей
Высокий
4 ч. (15%)
3 ч. (12%)
11 ч. (43%)
6 ч. (22%)
Средний
14 ч. (54%)
14 ч. (54%)
10 ч. (38%)
13 ч. (48%)
Низкий
8 ч. (31%)
9 ч. (34%)
5 ч. (19%)
8 ч. (30%)
Как видно из таблицы, в классе где проводились экспериментальные занятия произошёл
существенный рост показателей математических способностей по сравнению с контрольным
классом. У восьми учащихся повысился уровень математических способностей. В 2, 7 раза
повысилось число учеников с высоким уровнем математических способностей, причём у одного
человека с низкого до высокого. В контрольном классе за этот же период сдвиг в развитии
математических способностей оказался менее значительным. Повысился он у шести учеников. В 2
раза повысилось число учеников с высоким уровнем математических способностей. Количество
учащихся с высоким уровнем математических способностей в экспериментальном классе на конец
эксперимента составило 43 %, с низким уровнем - 19 %, в контрольном классе - 22% и 30%
соответственно. Количество учащихся, имеющих отличные оценки по математике в 4 «Б» за
период эксперимента возросло в 2 раза и составило на конечном этапе 12 человек (46%), в
контрольном классе количество учащихся, имеющих отличные оценки по математике составило 6
человек (23%).
Результаты констатирующего и контрольного этапа эксперимента даны в Приложении № 6.
Сравнение результатов контрольных работ, качества обучения по математике позволяют
сделать вывод о том, что с повышением уровня математических способностей возрастает
успешность в овладении математикой. Результаты олимпиад показывают, что учащиеся с высоким
уровнем математических способностей подтверждают свой уровень.
Таблица 4
Результаты олимпиад:
класс
2 «Б»
2 «В»
3 «Б»
3 «В»
4 «Б»
4 «В»
место
I
II
III
1ч.
1ч.
1ч.
1ч.
2ч.
1ч.
1ч.
1ч.
1ч.
2 ч.
1ч.
3 ч.
1ч.
Количество учащихся, занявших призовые места в олимпиаде увеличилось в 3 раза.
В конце эксперимента (декабрь 2007 г.) показатель качества знаний по математике составил в
экспериментальном классе 84,6%, а в контрольном 77% (экспериментальный класс - 4«Б» (2«Б»),
контрольный - 4 «В» (2 «В»).
Анализируя проделанную работу можно сделать ряд выводов:
1. Занятия по развитию математических способностей в процессе решения текс-товых задач на
уроках математики в экпериментальном классе были достаточно продуктивны. Нам удалось
достичь основной цели данного исследования – на основе теоретического и опытноэкспериментального исследования определить наиболее эффективные формы и методы работы,
способствующие развитию математических способностей младших школьников при решении
текстовых задач.
2. Анализ учебного материала Т. Е. Демидовой, С. А. Козловой, А. П. Тонких
по программе
«Школа 2100», предшествующий практической части работы, позволил структурировать
12
отобранный материал наиболее логичным и приемлемым способом, в соответствии с целями
исследования.
Результатом проведённой работы является несколько методических рекомендаций по
развитию математических способностей:
1. Формирование навыков в решении задач необходимо начинать на основе учёта математических
способностей учащихся.
2. Учитывать индивидуальные особенности школьника, дифференциацию математических
способностей у каждого из них, используя эффективные формы, методы и приёмы.
3. В целях совершенствования математических способностей целесообразна дальнейшая
разработка эффективных форм, методов и приёмов в процессе решения математических задач.
3. Систематически использовать на уроках задачи, способствующие формированию и развитию
компонентов математических способностей.
4. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач с помощью специально
подобранных упражнений, приёмов, учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией,
сравнениями и делать выводы.
5. Целесообразно использовать на уроках задачи на сообразительность, задач-шуток,
математических ребусов.
6. Осуществлять целенаправленную помощь учащимся с разным уровнем математических
способностей.
7. При работе с группами учащихся необходимо обеспечивать мобильность этих групп.
Таким образом, поведённое нами исследование, позволяет утверждать, что работа над
развитием математических способностей в процессе решения текстовых задач дело важное и
необходимое. Поиск новых путей по развитию математических способностей является одной из
неотложных задач современной психологии и педагогики.
Проведённое нами исследование имеет определённое практическое значение.
В ходе опытно-экспериментальной работы по результатам наблюдений и анализу полученных данных можно сделать вывод о том, что скорость и успешность развития математических
способностей не зависит от скорости и качества усвоения программных знаний, умений и навыков. Нам удалось достичь основной цели данного исследования – определить наиболее эффективные формы и методы, способствующие развитию математических способностей учащихся в процессе решения текстовых задач.
Как показывает анализ исследовательской деятельности, развитие математических способностей детей развивается более интенсивно, так как:
а) создано соответствующее методическое обеспечение (таблицы, инструкционные карточки и листы заданий для учащихся с разным уровнем математических способностей, пакет
программированного обеспечения, серии задач и упражнений для развития определённых компонентов математических способностей;
б) создана программа факультативного курса « Нестандартные и занимательные задачи», которая
предусматривает реализацию развития математических способностей учащихся;
в) разработан диагностический материал, который позволяет своевременно определять уровень
развития математических способностей и корректировать организацию учебной деятельности;
г) разработана система развития математических способностей (согласно плану формирующего
эксперимента).
Необходимость использования комплекса упражнений для развития математических способностей определяется на основе выявленных противоречий:
- между необходимостью использования заданий разных уровней сложности на уроках математики и отсутствием их в обучении;
- между необходимостью развития математических способностей у детей и реальными условиями
их развития;
- между высокими требованиями к задачам формирования творческой личности учащихся и слабым развитием математических способностей школьников;
- между признанием приоритета введения системы форм и методов работы для развития математических способностей и недостаточным уровнем разработки путей реализации этого подхода.
13
Основой для исследования является выбор, изучение, реализация наиболее эффективных форм,
методов работы в развитии математических способностей.
ПРИЛОЖЕНИЕ № 1.
Серия I.
1) Задачи с несформулированным вопросом:
 Масса ящика с апельсинами 28 кг, а масса ящика с яблоками 27 кг. В школьную столовую
привезли два ящика апельсинов и один ящик с яблоками.
 В одной вазе 15 цветов, а в другой на 6 цветов больше.
 Рыбаки вытащили сеть с 30 рыбами. Среди них было 17 лещей, а остальные – окуни.
2) Задачи с неполным составом условия:
 В коробке на 4 карандаша больше, чем в пенале. На сколько в пенале карандашей
меньше, чем в коробке?
- На какой вопрос ты можешь ответить, а на какой нет? Почему?
- Подумай! Как дополнить условие задачи, чтобы ответить на оба вопроса?
3) Задачи с избыточным составом условия:
 Задача. У кормушки было 6 серых и 5 белых голубей. Один белый голубь улетел.
Сколько белых голубей стало у кормушки?
Анализ текста показывает, что одно из данных лишнее - 6 серых голубей. Для ответа на вопрос
оно не нужно. После ответа на вопрос задачи учитель предлагает внести в текст задачи такие
изменения, чтобы это данное понадобилось, что приводит к составной задаче. У кормушки было 6
серых и 5 белых голубей. Один голубь улетел. Сколько голубей осталось у кормушки?
Эти
изменения
повлекут
необходимомсть
выполнить
два
действия
(6 + 5) - 1 или (6 - 1) + 5 или (5 - 1) + 6
4) Работа по классификации задач.
Разбейте эти задачи по две так, чтобы из них можно было составить одну:
1. На уроках труда ученики сшили 7 зайчиков и 5 мишек. Сколько всего игрушек сшили ученики?
2. Первая бригада собрала 10 тонн огурцов, а вторая в два раза больше. Сколько всего тонн
огурцов собрали рабочие?
3. У Светы было 18 конфет, она съела 6 конфет. Сколько конфет у неё осталось?
4. Ученики сшили 12 игрушек. 8 игрушек они отдали в группы садика. Сколько игрушек осталось
у учеников?
5. Рабочие собрали 45 тонн огурцов и погрузили их на 9 машин поровну. Сколько тонн увезла
каждая машина?
6. У Светы было 9 конфет. Она раздала их трём подругам поровну. Сколько конфет получила
каждая подруга?
5) Составление задач.
а) Составление задач по выражению на определённую тему:
10 ∙ 3 + 5 ∙ 2
- Составьте задачу о покупке школьных принадлежностей.
б) С помощью опорных слов:
(17 + 15) – 14 - Вырастили, продали, осталось.
3 ∙ 5 + 2 ∙ 4 – Яблоки, бананы, всего.
в) Составление задач по решению:
7 – 5 = 2 (б.)
3 ∙ 5 = 15 (л)
4 ∙ 9 = 36 (ящ.)
Серия II.
1) Решение задач одного типа (простые задачи на кратное сравнение):
14
На первой полке 27 книг, на второй 9 книг. Во сколько раз на первой полке больше книг, чем на
второй?
В одном оркестре 12 скрипок и 2 арфы. Во сколько раз меньше в оркестре арф, чем скрипок?
2) Решение задач разного типа (простые задачи на кратное сравнение, на увеличение, уменьшение
числа в несколько раз):
Морская звезда живёт 5 лет, а паук в 4 раза больше. Сколько лет живёт паук? Морская звезда
живёт 5 лет, а паук 20 лет. Во сколько раз больше живёт па-ук, чем морская звезда?
Длина краба-паука 20 см , а краба-скрипача в 4 раза меньше. Чему равна длина краба-скрип
3) Решение задач с постепенной трансфармацией из конкретного в абстрактный план:
Тетрадь стоит 6 рублей, а карандаш 3 рубля. Сколько стоят 5 тетрадей и 8 карандашей?
Тетрадь стоит а рублей, а карандаш 3 рубля. Сколько стоят 5 тетрадей и 8 карандашей?
Тетрадь стоит а рублей, а карандаш в рублей. Сколько стоят 5 тетрадей и 8 карандашей?
Тетрадь стоит а рублей, а карандаш в рублей. Сколько стоят х тетрадей и 8 карандашей?
Тетрадь стоит а рублей, а карандаш в рублей. Сколько стоят х тетрадей и у карандашей?
4) Составление уравнения по условию задачи:
После того как Шарик послал в районную газету 125 фотографий коровы Мурки, у него осталось
ещё 13 её фотографий. Сколько всего фотографий коровы Мурки было у Шарика?
Дядя Фёдор отправил маме и папе 150 посланий. Третью часть этих посланий составляли письма.
Сколько писем отправил дядя Фёдор маме и папе?
Почтальон Печкин получил к празднику
160 посылок. 3 из них он уже открыл. Сколько посылок предстоит открыть почтальону Печкину?
5) Решение задач с неопределёнными данными.
Составьте решение этой задачи (можно выражением, можно по действиям)
Картофеля –
кг
Решение: (
+
) ∙
Моркови кг
Лука - ? кг, в
раз больше, чем
Для развития гибкости мышления предлагаются упражнения:
Серия III.
1) Задачи, имеющие несколько способов решения:
На спинах трёх стоящих рядом слонов могут танцевать 60 дрессированных мышей. Сколько
слонов нужно поставить рядом, чтобы на их спинах могли танцевать 30 дрессированных мышей?
В походе Дениса назначили летописцем. Он заполнил 3 зелёные тетради по 25 листов в
каждой и 3 такие же синие тетради. Сколько всего страниц заполнил Денис заметками и
рисунками?
2) Решение и составление задач, обратных данной:
Реши задачу. Рыболовы поймали несколько окуней. Из 9 они сварили уху, и у них осталось ещё 7
окуней. Сколько всего окуней поймали рыболовы?
Составь и реши задачи, обратные данной.
3) Решение задач обратным ходом:
Том Сойер проиграл Джо Гарперу 30 стеклянных шариков, в следующей
игре он увеличил число своих шариков в 2 раза, затем снова проиграл 60 шариков, после чего
снова увеличил число оставшихся шариков в 2 раза. Когда он после всех игр подарил Геку Финну
90 шариков, у него осталось 70 шариков.
Сколько шариков было вначале?
4) Решение задач с альтернативным условием.
15
Это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов
условия, а ответ находится после того, как все воз-можные варианты будут исследованы.
1 уровень
Катя вырезала 16 белых снежинок и 18 голубых. 6 снежинок одного цвета она отдала Пете.
Сколько белых и сколько голубых снежинок осталось у Кати?
2 уровень
Катя вырезала 16 белых снежинок и 18 голубых. 6 снежинок она отдала Пете. Сколько белых и
сколько голубых снежинок осталось у Кати?
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
ИНСТРУКЦИОННЫЕ КАРТОЧКИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ:
Реши задачу:
В парке 100 деревьев. Из них 28 лип, 34 клёна, а остальные – дубы. Сколько дубов в парке?
Найду объекты:
Дам им характеристики:
Определю требование задачи.
Выбери краткую запись:
а) I – 28 л.
II – 34 д.
б) Л. – 28 д.
? д.
III – 100 д.
в) Липы - 28 д.
Кл. – 34 д.
Клёны – 34 д.
Д. - ? д.
Дубы - ? д.
100 д.
Выбери верное решение:
а) 1)28 + 34 = 62 (д.) – лип и клёнов.
б) 1)100 - 28=72 (д.) - клёнов и лип.
2) 100 - 62 = 38 (д.) – дубов.
2) 72 - 28= 44 (д.) - дубов.
в) 1)100 - 28=72(д.) - клёнов и дубов.
2) 72 – 34 = 38 (д.) – дубов.
г) 1)100 – 34 = 66(д.) – дубов и лип.
2) 66 – 28 = 38 (д.) – дубов.
Реши задачу:
Из посёлка и города выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 16 км/ч, а мотоциклист со скоростью 48 км/ч.
Велосипедист проехал до встречи 96 км. Какое расстояние до встречи проехал мотоциклист?
Найду время, которое был в пути велосипедист?
Найду расстояние, которое проехал мотоциклист?
Проверь ответ:
а) 288км/ч
б) 8 км
в) 288км
г) среди ответов нет правильного
Исправь допущенные ошибки:
а) ошибок нет
б) ошибки исправил(а)
в) я не уверен в правильности решения
16
ПРИЛОЖЕНИЕ 3.
Листы заданий по темам.
Лист 1.
Составные задачи, при решении которых используется смысл действий сложения и вычитания.
1 уровень. Реши задачу:
К школе привезли 48 берёз и 36 осин. В первый день школьники посадили 32 берёзы. Сколько
деревьев осталось посадить школьникам?
2 уровень. Дополни условие задачи согласно схеме и реши её.
3 уровень. Поясни выражение и запиши ответ:
(48 - 32) – (36 – 30)
1 уровень. Реши задачу:
Для детского сада закупили 7 ковров красного цвета и 11 ковров коричневого цвета. Сколько
мотков шерсти пошло на ковры, если красной шерсти израсходовали на 20 мотков меньше, чем
коричневой?
2 уровень. Выбери схему к данной задаче и ответь на поставленный вопрос.
3 уровень. Реши задачу:
Сколько овец надо постричь, если с одной овцы получают 2 кг шерсти, а масса мотка 200 грамм.
Лист 2.
Составные задачи, при решении которых используется смысл действий сложения и вычитания,
умножения и деления.
1 уровень. Реши задачу:
Огородник собрал 2 ящика помидоров по 9 кг в каждом и 8 таких же ящиков огурцов. Сколько
килограммов овощей собрал огородник?
2 уровень. Реши задачу:
Все овощи огородник засолил в бочках по 18 кг в каждой. Сколько бочек с
овощами получилось?
3 уровень. Реши задачу:
За первые 3 месяца семья съела овощи из 3 бочек. Какие овощи это могут быть, если в бочке
овощи одного вида?
1 уровень. Реши задачу:
Для уроков труда купили 20 пачек цветной бумаги по 12 рублей за каждую и столько же пачек
картона по 18 рублей за пачку. Сколько стоила вся покупка?
2 уровень. Реши задачу другим способом.
3 уровень. Ответь на вопрос: Что стоило больше - цветная бумага или картон и на сколько?
17
ПРИЛОЖЕНИЕ 4.
ФРАГМЕНТ УРОКА № 1.
Урок № 2. 2 класс. Сложение и вычитание чисел (Повторение и закрепление знаний)
Цели:
1. Закреплять умение делать письменные и устные вычисления в соот-ветствии с изученными во
2-м классе алгоритмами сложения и вычитания двузначных чисел, а также осуществлять проверку
вычислений на основе знаний о сложении и вычитании как взаимно обратных действиях.
2. Закреплять умение решать простые и составные задачи на сложение и вычитание, изученные во
втором классе.
3. Учить решать задачи с помощью построения цепочки умозаключений, выраженных во внешней
речи.
Ход урока.
I. Организационный момент. Урок математики мы проведём в форме игры- путешествия. Мы
отправимся в поход вместе с Дядей Фёдором, котом Матроскиным и псом Шариком.
II.Актуализация знаний.
Индивидуальная работа.
- Реши примеры, выполнив запись в столбик (к доске вызываются 4 ученика):
_80
_51
48
73
36
29
42
19
Самостоятельная работа.
Остальные учащиеся выполняют задание:
Кот Матроскин задумал несколько двузначных чисел. Запишите их.
4 д. 3 ед., 7 д. 5 ед., 9 д. 9 ед., 3 д. 8 ед.
Взаимопроверка.
Фронтальная работа.
а) – Что можно сделать с этими числами? ( попарно сравнить, назвать их в порядке возрастания
(убывания), найти закономерность в полученном ряде чисел. Выбрать любое число, назвать его
разрядные слагаемые и составить 4 возможных равенства на сложение и вычитание.)
12, 24, 18, 15, 21.
б) – Что можно сделать с этими высказываниями? (Придумайте к ним вопросы и решите
полученные задачи.)
 Коту Матроскину почтальон Печкин принёс 18 писем, а псу Шарику на 25 больше.
 Шарик сделал 27 фотоснимков в лесу, а в поле 15.
 В начале лета Дядя Фёдор сделал 10 рисунков. К концу лета их количество увеличилось в 5
раз.
в) – Подберите выражение к задаче.
Кот Матроскин привёз на рынок 90 литров сметаны. Утром он продал 15 литров сметаны.
Сколько литров сметаны он продал днём, если к вечеру у него осталось 5 литров?
90 – 15 – 5;
90 – ( 15 - 5);
90 – ( 15 + 5)
г) Что можно сделать с этими геометрическими фигурами? ( Дать название каждой фигуре,
разбить их на группы, найти периметр плоских фигур)
18
III. Решение логической задачи.
Основная цель работы – учить строить цепочки умозаключений, выраженных во внешней речи.
Во время разбора акцентируем внимание на том, что решение задач, аналогичных этой,
начинается с того, что более определено (то, что больше всего известно). В данной задаче
начинаем с определения того, что налито в миску.
Для того, чтобы ученики смогли построить развёрнутое высказыва-ние строим граф,
который заполняется поэтапно по мере решения задачи.
а) Миска
Кувшин Банка б) Миска
Кувшин
Банка
в) Миска
Кувшин Банка
Сметана Молоко Простокваша Сметана
Молоко
Простокваша
Сметана
Молоко
Простокваша
Эту же работу выполняем с помощью таблицы истинности-ложности. Составляем таблицу
возможностей, расставив знак + или – в соответствии с условием.
Молоко Сметана Простокваша
Кувшин +
Банка
Миска
+
Теперь учащиеся могут сами построить цепочку умозаключений: «В миске не сметана и не
молоко, значит, в миске простокваша. Теперь можно узнать, что налито в кувшин. Если в миске
простокваша, то в кувшине не может быть ни простокваши, ни сметаны, значит, там молоко. В
миске простокваша, в кувшине молоко, значит, в банке сметана.
ФРАГМЕНТ УРОКА № 2.
Урок № 67. 2 класс. Тема: « Умножение с нулём и единицей». На этапе введения нового знания
используется групповая форма работы (состав группы - 2 человека)
III. Введение нового знания. Далеко – далеко за морями и горами была страна Цифирия. Жили в
ней трудолюбивые числа. Королева Арифметика пригласила жителей страны к себе на службу.
Она предлагает выполнить задания:
1. Соедините прмеры на сложение с примерами на умножение:
6х1
1+1+1+1+1+1
1х5
6
1х8
1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1+1+1
2. Решите задачи. №1. а) У 5 котят по одной ленточке. Сколько всего ленточек? б) У 9 слонов по 1
хоботу. Сколько всего хоботов? в)У 12 школьников по 1 учебнику математики. Сколько всего
учебников?
1 ряд (дети с низким и средним уровнем математических способностей) №1 а) 1 вариант решает
задачу сложением, 2 – умножением.
2 ряд (дети со средним и высоким уровнем математических способнос-тей)(№1 б) 1 вариант
решает задачу сложением, 2 – умножением.
3 ряд (дети с низким и средним уровнем математических способностей) №1 в) 1 вариант решает
задачу сложением, 2 – умножением. Задание: сформулировать правило умножения 1 на любое
число.
6 человек решают эти же задачи на доске. Работа проверяется. Формули-руется правило умножения 1
на любое число. Задание для всех учащихся:
Придумайте несколько похожих задач и решите их.
19
ПРИЛОЖЕНИЕ 5.
Игра «Следопыты»
В игре участвуют все учащиеся 3 «Б» класса, разделённые на три команды. В каждой команде выбирается «следопыт»- капитан. Он следит за порядком и дисциплиной в команде, участвует в
игре, предоставляет выполненные задания ассистенту, обращается к нему за консультацией, отправляется на поиск следующего «следа», которые находятся на игровом поле. Ассистентом
может быть старшеклассник, родитель или учитель. Ассистент даёт консультации, следит за правильностью выполнения командой поставленных задач, при правильном решении дает разрешение
на поиск следующего «следа»- задания. Каждая команда выбирает свой цвет из числа предложенных (синий, желтый, зеленый) и располагается за столом с флажком этого цвета. Следы разных
цветов, но с одинаковыми заданиями хаотично расположены на игровом поле, невидимом для команды.
Первый «след» с заданием выдается одновременно всем следопытам. Начинается
решение первой задачи. Когда команда получает ответ, следопыт обращается к ассистенту для
сверки ответа. Ассистент, оценив правильность ответа, дает разрешение на поиск следующего
«следа» или просит еще раз решить данную задачу. В случае верного ответа следопыт подходит к
игровому полю, где располагаются «следы», и ищет «след» с нужным номером. Номер «следа»
соответствует ответу, полученному в предыдущем задании. Следопыт имеет право взять «след»
только цвета своей команды. Последним заданием является поиск «послания» юным любителям
математики. Чья команда первой найдёт это послание, та и является победителем игры. В конце
игры все послания зачитываются. «След» вырезается из цветной бумаги цвета команды. На одной
стороне «следа» написано задание. На обороте — номер «следа», то есть результат, получившийся
при выполнении предыдущей задачи, необходимо изготовить всего 15 «следов», плюс 2-5 ложных
(с произвольными номерами). Послания также в разноцветных конвертах.
Задания, записанные на «следах»
Первый «след» (без номера). Выполните действия с числами, записанными в римской нумерации:
(V ∙ V + V) : (VV : V – V)
Второй «след», № 6 (ответ первого следа). Колесо имеет 10 спиц. Сколько промежутков между
спицами?
Третий «след», № 9. Решите ребус. Найдите сумму цифр в ответе, это число и будет номером следующего «следа»:
Четвертый «след», №19. Решите задачу. Возраст дедушки выражается наименьшим трёхзначным
числом, которое записывается различными цифрами. Сколько лет дедушке?
20
Пятый «след», № 102. Красная Шапочка несла бабушке пироги: 7 - с капустой, 6-с яблоками, 3-с
мясом. По дороге она съела 2 пирога. Что могло при этом получиться?
а) Бабушке не досталось пирогов с мясом.
б) Пирогов с яблоками стало меньше, чем с мясом.
в) Пирогов всех видов стало поровну.
г) Пирогов с капустой стало больше, чем остальных вместе.
д) Пирогов с капустой стало столько же, чем остальных вместе.
Шестой «след», д). Решите задачу. Ребята пилят бревно на части определенной длины. Отпиливание одного такого куска занимает одну минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной 5 м
на пять частей?
Седьмой «след», № 4. Задача. В автобусе ехали 25 человек. На первой остановке вышли 7 человек, зашли 4 человека. На следующей остановке вышли 12 человек, зашли 5 человек. На следующей остановке вышли 8 человек, зашли 6 человек. На следующей остановке вышли 2
человека, зашли 16 человек. На следующей остановке вышли 5 человек. Сколько было остановок?
Восьмой «след», № 5. Пассажир автобуса ехал в село. По дороге он встретил пять грузовиков и
три легковые машины. Сколько всего машин ехало в село?
Девятый «след», № 1. Рост Буратино 1 метр, а длина его носа раньше была 9 сантиметров. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только длина его стала больше его
роста, Буратино перестал врать. Сколько раз он соврал?
Десятый «след», № 3. У охотника в корзине лежат зайцы и гуси. Всего насчитали десять голов и
28 ног. Сколько зайцев подстрелил охотник?
Одиннадцатый «след», № 4. Яблоко и груша весят 300 граммов. Определите вес яблока, если:
Двенадцатый «след», № 175.
В царстве Кощея томится Василиса Прекрасная. Надо её освободить. В подземелье три темницы:
в одной из них заперта Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница – пустая. На дверях есть надписи, но все они ложные. На двери первой темницы написано:
«Здесь Василиса», на двери второй: «Темница 3 – не пустая», на двери третьей: «Здесь змей». В
какой же темнице находится Василиса?
Тринадцатый «след», во второй темнице.
На майках спортсменов написаны их порядковые номера. Каких номеров больше – чётных или
нечётных.
Четырнадцатый «след», нечётных (13). Линейка попугая длиннее линейки слонёнка, но короче
линейки удава, а линейка мартышки короче линейки слонёнка. У кого самая длинная линейка?
Пятнадцатый «след», у удава. Спешите в кабинет № 1, там вы найдете послание в конверте цвета
вашей команды.
21
ПРИЛОЖЕНИЕ 6.
Диаграмма 1
Количественные результаты после проверки работ на констатирующем этапе эксперимента:
Экспериментальный 2 "Б"
класс
31%
15%
Контрольный 2 "В" класс
высокий
34%
12%
высокий
средний
средний
низкий
54%
54%
низкий
Диаграмма 2
Количественные результаты после проверки работ на контрольном этапе эксперимента:
Экспериментальный 4 "Б" ( 2
"Б") класс
19%
43%
38%
высокий
Контрольный 4 "В" (2 "В")
класс
30%
22%
средний
высокий
средний
низкий
низкий
48%
22
23