26.01.09 Цифровые системы СДЦ и их оптимизация. Монография

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ
РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)”
Ю.Н. ГОРБУНОВ
ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ СДЦ
И ИХ ОПТИМИЗАЦИЯ
МОНОГРАФИЯ
МОСКВА 2008
ББК 32.849+32.973-04
П18
УДК 621.396.96
Горбунов Ю. Н. Цифровые системы СДЦ и их оптимизация:
Монография / Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования “Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики
(технический университет)”– М., 2008. – 132 с.
Рассмотрены вопросы реализации цифровых систем СДЦ
для современных когерентно-импульсных РЛС, обеспечивающих
выделение сигналов по доплеровским признакам на фоне коррелированных помех. Монография написано для студентов, обучающихся по специальностям радиотехнического профиля и изучающих ряд дисциплин по выбору студента. Оно может быть полезным также при изучении дисциплин “Устройства приема и
обработки радиосигналов”.
Табл.2, Ил.51, Библиогр.: 8 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
университета.
Рецензенты:
Национальный научно-технический центр радиоэлектронной разведки и радиоэлектронной борьбы (НТЦ РЭБ), д.т.н.,
профессор А. М. Бородин.
Кафедра №44-2. Радио ВТУз Московского авиационного
института (МАИ), к.т.н., доцент В. Г. Морозов
© Ю. Н. Горбунов, 2008
©МИРЭА, 2008
3
1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ СДЦ
1.1. Введение
1.1.1. Селекция движущихся целей – способ обработки
радиолокационной информации. Важной составной частью современной РЛС является система СДЦ, основное назначение которой состоит в режекции пассивных помех от неподвижных, либо медленнодвижущихся объектов, и выделении сигналов, отраженных от движущихся целей (например, самолетов, ракет). В
системе СДЦ осуществляется преобразование радиолокационных
сигналов из одной формы в другую с целью наилучшего обнаружения и оценки параметров сигналов движущихся целей.
По существу система СДЦ является главным звеном системы первичной обработки радиолокационной информации. Особенностью обработки сигналов в системе СДЦ является то, что
при обнаружении сигналов движущихся целей используется информация о доплеровском смещении частоты, вызванном движением цели относительно РЛС.
Операции по обработке сигналов в системе СДЦ приходится
осуществлять при наличии в принимаемом эхо-сигнале мощных
помеховых отражений от неподвижных местных предметов (гор,
леса, холмов, зданий, мачт, труб и т. п.), а также медленно движущихся гидрометеоров и организованных пассивных помех
(ПП) – дипольных отражателей (ДО). В этой связи выполнение
предварительных операций первичной обработки, связанных с
подавлением указанных помех, возлагается на систему СДЦ. Система СДЦ является наиболее важной составной частью всей системы обработки радиолокационной информации, осуществляющей «очистку» принимаемого эхо-сигнала от мешающих помеховых отражений. Система СДЦ, подавляя эти отражения, создает
благоприятные условия как для первичной, так и для последующей вторичной обработке.
Таким образом, система СДЦ представляет собой способ
обработки радиолокационной информации, заключающейся в
подавлении (режекции) помех от неподвижных (медленнодви-
4
жущихся) нежелательных объектов и выделении сигналов движущихся целей. Сигналы с выхода системы СДЦ подвергаются
дальнейшей обработке с целью решения задачи обнаружения или
непосредственно отражаются на экране индикатора (решение об
обнаружении цели в этом случае принимает оператор).
Два рисунка индикатора кругового обзора иллюстрируют
работу системы СДЦ (рис.1.1.).
Рис.1.1
Слева показана обычная картина с видеосигналами от неподвижных предметов, справа – индикатор с включенной системой
СДЦ. Рисунок фотографии индикатора сделан за пять оборотов
антенны, вследствие чего самолеты отобразились в виде последовательности пяти отметок. Эти рисунки показывают, насколько
эффективным может быть применение системы СДЦ.
В настоящей работе рассмотрен наиболее общий тип систем
СДЦ – когерентно-импульсные системы. Эти системы для отличия движущихся целей от неподвижных используют межимпульсное сравнение доплеровского сдвига фазы, вызванного движением целей. В когерентно-импульсной РЛС доплеровский сдвиг
определяется как изменение фазы сигнала, наблюдаемое в двух
соседних зондированиях. Очевидно, что для неподвижных, либо
медленно движущихся объектов, фаза сигнала не изменяется, а
5
поэтому они могут быть скомпенсированы методом черезмерного
вычитания.
1.1.2. Принцип работы простейшего устройства СДЦ.
Обратимся к рис.1.2., который поясняет принцип работы доплеровского радара.
Рис.1.2
Радиолокатор излучает импульс высокочастотной энергии,
который отражается, например, от холма или самолета. Отраженный эхо-сигнал поступает на вход приемника с некоторым запаздыванием, обусловленным распространением электромагнитной
волны от РЛС и обратно. Затем радиолокатор излучает второй
импульс. Отраженный от холма сигнал возвращается через точно
такое же время, что и в первом зондировании, т. к. дальность до
него не изменяется, а сигнал, отраженный от самолета, возвращается раньше, так как самолет движется к радиолокатору и за время между двумя зондированиями он успевает несколько приблизиться. Хотя расстояние, на которое перемещается самолет, является незначительным, однако перемещение даже на четверть
6
длины волны λ приводит к изменению фазы отраженного эхосигнала на 1800. Точное время, за которое отраженный сигнал достигнет РЛС, не имеет большого значения. Важно другое – изменяется ли это время от зондирования к зондированию.
Изменение времени, составляющего величину порядка нескольких наносекунд, выявляется путем сравнения фазы принятого сигнала с фазой опорного генератора (когерентного гетеродина) в фазовом детекторе. Для неподвижных объектов фаза принимаемых сигналов от зондирования к зондированию не изменяется и это обстоятельства учитывается при компенсации помех.
На рис. 1.3. показана упрощенная структурная схема когерентного импульсного радиолокатора с усилением на промежуточной частоте. В его состав входит простейшее устройство СДЦ
в виде череспериодного компенсатора. На рис. 1.3 ИУ – импульсный усилитель, СМ – смеситель, КГ – когерентный гетеродин,
СГ – стабильный гетеродин, АП – антенный переключатель, ФД
– фазовый детектор, Т – линия задержки на период зондирования
РЛС, А – антенна.
Рис.1.3
Эхо-сигнал от неподвижной цели имеет постоянный фазовый сдвиг относительно переданного импульса, поэтому изменения фазы от импульса к импульсу не происходит. Для движущейся цели фазовый сдвиг будет изменяться от одного зондирующего импульса к другому, вследствие чего огибающая выходного
сигнала образует «биения» в виде доплеровского гармонического
сигнала.
7
Биполярный сигнал на выходе фазового детектора несет в
себе информацию о фазе и амплитуде принимаемого сигнала.
Биполярный сигнал, сформированный при приеме единственного
передаваемого импульса, изображен на рис. 1.4 а. Если мы
наблюдаем точечную перемещающуюся цель на фоне сильных
отражений от неподвижных предметов, то при приеме нескольких передаваемых импульсов видеосигнал может иметь вид, показанный на рис.1.4 б.
На рис. 1.4 в представлен видеосигнал на выходе устройства
СДЦ. Временная диаграмма (рис. 1.4в) получена в предположении, что сигналы пассивных помех являются нефлюктуирующими, с противном случае – на выходе устройства СДЦ в зонах помех могут появиться нескомпенсированные остатки.
Рис.1.4
1.2. Цифровые системы СДЦ
8
1.2.1. Простейшие устройства СДЦ. Простейшее устройство СДЦ может быть построено на основе череспериодного вычитания сигналов, полученных в двух соседних зондированиях
для каждой точки дальности РЛС. Для реализации простейшего
устройства СДЦ необходимо найти способ запоминания, чтобы
осуществить сравнение сигналов в двух соседних зондированиях.
Более сложное устройство представляет собой последовательное соединение двух схем однократной череспериодной компенсации (рис. 1.5 а). Его можно назвать 3-х импульсным, поскольку в нем одновременно обрабатывается три зондирования:
А – текущее, В – задержанное на один период и С – задержанное
на два периода. Схема устройства СДЦ, изображенная на рис.
1.5а, эквивалентна схеме, представленной на рис. 1.5 б, где зондирования А, В и С представлены в явном виде.
Рис.1.5
1.2.2. Основные элементы структурной схемы. Из рассмотрения простейших устройств СДЦ становится ясным, что
основными элементами структурной схемы цифровой системы
СДЦ являются: аналого-цифровой преобразователь (АЦП), запоминающее устройство (ЗУ) и арифметическое устройство (АУ),
при этом АЦП осуществляет квантование эхо-сигналов отдельных зондирований по времени и уровню (квантование по времени
в соответствии с теоремой отсчётов: две выборки за длительность
импульса, а квантование по уровню – в соответствии с требуемым качеством подавления помех), ЗУ реализует элемент задержки на период Т и может быть построено в виде регистра
9
сдвига или адресного устройства памяти на микросхемах, АУ реализует требуемый алгоритм обработки эхо-сигналов трёх зондирований в каждой точке дальности.
Совокупность устройств АЦП, ЗУ и АУ по существу представляет собой цифровой фильтр, осуществляющий режекцию
сигналов от неподвижных объектов, и выделение сигналов движущихся целей. Степень фильтрации сигналов от неподвижных
целей, качество фильтрации, зависит от структуры цифрового
фильтра, которая должна быть оптимальной.
Цифровой фильтр в виде каскадного соединения схем однократной череспериодной компенсации позволяет существенно
расширить полосу режекции пассивных помех, оставаясь по существу оптимальным только для тех значений скоростей цели,
при которых фаза отраженного сигнала изменяется на 180о, т. е.
этот фильтр оказывается настроенным только на «оптимальные»
скорости целей. Обеспечить обнаруживаемость полезных сигналов в более широком диапазоне скоростей целей позволяют многоканальные когерентные накопители, отдельные каналы которых настраиваются на доплеровские частоты, перекрывающие
более широкий диапазон скоростей. Когерентные накопители могут либо непосредственно выполнять функции цифрового компенсатора СДЦ за счет подавления сигналов каналов, соответствующим неподвижным и медленно движущимся объектам, либо включаться после компенсатора СДЦ с целью улучшения эффективности выделения сигналов. В последнем случае удается
осуществить дополнительную режекцию помех, а так же сделать
более равномерной скоростную характеристику. Кроме того, такая обработка придает цифровой системе СДЦ те преимущества,
которая когерентная обработка имеет перед некогерентной. Каналы когерентного накопителя в системе СДЦ необходимы лишь
для более качественного решения задачи СДЦ. Аналогичные рассуждения и вытекающие из них выводы, можно провести относительно режекции активных помех.
1.2.3. Структурная схема цифровой системы СДЦ. На
рис. 1.3 была приведена схема когерентного импульсного радио-
10
локатора, выходным каскадом которого является фазовый детектор (ФД).
На ФД для сравнения по фазе на промежуточной частоте
поступает принятый эхо-сигнал и сигнал когерентного гетеродина (КГ). На выходе ФД, обычно реализуемого по квадратурной
схеме, формируется комплексный сигнал
x (t )  xc (t )  jx s (t ) ,
где xc (t )  x(t ) cos φ(t ) - реальная Rex (t ), а x s (t )  x(t ) sin (t ) мнимая Imx (t ) - квадратурные составляющие входного сигнала,
а x(t )   xc2 (t )  xs2 (t ) , φ(t )  arctg
xs (t )
- огибающая и фаза.
xc (t )
Сигнал x(t ) представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала s(t ) , помехи c(t ) и шума n(t ) :
x (t )  μ s s(t )  μc c(t )  n (t ) ,
где μ s , μc - индикаторы событий, принимающие значения 0 или
1.
Если μc  0 , а s(t )  n(t ) , то φ(t )  ωd t  φ0 .
2V
Здесь ωd  2πf d - круговая доплеровская частота, f d  P - доλ
плеровская частота, VP - радиальная скорость движения цели, λ длина волны.
Сигнал с выхода ФД поступает на вход системы СДЦ, которая с целью устранения эффекта «слепых фаз» также строится по
квадратурной схеме.
Структурная схема цифровой системы СДЦ представлена на
рис.1.6, где РФ – режекторный фильтр (например, схема череспериодной компенсации ЧПК), КН – М-канальный когерентный
накопитель, СО – схема объединения каналов, О – обнаружитель.
11
Рис.1.6
1. 3. Параметры и характеристики системы СДЦ
1.3.1. Коэффициенты подавления, улучшения и подпомеховой видимости. Для количественной оценки качества функционирования систем СДЦ используют различные показатели.
Наибольшее распространение получили коэффициент подавления
КП, коэффициент улучшения КУ, коэффициент помеховой видимости КПВ. Коэффициент подавления характеризует степень
уменьшения мощности помех на входе к мощности помех на выходе.
Коэффициент улучшения представляет собой параметр,
описывающий наилучшим образом систему СДЦ. Коэффициент
улучшения определяется через отношение
r
,
(1.1)
K у  вых
r
вх
где rвых 
Psвых
- выходное, а rвх 
Psвх
- входное отPсвх
Pсвых
ношение сигнал/помеха по мощности.
Коэффициент подпомеховой видимости определяется как
отношение мощностей пассивной помехи и полезного сигнала на
входе системы СДЦ, при котором на выходе системы СДЦ мощность полезного сигнала превышает мощность остатков пассивной помехи в заданное число раз q0. Число q0 представляет собой
пороговое отношение мощности сигнала от цели к мощности
остатков пассивной помехи на выходе, при котором обеспечиваются заданные вероятности правильного обнаружения и ложной
тревоги.
Выразим Kпв через q0, Kу, Kп:
K ПВ 
где К s  Psвых P
sвх
Kу
Pсвх Pсвых Psвых
1


 Кп   К s 
,
Pсвых Psвых Psвх
q0
q0
– коэффициент передачи сигнала цели.
12
Обычно в системе СДЦ в процессе обработки сигнала происходит преобразование масштаба, поэтому при определении коэффициентов Kп, Kу, Kпв необходимо уровень выходной мощности Pсвых нормировать к уровню выходного шума, если он изменился.
1.3.2. Частотная и скоростная характеристики. Частотную характеристику H(d) системы СДЦ найдем как отношение
комплексных амплитуд сигнала на выходе и входе при условии,
что на вход системы СДЦ подан сигнал в виде комплексной синусоиды единичной амплитуды U вх (t )  e jωd t :
U вых U вых
H (ωd ) 

 U вых .
U вх
1
На практике важно знать зависимость амплитуды импульсов
на выходе системы СДЦ от скорости при заданной амплитуде
сигнала на входе системы. Такую характеристику называют скоростной. Учитывая, что между частотой Доплера и радиальной
скоростью движения цели существует однозначное соответствие,
частотную характеристику системы СДЦ по существу можно
рассматривать как скоростную характеристику.
1.4. Ограничения предельных возможностей
1.4.1. Статистические свойства эхо-сигналов пассивных
помех и целей. Предельные возможности компенсации пассивных помех и оптимального выделения полезных эхо-сигналов
полностью определяются их статистическими свойствами. Для
пачки из N импульсов плотность вероятности входного сигнала
будет N-мерной. Очень часто эту плотность распределения удается аппроксимировать нормальным распределением [2], однако,
мы ограничиваемся рассмотрением двумерного нормального распределения, что является достаточным для проведения спектрально-корреляционного анализа.
Если рассмотреть два отсчета сигнала квадратурной компоненты xc (t ) или x s (t ) (временно индексы c, s опустим) в моменты
13
времени ti и tj ( t j  ti  кT ), к=0,1,2…, то ее двумерную плотность
распределения вероятностей можно представить в виде:
 ( xi  si ) 2  ( x j  s j ) 2  2 pij ( xi  si )( x j  s j ) 
1
W ( xi x j ) 
exp 
 ,(1.2)
2
2
2σ CN 1  ρCN (T )

2πσ CN 1  ρCN (T ) 
2
где σ CN
 σ c2  σ 2 - мощность смеси «помеха+шум»; s i , s j средние значения отсчетов xi , x j , обусловленные сигналом;
ρCN (T ) - коэффициент корреляции отсчетов xi , x j .
Нетрудно показать (см. например, [2]), что
ρCN (кT ) =
2
где r 
r 2 ρc (кT )  ρ N (кT )
r 2 1
,
(1.3)
σ C2
- отношение мощностей помехи и шума; ρС (T ) ,
σ2
ρ N (кT ) - коэффициенты корреляции помехи и шума.
Из формулы (1.3) видно, что шумы снижают межпериодный
коэффициент корреляции.
При аппроксимации энергетических спектров сигнала и помехи часто используют резонансный спектр

 f
FР ( f )  1  2
σ f



2  1

 
 
 
,
для сигнала, и гауссов спектр
 
1 f
FГ ( f )  exp  
 2  σ f





2
,


для помехи.
Соответствующие коэффициенты межпериодной корреляции (к=1) имеют вид:
ρ P (T )  exp( πσ f T ) ;
ρ Г (T )  exp( 2π 2 σ f 2T 2 ) .
14
Здесь σ 2f - среднеквадратическое значение флюктуации
спектра помехи.
Огибающая x(t )  xc2 (t )  x s2 (t ) нормально распределенных квадратур xc (t ) и x s (t ) описывается законом распределения
Релея-Райса:
 x2  S 2 


x
  J 0   Sx  , x  0 ,
W ( x)  2  exp  
 2σ 2 
σ2 
σ CN

 CN 
CN 
где J 0  - функция Бесселя; S  S (t )  S c2 (t )  S s2 (t ) - огибающая сигнала. При S → 0 распределение Релея-Райса трансформируется в распределение Релея.
1.4.2. Ограничение коэффициента подавления, накладываемое флюктуациями помех. Чтобы проиллюстрировать ограничения, накладываемые флюктуациями помех от местных предметов, проанализируем простейшие структуры цифровых фильтров СДЦ. Такими структурами, например, являются схемы однократного и двукратного череспериодного компенсатора (ЧПК).
Для однократного и двукратного ЧПК имеем на выходе:
y nI  x n  x n 1 ,
y nII  x n  2 x n1  x n2 ,
где x n - незадержанный (текущий), а x n 1 , x n  2 - задержанные на
1 и 2 периода Т входные сигналы.
Предположим, что на входе компенсаторов действует пассивная коррелированная помеха мощностью Pсвх  σ c2 , тогда
мощность помехи на выходе
2
(1.4)
PсвыхI  M 1 y nI
 2σ c2 1  ρc (T ),
 
 
2
(1.5)
PсвыхII  M1 y nII
 2σ c2 3  4  ρc (T )  ρc (2T ).
Здесь M 
 - математическое ожидание от 
 ; ρ() - межпериодный коэффициент корреляции для Т или 2Т.
Нормируя к шуму Pсвых , получаем:
15
Pсвх
1
;
(1.6)

PсвыхIн 1  ρс (T )
P
3
.
(1.7)
KnII  свх 
PсвыхIIн 3  4  ρс (T )  ρc (2T )
Из формул (1.6) и (1.7) видно, что при флюктуациях пассивных помех, когда ρc (T ) , ρc ( 2T )  1, подавления пассивных помех нет, однако при отсутствии флюктуаций, при ρc (T ) ,
ρc (2T )  1 они резко возрастают.
Снижение качества подавления помех обуславливается расширением спектра сигналов, поступающих на вход системы
СДЦ.
K nI 
1.4.3. Влияние других ограничивающих факторов. Шумы
квантования. Сигнал, отраженный от пассивной помехи, формируется множеством отдельных элементарных отражателей,
каждый сигнал в отдельности имеет свою амплитуду, частоту и
начальную фазу, изменение которых приводит к амплитудным и
фазовым флюктуациям результирующего сигнала. Экспериментальным путем установлено, что энергетический спектр флюктуаций сигнала пассивных помех можно аппроксимировать кривой
Гаусса с эффективной шириной разброса частот σ fc . Преимущество гауссовой формы спектра состоит в том, что корреляционная функция будет также гауссова, в связи с чем расчет предельных ограничений качества подавления пассивных помех системой СДЦ может быть сведен к простой оценке расширения эффективной ширины спектра σ fc , вызванного конкретным видом
помех, внутренними нестабильностями РЛС, сканированием антенны, ограничением в приемном устройстве и другими факторами.
Энергетический спектр пассивных помех на входе системы
СДЦ также зависит от аппаратурных нестабильностей приемопередающего тракта РЛС (внутриимпульсной стабильности несущей частоты, стабильности местного и когерентного гетеродинов, стабильности сдвига фазы в передающем и приемном
16
устройствах и т.д.). Указанные нестабильности приводят к расширению эффективной ширины спектра σ fc .
Другим фактором, изменяющим энергетический спектр помехи, являются флуктуации сигнала, вызванные вращением антенны. Это происходит из-за того, что часть элементарных отражателей при сканировании выходят из диаграммы направленности, а другие – попадают в нее.
Существуют методики, позволяющие учесть расширение результирующего спектра помех, вызванных вращением антенны и
приводящих к модуляции огибающей пачки эхо-сигналов.
Кроме перечисленных факторов, важное значение приобретает вопрос об амплитудном ограничении сигналов в радиоприемном устройстве. В РЛС с СДЦ наблюдается сжатие динамического диапазона для мощных пассивных помех, поскольку всегда
в радиоприемном устройстве имеет место насыщение в каскадах
промежуточной частоты (ПЧ). Эта нелинейность оказывает значительное влияние на рабочие характеристики схемы компенсации вследствие изменения коэффициента корреляции и связанного с этим изменения спектра.
Декоррелирующее влияние нелинейности в приемном тракте, вызванное расширением спектра входных помех, приводит к
снижению коэффициента подавления, коэффициента улучшения,
а следовательно и коэффициента подпомеховой видимости.
Хотя воздействие ограничителей является полезным для
нормализации остаточных пассивных помех и шумов, все же
ухудшение характеристик подавления системы СДЦ делает необходимым выбирать уровень ограничений таким образом, чтобы остаточные пассивные помехи напоминали шум приемника.
Все вышеупомянутые факторы, ограничивающие предельные возможности подавления помех, в одинаковой степени относятся как к аналоговым, так и к цифровым системам СДЦ, однако
в цифровых системах СДЦ важно, кроме этого, исследовать шумы квантования.
Шумы квантования, возникающие при аналогово-цифровом
преобразовании сигналов на входе системы СДЦ, ограничивают
17
предельно достижимое значение коэффициента подавления системы СДЦ.
Абсолютный уровень шумов квантования определяется величиной дискреты  АЦП. Обозначим шум квантования через
Δx . Очевидно, Δx в общем случае представляет собой случайную величину, статистические характеристики которой определяются свойствами преобразуемого сигнала X (t ) и размером
дискреты Δ АЦП.
Если шумы квантования Δx распределены равномерно на
интервале [  Δ 2 ,+ Δ 2 ] и имеют нулевое среднее, то можно считать, что кроме сигнала S (t ) , пассивной помехи C (t ) , шума приемника N (t ) на входе системы СДЦ добавляется шум квантова (t ) , имеющий в каждой из квадратурных составляющих
ния Δ
x
2
мощность σ Δ2  Δ
.
12
Поскольку максимальное значение амплитуды помехи на
входе АЦП равно 2 L 1 Δ ( L - количество разрядов АЦП, включая
знаковый), то нормированный коэффициент подавления схемы
однократного ЧПК с учетом шума квантования можно представить в виде
Pсвх
Δ2 2 2( L 1)
K nI 

,
(1.8)
PсвыхIн σ 2 (1  ρ (T ))  Δ2 (1  ρ (T ))  σ 2
c
с
12
Δ
где ρ Δ (t ) - коэффициент корреляции шума квантования.
При выводе формулы (1.8) было учтено, что коэффициент
передачи шума приемника для схемы однократного ЧПК равен 2.
Из полученной формулы следует, что при ρc (T )  1 и σ 2 << Δ2
предельно достижимый коэффициент подавления полностью
определяется количеством разрядов L АЦП, причем добавление
одного разряда увеличивает коэффициент подавления на 6дБ.
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ЦИФРОВЫХ
ФИЛЬТРОВ
18
2.1. Понятие о цифровой обработке сигналов
2.1.1. Дискретные сигналы и системы. Для облегчения
процедуры извлечения полезной информации сигналы должны
подвергаться обработке. Сигнал – это функция, переносящая ту
или иную информацию. Сигнал в непрерывном времени определяется на интервале моментов времени, и следовательно, в математическом отношении представляется как функция от непрерывной переменной. Дискретные сигналы существуют в дискретные моменты времени и если они квантуются по уровню, то
представляются последовательностями чисел, т. е. являются
цифровыми сигналами. Цифровые сигналы – это сигналы, у которых дискретны и время и амплитуда. Сигналы в непрерывном
времени и с непрерывным диапазоном измерения амплитуд
называются аналоговыми сигналами.
Системы обработки сигналов могут классифицироваться
точно так же, как и сами сигналы. Так, системы в непрерывном
времени – это системы, у которых на входе и выходе имеются
сигналы в непрерывном времени, а дискретные системы системы, у которых на входе и выходе дискретные сигналы. Аналоговые системы – это системы с аналоговыми сигналами на входе и
выходе, а цифровые системы – это системы с цифровыми сигналами на входе и выходе.
Вне зависимости от природы происхождения дискретных
сигналов цифровые системы обработки таких сигналов обладают
рядом полезных качеств. Они могут быть реализованы с большей
гибкостью на универсальных ЭВМ или помощью цифровой аппаратуры.
19
Систему обработки сигналов назовём дискретной, если в
ней осуществляется квантование по
времени, уровню или тому и другому
одновременно. Для технических целей
часто из непрерывного (аналогового )
сигнала x(t ) через равноотстающие
моменты времени t n  nT берут выРис. 2.1
борки x1, x 2 ,..., xn  x(nT ) (см. Рис. 2.1).
Сигналы x(t ) заменяют последовательностью x1, x 2 ,..., xn и
далее работают с ней. Известная теорема отсчётов (теорема Котельникова) налагает на период квантования Т условия, делающие возможным такую замену в процессе дискретизации.
Если выборочное значение сигнала квантуется по уровню,
то имеем цифровую систему.
2.1.2. Цифровые фильтры. Под цифровым фильтром (ЦФ)
будем понимать такую систему, в которой выборочные значения
сигнала запоминаются, взвешиваются (умножаются на весовые
коэффициенты), комбинируются (складываются, вычитаются) и
т. п.
Цифровой фильтр является важнейшей составной частью
цифровой системы СДЦ. В соответствии с терминологией первичной обработки цифровой фильтр СДЦ можно определить как
цифровое устройство, осуществляющее совместную алгоритмическую обработку эхо-сигнала отдельных двух и более зондирований с целью подавления мешающих сигналов пассивных помех
и выделения сигналов движущихся целей.
Благодаря ряду преимуществ ЦФ в настоящее время успешно конкурируют с аналоговыми фильтрами. В перспективе по мере развития технологии изготовления больших интегральных
схем, включая микропроцессоры, АЦП, АЛУ и ЗУ, их роль еще
более возрастёт. При цифровой обработке сигнала в РЛС с СДЦ
обрабатываемые выборки амплитуды сигнала преобразуются в
цифровые числа. Эта числа запоминаются, восстанавливаются,
взвешиваются, комбинируются. Как только было выполнено пре-
20
образование аналоговых уровней в цифровые числа, система обработки приобрела надёжность, точность, воспроизводимость и
гибкость, характерную для цифровой ЭВМ. Система СДЦ фактически содержит АЦП и обычную быстродействующую ЭВМ специального назначения, которая работает в реальном масштабе
времени.
2.2. Математическое описание и структуры цифровых фильтров
2.2.1 Конечные разности и разностные уравнения. Особенности построения ЦФ в первую очередь обусловлены дискретным временем. В дискретном времени такие известные операции как дифференцирование и интегрирование теряют обычный математический и физический смысл. Рассмотрим пример
простейшей системы первого порядка (Рис.2.2). В этой системе
сигнал y2n (t ) представляет собой сигнал y1n (t ) , задержанный на
один интервал Т дискретизации. Система описывается уравнением:
y1n  xn  βy1( n 1) ,
(2.1)
Рис. 2.2
откуда
y1( n1) 
y1n xn
 .
β
β
(2.2)
Использовав уравнения (2.1) и (2.2), запишем
βΔy1n  (1  β ) y1n  x n ,
(2.3)
где Δ - оператор первых разностей, определяемый следующим
образом:
Δy1n  y1n  y1( n1) .
21
Уравнение (2.3), записанное через значения y1n и первую
разность Δy1n , по форме аналогично дифференциальному уравнению первого порядка. Более сложные системы описываются
разностными уравнениями более высокого порядка.
Для дискретного сигнала xn  x(nT ) конечную разность r го порядка Δr хn через конечную разность
определяют так:
Δx n  x n  x n1 ;
(r  1) -го порядка
Δ2 xn  Δxn  Δxn1 ;
r
r 1
Δ xn  Δ
r 1
xn  Δ
x n1 
r
 (1) i C ri x n1 .
(2.4)
i 0
Здесь C ri - число сочетаний из r по i .
Из формулы (2.4) видно, что для вычисления разности r -го
порядка требует знания r  1 значений xn  xn , xn 1, xn 2 ,..., xn r .
Использовав введенные обозначения, запишем разностное
уравнение r -го порядка, описывающее линейную дискретную
систему с постоянными параметрами:
r
r
 ai xni   bi yni .
i 0
(2.5)
i 0
Данное уравнение составлено по аналогии с дифференциальным уравнением r -го порядка, описывающим непрерывную
линейную систему с постоянными параметрами.
Исходное дифференциальное уравнение-прототип имеет
вид:
r
r
di
di
 ai i x(t )   bi i y(t ) ,
i 0 dt
i 0 dt
где x(t ) - входной, а y (t ) - выходной сигналы; ai , bi - постоянные параметры, i  0, r
2.2.2 Классификация цифровых фильтров. Приняв b0  1,
из (2.5) получим уравнение, определяющее ЦФ:
22
yn 
r
r
 ai xr i   bi yni ,
i 0
(2.6)
i 1
т. е. в общем случае сигнал на выходе ЦФ есть линейная
комбинация отсчетов входного и выходного сигналов.
Часто встречаются различные частные случаи формулы
(2.6).
Если коэффициенты bi , i  1, r равны нулю, то ЦФ называется нерекурсивным (без обратных связей). Если коэффициенты
ai , i  1, r равны нулю, то ЦФ называется рекурсивным (с обратными связями).
Из структурной схемы ЦФ, построенной по уравнению (2.6)
(рис. 2.3), могут быть получены частные структуры нерекурсивного и рекурсивного фильтров.
Рис. 2.3
В случае, если r  1, b1  0, a0  1, a1  1 , имеем однократный
ЧПК (простейший цифровой дифференциатор), а если
r  1, a0  1, a1  0,b1  β , то - схему экспоненциального накопителя (см. рис.2.2).
2.2.3 Импульсные и частотные характеристики. ЦФ по
существу является устройством (алгоритмом) преобразования
входной последовательности xn в выходную yn  Φ( xn ) . Вид
оператора Φ() зависит от свойств конкретной системы. ЦФ до-
23
статочно часто описывается импульсной характеристикой (ИХ)
hn  h(n) , понимаемой как отклик системы в произвольный момент времени п на импульс единичной амплитуды, воздействующей в момент времени n  0 (рис 2.4, а). Связь выхода y n со входом xn с использованием понятия ИХ проиллюстрирована на
рис. 2.4, б.
Рис.2.4
В линейном ЦФ вход и выход связаны соотношением типа
свертки
yn 
n
 xm hn m ,
(2.7)
m  
где hn  m  h(n  m) - отклик ЦФ на единичный импульс, воздействующий в момент времени m (рис 2.4, б).
Для физически реализуемых систем реакция не может
наступить раньше воздействия, т. е. h(n)  0 для n  0 . Учитывая
это, верхний предел в формуле (2.7) можно заменить на   .
Пусть на входе фильтра действует комплексный гармонический сигнал x (t )  e jωt . После квантования по времени имеем на
входе ЦФ xn  e jωnT , а на выходе
y n 


m  
e
jωmT
hn  m  e
jωnT

 hk e  jωkT  xn H (e jωT ) .
k  
Здесь
H (e jωT ) 

 hk e  jωkT
k  
частотная характеристика (ЧХ) ЦФ.
(2.8)
24
Нетрудно заметить, что ЧХ является периодической функцией частоты ω , причем ее период равен 2T .
2.2.4 Соотношение между спектрами непрерывных и
дискретных сигналов. Непрерывный сигнал x(t ) и его спектр
X H ( j ) связаны между собой парой преобразования Фурье:
X H ( j ) 


 x (t )e
 jt
dt ,
(2.9)

1
X H ( j )e jt dt .
(2.10)

2 
Аналогичные соотношения для квантованного по времени
сигнала имеют вид:
x(t ) 
X (e jT ) 

 x n e  jnT ,
(2.11)
n  
xn 
T
2π
π
T
 X (e
jωT
)e jωnT dω .
(2.12)
 Tπ
Для установления связи между спектрами непрерывных и
дискретизированных сигналов достаточно в выражение (2.10)
подставить t  nT и приравнять его к выражению (2.12). После
несложных преобразований, связанных с заменой интеграла с
бесконечными пределами бесконечной суммой интегралов на интервалах 2T и изменением порядка действий, получим
1  
jT

X (e
)
 X H (  2T k ) .
T n
Таким образом, спектр дискретизированного колебания образуется наложением спектров непрерывного колебания, смещенных по оси частот на величины 2Tπk , k  0,1,2,...
На рис. 2.5. приведены примеры наложения спектров для
случаев ограниченного и неограниченного в полосе   T спектров непрерывного колебания (рис. 2.5).
25
Рис. 2.5
2.3 Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой
2.3.1. Частотные характеристики КИХ-фильтров. Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой, или
КИХ-фильтры, получили широкое распространение при построении систем СДЦ. КИХ-фильтры реализуются, как правило, по
нерекурсивной схеме и обладают рядом положительных качеств,
обусловленных отсутствием обратных связей.
Обозначим через δn единичный импульс
1, для n  0
,
δn  
0
,
для
n

0

(2.13)
тогда по определению ИХ из формулы (2.7) для нерекурсивного
фильтра имеем:
hn 
r
 a i  n i .
(2.14)
i 0
Использовав (2.8) и (2.14), запишем выражение для ЧХ
нерекурсивного фильтра:
H (e jT ) 

 hn e  jnT 
n  


r
r
 ai  ni e  jnT   ai e  jiT . (2.15)
n   i 0
i 0
26
В общем случае ЧХ – комплексная функция и поэтому может быть выражена через действительную и мнимую части (в декартовой системе)
H (e jT )  H c (e jT )  jH s (e jT )
или через модуль и фазу (в полярной системе)
H (e jT )  H (e jT ) e j (T ) ,
причем
2
H (e jT )  H c2 (e jT )  H s2 (e jT ) 
2
2
r r
r
 r

   ai cos(iT )    a sin(iT )    ai a j cos  (i  j )T ;
i 0
 i  0

i 0 j 0
r
 (T )  arctg
 ai sin iT
i 0
r
.
(2.16)
 ai cos iT
i 0
Зависимость модуля H () от частоты  называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).
Зависимость фазы  (T ) от частоты  называется фазочастотной, характеристикой (ФЧХ).
2.3.2. КИХ – фильтры с линейной фазовой характеристикой. Фильтры с линейной ФЧХ особенно важны в тех случаях, когда приходится учитывать дисперсионные искажения, связанные с нелинейностью фазовой характеристики.
Из формулы (2.15) видно, что ЧХ нерекурсивного фильтра
определяется коэффициентами ai , а ФЧХ формируется экспоненциальными членами с отрицательными показателями степени,
поэтому линейную зависимость фазы от частоты  на интервале
периодичности 2Tπ обычно задают в виде
 (T )  T ,
27
где α носит смысл задержки, выражающейся через число интервалов дискретизации Т.
В 3 сформулированы условия, накладываемые на ИХ:
r
  ; hn  hnr .
(2.17)
2
Первое условие показывает величину задержки  для ЦФ
порядка r , второе условие – условие симметрии.
Типичные ИХ фильтры с линейной фазой показаны на
рис.2.6.
Рис. 2.6
Фильтры, удовлетворяющие условию (2.17), обеспечивают
постоянными как групповую, так и фазовую задержки. В случае,
если требуется обеспечить постоянной только групповую задержку, то ФЧХ должна быть кусочно-линейной функцией частоты, т. е.
 (T )  (  )T .
Групповая задержка есть производная фазовой характеристики по частоте в отличие от фазовой задержки, равной отношению фазы к частоте.
Для ЦФ с постоянной групповой задержкой:
r

  ,    , hn   h n  r .
2
2
Типичные ИХ для этих фильтров приведены на рис. 2.7.
28
Рис. 2.7
2.3.3. Методы синтеза КИХ - фильтров. Обычно синтез
ЦФ осуществляют по заданной импульсной или частотной характеристике соответствующего аналогового фильтра-прототипа.
Примерами являются метод билинейного z-преобразования для
заданной частотной характеристики и метод инвариантной ИХ –
для импульсной. Существуют также методы прямого синтеза.
КИХ - фильтры не имеют непосредственных аналогов среди
фильтров на обычных пассивных элементах (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивностей), поэтому методы их синтеза
относятся к прямым методам.
Наиболее распространенные методы синтеза КИХ – фильтров – метод частотной выборки и метод взвешивания с помощью «временного окна».
В методе частотной выборки ЧХ фильтра подвергаются
дискретизации по частоте, затем отдельные значения образовавшейся последовательности воспроизводятся с помощью каналов
с узкой полосой пропускания. Интервал дискретизации по частоте выбирается таким, чтобы более подробно передать форму заданной ЧХ. Это удается осуществить, если ЧХ фильтра не имеет
резких границ. В противном случае ограниченность ИХ приводит
к пульсациям ЧХ в полосе прозрачности и боковым лепесткам – в
полосе режекции ЦФ. При увеличении числа отсчетов степень
изрезанности ЧХ не уменьшается, а только увеличивается частота
биений (явление Гиббса [3]). Лучший вид ЧХ можно получить,
применив метод взвешивания с помощью «временного окна», для
чего ИХ умножают на весовую функцию, которая близка к еди-
29
нице в середине и плавно убывает к краям. Существуют различные типы временных окон (Хэмминга, Кайзера, Ханна и др.), отличающиеся друг от друга различной степенью приближения ЧХ
к прямоугольной форме, описываемой в виде минимально достижимого уровня боковых лепестков.
2.4 Дискретное преобразование Фурье. (ДПФ)
2.4.1. Понятие о z-преобразовании. Предположим, что дискретная последовательность xn  x(nT ) состоит из N отсчетов
x0 , x1 , x 2 ,..., x N 1 , тогда ее преобразование Фурье согласно (2.11)
X (e jT ) 
N 1

n 0
x n e  jnT .
(2.18)
Путем умножения выражения (2.18) на e T получим преобразование Лапласа для дискретного сигнала
X (e sT ) 
N 1

n 0
x n e  snT ,
(2.19)
где s    j - переменная преобразования Лапласа;  - вещественная переменная.
Введем обозначение z  e sT , для последовательности x n получим соотношение, определяющее z - преобразование:
X ( z) 
N 1

n 0
x n z n .
(2.20)
Таким образом, z -преобразование с переменной z  e sT является обобщением преобразования Фурье (2.18) для дискретного
сигнала, использующего переменную e jT . Соотношение между
z - преобразованием и преобразованием (2.18) такое же, что и соотношение между преобразованием Лапласа переменной s и
обычным преобразованием Фурье с переменной j  s  0 .
Дискретное преобразование Лапласа (2.19) и z - преобразование (2.20) на комплексных плоскостях s и z образуют поверхности. Сечение поверхности преобразования Лапласа плоскостью
  0 образует ЧХ обычной системы. Для дискретной системы
30
ЧХ (2.18) образуется пересечением поверхности z - преобразования с цилиндрической поверхностью z  eT
 1.
T
 0
T
jT
Учитывая, что z  e  e e
, где e
- модуль, а T фаза комплексной переменной z , можно сказать, что мнимая ось
в комплексной плоскости s трансформируется в окружность единичного радиуса на плоскости z , а полоса частот  Tπ ; Tπ на плоскости s (рис. 2.8) отображается в круг единичного радиуса на
плоскости z .
sT


Рис. 2.8
2.4.2. Определение ДПФ. Осуществим дискретизацию спектра (2.18) по частоте, заменив его счетным множеством точек
k  0,1,2,... , взятых через интервалы Δ ω . В результате получим
последовательность отсчетов:
X * (k  )  X (e jT )
  k

N 1

n 0
x n e  jk nT .
(2.21)
ДПФ последовательности x n обычно определяют как пре2
образование (2.21) для шага дискретизациипо частоте   
,
NT
2
2
т.е. период
разбивают на N участков шириной
.
T
NT
31
Можно сказать, что при таком определении число возможных значений спектра X * (k ) оказывается равным N , т.е.
k  0,1,2,... N  1.
Тогда прямое ДПФ можно представить в виде
2
X (k )  X * (k
)
NT
а обратное ДПФ
N 1
 xn e
 j(
2
) nk
N
, k  0,1,2,..., N  1 ,
(2.22)
n 0
2
j ( ) nk
1 N 1 
N
xn 
X
(
k
)
e
, n  0,1,2,..., N  1.

N k 0
Использовав геометрическую трактовку z - преобразования,
ДПФ можно определить как оценку z - преобразования конечной
(или периодической) последовательности x n в N точках на z плоскости, равномерно расположенных вдоль единичной окружности под углами k  (рис. 2.9).
Рис. 2.9
2.4.3. Быстрое преобразование Фурье. Поскольку в ДПФ
представление спектра сведено к ограниченному числу точек,
можно считать, что само по себе ДПФ является экономичной
формой спектрального представления. Несмотря на это, в цифровой обработке существуют еще более эффективные алгоритмы
вычисления ДПФ. Применение этих алгоритмов приводит к
32
упрощению программ и экономии времени при машинной обработке и к уменьшению аппаратурных, а следовательно, и стоимостных затрат – при аппаратной реализации устройств обработки.
Поскольку прямое и обратное ДПФ отличаются только знаком экспоненты и коэффициентом N1 , вычислительные процедуры имеют много общего.
В общем случае отсчеты x n представляют собой комплексные числа, поэтому прямое вычисление ДПФ связано с выполнением следующих операций:
X (k ) 
N 1

n 0
x nW Nnk 
 j(
N 1

n 0
nk
( x ncW Nc

nk
x nsW Ns
)
N 1
nk
nk
j  ( x ncW Ns
 x nsW Nc
) , (2.23)
n 0
2π
)
N ;
где W N  e
« c, s » – индексы, используемые для обозначения реальных и мнимых частей комплексных величин.
Из выражения (2.23) видно, что для вычисления ДПФ в одной точке необходимо 4 N умножений и 2( N  1) сложений действительных чисел, всего же для всех k  0,1,2,..., N  1 потребуется 4N 2 умножений и 2 N ( N  1) сложений.
Функция W Nnk является периодической функцией с периодом N , поэтому число необходимых операций можно существенно сократить. Периодичность функции W Nnk является одним
из ключевых моментов методов быстрого вычисления ДПФ
(БПФ). Основная идея БПФ состоит в разбиении исходной N точечной последовательности на две более короткие, ДПФ которых может быть скомбинировано таким образом, чтобы получить
ДПФ исходной последовательности. Такое разбиение может быть
применено как к временным (прореживание по времени), так и к
частотным (прореживание по частоте) отсчетам.
33
3. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ СДЦ
3.1. Оптимальная обработка сигналов при наличии пассивных помех
3.1.1. Цифровая фильтрация сигналов на фоне шума. Выборочные значения сигнала, подлежащие обработке в системах
СДЦ, представляют собой синфазную x cn и квадратурную
x sn компоненты дискретизированного аналогового напряжения
x n , наблюдаемого на выходе квадратурного фазового детектора.
Сигнал ДЦ в общем случае должен быть выделен из смеси
помехи и шума. Учитывая, что при обработке сигналов собственный шум приемника имеется всегда, прежде рассмотрим структуру оптимальной обработки сигнала на фоне шума. Из теории
согласованных фильтров известно, что выделение полезного сигнала из шума может быть осуществлено оптимальным образом,
если ИХ фильтра hn представляет собой функцию, комплексносопряженную с обращенным во времени (зеркальным) дискретизированным сигналом s n , т.е.
(3.1)
hn  s * N 1n , n  0,1,2,..., N  1,
где N - количество выборочных значений ожидаемого сигнала
(число импульсов в пачке).
При этом сигнал на выходе ЦФ с конечной ИХ в соответствии с (2.7) запишется следующим образом:
n
y n   x m hn m 
m 0
n
 x m s * N 1n m .
m 0
(3.2.)
В момент времени n  N  1 соотношение (3.2) соответствует дискретизтрованной взаимокорреляционной функции x n и s n .
Если во входной смеси x n присутствует полезный сигнал, то взаимокорреляционная функция будет иметь максимум.
Этот способ обработки сигнала называется сверткой типа
«движущееся окно», так как зеркальный сигнал (3.1) действует
как окно, перемещающееся относительно входных данных.
34
Другой способ выделения сигнала заключается в фильтрации в частотной области.
Частотную характеристику фильтра, описываемого ИХ (3.1),
определим по формуле (2.15):
H (e jωT ) 
N 1

k 0
s * N 1 k e  jωkT .
(3.3)
Введем переменную  N  1  k , в результате чего из (3.3)
получим выражение для ЧХ оптимального фильтра
H (e jωT )  e  jω( N 1)T
N 1

n 0
s * n e jωnT .
Вместе с тем, спектр полезного сигнала s n :
S (e jωT ) 
N 1

n 0
s n e  jωnT .
Поэтому окончательно
H (e jωT )  e  jω( N 1)T S * (e jωT ) .
Таким образом, с точностью до множителя e  jω( N 1)T , характеризующего запаздывание на время ( N  1)T , ЧХ оптимального фильтра является комплексно-сопряженной функцией спектра входного сигнала.
Для фильтрации в частотной области необходимо преобразовать все данные по времени в данные, соответствующие частотной области с помощью ДПФ:
X (k ) 
N 1
 xn e
n 0
 j(
2π
) nk
N
,k
 0,1,2,..., N  1 .
Затем выполняется фильтрация путем умножения X (k ) на
ДПФ s * N 1 n :
Y (k )  X (k ) S * (k ), k  0,1,2,..., N  1.
Получающиеся дискретные частотные выборочные значения далее преобразуются во временную область с помощью обратного ДПФ (ОДПФ):
35
2π
j ( ) nk
1 N 1 
y n 
 Y (k )e N , n  0,1,2,..., N  1.
N k 0
Если во входной смеси присутствует сигнал, то взаимокорреляционная функция y n будет иметь пик в точке расположения
сигнала. При этом способе обработки вместо ДПФ и ОДПФ
обычно используется БПФ и ОБПФ.
3.1.2. Метод приведения «небелого» шума к «белому».
Требования к ЧХ, сформулированные в предыдущем разделе,
обеспечивают оптимальность выделения сигнала на фоне «белого» шума – шума, имеющего равномерную спектральную плотность в широкой полосе частот, в частности на интервале перио 2π 
дичности 0,  . Если шум «небелый», то условие фильтрации
 T 
требует уточнения. Примером «небелого» шума являются пассивные помехи, которые в отличие от внутренних шумов приемника, коррелированны и характеризуются неравномерным спектром. Для определения структуры ЦФ СДЦ в случае «небелого»
шума
воспользуемся
предложенным
академиком
В.А.Котельниковым методом приведения «небелого» шума к
«белому».
В соответствии с этим методом принятую дискретную последовательность x n  sn  cn необходимо пропустить через линейный («выравнивающий») ЦФ с ЧХ H 1 (e jωT ) , преобразующий
помеху c n с неравномерным спектром C(ω) в помеху c n с равномерным спектром:
C (ω) H 1 (ω)  c1  const ,
где H1(ω) - модуль H 1 (e jωТ ) , т.е. H1 (ω)  H12c ()  H12S () или
H1(ω)  H 1 () H1* () , ()  (e jωt ) , с и s – индексы мнимой и реальной
составляющей.
На выходе этого ЦФ образуется «белый» шум, поэтому достаточно включить обычный согласованный ЦФ, имеющий ЧХ:
36

*
H 2 (e jωT )  e jω( N 1)T H 1(e jωT )S (e jωT ) .
Тогда характеристика искомого ЦФ
H (e jωT )  H 1 (e jωT ) H 2 (e jωT )  H12 (ω) S * (e jωT )e  jω( N 1)T 

c1 
S * (e jωT )e  jω( N 1)T .
C (ω)
(3.4)
Формула (3.4) показывает, что для реализации согласованного фильтра требуется каскадное включение двух фильтров.
Один
из
них
–
фильтр
когерентного
накопления
S * (e jωT )e  jω( N 1)T - обеспечивает обычную оптимальную фильc1
трацию сигнала на фоне шума, а второй
является реC ( ω)
жекторным фильтром и предназначен для подавления помех.
На рис.3.1 б и в приведены ЧХ накапливающего и режекторного гребенчатых ЦФ, обеспечивающих выделение сигнала ДЦ с доплеровским смещением частоты ωα из смеси с пассивными помехами от неподвижных местных предметов, спектр которых показан на рис. 3.1 а.
В качестве зондирующего сигнала использована пачка из N
прямоугольных импульсов длительностью τ и периодом повторения T . Порядок включения накапливающего и режекторного
ЦФ при их каскадном соединении может быть произвольным.
Рис 3.1
37
3.2. Системы СДЦ на основе нерекурсивных цифровых фильтров
3.2.1. Передаточная функция нерекурсивного фильтра.
Режекторные фильтры. Полагая, что ЦФ имеет порядок r ,
воздействуем оператором z - преобразования на левую и правую
части (2.6), в результате получим
r
Y ( z )  X ( z )  ai z
i
i 0
r
 Y ( z ) bi z i .
(3.5)
i 1
Использовав (3.5), можно получить передаточную функцию
ЦФ
r
 a i z i
i 0
r
H ( z) 
.
(3.6)
1   bi z i
i 1
В нерекурсивном ЦФ все коэффициенты bi , i  1,2,..., r равны нулю, поэтому
r
 ai z i .
H ( z) 
(3.7)
i 0
Подставив в формулу (3.7) z  e jωT , можно получить ЧХ
нерекурсивного ЦФ
H (e jωT ) 
r

i 0
ai e  jiωT .
Если ЦФ является режекторным фильтром (РФ), то сигнал
пассивной помехи от неподвижных местных предметов должен
подавляться, поэтому весовые коэффициенты ai , i  0,1,2,...r при
ω  0 должны удовлетворять условию
r
 ai
 0.
i 0
Этому условию удовлетворяют, например, знакочередующиеся биномиальные коэффициенты, соответствующие ЦФ в виде r - кратного ЧПК. Действительно, для r - кратного ЧПК
38
H (e jωT )  (1  e  jωT ) r 
r

i 0
(1)i Cri e  jωiТ ω  0 
r
 (1)i Cri  0 ,
i 0
C ri
где
- число сочетаний из r по i . Равенство нулю суммы знакопеременных биномиальных коэффициентов определяются
свойствами треугольника Паскаля.
На плоскости z передаточная функция r - кратного ЧПК
имеет r - кратного ноль в точке z  1 , поскольку
r
 z  1
1 r
(3.8)
H ( z )  (1  z )  
 .
 z 
3.2.2. Прохождение шума. Проанализируем прохождение
шума через нерекурсивный ЦФ r -го порядка. Обозначим напряжение шумов на входе в п-й момент времени через nn , тогда шум
на выходе
nвыхn 
r
 a i n n i .
i 0
Приняв, что шум на входе имеет нулевое среднее и дисперсию σ 2 , определим мощность шума на выходе


 r r

2
Pвых п  M1 nвыхn
 M1    ai a j nn i nn  j  
i  0 j  0


r
r
(3.9)
r
  ai a j M1nn i nn  j   σ 2  ai2 .
i 0 j 0
i 0
Из формулы (3.9) видно, что мощность выходного шума по
сравнению с мощностью входного шума увеличилась в
r
 ai2 раз.
i 0
Учет изменения шума необходим при определении нормированных коэффициентов передачи сигнала и подавления помех.
3.2.3. Анализ коэффициента улучшения. Определим
улучшение отношения сигнал/помеха в нерекурсивном ЦФ r -го
порядка, на вход которого поступает аддитивная смесь x n гармо-
39
нического сигнала sn  S cos( ωd nT  φ0 ) и помехи c n . Учитывая,
что выходное напряжение фильтра y n 
r
 ai x n i , и принимая,
i 0
что помеха c n имеет нулевое среднее, а сигнал и помеха независимы, записываем выражение для мощности y n на выходе
 
Py  M 1 y n2  Ps K s  Pc K c ,
где Ps , Pc - входная мощность сигнала и мощность помехи, соответственно;
Ks 
r
r
  ai a j cos(ωd iT  φ0 ) cos(ωd jT  φ0 )
- коэффициент пе-
i 0 j 0
редачи сигнала цели;
r r
1
Kc 
   ai a j ρc ( j  i )r  - коэффициент передачи помех;
K П i 0 j 0
( K П - коэффициент подавления, ρc  - функция корреляции по-
мехи).
Использовав введенные обозначения, запишем выражения
для коэффициента улучшения
Ky 
( Ps K s ) ( Pc K c ) K s

 K s Kc .
Ps Pc
Kc
(3.10)
Переписывая выражение в виде
r
Ky 
Ks
 ai2
 i  0  К SH К ПН .
Kc
 ai2
r
i 0
отмечаем, что коэффициент улучшения ЦФ r -го порядка выражается через нормированный коэффициент передачи цели K sн ,
на которые не влияют помеховые характеристики, и нормированный коэффициент подавления помехи К ПН , который не зависит
от доплеровской частоты ωd . Нормированный коэффициент подавления К ПН можно назвать средним улучшением, поскольку
40
средний (по всем доплеровским частотам) коэффициент улучшения
r r
 r 2

a

2
a
a
cos(
ω
iT

φ
)
cos(
ω
jT

φ
)
 i
 i j
d
0
d
0 
i 0

i j
K y  K sн K ПН  M 1 
 K ПН 
r


 ai2


i 0


(3.11)
r
 ai2
 i 0
r
 ai2
K ПН  K ПН ,
i 0
т. к. двойная сумма в (3.11) равна нулю.
Среднее улучшение, как это видно из формулы (3.11), зависит от амплитудных весов ai , корреляционной функции помехи
ρc (τ ) и порядка r ЦФ.
3.2.4. Оптимизация весовых коэффициентов. Критерии,
используемые для определения оптимального набора значений
весовых коэффициентов фильтра, могут быть самыми различными. Довольно часто используют критерии максимума среднего
улучшения. Максимизация среднего улучшения (3.11) достигается сведением до минимума знаменателя относительно ai при
условии, что числитель
r
 ai2 постоянный (он определяет переда-
i 0
чу шума). Используя метод множителей Лагранжа, образуем величину
Φ
r
r
r
  ai a j ρc ( j  i)T   λ  ai2 ,
i 0 j 0
(3.12)
i 0
где  - множитель Лагранжа.
Дифференцирование
уравнения
(3.12)
относительно
ai приводит к следующему условию для экстремума:
41
r
Φ
 2  a j ρc ( j  i)T   2 λai  0 .
ai
j 0
(3.13)
Здесь i  0,2,..., r.
Уравнение (3.13) имеет нетривиальное решение для набора
ai .
Решение задачи оптимизации показывает, что неопределенный множитель Лагранжа является характеристическим числом
корреляционной матрицы помехи Rc  ρc ( j  i )T . Оптимальный набор весовых коэффициентов ai - это набор, при котором
характеристическое число λ принимает наименьшее значение,
поскольку K y  1 .
λ
При необходимости учета теплового шума вместо матрицы
помехи Rc  ρc ( j  i )T  следует использовать матрицу смеси
«помеха+шум» RCN  ρCN ( j  i )T , элементы которой через
элементы матрицы шума R N  ρ N ( j  i )T  определяются аналогично соотношению (1.3).
Оптимизация коэффициентов ai при применении матрицы
RCN приводит к тому, что весовые коэффициенты ЦФ по сравнению со схемой r - кратного ЧПК отличаются от биноминальных,
а нули ЧХ становятся комплексно-сопряженными. Однако, если
помеха сильно коррелированна и отношение мощности помехи к
σ c2
мощности шума η  2  1 , биномиальные весовые коэффициσ
енты ai , соответствующие r - кратному ЧПК, удовлетворяют
условию оптимальности (3.13).
Производя оценку (3.8) на единичном круге, где z  e jωT ,
получаем ЧХ r - кратного ЧПК
H (e jωT )  (1  e  jωT ) r .
(3.14)
Расположение нулей на z - плоскости и нормированные к
шуму модули ЧХ H (ω) r - кратного ЧПК показаны на рис.3.2. (а
– комплексная плоскость, б – ЧХ).
42
Рис3.2
3.3. Системы СДЦ на основе рекурсивных цифровых фильтров
3.3.1. Передаточная функция рекурсивного фильтра. Построение рекурсивного ЦФ r -го порядка по структурной схеме,
приведенной на рис.2.3, значительно расширяет возможности
всей системы. В рекурсивном фильтре значение выходного сигнала в каждый момент времени t n зависит не только от выборок
входного сигнала, но и от выборок выходного сигнала в предшествующие моменты времени, т.е. появляется возможность накопления сигналов за счет рециркуляции. Схема рекурсивного
фильтра отличается от схемы нерекурсивного фильтра наличием
обратных связей. Передаточная функция фильтра представлена
формулой (3.6). Простейший фильтр получается при
a0  1, a1  a 2  ...  a r  0,b1  β , b2  b3  ...  br  0 (см. рис
2.2.). Он является фильтром первого порядка, поскольку использует всего один элемент задержки. Если на вход этого фильтра в
момент времени t  0 подать единичный импульс, то на выходе 1
этот импульс появится также в момент времени t  0 , а на выходе
2 – в момент времени t  T . После умножения на коэффициент β
на выходе 1 в момент времени t  T получим импульс амплитуды
β . Далее импульс будет циркулировать в петле обратной связи,
изменяясь при каждом обороте в β раз. В результате на выходе 1
43
получаем последовательность y1n  1, β, β 2 , β 3 ,..., а на выходе 2 -
y2n  0,1, β, β 2 ,... На z -плоскости имеем соответственно:
1
z
;
Y ( z )  1  βz 1  β 2 z  2  ... 

1  βz 1 z  β
1
Y ( z )  0  z 1  βz  2  ... 
.
zβ
Таким образом, по выходу 1 ЦФ имеет передаточную функz
цию H 1 ( z ) 
, а по выходу 2 – передаточную функцию
zβ
1
H 2 ( z) 
. Полюса передаточной функции расположены в
zβ
точке z  β , что соответствует целому ряду частот. При любом
знаке β для устойчивости должно выполняться условие β  1 .
При β  1 ЦФ будет накапливать сигналы частот
2π
π
2π
ωk
, k  0,1,2,... ,а при β  1 - сигналы частот ω   k .
T
T
T
В первом случае система СДЦ способна выделять неподвижные
цели или цели, летящие со «слепыми» (в терминологии ЧПК)
скоростями, во втором – цели, летящие с «оптимальными» скоростями.
3.3.2. Рекурсивный фильтр второго порядка. Передаточная функция фильтра второго порядка имеет вид
H ( z) 
a0  a1z 1  a2 z  2
1  b1z 1  b2 z  2

( z  z01)( z  z02 ) A( z )
. (3.15)

( z  z p1)( z  z p 2 ) B( z )
Производя оценку (3.15) на единичном круге, где z  e jωT ,
можно получить ЧХ указанного фильтра. На рис 3.3. показан
график модуля ЧХ A (e jωT ) , при a0  a 2  1, a1  2 и модуля ЧХ
44
1
B (e jωT )
при  b1  0,2,b2  0,4 , а также модуля результирую-
A (e jωT )
jωT

щей ЧХ H (e
.
)
jωT

B (e
)
Рис 3.3
Методика оптимизации весовых коэффициентов нерекурсивного фильтра, приведенная в 3.2, может быть использована и
для оптимизации коэффициентов рекурсивного фильтра, однако
анализ прохождения сигналов, помех и шумов в этом случае является более сложным.
3.3.3. Компенсаторы с большим числом линий задержки.
Теоретически с помощью фильтров на линиях задержки можно
синтезировать почти любую форму зависимости коэффициента
передачи от скорости. Для каждой пары полюсов и пары нулей на
z-плоскости необходимы две линии задержки. Положение нулей
определяется прямыми связями, а положение полюсов – обратными связями. Возможность регулирования скоростной характеристики за счет смещения полюсов обратных связей в ряде случаев целесообразна, однако отказ от обратных связей с целью получения хорошей (конечной во времени) переходной характеристики является принципиальным преимуществом компенсаторов
с прямыми связями. Указанное обстоятельство весьма важно для
45
РЛС с дискретным сканированием луча, когда на каждом положении излучается серия импульсов ограниченной длины.
3.4. Система СДЦ на основе многоканальных доплеровских
фильтров (МДФ)
3.4.1. Понятие о когерентно-весовой комплексной обработке. Для выполнения комплексной обработки необходимо
предусматривать отдельные каналы для действительных и мнимых компонент, т.е. обработку осуществлять в двух квадратурных каналах: отдельно в каналах синфазной и квадратурной составляющих.
При одноканальном построении устройства возникают дополнительные потери сигнала (эффект «слепых фаз»), хотя его
амплитудно-частотная характеристика может полностью совпадать с амплитудно-частотной характеристикой соответствующего
квадратурного устройства. Цифровой комплексный РФ СДЦ с
двумя квадратурными каналами показан на рис 3.4, где КГ - когерентный гетеродин, АЦП - аналого-цифровой преобразователь,
РФ – режекторный фильтр, квадратурный сумматор КС, ЦАП –
цифровой преобразователь.
Рис 3.4
К структурной схеме (см. рис 3.4) сводится алгоритм цифровой фильтрации (2.6) с действительными весовыми коэффициентами. Наличие квадратурных каналов обусловлено комплекс-
46
ностью входного сигнала xn  xnc  jxns . Указанный алгоритм используется для построения гребенчатых РФ и гребенчатых фильтров накопления с симметричными на интервале периодичности
 2π 
0, T  частотными характеристиками.
В общем случае весовые коэффициенты ЦФ СДЦ являются
комплексными величинами, поэтому алгоритм комплексной обработки сводится к виду
y n 
N 1
N 1
 ai xn i   bi y n i ,
i 0
(3.16)
i 1
где ai  aic  jais , bi  bic  jbis - комплексные весовые коэффициенты ЦФ.
Структурная схема ЦФ СДЦ, реализующего когерентновесовую обработку (3.16) для случая bi  0 , приведена на
рис.3.5.
а0с
а1с
аN-1,c
а0s
а1s
аN-1,s
а0s
а1s
аN-1,s
а0с
а1c
аN-1,c
Рис.3.5
ЦФ СДЦ с когерентно-весовой комплексной обработкой является N- канальным. Устройство СДЦ, построенное по схеме
рис 3.5, может иметь как симметричную, так и несимметричную
47
 2π 
ЧХ на интервале периодичности 0,  , следовательно частота
 T 
временного квантования по выходу может быть снижена в 2 раза
для достижения того же результата ЦФ с действительными коэффициентами <ai>.
3.4.2. Реализация МДФ на основе ДПФ. Конкретное значение весовых коэффициентов ai определяет конкретную форму
ЧХ. Если необходимо иметь семейство (набор) ЧХ, как, например, в многоканальных по доплеровской частоте системах, то
необходимо создать некоторое множество каналов. Системы
СДЦ, построенные по такому принципу, называются системами с
МДФ (или фильтровыми СДЦ). Учитывая, что в системах с
МДФ, как и в ДПФ, осуществляется перемножение и сложение
комплексных чисел и имеется общность, связанная с многоканальностью, можно полагать, что когерентно-весовая обработка
(см. рис 3.5), тесным образом связана с ДПФ. Остановимся на
этом подробнее, для чего предположим, что на вход ЦФ (см. рис.
3.5) поступает входная последовательность xn , n  0,1,2,..., N  1
ограниченной длины. В соответствии (3.16) при bi  0 в момент
времени t N 1  ( N  1)T на выходе ЦФ имеем
y N 1 
N 1
N 1
 ai x N 1i   xna N 1 n .
i 0
n  0
(3.17)
Выражение (3.17) по своей форме эквивалентно свертке
(2.7) последовательности x n и комплексной ИХ нерекурсивного
КИХ-фильтра, вычисленной для момента времени n  N  1. Таким образом, в выражении (3.17) a N 1 n  hN 1 n .
Поскольку каналы доплеровской фильтрации в МДФ должны быть согласованы с теми сигналами, на которые они настроены, поэтому в соответствии с п.3.1.1 весовые коэффициенты
ai должны выбираться из условия
a N 1n  S n* .
(3.18)
48
Если в качестве множества сигналов, подлежащих фильтрации с помощью МДФ, взять множество гармонических сигналов
j(
2π
) nk
N
,
e
дискретных как по времени, так и по частоте
(n  0,1,2,..., N  1; k  0,1,2,..., N  1) , то в соответствии с выражением (3.18) необходимо, чтобы
 j(
2π
) n k
N
.
a N 1 n  e
(3.19)
Подставив значение (3.19) в формулу (3.17), можно увидеть,
что алгоритм (3.17) эквивалентен ДПФ, т.е.
y N 1(k )  X (k ), k  0,1,2,..., N  1.
Если на вход системы СДЦ типа МДФ поступает гармони-
ческий сигнал xn  Ae
j(
2π
)Tnk
N
,
имеющий амплитуду A и допле2π
) , то на выходе k -го каровское смещение частоты kΔ ω  k (
NT
нала в момент времени t N 1  ( N  1)T имеем когерентное накопление сигнала, т. е.
y n (k ) 
N 1
N 1  j (
 ai xn i   e
i 0
2π
2π
)( N 1 i ) k
j ( )k (n i )
N
Ae N
i 0
n  N 1
 NA ,(3.20)
в результате чего амплитуда сигнала возрастает в N раз.
При наличии на выходе МДФ стационарного шума n n с нулевым средним и дисперсией σ 2 на выходе получаем шум мощностью


 N 1 N 1

*
Pnвых  M1 nвыхnnвыхn
 M1 

 
 i  0 j  0
  ai a*j M1nn i nn*  j  2σ 2 
N 1 N 1
N 1
i 0 j 0
i 0
поскольку

M 1 n ni n n* j



ai nn i a *j nn*  j  

2
ai ,
2σ 2 , i  j

.
0
,
i

j

(3.21)
49
Учитывая, что в МДФ все a i  1, из формулы (3.20) получим Pвыхn  N 2σ 2 .
Обозначим через
A2
2
qвх 
2
2σ
отношение сигнал/шум по мощ-
ности на входе, тогда с учетом выражения (3.20) отношение сигнал/шум на выходе составит
N 2 A2
2
2
.
qвых 
 Nqвх
2
N 2σ
Таким образом, в МДФ в результате когерентного накопления сигнала отношение сигнал/шум по мощности может быть
увеличено в N раз. В отличие от некогерентного накопления
указанное увеличение отношения сигнал/шум не зависит от отношения сигнал/шум на входе, что представляется весьма важным.
3.4.3. Коэффициент передачи k-го канала МДФ. Определим ЧХ k -го канала МДФ, для чего на вход подадим комплексный гармонический сигнал x (t )  e jωt единичной амплитуды.
Перейдем к дискретному времени, представив входной сигнал в
форме
x n  e jωnT  e jηΔωnT ,
ω
где η 
- нормированная частота, принимающая непрерывΔω
2π
ные значения на интервале 0, N ; Δ ω 
- элемент дискретNT
ности по частоте.
Записав сигнал на выходе k -го канала МДФ для момента
времени t N 1  ( N  1)T , получим
y n (k )  X (k ) 
N 1

n 0
x n e
 jΔ ωTnk

N 1
 e jΔωTn( ηk ) .
(3.22)
n 0
Суммируя геометрическую прогрессию, преобразуем формулу (3.22) к виду
50
Nφ φ( N 1)
e
1
2 ej 2 ,
X ( k )  jφ

φ
e 1
sin
2
где φ  Δ ωT (η  k ) .
Из формулы (3.23) следует, что
jNφ
sin
Nφ
2  sin π (η  k ) .
X (k ) 
φ
π
sin
sin (η  k )
2
N
(3.23)
sin
(3.24)
Зависимость (3.24) в функции от ω для
N  4 представлена на рис. 3.6, откуда видно,
что главные лепестки ЧХ каналов МДФ равномерно перекрывают интервал периодично 2π 
сти по доплеровской частоте 0,  .
 T 
Рис.3.6
Увеличение числа N каналов МДФ приводит к уменьшению ширины главного лепестка, в результате чего повышается
частотная избирательность и увеличивается разрешающая способность системы СДЦ по скорости, поскольку эквивалентное
время наблюдения Т Н  NT по сравнению с N=1 увеличивается в
N раз.
Для уменьшения боковых лепестков ЧХ МДФ может быть
применен метод взвешивания ЧХ с помощью «временных окон»
(см. п. 2.3.3.).
3.4.4. МДФ с весовой обработкой частотных каналов. В
п.3.1.2. сказано, что порядок включения накапливающего и режекторного гребенчатого ЦФ может быть произвольным. В связи
с этим, приняв, что МДФ выполняет роль накопителя, возложим
функции РФ на блок весовой обработки, осуществляющей взвешивание откликов частотных каналов МДФ. По сути дела, такой
алгоритм обработки является одним из вариантов технической
51
реализации согласованной фильтрации в частотной области, описанной в п. 3.1.1.
Алгоритм весовой обработки М-канального (M  N ) МДФ
для момента времени t N 1  ( N  1)T с учетом (3.22) запишем в
следующем виде:
y N 1 
M 1
 ηk y N 1 (k ) ,
(3.25)
k 0
где ηk - весовые коэффициенты, определяемые в результате оптимизации.
В качестве критерия оптимизации воспользуемся критерием
максимума среднего улучшения. Как указывалось в п. 3.2.4, для
этого необходимо обеспечить минимум коэффициента передачи
помехи K c . Отличительной особенностью данной задачи оптимизации является то, что варьируемыми параметрами являются весовые коэффициенты ηk частотной области, в отличие от весовых коэффициентов ai временной области.
Приняв, что на входе МДФ воздействует пассивная помеха
c n с нулевым средним и мощностью σ c2 , с учетом выражения
(3.25) и п.3.4.2 получим выражение для мощности помехи на выходе
2π
2π
M 1 N 1
 j nk  M 1 N 1
j ml 


Pcвых  M1 y ( N 1)c y (*N 1)c  M1   ηk  cne N
 ηl  cm* e N  
 k  0 n  0

l 0 m 0

 σ c2

M 1M 1
  ηk ηl r(k , l )  σ c2 K c ,
k 0 l 0
где r(k , l ) 
N 1 N 1
 
n  0 m  0
ρc (n  m)e
j
2π
( nk  ml )
N
- спектральная матрица
помех.
Использовав метод множителей Лагранжа, образуем величину
52
Φ
σ c2
M 1 M 1
 
k 0 l 0
ηk ηl r(k , l )  λN
где λ - множитель Лагранжа; N
2
M 1

k 0
2
M 1

ik 0
ηk2 ,
(3.26)
ηk2  const - ограничиваю-
щее условие оптимизации.
Дифференцирование
уравнения
(3.26)
относительно
ηk приводит к следующему условию существования экстремума:
M 1
Φ
2
 2σ c  ηl r(k , l )  2 λN 2 ηk  0 ,
ηk
l 0
где k  0,1,2,..., M  1.
Дальнейшую оптимизацию можно проводить по методике,
изложенной в п. 3.2.4, в результате чего может быть найден оптимальный набор весовых коэффициентов ηk .
3.5. Адаптивные системы СДЦ
3.5.1 Проблема адаптации. Изменение параметров пассивных помех приводит к необходимости изменения параметров ЦФ
СДЦ. В п.3.2.4 мы установили, что при синтезе ЦФ СДЦ во временной области требуется знание корреляционной матрицы помех. Если синтез ЦФ СДЦ осуществляется в частотной области
(например, синтез МДФ – п.3.4.4.), требуется знание спектральной матрицы помех. Как в том, так и в другом случае нужна
априорная информация о свойствах помехи. При отсутствии такой информации применяют адаптацию, в результате которой
недостающая априорная информация восполняется статистикой,
получаемой в процессе наблюдения. Обработка статистики позволяет получить оценки элементов корреляционной или спектральной матрицы помехи.
При построении адаптивных систем важное значение приобретает предположение о доплеровской частоте обнаруживаемого сигнала. По использованию априорной информации о доплеровской частоте можно говорить о трех методах оптимизации,
53
с помощью которых максимизируется выходное отношение сигнал/помеха.
С помощью первого метода минимизируется чувствительность ЦФ СДЦ к эхо-сигналам помех, при этом доплеровская частота сигнала цели остается неизвестной.
Второй метод применяется тогда, когда доплеровский сдвиг
сигнала цели известен.
Третий метод основывается на развитии второго, когда
предполагается известным доплеровский сдвиг сигнала в пределах некоторой зоны. В этом случае для перекрытия доплеровско 2π 
го домена 0,  используется группа фильтров (каналов). В
 T 
этом случае система СДЦ по существу представляет собой МДФ.
Независимо от выбранного метода оптимизации адаптация системы СДЦ к помехам достигается за счет гибкой перестройки
ЧХ ЦФ на основе выборочных данных.
3.5.2. Показатели качества и критерии оптимальности.
Согласно теории статистических решений наилучшим критерием
оптимальности является критерий максимума апостериорной вероятности, однако при отсутствии априорных сведений можно
воспользоваться критерием максимума отношения правдоподобия. Установлено также, что этот критерий при гауссовых помехах полностью эквивалентен критерию максимума отношения
сигнал/помеха. Выходное отношение сигнал/помеха, нормированное ко входному, есть коэффициент улучшения. Из этого становится ясным, почему в качестве критерия оптимальности часто
используют критерий максимума коэффициента улучшения K y .
Применив матричную форму записи, представим K y в виде


Ar* M s A
K y  *
(3.27)
,
Ar M c A
где M s - корреляционная матрица сигнала; M c - корреляцион
ная матрица помехи; A  (a0 , a1 ,..., a N 1 ) - вектор весовых коэффициентов.
54
Индекс ( r ) обозначает транспонирование, а (* ) - комплексное сопряжение величину.


В формуле (3.27) числитель Ps  Ar* M s A - мощность сигна

ла на выходе, а знаменатель Pc  Ar* M c A - мощность помехи на
выходе.
Цель оптимизации – определение оптимального весового
вектора A для выбранного метода синтеза ЦФ СДЦ.
Наряду с критерием оптимальности на основе максимума
сигнал/помеха Уидроу разработал алгоритм по минимуму среднего квадрата ошибки. В настоящее время установлено, что эти
алгоритмы являются эквивалентными, сводятся к оптимальному
Винеровскому решению на основе введения собственных значений корреляционной матрицы помехи. Оптимальные коэффициенты ЦФ являются решением уравнения Винера:


(3.28)
M c A  μS * ,

где μ - произвольная константа; S  (s1 , s2 ,..., s N ) r - векторстолбец отсчетов сигнала цели.
Решением уравнения (3.28) является вектор


1 *
A  μM c S ,
что предусматривает комплексное сопряжение полезного
сигнала и вычисленеие обратной корреляционной матрицы помехи.
Оптимальное решение сигнал/помеха, обеспечивающее максимальную вероятность правильности обнаружения, равно


S r M c1S * .
3.5.3. Структурные схемы адаптивных систем СДЦ. По
наличию априорной информации о доплеровской частоте адаптивные системы СДЦ подразделяют на системы с «известной» и
«неизвестной» доплеровской частотой. По способу формирования весовых коэффициентов выделяют системы СДЦ с «открытым» (нерекурсивные ЦФ) и «замкнутым» (рекурсивные ЦФ)
контуром управления.
55
При известной доплеровской частоте стремление реализовать когерентную обработку приводит к МДФ, каждый канал которого может быть реализован по схеме рис 3.7, где ФВК – формирователь весовых коэффициентов.
Рис 3.7
В одноканальном варианте реализуется один канал на все
доплеровские частоты: адаптацией весовых коэффициентов достигают «нулей» (минимумов) в ЧХ ЦФ. Этот вариант показан на
рис. 3.8а, частный случай ЦФ первого порядка – рис. 3.8б.
Рис 3.8а
56
Рис 3.8б
На рис 3.7, 3.8 пунктиром изображена обратная связь – отличительная особенность систем СДЦ с замкнутым контуром
адаптации.
Структурная схема адаптивного МДФ, использующего
оценку спектра помех, приведена на рис 3.9. В этой системе весовые коэффициенты a ij , i  1,2,..., N ; j  1,2,..., M ( M  N ) выбираются в соответствии с алгоритмом ДПФ, а коэффициенты
ηk , k  1,2,..., M оцениваются в процессе адаптации.
Рис 3.9
Практическое применение находят МДФ с сокращенным
числом доплеровских каналов, в которых весовые комплексные
коэффициенты e
j
2π
T
 cos
2π
2π
nk  j sin nk в ДПФ заменяются
T
T
57
2π
nk . В этом случае
T
 2π 
наблюдается симметрия ЧХ каналов на интервале 0,  отно T 
сительно его середины. Симметрия сокращает вдвое интервал
воспроизводимых частот, что уменьшает количество арифметических операций и следовательно - аппаратурные затраты на реализацию.
На рис 3.10 приведены ЧХ МДФ полного (а) и упрощенного
(б) вариантов построения аппаратуры при N  8 . В упрощенном
варианте M  5 .
Типичные спектры пассивных помех и соответствующая им
оптимальная ЧХ адаптивного МДФ, выбранная согласно теории
согласованной фильтрации (см. п. 3.1.2), представлены соответственно на рис. 3.11а и 3.11б. На рис 3.11б пунктиром показана
ЧХ упрощенного варианта МДФ, построенного с использованием
принципа частотной симметрии.
действительными коэффициентами cos
Рис.3.10
58
Рис.3.11
4. ПОСТРОЕНИЕ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ СДЦ В УСЛОВИЯХ
КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТИ АЦП. РАНДОМИЗАЦИЯ
ПРОЦЕДУР ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ
4.1 Аналого-цифровое преобразование сигналов как процесс стохастического оценивания и квантования распределений
4.1.1 Построение цифровых фильтров в условиях конечной разрядности. При реализации ЦФ СДЦ приходится, наряду
с основной задачей нахождения алгоритмов, оптимальных с точки зрения того или иного критерия, решать задачи преобразования сигналов из аналоговой формы в цифровую и разрабатывать
методы уменьшения результирующих ошибок на выходе цифрового фильтра, обусловленных ошибками квантования и округлением результатов сложения и умножения. В предыдущих разделах в явном виде вопрос об ошибках преобразования входного
сигнала из аналоговой формы в цифровую не рассматривался.
Погрешность возникает в АЦП при квантовании сигнала на конечное, ограниченное число уровней, т.е. отсчёты сигнала «грубыми отсчетами».
Анализ ЦФ и цифровых устройств обработки сигналов
необходимо проводить с учетом ошибок квантования сигналов,
59
ошибок округления результатов промежуточных вычислений и
конечной длины слов для значений его весовых коэффициентов.
Сложность построения ЦФ СДЦ существенно зависит от числа разрядов L , а следовательно, от числа
уровней квантования M  2 L АЦП. При обнаружении сигналов в
зонах шума можно использовать небольшое число уровней квантования. Для предельного случая бинарного квантования энергетические потери при этом составляют 1-2 дБ [2]. При квантовании фазы такого порядка потери получаются при 4-8 уровнях
квантования [2].
При обнаружении сигналов в зонах пассивных помех требуется значительно большее число уровней
квантования - порядка 103…104 и это обстоятельство необходимо учитывать.
Учитывая п.п. 1.4.3, 3.2.3 настоящего пособия можно сказать, что «удельная цена» прироста эффективности
функционирования системы СДЦ (по критерию максимума КУ и
КП) может достигать 6 дБ на разряд и это существенно.
Эквивалентный (приведённый ко входу)
прирост ΔL разрядности L АЦП и соответственно, числа уровней
квантования, поэтому был бы желателен.
Относительная величина ΔL / L определит
степень сокращения аппаратурных затрат по сравнению с многоразрядной обработкой. В целом обработку желательно сделать
малоразрядной (малоуровневой), но иметь результирующую эффективность (по КУ, КП) и к системам с последовательными интерфейсами, где величина ΔL / L определит резерв уменьшения
временных затрат на реализацию соответствующих алгоритмов
обработки на аппаратурном, либо топологическом уровнях.
Сокращение разрядности L АЦП и соответственно числа
уровней квантования может быть достигнуто, как это будет показано ниже, применением рандомизированных процедур обработки, которые более подробно будут исследованы ниже.
4.1.2 Способы квантования сигнала по уровню. Ранее мы
рассматривали дискретный сигнал xn  x(t n ) , имея в виду пред-
60
ставление непрерывного сигнала x(t ) в дискретном времени
t n  nT . В цифровых системах выборочные значения сигнала xn
квантуются по уровню. Замена произвольных для каждого момента времени t n значений xn некоторыми фиксированными по
амплитуде значениями xn* , представленными числами X n , осуществляет АЦП.
При использовании равномерной сетки квантования по
уровню xn*  X n Δ , где Δ – шаг (дискрет) квантования. Значения
xn* в общем случае отличаются от xn , в результате имеем ошибку
квантования Δ xn  xn  xn* . Величину Δ xn обычно называют шу-
мом квантования.
Существуют по меньшей мере четыре способа квантования
сигнала по уровню, отличающихся между собой правилом установления соответствия между xn и x *n . Амплитудные характеристики и ошибки квантования для различных способов квантования по уровню даны, например, в работе автора [1]: это способы
округления – «до ближайшего целого», «до нижнего целого», «до
верхнего целого», «до нижнего целого по модулю». Ниже также
будет рассмотрен способ бинарно-знакового квантования на основе характеристики «идеального симметрического ограничителя», который можно считать способом аналого-цифрового преобразования для «однобитного» случая, без «мертвой зоны» («зоны
нечувствительности»).
4.1.3 Квантование сигналов по уровню как процесс квантования распределений. В связи с задачей поиска алгоритмов
позволяющих найти резерв прироста ΔL эквивалентной разрядности L АЦП, прежде взглянем на процесс аналого-цифрового преобразования как на процесс квантования распределений [4].
Предположим, что выборочные значения сигнала x n имеют
распределение, описываемое характеристической функцией

W (Ω )  M e
 jΩxn
  ωxn e jΩx dxn ,

n

(4.1)
61
Выражение (4.1) по форме аналогично преобразованию
Фурье, записанному для круговой частоты Ω . В ряде случаев
функцию W (Ω) можно ограничить некоторой частотой
Ω max  2πFmax и считать распределение ω( xn ) функцией с ограниченным в полосе 0, Fmax  спектром.
Формально, как предложено в [4], по теореме отсчетов такую функцию можно заменить последовательностью равноотстоящих значений, взятых через интервалы
Δ
1
.
2 Fmax
Рассматривая в качестве функции, подлежащей квантованию, распределение ω( xn ) , а не сигнал xn , мы, тем самым, ограничиваемся восстановлением моментов распределения исходного
сигнала по квантовым данным, а не ставим задачу восстановления самого сигнала. С этой точки зрения достаточным может
оказаться «грубое» (вплоть до двоичного) квантование сигнала
по уровню в тех случаях, когда не ставится задача воспроизведения по квантованным данным исходного сигнала x n , а необходимо решить задачу обнаружения в принимаемой смеси xn полезного сигнала s n , либо обеспечить максимум КУ или КП, определяемые через восстанавливаемые моменты второго порядка – соответствующие мощности сигнала и помехи.
Заметим также, что для конкретных условий квантования
можно установить вполне конкретные соответствия между моментами распределения xn и xn* . Например, для способа округления «до ближайшего целого», если мощность шума σ 2  Δ2 :
M1xn   M1 xn* ;
(4.2)

Δ2
2
2 *
M1xn  M1 xn 
.
12
(4.3)
Соотношения подобного рода называются поправками
Шеппарда [4], а формула (4.3) позволяет учесть шум квантования.
Если условие σ 2  Δ2 не выполняется, соотношения (4.2) и
(4.3) становятся приближенными, возникают погрешности в
62
квантовании распределений. Далее мы покажем, что в таких ситуациях за счет рандомизации можно искусственно создать условия, при которых можно установить точное соответствие между
моментами распределения xn и xn* .
4.1.4 Аналого-цифровое преобразование как процесс стохастического оценивания. Представляет представлять интерес
выявления соотношений между интервалом квантования  АЦП,
мощностью шума (помехи) и статистическими характеристиками
шумового рандомизирующего напряжения ς . На основе теории
статистических оценок получим формулы для среднеквадратических значений уровня шумов квантования в зависимости от статистических характеристик компонентов вектора шумового
напряжения смещения и числа N совместно обрабатываемых отсчетов. При анализе предположим, что за время обработки изменением измеряемого параметра можно пренебречь. Инструментальную погрешность будем уменьшать за счет рандомизированной обработки, так как простое усреднение грубых отсчетов с
большим элементом дискретности (квантом)  по серии N импульсов на приводит к увеличению точности преобразования, поскольку при малом изменении измеряемого параметра в пределах
серии N импульсов и малом уровне шумов (σ  Δ) ошибки отдельных отсчетов практически имеют одинаковую величину и
знак и, поэтому, также накапливаются.
Разрушить жесткую числовую структуру цифрового преобразования и создать условия, при которых ошибки (шумы) квантования отдельных слагаемых будут иметь разные знаки и при
усреднении компенсировать друг друга, позволяют рандомизированные процедуры (алгоритмы) преобразования, использующие в
отличие от детерминированных случайных эксперимент (случайное смещение порогов, «подмешивание» случайного компонента
во входной сигнал и т. д.). В дальнейшем процедуры такого рода
будем назвать рандомизацией.
В задачах аналого-цифрового преобразования, как и в задачах измерения, оказывается возможным с позиции теории стати-
63
стических оценок определить основные операции, выполняемые
некоторым идеализированным устройством преобразования,
имеющим не своем входе дискретизатор в виде рандомизированного АЦП. Основной операцией, осуществляемой таким устройством, является формирование функции правдоподобия


LN ( x)  W ( x *N / x) измеряемого параметра x , где x *N  ( x1* , x2* ,..., x*N ) 
N -мерная вектор-выборка отсчетов xi* , i  1,2,..., N с выхода АЦП.
При отсутствии априорной информации о преобразуемом
параметре часто используют оценку максимального правдоподобия, являющейся решением уравнения правдоподобия
 LN ( x)
 0 x  x* .
МП
x
(4.4)
Для отыскания оценки максимального правдоподобия предположим, что значение измеряющего параметра x наблюдается в


шуме, имеющем распределение WN (η N ) где ηN  (η1,η 2 ,...,ηN ) ,
Δφ Δφ
ηi   ,  , Δφi  Δφ ; Δ - интервал флюктуаций шума. Функ 2 2 



ция правдоподобия LN (x) аддитивной смеси y N  η N  x N вектора


шума η N и вектора-константы x N  ( x1 , x2 ,..., x N ) , для которого
x1  x2  ...  x N  x  const , определим как


LN ( x)  WN ( y N  x N )
(4.5)
На рис. 4.1 представлено одно сечение функции правдопо-
x
добия (4.5), где N  E   ; E
 - функция целой части 
 , из котоΔ 
Δ
Δ
 x  N 'Δ  на
2
2
'
'
выходе АЦП получим цифровой отсчет N i  N  1  μi . Здесь
рого видно, что в i -м преобразовании при N 'Δ 
Δ

x
2

μi  1, с вероятност ью pi   W ( yi  x )dyi ,
(4.6)
NΔ

 0, с вероятност ью qi  1  pi .
При связи μi с x в виде соотношения округления условная
вероятность получения отсчета xn*  Ni Δ
64
P( Ni Δ / x)  pi μi qi1 μi .
Для независимых флюктуаций шума функция правдоподо

бия LN ( x)  W ( x N / x)  P( N N / x) может быть найдена в соответствии с теоремой о повторении опытов [6].
Рис. 4.1
Для получения эффекта рандомизации во входной сигнал
замешаем
вектор
специальной
случайной
добавки

ζ N  (ζ 1 , ζ 2 ,..., ζ N ) , каждый компонент которого распределен по
Δφ  Δφ Δ  Δφ 
,
, дополняющим
2
2


интервал флуктуаций шума Δφ до  . В этом случае
закону W (ζ i ) на интервале ζ i  
x
pi 
Δ
2
 W (υi  x)dυi ,
NΔ
где υi  yi  ζ i - i -й компонент суммарного вектора случайного

воздействия υ N  (υ1, υ2 ,...,υ N ) ; W (υi ) - закон распределения υi ,
определяемый как свертка W ( yi ) и W ( xi ) . Все дальнейшие результаты получим для равномерного распределения W (υi ) , которое не может быть найдено как результат свертки любых невы-
65
рожденных распределений W ( yi ) и W (ζ i ) , однако при отсутствии флюктуаций, когда Δφ  0 , такое возможно.

Вектор  N в общем виде - это коррелированная выборка, в
связи с чем представляет особый интерес исследование качества
оценок максимального правдоподобия при различных статистических связях отсчетов xi* , i  1,2,..., N между собой. В этом случае
функция правдоподобия LN (x) определяется в соответствии с
общей теоремой повторения зависимых опытов. Независимые
опыты рассматриваются
как частный случай.

Если вектор  N представляет собой выборку с независимыми компонентами, такую, что для заданного распределения

W (υ N )
W ( υ1 )  W ( υ2 )  ...  W ( υN )  W ( υ) ;
x
p1  p 2  ...  p N  p 
Δ
2
 W (υ  x) ,
N 'Δ
то уравнение правдоподобия (4.4) с учетом (4.6) преобразуется к
виду
x
N
Δ
2
 μi  N  W (υ  x)dυ  0 x  x*МП
i 1
NΔ
Отсюда, для W (υ) 
1
Δ
Δ

, υ   x  , x   получим оценку макΔ
2
2

симального правдоподобия
 N

  μi


1
x*МП   i 1  N  Δ ,
2
 N




для которой среднеквадратическая ошибка


σ x   M ( x*МП  x) 2  Δ
pq
,
N
(4.7)
66
где M 
 -математическое ожидание от 
 , p
Δx
,
Δ
 x  Δ 2
Δ x  R
 - функция дробной доли от 
 .
Δ , R
 Δ 


Из (4.7) видно, что если η N  ξ N  0 , т. е. рандомизации ис-
кусственная и естественная отсутствуют, максимальная ошибка
преобразования равна 

Δ
.
2
Если вектор ξ N представляет собой коррелированную выборку, такую, что преобразования на отдельных отсчетах зависимы и связаны простой однородной цепью Маркова [6], причем
вероятность события μi 1  1 равна α при μi  1 и β при μi  0 , т.
е. задана двумерная матрица переходных вероятностей
πij 
α 1 α
β 1 β
.
Использование этой модели позволило автору настоящего
пособия получить выражение для среднего квадрата ошибки, которое можно представить в виде

 
    2
M x*МП  x 2  D x*М . П .  M x*МП  p 
Δ2
N
2
PQ(N  2 A)  (Q  p)( p  P)(D  2B)  ( p  P)2 (E  2C)
2


1 δ N 1
(4.8)
 Δ  P  ( p  P)
 p .
1

δ
N


β
Здесь D
- финальная вероятность
 - дисперсия 
 ; P
1 δ

δ δ N  δ

(
N

1
)
цепи Маркова; Q 1  P ; A 

;
δ  1  δ  1

2
B
N

δ δ 2 N 1  δ N  δ N 1  1
1 
N δ δ
C

(
N

1
)
δ

;
;


2
δ 1
δ  1 
δ  1 
δ 1
δ 2 N 1
δ N 1
;
;     .
D
E
2
δ 1
δ 1
67
Нетрудно убедиться, что рандомизация по Маркову является обобщением рандомизации по Бернулли, для которой α  β  p ,
а испытания независимы.
Из (4.8) следует, что в точке p  P


 pq 2δ ( N  1) pq on 
M ( x*МП  x) 2  Δ2 


,
2
2
N
N
(
1

δ
)
N


(4.9)
где on - некоторая величина, остающаяся ограниченной при возрастании N . Тогда для достаточно больших N  1 и δ  1 среднеквадратическая ошибка
pq
N  1 Δ pq
σ x   M ( xМП  x )2  Δ
(1 
)
.
(4.10)
N
N
N
Из (4.10) видно, что при зависимых по Маркову преобразованиях x среднеквадратическая ошибка в точке p  P уменьшается в зависимости от N как 1 N вместо 1 N для случая независимых преобразований. В других точках p  P скорость уменьшения среднеквадратической ошибки ниже.
Полученный результата весьма условен, так как   1
означает, что α  0 , а β  1 , т. е. марковская последовательность
μi  вырождается в неслучайную регулярную последовательность

μi  0,1, 0,1,... ,

которая дает оценку
N μ
i
x*  Δ
i 1 N

такую, что
lim x*  x , приближающуюся к ней как гармонический ряд толь-
n 
Δ
и N  2.
2
Для произвольных α и β из (4.9) вытекает условие получе-
ко в точке x 
ния выигрыша в точности за счет отрицательного слагаемого
2δ ( N  1) pq
2
N (1  δ )
α β.
при
δ  0 , означающего выполнение неравенства
Условия α  β и p  P ограничивают класс физически реализуемых марковских последовательностей, обеспечивающих
68
скорость уменьшения среднеквадратического уровня шума квантования в зависимости от N в пределах от 1 N до 1 N .
Выявим далее условия, которые необходимо наложить на
корреляционные связи соседних отсчетов xi* и xi*1 с целью получения дополнительного (по отношению к случаю независимых
испытаний) сглаживания шума квантования, для чего представим
выражение (4.9) в форме:
 pq 1  δ

(4.11)
M ( x*МП  x )2  Δ2 
 on  .
N
1

δ


Из (4.11) видно, что для уменьшения шума квантования

необходимо, чтобы

1 δ
 1 , что достигается при δ  α  β  0 .
1 δ
Покажем, что при выполнении этого условия коэффициент
взаимной корреляции ρi (i 1) отсчетов xi* и xi*1 должен быть отрицательным.
Прежде запишем выражение для коэффициента корреляции
ρi (i 1) отсчетов xi* и xi*1 , используя определение:
ρi,i 1 
M μi μi 1 M μi M μi 1
 Dμi Dμi 1
(4.12)
M μi 1  pi 1 ,
Подставим M μi μi 1  pi α ,
M  i   pi ,
Dμi 1  pi 1qi 1 и учитывая, что pi 1  pi α  qi β ,
Dμi   pi qi ,
представим (1.19) в виде
ρi,i 1 
pi qi (α  β )
.
pi qi ( pi α  qi β )(1  pi α  qi β )
(4.13)
Из (4.13) видно, что при α  β  0 имеем ρi,i 1  0 , что подтверждает высказанное предположение о необходимости использования
отрицательно-коррелированных компонентов в векторе

шума ξ N .
4.2 Построение цифровых режекторных фильтров и когерентных накопителей
69
4.2.1 Уменьшение числа уровней квантования в цифровых
режекторных фильтрах и когерентных накопителях. Среди
большого многообразия известных способов обработки наибольшее распространение получили системы ПВ-обработки типа «режекторный фильтр – когерентный накопитель» (РФ – КН). При
большой разрядности АЦП ( L  8 ) указанный способ является
способом оптимальной согласованной фильтрации сигналов на
фоне коррелированных помех, осуществляющим «обеление» пассивных помех в РФ и накопление сигналов в КН. Одной из проблем, которая возникает перед разработчиками устройств обработки, реализующих вышеупомянутый алгоритм, является отсутствие
соотношений, оценивающих эффективность выделения полезных
сигналов при квантовании по уровню. Идея исследуемого метода
состоит во введении на вход АЦП шумового напряжения смещения, рандомизирующего процесс квантования. В результате, квантование входного сигнала осуществляется с помощью случайной
шкалы.
В самом общем случае необходимо оценить потенциальные
(с учетом собственного шума приемника) возможности подавления пассивных помех в системе обработки, реализующих алгоритмы ПВ-фильтрации на основе стохастического АЦП с малым
числом разрядов, поскольку увеличение разрядности квантования
в дальнейшем обеспечивается за счет накопления.
Алгоритм фильтрации РФ – КН будет конкретизирован следующим образом: в качестве РФ применим нерекурсивный
фильтр r -го порядка, а в качестве КН – алгоритм дискретного
преобразования Фурье (ДПФ) размерностью N . Необходимо
также выявить основные соотношения между шагом квантования
2
АЦП  , мощностью шума σ 2 , мощностью помехи σ П
и статистическими характеристиками
вектора шумового рандомизиру
ющего напряжения ξ r  N в зависимости от ПВ-распределения
помех.
Как и в задаче цифрового измерения дальности, повидимому, при заданной мощности помехи σ 2 П закон распреде2
ления ω(ξ r  N ) должен зависеть от мощностей σ 2 и σ П
и шага
70
дискретизации  . Ниже будет показано, что линеаризация амплитудной характеристики АЦП может быть достигнута за счет
рандомизированного квантования, что достигается совместным
действием
шума приемника и шумового напряжения смещения

ξ r  N , причем эффект от рандомизации ожидается тем выше, чем

больше отношение между смещением ξ r  N и шумом приемни
ка. Сказанное относится к случаю использования векторов ξ r  N

с коррелированными элементами ξ i , i  1,2,...,r  N .
Особое внимание уделим исследованию наиболее важного
для практики случая L  1, соответствующего квантованию сигнала на два уровня. Без применения рандомизации алгоритмы
фильтрации РФ – КН для указанного случая оказываются практически непригодными. При рандомизации появляется возможность получения удовлетворительного качества подавления помех за счет увеличения порядка r РФ и числа N обрабатываемых
импульсов в КН.
Исследованиям возможностей цифровых методов выделения сигналов на фоне помех посвящено немало работ, появлению
которых в значительной степени способствовало интенсивное
развитие элементной базы дискретной микроэлектроники. Преимущества цифровой обработки по сравнению с аналоговой хорошо известны: они связаны с точностью и воспроизводимостью
характеристик, возможностью перекрытия большого динамического диапазона входных воздействий.
Как уже отмечалось, в результате преднамеренного введения случайностей в процедуру квантования (случайного смещения порогов, добавления случайной компоненты во входной сигнал и т.п.) возможно уменьшение требуемого числа уровней
квантования. Рассмотрим процедуру цифровой когерентной
фильтрации применительно к задаче СДЦ [1] . Эта задача легко
обобщается на ПВ-обработку. В этом случае используются и
временные и пространственные отсчёты, полученные путём приёма сигналов из М ( М  N ) точек пространства.
71
Оптимальная обработка пачки когерентных радиоимпульсов
на фоне коррелированных помех заключается в режекции помех
обеляющим фильтром и последующем когерентном накоплении
сигнала. На рис. 4.2 приведена структурная схема цифровой системы когерентной фильтрации, охватывающая широкий класс
задач обработки и состоящая из фазового детектора ФД, аналогоцифрового преобразователя АЦП, режекторного обеляющего
фильтра РФ, многоканального когерентного накопителя КН, схемы квадратичного суммирования КС и объединения (СО) каналов доплеровской селекции СО обнаружителя О. Объектом цифровой обработки в этой схеме служит поступающее с выхода
приемника колебание x , представляющее собой сумму сигнала S
и помехи C . Вектор S вращяется относительно (практически неподвижного) вектора помехи C с частотой доплера f α  2Vr α ,
где V r - радиальная скорость движения цели, λ – длина волны.
С
fг
Рис. 4.2
На рис 4.2 f Г - частота когерентного гетеродина, С – порога
обнаружения.
Входными воздействиями для АЦП при обычной (детерминированной) обработке являются квадратурные составляющие xc
и xs - соответственно реальная (косинусная) и мнимая (синусная)
части комплексного вектора x (здесь индексы « c » и « s » означают косинусную и синусную составляющие входного сигнала).
Отличительная особенность схемы рандомизированной обработки – наличие генератора рандомизирующей случайной добавки
 (ГСД), предназначенного для выработки случайной добавки ξ r  N . Каждый компонент добавки не вносит среднестатистического смещения, т.к. распределен равномерно на интервале
72
0, Δ или  ,  и «подмешивается» к сигналу до АЦП. В
 2 2
Δ
Δ
первом случаи используется округление по способу 2, а во втором случае – округление по способу 1.
Существуют другие способы рандомизации процедуры обработки, когда рандомизирующее напряжение больше кванта Δ,
но оно учитывается в дальнейшей обработке.
4.2.2 Анализ коэффициента улучшения в схеме «РФ-КН»
с рандомизацией аналого-цифрового преобразования. Схему
обработки конкретизируем следующим образом: в качестве обеляющего фильтра используем r -кратный череспериодный компенсатор (ЧПК), а в качестве когерентного накопителя – устройство, реализующее алгоритм N - точечного дискретного преобразования Фурье (ДПФ):
(4.14)
z  f c2  f s2 ,
f (k )  f c  jf s 
N 1

i 0
xi e  jiα k ,
(4.15)
где αk  2πk / N - межпериодный набег фазы сигнала от цели; N число анализируемых импульсов в пачке и одновременно (для
ДПФ) число доплеровских (частотных) каналов; k  0,1,2,..., N  1 номер доплеровского канала; xi РФ  xci  jx si - временные отсчеты сигнала на выходе РФ.
В качестве показателя эффективности функционирования
системы рандомизированной когерентной фильтрации используем коэффициент улучшения
J  rвых / rвх  К П К S ,
(4.16)
где rвых  PS вых / РC вых , rвх  PS вх / РC вх - отношения мощностей полезного сигнала к мощности пассивных помех на выходе и входе соответственно; K П  PC вх / PC вых - коэффициент подавления помех; K S  PS вых / PS вх - коэффициент передачи полезного сигнала цели.
73
Вначале проанализируем прохождение пассивной помехи
через стохастический фильтр и когерентный накопитель. На рис.
4.3 приведена каноническая схема стохастического РФ r -го порядка, которая для весовых коэффициентов
ai  (1)i Cri (i  0,1,2,...,r ) ,
где Cri - число сочетаний из r по i , тождественная схеме r кратного ЧПК.
x
y
Рис. 4.3
При детерминированном квантовании текущий цифровой
отсчет X (в каком-либо из квадратурных каналов) связан с уровнем C компенсируемой помехи соотношением (рис. 4.4, ξ  0) :
C  XΔ  Δ C ,
где X  EC / Δ - функция целой части отношения C / Δ ;
Δ C  RC / Δ - дробная доля отношения C / Δ .
При рандомизированном квантовании (   0,  ) на выходе
АЦП вырабатываются цифровые отсчеты X  μi , i  1,2,..., где
1, с вероятностью p  Δ C / Δ, при ξ  Δ  Δ C ;
μi  
 0, с вероятностью q  1  p, при ξ  Δ  Δ C .
Здесь шумовое рандомизирующее напряжение в среднем
вносит смещение на Δ/2, однако способ округления «до нижнего
целого» компенсирует это смещение.
Используя принятые обозначения, мощность помехи PС на
выходе РФ представим в виде:
74
2
 r

C

Δ


C  μ  ,
PС  M Δ  (1) i Cri 
i  
Δ

 


 i  0

(4.17)
где M 
 - оператор математического ожидания от 
 .
Рис. 4.4
Принимая во внимание, что при независимых испытаниях
M μi   p , M μ 2 i  p 2 , M μi μ j   M μi M μ j   p 2 , получим
 
r
PС  Δ pq  (Cri ) 2  PСО .
2
i 0
(4.18)
Нескомпенсированные остатки пассивных помех в блоке
ДПФ подвергаются преобразованиям (4.15) и (4.14). Если предположить, что начальная фаза помехи известна (при этом достаточно рассмотреть один квадратурный канал), выражение для
мощности помехи на выходе N -точечного блока ДПФ в доплеровском канале, например, с номером N  N / 2 ( N - четное), можно представить так:
75
2
 N r
 


C

Δ




C μ
PС вых  M Δ    (1) i Cri 
   ,
j

i

 Δ
  
 j 1 i 1


(4.19)
поскольку для этого канала набег фазы настроенного на
«оптимальную скорость» αk  π , sin jπ  0 , cos jπ  (1) j .
Без нарушения общности для этого же частотного канала
выражение (4.9) с учетом (4.8) преобразуем к виду
r
PС вых  Δ Npq  (C ri ) 2  NPСО .
2
i 0
Учитывая далее, что максимальное значение помехи
C  Δ2 L 1 , а также то, что амплитуда сигнала от цели, летящей с
«оптимальной» скоростью (здесь α k  π ), после прохождения через РФ и КН увеличивается в 2 r N раз, целесообразно степень подавления помех для рандомизированной обработки охарактеризовать нормированным коэффициентом подавления помехи
K П .Н .Р. 
Δ 2 2 2( L 1) (2 r N ) 2
PСО
N

2 2( L 1) 2 2r N
r
.
(4.20)
pq  (C ri ) 2
i 0
Из выражения (4.20) видно, что уровни пассивных помех,
лежащие на линиях раздела уровней квантования (для них p  0
или p  1), подавляются полностью (формируются «узлы»).
Минимальное значение коэффициента подавления достигается для помех, лежащих посредине кванта  (для них p  q  1/ 2 )
(формируются «пучности»):
K П .Н .Р.М .  2
2 2r n
2L
r
 2 2L η .
(4.21)
 (Cri ) 2
i 0
При детерминированном квантовании полностью подавляются помехи, лежащие внутри кванта  , а помехи, лежащие на
его границах, подавляются в меньшей степени, так как уровень
нескомпенсированных остатков помехи на выходе РФ и КН может достигать величины N 2 r 1 Δ . В связи с этим значение нор-
76
мированного коэффициента подавления для детерминированной
обработки
Δ2 2 2( L1) (2 r N ) 2
K П .Н . Д .М . 
2 2(r 1) 2
N 2
Δ
 2 2L
(4.22)
Покажем далее, что в выражении (4.21) коэффициент η  1 ,
т.е. рандомизированная обработка имеет преимущества перед детерминированной обработкой. Действительно, принимая во вниr
мание, что ( 
i 0
Cri )2
η

2
r

i 0
2r
r
(Cri )2 ,
N
 (Cri ) 2
i 0

а
r
 Cri  2 r , получаем
i 0
2
r
2r
(  Cri ) 2

2 2r N
2
2r
 N  1.
i 0
Анализ выражения (4.11) показывает, что степень подавления коррелированных помех в случае рандомизированной обработки определяется не только разрядностью L АЦП, но и порядком r режекторного фильтра, а также числом N анализируемых
отсчетов в блоке ДПФ. Выбирая соответствующим образом параметры N и r , можно существенно сократить число уровней
квантования M  2 L для достижения требуемого подавления. При
детерминированной обработке, как это видно из (4.20), степень
подавления определяется разрядностью L АЦП, при этом удельное подавление в расчете на один двоичный разряд не превышает
6дБ.
Проанализируем далее ситуацию обнаружения слабых сигналов. Нелинейность ступенчатой амплитудной характеристики
приводит к тому, что если амплитуда полезного сигнала
S  Qx / ΔΔ , где x  C  S , Qx / Δ - функция расстояния до ближайшего целого x / Δ , то за счет нелинейности типа «зона нечувствительности» такая цель при обработке теряется. Рандомизация
обработки позволяет линеаризовать указанную нелинейность и,
таким образом, обнаружить сигнал от цели, находящейся внутри
кванта АЦП. Для цели, летящей с «оптимальной» скоростью, на
выходе АЦП будут вырабатываться отсчеты
77
X i  μ xi 
xi  Δ xi
x 
 μ xi  E  i   μ xi ,
Δ 
Δ
x
где xi  C  (1)i Si , Δ xi  R  i Δ , i  1,2,...;
Δ 

 xi 
1 с вероятностью p xi  R   ;
μ xi  
Δ 
 0 с вероятностью q x  1  p x .
i
i

При коррелированной помехе
p x1  p x3  p x5  ...  R(C  S ) / Δ 
p x2  p x4  p x6  ...  R(C  S ) / Δ 
p1  const ;
p2  const .
Мощность полезного сигнала на выходе устройства обработки «АЦП+N – точечное ДПФ» по Бреннану-Риду [5] определим как приращение мощности сигнала и помехи, вызываемое
полезным сигналом:
Ps вых  P(с  s ) вых  Pc вых 
2
2
 N
 N


x


C



 


 (4.23)
 
 M Δ   E  i   μ xi    1i    M Δ   E    μi    1i  .


 
 
 i 1  Δ 
 i 1  Δ 


После усреднения (4.23) по случайным величинам μ xi и μi
можно показать, что для N  2 k , k  1,2,3,..
p  p2 N
N  2

Ps вых  Δ2  B 2 N  BN ( p2  p1 )  1
 p1 p2  ( p12  p22 )
 npqΔ2

2
2
4 

N
x
где B   E  i (1)i .
i 1  Δ 
Анализ выражения (4.23) показывает, что при рандомизированой обработке мощность полезного сигнала, даже если он
находится внутри кванта  ( B  0 ), на выходе устройства обработки не равна нулю. Отсутствие «зоны нечувствительности» в
амплитудной характеристике устройства рандомизированной обработки объясняется эффектом «линеаризации нелинейности
АЦП».
78
Для получения линеаризованной характеристики АЦП
мощность сигнала на его выходе при EC / Δ  0 представим следующим образом:
(4.24)
Ps вых  P(c  s) вых  Pc вых  Δ2 B 2  Bp1  p1  pΔ2 ,
где B   E(Δ C  S ) / Δ.
На рис. 4.5 построены зависимости Ps вых от амплитуды сиг-


нала S при Δ C  0 (кривая 1) и  C   / 2 (кривая 3). На этом же
рисунке приведены соответствующие зависимости при детерминированной обработке (кривые 2 и 4). Линеаризация нелинейности типа «зоны нечувствительности» позволяет повысить обнаруживаемость слабых сигналов, амплитуда которых соизмерима
с квантом  АЦП.
Рис. 4.5
Если амплитуда полезного сигнала не слишком мала по
сравнению с  , то его мощность на выходе устройства рандомизированной обработки
(N 2r S )2
Ps вых 
 N 2 2 2r 1 S 2 .
2
2
Учитывая, что Ps вх  S / 2 , коэффициент усиления полезно-
го сигнала представим в виде
K s  Ps вых / Ps вх  N 2 2 2r .
(4.25)
Из полученных формул следует, что заданный коэффициент
улучшения рандомизированного фильтра СДЦ при соответствующем выборе параметров N и r РФ и КН может быть достигнут
79
при меньшем, чем при детерминированной обработке числе
уровней квантования во входном АЦП.
В качественном плане результаты проведенного анализа
справедливы для построения систем ПВ-обработки, где с помощью пространственного РФ формируются провалы в диаграмме
направленности ФАР радара, а КН типа ДПФ осуществляет когерентное накопление сигнала с k -ого углового направления. В то
же время фильтрация сигналов и помех по угловым направлениям имеет свои особенности, которые мы рассмотрим ниже.
4.3 Особенности цифровой фильтрации сигналов по направлению с использованием понятия пространственных частот
4.3.1 Введение понятия пространственных частот.
Очень важным параметром при пространственно-временной обработке сигналов является направление прихода сигналов – пеленг  или его угловые составляющие: α – азимут, β – угол места
(см. Рис. 4.6). Угловые соотношения направления прихода сигнала и плоскости апертуры антенны I, II, III, IV, где:1 – проекция
направления oo' на угломестную плоскость I и III; 2 – проекция
направления oо' на азимутальную плоскость II и IV.
Рис. 4.6
При обычной обработке сигналов с помощью одноканальной схемы независимо от положения точки приема сигналов в
80
пределах выделенной апертуры S на некотором объекте (например, самолете, спутнике) измерить пеленг (моноимпульсно) не
представляется возможным.
В случае, если количество точек приема M3, измерение пеленга может состояться. Для линейного варианта, при М=2, поскольку пространственная частота
Ω
2π
sin θ ,
λ
(4.26)
где  - длина волны, имеется соответствие между Ω и θ , которое
может быть однозначным.
Измерение пеленга может быть обеспечено правильным выd
бором отношения
и измерением разности фаз  прихода сигλ
налов в 1-ю и 2-ю точку приема (см. рис. 4.7):
Δφ 
2π
d sin θ.
λ
(4.27)
Рис.4.7
~ - результат измерения, то оценка ~ пеленга  легко
Если 
может быть получена из формулы (4.27):
~
 Δφλ 
~
.
θ  arcsin 
2
π
d


(4.28)
В случае, если задача измерения пеленга θ основывается на
~
результатах измерения Ω
пространственной частоты Ω (4.16), то
оценка пеленга
81
~
 Ωλ 
~
.
θ  arcsin 
2
π


(4.29)
При измерении пеленга по пачке могут быть привлечены
ресурсы «удлиняющейся (повторяющейся) серии» измерений. В
случае приема сигналов из М точек пространства с помощью
плоской фазированной антенной решетки (ФАР) возникает вопрос квантования пространства – «равномерного» размещения
точек приема в пределах апертуры S, что эквивалентно выбору
требуемого шага квантования d в плоском варианте (см. рис. 4.8).
В этом случае формула для оценки θ~α, β пеленга  по дан~ в отличие от (4.29) учитывает геометрию разным измерения Ω
мещения точек приема, шаг квантования пространства d и является двумерной, т.е. зависит от направления прихода сигнала в
~ ~ .
азимутальной ( α ) и угломестной ( β ) плоскостях. т.к. Ω
 Ωα, β
Рис. 4.8
~
Итак, измерение пространственных частот  , всегда связано с многоканальностью приема, но это не является единственным характерным признаком технологии, которая в [8] была
названа технологией DRFM-S (D – цифровая, R – радио, F – частотная, M – память, S – пространственных частот), полагая что
для задач РЭП может быть организована память пространствен-
82
ных частот, как это делается в обычной DRFM, где M – память
(запоминание) обычных («временны х»– Ю.Г.) радиочастот.
Таким образом, DRFM-S - цифровая память пространственных частот, несущих в себе информацию о пеленге  ( ,  ).
Технология DRFM-S может естественным образом включает
в себя в каждом канале приема известную технологию цифрового
запоминания обычных частот, т.е. DRFM.
В случае, если i-я пространственная компонента приема
сигналов xi(t), i0,M-1 подвергается временной дискретизации с
периодом T и далее совместно обрабатывается N отсчетов
(например используются временные окна размером NT), то на
выходе процессора обработки i-го канала имеем отсчеты xij,
j=0,1,2,…,N-1.
Если в обычных системах СДЦ используется положительная
коррекция временных отсчётов, позволяющая скомпенсировать
сигналы помех от неподвижных (местных предметов), либо медленно-движущихся (облаков дипольных отражателей) объектов,
то в системах СДЦ, построенных технологии DRFM-S, нужно
компенсировать активные помехи, т. к. они коррелированны по
пространству и за время наблюдения Т Н  NT практически излучаются из данного углового направления.
По аналогии с алгоримами ЧПК, соответствующим образом
подобранные знакопеременные весовые коэффициенты аi формируют провалы в ДН антенны в направлении на источники помехового излучения.
В результате совместной обработки сигналов i-го канала
может быть измерен спектр, а в общем случае (для случайных
сигналов) оценена их спектральная плотность мощности (СПМ)
Si ω (см. рис. 4.9).
83
Рис. 4.9
На Рис. 4.9 в качестве примера проиллюстрирован процесс
измерения СПМ Si ω для 2-х гармонических сигналов с использованием двух способов:
А. Применение стандартных алгоритмов типа ДПФ;
Б. Применение алгоритмов «сверхразрешения» [7].
Не вдаваясь в подробности качества разрешения сигналов
(способ Б лучше способа А) отметим, что инструментальные возможности совместной обработки N отсчетов, позволяют осуществить частотную фильтрацию с более высоким разрешением
по отношению к частоте дискретизации ωd 
2π
 2πf d .
Td
В результате обработки исходная полоса входного сигнала
F (поскольку при квадратурной обработке F  f d ) может быть
разбита на более мелкие частотные интервалы Δf ( Δf < ΔF )
(«соты», «домены», «фракталы», «юбки»). Если цифровое запоминание сигналов i-го канала осуществляется в полосе f , то
процедура DRFM в каждом i-м канале может стать многоканаль-
84
ной по частоте, поскольку всю полосу F необходимо перекрыть
множеством каналов k[0, K-1], где K – число частотных каналов (отметим известное обстоятельство, что в случае А, число каналов по частоте K равно размеру N «временного окна»).
Спектральное оценивание в i-х пространственных каналах в
случаях А и Б может осуществляться и по одноканальной схеме,
однако необходимость запоминания сигнала в полосе F зачастую приводит к аппаратурной или алгоритмической многоканальности. Чаще всего, это возникает тогда, когда необходимо
получить повышенную чувствительность приема сигналов, поскольку потенциальные возможности рассматриваемой системы
(системы «пространственно-временной» обработки DRFM-S)
обусловлены совместной обработкой M  N отсчетов, т.е. существенно выше по сравнению с однократным измерением поля
(N=1) в раскрыве антенны из одной точки (M=1).
Кроме того, «зауживание» полосы приема (запоминания)
сигналов и связанное с этим появление многоканальности (в общем случае как по частоте ω , так и по пеленгу θ α, β  ), способствует решению проблемы «группового» сигнала, когда каждый
отдельный сигнал в группе сигналов должен разрешаться (по
времени, частоте и направлению) с целью формирования адресного (по этим же признакам) ответа. В системах РЭБ параметры
сформированных ответных сигналов могут наделяться дополнительной модуляцией. В других радиотехнических системах (помеховая) модуляция параметров ответного сигнала не осуществляется.
Обобщая сказанное, можно отметить следующие ключевые
признаки технологии DRFM-S:
 пространственная многоканальность (М3) с целью получения сигналов, содержащих информацию о пеленге θα , β ;
 память обычных ω и пространственных Ω  Ω α, β частот
(получение когерентных цифровых копий сигнала) с целью
дальнейшей обработки;
 проведение спектрального анализа обычных частот  с целью:
85
а) селекции сигналов в полосе Δf  ΔF ;
б) разрешения группового сигнала;
~ и частот  отдельных сигнав) получения оценок 
лов в группе.
 проведение спектрального анализа пространственных частот
 с целью:
а) селекции сигналов в рабочем угловом секторе (телесном угле);
б) разрешения группового сигнала;
в) получения оценок θ~α, β угловых направлений θα , β
отдельных сигналов в группе.
 сохранение или модуляция параметров цифровых копий
сигналов;
 восстановление исходных пространственно-временных сигналов за счет выполнения процедуры типа «обратного преобразования Фурье».
Технология DRFM-S использует получение оценок
~
S (ω, Ωα, β ) спектральной плотности мощности S (ω, Ω α , β ) на ос ij,
нове полученных пространственно-временных отсчетов Χ
i[0,1,…,M-1], j[0,1,…,N-1]. Схема формирования пространственно-временной выборки показана на рис. 4.10.
Рис. 4.10
86
На основе полученных отсчетов  ij, должны быть сформи~
рованы оценки СПМ S (ω, Ωα , Ω β ) как трехмерная функция оце~ , ~ .
~, Ω
нок ω
Ω
α
β
Рассмотрим способы получения оценок СПМ на простей~
шем (одномерном ) варианте S (  ) и для случая, когда дискретизация времени t отсутствует. Прежде остановимся на взаимосвязи
входного сигнала x t  с его СПМ S (  ) (см. рис. 4.11,[7]):

S (ω) 
 R xx ( τ )e

R xx ( τ ) 

 jωτ
 S (ω)e
dτ
jωτ
dω
(4.30)
(4.30`)

Рис. 4.11
Допущения эргодичности и стационарности Винера и Хинчина позволили получить следующие способы оценок R xx (  ) и
S () на основе x ( t ) :
~
R xx ( τ )  lim
T
1 o
 x (t  τ ) x * (t )dt ,
To   2To
T
(4.31)
o
2

To


~
 1 

S (ω)  lim M 1 
x (t )e  jωt dt   ,

 
To  
 2To  To
 
(4.32)
87
где M 1
 - оператор математического ожидания, To – время
наблюдения (измерения).
~
~
Реальные эмпирические эквиваленты R xx τ  и S (ω) должны
учитывать дискретизацию времени t, пространства, частоты ω ,
наличие «окон» по времени и пространству.
На рис. 4.12 в качестве примера показан характерный вид
~
корреляционной функции Rxx m  в условиях дискретного времени и наличия «временного окна» размером N  и для корреляционной функции:
1 N  m 1
 xn  m x *n ,
N  m n 0
~
~
Rxx  m  Rxx m,
m  0, 1,..., N ; N   N
~
Rxx (m) 
Рис. 4.12
~
Как следует из рис. 4.11, для получения оценки S ( ω ) СПМ
сигнала x (t ) возможны 2 пути:
1) путь 3 и формула (4.32);
путь 2-1 и формулы (4.31), (4.30).
~
Само по себе получение оценок СПМ S (  ) (в общем случае
~
S (  ,   ,  )) не является конечной целью, а является лишь
средством решения задач DRFM-S.
Структурная схема обобщенного процессора, реализующего
технологию DRFM-S (входная часть) показана на рис. 4.13 (для
примера выбрано М=3).
88
Рис. 4.13
Обобщённая ПВ-обработка, представленная схемой рис.
4.13, позволяет строить системы СДЦ нового поколения
4.3.3 Наращивание апертуры окна пространственных
выборок. На рис. 4.13 взято М=3. При необходимости квантовать
пространство более детально, сохраняя минимальный шаг квантования равным d, можно предложить следующую схему наращивания каналов М (см. рис. 4.14). При М=3 (а) имеем треугольник, а при М=7 – гексагональная структура (б) с элементами в
центре и далее М=13 (в), 19 (г), 31 (д) и т. д. в направлении расширения поперечника апертуры S на сетке рис. 4.15. Следует заметить, что числа 3, 7, 13, 19, 31 являются простыми.
89
Рис. 4.14
Рис. 4.15
Структурная схема сигнального процессора DRFM-S для
М=7 приведена на рис. 4.16, где 7 выходов поступают на сигнальный процессор (СП) формирования цифровых копий
~
Φ ( ω, Ωα , Ω β ) для их последующего запоминания или обработки.
90
Рис. 4.16
Сечение парциальных диаграмм направленности по уровню
0,5 по мощности в азимутально-угломестной плоскости    для
2
d=
λ показана на рис. 4.17.
2
Рис. 4.17
2
Шаг квантования d 
λ для 7-элементной решетки рас2
смотренной на рис. 4.16, рис.4.17 обеспечивает угловой сектор
91
однозначности отчета по азимуту  и углу места  π / 4 . Для M>7
обеспечивается более детальное разрешение по угловым координатам ,  . Для обеспечения сектора однозначного отсчета   / 2
шаг решетки d выбирается равным  / 2 .
4.3.4 Некоторые обобщения. Рассмотренная технология
цифровой обработки и формирования сигналов, на основе радио
и пространственно-частотной памяти (DRFM-S) путем разбиения
пространственно-частотных интервалов однозначного отсчета
обычных и пространственных частот на более мелкие элементы
(«соты», «домены», «фракталы») позволяет получить очень важные преимущества для широкого класса радиотехнических систем, где направление приема (формирования) сигналов является
определяющим.
Главной особенностью технологии DRFM-S является ее
многоканальность, однако уже, при малом числе пространственных каналов М=3 (3-х элементная приемно-передающая ФАР)
обеспечивается «достаточность измерения» на плоскости «азимут
– угол места». Перспективы использования технологии DRFM-S
для ЛА нового поколения пока четко не определены, однако возможность наращивания апертуры выделенного окна S за счет использования обшивки ЛА по предложенному методу создает
предпосылки построения поверхностно-распределенной ФАР работающей на прием и передачу с учетом направления приема и
излучения сигналов. Малая размерность ПВ окон приводит к малоуровневому квантованию соответствующих ПВ апертур.
Применительно к задачам СДЦ появляется возможность режекции помеховых источников, затрудняющих фильтрацию сигналов полезных целей.
4.4 Особенности построения процессора ПВ-обработки сигналов, учитыающего частоту и направление приема сигналов
4.4.1 Постановка задачи. Возможность учета угловых
направлений приема и излучения сигналов в аппаратуре РТРРЭП рассматривалась в работе [8]. В этих работах разработана
92
технология цифрового запоминания пространственных частот
DRFM-S. В тоже время в этой работе не рассмотрены вопросы
выбора размеров M, N окна ПВ выборок, разрядности L АЦП и
вопросов технической реализации приемоизлучающих ФАР.
В целях уменьшения размеров «M x N» окна пространственных (М) и временных (N) выборок, а также выявления условий снижения требований к разрядности (L) АЦП и цифровых
фильтров, в настоящем подразделе анализируются способы первичной обработки сигналов, сохраняющие фильтрующие свойства и помехозащищенность системы в условиях решения задачи
учета угловых направлений приема и формирования сигналов.
4.4.2 Выбор размера М окна пространственных выборок.
В подразделе 4.3 рассматривались малоэлементные пассивные
ФАР с числом элементов М=3÷31 в зависимости от размера эквивалентной апертуры ФАР на сетке равнобедренных треугольников, начиная с М=3, когда измерение частоты азимута α и угла
места β возможно и (M  3) , когда система приобретает свойства
разрешения сигналов по угловым координатам азимута α и угла
места β.
Верхнее значение М как правило ограничивается массогабаритными и стоимостными параметрами, хотя увеличение М до
некоторого «оптимального» значения желательно по причине получения прироста эквивалентного энергопотенциала на 10lgМ, дБ
и увеличения разрешения по угловым параметрам в M ÷М раз.
Наибольший интерес для задач РТР-РЭП представляет случай М=3, т.к. уже в этом случае имеется возможность измерять
пеленг источников излучения и формировать адекватный, в том
числе адресный (по пеленгу) ответ в направлении этих источников. Предельное разрешение по угловым координатам α и β как
правило является величиной обратно-пропорциональной характерному размеру апертуры антенны, однако в ряде случаев (см.
[8]), возможно выявление эффекта «сверхразрешения». В практическом плане этот эффект может быть использован тогда, когда
отношение «сигнал/шум» больше 13 дБ.
93
4.4.3 Выбор размера N окна временных выборок. Размер N
«скользящего окна» ПВ-выборок с одной стороны дает реальный
прирост чувствительности системы на 10lgN, дБ, с другой – повышает разрешение на частоте в N раз, что является естественным результатом узкополосной фильтрации в каналах Фурьепроцессора, т.к. исходный интервал частотной дискретизации неопределен [0, fд], где fд =1/T – частота квантования временных
выборок (Т – период квантования), разбивается на более мелкие
частотные интервалы («фракталы», «соты», «домены», «юбки»)
размером 1/NT. Число N колеблется в пределах 2r, r=3÷10 в зависимости от решаемой задачи. При r=4 и fд=0,5 ГГц минимальная
длительность обрабатываемого импульса составляет 8 нс, а разрешение по частоте δf=(1/16)fд.
Использование рекурсивной цифровой фильтрации ценой
ухудшения переходных импульсных характеристик позволяет
получать лучшие результаты по параметрам прироста чувствительности и разрешения при меньших значениях N (по сравнению с обычными нерекурсивными фильтрами). Оптимальные
значения N (как в прочем и М ) в условиях ограничений по массогабаритным параметрам в общем случае выбираются с учетом
использования критерия «эффективность – стоимость».
4.4.4 Измерение пеленга θ(α, β). Пеленг θ(α,β) – направление прихода электромагнитного излучения, является функцией
азимута α и угла места β прихода волны.
Рассматривая структуру ПВ – процессора, пример которого
для случая М=3 был показан на рис. 4.13, отметим, что традиционные процедуры спектрального оценивания обычных ω=2πf или
2π
sinΘ( α, β ) частот, в форме диспространственных Ω α , β 
λ
кретного (Д) или быстрого (Б) преобразования Фурье (ПФ) по
существу осуществляют «согласованную» фильтрацию сигнала
на той частоте, на которой настроен соответствующий канал ПФ:
i  0, M  1 или j  0, N  1.
Это утверждение является почти тривиальным и обеспечивается формой записи Фурье – преобразований (интеграл (сум-
94
ма)) от произведения ПВ – выборок входного сигнала на комплексно-сопряженные отсчеты «веера» гармонических сигналов).
Строгое доказательство этого утверждения, учитывающие критерии комплексного сопряжения спектров и зеркальности импульсных характеристик ПВ-фильтров, имеется во множестве работ по
радиолокации, а также в [1].
Применительно к рассмотренному на рис. 4.16 примеру в
качестве модели была выбрана 7-элементная ФАР (один элемент
центральный, а 6 расположены на равном удалении от центра на
2
расстоянии шага решетки d 
λ . Угловое расстояние между
2
соседними элементами, расположенными по периметру относительно центра составляет 60o.
Комплексные отсчеты на выходах каналов БПФ обычной ω
частоты формируются согласно следующего выражения:
.
Ej 
M 1 .

i 0
.
a ij R i (φi ) ,
где i – номер элемента ФАР, iЄ[0, M-1];
j – номер частотного канала БПФ, jЄ[0, N-1];
.
R i =exp{-jφi(α, β)} – фазовый множитель;
φi=φi(α, β)=d(Ωαcosθi+Ωβsinθi) – пространственный угол i-го
канала, θi – угловой параметр i – го элемента в плоскости гексагональной ФАР;
d – размер шага пространственного квантования;
Ωα, Ωβ – пространственные частоты по азимуту и углу места:
2π
Ωα 
sin α ,
λ
2π
Ωβ 
sin β ,
λ
.
a ij – весовые коэффициенты пространственного фильтра, выбирается по критерию многоканальной многоэлементной согласованной фильтрации – анализа обычных ω и пространственных
Ωα и Ωβ частот.
95
.
Согласно этого критерия весовые коэффициенты a ij выбираются из соотношения:
.
a ij  Ri* α α j , β  β j
.
,
где α j и β j – фиксированные значения «угловой настройки» j –
го канала.
С целью изучения характеристик по пространственной избирательности, чувствительности, учета влияния шума приемника, аппаратурных неидентичностей каналов было произведено
моделирование на сигнальном и помеховом уровне, которое показало абсолютную эквивалентность математических моделей
действительным.
Избирательные свойства (селективность) центрального и
периферийных каналов были проиллюстрированы на рис. 4.17,
где показаны сечения по уровню 0,5 по мощности диаграмм
направленности отдельных пространственных каналов, из которых видно, что система изотропных приемников ФАР путем соответствующей обработки по алгоритму пространственного БПФ
приобрела направленные (избирательные) свойства.
Парциальная обработка смежных пространственных каналов может быть осуществлена по алгоритму суммарно – разностной обработки в широких (±45°) угловых секторах по α и β. Аналогичная обработка может быть осуществлена во временной области, где получаются аналогичные свойства частотной избирательности.
Указанные способы получения оценок пространственных и
обычных частот является частными случаями общего решения
задачи извлечения информации из оценок спектральной плотно.
сти мощности S [ω, Ω( α, β )] .
4.4.5 Выбор разрядности L АЦП. Известно, что увеличение
разрядности L квантования сигнала на входе на 1 разряд ( в т.ч.
квантование сигнала в квадратурах увеличивает динамический
диапазон обрабатываемых сигналов на 6 дБ. Таким образом, ква-
96
зилинейная обработка сигналов в диапазоне более 50 дБ возможна при условии L>8. Современный уровень цифровой техники
позволяет говорить об АЦП с разрядностью L = 8÷16, однако
сложность технической реализации таких АЦП определяется полосой обрабатываемого сигнала ΔF и частотой f0, на которой это
преобразование осуществляется. В случае, если ΔF или f0 >> 1
ГГц, реализация АЦП с разрядностью L=8÷16 зачастую проблематична. В этих ситуациях уместно говорить о возможном снижении разрядности L АЦП до некоторых приемлемых значений,
хотя лучше до значения L=1, что соответствует бинарнознаковому квантованию сигнала в квадратурах и полезно с точки
зрения придания аппаратуре обработки свойств непараметричности (робастности) и устойчивости к импульсным помехам. Следует отметить, что малоразрядное квантование в квадратурах сохраняет информацию о фазе (доплеровской частоте) и поэтому
может быть использовано в задачах РТР-РЭП, однако при этом
ухудшается «спектральная чистота» формируемого сигнала.
Снижение разрядности L АЦП до значения L=1 может быть
скомпенсировано путем увеличения N, а в обобщенном случае
квантования ПВ – выборок – и путем увеличения М. Таким образом, при решении данной частной задачи также целесообразно
говорить об использовании критерия «эффективностьстоимость», либо другого критерия эффективности в условиях
аппаратных ограничений, связанных с параметрами L, N, M.
4.4.6 Реализация антенных устройств. Реализация предложенного метода учета угловых направлений приема и излучения сигналов предполагает осуществление квантования пространства с помощью ФАР в которой шаг решетки d нормированный к длине волны  должен быть постоянным и равным
в секторе углов работы системы  2 (   4 – относительно
оси ФАР) и равен 1 2 в секторе – (  2 ) , соответственно. При
2
2
этом, важно учесть то обстоятельство, что коэффициент перекрытия рабочих частот от максимальной fmax до минимальной fmin составляет 3÷5 октав. Это означает то, что реализация основного
97
требования ( d   const ) в плоской антенне невозможно, т.к. широкополосные спиральные антенны имеют фиксированные координаты положения центров на плоскости, а желание изменения их
координат, в широкой полосе приводит к необходимости использования третей координаты. На рис. 4.18 приведен общий вид 7элементной ФАР (М=7) под радиопрозрачным укрытием, в которой сходимость (наклон) штырей объемных спиральных антенн к
центру фокальной оси ФАР обеспечивает инвариантность диаграммо-образования в условиях выше указанного перекрытия частот (на высоких частотах «работают» концы штыря, а на низких
– основания). Применительно к трехэлементной ФАР (М=3) имеем, известные структуры антенных устройств РТР носящих
название «морковок». Их количество должно быть большим, т.к.
для увеличения разрешающей способности системы по угловым
координатам необходимо увеличивать параметр М.
Рис. 4.18
На приведённом ранее рис. 4.18 приведен вид сбоку рассматриваемой ФАР с числом элементов М=7, обеспечивающий
коэффициент перекрытия частотного диапазона K f  3 .
4.4.7 Дискретизация пространства. Используя аналогию
дискретизации времени (пространства) при построении ЦФ нужно уметь квантовать пространственные частоты Ω α , Ω β , придавая свойства «сотовости» обработке по аналогии с процедурами
ДПФ (БПФ).
98
Обычная дискретизация по времени с интервалом T ( ν  0 )
из-за наложения спектров, приводит к его периодической структуре с доменом ωд 
2π
. Процедура ДПФ устраняет априорную
T
неопределенность по частоте, повышая разрешение в радиолокации (когда интервал наблюдения для обеспечения согласованной
фильтрации выбирается равным длительности сигнала) в N раз
(см. ЧХ каналов ДПФ [5]). Аналогия между квантованием обычных и пространственных частот отражена в Таблице 1, где САспектральный анализ. Вывод формул описан в частности в [6].
№
1
2
3
Таблица 1
СА с применением
пространственных
частот
Параметры,
Обычный СА
понятия, зависимости
Шаг квантоd
T
вания
2π
2π
Предельное
Δω 
ΔΩ 
(инструменdM
NT
тальное) частотное разрешение
Вид частотНомер частотного кана- Номер пространных характественно частотного
ла k  0, N  1
ристик отканала l  0, M  1
N ω
ω ( N 1)
sin
j
дельных ка2 e
2
x k (ω) 
налов
M Ω
ω
( M 1)
sin
x (ω), x (Ω)
где
2
ω  Δ ωT (ηω  k )
xl (Ω) 
sin
x ω (k ) 
N 1

n 0
 2π 
 j   nk
x n e  N 
k  0, N  1;
,
j Ω
2
sin Ω
2
где
4 Формула
прямого
ДПФ
2 e
Ω  Δ Ω d ( ηΩ  l )
 2π 
 j  il
M 1
x Ω (l ) 
x i e  M 
i

99
n  0, N  1 - временные l  0, M  1;
отсчеты.
i  0, M  1-
пространственные
отсчеты.
5 Формула обратного ДПФ x n  1
N 1

N k 0
 2π 
j   nk
x ω (k )e  N 
 2π 
.
j  il
1 M 1
xi 

x Ω (l )e  M 

M l 0
Здесь: N - число точек во времени и частоте;
M - число точек в пространстве и пространственной частоте;
ηω  0, N  - нормированная к Δω частота ω .
ηΩ  0, M  - нормированная к Δ Ω частота Ω .
Δω, ΔΩ - дискреты обычной ω и пространственной Ω частот.
4.4.8 Обобщение. Таким образом, учет угловых направлений приема и излучения сигналов в технологии DRFM-S предполагает наряду с общим решением вопроса оценки спектральной
плотности мощности СПМ ПВ-сигнала, решение ряда частных
задач, включая выбор размеров окна пространственно-временных
выборок « M  N », разрядности L АЦП, разработку алгоритмов обработки и формирования сигналов, обеспечивающих измерение
пеленга, а также реализацию антенных устройств (ФАР), осуществляющих квантование пространства в широкой полосе частот с постоянным по отношению к длине волны λ шагом квантования. Вертикальный размер ФАР, обеспечивающий диаграмообразрование антенны по углу места  увеличивает размерность
ПВ окон до трех.
Применительно к построению процессоров ПВ – обработки
сигналов для решения задач СДЦ таким образом открываются
новые возможности.
4.5 Стохастические обеляющие фильтры. Новая трактовка
метода приведения «небелого» шума к «белому»
100
4.5.1 Постановка задачи. Исследуем возможность построения системы СДЦ на основе цифровых фильтров со случайными
весовыми коэффициентами (ВК). Для обработки сигналов на фоне
коррелированных ПП с изменяющимися параметрами применяют
адаптивные системы СДЦ, построенные на основе цифровых режекторных фильтров (ЦРФ) с перестраиваемыми ВК. В условиях
априорной неопределенности ВК должны выбираться оптимальными, при этом степень оптимальности зависит не только от способа адаптации, но и в значительной степени от разрядности представления входных данных в АЦП и соответственно разрядности
ВК ЦРФ. В системах СДЦ с детерминированными параметрами
разрядность весовых коэффициентов может достигать значения
12..14, что в целом усложняет техническую реализацию ЦРФ.
В настоящем подразделе выявляются условия, при которых
снижаются требования к разрядности ВК ЦРФ на основе принципа «стохастического обеления». Кроме того, весьма важным является чисто теоретический вопрос: возможно ли сохранение
фильтрующих свойств ЦРФ в случае, если ВК является случайными. Указанный принцип рассматривается как обобщение известного метода приведения небелого шума к белому применительно к согласованной фильтрации в системе СДЦ со случайными параметрами.
4.5.2 Анализ корреляции выходного процесса. В первую
очередь проанализируем корреляцию выходного процесса при
согласованной и рассогласованной фильтрациях (рассматриваются различные комбинации индикаторных переменных Θ i и их
оценок Θ*i , отражающих ситуации «присутствия/отсутствия»
( Θ i  1 / 0 ) тех или иных помех).
Проанализируем коэффициент корреляции ρвых ( βT ) процесса на выходе нерекурсивного ЦРФ, для которого вход xn и
выход y n в моменты времени tn  nT связаны соотношением типа свертки:
101
yn 
r
 ai xn i ,
i 0

где ai - компоненты вектора ВК A  [ai ] ; r - порядок фильтра;
xn  i - отсчеты эхо-сигнала xn , задержанные на время iT ; T - период повторения зондирующих импульсов (период временного
квантования).
Если на вход поступает помеха с нулевым средним, мощностью σ п2 и корреляционной матрицей R  [ ρij ] , где ρij - коэффициенты корреляции отсчетов i и j ( j  0, r ), на выходе ЦРФ имеем:
ρвых ( βT ) 

M y n y n β
M
r
1/ 2
 

 
y n2 M 1 / 2 y n2 β

r
  a i a j ρi , j  β

i 0 j 0
1/ 2
 r r


ai a j ρij 




 i 0 j 0

(4.33)
1/ 2
 r r


a i a j ρi  β , j  β 




 i 0 j 0

где M
 - операция математического ожидания от 
 .
Из соотношения (4.33) следует, что обеление сильно коррелированной помехи (для нее ρij  1 ) может быть достигнуто, если
весовые коэффициенты являются знакопеременными, причем
r
 ai
 0.
i 0
Выделяя диагональ i  j  β , перепишем выражение (4.33) в
следующем виде:
rβ
r
ρвых ( βT )  (  ai a j  β  
i 0
r
 ai a j ρi, j  β ) B 1 ,
(4.34)
i  0 j  0,i  j
где B - знаменатель выражения (4.33).

Из (4.34) следует, что при произвольных A и R коэффициент ρвых ( βT )  0 , в частности при коррелированной помехе и в
зонах шума ( Θ ПП  0 ) имеем приобретенную остаточную корре-
102
r β
ляцию ρвых ( βT )  (  ai a j  β ) B 1 . Подобные ситуации описывают
i 0
явление рассогласованной фильтрации.
Для ЦРФ, эквивалентного схеме r -кратного ЧПК (для нее
весовые коэффициенты ai  (1)i Cri , где C ri - число сочетаний из r
по i ), коэффициент остаточной корреляции
(r!) 2
ρвых ( βT )  (1)
,
(r  β )!(r  β )!
β
при этом мощность шума на выходе увеличивается в
KШ  B 
r
 ai2  C2rr
раз. Получение соотношения является прин-
i 0
ципиальными, а их обобщение на случай комплексных ВК ai предмет квадратурного обобщения.
4.5.3 Оптимизация стохастических систем. Применительно к системам СДЦ максимум отношения сигнал/(помеха+шум) эквивалентен (по условиям существования
экстремума) максимуму среднего улучшения [1] . Поскольку
среднее улучшение по-существу представляет собой нормированный к шуму коэффициент подавления, далее будем употреблять это понятие.
По определению
K п.н.  ( Рвх К Ш ) / Рвых ,
 
 
где Pвх  M xn2 и Pвых  M yn2 - мощность суммы «ПП+шум» на
входе и выходе ЦРФ. Используя уже известную связь y n с xn ,
получим
r
 ai2
K п.н. 
r
i 0
r
  ai a j ρij
 
AT A
  ,
AT RA
i 0 j 0
(4.35)

где AT - транспонированная матрица весовых коэффициентов, R
– корреляционная матрица смеси «ПП+шум».
103
Выражение (4.35) является исходным для оптимизации детерминированных систем. Сведением к минимуму знаменателя
r
относительно ai при условии K Ш   ai2  const обеспечивается
i 0
максимум K п.н. (4.35).
Для системы со случайными ВК выражение, аналогичное
(4.23), имеет вид
 M ai2 
r
K п.н. 
r
i 0
r
  M ai a j ρij
i 0 j 0
,
(4.36)
 
где M ai a j  M ai M a j  νij σ i σ j ; M ai2  M ai   σ i2 ; M ai , M a j ,
σ i , σ j , νij - средние, среднеквадратические значения и коэффициент корреляции весовых коэффициентов ai и a j .
Сопоставление выражение (4.35), (4.36) показывает, что при
M ai   M a j  0 роль весовых коэффициентов оптимизации в
стохастическом ЦРФ выполняют параметры σ i , νij . Учитывая это
обстоятельство, можно сказать, что в данном варианте оптимизации требования к разрядности конкретных значений весовых коэффициентов в явном виде не предъявляются: достаточно знать
необходимые значения параметров σ i , νij .
Выражение для коэффициента корреляции ρвых ( βT ) в рассматриваемом случае имеет вид:
r
ρвых ( βT )  ( 
r
 νij σi σ j ρi, j  β ) B 1 ,
(4.37)
i 0 j 0
из которого следует, что обеление сильно коррелированной помехи может быть достигнуто при
r
 νij σi  0 .
i 0
Перепишем выражение (4.37) в следующем виде:
104
rβ
r
ρвых ( βT )  (  σ i σ j νi,i  β  
i 0
r
 σi σ j ρi, j  β ) B 1 .
(4.38)
i  0 j  0,i  j
Из (4.38) следует, что при произвольных i и R на выходе
ЦРФ также наблюдается остаточная корреляция, причем в зонах
некоррелированных ПП и шума
rβ
ρвых ( βT )  (  ai ai  β νi,i  β ) B 1 .
i 0
В случае необходимости при некоррелированных весовых
коэффициентах остаточная корреляция на выходе ЦРФ может
быть искусственно разрушена, так как при νij  0 коэффициент
корреляции ρвых ( βT )  0 . Эту процедуру можно выполнять в зонах шума, когда Θ ПП  0 .
Определим методику оптимизации стохастического ЦРФ. Используя принцип «стохастического обеления», представим (4.36)
в форме явной зависимости от параметров распределения весовых коэффициентов a i . В результате получим
r
 σ i2
K п.н. 
r
i 0
r
.
(4.39)
  νij σ i σ j ρij
i 0 j 0
По аналогии с оптимизацией детерминированной системы
оптимизация стохастической системы достигается сведением к
минимуму знаменателя (4.39) относительно σ i , νij при условии,
что числитель (4.39)
r
 σi2  K Ш  B  const .
i 0
При «жесткой» корреляции весовых коэффициентов ai , если
все νij  1 , число варьируемых параметров равно r  1 и может
быть увеличено до r  1  r (r  1)2 1, если матрица N  [νij ] ограничена требованием симметрии ее элементов относительно главной диагонали. В последнем случае открываются дополнительные возможности оптимизации.
105
Учитывая то, что элементы νij корреляционной матрицы N
могут иметь разные знаки, определяемые знаками весовых коэффициентов, для использования метода множителей Лагранжа далее вводим величину
J
r
r
r
  σ 'i σ ' j ρij   σi2 ,
i 0 j 0
(4.40)
i 0
где λ - неопределенный множитель Лагранжа;
r
 σ i2  const
-
i 0
ограничивающее условие оптимизации; σ'i , σ' j - вспомогательные переменные, для которых | σ 'i | σ i , | σ ' j | σ j , sign{σ 'i σ ' j }  1
(«+», если знаки a i одинаковые, и «-», если знаки a i разные).
Дифференцирование (4.40) относительно σ'i приводит к
следующему условию существования экстремума:
r
J
 2  σ ' j ρij  2 λσ 'i  0 , i  0, r .
σ 'i
j 0
Решение задачи оптимизации показывает, что множитель 
есть характеристическое число корреляционной матрицы помехи
R . Оптимальным является такой набор 'i , при котором  принимает наименьшее значение.
В рамках приведенной методики, когда общее число варьируемых параметров не превышает r  1 , возможна оптимизация и
для случая νij  1 , i  j . При этом вспомогательные переменные
σ'i , σ' j , νij должны быть заданы в виде σ '.i  νi σ i , σ '. j  ν j σ j ,
νij  νi ν j . Адаптация системы к изменяющимся ПП в этом случае
осуществляется варьированием мультипликативной связки параметров νi σ i . Наибольший интерес при этом представляет возможность, когда параметры σ i для выбранной разрядности коэффициентов ai остаются неизменными, а изменение полосы режекции ЦРФ достигается изменением νij .
106
Для дальнейшего анализа стохастической системы выделим
в знаменателе выражения (4.49) слагаемое i  j , после чего получим
r
 σ i2
K п.н. 
r
r
i 0
r
.
(4.41)
 σ i2    νij σ i σ j ρij
i 0
i  0 j  0,i  j
Для обеспечения максимума (4.51) коэффициенты корреляции νij изменяются от значений νij  1 в зонах коррелированных помех до значений νij  0 в зонах широкополосных помех и
в зонах шума. В последнем случае ЦРФ становится энергетически «прозрачным», имея равномерную мощностно-частотную характеристику и K п.н.  1. Кроме того, рассматриваемый ЦРФ с
перестраиваемыми случайными весовыми коэффициентами
обеспечивает постоянный уровень выходящего шума, поскольку
структура фильтра остается неизменной, а его параметры выбраны из условия постоянства коэффициента усиления шума.
4.5.4 Вывод. Полученные в настоящем подразделе результаты доказывают принципиальную возможность построения систем
СДЦ на основе соблюдения принципа «стохастического обеления», обобщающего известный метод приведения небелого шума
к белому для случая согласованной фильтрации на фоне коррелированных помех.
4.6 Исследование возможностей снижения требований к разрядности весовых коэффициентов цифровых режекторных
фильтров со случайными параметрами
4.6.1 Постановка задачи. Исследуем возможность уменьшения разрядности весовых коэффициентов в цифровых режекторных фильтрах со случайными параметрами, когда ВК
фильтра искусственным образом выбираются случайными. Как
уже указывалось, для выделения сигналов из смеси с коррелиро-
107
ванными помехами ПП, как отмечалось ранее, необходимо применять обеляющие ЦРФ с детерминированными ВК.
В целях выявления условий снижения разрядности ВК ЦРФ
в настоящем разделе анализируются ЦРФ со случайными параметрами, когда ВК фильтра искусственным образом задаются
случайными (стохастические ЦРФ). Стохастические ЦРФ предполагают использование в фильтре цифрового генератора рандомизирующего шума, используемого в качестве задатчика случайных (в общем случае коррелированных) ВК. В целом стохастические ЦРФ в настоящее время слабо изучены, хотя исследования в
этом направлении ведутся. Данные исследования имеют много
общего с исследованиями п. 4.5, т.к. в том, так и в другом случае
применяются случайные ВК.
4.6.2 Выбор критерия качества и его анализ для обычного
и стохастического случаев. Детерминированные и стохастические ЦРФ трудно взаимносопоставимы, поскольку – соответственно относятся к качественно разным подклассам систем с постоянными и переменными параметрами. В тоже время оператор
математического ожидания M1{uвых2} от квадрата выходного
напряжения uвых, определенный как мощность процесса на выходе ЦРФ, при выборе соответствующего («мощностного») критерия может сделать указанные фильтры эквивалентными. Несущественное различие между ними, заключающееся в том, что определенная таким образом мощность выходного процесса для детерминированных ЦРФ совпадает с мгновенной мощностью, а
для стохастических – является пределом выборочной мощности,
легко может быть устранено выбором достаточного для усреднения времени наблюдения процесса.
Наиболее подходящим «мощностным» критерием для данного случая является критерий, основанный на минимизации коэффициента шума приемника, который применительно к ЦРФ
известен под названием критерия максимума среднего улучшения [1]. Согласно этого критерия варьированием ВК на выходе
ЦРФ обеспечивается максимум отношения мощности сигнала к
мощности нескомпенсированных остатков коррелированной по-
108
мехи и шума. Поскольку среднее улучшение, по существу представляет собой нормированный к шуму коэффициент подавления,
далее будем употреблять это понятие.
По определению
 
Р К
К ПН  вх ш ,
Рвых
(4.42)
 
де Pвх  M1 xn2 и Pвых yn2 – мощность смеси «ПП+шум» на входе
и выходе ЦРФ;
K ш – коэффициент передачи мощности шума от входа к выходу
ЦРФ;
xn  nT – отсчеты входного процесса x(t) в дискретные моменты
времени
tn  nT , где T – период временной дискретизации;
yn – выходные значения ЦРФ, соответствующие моментам tn .
Для нерекурсивных ЦРФ вход xn и выход y n связаны соотношением типа свертки:
yn 
r
 ai xn i ,
i 0
где ai – компоненты вектора ВК A  [ai ] , r – порядок ЦРФ.
Полагая, что на входе ЦРФ действует ПП с нулевым средним, дисперсией σ2 и корреляционной матрицей R=[ρij], где ρij –
коэффициент корреляции отсчетов i и j (j= 0, r ), выражение (4.41)
[1], для детерминированных ЦРФ к ВК aij(i= 0, r ) запишем в виде:
r
К ПНД 
AT A
T
A RA
 ai2

r
i 0
r
,
(4.43)
  ai a j ρij
i 0 j 0
T
где A - транспонированная матрица ВК;
r
 ai2  K ш .
i 0
Выражение (4.43) является исходным для оптимизации детерминированных ЦРФ. Сведением к минимуму знаменателя от-
109
носительно ai, при условии сохранения уровня выходного шума
Kш=const, обеспечивается максимум КПН (4.43).
Для стохастических ЦРФ, когда в общем случае ВК являются случайными, отношение мощностей (4.42) должно учитывать
усреднение как флюктуационных компонент КП и шума, так и –
случайных ВК ai. Воздействуя, с учетом упомянутого обстоятельства, оператором M1{(·)2} на вход xn и выход yn ЦРФ, выражение
(4.43) для стохастического случая получим в виде:
 Μ1ai2 
r
К ПНС 
r
i 0
r
  Μ1ai a j ρij
,
(4.44)
i 0 j 0
M1ai ; a j   M 1ai M1a j  vij σi σ j ;
 
(4.45. а)
(4.45. б)
M1 ai2  M12 ai   σi2 ;
M1ai , M1a j , σi , σ j , vij – средние, среднеквадратические
значения и коэффициент корреляции ВК ai и aj.
Заметим, что при σi, σj → 0, т.е. когда степень случайности
ВК уменьшается, выражение (4.44) трансформируется в (4.43).
Предварительный анализ (4.44) показывает, что возросшее
количество варьируемых переменных открывает новые возможности для синтеза ЦРФ, однако простой перенос оптимальных
решений для детерминированного случая путем замены неслучайных ВК ai на их математические ожидания M1{ai} не приводит
к цели, т.к. устойчивость стохастического ЦРФ без соответствующего уменьшения | ai | снижается, поскольку дисперсия ВК σi2
приводит к возрастанию коэффициента передачи шума, определяемого для этого случая выражением:
Кш 
 Μ12 ai  σi 2 ,
r
(4.46)
i 0
4.6.3 Учет квантования ВК и поиск эвристических решений. Полагая, что разрядность входных отсчетов существенно
выше разрядности ВК, проанализируем влияние квантования ВК
для детерминированного и стохастического ЦРФ.
110
При квантовании ВК вместо непрерывных значений ai в
формулах (4.43) и (4.44) имеем их округленные значения
a~i  ai  δai ,
(4.47)
 Δa Δa  – шумы квантования ВК;
где δai  
, 
2
2

ai
– цена младшего разряда разрядной сетки ВК;
Δa  Lmax
2 1
L – разрядность ВК, включая знаковый разряд.
Подставляя (4.47) в (4.44), получим:
Δ1 Д
1
r
 ai2
~
К ПНД  К ПНД
i 0
Δ2 Д
1
r
 К ПНД η Д ,
(4.48)
r
  ai a j ρij
i 0 j 0
r
где Δ1 Д    δa2  2ai δai  ;

i 0
Δ2 Д 
(4.49. а)

i
  δai δa j
r
r
i 0 j 0

 δai a j  ai δa j ρij .
(4.49. б)
Шумы квантования ВК ограничивают максимально достижимые значения КПН. Проиллюстрируем это на простом примере
ЦРФ
с
комплексно-сопряженными
нулями:
r  2, a0  a2  1, a1   2 , L   .
В указанном ЦРФ без квантования ВК для сильнокоррелированной помехи, когда все ρij=1 коэффициент КПНД=17.
При квантовании ВК ai с дискретом Δa=0,5 (L ≥ 3) КПНД
уменьшается на 44%, а при Δa=1 (L ≥ 2) – на 61% по сравнению с
КПНД.
В стохастических ЦРФ в виду наличия операции M1{·} в
(4.44) зависимость между шумом квантования ВК и КПН менее
явная: появляется возможность воспользоваться интерполирующим действием оператора M1{·}. Этому способствует известное
111
положение теории вероятностей, заключающееся в том, что независимо от того, является ли исходная случайная величина непрерывной или дискретной, ее моменты – являются непрерывными
величинами. Приближения моментов непрерывных и дискретных
(квантованных) ВК в теории определяется известными поправками Шеппарда. Законы распределения ВК ai определяют конкретную степень приближения этих моментов, а, следовательно, гарантируют конкретную величину достижимого максимума КПН в
рамках принятого критерия качества.
Подставляя (4.47) в (4.45), для стохастических ЦРФ получим:
1
~
К ПНС  К ПНС

 Μ1ai2 
r
i 0
r
Δ 2C 
(4.50)
r
  Μ1ai a j ρij
i 0 j 0

где Δ1C   Μ1 δa2  2ai δai ;
i 0
 К ПНC ηC ,
Δ 2С
1
r
Δ1С
i
(4.51. а)
  Μ1δai δa j
r
r
i 0 j 0

 δai a j  ai δa j ρij .
(4.51. б)
Учитывая уже выявленную роль математических ожиданий
M1{ai} (4.46), далее ограничимся классом стохастических ЦРФ,
для которых M1{ai}= M1{aj}=0. В этом случае с учетом соотношений (4.45. а) и (4.45. б) выражение (4.50) может быть представлено в виде:
Δ1С
1
r
 σ i2
~
К ПНС  К ПНС
i 0
1
Δ 2С
r
r
  σ i σ j νij ρij
i 0 j 0
 К ПНC ηC ,
(4.53)
112
r
 σ i2
здесь К ПНС
r
i 0
r
.
(4.54)
  σ i σ j νij ρij
i 0 j 0
Сравнение (4.44) с (4.54) и здесь показывает, что при оптимизации ЦРФ роль весовых коэффициентов играют параметры σi,
σj, νij вместо параметров ai и aj. Для полного сохранения идентичности решении функции знака Sign νij можно определить роль
произведения Sign aj Sign ai, а σi, σj –соответственно роль модулей | aj |,| ai |.
Целенаправленное создание условий для достижения возможности сохранения фильтрующих свойств ЦРФ при случайных ВК ранее мы называли принципом «стохастического обеления».
Учет квантования ВК в созданных условиях «стохастического обеления» оценим на конкретном примере, взяв в качестве
аналога ЦРФ с непрерывными ВК, рассмотренный ниже. Итак
имеем ЦРФ: r=2, M1{a0}=M1{a1}=M1{a2}=0, σ0=σ2=1, σ1= 2 , ν01=
ν12=-1, ν02=1. Учитывая, выявленную идентичность (4.44) и (4.54)
можно сказать, что без квантования ВК для случая ρ i=1
КПНС=КПНД=17.
При тех же параметрах квантования ВК в стохастическом
ЦРФ коэффициент подавления уменьшается лишь на 15-18% по
сравнению с аналогичным случаем отсутствия квантования ВК,
выигрыш по отношению детерминированному ЦРФ составляет
1,3-2,2 раза.
Рассмотрим ещё один пример о выборе разрядности весовых
коэффициентов. Выразим параметр σ i через разрядность L и закон распределения pi (k ) случайного весового коэффициента ai ,
принимающего дискретные значения ai  ai (k ) , k  0,2 L  1 . При
M 1ai   0 получаем
 2 L 1


2
σ i   M 2 ai     ai (k ) pi (k ) 
 k 0



1 / 2
,
(4.42)
113
где ai ( k )  kΔ a i ; Δ a i - цена младшего разряда коэффициента ai .
Из выражения (4.52) представляется очевидным, что заданием вероятностной меры p i (k ) при
2 L 1
 pi (k )  1 можно обеспечить
k 0
непрерывное изменение параметра i в условиях, когда a i является дискретным. Независимость показателя качества стохастической системы от конкретных значений весовых коэффициентов
ЦРФ обуславливается интерполяцией этих значений вероятностной мерой pi (k ) за счет рандомизации.
Проиллюстрируем эту возможность на примере весовых коэффициентов в виде бинарной (одноразрядной) случайной величины a  1 («+» с вероятностью p и «-» с вероятностью
q  1  p ). Для этой случайной величины математическое ожидание M1a и среднеквадратическое значение σ a изменяются
непрерывно не интервалах p  q [1,1] и 2 pq [0, 2 / 2] , соответственно.
Для системы из двух случайных величин имеем коэффициент взаимной корреляции  , входящий в показатель качества стохастической системы и принимающий непрерывные значения на
интервале  1,1.
4.6.4 Изменение условий для сглаживания шумов квантования ВК при увеличении порядка ЦРФ. Получение небольшого
выигрыша в коэффициенте подавления объясняется малостью
порядка r ЦРФ. При больших значениях r (r>>1) выигрыш в коэффициенте подавления может быть более существенным. Этому
способствуют следующие обстоятельства.
В детерминированном ЦРФ без принятия специальных мер,
знаки отдельных отсчетов шума квантования σai могут быть произвольными и, в частности такими, при которых двойная сумма
(4.41 б) при ρij=1 с ростом r растет пропорционально числу ее
слагаемых, т.е. (r+1)2.
В стохастическом ЦРФ случайность ВК ai и шумов квантования σai не позволяет сохранить аналогичную тенденцию роста в
114
функции от r двойной суммы (4.41 б), поэтому рост Δ1c в функции от r ожидается пропорциональным числу ее членов главной
диагонали соответствующей квадратной формы, т.е. пропорционально (r+1).
Асимптотический выигрыш в коэффициенте подавления
стохастического ЦРФ по сравнению с детерминированным может
быть оценен с учетом сказанного как
Δ η Д r 
ηC r 
lim η r   lim Δ r   r
r  Д
ηC
при заданном коэффициенте подавления это эквивалентно
уменьшению разрядности ВК из расчета: один разряд ВК на каждую полюсно-нулевую пару (или два порядка) ЦРФ.
4.6.5 Вывод. Полученные результаты доказывают принципиальную возможность построения цифровых режекторных фильтров со сниженной разрядностью весовых коэффициентов на основе соблюдения принципа «стохастического обеления», обобщающего известный метод приведения небелого шума к белому
для случая цифровой фильтрации сигналов на фоне коррелированных помех.
4.7 Квазилинейные обрабатывающие тракты в информационных системах современных радиолокационных комплексов
4.7.1 Решаемая задача. Рассмотрим вопрос стохастической
линеаризации «грубых статистик» пространственно-временных
сигналов при построении компенсаторов помех. Для этого проведем анализ коэффициента улучшения цифровой системы СДЦ с
идеальным (жестким) ограничением сигнала на входе и рандомизацией алгоритма обработки N-импульсной пачки импульсов после бинарно-знакового АЦ, в каждой квадратуре.
При построении цифровых схем помехозащиты широко используются методы спектрального анализа, основанные на дискретном преобразовании Фурье (ДПФ). Это объясняется тем, что
115
традиционную (оптимальную) обработку сигнала на фоне пассивных помех (ПП), заключающуюся в «обелении» ПП в режекторном фильтре (РФ) и когерентном накоплении пачки Nимпульсов в когерентном накопителе (КН), можно заменить обработкой типа КН-РФ. В этом случае функции КН возлагаются на
ДПФ-спектроанализатор, а функции РФ – на блок весовой обработки. Сказанное относится к построению схем помехозащиты в
области пространственных частот (угловых направлений). В этом
случае роль РФ играют компенсаторы помех, формирующие «нули» (зоны угловой режекции) в диаграмме направленности антенны М-элементной фазированной антенной решетки (ФАР).
Известно, что при таком построении системы обеспечивается возможность спектральной (по обычным и пространственным
частотам) обработки, и в ряде случаев уменьшаются потери когерентного накопления сигналов, возникающие вследствие корреляции шума на выходе РФ системы РФ-КН, хотя разрядность
ДПФ-процессора должна быть выбрана относительно большой.
Разрядность может быть снижена уменьшением динамического диапазона обрабатываемых сигналов за счет распределения
энергии полезного сигнала по пачке импульсов, однако при обработке на фоне коррелированных помех снижение разрядности
сопровождается возрастанием энергетических потерь.
Энергетические потери уменьшаются рандомизацией, однако теоретические вопросы рандомизации при малоразрядной обработке, в частности при идеальном (жестком) симметричном
ограничении сигнала на входе, обеспечивающем повышенную
помехозащищенность системы СДЦ по отношению к импульсным помехам, не исследованы.
Оценим принципиальную возможность спектральной обработки сигналов в системе СДЦ для сформулированных условий и
конкретизируем алгоритм обработки бинарно-знаковой статистики в процессоре ДПФ с целью уменьшения шума квантования на
выходе всей системы.
116
4.7.2 Методика оптимизации ДПФ-процессора. Применительно к когерентно-импульсной РЛС с СДЦ алгоритм весовой
обработки каналов ДПФ, по существу, является одним из вариантов технической реализации согласованной фильтрации в частотной области. На выходе N-канального блока весовой обработки
после когерентного накопления пачки импульсов в процессоре
ДПФ имеем:
y 
N
 ηk y (k ) ,
(4.55)
k 1

где η N  η k , k  1, N - вектор ВК частотной области;
y (k ) - отклик k -го канала N -импульсного процессора
ДПФ.
Для обеспечения максимума среднего улучшения варьиро
ванием η N необходимо обеспечить минимальное значение коэффициента передачи помехи K c . Вектор ВК временной области

a N  ai , i  1, N является фиксированным, причем для k -го ка-
 2π

нала ДПФ ai ( k )  exp  i (i  1)( k  1) , k  1, N .
 N

Приняв, что на входе воздействует ПП с нулевым средним и
мощностью σ 2 , с учетом (4.65) мощность на выходе системы
Pc вых  M1yy *  σ
2
N
N
  ηk ηk*r(k , k ' )  σ 2 K c ,
k 1k  ' 1
N N
 2π

r(k , k ' )    ρ (i, i' ) exp  i (i  1)(k  1)  (i'1)(k '1) - спек N

i 1i ' 1
тральная матрица ПП, определяемая через элементы  (i, i' ) корре-
где
ляционной матрицы ПП R  ρ (i, i' ) ; M 1
 - операция математического ожидания от 
 .
Используя метод множителей Лагранжа, образуем величину
N N
N
2
*
2
J
ηk ηk  r(k , k ' )  λN
ηk
k 1k ' 1
k 1


,
(4.56)
117
где  - неопределенный множитель Лагранжа; N
2
N
 ηk
2
 const -
k 1
ограничивающее условие оптимизации.
Дифференцирование (4.56) относительно ηk
условию существования экстремума:
приводит к
N
J
 2  ηk 'r(k , k ' )  2 λN 2 ηk  0, k  1, N .
ηk
k ' 1
Решение задачи оптимизации (  - характеристическое число
спектральной матрицы помехи) показывает, что оптимальным

является вектор  M , при котором  принимает наименьшее значение.
4.7.3 Формирование знаковой статистики. Аддитивная
смесь x  s  c полезного сигнала s и ПП c по каждой квадратуре
на входе системы подвергается бинарно-знаковому квантованию
с помощью идеально симметричного ограничителя, на выходе
которого в каждый i -й момент времени имеем знаковую статиxi  signxi Δ  μi Δ , причем μi  1 при xi  0 и μi  1
стику ~
при xi  0 (  - масштабный коэффициент).
С целью стохастической линеаризации нелинейной характеристики ограничителя во входную смесь добавим искусственный
шум  , каждая квадратурная компонента которого распределена
по закону
(2Δ) 1 , при ξ  Δ;
ω
 0 , при ξ  Δ.
Покажем, что в этом случае случайная величина (СВ)

 1, с вероятностью p  2 1  xi (2Δ) 1;
μi  

  1, с вероятностью q  1  p.
Вычисляя моменты СВ  i (4.41), получаем:
 
а) M1μi   xi / Δ; б) M1 μi2  1;
в) M1μi μ j  xi x j / Δ2 .
(4.57)
(4.58)
118
xi   xi , т.е. операция M 
Из (4.58 а) следует, что M 1~
 линеаризует нелинейность sign
 (эффект «стохастической линеаризации»).
Условие (4.72 б) эквивалентно равенству M1 ~
xi2  Δ2 , объясняющему эффект «нормирования мощности» за счет амплитудной характеристики симметричного ограничителя (свойство
непараметричности).
 
4.7.4 Анализ коэффициентов подавления и улучшения. С
целью оценки предельных инструментальных возможностей системы помеху считаем сильно коррелированной, причем ее отсчеты сi  ci ( c )  jci ( s )  C exp i c  на всем интервале наблюдения i  1, N практически имеют постоянную фазу с и амплитуду С , а полезный сигнал si в дискретном времени i  1, N описывается
комплексной
гармонической
функцией
 2π

si  S exp i (i  1)( k  1)  с межпериодным набегом фазы, со N

гласованным с номером k соответствующего частотного (доплеровского) канала процессора ДПФ. Термин «согласованным с
номером k» по существу отражает принцип «согласованной
фильтрации
обычным
и
пространственным
ω  2πf ,
2π
Ω α, β 
sin θ ( α, β ) частотам, где λ  длина волны, θ (α, β ) - пеλ
ленг, являющийся функцией азимута α и угла места β прихода
электромагнитной волны.
Для рандомизированной обработки на выходе k -го канала
системы «ограничитель – ДПФ» мощность смеси «сигнал + помеха» (СП)
Pвых (k )  M1y (k ) y * (k ) 

 N N ~ ~*

 2π

 M1   xi xi ' exp  i (i  i' )(k  k ' ).
 N


i 1i '1

(4.59)
119
~
Полагая, что x  μi ( c ) Δ  iμi ( s ) Δ , где μi (c ) , μi (s ) - знаки квадратурных компонент сигнала, с учетом принятых допущений и
(4.58) выражение (4.59) преобразуем к виду:
N N
N
 2π

Pвых (k )  NΔ2    xi xi*' exp  i (i  i' )(k  1)   xi2 ,
 N
 i 1
i 1i ' 1
(4.60)
где xi  si  ci .
При независимых сигнале и ПП (4.60) можно преобразовать
к виду:
(4.61)
Pвых (k )  N (Δ2  C 2 )  S 2 N ( N  1)  Pc вых  Ps вых ,
где Pc вых  N (Δ2  C 2 ) - мощность нескомпенсированной помехи;
Ps вых  S 2 N ( N  1) - выходная мощность полезного сигнала
k -го канала.
Обозначим через q02  Ps вых / Pc вых - пороговое отношение
сигнал-помеха, тогда для N  1 и произвольных с можно установить, что требуемое значение амплитуды входного сигнала
должно быть не менее S min  Δq0 / N .
Нормированный коэффициент подавления ПП, при котором
обеспечивается
единичное
усиление
шума,
K п  Ps вх N / Pc вх  С 2 (Δ2  С 2 ) , что говорит о плохом подавлении ПП малой амплитуды (С  0) и хорошем подавлении ПП
большой амплитуды (С  Δ) , что характерно для рандомизированной обработки (см. «узлы» - «пучности» в разделе «введение»).
Сформулированные условия стохастической линеаризации
гарантируются, если амплитуда принимаемой смеси СП xi  Δ ,
поэтому, оценивая предельно достижимое подавление помехи в
формулу для K п необходимо подставить C  Δ  S min :
K п max  A /(1  A2 ),
(4.63)
где A  1  q0 / N .
Нормированный коэффициент передачи полезного сигнала
120
K s  ( Ps вых / Pс вых )(1/ N )  S 2 N ( N  1) /( S 2 N )  N  1.
(4.64)
При N  1, вследствие ограничения и невозможности выявления фазовых различий соседних отсчетов эхо-сигнала, наблюдается полная потеря полезного сигнала. В других случаях потери составляют 10 lg( N / N  1) , дБ, и становятся пренебрежимо
малыми при N  1 .
Определим коэффициент улучшения системы обработки через коэффициенты K п и K s , используя известное соотношение
(4.65)
K y  Kn K s .
Подставляя K п и K s в (4.65)получаем
 N  2q N  q 2 
0
0 ( N  1).
K y max  
 2q N  q 2 
0
0 

Для заданного значения сигнал/шум q02 при N   ,
1
Значения K y max для N  2 r -точечных проKy 
N N
2q0
цессоров ДПФ в зависимости от параметра r при q0  1 приведены ниже:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r
7
13 18 23 28 33 37 42
K y , дБ   -0,1 0
Анализ полученных значений K y показывает, что рандомизация системы улучшается с ростом N , однако абсолютные значения K y получаются небольшими, достигая 42 дБ при
N  1024 . Обычная линейная система СДЦ обеспечивает такое
же улучшение при
1 - 2-кратной череспериодной компенсации
(ЧПК), разрядности АЦП не менее 7 и динамическом диапазоне
входного сигнала не менее 36..39 дБ. Введение (с целью защиты
системы СДЦ от импульсных помех ИП) на входе РФ ограничителя не позволяет сохранить преимущества традиционной системы РФ-КН, так схема ЧПК r-го порядка «размножает» одиночную ИП на выходе КН в r+1 раз, а динамический диапазон обрабатываемого сигнала так же, как и в рандомизированной системе
121
с ограничением может быть восстановлен только за счет накопления достаточно длинной пачки импульсов.
4.7.5 Промежуточные выводы. Таким образом, на основании проведенного анализа можно сделать следующие выводы:
 Рассмотренное построение системы компенсации помех,
ввиду его относительно невысокой эффективности при малых N может быть рекомендовано для обработки длинных
последовательностей импульсов при N  100 (в том числе,
квазинепрерывных сигналов на повышенной частоте повторения), когда системе СДЦ наряду с необходимым подавлением ПП необходимо придать свойство непараметричности
и устойчивости к ИП.
 Применительно к построению «компенсаторов угловых помех», осуществляющих спектральный анализ пространственных частот, выводы аналогичны, за исключением того,
что вместо временной выборки размером N, выступает выборка размером MхL (здесь M - размеры окон пространственного квантования ФАР по азимуту и углу места).
 Установлено, что стохастическая аппроксимация, достигаемая рандомизированной обработкой квадратурных («бинарно-знаковых») компонент входного сигнала, позволяет осуществлять линейный «доплеровско-угловой» анализ сигналов в условиях применения явной нелинейности типа «симметричный ограничитель».
4.8. Моделирование квазилинейных трактов пространственно-временной обработки сигналов в условиях искусственно
загрубленного квантования квадратурных компонент входного сигнала
4.8.1. Введение. Квазилинейные тракты ПВ-обработки при
загрубленном квантовании квадратурных составляющих входного сигнала всегда привлекали внимание разработчиков РЭА по
причине достигаемой простоты технических решений.
122
 на первый взгляд оставляет мало возможноОперация sign 
стей, однако, сохраняя «доплеровскую» информацию и возможность когерентно-импульсной обработки (накопления), как бы
«восстанавливает амплитуду», что «в квадрате» связано с мощностью, а значит, с отношением «сигнал/шум».
При введении такого (достаточно «грубого») квантования,
как указывалось в подразделе 4, важно сохранить свойства «линейности» тракта обработки сигнала. Это означает то, что, к примеру, два сигнала при обработке не мешали бы друг другу, т.е.
обрабатывались бы независимо по тому алгоритму, который был
намечен изначально.
Настоящее моделирование ставит целью определить количественные показатели реально достигаемого «разрешения» сигналов по временным ω пространственным Ω частотам находящихся в одном дальностно-угловом объеме радара. Критерии эффективности разрешения выбраны по Я. Ширману.
4.8.2. Описание выходных параметров. Главная проблема
 заключается в том, что в лимоделирования трактов типа sign
тературе нет понятия, что является мощностью полезного сигнала цели, обнаруживаемой радаром на выходе нелинейного
устройства. В основу методики взят подход, изложенный в [5].
Такое представление («трактовка») выходного сигнала, по
крайней мере, может быть подвергнута реальному осязанию (т.е.
измерению). В остальном методика моделирования обычна за
исключением того, что амплитудная характеристика АЦП чрезвычайно «загрублена» (1 бит на квадратуру).
4.8.3. Результаты моделирования. Главная цель моделирования состояла в том, чтобы проверить линейные свойства данного способа обработки, поскольку свойства непараметричности
(стабилизации в.л.т. PF) почти очевидны. Проявление линейных
свойств в первую очередь связано с таким понятием, как «многосигнальное разрешение», что и было главной целью моделирования.
123
На рис. 4.19 представлены результаты моделирования прохождения суммы двух гармонических сигналов на частотах i и
 j через систему обработки типа « sign
 -ДПФ» без рандомизирующего шума (естественного и искусственного).
На этих рисунках А(f) - амплитудный спектр выходной смеси сигналов, амплитуды которых на входе соотносились как 1 и
0.5. Частотный разнос сигналов f линейно изменялся от 1 до
40% от частоты дискретизации АЦП.
Комбинации возможных частот входных сигналов представлены рисунками, из которых видно, что при малой разнице
2π
частот входных сигналов ωi и ω j , когда Δωij  2πΔf ij 
,
T
независимо от положения медианы
i   j
 
2
внутри интервала од-
нозначного отсчета частоты  ,  или 0,  наблюдается
 T 
 T T
удовлетворительное разрешение сигналов в условиях появления
разностных гармоник («биений»).
Эти же рисунки иллюстрируют случаи, когда разность частот Δωij соизмерима с частотой Найквиста
2π
π
, где T –интервал
T
временного квантования.
Размер массива N, был выбран равным 1024.
Рис. 4.19
124
На рис. 4.20 была увеличена разрядность квадратичных
АЦП до 4-х, в результате чего «зеркальная компонента» была
существенно подавленна, а амплитудные соотношение выходных
сигналов приблизилось к соотношению «1:0.5», что является
естественным.
При использовании многоразрядных квадратурных АЦП
«зеркальная компонента» практически исчезла полностью и это
показано на рис, 4.21.
«Бинарно-знаковое» квантование при соотношении сигнал/шум равное 2 и 1 дает соответственно результаты, представленные на рис. 4.22 и 4.23. Шум, естественно присутствует, но
чисто в качественном плане мы также наблюдаем устранение
«зеркальной компоненты» и выравнивание амплитуды соотношений, причём при q0  1 «зеркальная компонента» была подавленна даже больше, чем при q0  2 .
Рис. 4.20
Рис. 4.21
125
Рис. 4.22
Рис. 4.23
Изображение, иллюстрирующие разрешение 2-х сигналов с
одинаковой амплитудой с разносом частот Δf ij  20 T . Функции
от размера N окна наблюдения представлено на рис. 4.24. Для
«грубого» квантования (К=1), для N  64 - в условиях наличия
рандомизирующего напряжения q0  2 .
При этих же условиях на рис. 4.21. рассмотрено взаимодействие «слабого» сигнала «сильным» и эффекты линеаризации нелинейностей, при их совместной обработке путём добавления
«учитываемого», рандомизирующего напряжения. Отметим, что
соотношение амплитуд 2-х сигналов было, выбрано равным 10,
точнее «1:0,1», которое разрешились как в линейной системе с
многоразрядным АЦП.
126
4.8.4. Промежуточный вывод. Качественный анализ результатов моделирования и сравнение этих результатов с теоретическими результатами раздела 4 показывает их совпадение.
Исключением явилось то, что допущение, принятое при выводе
формулы асимптотической формулы, не позволило получить
промежуточные аналитические результаты, которые были получены только в результате моделирования. Анализ результатов
моделирования подтвердил существование следующих эффектов
малоразрядной дискретной обработки:
а). наличие потерь, обусловленных «грубостью» квантования К=1 порядка 12 дБ;
б). подавление случайного сигнала сильным в условиях отсутствия рандомизации при малых N<16;
в). большая «засорённость» спектра комбинационными составляющими в условиях детерминированного квантования
в этих же условиях;
г). линеаризующее действие шумового напряжения, рандомизирующего процесс спектрального анализа при стохастическом квантовании.
Рис. 4.24
127
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрены основные принципы построения цифровых систем СДЦ на основе линейных цифровых фильтров в области
обычных («временны х» - Ю. Г.) частот по оси Доплера.
По известной аналогии сделаны некоторые обобщения на
область пространственных частот и связанных с ними угловыми
направлениями, позволяющие решать задачу СДЦ как на фоне
пассивных помех-отражений от местных предметов и дипольных
отражений, так и на фоне активных помех. В этом случае, кроме
формирования областей режекции, при синтезе обобщённого
пространственно-временного ПВ-фильтра в системе СДЦ реализуется процедура «обеления» активных помех, т. е. формируются
провалы в диаграмме направленности антенны на источники помехового электромагнитного излучения.
Как в том, так и в другом случае приходится учитывать шумы квантования и устранять эффекты дискретизации: «слепые
фазы», «слепые скорости», «слепые направления», для чего в
РЛС с СДЦ выполняются процедуры естественной (шумом) и искусственной (псевдослучайными воздействиями) рандомизации.
Алгоритмы цифровой фильтрации практически могут быть
реализованы несколькими способами:
1. в виде дискретных логических цифровых схем, содержащих
АЦП, АЛУ умножители ОЗУ, процессоры с «жёсткой логикой», ЦАП и другие элементы;
2. в виде АЦП, сигнальных процессоров, ЦАП, управляющей
микро ЭВМ;
3. в виде специализированной бортовой ЦВМ, работающей в
реальном масштабе времени.
В разной степени все способы, обладая своими достоинствами и недостаткам имеют право на существование. Конкретный вариант построения системы СДЦ выбирается в зависимости
от решаемых задач и наличия технических ограничений на ресурсы ЦО:
 частота дискретизации;
128
 разрядность АЦП, ЦАП, ВК сигнальных процессоров,
ПЛИС, ЦФ;
 размеры окон пространственных и временных выборок.
В настоящем учебном пособии отыскивается компромисс
между традиционным подходом применения цифровой обработки РЛ-сигналов, основанном на экстенсивном наращивании ресурсов обработки (повышения частоты квантования, увеличения
разрядности входных данных, разрядности весовых коэффициентов, размеров окон ПВ-выборок и др.) и подходом, основанном
на использовании «грубых» отсчётов с бинарными свойствами
(малоразрядных, бинарно-знаковых, булевых и т. п.), при использовании которых сохраняется эффективность обработки применением специальных мер, основанных на использовании искусственного приёма - рандомизации (обычной и рекурсивной), при
которой «грубые» отсчёты превращаются в «грубую статистику»
(усредняемую, сглаживаемую), позволяющую за счёт «задания
вероятностной меры и её аппаратурного воспроизведения (измерения) достигнуть (в условиях технических ограничений на ресурсы цифровой обработки) полезных свойств обработки – повышение (сохранение) эффективности её основных процедур, таких как: обнаружение, оценивание параметров, фильтрацию сигналов, по обычным и пространственным частотам (угловым
направлениям) при решении задачи СДЦ.
129
Библиографический список.
1. Горбунов Ю.Н. Цифровые системы СДЦ. - Челябинск: ЧПИ,
1985. - 84 с.
2. Лихарев В. А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. – М.: Сов. радио, 1973.
3. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Пер. с англ. – М.: Мир, 1978.
4. Корн Г. А. Моделирование случайных процессов на аналого-цифровых машинах. - М.: Мир, 1968. - 315 с
5. Brennan L. E., Reed I. S. Quantinization Noise in digital Moving
Target Indication System. – IEEE Transactions, 1966, vol. AES2, №6, p. 655-658
6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1965
7. Современные методы спектрального анализа: обзор С. М.
Кей, С. Л. Марил мл. // ТИИЭР. - 1981. - т. 69. - №11.
8. Горбунов Ю.Н. Технология цифрового запоминания пространственных частот DRFM-S и перспективы ее внедрения
в авионику ЛА V поколения. // Тезисы 1-й Всероссийской
научно-технической конференции по проблемам создания
перспективной авионики. - М., Корпорация «Фазотрон НИИР», 2002.
130
Содержание.
1.
1.1.
1.2.
1.3
1.4.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
4.
4.1
4.2.
4.3.
Общие вопросы построения систем СДЦ
Введение
Цифровые системы СДЦ.
Ограничения предельных возможностей.
Основные понятия теории цифровых фильтров.
Понятие о цифровой обработке сигналов.
Математическое описание и структуры цифровых
фильтров.
Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ).
Цифровая фильтрация при обработке сигналов в системах СДЦ.
Оптимальная обработка сигналов при наличии пассивных помех.
Системы СДЦ на основе нерекурсивных цифровых
фильтров.
Системы СДЦ на основе рекурсивных цифровых
фильтров.
Система СДЦ на основе многоканальных доплеровских фильтров (МДФ).
Адаптированные системы СДЦ.
Цифровая стохастическая фильтрация пространственно-временных сигналов. Рандомизация процедур цифровой фильтрации.
Аналого-цифровое преобразование сигналов как
процесс стохастического оценивания и квантования
распределений.
Построение цифровых режекторных фильтров и
компенсаторов помех по частоте и направлению.
Особенности цифровой фильтрации сигналов по
направлению с использованием понятия пространственных частот.
3
3
7
11
12
17
17
19
25
29
33
33
37
42
45
52
58
58
68
79
131
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
Выявление особенностей построения процессора ПВобработки сигналов, измеряющего частоту и направление приема сигналов, с использованием технологии DRFM-S.
Стохастические обеляющие фильтры. Новая трактовка метода приведения «небелого» шума к
«белому».
Исследование возможностей снижения требований к
разрядности весовых коэффициентов цифровых режекторных фильтров со случайными параметрами.
Квазилинейные обрабатывающие тракты в информационных системах современных радиолокационных комплексов.
Моделирование квазилинейных трактов пространственно-временной обработки сигналов в условиях
искусственно загрубленного квантования квадратурных компонент входного сигнала.
Заключение
Библиографический список
91
99
106
114
121
127
129
Юрий Николаевич Горбунов
ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ СДЦ
И ИХ ОПТИМИЗАЦИЯ
Монография
Монография напечатана в авторской редакции
Подписано в печать 11.11.2008. Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. , Усл. кр.-отт. , . Уч.-изд. л. ,
Тираж 500 экз. С 00
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Московский государственный институт радиотехники,
электроники и автоматики (технический университет)”